二次函数与一元二次方程的联系和区别
初中数学一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是，而一元二次方程的一般形式是.显然当二次函数中时就能得到一元二次方程，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接透彻理解数学概念，提升你的数学内涵！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数来说，当时，就得一元二次方程，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程的取值与二次函数图像与轴的交点坐标的情况之间的关系：①当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点；②当时，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当时，一元二次方程没有实数根，抛物线与轴没有交点（抛物线要不全部在轴上方，要不全部在轴下方）.c bx ax y ++=2)0(≠a 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a x ac b 42-=∆x 042>-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042=-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042<-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x x x(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程有两个不相等的实数根、时，抛物线与轴交于两点A(,0)、B(,0)，此时有，·.此时抛物线与轴两交点的距离为： AB==（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线（当时为一次函数的图像，当时为平行于轴或与轴重合的一条直线）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线与x 轴的交点情况去判断一元二次方程的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲参与数学解题过程，品味数学内在魅力！ 例1（福州市中考题）已知二次函数的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是()A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0 x 02=++c bx ax 1x 2x c bx ax y ++=2x 1x 2x a bx x -=+211x ac x =2x 21x x -221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=c bx ax y ++=2b kx y +=0≠k 0=k x x b y =c bx ax y ++=202=++c bx ax c bx ax y ++=2分析：a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点情况，抛物线的对称轴由a、b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a＜0；抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方，因此c＞0；由于抛物线对称轴在y轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b＞0；由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0．a＋b＋c是x＝1时的函数值，而图像上点（1，a＋b＋c）在x轴上方，所以a＋b＋c＞0．答案：D．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a、b、c、x＝－b2a、a＋b＋c、b2－4ac等与抛物线的位置特征之间的关系．例2（徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到． 答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3（镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为.分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设，则原方程可化为，因为这个关于必有实数根，所以，解得，所以（即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x ＋y ”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数的取k y x =+0322=-++k x x x 0)3(44≥--=∆k 4≤k k k值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4（日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx＋c ＜0的解集是.分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在x 轴上（下）方的点所对应的x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标． 例5（咸宁市中考题）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值． 分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函2y x bx c =+-x m 3m -0m ≠243c b =1x =数的关系来解决．解：（1）证明：法一：依题意，，是一元二次方程的两根． 根据一元二次方程根与系数的关系，得，． ∴，，∴．法二：由题意得，①—②得，因为，所以．代入①得，所以，所以，，所以．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为，可得（下同法二）．（2）解：法一：依题意，，∴． 由（1）得． ∴．∴二次函数的最小值为．法二：因为函数图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线， 所以，所以，故抛物线与x 轴的两交点为、，所以抛物线的解析式为，当时，，∴二次函数的最小值为．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6（杭州市中考题）定义[]为函数的特征数,m 3m -20x bx c +-=(3)m m b +-=-(3)m m c ⨯-=-2b m =23c m =224312c b m ==⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m 0482=+-bm m 0m ≠m b 2=0222=-+c m m 23m c =2124m c =22123m b =243b c =2)3(2m m b x -+=-=m b 2=12b -=2b =-2233(2)344c b ==⨯-=2223(1)4y x x x =--=--4-x m 3m -m x -=1=-m 1-=m )0,1(-)0,3(32)3)(1(2--=-+=x x x x y 1=x 4321-=--=最小y 4-,,a b c 2y ax bx c =++下面给出特征数为[2m,1-m,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(，)；②当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于；③当m<0时，函数在x>时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m,–1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(，)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m ×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为=，当m ＞0时，=＞，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－＝＝，∴在对称轴左侧，即当时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当时，y 随x 的增大而减小.在∵<,所以当x>时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线31382341313821x x -a ∆=m m 2)13(2+=m m 213+21x x -m m m 2123213+=+322b a 122m m--⨯1144m -m x 4141-<m x 4141->141144m -41y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m ≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确． 