三角函数图像的平移变换
关于三角函数图像的平移变换
三角函数图像的平移、变换一、 引入以简单函数为例，解说“左加右减、上加下减” 。
讲清横移的实质是把全部x 替代为 x+a ；二、三角函数图像的平移之历年高考真题1、为了获得函数y sin(2 x) 的图像，只需把函数 y sin(2 x) 的图像（ A ）向左平移个长度单364位（ B ）向右平移 个长度单位4（ C ）向左平移个长度单位（ D ）向右平移个长度单位22【答案】 B2、将函数 ysin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到本来的102 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是（ A ） ysin(2 x ) （B ） ysin(2 x)sin( 1x10sin( 1x 5 （ C ） y) （ D ） y )2102 20分析：将函数 y sin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 所得函数图象的分析式为 y ＝ sin( x10－)再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是10y sin( 1x) . 【答案】 C 210以本题为例，解说横向变换的实质也是替代。
可发问：上述步骤反演，结果怎样？3、（ 2010 天津文）（ 8）右图是函数 y Asin （ x+ ）（ xR ）在区间 - 5上的图象，为了获得这个函数的图象，只，6 6要将 y sin x （ x R ）的图象上全部的点(A) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原3来的 1倍，纵坐标不变2(B) 向左平移个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原3来的 2 倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变621【答案】 A【分析】本题主要考察三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
由图像可知函数的周期为，振幅为1，因此函数的表达式能够是y=sin(2x+ ).代入（ - ， 0）可得的6一个值为，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+ )，即 y=sin2(x+ )，因此只需将 y=sinx （ x∈ R）3 3 6 1倍，纵坐标不变。
三角函数的平移变换
函数)sin(A ϕω+=x y 的图像1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像与sin y x =图像间的关系：① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像；③ 函数()s i n y x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像；要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。
2、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：【典型例题】例1将函数)3sin(2π+=x y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变）， 所得图象对应的表达式为A ．)321sin(2π+=x y B ．)621sin(2π+=x yC ．)32sin(2π+=x yD ．)322sin(2π+=x y 例2、110610. 将函数)32cos(4π-=x y 的图像向右平移6π个单位，所得图像的解析式是（A ）)62cos(4π-=x y （B ）)322cos(4π-=x y （C ）x y 2cos 4= （D ）x y 2sin 4=例3、080606.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ） A ． 向左平移3π个单位长度B ． 向右平移3π个单位长度C ． 向左平移6π个单位长度D ． 向右平移6π个单位长度试题分析：因为sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需将函数sin 2y x =的图像向右平移6π各单位即可得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；故D 正确.【会考真题】1、101213.为得到函数)42sin(π+=x y 的图像，只须将函数x y 2sin =上所有点（ ）（A ）向右平移4π个单位 （B ）向左平移4π个单位 （C ）向右平移8π个单位 （D ）向左平移8π个单位2、060615：要得到函数cos(2),3y x x R π=+∈的图像，只需把曲线cos 2y x =上所有的点（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向右平行移动3π个单位长度 （C ）向左平行移动6π个单位长度 （D ）向右平行移动6π个单位长度例4 、将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ） （B ）（C ） （D ） 解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.【答案】C1、100113：把函数3sin y x =的图像上每个点的横坐标伸长到到原来的两倍（纵坐标保持不变），然后再将整个图像向左平移3π个单位，所得图像的函数解析式是（ ）（A ）3sin(2)6y x π=-（B ）13sin()26y x π=+ （C ）3sin(2)3y x π=- （D ）13sin()23y x π=+2、070614或090113：将函数sin()()3y x x R π=-∈的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向左平移3π个单位长度，则得到的图像的函数解析式是（ ）（A ）1sin2y x = （B ）1sin()23y x π=- （C ）sin(2)6y x π=- （D ）1sin()26y x π=-sin y x =10πsin(2)10y x π=-sin(2)5y x π=-1sin()210y x π=-1sin()220y x π=-sin y x =10π10π1sin()210y x π=-3、090614：把函数sin(2),4y x x R π=+∈的图像向右平移8π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短到到原来的12倍（纵坐标不变），则所得图像对应的函数解析式为（ ） （A ）cos(4)8y x π=+（B ）sin(4)8y x π=+ （C ）cos 4y x = （D ）sin 4y x =例5、为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析 y ＝cos(2x ＋π3)＝sin[π2＋(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋5π6)．故要得到y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度．。
