正方形学案

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正方形的判定(学案)

1.3 正方形的判定教学内容：正方形的判定方法一、课前导学：思考：正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？尝试证明：1、证明：有一组邻边相等的矩形是正方形。

2、证明：有一个角是直角的菱形是正方形。

二、课中导学：例1、已知：如图，点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA'＝BB'＝CC'＝DD'。

求证：四边形A'B'C'D'是正方形例2、已知：如图，E 、F 、G 、H 分别是正方形各边的中点，AF 、BG 、CH 、DE 分别两两相交于点A'、B'、C'、D'。

求证：四边形是正方形。

变化：若点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的各边上，且AE=BF=CG=DH ，则四边形A'B'C'D'还是正方形吗？证明你的结论AG例3、如图，点D 是线段AB 的中点，点C 是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，DE ⊥AC于点E ，DF ⊥BC 于点F 。

（1）求证：CE ＝CF;（2）点C 运动到什么位置时，四边形CEDF 成为正方形？请说明理由．收获体会：当堂检测：1、（1）证明：对角线互相垂直的矩形是正方形。

（2）对角线相等的菱形是正方形。

2、下列四个命题中错误的是（）A 、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B 、两条对角线相等的四边形是矩形C 、两条对角线互相垂直的矩形是正方形D 、两条对角线相等的菱形是正方形 3、如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）Ａ、22.5°角Ｂ、 30°角Ｃ、 45°角Ｄ、60°角4、已知：如图，△ABC 中，∠ABC=90°，∠CAB 、∠CBA 的平分线交于点D ，DE ⊥AC 于E ， DF ⊥BC 于F ，求证：四边形CEDF 为正方形．D E FA。

认识正方形教案

认识正方形教案
教案：
目标：通过本课的学习，使学生能够辨别正方形并了解其性质。

一、引入：
1. 张贴一些不同形状的图形，其中包含正方形。

2. 与学生进行互动，让他们辨别并指出哪些图形是正方形。

二、讲解：
1. 给学生展示正方形的定义并解释其特征：四条边长相等，四个角都是直角。

2. 回顾并巩固学生关于正方形的理解，帮助学生记忆正方形的特征。

三、实践：
1. 分发纸和铅笔给学生。

2. 让学生在纸上画出不同大小的正方形，并标记出边和角的特征。

3. 引导学生思考：正方形的特征是否会改变，不同大小的正方形有什么共同点。

四、拓展：
1. 展示不同物体的图片或实际物体，让学生辨别其中是否包含正方形。

2. 引导学生讨论正方形在日常生活中的应用和重要性。

五、总结：
1. 回顾本课的学习内容，让学生概括正方形的特征和应用。

2. 强调正方形的重要性和在几何学中的地位。

六、作业：
要求学生在家中找出并拍摄一些正方形物体的照片，并写下对正方形的理解和感受。

这个教案旨在帮助学生深入理解正方形的特征和应用，并培养他们的辨别能力和几何思维。

通过实践和讨论，学生能够更好地理解正方形的性质，并将其应用到实际生活中。

中考数学第29课时《正方形》复习学案(无答案)(2021年整理)

广东省深圳市2017届中考数学第29课时《正方形》复习学案（无答案）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省深圳市2017届中考数学第29课时《正方形》复习学案（无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省深圳市2017届中考数学第29课时《正方形》复习学案（无答案）的全部内容。

正方形一、基础知识梳理（课前完成）1.(一）定义：（1)正方形的定义：的平行四边形叫正方形。

(2)依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

2。

正方形的性质与判定：正方形的的性质：正方形的常用判定方法:①正方形的四个角都是_____,四条边都__；①有一个角是直角的菱形是正方形；②_____的两条对角线相等，并且互相垂②对角线相等的________是正方形直平分,每条对角线平分一组对角；③对角线互相垂直的_______是正方形.3。