答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7（2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：、、、 、，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，0522=++ax x 0402>-=∆a 04402>-+-a a 14402<-+-a a 04402>---a a 14402<---a a解法将简单得多．令，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知，解得．再根据可得．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得，可解得．这样就能得到a 的取值范围是．答案：．技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8（潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，522++=ax x y 04>-a 0<a 0402>-=∆a 102-<a ⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a 213->a 102213-<<-a 102213-<<-a也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由解得、，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32． 答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9（2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段AB 恰有一个交点，则的取值范围是．分析：要注意抛物线与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式解得．当时，，不合题意；当时，，符合题意．⑵抛物线与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （）、D （），则．若只有点D 在线段AB 上，则，，显然，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y ⎩⎨⎧=-=4211y x ⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ()233y x a x =+-+a ()233y x a x =+-+()233y x a x =+-+012)3(2=--=∆a 0∆=323a =±323a =+123x x ==-323a =-123x x ==()233y x a x =+-+0,1x )0,(2x 21x x <321=x x 101<<x 212≤≤x 321<x x，．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以，解得．当当点D 与点A 重合时，由，得，此时，，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由，得，此时，，不符合题意．综上所述，的取值范围是≤，或者．答案：≤，或者技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10（全国初中数学联合竞赛试题）设是大于2的质数，k 为正整数．若函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得，从而有①211≤≤x 22>x ⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a 112a -<<-031)3(12=+⨯-+a 1a =-11=x 32=x 032)3(22=+⨯-+a 12a =-21=x 232=x a 1-12a <-3a =-1-12a <-3a =-p 4)1(2-+++=p k px x y 04)1(2=-+++p k px x 04)1(2=-+++p k px x 21,x x 4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++（1）若，则方程为，它有两个整数根和．（2）若，则.因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.又因为为质数，由①式知或．不妨设，则可设（其中m 为非零整数），则由①式可得，故，即．又，所以，即② 如果m 为正整数，则，，从而，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则，，从而，与②式矛盾.因此，时，方程不可能有整数根． 综上所述，．技巧提升：由于方程两根之和为质数，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的1k =0)2(22=-++p px x 2-2p -1k >01>-k 12x x p +=-21,x x 21,x x p 2|1+x p 2|2+x p 2|1+x p 12x mp +=212k x m-+=121(2)(2)k x x mp m-+++=+1214k x x mp m-++=+12x x p +=-14k p mp m--+=+41)1(=-++mk p m (1)(11)36m p +≥+⨯=10k m->1(1)6k m p m-++>(1)0m p +<10k m-<1(1)0k m p m-++<1>k 04)1(2=-+++p k px x 1=k p特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程的根应为，要使得其根为整数，根的判别式的值必须是完全平方数．由于是质数，因此当的值是完全平方数时，关于的二次三项式必然等于（为非负整数），也就是说应成为关于的一个完全平方式，因此可得其，可解得，（舍去）．三．学力训练检测自己能力，体验成功乐趣！ 1．选择题：（1）（天津市中考题）已知二次函数()的图象如图10-6所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4（图10-6）（图10-7）（图10-8）（2）(百色市中考题)二次函数ｙ＝－ｘ2＋bx ＋ｃ的图象如图10-7所示，下列几个结论：①对称轴为ｘ＝2；②当ｙ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y ＝－ｘ(x －４)；④当04)1(2=-+++p k pxx216)1(42++-±-=p k p p x 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p 2)(n p ±n 16)1(42++-p k p p 064)1(162=-+=∆k 11=k 32-=k 2y ax bx c =++0a ≠240bac ->0abc >80a c +>930a b c ++<x ≤0时，y 随x 的增大而增大.其中正确的结论有（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①③④ D ．①③（3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）A ．B ．C ．D ．（4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A ．5B ．6 C ．7 D ．82．填空题：（1）（新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（玉溪市中考题）如图10-9是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①＞0；②++＜0；③2-＜0；④2+8＞4中正确的是（填写序号）．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y =x 2-2006|x |+2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于2y x mx n =++51249173612)0(2≠++=a c bx ax y c a b c a b b a a c__________．(4)（全国初中数学联合竞赛题）二次函数的图象与轴正方向交于A ，B 两点，与轴正方向交于点C ．已知，，则．3.（佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程的根在图上近似的表示出来（描点）； （3）观察图象，直接写出方程的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（长沙市中考题）已知：二次函数的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为、，求的范围．c bx x y ++=2x y AC AB 3=︒=∠30CAO c =xx y 22-=122=-x x 122=-x x22y ax bx =+-1x 2x 12||x x -5.（肇庆市中考题）已知二次函数的图象过点（2，1）．（1）求证：； （2）求的最大值；（3）若二次函数的图象与轴交于点，，，，的面积是，求．6．(2007年全国初中数学联合竞赛试题)设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 8．（全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数的图象经过两点P ，Q .