三角函数的像变换与平移
三角函数的像变换与平移三角函数是数学中非常重要的概念之一，在三角函数中，像变换与平移是两个重要的概念。
它们描述了函数图像在坐标系中的移动和变形过程。
本文将重点介绍三角函数的像变换与平移。
1. 像变换（Image Transformation）像变换是指通过特定的变换规则，改变函数图像的形状、位置或尺寸等性质。
对于三角函数而言，常见的像变换包括拉伸、压缩、翻转和反转等。
1.1 拉伸（Stretch）拉伸是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更长或更短。
对于正弦函数（sin）和余弦函数（cos）而言，拉伸可以分别沿横轴和纵轴方向进行。
例如，当正弦函数的图像被沿横轴方向拉伸时，函数的周期将变得更长，波峰和波谷之间的距离增加；而当余弦函数的图像被沿纵轴方向拉伸时，函数的振幅（波峰或波谷与横轴的距离）增加。
1.2 压缩（Compression）压缩是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更短或更窄。
与拉伸相反，压缩使函数的周期变短，波峰和波谷之间的距离缩小；同时，压缩会使函数的振幅减小。
1.3 翻转（Reflection）翻转是指将函数图像相对于横轴或纵轴进行对称变换，以改变图像的朝向。
对于正弦函数和余弦函数而言，翻转可以使波形上下颠倒或左右翻转。
1.4 反转（Inversion）反转是指将函数图像的正负进行翻转，使得原本正值的部分变为负值，负值的部分变为正值。
对于正弦函数和余弦函数而言，反转会使波形关于横轴或纵轴进行对称。
2. 平移（Translation）平移是指将函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上移动，以改变图像的位置。
对于正弦函数和余弦函数而言，平移可以使波形向左或向右平移一定的距离，或者向上或向下平移。
2.1 横向平移（Horizontal Translation）横向平移是指将函数图像沿横轴方向上移动，通常用参数h表示平移的距离。
当h为正值时，函数图像向右平移；当h为负值时，函数图像向左平移。
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。
三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。
三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。
一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。
三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。
三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。
二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。
对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。
这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。
三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。
三角函数图象的平移和伸缩
3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原 来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变 换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得 图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解： 有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。
三角函数图像的变换与特征
三角函数图像的变换与特征三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。
在本文中，我们将探讨三角函数的变换和它们的特征。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于三角函数而言，平移的规律如下：1. 正弦函数（Sine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
2. 余弦函数（Cosine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
二、伸缩变换伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。
对于三角函数而言，伸缩的规律如下：1. 正弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
