等比数列的前n项和(第一课时)-PPT课件

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25第1课时等比数列的前n项和精品PPT课件

25第1课时等比数列的前n项和精品PPT课件
(2) 2.一个等比数列前5项和为10,前10项和为50,前15项和为 多少?
3.在正项等比数列{an}中,若S2=7, S6=91, 则S4的值 为( A ).
(A)28 (B)32 (C)35 (D)49
4.在等比数列{an}中,Sn=k-(
1 2
)n,则实数k的值为(
B

(A)
1 2
(B)1
a1( 1 qn 1q
)
a1 anq 1q
3.五个量n,a1,q,an,Sn中,解决“知三求二”问题.
例求下列等比数列前8项的和:
(1)1 , 1 , 1 , ; 248
(2)a1=27,a9=
1 243
,q
0.
解:1因为a1
1 2
,q
1 2
,n
8,
所以S8
1 2
1
1 2
8
1 1
1 2
1-2
估计千粒麦子的质量约为40g,那么麦粒的总质量超过
了7 000亿吨,因此,国王不能实现他的诺言.
问题2答案: 230–1 (分)=10 737 418. 23 (元) 远大于3 000元
Sn
na1 a1 (1
qn )
1 q
q 1 q 1
1.注意q=1与q≠1两种情形
2.q≠1时,
Sn
1
1
1 8
2
1
1 8 2
255 . 256
2
2
2由a1
27 , a9
1 243
,可得
1 =27 q8 243
,
又由q 0,可得
q 1 , 3
于是当n
8时,S8271 来自1 381

等比数列的前n项和PPT课件

等比数列的前n项和PPT课件

讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,
共有64格每格所放的麦粒数依次为:
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,
共有64格每格所放的麦粒数依次为:
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,
共有64格每格所放的麦粒数依次为:
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项,公比是2的等比数列,
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时,

湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和?
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②-①可得:
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )

等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
,q 1

∴S n 1 q
na ,
q1
1
等比数列的前n项和公式:
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ,
q1
q1

1
na1,
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质:
若m n s t,则am an a s at .
特别地,若m n 2 p,则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ;
a1 (1 q n )
,q 1宋老

Sn 1 q
师数
na ,
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1,∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
,q 1


Sn 1 q
na ,
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ;
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ;
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工

高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.2等比数列的前n项和》课件

高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.2等比数列的前n项和》课件
则数列{an}为等比数列,即 Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N *) ⇔数列{an}为_等__比__数__列__.
(二)基本知能小试
1.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于 ( )
A.31
B.33
C.35
D.37
解析:根据等比数列性质得S10S-5 S5=q5,
8
C.3
D.3
()
解析:法一:因为数列{an}是等比数列,所以 S6=S3+q3S3,S9=S6 +q6S3=S3+q3S3+q6S3,于是SS63=1+Sq33S3=3,即 1+q3=3,所以 q3=2.于是SS96=1+1+q3+q3q6=1+1+2+2 4=73.
法二:由SS63=3,得 S6=3S3. 因为数列{an}是等比数列,且由题意知 q≠-1,所以 S3,S6-S3,S9 -S6 也成等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),解得 S9=7S3,所以 SS96=73. 答案:B
题型三 等比数列前 n 项和的实际应用 [学透用活]
[典例 3] 一个热气球在第 1 min 上升了 25 m 的高度,在以后的每 1 min 里,它上升的高度都是它在前 1 min 上升高度的 80%.这个热气球 上升的高度能达到 125 m 吗?
[解] 用 an 表示热气球在第 n min 上升的高度. 由题意,得 an+1=80%an=45an. 因此,数列{an}是首项 a1=25,公比 q=45的等比数列. 热气球在 n min 里上升的总高度为
[答案] 70
[方法技巧] 解决有关等比数列前 n 项和的问题时,若能恰当地使用等比数列前 n 项和的相关性质,则可以避繁就简.不仅可以减少解题步骤,而且可 以使运算简便,同时还可以避免对公比 q 的讨论.