（1）如果都是整数，且，求的值. （2）设二次函数的图象与轴的交点为A 、B ，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整12+++=c bx x y P 42--=b c bc x 1(x A )02(x B )0ABP ∆43b n m ,2≠m mt x mt x y 3)3(2--+=x 1d nt x n t x y 2)2(2+-+-=x 2d 21d d ≥t n m ,2y x =c x t y --=)12(),(11y x ),(22y x 3222221-+=+t t x x 2y x bx c =+-(1,)a (2,10)a ,,a b c 8c b a <<,,a b c 2y x bx c =+-x y x 20x bx c +-=数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系参考答案 1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ；2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2)②、④；（3）0；(4)．3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数； （3）方程的根为-0.4、 2.4.4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k ≠0)．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ． ∴一次函数的表达式为y ＝－bx ． （2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2 由得①∵△＝19x x y 22-=122=-x x 122=-x x≈1x ≈2x 2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩22(2)20ax a x +--=224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴ ∴或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2，∴2>a>1 令函数，∵在1<a<2时y 随a 增大而减小， ∴，∴． 5.解：（1）∵的图象过点（2，1） ∴ ∴（2） 当时，此时， ∴当时，有最大值，最大值为2。
九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别
二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x =2ab-,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。
二次函数与一元二次方程的关系
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
浅谈二次函数与一元二次方程的联系
浅谈二次函数与一元二次方程的联系摘要：二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。
函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。
探索二次函数的图象的作法和性质的过程，能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质。
通过学生之间的交流互动，进行图象与图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系。
一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处，更多的地方需要在实践中去慢慢体会，并理解函数的意义,记住函数的几个表达形式，注意区分。
关于一元二次方程的学习任务，并要求学生们独立完成，从而让学生有针对性地进行课程学习，最终提高学生的学习效率和质量。
完善初中数学课程评价标准，从而提高数学课堂的教学质量，老师要根据每一位学生的心理特点、学习能力以及成果进行综合评价，并根据最终的评价结果给予学生适当的鼓励和支持，以增强学生的学习自信心。
关键词：动手实践自主探索合作交流自身思维营造高效一元二次方程与二次函数它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。
这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，方程中的很多知识点可以运用在函数中。
函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。
它们在形式上几乎相同，二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。
初中数学课程标准指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
二次函数与一元二次方程及不等式的关系探析
程 ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解
（或称无实数根）。
二次函数是我们初中数学中的一个
难点，我们一定要掌握好二次函数与一元
二次方程的关系，使我们在面对二次函数
时，能够巧妙地结合方程来解决二次函数 的相关问题。
四、进一步的拓展应用
在二次函数与一元二次方程关系的 基础上，我们其实还可利用二次函数的图 像去解一元二次不等式，我们可以结合二 次函数图像与 x 轴交点的情况来判断一 元二次不等式的解集；下面以 a>0 为例说 明，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴无交 点时，不等式 ax2+bx+c>0（或 <0）（a>0）的 解集为全体实数或无解；抛物线
参考文献： [1]石慧英，秦继东.从“有形无图”到 “以形助数”— —— 一道中考题的解法与变 式探究[J].中学数学，2020(14):67-69. [2]仓猛.复习课“三个关注”：目标、教 材与“考向”———以“二次函数与一元二次 方程”复习课为例[J].中学数学，2019(22): 41-42. [3]徐章韬.从二次函数到一元二次方 程———教育数学研究之九[J].教育研究与 评论(中学教育教学)，2019(08):43-46. [4]沈莉.基于机会的教学立意———以 “二次函数与方程、不等式的关系”教学为 例[J].中学数学，2018(18):10-12. [5]陆炜锋.重新建构学材，提升学习 能力—— —以“二次函数与一元二次方程” 教学为例[J].中学数学，2017(18):15-17.
2021·9
解：（1）①当 m=0 时，原方程可化为
x-2=0，解得 x=2；
②当 m≠0 时，方程为一元二次方程，
二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、 不等式
1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等 式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是: ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.
(2)当Δ =0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0 (a>0)的解集分别是什么? 提示:R,{x|x=x1}
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( ) (2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+ bx+c>0的解集为R. ( )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等 式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. ( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的 解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )
三个“二次”之间的关系