2. 余弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数的图象及性质函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πs in 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．二、三角函数的图象及性质【基础自测】1．【07全国Ⅱ】2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ）A ．()44ππ-， B ．3()44ππ， C ．3()2ππ，D ．3(2)2ππ， 2. （08天津理）要得到2cos y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ .C ）A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ C ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,1）坐标代入即可.4. 函数f(x)＝sin(πx －π2)－1的奇偶性为___偶函数_____5.若函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω＞0)的最小正周期为π5，则ω＝_ 106已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ D ） （A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 （B ）偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称（D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 7．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 （ D ）（A ）21- （B ）21（C ）23- （D ）238．函数y = －x ·cosx 的部分图象是( D)9.（０８浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x xy 的图象和直线21=y 的交点个数是___2___ 10.【07安徽】函数()3sin(2)f x x π=-3的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数()f x 在区间5()1212ππ-，内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3【题例分析】12π3yx－π3 O例1．已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1, x ∈R ,（I ）当函数y 取最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：(I ) y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1＝41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1＝41cos2x ＋43sin2x ＋45＝21(cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π)＋45＝21sin(2x ＋6π)＋45.函数y 取最大值必须且只需2x ＋6π＝2k π＋2π, k ∈Z , 即x ＝k π＋6π.∴自变量x 的集合是{x | x ＝k π＋6π,k ∈Z }(II ) 把y ＝sin x 的图象依次进行如下的变换：① 把y ＝sin x 的图象向左平移6π个单位，得到函数y ＝sin(x ＋6π)的图象；② 再把图象是各点的横坐标缩小到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋6π)的图象；③ 再把图象是各点的纵坐标缩小到原来的21倍(横坐标不变)，得到函数y ＝21sin(2x ＋6π)的图象④ 最后把函数的图象向上平移45个单位，得到函数y ＝21sin(2x ＋6π)＋45的图象。
三角函数的平移伸缩变换规律
三角函数的平移伸缩变换规律三角函数是数学中非常重要的一部分，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在三角函数中，平移和伸缩变换是非常常见的操作，通过对三角函数的平移和伸缩变换，我们可以得到不同的函数图像，从而更好地理解和分析函数的性质。
接下来，我们将详细介绍三角函数的平移伸缩变换规律。
首先，让我们来了解一下什么是三角函数的平移和伸缩变换。
在数学中，平移变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移，而伸缩变换则是指对函数图像进行拉伸或压缩。
对于三角函数而言，平移和伸缩变换会改变函数图像的周期、振幅、相位等性质。
对于正弦函数和余弦函数而言，它们的平移和伸缩变换规律如下：1. 正弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*sin(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制振幅的变化，当|A|>1时，振幅增大；当0<|A|<1时，振幅减小。
B控制周期的变化，周期T=2π/|B|。
C控制相位的变化，向右平移C个单位；向左平移-C个单位。
D控制上下平移，向上平移D个单位；向下平移-D个单位。
2. 余弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cos(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与正弦函数相似，只是对于余弦函数而言，A控制振幅的变化，B控制周期的变化，C控制相位的变化，D控制上下平移。
除了正弦函数和余弦函数外，切线函数和余切函数也有类似的平移和伸缩变换规律：3. 切线函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*tan(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制纵向拉伸或压缩。
B控制周期的变化，周期T=π/|B|。
C控制横向平移。
D控制上下平移。
4. 余切函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cot(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与切线函数相似，只是对于余切函数而言，A控制纵向拉伸或压缩，B控制周期的变化，C控制横向平移，D控制上下平移。
(完整版)三角函数图像平移变换
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。
1。
为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。
三角函数图像变换
三角函数图象的平移和伸缩函数s i n ()y A x k ωϕ=++的图象与函数s i n y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x=的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πs i n24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2s i n 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2s i n 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．练习：1、选择题：已知函数)5sin(3π+=x y 的图象为C 。