正方形的对称性与面积：①正方形是______对称图形,又是对称图形,它有______条对称轴．S=4。

完成下表结论:中点四边形的形状与原四边形的有关，若原四边形的对角线，则其中点四边形是菱形；若原四边形的对角线互相垂直则其中点四边形是 ;若原四边形的对角线，则其中点四边形是 .二、基础诊断题1．顺次连接正方形四边中点所得的四边形一定是（）A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．直角梯形2. 如图，菱形ABCD 中，60B ∠=，4AB =，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．173.如图，正方形ABCD 中，AB=4,E 是BC 的中点,点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为．三、中考导航深圳市2014年—2016年中考分式考点分布一览表中考年份选择题（占分）填空题（占分）解答题（占分)备注2014年中考 2015年中考 2016年中考合计占分（％)四、典型例题例题1．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1，),则点C 的坐标为（）BAD F E60（第2题图）第3题A．（﹣,1）B．（﹣1,）C．（，1) D．（﹣，﹣1）分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°,又∵∠OAD+∠AOD=90°,∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，,∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=,CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质，坐标与图形性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．例题3、(2014•宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1,A2,…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1 D．（）n考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：根据题意可得,阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为（n ﹣1）个阴影部分的和．解答：解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分)的面积和为:1×4，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为:1×(n﹣1）=n ﹣1．故选：B ．点评：此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．五、基础达标检测题（一)选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.) 1（2014•兰州)下列命题中正确的是（） A ．有一组邻边相等的四边形是菱形 B ．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C ．对角线垂直的平行四边形是正方形 D ．一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形'''D C AB ，边''C B 与DC 交于点O ，则四边形OD AB '的周长．．是( ) A ．22 B ．3 C ．2 D ．21 3. 如图，已知正方形ABCD 的对角线长为2,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为（） A ． 8B ． 4C ． 8D ． 62题图O C 'B 'D 'DC3题4题图 5题图4 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G，下列结论:①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有( ）个A．2 B．3 C．4 D．5（二）、填空题5 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC．BD，CE平分∠ACD交BD于点E,则DE= ．6。

学案《长方形和正方形的特征》导学案1人教版数学三上(最新)