一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.其中二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，应认真研究、熟练掌握.本文主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.首先，我们来回顾一下三个“二次”的基本关系：接下来，我们一起来谈谈有关三个“二次”的四类重要题型：（一）解含参二次不等式例1 解关于x的不等式：ax2+（a-1）x-1>0（a∈R）分析当a=0时，此不等式为一次不等式，可直接求出不等式的解集；当a≠0时，要分a>0与a<0两种情况进行讨论，再看方程ax2+（a-1）x-1=0根的情况.解①当a=0时，得x<-1.②当a>0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）>0，解得x1a.③当a<0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）<0，若1a<-1，即-1 若1a=-1，即a=-1，则不等式解集为空集；若1a>-1，即a<-1，则-1<x<1a.综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|x1a}；当a=0时，不等式的解集为{x|x<-1}；当-1 当a=-1时，不等式解集为空集；当a<-1时，不等式解集为{x|-1<x<1a}.变式若关于x的不等式ax2+（a-1）x-1>0的解集为{x|x12}，求实数a的值.由一元二次不等式与二次方程的关系，借助根与系数的关系可得：a>0，12?（-1）=-1a，12+（-1）=-a-1a，解得a=2.解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.注意：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向.（2）判断方程的根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系.（3）确定无根或有一根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集.（二）二次函数在给定区间上的最值问题例2 求函数f（x）=x2-2ax，x∈[0，4]的最小值与最大值.分析函数f（x）在区间[0，4]上的单调性不确定，因此需对对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.解 f（x）的对称轴为x=a.当a≤0时，f（x）在[0，4]上单调递增，f（x）min=f（0）=0；当0 当a≥4时，f（x）在[0，4]上单调递减，f（x）min=f（4）=16-8a.所以f（x）min=0，-a2，16-8a， a≤0，0 a≥4.f（x）max=max{f（0），f（4）}=0，16-8a， a≥2，a<2.变式1 已知函数f（x）=-x2+8x，求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）.解 f（x）的对称轴为x=4.当t+1≤4即t≤3时，h（t）=f（t+1）；当t<4<t+1即3<t<4时，h（t）=f（4）；当t≥4时，h（t）=f（t）.所以h（t）=-t2+6t+7，16，-t2+8t， t≤3，3<t<4，t≥4.变式2 已知函数y=-x2+ax-a4+12在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.解令f（x）=-x2+ax-a4+12，函数的对称轴为x=a2，当a2≥1即a≥2时，ymax=f（1）=-12+34a=2.解得a=103∈[2，+∞）.当0 当a2≤0即a≤0时，ymax=f（0）=-a4+12=2，解得a=-6∈（-∞，0].所以a=103或a=-6.求解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在给定区间[p，q]上的最值问题：实际上是研究函数在[p，q]上的单调性.常用方法是：（1）当a>0时求最小值或当a0时最大值为max{f（p），f（q）}，当a<0时最小值为min{f（p），f（q）}.（三）一元二次不等式恒成立问题例3 已知不等式mx2-2x-m+1<0.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.分析（1）不等式mx2-2x-m+12，不等式不恒成立；当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即m<0，Δ=4-4m（1-m）<0，则m无解.综上可知不存在这样的m.（2）从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，由于已知m的取值范围，不妨换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式在m∈[-2，2]上恒成立，求参数x的范围.解设g（m）=（x2-1）m+（1-2x），则其为一个以m为自变量的一次函数（或常函数），其图象是线段，由题意知当-2≤m≤2时该线段在x轴下方，即g（m）max<0.所以g（-2）<0，g（2）<0，即-2x2-2x+3<0，2x2-2x-1<0.解得-1+72<x<1+32.所以x的取值范围为{x|-1+72<x<1+32}.变式1 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）是减函数，如果当x∈[0，1]时不等式f（1-2x2+4a2）+f（4ax-3）≥0恒成立，求a的取值范围.解由题意得，f（x）是奇函数，所以f（1-2x2+4a2）≥f（3-4ax），又因为f（x）在R上是减函数，所以1-2x2+4a2≤3-4ax，即x2-2ax+1-2a2≥0对x∈[0，1]恒成立.下面转化为二次函数在给定区间上的最值问题：令g（x）=x2-2ax+1-2a，对称轴为x=a，当a≤0时，g（x）min=g（0）=1-2a2≥0，得-22≤a≤0；当0 当a≥1，g（x）min=g（1）=2-2a-2a2≥0，因为a≥1，所以无解.综上，{a|-22≤a≤33}.变式2 设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[32，+∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f （m）恒成立，则实数m的取值范围是.解由题意得：（xm）-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）恒成立，即（1m2-4m2-1）x2+2x+3≤0恒成立，即1m2-4m2-1≤-2x-3x2恒成立.因为g（x）=-2x-3x2=-3x2-22在[32，+∞）上是增函数，故当且仅当1m2-4m2-1≤g（32））即可.解得m≤-32或m≥32.解决一元二次不等式恒成立问题的方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁做主元，求谁的范围，谁就是参数.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.1.一元二次不等式在x∈R上恒成立：（用Δ法）ax2+bx+c>0（a≠0）a>0，Δ<0；ax2+bx+c<0（a≠0）a<0，Δ<0.注意：a=0的情况.2. 一元二次不等式在区间上恒成立：①化归为区间最值问题：f（x）>0f（x）min>0；f（x）<0f（x）max<0.②分离参数法：a≥f（x）恒成立a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立a≤f（x）min.以上就是对三个“二次”之间关系的几种题型的处理. 综合起来，可以这样说：一元二次方程是寻找二次函数图象上的点；一元二次不等式是截取二次函数图象上的一段，而研究二次函数则是探索无数函数中的一类特殊的函数关系.。
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数,与二次三项式一元二次方程之间的内在联系
二次函数，与二次三项式一元二次方程之间的内在联系全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：二次函数与二次三项式一元二次方程之间存在着密切的内在联系。
二次函数是一种以x的二次幂为特征的函数形式，通常表示为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
而二次三项式一元二次方程则以一元二次方程形式呈现，即ax^2 + bx + c = 0。
在分析这两者之间的内在联系时，我们需要逐步深入探讨它们的数学特性以及其在实际问题中的应用。
我们来看二次函数和二次三项式一元二次方程之间的数学关系。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，对称轴为直线x = -b/2a。
而二次三项式一元二次方程的解则体现了抛物线与x轴的交点，即方程的根。
这些根可以是两个实数根，一个重根或者两个复数根，这些根的性质直接与二次函数的性质相关联。
在实际求解问题中，我们常常通过解二次三项式一元二次方程的根来求解二次函数的最值、零点和图像的特征。
二次函数和二次三项式一元二次方程在实际问题中的应用也体现了它们之间的内在联系。
二次函数在物理学、工程学和经济学等领域中有着广泛的应用。
一个抛物线代表一个抛出运动的轨迹，其顶点坐标可以表征运动的最高点；在工程学中，二次函数可以代表一些材料的磨损情况，以及一些机械零件的运动规律。
而二次三项式一元二次方程则可以用于解决各种实际问题，比如求解抛物线与x轴的交点所代表的物理问题，以及计算某些工程模型中的未知量。
这些应用场景进一步体现了二次函数与二次三项式一元二次方程之间的内在联系，它们在解决实际问题时常常相互联系、相互补充。
二次函数和二次三项式一元二次方程还有许多其他数学特性和性质，比如判别式、因式分解、完全平方公式等。
这些特性和性质不仅可以帮助我们更好地理解二次函数与二次三项式一元二次方程之间的关系，还可以应用于实际问题的求解过程中。
二次函数与二次三项式一元二次方程之间的内在联系体现了数学领域中不同概念之间的协同作用。
人教版九年级数学上册第22章：二次函数与一元二次方程
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a、b、c为常数)一个解
x的范围是（ C ）
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26
随堂即练
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一 元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2= -1.
B.第一、二、三象限
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
能力提升
已知二次函数 y x2 6x 8的图象,利用图象回答问题：
（1）方程 x2 6x 8 0的解是什么？ y
