二次函数与一元二次方程的联系和区别

二次函数与一元二次方程的联系和区别

一、二次函数

1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：

y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）

①a>0时，开口方向向上

②a<0时，开口方向向下

③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大

④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。

⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0，c ）

⑥抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = 2a

b -,。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）

⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。当2a

b -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。

2、二次函数的三种表达式

①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）

②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]

③交点式：y=a(x- x 1 )(x- x 2) [仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]

(6)抛物线与x 轴交点个数 Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。 Δ= b

2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。

二、一元二次方程

y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2

+bx+c=0

三、两者之间的联系

①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时

②方程的根x

1，x

2

是使ax2+bx+c为零的x的取值

③x

1，x

2

对应图像上是ax2+bx+c=y函数与x轴交点的横坐标。

④方程根的个数即是使ax2+bx+c=0的x的个数即是ax2+bx+c=y y=0,为ax2+bx+c=y图

像与x轴的交点个数。

⑤可以同时利用△，方程用它来判断根的个数△=0方程两个相等的实根

△﹥0方程两个不等的实根

△﹤0方程无实根

函数用它来判断图像与x轴的交点个数

△=0图像一个（两个相等）交点

△﹥0方程两个不等的交点

△﹤0方程无交点

四、区别

①说白了ax2+bx+c=0就是ax2+bx+c=y， y=0时的特例。我们研究函数是研究许多点

组成的图像，研究方程是研究图像上至多一个或两个特殊的点。

②函数和方程有区别，是整体概念与特殊的区别。学习时要联系起来，又不可以简单的混淆。