等比数列前n项和一章节时PPT课件

等比数列前n项和一章节时PPT课件


a11 2,
q111, 42 2
n8, 得
S8
1 2
1
(
1 2
)8
1 1
255 256
2
例 2 . 已 知 等 比 数 列 a n 中 , a 3 3 2 ,S 3 4 1 2 ,求 a 1 .
解:q当 1时候a1, a2 a3,此时正好有
S3
a1a2a3
41,适合题意。 2
当q
1时,依题意有aa11q(12 q233 )
2.多角度思考问题
3.注意分类讨论
4.公式的正确使用
.
Sn
na1 a1(1
q
n
)
1 q
(q 1) (q 1)

Sn
na1 a1
an
q
1 q
(q 1) (q 1)
8.故事结束,首尾呼应
最后我们回到故事中的问题,我们可以计 算出国王奖赏的小麦约为1.84×10^19粒, 大约7000亿吨,用这么多小麦能从地球到太 阳铺设一条宽10米、厚8米的大道,大约是 全世界一年粮食产量的459倍,显然国王兑 现不了他的承诺.
变式训练一
1 、 等 比 数 列 1 ,1 ,1 , 第 四 项 到 第 八 项 的 和 ? 248
解:
a4
a1q3
1,n5 16
S '
1 (1 16
1 25
)
31
1 1
256
2
敬请指导
.
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所 以 S n a 1 q (S n a n )
(1q)Sna1anq
Sn
na1 a1 anq

等比数列的前n项和ppt课件

等比数列的前n项和ppt课件

等比数列前1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
判 创设情境 类比探究 断
新知应用 归纳巩固
总结提升

5(1 1n )
非 555 5
0
11
n个
1 2 4 8 16
(2)n1 1 (1 22nn ) ( 2)n
1 (2)
n+1
创设情境 创类设比情探境究 新知应用 深化巩固 总结提升
求和 1+ a + a2 + a3 +

当a 0时,原式=1+0+0+ +0=1
当a 1时, 原式=1+1+ +1=n
当a 1时,原式= 1 1 an 1 a
+ an-1.
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
一个公式
Sn
a1
na1 (q 1)
(1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
两种方法
错位相减 分类讨论
三种数学思想
类比 分类讨论 方程
作业 课本 选做1 选做2
1, 2, 22, 23, +30 S30 1 2 22 23
等比数列的前30项和
第一天给1万,每天 比前一天多给1万元,
连续一个月(30天)
第一天返还1分, 第二天返还2分, 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
2倍.
, 229 229
=?
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
等比数列前n项和(一)
学习目标
1
学习 目标
2

等比数列的前n项和PPT优秀课件1

等比数列的前n项和PPT优秀课件1
注意:在用公式时要注意对公比q进行讨论
作业
1、自己动手编题:
在等比数列﹛an﹜中
(1)已知……求Sn、 a1 (2)已知……求a1、an (3)已知……求q、n
Good bay…
2、P129 习题3.5: 1 3、思考题:
(1)用等比定理推导等比数列前n项和公式
(2)用迭加法推导等比数列前n项和公式 (3)用基本问题方法推导等比数列前n项和公式
a1 a n q 1 q ( q 1) Sn na ( q 1) 1
3.运用方程思想在a1,n,q ,an,sn五个量中知三求二
公式应用
1 1 1 例1 求等比数列 , , , 2 4 8
解:
P53例1,P54例2
的前8项的和.
注:由已知条件写出 a1,q,n,an以决定用计 算sn的哪个公式
[分析]:由于每天的钱数都是前一天的2倍,共 给30天,每天所给的钱数依次为:
1 , 2 , 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项公比是2的等比数列, 王勇支出的钱为:(单位:分)
2
3
29
S 30 1 2 2 2 2 .
2 3
29
复习
1.等比数列的定义
S a a a (n 2) n 1 1 2 n 1
巩固练习
2. 求等比数列 1,2,4,…从第5项到第10项的和.
解: a 1 , q 2 , 1
4 10 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) S 15 . S 1023 . 4 10 1 2 1 2
从第5项到第10项的和:
S S 1023 15 100 . 10 4

等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)

等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者,问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同 意了.
高中数学
改进:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7:观察 ① 式,相邻两项有什么特征?怎样把某一项变 成它的后一项?
an q n≥2,q 0
an1
高中数学
改进:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾:等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾:等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7:观察 ① 式,相邻两项有什么特征?怎样把某一项变 成它的后一项?