（2）x取什么值时,y>0 ？
8
（3）x取什么值时,y<0 ？
解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4.
如：y=5时,则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
新课讲解
所以二次函数与一元二次方程联系密切．
例如,已知二次函数y = －x2＋4x的值为3,求自变量x的 值,可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－ 4x=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0,求自变量x的值．
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
新课讲解
3 图象法解一元二次方程
由前面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方
程的根.由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是
近似的．
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的
二次函数与二次方程二次不等式的关系
二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。
知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。
研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
二次函数与一元二次方程、不等式
§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x <x 1，或x >x 2}xx ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅思考 一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？答案 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合． 知识点二 简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法：思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？ 答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 知识点三 一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔a >0，Δ<0；ax2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔a <0，Δ<0.2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．1．不等式2x 2－x －1>0的解集是________． 答案xx <－12或x >1解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0， 解得x <－12或x >1， ∴不等式的解集为xx <－12或x >1. 2．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为________． 答案 －2,3解析 不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别－2,3. 3．不等式x －2x －1<0的解集为________． 答案 {x |1<x <2}解析 原不等式⇔(x －1)(x －2)<0，∴1<x <2. 4．不等式1x ≤1的解集为________． 答案 {x |x ≥1或x <0}解析 ∵1x ≤1，∴x －1x ≥0，∴x (x －1)≥0，x ≠0， ∴x ≥1或x <0.5．若方程x 2＋ax ＋1＝0的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 －2<a <2解析 由题意可得a 2－4<0，所以－2<a <2.6．对∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由题意可得22－4m <0，所以m >1.一、一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0.解 (1)原不等式可化为2x 2－x ＋6>0.因为方程2x 2－x ＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y ＝2x 2－x ＋6的图象开口向上，与x 轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R .(2)原不等式可化为x 2－6x ＋9≤0，即(x －3)2≤0，函数y ＝(x －3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x |x ＝3}． (3)方程x 2－2x －3＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3.函数y ＝x 2－2x －3的图象是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0.解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． 二、含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1； 当2a <－1，即－2<a <0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为xx ≥2a 或x ≤－1；当－a <0时，不等式的解集为x2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为x－1≤x ≤2a . 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．跟踪训练2 解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0. 解 原不等式可化为[x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0，讨论a ＋1与2(a －1)的大小．(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，不等式的解为x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，不等式的解为x ≠4.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，不等式的解为x >2(a －1)或x <a ＋1. 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x ≠4}，当a >3时，不等式的解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}． 三、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用例3 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系（韦达定理）可知b a ＝－5，ca ＝6. 由a <0知c <0，bc ＝－56， 故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋ac >0，即x 2－56x ＋16>0， 解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为xx <13或x >12.延伸探究1．若本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． 解 由根与系数的关系知ba ＝－5，c a ＝6且a <0.∴c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0， 即x 2－b c x ＋ac <0，即x 2＋56x ＋16<0. 解得－12<x <－13，故原不等式的解集为x－12<x <－13.2．若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是x－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 方法一 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为x－13≤x ≤2知a <0.又－13×2＝ca <0，则c >0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又ca ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为 －23a x 2＋－53a x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，故所求不等式的解集为x－3<x <12.方法二 由已知得a <0 且 －13＋2＝－b a ，－13×2＝ca 知c >0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ， 其中a c ＝1－13×2＝－32， －bc ＝－ba c a ＝ －13＋2－13×2＝－52， ∴x 1＝1－13＝－3，x 2＝12. ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0(c >0)的解集为x－3<x <12.反思感悟 已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．跟踪训练3 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．解 ∵x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,2.由根与系数的关系得－a ＝1＋2，b ＝1×2，得a ＝－3，b ＝2， 代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1>0. 解得x <12或x >1. ∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为xx <12或x >1. 四、简单的分式不等式的解法 例4 解下列不等式： (1)x ＋12x －1<0； (2)1－x3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1. 解 (1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0，∴－1<x <12， 故原不等式的解集为x－1<x <12. (2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0， ∴(x －1)(3x ＋5)≤0，3x ＋5≠0，∴－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1. 故原不等式的解集为x－53<x ≤1. (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0， ∴x －1－(x ＋2)x ＋2>0，－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}．反思感悟 分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转 化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 跟踪训练4 解下列不等式： (1)x ＋1x －3≥0； (2)5x ＋1x ＋1<3. 解 (1)不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3.即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0， 即2(x －1)x ＋1<0. 可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0， 解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 五、不等式的恒成立问题例5 对∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1<0，求m 的取值范围． 解 若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒解得－4<m <0. 综上，m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}． 延伸探究1．在本例中，是否存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 显然m ＝0时不等式不成立；由题意可得m >0，Δ＝m 2＋4m <0，解得m ∈∅，所以不存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0.2．在本例中，把条件“∀x ∈R ”改为“x ∈{x |2≤x ≤3}”，其余不变，求m 的取值范围． 解 由不等式mx 2－mx －1<0得m (x 2－x )<1，因为x ∈{x |2≤x ≤3}，所以x 2－x >0， 所以m (x 2－x )<1可化为m <1x 2－x，因为x 2－x ＝x －122－14≤6，所以1x 2－x≥16，所以m <16. 即m 的取值范围是mm <16.反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．跟踪训练5 若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 答案 {k |－3<k ≤1}解析 当k ＝1时，－1<0恒成立；当k ≠1时，由题意得k －1<0，(k －1)2＋4(k －1)<0，解得－3<k <1，因此实数k 的取值范围为{k |－3<k ≤1}．1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.x－1<x <13 B.x13<x <1C ．∅ D ．R2．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.xx >3或x <－12 C.xx ≥3或x ≤－12 B.x－12≤x ≤3 D ．R3．已知集合U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，∁U A 等于( ) A ．{x |1<x <3} B ．{x |x <1或x ≥3} C ．{x |x <－1或x ≥3}D ．{x |x <－1或x >3}4．若0<m <1，则不等式(x －m )x －1m <0的解集为( )A. x 1m <x <m C. x x >m 或x <1mB. x x >1m 或x <m D.x m <x <1m 5．不等式1＋x 1－x≥0的解集为( ) A ．{x |－1<x ≤1} B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x 1<x <1} 6．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝ x x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}7．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．8．不等式x ＋1x ≥5的解集是________．9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 D 解析 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .2、答案 C解析 3＋5x －2x 2≤0⇒2x 2－5x －3≥0⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－12.3、答案 C解析 ∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．4、答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m >1>m ，故原不等式的解集为x m <x <1m . 5、答案 B解析 原不等式⇔(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.6、答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．7、答案x 12<x <1 解析 ∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得 －12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3， ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.8、答案x 0<x ≤14 解析 原不等式⇔x ＋1x －5≥0⇔4x －1x ≤0⇔ x (4x －1)≤0，x ≠0，解得0<x ≤14. 9、答案 a >4或a <－4解析 ∵x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，∴Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.1．知识清单：(1) 二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用．(2) 简单的分式不等式的解法．(3) 不等式的恒成立问题．2．方法归纳：数形结合、分类讨论、转化、恒等变形．3．常见误区：(1) 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准．(2) 解分式不等式要等价变形．。
一元二次方程与二次函数知识点总结归纳
（3）公式法
、
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
；
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
一元二次方程 的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
根的判别式：一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
如果方程 的两个实数根是 ，那么 ， 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
|
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .
一元二次方程与二次函数的联系与区别
一元二次方程与二次函数的联系与区别一元二次方程和二次函数是高中数学中重要的概念，它们在数学领域有着广泛的应用和深远的意义。
本文将讨论一元二次方程和二次函数之间的联系与区别。
一、联系一元二次方程和二次函数都涉及到二次项、一次项和常数项，它们之间有很多联系。
1. 二次项系数代表抛物线的开口方向一元二次方程和二次函数的特点是二次项的系数。
在一元二次方程ax² + bx + c = 0 中，a 表示二次项的系数，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
同样地，在二次函数 y = ax² + bx + c 中，a 表示二次项的系数，其符号与一元二次方程保持一致，也能描述抛物线的开口方向。
2. 判别式和判别式与图像的关系一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac 表示二次方程的根的性质。
当Δ>0 时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0 时，方程有两个相等的实根；当Δ<0 时，方程没有实根。
而对于二次函数 y = ax² + bx + c，判别式与函数的图像也有关系。
当Δ>0 时，函数的抛物线与 x 轴有两个交点；当Δ=0 时，函数的抛物线与 x 轴有一个切点；当Δ<0 时，函数的抛物线与 x 轴没有交点。
3. 解和零点一元二次方程是通过解方程来求得变量的值，方程的解即为方程的根。
而二次函数则是通过求函数的零点来求得变量的值，即函数在 x轴上的解。
一元二次方程和二次函数的解或零点有着一一对应的关系。
二、区别虽然一元二次方程和二次函数有很多联系，但它们之间也存在明显的区别。
1. 表达方式的不同一元二次方程的表达方式是通过等式来表示，例如 ax² + bx + c = 0。
而二次函数是通过方程 y = ax² + bx + c 来表示的，其中 y 表示函数的值，x 表示自变量的值。
2. 求解的对象不同一元二次方程的求解对象是方程中的变量，通过求解方程可以得到方程的根。
人教版九年级上第二十二章 二次函数 22.2 二次函数一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标（一）学习目标1．了解一元二次方程的根的几何意义，知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. （二）学习重点：1. 二次函数与一元二次方程之间的联系.2. 用图象法求一元二次方程的近似根并且估算.（三）学习难点：1. 理解一元二次方程的根在二次函数中的意义.2．用函数观点看一元二次方程，二次函数与一元二次方程的区别与联系. 3. 体会数形结合解决问题的思想方法.二、教学设计（一）课前设计 1. 预习任务: 二次函数2yax bx c 的图象与x 轴的交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：①有两个不相等的实数根，②有两个相等的实数根，③没有实数根(二)课堂设计1. 知识回顾（1）二次函数的定义：形如20yax bx c a b c a（、、为常数，）的函数，叫做二次函数.（2）二次函数的图象和性质：二次函数2y ax bx c 的图象是一条抛物线，当0a 时，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小，当2bx a时，y 随着x 的增大而增大； 当0a 时，当2bxa时，y 随着x 的增大而增大，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小. （3）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）（4）一元二次方程20ax bx c 的根的情况怎样判定：用根的判别式：ac b d 42-= ①当d ＞0时，方程20ax bx c 有两个不相等的实数根； ②当d=0时，方程20ax bx c 有两个相等的实数根； ③当d<0时，方程20ax bx c 没有实数根. 2. 问题探究探究一 二次函数与一元二次方程之间的联系 重点、难点知识★▲ ●活动① 通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系问题 如图，以40m s 的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位: m ）与飞行时间t （单位: s ）之间具有函数关系 师问：考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20m ？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 一般地，我们可以利用二次函数2y ax bx c 深入讨论一元二次方程20ax bx c . 师问：二次函数223yx x ，221yx x ，222yx x 的图象如下图所示，每个图象与x 轴有几个交点？223yx x 的图象 221yx x 的图象 222y x x 的图象师问：一元二次方程2230x x ，2210x x 有几个实数根？用判别式验证一下. 一元二次方程2220x x 有实数根吗？.师问：二次函数2yax bx c 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程20ax bx c 的根有什么关系？ 总结：一般地，从二次函数2y ax bx c 的图象可得如下结论：（1）抛物线2yax bx c 与x 轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.反之亦然.（即：由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系） （2）如果抛物线2y ax bx c 与x 轴有交点，交点的横坐标是0x ，那么当0xx 时，函数值是0，因此0xx 是一元二次方程20ax bx c 的一个根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的. 探究二 利用二次函数的图象求一元二次方程的根 ●活动② 通过例子，解决问题例 利用函数图象求方程2220x x 的实数根（结果保留小数点后一位）.解：画出函数222yx x 的图象（图22.2－3），它与x 轴的公共点的横坐标大约是7.0-、2.7，所以方程2220x x 的实数根为7.01-≈x ，7.22≈x（图22.2－3）我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 观察函数222yx x 的图象，可以发现，当自变量为2时函数值小于0（点(2,2)在x 轴的下方），当自变量是3时函数值大于0，（点(3,1)在x 轴的上方）.所以抛物线222yx x 在23x 这一段经过x 轴.（抛物线没有间断点，因而抛物线从x 轴下方通过x 轴上方时一定经过x 轴.）也就是说，当自变量取2,3之间的某个值时，函数值为0，即方程2220x x 在23，之间有根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.（每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半.）例如，取2,3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0,0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5,2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.5625,2.75之间，在2.6875,2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在的范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于2.6875 2.750.06250.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.你能用这种方法得出方程2220x x 的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？这种求根的近似值的方法也适用于更高的一元方程.