第2课时长方形和正方形的特征安排教学环节导案学案达标检测一创设情境，引入新课。

（6分钟）1.出示卡片，引导学生找出卡片中的四边形。

2.出示长方形和正方形，让学生在学具袋中找出长方形和正方形。

3.导入新课。

你会辨认长方形和正方形吗？通过今天的学习,这个问题就可以迎刃而解了。

（板书课题：长方形和正方形的特征）1.自己动手找出四边形。

2.先观察再找出长方形和正方形。

3.明确本节课的内容。

1.把四边形涂上自己喜欢的颜色。

答案：略。

二探究长方形和正方形的特征。

（25（一）感知长方形和正方形的特征。

引导学生用自己喜欢的方式感知长方形和正方形的特征。

小组讨论交流汇报。

（二）进一步探究长方形和正方形的特征。

（一）小组汇报：学生1：我们小组是用刻度尺量，发现长方形的对边相等，正方形的四条边都相等。

学生2：我们小组是用纸对折的方法，将长方形纸先上下对折，2.填空。

（1）长方形有（）条边，对边（），长方形长边的长叫做（），短边的长叫做（）。

（2）正方形有（）条边，（）条边都相等。

（3）长方形和正方形都分钟） 1.动手剪一剪，说说你发现了什么？2.动手量一量长方形和正方形纸条的各角。

（三）引导学生总结长方形和正方形的特征。

师生共同交流得出：长方形和正方形都有四条边，四个角，且四个角都是直角。

长方形的对边相等，正方形的四边都相等。

再左右对折，发现长方形的对边相等；把正方形纸先上下对折再左右对折，最后对角对折，发现正方形的四条边都相等。

（二）1.认真剪后观察，发现长方形的对边相等，正方形的四条边都相等。

2.小组合作完成。

用三角尺测量，发现长方形和正方形的角都是直角。

（三）学生交流讨论。

有（）个直角。

答案：(1)4 相等长宽(2)4 4 (3)43.分一分。

（将序号填在相应的圈中）长方形正方形平行四边形答案：④⑥⑨①⑤⑦②⑩三巩固练习。

（5分钟) 完成教材第80页“做一做”。

独立完成，谈自己的感受和疑惑的问题。

教学过程中老师的疑问：四课堂1.通过今天的学习，你有什么收获？1.交流自己本节课的收获。

正方形的性质及判定学案

FED CBA4．正方形的一边长5cm ，则周长为cm ，面积为cm 2 5．E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，且AE ＝AB ，则∠ABE ＝ 6．E 是正方形ABCD 内一点，且△EAB 是等边三角形，则∠ADE ＝7.正方形ABCD 中，对角线BD 长为16cm ，P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距离之和等于cm8.已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形 .9.将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 .10.如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且的长为 .PD C B AN M F ED C B A O FE DC BA 11.如图，在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，则 ∠AFC ＝第11题图第12题图12.如上图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′，若两个三角形重叠部分的面积是1cm2，则它移动的距离AA ′等于__ _cm ．13.如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠= .13图 14图 15图14.如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．(提示：连接AC)15.如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF = . 16.已知正方形ABCD 的边长为2cm ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则△ABE 的面积为 cm 2．17. 如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，这痕为PQ ，则PQ 的长为_______.图 18.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是．1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4、正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角5、下列说法中错误的是（）A、对角线相等的菱形是正方形B、有一组邻边相等的矩形是正方形C、四条边都相等的四边形是正方法D、有一个角为直角的菱形是正方形6正方形的边和对角线构成的等腰直角三角形共有（）A、4个B、6个C、8个D、10个如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：△AED≌△BFD；（2）若AB=2，当CD的值为_________时，四边形DECF是正方形．MENCDBA1.已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．2.如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE ∆ 的面积为?GFEDCB A2．如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处时，且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？（3）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE _________ 是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）。

正方形的性质与判定学案

正方形的性质在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形和菱形又有什么关系呢？ ◆ 正方形的定义：四个角______________，四条边______________的四边形叫正方形。

◆ 因此，正方形既是一个特殊的平行四边形，也是一个特殊的有一组邻边相等的________，又是一个特殊的有一个角是直角的________。

它具有__________________________________的一切性质。

◆ 平行四边形、矩形、菱形、正方形性质的区别与联系：◆ 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个__________________________________三角形。

例1 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AB 边上的一点，已知EC=30m ，EB=10m ，这个正方形的边长、面积和对角线长分别是多少？练习1（边、角、对角线）（1）边长为10cm 的正方形的对角线长是________cm ，这条对角线和正方形一边的夹角是________，这个正方形的面积是________cm 2。

（2）正方形的周长为4，则它的边长为________，一条对角线长为________。

面积为________。

（3）正方形的面积为4，则它的边长为________，一条对角线长为________，周长为________。

（4）如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为________，一条对角线长为________，周长为________。

（5）将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形（） A.①③⑤ B.②③⑤ C.①②③ D.①③④⑤（6）在正方形ABCD 中，AB=12cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+62（7）如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，△ADE 为等边三角形，则∠EAC=________。

正方形学案班级3

学生自主学习学案班级：姓名：
科目
八年级数学
课题
正方形
授课时间
设计人
序号
3
学习目标
1了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质，判定的方法。
2经历探索正方形的性质，判定的条件的过程，在观察中寻求新知，
在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。
探究新知
1正方形的四条边，四个角。
2正方形既是，又是，
当堂检测
5 ABCD是一块正方形场地，小花和小芳在AB变上取定了一点E测量知道EC=30m,EB=10m,这块场地的面积和对角线长分别是多少？
6正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A对角线互相垂直B对角线互相平分
C对角线相等D对角线平分一组对角
它既有的性质，又有的性质。
3有一个角是直角的是正方形。
4有一组邻边相等的是直角的是正方形。
学以致用
5判断题
（1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（）
（2）对角线相等的矩形是正方形。（）
（3）正方形既是矩形又是菱形。（）
（4）四条边都相等的四边形是正方形。（）
（5）矩形包括长方形和正方形。（）
（6）正方形的四个角的角平分线交于一点。（）
（7）四个角相等且两边相等的四边形是正方形。（）
6思考：正方形，菱形，矩形，平行四边形四者之间有什么关系？
与同学们讨论一下，并列表或用框图表示这些关系。
能力提升
3.点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且
AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么图形？并证明你的结论
归纳总结
1我学到了什么？2我的困