三角函数平移伸缩变换规律
三角函数的平移变换可以使用如下的规律来表示：
对于正弦函数y = sin x，
向右平移a 个单位：y = sin (x - a)
向左平移a 个单位：y = sin (x + a)
对于余弦函数y = cos x，
向右平移a 个单位：y = cos (x - a)
向左平移a 个单位：y = cos (x + a)
对于正切函数y = tan x，
向右平移a 个单位：y = tan (x - a)
向左平移a 个单位：y = tan (x + a)
对于三角函数的伸缩变换，可以使用如下的规律来表示：
对于正弦函数y = sin x，
伸长k 倍：y = k * sin x
缩短k 倍：y = sin (x / k)
对于余弦函数y = cos x，
伸长k 倍：y = k * cos x
缩短k 倍：y = cos (x / k)
对于正切函数y = tan x，
伸长k 倍：y = k * tan x
缩短k 倍：y = tan (x / k)
请注意，三角函数的伸缩变换并不会改变函数的周期，所以伸长或缩短k 倍都不会改变函数的形态。
三角函数的平移
三角函数的平移三角函数是数学中常见且重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在实际应用中具有广泛的意义，而其中一项关键操作就是平移。
一、平移定义和基本概念平移是指将图形或函数在一定方向上进行移动，而不改变其形状和大小。
对于三角函数而言，平移可以通过改变函数的幅值、相位和角度单位来实现。
1. 幅值的平移对于正弦函数和余弦函数，平移可以通过改变幅值来实现。
幅值即函数图像在y轴上的偏移量。
当幅值为正时，图像会向上平移，在y轴上方显示；当幅值为负时，图像会向下平移，在y轴下方显示。
2. 相位的平移相位是指函数图像在x轴上的偏移量，也称为水平平移。
对于正弦函数和余弦函数，相位变化会导致函数在x轴上发生平移。
相位正数右平移，相位负数左平移。
3. 角度单位的平移三角函数中的角度单位通常为弧度制和度数制，不同的角度单位会影响函数图像在x轴上的变化。
当角度单位为度数制时，函数图像在x轴上向右平移；当角度单位为弧度制时，函数图像在x轴上向左平移。
二、平移的公式和示例以下是三种常见的三角函数的平移公式：1. 正弦函数平移公式：y = a·sin(b(x - c)) + d其中a为幅值，b为角度单位系数，c为相位，d为垂直平移量。
2. 余弦函数平移公式：y = a·cos(b(x - c)) + d其中a为幅值，b为角度单位系数，c为相位，d为垂直平移量。
3. 正切函数平移公式：y = a·tan(b(x - c)) + d其中a为幅值，b为角度单位系数，c为相位，d为垂直平移量。
示例：以正弦函数为例，说明平移的具体过程。
假设原始的正弦函数为：y = sin(x)若要对其进行平移，可以通过修改幅值、相位和角度单位来实现。
比如，将原始正弦函数的幅值改为2，相位改为π/6，角度单位改为弧度制，则新的正弦函数为：y = 2·sin(1(x - π/6))三、三角函数平移的应用举例三角函数平移在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍两个常见的应用举例。
三角函数平移的知识点总结
三角函数平移的知识点总结一、三角函数平移的基本概念1. 正弦函数和余弦函数的平移正弦函数和余弦函数的平移可以通过改变函数的自变量(x)来实现。
对于正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数g(x) = cos(x)来说，它们的平移操作可以分别表示为f(x + a)和g(x + a)，其中a表示在x轴上的平移距离。
当a为正数时，函数图像向左平移;当a为负数时，函数图像向右平移。
同样，如果在函数中加上一个常数b( f(x) + b 或 g(x) + b)，则代表在y 轴上的平移。
当b为正数时，函数图像上移; 当b为负数时，函数图像下移。
2. 正弦函数和余弦函数的平移公式正弦函数和余弦函数的平移公式可以表示为:f(x ± a) = sin(x ± a)g(x ± a) = cos(x ± a)f(x) ± b = sin(x) ± bg(x) ± b = cos(x) ± b这些公式表示了正弦函数和余弦函数在x和y轴上的平移操作。
通过改变a和b的数值，可以控制函数图像在坐标系中的位置，从而得到不同的函数图像。
3. 正切函数和余切函数的平移类似于正弦函数和余弦函数，正切函数和余切函数的平移操作也可以通过改变自变量来实现。
对于正切函数h(x) = tan(x)和余切函数k(x) = cot(x)来说，它们的平移操作可以分别表示为h(x + a)和k(x + a)。
同样，如果在函数中加上一个常数c( h(x) + c 或 k(x) + c)，则代表在y轴上的平移。
4. 正切函数和余切函数的平移公式正切函数和余切函数的平移公式可以表示为:h(x ± a) = tan(x ± a)k(x ± a) = cot(x ± a)h(x) ± c = tan(x) ± ck(x) ± c = cot(x) ± c这些公式表示了正切函数和余切函数在x和y轴上的平移操作。
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换三角函数是一类重要的基础函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学中，我们经常遇到需要对三角函数进行图像变换的情况，比如平移、伸缩、翻转等。
本文将介绍三角函数图像的常见变换以及它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一段距离。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴向右平移a个单位，新函数为y=sin(x-a)。
当a取正值时，函数图像向右平移；当a取负值时，函数图像向左平移。
平移变换后的图像与原图像形状相同，只是位置不同。
二、伸缩变换伸缩是指将函数图像进行横向或纵向的比例拉伸或压缩。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴方向进行压缩b倍，新函数为y=sin(bx)。
当b大于1时，函数图像横向压缩；当0<b<1时，函数图像横向拉伸。
同样，沿纵轴方向进行伸缩也可得到相应的函数图像变换。
三、翻转变换翻转是指将函数图像沿着横轴或纵轴进行翻转，也称为镜像变换。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴进行翻转，新函数为y=-sin(x)。