【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： （1） 画出函数的图象（可用计算机画）；（2）根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间； 可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. （3）确定方程的近似根.探究三 例题讲解 学以致用 ●活动① 基础性例题例1：抢答：判断下列抛物线与x 轴的交点个数. （1）2242yx x （2）2621yx x （3） 2324y x x【答案】一个交点，没有交点，两个交点． 练习：二次函数2340y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，则线段AB 长为 ．【答案】13例2 （1）已知二次函数277y kx x 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围为（ ）A ．74kB ．047≠-≥k k 且 C ．74k D ．704k k -≠＞且 【答案】B （2）若二次函数23yx x m 的图象全部在x 轴的下方，则m 的取值范围为 ． 【答案】94m． 练习：抛物线2yx x b 的图象全部在x 轴的上方，则b 的取值范围为 ．【知识点】抛物线与x 轴的交点问题 【答案】14b●活动② 提升型例题 例3 下表是一组二次函数235yx x 的自变量x 与函数值y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y﹣1﹣0.490.040.591.16那么方程2350x x 的一个近似根是（ ） A ．1 B ．1.1 C ．1.2 D ．1.3【答案】C练习：在平面直角坐标系中，抛物线20yax bx c a （）的部分图象如图所示，直线1x 是它的对称轴．若一元二次方程20ax bx c 的一个根1x 的取值范围是123x ，则它的另一个根2x 的取值范围是 ．【答案】210x●活动③ 探究型例题例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233yx x 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ．（1）填空：点A 的坐标为（ ， ），点B 的坐标为（ ， ），点C 的坐标为（ ， ），点D 的坐标为（ ， ）； （2）点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；【答案】(1) 0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、83；（2）① 35(,)22E -，② 3522EF =或；练习：如图，抛物线2y ax bx =+过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标． 【答案】24y x x =-+,3 , （5，﹣5） 3. 课堂总结 【知识梳理】（1）填表：二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=的关系：判别24b ac - 0∆> 0∆= 0∆<函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象0a >0a <20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根12,x x有两个相等的实数根122b x x a==-没有实数根抛物线与x 轴 的交点情况有两个交点 有一个交点 无交点（2）一般地：已知二次函数2y ax bx c =++的函数值为m ，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程2ax bx c m ++=．反之，解一元二次方程2ax bx c m ++=又可以看作已知二次函数2y ax bx c =++的值为m 的自变量x 的值．（3）利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： ①画出函数的图象（可用计算机画）；②根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；③可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. ④确定方程的近似根. 【重难点归纳】1. 注意抛物线与x 轴的交点与抛物线的对称轴之间的关系：当已知方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x 时，那么抛物线2y ax bx c =++的对称轴为122x x x +=. 2. 注意四个“二次”之间的区别与联系，即二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次三项式；利用他们之间的转化解决问题.（1）二次三项式2ax bx c ++恒正⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴上方0a ⇔>且0∆<； （2）二次三项式2ax bx c ++恒负⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴下方0a ⇔<且0∆<. 3. 利用二次函数图象求不等式解集的方法：“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“0,0y y ><或0,0y y ≥≤”，从图象看是指曲线在x 轴上方或x 轴下方时的x 值（对应的自变量x 的取值范围）。
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二次函数与一元二次方程的联系和区别
一、二次函数
1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）
①a>0时，开口方向向上
②a<0时，开口方向向下
③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大
④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）
⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = 2a
b -,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2a
b -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）
②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]
③交点式：y=a(x- x 1 )(x- x 2) [仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]
(6)抛物线与x 轴交点个数 Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b
2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程
y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2
+bx+c=0
三、两者之间的联系
①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时
②方程的根x
1，x
2
是使ax2+bx+c为零的x的取值
③x
1，x
2
对应图像上是ax2+bx+c=y函数与x轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax2+bx+c=0的x的个数即是ax2+bx+c=y y=0,为ax2+bx+c=y图
像与x轴的交点个数。
⑤可以同时利用△，方程用它来判断根的个数△=0方程两个相等的实根
△﹥0方程两个不等的实根
△﹤0方程无实根
函数用它来判断图像与x轴的交点个数
△=0图像一个（两个相等）交点
△﹥0方程两个不等的交点
△﹤0方程无交点
四、区别
①说白了ax2+bx+c=0就是ax2+bx+c=y， y=0时的特例。
我们研究函数是研究许多点
组成的图像，研究方程是研究图像上至多一个或两个特殊的点。
②函数和方程有区别，是整体概念与特殊的区别。
学习时要联系起来，又不可以简单的混淆。