小学三年级数学正方形教案例文

小学三年级数学正方形教案例文《探索正方形的特性》教学目标：1. 认识正方形，了解正方形的特性；2. 学会用不同方法测量正方形的边长；3. 掌握正方形的面积计算方法。

教学准备：教学素材：图片、实物正方形、尺子、计算器等。

教学环境：教室。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师展示一张正方形的图片，引导学生观察并讨论正方形的特点。

2. 教师出示几张其他形状的图片，让学生找出正方形。

二、探索正方形的特性（15分钟）1. 教师出示实物正方形，让学生分别用手指、尺子等测量正方形的边长，并讨论结果。

2. 学生观察正方形的四条边是否相等，对角线是否相等等特性，并总结正方形的特点。

三、认识正方形的属性（10分钟）1. 教师出示多个实物正方形，让学生观察并描述正方形的特点。

2. 教师引导学生发现正方形的边长与对角线之间的关系，引导学生发现正方形的对角线相等且互相垂直。

四、测量正方形的面积（15分钟）1. 教师出示一张正方形的图片，让学生估算该正方形的面积，并用计算器验证结果。

2. 教师引导学生用格子纸或尺子等工具，测量实物正方形的边长，然后计算面积。

五、练习与巩固（10分钟）1. 教师出示一些正方形的图片，让学生分组进行测量正方形的边长和计算面积练习。

2. 学生交流并互相核对答案。

六、拓展活动（5分钟）1. 教师出示一个未知长度的正方形，让学生用已学方法判断并测量边长。

2. 学生自由探索其他形状的图形，看是否有类似正方形的特点。

七、总结与检测（5分钟）1. 教师与学生一起总结正方形的特点和测量计算方法。

2. 布置小练习作为检测，巩固学生对正方形的理解。

教学反思：这节课通过实物观察和测量的方式引导学生对正方形的特点进行认识，并通过计算面积的方式巩固了学生对正方形的理解。

同时，通过拓展活动的方式让学生运用已学知识判断和测量其他形状的图形。

课堂设计旨在培养学生的观察能力和基本计算能力，并通过实践操作增强对正方形的理解和记忆。

正方形的判定（27张PPT）学案

5.3.1 正方形的判定导学案班级姓名学习目标：1.掌握正方形的概念，正方形的判定2.经历探索正方形有关判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系3.进一步加深对特殊与一般的认识，培养发现问题、解决问题的能力及逻辑思维能力．学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用一．课前预学思考：还记得上节课的剪纸活动吗？在第三步怎样剪才能剪一个正方形。

回顾并思考：1.我们已经学习过哪些特殊的平行四边形?2.是否存在一组邻边相等的特殊的矩形？若存在，它是什么图形？3.是否存在一个角是直角的菱形？若存在，它是什么图形？二、课中导学思考：矩形在什么情况下成为正方形？思考：菱形在什么情况下成为正方形？请在图中填上各种图形的名称和转化的条件正方形定义：______________________________________________________________正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。

你能得到哪些判定定理？(1)直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；______________________________________________________________(2)先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；______________________________________________________________(3)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.__________________________________________________________拓展延伸上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.做一做(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形（）例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：四边形CFDE是正方形．三、课后延学1.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为() A．90° B．60° C．45° D．30°2.如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是()A．2m＋3B．2m＋6C．m＋3D．m＋63.如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为________．5.在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.6.（2019•黄石）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是（）A．（-1，2）B．（1，4） C．（3，2） D．（-1，0）7.（2019•河池）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：1.C2.A3.D4.55°5.证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE，∴△BCH≌△DCE，∴BH＝DE(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，∴∠DMB＝∠BCD＝90°，∴BH⊥DE6.C7.C。

