对称性、奇偶性和周期性的综合运用

对称性、奇偶性和周期性的综合运用

二函数的对称性

(一)函数y f(x)的图象自身对称

1、轴对称

对于函数f(x)的定义域内任意一个X，

f ( a x ) f ( b x ) y f ( x )图象关于直线

x (a x)

2

(b x)a

2

b对称.

推论 1 : f (a x) f (a x)y f (x )的图象关于

直线x a对称•

推论 2 : f ( x ) f ( 2 a x )y f (x)的图象关于直线x a对称•

推论 3 ： f ( x ) f ( 2 a x )y f (x)的图象关于直线x a对称•

求对称轴方法：x (a x)2(b x) a b

2

2、中心对称

对于函数f(x)的定义域内任意一个X，

的图

f ( a x ) f ( b x ) 2 c y f ( x)

(专,C)

对称.

象关于点

推论：f(a x ) f (a x ) 2 b y f (x)的图象关于

点(a,b)对称.

论：f(x) f (2 a x) 2 b y f (x)的图象关于点(a,b)对称.

论：f( x ) f ( 2 a x ) 2 b y f (x)的图象关于点(a > b )对称.

求对称中心方法横坐标x『ILA纵坐标y今°

小结：轴对称与中心对称的区别

轴对称：f(a+x)= f(b-x) 中，自变量系数互为相反数(内反)，函数值相等(差为零)；

中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c 中，自变量系数互为相反数(内反)，函数值和为定值.

(二)两个函数的图象相互对称

1、函数y f(a x)与函数y f(b x)图象关于直线

x 对称；

特别地，函数y = f(a + x)与y = f(a —x)关于直线x=0(y轴)轴对称；

称;

求对称轴方法：令a+x=b-x,得

2、函数y = f(a + x)+c 与y = —f(b —x)+d 关于点(宁，铲)中心对称；

特别地，函数y = f(a + x)与y = —f(a —x)关于点(0,0 )(原点)中心对称.

函数y 3与函数y f( x)图象关于原点对称函数•求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得 b a

x〒，纵坐标y=甘.

二.函数的奇偶性

1.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,

都有f( —X)= f(x)_ (f(x)___—f( —x) = 0), 那么函数f(x)叫做偶函数•偶函数的图象关

于y车由(x=0)对称.

推论：若y = f(x + a)为偶函数，则f(x + a)

=f( —x + a),即y = f(x)的图像关于直线x =

a轴对称.

2.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有

f( —x) = —f(x) (f(x) +f( —x) = 0)，

那么函数f(x)叫做奇函数.奇函数的图象关于原点(0,0)对称.

推论：若y = f(x + a)为奇函数，贝I」f( —x +

a) = —f(a + x)，即y = f(x) 的图像关

于点(a, 0)中心对称.

三.函数的周期性

1.定义：对于f(x＞定义域内的任意一个x，都存在非零常数T，使得f (x T) f (x)恒成立，则称函数“)具有周期性，T叫做f＜x＞的一个周期，则kT ( k Z,k 0 )也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫『")的最小正周期.

2.推论:

(11) 若函数y = f(x)同时关于直线x = a 与x =b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数， 且 T = 2|a - b|.

)

(

f ( ④f( x)

y f(x)

的周期为T.

(x)

的周期为T

(x)

的周期为T

)

的周期为T

⑤f(x a)

f (x)

的周期为T

⑥f(x a)

1 f (x) 1 f (x)

f(x)

的周期为T 2a.

⑦f(x a)

1 f (x)

1

f (x)

的周期为T 2a

⑧f(x a)

1 f (x) 1 f (x)

f (x)

的周期为T 4a

⑨f(

T 6 a

)y f(x)

的周期为

⑩若p

0, f (px) f (px a),则 T

推论：偶函数

y f (x )

满足 f ( a x ) f ( a x )

y f ( x) J

周

T 2 a

(12) 若函数y = f(x)同时关于点(a, 0)与点

(b , 0)中心对称，则函数f(x)必为周 期函数，且T = 2|a — b|. 推论：奇函数

y f (x)

满足 f (a x) f (a x) 0

y

f (x )J

周T 4 a

(13) y f

(x)有一条对称轴x a 和一个对称中心

(b ,

0) f (x )

的周期 T = 4|a — b|.

小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共

同点："对于函数f(x)定义域内任意一个 x ；

② 对称性、周期性定义中条件，“内反表 示对称性，内同表示周期性”；

③ 定义在R 上的函数y f (x)，在对称性、 周期性和奇偶性这三条性质中，只要有 两条存在，则第三条一定存在•

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