《用三角函数解决问题》课件2
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初中数学 九年级(下册)
7.6 用锐角三角函数解决问题
概念回顾
1.我们学过哪些三角函数？ 2.还记得哪些特殊角的三角函数值？ 3.勾股定理有哪些重要知识点？
【例题讲解】
1.如图,水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的 坡角为30°，背水坡AD的坡度为1:1.2，坝顶宽DC ＝2.5m，坝高4.5m．
∴
x50tan27tan40. tan40tan27
答：气球的高度约为64.9m.
【练习】
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则
BC∶AC∶AB ＝
．
在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC∶AC∶AB
＝．
2．在△ABC中，∠C＝90°． （1）已知∠A＝30°，BC＝8cm，求AB与AC的长； （2）已知∠A＝60°，AC＝8cm，求AB与BC的长．
作BC⊥OA，垂足为C.
在Rt△OCB中， OC=OB·cos∠BOC=20×cos60°=20×
1 2
=10，
AC=AO－CO=20－10=10.
因为摩天轮底部与地面相距0.3m，所以小明离
地面的高度应为10.3m.
答：2min后小明离地面10.3m.
【拓展与延伸】
活动1 根据问题情境，完成下面的问题： (1) 摩天轮转动多长时间后，小明离地面的 高度将首次达到15.3m? (2) 摩天轮转动一周，小明在离地面30.3m以 上的空中有多长时间?
EB=CE·tan∠BCE=4.5×tan60°.
在Rt△AFD中，
∵ DF
AF
=1∶1.2，
∴AF=1.2DF=1.2×4.5=5.4.
又FE=DC=2.5，
∴AB=AF+FE+EB=5.4+2.5+4.5×tan60°≈15.7.
思考:在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防 汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5m，背水 坡AD的坡度改为1:1.4，已知堤坝的总长度为5km，求 完成该项工程所需的土方(精确到0.1m3)．
DC
Aβ
FE
αBห้องสมุดไป่ตู้
【例题讲解】
2.游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要 12min．小明从摩天轮的底部(与地面相距0.3m）出 开始观光，2min后小明离地面多高？
解：如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示
小明的出发点和2min后的到达点.由题意知，
OB=20，∠BOA=360°÷6=60°.
求:(1)背水坡AD的坡角(精确到0.1°)； (2)坝底宽AB的长(精确到0.1m).
DC
Aβ
FE
α B
解:作CE⊥AB，垂足分别为E、F.
(1)背水坡AD的坡度
i=tanβ=1∶1.2=
5 6
.
用计算器计算，得β≈39.8°.
(2）在Rt△BEC中，
∠α=30°，∠BCE=90°－30°=60°，
【练习】
3．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场 台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰 好接触到坡面．已知山坡的坡角 ∠BAC＝38º，量得树干 倾角∠AEF＝23º，大树被折断部分和坡面所成的角 ∠ADC＝60º，AD＝4m． （1）求∠CAE的度数； （2）求这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参
考数据 2 1.4 ， 3 1.7 ， 6 2.4 ）．
【练习】
4.单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB′的位
置时, ∠BAB′ ＝11°,问这时摆球B′A较最低点B升
高了多少(精确到1cm)?
sin110.191cos110.982 tan 110.194
【练习】
5.如图，秋千链子的长度为3m，当秋千向两边摆 动时，两边的摆动角度均为30º．求它摆动至最高位 置与最低位置的高度之差（结果保留根号）．
【例题讲解】
3.为了测量停留在空中的气球高度，小明在某处利用 测角仪测得气球的仰角（从低处观测高处的目标时， 视线与水平线所成的锐角）为27°，然后他沿气球方 向前进了50m,再次测得仰角为40°.如果测角仪高度忽 略不计, 那么气球的高度是多少（精确到0.1m)？
C
A
B
D
解：如图，点A、B、C分别表示小明两
次观测处及气球位置.由题意知，
∠CAD=40°，CD⊥AD，AB=50m，设
CD=xm.