同样地，纵向翻转可得到相应的函数图像变换。
四、混合变换除了单一的平移、伸缩和翻转变换，我们还可以通过组合这些变换来得到更复杂的函数图像变换。
比如，可以将平移、伸缩和翻转变换相结合，得到更丰富多样的变换效果。
以上是对三角函数图像常见变换的简要介绍，下面我们将进一步讨论这些变换对函数图像的具体影响。
1.平移变换的影响：平移变换只改变了函数图像的位置，不改变其形状。
假设原函数图像位于坐标系上方，若平移后函数图像向右移动，则新函数图像将出现在原来的右侧；若平移后函数图像向左移动，则新函数图像将出现在原来的左侧。
平移变换对函数图像的垂直位置没有影响。
2.伸缩变换的影响：横向伸缩会拉伸或压缩函数图像。
当b大于1时，函数图像在x轴方向上被压缩，变得更加陡峭；当0<b<1时，函数图像在x轴方向上被拉伸，变得更加平缓。
解答三角函数图象平移问题的技巧
解题宝典三角函数图象平移问题是高考数学中的“常客”.解答此类问题，要求同学们熟练掌握各种三角函数图象的性质、特征以及图象平移的技巧.本文结合一道例题来探究一下解答三角函数图象平移问题的三种技巧：化同名法、逆向思维法、数形结合法.题目：若想得到函数y =sin(2x +π3)的图象，只需要将y =cos 2x 的图象向右平移ϕ个单位，求ϕ的值.解答本题，我们需将两个函数的名称统一起来，结合函数的图形来分析.这里有三种解答方法.一、化同名法化同名法是指运用同角三角函数的基本关系与诱导公式，将不同名称的三角函数化为函数名称相同的三角函数式的方法.在解答三角函数图象平移问题时，我们可以首先利用化同名法，将题目中的三角函数式的名称统一起来，然后再将图象进行平移.解：因为y =cos 2x =sin æèöø2x +π2，则y =sin æèöø2x +π2¾®¾¾¾¾¾¾¾¾向右平移ϕ个单位y =sin[2(x -ϕ)+π2]=sin æèöø2x -2ϕ+π2，所以-2ϕ+π2=π3，解得ϕ=π12.在解题的过程中，我们遵循“先化同名，再平移”的原则，利用诱导公式cos α=sin æèöøα+π2将y =cos 2x转化为正弦函数y =sin æèöø2x -2ϕ+π2，进而建立关于ϕ的关系式，求得ϕ的值.二、逆向思维法逆向思维法是指采取反向思维解决问题的方法.在解答三角函数图象平移问题时，我们可以结合所学的知识，由所求目标逐步向已知条件推导，通过平移图形，得到满足题意的关系式，进而求得结果.解：y =sin æèöø2x +π2¾®¾¾¾¾¾¾¾¾向右平移ϕ个单位y =sin[2()x +ϕ+π3]=sin æèöø2x +2ϕ+π3，则sin æèöø2x +2ϕ+π3=cos 2x ，又因为cos 2x =sin æèöø2x +π2，所以2ϕ+π3=π2，所以ϕ=π12.解答本题，需把函数y =sin(2x +π3)的图象向左平移ϕ个单位得到y =sin æèöø2x +2ϕ+π3，再利用诱导公式cos α=sin æèöøα+π2求得ϕ的值.运用逆向思维法来解题，能帮助我们拓宽解题的思路.在实际做题的过程中，同学们要注意转换思维.三、数形结合法数形结合法是解答三角函数问题的常用方法.在解答三角函数图象平移问题时，我们可以首先结合题意绘制出相应的图形，然后分析已知的和所求的三角函数的图象，通过对比建立关系式，找到解题的思路.解：首先绘制出y =cos 2x 和y =sin(2x +π3)的图象，由图可知y =cos 2x 图象的最高点为G ()0,1，y =sin(2x +π3)图象的最高点E æèöøπ12,1.所以y =cos 2x ¾®¾¾¾¾¾¾¾¾向右平移ϕ个单位y =sin(2x +π3)，就可以转为G ()0,1¾®¾¾¾¾¾¾¾¾向右平移ϕ个单位E æèöøπ12,1，所以ϕ=π12.这里主要运用了数形结合法，通过比较函数y =cos 2x 与函数y =sin(2x +π3)图象的最高点，建立关于ϕ的关系式，求得ϕ的值.数形结合法比较直观，能帮助我们快速找到解题的思路.三角函数图象平移问题较为灵活，没有固定的解法.但是我们在解题的过程中，只要运用发散思维，从多个不同的角度进行分析，就可以得到多种不同的解题方法.（作者单位：安徽省宿州学院附属实验中学）任杰43Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数 y Asi n ( x) k的图象与函数 y sin x 的图象之间可以通过变化 A，，，k来相互转化． A，影响图象的形状，，k影响图象与x 轴交点的位置．由 A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩y sin x 的图象向左 ( >0) 或向右 (0)平移个单位长度得 y sin( x) 的图象横坐标伸长 (0<<1) 或缩短 ( >1)到原来的1(纵坐标不变 )得 y sin(x) 的图象纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0< A <1)为原来的 A倍 (横坐标不变 )得 y Asin(x) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 y Asin( x) k 的图象．y sin x纵坐标不变横坐标向左平移π/3个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的 1/2横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍先伸缩后平移y sin x 的图象纵坐标伸长 ( A 1)或缩短 (0 A 1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )y sin(x)3y sin(2x)3y 3sin(2x)3得 yAsin x 的图象 横坐标伸长 (0 1) 或缩短 ( 1)到原来的 1(纵坐标不变 )得 yAsin( x) 的图象向左 ( 0)或向右 ( 0)平移个单位得 yAsin x( x ) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 yA sin( x ) k 的图象．纵坐标不变y sin x横坐标缩短为原来的 1/2纵坐标不变横坐标向左平移π /6个单位横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍y sin 2xy sin(2x)3y 3sin(2x ) 3例 1 将 y sin x 的图象怎样变换得到函数y 2sin2 xπ1 的图象．4解：（方法一）①把y sin x 的图象沿 x 轴向左平移π个单位长度，得y sin xπ的图象；②将所得44图象的横坐标缩小到原来的1，得 y sin 2xπ的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得24y 2sin 2xπ的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1 个单位长度得到y2sin 2xπ 1 的图象．