高中数学《等比数列前n项和公式》课件

高中数学《等比数列前n项和公式》课件

反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数,所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计 算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n, 其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一 分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热 气球上升的高度能超过125 m吗?
跟踪训练2 在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn.
方法二 若q=1,则S3∶S2=3∶2,
而事实上,S3∶S2=31∶6,故q≠1.
a111--qq2=30,

所以a111--qq3=155,

两式作比,得1+1+q+q q2=361,
解得aq1==55,
a1=180, 或q=-65,
达标检测
1.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn等于
1-xn A. 1-x
1-xn-1 B. 1-x
1-xn

C.
1-x
,x≠1,
n,x=1
解析 当x=1时,Sn=n; 1-xn
当 x≠1 时,Sn= 1-x .
D.1-1-xnx-1,x≠1, n,x=1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义,S4=a1+a2+a3+a4=aq2+a2+a2q+
a2q2,得Sa42=1q+1+q+q2=125. 方法二 ∵S4=a111--qq4,a2=a1q,∴Sa42=11--qq4q=125.

人教版高中数学5等比数列前n项和 (共45张PPT)教育课件

人教版高中数学5等比数列前n项和 (共45张PPT)教育课件

(2)
a1
27,
a9
1, 243
q
0
(1) 1 ,1 ,1,~~~
248
a1
1 2
,
q
1 2
,
n
8
S8
a1(1 q8) 1 q
1
[1

1
8
)]
22
1 1
255 256
(2)
a1
27,
a9
1, 243
q
0
2
a9
a1 q8
1 243
27
q8
q0
q 1 3
S8
a1(1 q8) 1 q
27[1

1
8
项数为奇数 S奇 a1 q S偶
S偶 q S 奇 a2n1
作业
(1)若等比数列 an 中,S n 4 • 3n2 5a 则实数a=_______
(2) 已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1,其奇数项的和
为 21 ,偶数项的和为 21 ,求这个数列的通项公式
16
32
等比数列前n•项和的性质2
成等比数列
(Y X )2 X (Z Y ) Y 2 X 2 2XY XZ XY
Y 2 XY XZ X 2 Y(Y-X)=X(Z-X)
等比数列前n项和性质4
等比数列 an 中,公比为q,前n项和为 S n 任意m、p N*
Sm p Sm qm S p
首项 a1, q 1
Sm p
练习
(1)等比数列 an 中,前n项和为 S n S10 20,S20 80 S30 260
S10 20,S20 80
S10,S20 S10 , S30 S20 成等比数列

等比数列的前n项和(1)ppt课件

等比数列的前n项和(1)ppt课件
1
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求?
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题:
例1、求下列等比数列前8项的和:
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
(1)- (2)得 (1 x)Sn 1 x x2 xn1 nxn
(1
x)Sn
1 (1 xn ) 1 x
nxn
又x
1, 所以
Sn
1 (1
xn x)2
nxn 1 x
14
错位相减法实际上是把一个数列求 和问题转化为等比数列求和的问题.
练习、求和:Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n. 2n
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000

等比数列前n项和(第一课时)优质课精品课件

等比数列前n项和(第一课时)优质课精品课件

,
n
6.
2. 求等比数列 1,2,4,…从第5项到第10项的和.
总结归纳,提炼深化
1.等比数列的前n项和公式;
na1, (n
1 q
, (q
1).
na1, (q 1)
Sn
a1
anq
1 q
, (q 1).
已知a1,q, n时
已知a1,q, an时
2.公式的推导方法:错位相减法; 3.公式的简单应用 知三求二;
S30 1 2 22 23 229.
1 (1 230 ) 230 1 1073741823分
1 2
≈1073.74万元
S 1. 根据下列条件,求相应的等比数列 an 的 n
(1)a1 3, q 2, n 6;
(2) a1
8, q
1 2
,
an
1 64
(3)a1
2.7,
q
1 3
A= a b 2
Sn
Sn=
(a1 an )n 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
G= ab