在Rt△BCD中，
由tan40°=
CD BD
，得BD=
在Rt△ADC中，由
ta
x n4
0
.
tan27°=
CD AD
，得
∵ AD－BD=50，
AD
x. tan27
∴ x x 50.
tan27 tan40
7.6 用锐角三角函数解决问题
概念回顾
1.我们学过哪些三角函数？ 2.还记得哪些特殊角的三角函数值？ 3.勾股定理有哪些重要知识点？
【例题讲解】
1.如图,水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的 坡角为30°，背水坡AD的坡度为1:1.2，坝顶宽DC ＝2.5m，坝高4.5m．
∴
x50tan27tan40. tan40tan27
答：气球的高度约为64.9m.
【练习】
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则
BC∶AC∶AB ＝
．
在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC∶AC∶AB
＝．
2．在△ABC中，∠C＝90°． （1）已知∠A＝30°，BC＝8cm，求AB与AC的长； （2）已知∠A＝60°，AC＝8cm，求AB与BC的长．
作BC⊥OA，垂足为C.
在Rt△OCB中， OC=OB·cos∠BOC=20×cos60°=20×
1 2
=10，
AC=AO－CO=20－10=10.
因为摩天轮底部与地面相距0.3m，所以小明离
地面的高度应为10.3m.
答：2min后小明离地面10.3m.
【拓展与延伸】
活动1 根据问题情境，完成下面的问题： (1) 摩天轮转动多长时间后，小明离地面的 高度将首次达到15.3m? (2) 摩天轮转动一周，小明在离地面30.3m以 上的空中有多长时间?
EB=CE·tan∠BCE=4.5×tan60°.
在Rt△AFD中，
∵ DF
AF
=1∶1.2，
∴AF=1.2DF=1.2×4.5=5.4.
又FE=DC=2.5，
∴AB=AF+FE+EB=5.4+2.5+4.5×tan60°≈15.7.
思考:在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防 汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5m，背水 坡AD的坡度改为1:1.4，已知堤坝的总长度为5km，求 完成该项工程所需的土方(精确到0.1m3)．
DC
Aβ
FE
αBห้องสมุดไป่ตู้
【例题讲解】
2.游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要 12min．小明从摩天轮的底部(与地面相距0.3m）出 开始观光，2min后小明离地面多高？
解：如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示
小明的出发点和2min后的到达点.由题意知，
OB=20，∠BOA=360°÷6=60°.
求:(1)背水坡AD的坡角(精确到0.1°)； (2)坝底宽AB的长(精确到0.1m).
DC
Aβ
FE
α B
解:作CE⊥AB，垂足分别为E、F.
(1)背水坡AD的坡度
i=tanβ=1∶1.2=
5 6
.
用计算器计算，得β≈39.8°.
(2）在Rt△BEC中，
∠α=30°，∠BCE=90°－30°=60°，
【练习】
3．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场 台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰 好接触到坡面．已知山坡的坡角 ∠BAC＝38º，量得树干 倾角∠AEF＝23º，大树被折断部分和坡面所成的角 ∠ADC＝60º，AD＝4m． （1）求∠CAE的度数； （2）求这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参
考数据 2 1.4 ， 3 1.7 ， 6 2.4 ）．
【练习】
4.单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB′的位
置时, ∠BAB′ ＝11°,问这时摆球B′A较最低点B升
高了多少(精确到1cm)?
sin110.191cos110.982 tan 110.194
【练习】
5.如图，秋千链子的长度为3m，当秋千向两边摆 动时，两边的摆动角度均为30º．求它摆动至最高位 置与最低位置的高度之差（结果保留根号）．
【例题讲解】
3.为了测量停留在空中的气球高度，小明在某处利用 测角仪测得气球的仰角（从低处观测高处的目标时， 视线与水平线所成的锐角）为27°，然后他沿气球方 向前进了50m,再次测得仰角为40°.如果测角仪高度忽 略不计, 那么气球的高度是多少（精确到0.1m)？
C
A
B
D
解：如图，点A、B、C分别表示小明两
次观测处及气球位置.由题意知，
∠CAD=40°，CD⊥AD，AB=50m，设
CD=xm.
在Rt△BCD中，
由tan40°=
CD BD
，得BD=
在Rt△ADC中，由
ta
x n4
0
.
tan27°=
CD AD
，得
∵ AD－BD=50，
AD
x. tan27
∴ x x 50.
tan27 tan40