19.2.3正方形学案

19.2.3正方形学习目标：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．过程与方法：经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．重难点、关键重点：探索正方形的性质与判定．难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．教学准备教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容．学习过程一、合作探究，导入新课【显示投影片】显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．【活动方略】教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？•四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．•正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．正方形性质：（1）边的性质：---------------------（2）角的性质：————————————（3）对角线的性质：——————————————————————————。

（4）对称性：——————————————————。

正方形幼儿教案范文

正方形幼儿教案范文幼儿教案：正方形一、教学目标：1.能够通过观察正方形的特点，能够认识、说出正方形的形状。

2.能够根据正方形的特点，进行区分。

3.能够在实际生活中找到并辨认正方形。

二、教学重点：1.正方形的特点及形状。

2.正方形与其他形状的区分。

三、教学准备：1.PPT课件2.手工制作好的正方形和其他形状的卡片3.彩色纸、剪刀、胶水等四、教学过程：1.导入（10分钟）a.引导幼儿观察四周的环境，看看有没有什么物体是正方形的。

2.展示（10分钟）a.利用PPT或手工制作好的卡片，展示给幼儿观看不同形状的卡片，并引导幼儿说出卡片的形状。

3.引导（10分钟）a.让幼儿观察正方形的特点：四条边相等，四个角都是直角。

并与其他形状进行比较，引导幼儿辨认出正方形。

4.游戏（15分钟）a.游戏1：找找看让幼儿分小组，在教室或操场上找到尽可能多的正方形物体，并记录在纸上。

b.游戏2：形状接龙5.实践应用（15分钟）a.给每个幼儿发放彩色纸，让他们用剪刀和胶水将纸剪成正方形，并完成一个小手工制作。

6.复习巩固（10分钟）a.老师用PPT展示不同形状的卡片，让幼儿辨认出其中的正方形，并给予肯定。

7.总结（5分钟）a.结合之前的学习内容，让幼儿总结正方形的特点及形状。

b.展示和收集幼儿手工制作的正方形，让幼儿感受到自己的成果。

五、教学延伸：1.在日常生活中，随时提醒幼儿观察环境中的正方形物体。

2.给幼儿提供一些简单的正方形图形拼图玩具，让幼儿进行拼搭，培养空间感知能力。

六、教学反思：通过本节课的教学，幼儿对正方形有了初步的认识，并能够辨认和区分正方形和其他形状。

通过游戏和实践活动，增加了幼儿的参与度和实际操作的机会，培养了幼儿的观察能力和动手能力。

但需要注意的是，课堂时间安排上应适度，不要过于拖延，以免幼儿注意力不集中。

同时，教师在教学过程中要观察幼儿的反应，对幼儿的不同回答给予合理的引导和评价。

正方形的判定和性质——学案

学习过程一、复习预习1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．二、知识讲解1、图形旋转的性质：旋转前后的图形，对应点到，每一对对应点与。

2、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相，那么这个图形叫做中心对称图形。

3、Ⅰ、平行四边形的性质：（1）平行四边形的；O488 16 t(s)S (（A ）O48816t(s)S (（B ）（2）平行四边形的；（3）平行四边形的。

Ⅱ、平行四边形的判定：（1）两组对边分别的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别的四边形是平行四边形。

（3）一组对边的四边形是平行四边形；（4）两条的四边形是平行四边形；4、Ⅰ、正方形的性质：一般性质________________;特殊性质_______________。

Ⅱ、正方形的判定：从四边形角度________________;从平行四边形角度_____________；从矩形角度____________;从菱形角度___________. 考点/易错点1正方形的特殊性质和判定的理解和记忆。