44（方法二）①把 ysin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得 y 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1，得 y 2sin2 x 的图象； ③将所得图象沿 x 轴向左平移 π个单位长度得 y 2sin 2 x π 的 2 88 图象；④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y π 1 的图象．2sin 2 x4说明： 无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由 ysin 2x 的图象向左平移π个单位长度得到的函数图象8的解析式是 y sin 2xπ而不是 ysin 2 xπ ，把 ysin xπ的图象的横坐标缩小到原来的1，得到884 2的函数图象的解析式是y sin 2xπ而不是y sin 2 x π ．44 对于复杂的变换，可引进参数求解．例 2将 y sin 2 x 的图象怎样变换得到函数y cos 2 xπ的图象．4分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解： y sin 2 x cos π2x cos 2x π ，22在 y cos 2xπ中以 x a 代 x ，有 y cos 2( x a)πcos 2x2a π ．222 根据题意，有 2 x 2a π 2x π，得 a π．2 4 8所以将 y sin 2 x 的图象向左平移π个单位长度可得到函数y cos 2xπ 的图象．84。
三角函数的像变换利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧
三角函数的像变换利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。
其中，像变换是指通过对三角函数的参数进行调整来改变函数图像在坐标平面上的位置、形状和大小。
本文将介绍一些利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧。
一、平移变换平移变换是指通过改变三角函数的参数来移动函数图像在坐标平面上的位置。
对于正弦函数sin(x)而言，平移变换可以通过改变函数参数中的常数项实现。
具体来说，对于函数y = A*sin(x - B)，其中A和B 分别表示振幅和相位角，改变相位角B可以实现图像在水平方向上的平移。
当B为正时，图像向右移动；当B为负时，图像向左移动。
例如，在处理图像变换问题时，常常需要将函数图像沿x轴或y轴平移一定距离。
可以通过调整三角函数的相位角来实现。
如果需要将函数y = sin(x)向右平移2个单位，可以通过改变函数参数为y = sin(x - 2)来实现。
同样地，如果需要将函数y = cos(x)向上平移3个单位，可以通过改变函数参数为y = 3 + cos(x)来实现。
二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变三角函数的参数来改变函数图像在坐标平面上的形状和大小。
对于正弦函数sin(x)而言，伸缩变换可以通过改变函数参数中的振幅A和频率k来实现。
具体来说，通过改变振幅A，可以改变函数图像的纵向拉伸或压缩；而通过改变频率k，可以改变函数图像的横向拉伸或压缩。
例如，在图像处理中，常常需要将函数图像沿x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
可以通过调整三角函数的振幅A和频率k来实现。
如果需要将函数y = sin(x)在x轴方向上拉伸为原来的两倍，可以通过改变函数参数为y = sin(2x)来实现。
同样地，如果需要将函数y = cos(x)在y 轴方向上压缩为原来的一半，可以通过改变函数参数为y = 0.5*cos(x)来实现。
三、翻折变换翻折变换是指通过改变三角函数的参数来改变函数图像在坐标平面上的对称性。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩河北 张军红函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
三角函数第七课(三角函数图像变换)讲义高一上学期数学人教A版
三角函数第七课 §三角函数图像变换复习：指出y = sin x 的图像变换为)32sin(π+=x y 的图像的两种方法平移法过程：两种方法殊途同归(1) y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换 )sin(ϕ+ω=x A y (2)y=sinx 周期变换y=sin ωx 相位变换y=sin(ωx+φ)振幅变换)sin(ϕ+ω=x A y三种变换： 1. 平移变换①对“x ”左加右减; ②对“y ”上加下减。
2. 翻折变换 ①关于x 轴翻折 ②关于y 轴翻折 ③关于原点翻折 ④对“x ”加绝对值 ⑤对“y ”加绝对值 3. 伸缩变换②周期变换巧求初相角，最高点法例题如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式.练习：1.(1)y ＝sin(x ＋4π)是由y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. (2)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. (3)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin(x ＋4π)向 平移 个单位得到的.2.要得到函数y ＝sin(2x －3π)的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 A.向左平移3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6π3.若将某函数的图象向右平移2π以后所得到的图象的函数式是y ＝sin(x ＋4π)，则原来的函数表达式为( )A.y ＝sin(x ＋43π) B.y ＝sin(x ＋2π) C.y ＝sin(x －4π) D.y ＝sin(x ＋4π)－4π4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )A.y ＝sin(2x ＋3π)B.y ＝sin(2x －3π)C.y ＝sin(2x ＋32π)D.y ＝sin(2x －32π)5. 函数y ＝cos(432ππ+x )的最小正周期是__________. 6.