第二章：“数列”教材分析与教学建议

第二章：“数列”教材分析与教学建议

房山区实验中学张红娟

一、基本特色

1. 用函数的观点和递推的观点理解数列，加强数列与函数的联系。

2. 应用代数的基本方法和技能解数列问题。

3. 数列的相关计算，贯彻算法思想，引导学生进行编程计算。

二、值得研讨的问题

1．数列在高中数学中的教育价值。

2．在数列的教学中如何培养学生的计算推理能力。

三、地位与作用

数列是一个古老的数学问题，也是近代数学研究的重要对象。在整个中学数学教学内容中，数列处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力，学习数列有助于培养学生观察、分析、归纳、猜想以及分析和解决问题的综合能力，是培养学生数学能力的良好素材，数列与函数、三角、不等式、数娄归纳法、解析几何、应用问题等有着广泛的联系，有很强的综合性，是高中代数中培养学生综合能力的良好素材。

四、本章重点、难点

1．重点：（1）数列的概念；（2）等差数列的通项公式与前n项和公式；（3）等比数列的通项公式与前n 项和公式。

2．难点：（1）等差数列的通项公式与前n项和公式的推导及应用；（2）等比数列的通项公式与前n项和公式的推导及应用。

五、教学内容安排

本章共有三大节，教学约需12课时，具体分配如下：

六、教学时需注意的问题

(一)把握好本章的教学要求

由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担事实上，学习是一个不断深化的过程。作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高最后在高三数学总复习

时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次。为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方。例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.

(二)有意识地复习和深化初中所学内容

对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要。本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力。

(三)适当加强本章内容与函数的联系

适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；

本章内容与函数的联系涉及以下几个方面：

1．数列概念与函数概念的联系。

相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n 个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数，从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值象的直观性来研究数列的性质数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n ，就可以通过递推公式确定相应的f(n)。这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式。

2．等差数列与一次函数、二次函数的联系。 从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项a n 是关于项数n 的一次函数式于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列。例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列。

此外，首项为1a 、公差为d 的等差数列前n 项和的公式可以写为：

d n n na S n 2)1(1-+==An 2+Bn(A=2

d ,B=21d a -)

即当0≠d 时，n S 是n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n 项和的问题n S 的增减变化、极值等情况。

3．等比数列与指数型函数的联系。

由于首项为1a 、公比为q )1(≠q 的等比数列的通项公式可以写成

q q a S n n --=1)1(1=kq n -k,(k=1

1-q a ),它与指数函数y=x a 有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列。

(四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征

等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n 项和的公式、两个数的等差(等比)中项具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列。

教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差 (等比)数列和解决其他问题的一种基本方法要让学生注意，这里的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的。

上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方).

利用上述性质，常使一些问题变得简便对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在。

(五)注意培养学生初步综合运用观察、分析、归纳、猜想、证明、数学建模等方法及应用能力，突出学生的数据处理、转化化归、代数推理和数学思想方法的提炼和运用能力

综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想应该指出，能够充分进行上述研究方法