考点/易错点2正方形和平行四边形性质判定的综合题型，注意区分。

三、例题精析【例题1】【题干】如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A ，B 重合），对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N ．下列结论：①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC ；③PE 2+PF 2=PO 2；④△POF ∽△BNF ；⑤当△PMN ∽△AMP 时，点P 是AB 的中点．其中正确的结论有（）A ． 5个B ． 4个C ． 3个D ． 2个【例题2】【题干】如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD 相O 488 16 t(s)S (（C ）O 48816t(s)S (（D ）交于点O,点E,F 分别从B,C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC,CD 运动，到点C,D 时停止运动，设运动时间为t(s),△OE 的面积为s(2cm )，则s(2cm )与t(s)的函数关系可用图像表示为【例题3】【题干】如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE =DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO =OE ；（4）AOB DEOF S S ∆=四边形中正确的有（） A. 4个 B. 3个C. 2个D. 1个【例题4】【题干】如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（）A ．14B ．15C ．16D ．17【例题5】【题干】如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．80【例题6】【题干】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S △ABE．其中正确结论有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【例题7】【题干】如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【例题8】【题干】如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）C．D．A．B．12【例题9】【题干】如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连接BG．根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确？（）A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4【例题10】【题干】附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（）A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6四、课堂运用【基础】1.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：。

正方形的定义及性质经典实用

学案1、正方形既是（1）有一组邻边相等的矩形，又是（2）有一个角为直角的菱形。（3）有一组邻边相等，并且一个角为直角的平行四边形。
学案2
2. 如图正方形 1)图中有多少个等腰直角三角形 2)说出图中相等的线段、相等的角。 3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
答案：1、八个 △ABC、△BCD、 △CDA、
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相正垂方形直的定，义每及性条质对角线平分一组对角
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
正方形的性质=
正方形的定义及性质
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
对边平行且相等
你还能得出其他结论吗？
此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！
3 2 1
答案
正方形的定义及性质
证明：（1）∵ ABCD是正方形
∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°
在△ABF与△ADC中
AD=AB ∠ADE=∠ABF=90°
DE=BF ∴ △ABF≌△ADE（SAS） ∴ FA=EA ,∠1=∠3
3 2 1
（2）∵∠2+∠3=90 ° ∴∠1+∠2=90 ° ∴ EA⊥FA
△DAB 、△AOB 、△AOD、
△BOC 、△COD
A
D
O 2 AB=BC=CD=DA AC=BD
OA=OB=OC=OD
3、45°；45°，90°
B
C
正方形的定义及性质
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(3)

《正方形的参数方程》教学案4

《正方形的参数方程》教学案4正方形的参数方程教学案4---教学目标- 了解正方形的定义和特点- 掌握正方形的参数方程表达方式- 能够利用参数方程绘制正方形- 发展学生的分析与解决问题的能力教学内容1. 正方形的定义和特点2. 正方形的参数方程表达方式3. 利用参数方程绘制正方形教学步骤步骤一：引入1. 引入正方形的定义和特点，让学生了解正方形的四个边相等且角为90度的性质。