要得到函数y ＝cos(2x －4π)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象A.向左平移8π个单位B.向右平移8π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位7.把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移4π B.向左平移4π C.向右平移12π D.向左平移12π8.如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )A.A ＝3，Ｔ＝34π，φ＝－6πB.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－43πC.A ＝1，Ｔ＝32π，φ＝－43πD.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－6π9.如图c 是函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象的一段，它的解析式为( )A.)32sin(32π+=x yB.)42sin(32π+=x yC.)3sin(32π-=x yD.)322sin(32π+=x y10.函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，当x ＝3π时，有y ｍa x ＝2，当x ＝0时，有y min ＝－2，则函数表达式是 .11.如图d 是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则函数f （x ）的表达式为 .12.如图e ，是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则f （x ）的表达式为 .13.如图f 所示的曲线是y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式.图c图d图e图f14.函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋ｋ（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，当x ＝35π时，y 有最大值为37π，当x ＝311π时，y 有最小值－32，求此函数的解析式.15．由图g 所示函数图象，求y ＝A sin （ωx ＋φ）（｜φ｜＜π）的表达式.16．函数y ＝Asin(ωx ＋φ）（｜φ｜＜π）的图象如图h ，求函数的表达式.图g图h。
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三角函数图像的平移、变换
一、 引入
以简单函数为例，讲解“左加右减、上加下减”。
讲清横移的实质是把所有x 替换为x+a ； 二、三角函数图像的平移之历年高考真题
1、为了得到函数sin(2)3y x π
=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π=+的图像（A ）向左平移4π
个长度单
位 （B ）向右平移4
π
个长度单位
（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π
个长度单位
【答案】B
2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-
（B ）sin(2)5y x π
=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220
y x π
=-
解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π
个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －
10
π
) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210
y x π
=-.【答案】C
以此题为例，讲解横向变换的实质也是替换。
可提问：上述步骤反演，结果如何？ 3、（2010天津文）（8）
5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只
要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点
(A)向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的2倍，纵坐标不变
(C) 向左平移
6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
(D) 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
由图像可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+ϕ).代入（-6
π
，0）可得ϕ的一个值为
3π，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+3π)，即y=sin2(x+ 6
π
)，所以只需将y=sinx （x ∈R ）的图像上所有的点向左平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变。
【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求ϕ。
三角函数图像进行平移变换
时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的1ω
4、将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)4
2sin(1π++=x y D.2
2sin y x =
答案 B 解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4
y x π
=+即
sin(2)cos 22
y x x π
=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
21cos 22cos y x x =+=,故选B.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 5、若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
的图像向右平移
6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图
像重合，则ω的最小值为 A ．
1
6
B.