张明和王勇是中学同学,张明学习成绩优异,考上了重点大学。王勇虽然 很聪明,但对学习无兴趣,中学毕业后做起了生意,凭着机遇和才智,几年后 成了大款。一天,已在读博士的张明遇到了王勇,寒暄后王勇流露出对张明清 苦的不屑。表示要资助张明,张明说:“好吧,你只要在一个月30天内,第一 天给我1分钱,第二天给我2分钱,第三天给我4分钱,第四天给我8分钱,依此 类推,每天给我的钱都是前一天的2倍,直到第30天。”王勇听了,立刻答应 下来心想:这太简单了。没想到不到30天,王勇就后悔不迭,不该夸下海口。 同学们,你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗?
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2.5等比数列前n项和Sn
体验:
西游记后传
哈哈,我是 CEO了……
话说猪八戒自西天取经之后,便回到了高 家庄,成立了高家庄集团,自己也摇身一变成了 CEO,但是好景不长,他的公司因为经营不善 出现了资金短缺,于是他便想向师兄孙悟空借钱 。
2
第一天出1元入100万元; 第二天出2元入100万元; 第三天出4元入100万元;……
1 2
五个量n,a1,q,an,Sn中,解决“知
三求二”问题.
例1求下列等比数列前8项的和:
(1)1
1 ,
1 ,
,L
;
248
(2)a1=27,a9=
1 243
,q
0.
例1求下列等比数列前8项的和:
(1)1 2
,
1 4
,
1 8
,L
;
(2)a1=27,a9=
1 ,q 243
0.
解(:2)由a1
27 , a9
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
=? T30 100 30 S30 1 2 22 23 229
3000(万元)
每天借入100万元, 连续一个月(30天)
1,2,22,…,229
第一天返还1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的
2倍.
以上的数列求和就是我们本节课所要学的 等比数列前n项和Sn

Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-1+an

qSn= a2+ a3 + a4+ … +an+an+1

① - ②得
错位相减法
(1-q)Sn= a1-an+1
当q≠1时,
当当qq==11时时,,Sann==a?1 故 Sn =na1
生成:
1、等比数列前n项和公式
Sn
na1 a1(1
1 243
,可得
1 =27 q8 243
,
又由q 0,可得q 1 , 3
于是当n
8时,S8
27
1
1 3
8
1
1 3
1640 81
.
练习 课本P58练习1
S 根据下列条件,求相应的等比数列 an 的 n
(1)a1 3, q 2, n 6;
S6
3 (1 26 ) 1 2
则 a3a8 的值为_______.
a5 2
2.(2016•新课标全国高考丙卷)已知数列{an}的 前是n等项比和数为列S并n=求1+通λa项n,公其式中;λ(≠20)若. (1S)5证= 明3321 {,a求n}λ.
【总结】
1、公式
Sn
na1 a1(1
q
n
)
1 q
a1 qan 1 q
(q 1) (q 1)
哇,发了……
猴哥,能不能帮帮 这猴子会不…会我…又……在耍我?
No problem!我每 天给你投资100万 元, 连续一个月
(30天),但有一个 条件:
假如你是高老庄集团企划部 的高参,请你帮八戒决策.
第一天返还1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一
天的2倍.
3
【分析】
189.
1
1
(2)a1
2.7, q
3 , an
. 90
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
2.7 1 ( 90
1 ( 1)
1) 3
91 45
3
拓展:
1.(新课程P44学业达标 3 )
一个等比数列,它的前4项和为前2项和的 2倍,则此数列的公比为_______.
变式:
已知 Sn 是等比数列{an} 的前n项和,S4=5S2,
回顾旧知: 求等差数列的前n项和 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
质疑 (1)(2)两式左右分别相这加种,方得法叫倒序Sn相加n法(a. 12 an )
q
n
)
1 q
a1 qan 1 q
(q 1) (q 1)
注意:
1.使用公式求和时,需注意对q 1和q 1
的情况加以分类讨论;
2.推导公式的方法:错位相减法等。
8
2.等比数列前n项和公式的应用
帮八戒决策:
≈10.7几
S30 1 2 22 23 229
亿元
1 (1 230 ) 1073741823(元).
是否可以类比等差求和的倒序相加 法求等比数列的前n项和呢?
体验:推导过程
等比数列求和
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-1+an

由 a a q.
n
n 1
构建相同项消元
①式两边同乘q,得
qSn= a1q+ a2q + a3 q+ … +an-1q+an q
= a2+ a3 + a4+ … +an+an+1
2、方法
错位相减法
13
【课后作业】
1. 课本P61:习题2.5 A组第 1、4题;
2. 求数列 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 ,L 的前n项的和.
2 4 8 16
3. 求数列
1 , 2 , 3 , 4 ,L 2 4 8 16
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