步骤二：参数方程的引入1. 引入参数方程的概念和基本表达方式，让学生了解参数方程的思想和意义。

步骤三：正方形的参数方程1. 解释正方形的参数方程表达方式，即利用一个参数t来表示正方形的四个顶点坐标。

2. 给出正方形的参数方程表达式：x = a + t, y = b + t，其中a和b为正方形的一个顶点坐标。

3. 通过演示例子，让学生理解参数方程的作用和意义。

步骤四：绘制正方形1. 引入绘图工具，如Python的matplotlib库。

2. 通过编写代码，利用参数方程绘制正方形。

3. 带领学生一起编写代码并运行，观察绘制出的正方形图形。

步骤五：练与应用1. 提供一些练题，让学生利用参数方程绘制出指定边长的正方形。

2. 引导学生思考如何应用参数方程解决实际问题，如绘制正方形的旋转图形等。

教学评价与反思1. 在教学过程中，通过与学生的互动让他们理解正方形的定义和特点，为后续引入参数方程打下基础。

2. 通过演示例子和实际操作编写代码，激发学生研究兴趣，并培养他们的分析与解决问题的能力。

3. 在练与应用环节中，设置不同难度的题目，逐渐提升学生的实际应用能力。

---以上就是《正方形的参数方程》教学案4的内容。

通过本节课的学习，学生将能够理解正方形的定义和特点，并掌握正方形的参数方程表达方式。

同时，他们还能运用参数方程绘制正方形，并尝试将参数方程应用到解决实际问题中。

希望本节课能够激发学生的兴趣和思考能力，促进他们的全面发展。

正方形判定学案

18.2.3正方形（第二课时）学案科目：班级：姓名：学习目标:1.进一步掌握正方形的定义。

2.掌握正方形的多种判定方法。

3.会用正方形的判定解决实际问题。

教学重点：掌握正方形的判定条件教学难点：用正方形的判定解决实际问题。

学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容。

学习流程：（一）温故知新1、正方形的定义是什么？2、正方形的性质有那些？（从边、角、角平分线三个方面说）（二）探究新知活动一：探究正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系。

操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？总结：矩形+（）=正方形你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？是正方形。

（判定一）操作2:大家看，老师手中的可以活动的菱形模型能变成一个正方形吗？如何变？总结：菱形+（）=正方形你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？是正方形。

（判定二）思考：如果是平行四边形呢？（看课件）总结：（）+ （）+平行四边形=正方形。

你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？是正方形。

（判定三）讨论：平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系总结上边活动得出主要判定方法。

活动二：判断题1、正方形、矩形、菱形都是平行四边形．（）2、正方形一定是菱形．（）3、菱形一定是正方形．（）6、对角线相等的菱形是正方形（）7、如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）8、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）9、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形（）总结上面活动，归纳常见判定方法。

（三）大显身手1、在矩形ABCD中，AB=CD ，BC=4cm，则CD= ，矩形ABCD面积是。

2.下列说法正确的是（）A.四条边相等的四边形是正方形B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形（四）我要飞的更高1.已知：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ， DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．求证：四边形CFDE 是正方形．2：已知:正方形ABCD 中,点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH 是正方形吗?为什么?（五）课堂小结1、本节课学习了什么？2、谈谈你的收获，说出来与大家分享。

人教版八年级数学下册教案学案18.2.3第2课时正方形的判定

第2课时正方形的判定教学目标1.掌握正方形的判定条件；(重点)2.能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算.(难点)教学过程一、情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形.小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务.这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形.这种检验对吗？小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的.按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？二、合作探究探究点一：正方形的判定［类型_］利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD为ZACB的平分线，DE±B C于点E, DFLAC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可.证明:,:CD平分ZACB,DELBC,DF±AC,:.DE=DF,ZDFC=9Q°,ZZ)£C=90°.又'：ZACB=90°,:.四边形CEDF是矩形..:DE=DF,：.矩形CEQF是正方形.方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形.［类型二］利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形@0如图，在四边形ABFC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线EF交于点Z),交AB于点E,且CF=AE.(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当ZA的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC,•.又•..CF=AE,.•.可证3E=EC=BF=FC.根据“四边相等的四边形是菱形“一•.四边形BECF是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当ZABC=45°时，ZEBF=90°,有菱形为正方形.根据“直角三角形中两个角锐角互余”得ZA=45°.解：(1)四边形BECF是菱形.理由如下:,:EF垂直平分BC,：.BF=FC,BE=EC, /.Z3=Z1.V ZACB=90°,A Z3+Z4=90°,Zl+Z2=90°,.-.Z2=Z4,:.EC=AE, :.BE=AE.•:CF=AE,:.BE=EC=CF=BF,.L四边形BECF是菱形；(2)当ZA=45°时，菱形BECF是正方形.证明如下：•.•/A=45。

八年级数学教案《正方形》【优秀4篇】

八年级数学教案《正方形》【优秀4篇】八年级数学教案《正方形》篇一课题：4.6 正方形（一）教学目的：使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识”教学重点：正方形的定义。

教学难点：正方形与矩形、菱形间的关系。

教学方法：双边合作如：在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法。

为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考：（1）对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？（2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？（4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？（5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？教学过程：让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片。

问：所得的图形是矩形吗？它与一般的矩形有什么不同？所得的图形是菱形吗？它与一般的菱形有什么不同？所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？它有什么特点？由此得出正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（一）新课由正方形的定义可以得知：正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。