1
4
C.
13
D.
12
解析：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π
ππππωωω⎛⎫⎛
⎫=+−−−−−−
→=-=+ ⎝
+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位 164
()6
62k k k Z π
π
ωπωπ
+=
∴=+∈∴
-
，又min 1
02
ωω>∴=.故选D 答案 D 6、将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π
-的图象，则ϕ等
于 （D ） A ．
6
π B ．56π C. 76π D.116π
答案 D 解析 由函数sin y x =向左平移ϕ的单位得到sin()y x ϕ=+的图象，由条件知函数
sin()y x ϕ=+可化为函数sin()6y x π=-，易知比较各答案，只有11sin()6y x π=+
sin()6
x π
=-
7、（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ϖϖ=+
∈>的最小正周期为π，为了得到函数
()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象
A 向左平移
8π个单位长度 B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4
π
个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。
解析：由题知2=ω，所以)8
(2cos )42cos()]42(2cos[)42sin()(π
ππππ
-=-=+-=+=x x x x x f ，
故选择A 答案 A 二、
三角函数图像的平移之历年模拟题
1、为了得到函数y=x x x cos sin 3sin 2
+的图象,可以将函数y=sin2x 的图象( )
A.向左平移6
π个单位长度,再向下平移21
个单位长度
B.向右平移6
π个单位长度,再向上平移21
个单位长度
C.向左平移12
π个单位长度,再向下平移21
个单位长度
D.向右平移12
π个单位长度,再向上平移21
个单位长度
答案 D 2.把函数2
sin 3)2
y x x =-的图象适当变化就可以得到sin3y x =-的图象，这个变化可以是 （ ）
A.沿x 轴方向向右平移
4π B.沿x 轴方向向左平移4
π C.沿x 轴方向向右平移12π D.沿x 轴方向向左平移12
π 答案 D
3、要得到函数sin y x =-的图像，只需将函数cos y x =的图像 （ D ） A ．右移
2
π
个单位 B ．右移π个单位 C ．左移π个单位
D ．左移
2
π
个单位 4、函数cos sin y x x =-的图象可由函数2y x =的图象
（ B ）
A ．向左4π
平移个长度单位 B ．向左
34π
平移个长度单位
C ．向右4
π
平移个长度单位
D ．向右34
π
平移个长度单位
5、）将函数cos 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6
y x π
=-的图象，则这个平移变换可以是
（ D ） A. 向左平移6
π
个单位长度 B. 向左平移
3
π
个单位长度 C. 向右平移
6π个单位长度 D. 向右平移3
π
个单位长度 6、将函数()sin 2cos 2f x x x =-的图象按向量a 平移后所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ B ） A.
38π B. 8π C. 34
π D. 4π 7、为得到函数cos(2)3
y x π
=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象
（ A ）
A ．向左平移
512π
个长度单位 B ．向右平移
512π
个长度单位
C ．向左平移56
π
个长度单位
D ．向右平移56
π
个长度单位
8、将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ . 2
2sin y x =。