请同学们推断出正方形具有哪些性质？性质１、（１）正方形的四个角都是直角。

（２）正方形的四条边相等。

性质２、（１）正方形的两条对角线相等。

（２）正方形的两条对角线互相垂直平分。

（３）正方形的每条对角线平分一组对角。

例1求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O。

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形。

证明：△四边形ABCD是正方形，△AC=BD，AC△BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）。

人教版八下数学18.2.3正方形课时1 正方形的性质教案+学案

人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用正方形的定义计算和证明；2．理解并运用正方形的性质进行计算和证明；3．体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系．过程与方法目标经历正方形的定义及其性质的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力．情感、态度与价值观目标让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯．【教学重点】正方形性质定理的运用．【教学难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系．【教学准备】教师准备：教学中出示的教学插图、问题和例题.学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.【教学过程设计】一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究知识点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合例1菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D 不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题例2如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EF A＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝2x.∴2x＝1－x，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题例3 在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系例4 如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE . 解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】有关正方形性质的综合应用题例5 如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED 和Rt △AFB 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S△AFB.∵S四边形ABCD＝24cm2，∴S正方形AFCE＝24cm2，∴AE＝EC＝26cm.根据勾股定理得AC＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、教学小结师生共同归纳小结.1.本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:2.分小组进行讨论,整理所学的性质:正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):(1)平行四边形有哪些性质?(2)矩形有哪些性质?(3)菱形有哪些性质?(4)正方形有哪些性质?图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边四个角都是直互相垂直、平分且相轴对称图形,有四条对称都相等角等,每条对角线平分一轴组对角四、学习检测1.下列命题是真命题的是( )A.矩形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.正方形的对角线相等且互相垂直D.四边形的对角线互相平分解析:根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.2.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10 cm,则四边形EFOG的周长是.解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD 的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5 cm.故填10 cm.3.如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.【解析】本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形课时1 正方形的性质1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质学案【学习目标】1．理解正方形的概念；2．探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；3．会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【学习重点】探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．【学习难点】会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【自主学习】一、知识回顾1．你还记得长方形有哪些性质吗？2.菱形的性质又有哪些？二、新知探究知识点1：正方形的性质想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？邻边_____2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？一个角是_____要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形.想一想正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.2.正方形的对角线________且互相______________.证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=____°, AB_____AC.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是______,亦是______.∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,AB___BC___CD___AD.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO___BO___CO___DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC___BD.想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 【典例探究】例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.DAB CE变式题 1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC．例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.【跟踪练习】1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方形的周长与面积．三、知识梳理内容正方形的性质定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是()A.45°B.55°C.65°D.75°B(解析:因为CE⊥MN,所以∠MCE+∠NMC=90°.所以∠NMC=90°-∠MCE=55°.由题意得AD∥BC,所以∠ANM=∠NMC=55°.故选B.)3.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm24. 在正方形ABC中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.5. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________.6.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则∠E=度.22.5(解析:由正方形的性质得∠ACB=45°,又CE=AC,所以∠E=∠EAC,因为∠E+∠EAC=45°,所以∠E=∠EAC=22.5°.)第4题图第5题图7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．8. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.解:OE=OF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OC,∴∠AOB=∠BOC=90°.又∵∠OCF=∠OBE,∴△OCF≌△OBE,∴OE=OF.9. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.10.如左下图,正方形ABCD中,M是BC上任意一点,E在BC的延长线上,MN⊥AM,MN交∠DCE的平分线于N,试猜想AM与MN有怎样的数量关系,并说明理由.【解析】猜想AM=MN,要证AM=MN,如右上图,只需构造并证明△APM≌△MCN即可.解:AM=MN.理由如下:在AB上取一点P,使BP=BM,连接PM,如右上图.∵AB=BC,BP=BM,∴AP=MC,∠BPM=45°,∴∠APM=135°.∵CN平分∠DCE,∴∠MCN=∠APM=135°.∵MN⊥AM,∴∠AMB+∠CMN=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMN.∴△APM≌△MCN.∴AM=MN.。