阶跃折射率光纤中的场解

• 确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD系数行列式为零，即可导出本征值 方程。
本征值方程
( J' UJ
K' WK
)(k12 J' UJ
k22K' WK
)
2
2
1
( U
2
1 W2
)
2
– 又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与β相联系,因此
它实际是关于β的一个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时, 对于不同 的n值,可求得相应的β值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性
J 1(U ) K 1(W ) ; UJ (U ) WK (W )
1 2 (弱导近似)
§5-2 模式分类准则
• n=0, Ez=0, or Hz=0, 对应于TE模或TM模 • n=0, Ez=0, and Hz=0,对应于HE模或EH模 • 分类参数k:
kk==0j::0EHzITTzI ME,,
波导场方程与解的基本形式
• 六个场分量：Er,Eφ,Ez,Hr,Hφ,Hz • 波导场方程：
• 解的基本形式：
(
2 r 2
rr
2
2
2 j
)
Ez Hz
0
Ez(r,
)
F
(r)e
j
HE((rr,,,,
z, t) z, t )
E t
Ht
(r, (r,
) )
HEzz((rr,,))zˆzˆe
(1
/
U J
2 1/ K
W
2)
k12 (k12 /
J U
k22K 2 k22 /W
2)
k=1: k=-1:
EH,
HE, (J0
K0 )(k12 J
k22K ) 0
J K (1/U 2 1/W 2 )
k12 J k22K (k12 / U 2 k22 / W 2 )
模式分类的物理意义
• 纤芯(0<r<a)： • 包层(r>a)：
EzI
H
I z
A B
J
(Ur a
)e
j
•
横向分量：（5-1-15）；（5-1-I1I6）
E z II H z
C
D
K
(Wr a
)e
j
本征值方程的导出
• 边界条件：在r = a, Ez, Hz, Ef, Hf 连续 – EIz|a = EIIz|a : AJn(U)-CKn(W)=0 – HIz|a = HIIz|a : BJn(U)-DKn(W)=0 – EIf|a = EIIf|a : (5-1-20c) – HIf|a = HIIf|a : (5-1-20d)
j
§5-3 模式本征值
• 模式的截止与远离截止: – 临近截止: W=0 , 场在包层中不衰减 – 远离截止: W→∞, 场在包层中不存在
• 截止与远离截止条件:
模式
临近截止
TE0m(TM0m)
HEnm
EHnm ＝0
J0(Uc)＝0 Jn-2(Uc)＝0 Jn(Uc)＝0
*除了HE1m模式以外,U不能为零
x
( 1) ( 0)
本征值方程的其它形式
（1） （2） （3）
2
2
1
( U
2
1 W2
)2
( J
K
)(k12 J
k22K )
J
J' (U ) ; UJ (U )
K
K' (W ) WK (W )
( 1 2
J
K )(J
K
)
(
1 2
J
K )(J
K )
0
J
J 1(U ) ; UJ (U )
K
K 1(W ) WK (W )
neff = b/k0
• 归一化工作参数：
W a 2 n22k02
b
W V
2 2
ne2ff n22 n12 n22
贝塞尔函数递推公式(I)
微分公式：
J'
(x)
1 2
J 1(x) J 1(x)
递推公式：
x J (x)
1 2
J 1(x) J 1(x)
大宗量近似：
lim
x
J
(x)
质, 所以本征值方程可以有多个不同的解βnm(n=0,1,2,3... m=1,2,3...),每一个βnm都对应于一个导模。
归一化工作参数
• 归一化工作频率： • 归一化横向传播常数：
V 2 a 0
n12 n22 k0an1
2
• 归一化横向衰减常数：
U a n12k02 2
• 有效折射率：
j(t z)
贝塞尔方程及其解
• 纵向场分量满足：贝塞尔方程
•
d 2F(r) dF(r) 贝塞尔d方r程2 的解： rdr
(ki2
2
)
r
2 2
F
(r)
0
–
–
k第第i2一一类类和和2第第二二i 类类0贝汉塞克n尔尔i2k函函02数数, ：：JHnn,(i1)Nn,1H,n2(2)
– 第一类和第二类变态汉克尔函数：In , Kn
2
x
c os (x
4
2
)
小宗量近似：
lim
x0
J
(
x)
1
!
(
x 2
)
贝塞尔函数递推公式(II)
微分公式： 递推公式：
K'
(
x)
1 2
K 1(x) K 1(x)
x
K
(x)
1 2
K
1
(
x)
K
1 (
x)
大宗量近似：
lim
x
K
(
x)
1 ex x
小宗量近似：
lim
x0
K
(x)
( 1)!2 1
ln(1.7281x )
• 相位关系: EH模的Hz分量超前于Ez90°,HE模的Hz分量落后于Ez90°。
本征解的确定
• 纤芯(0<r<a)： • 包层(r>a)：
EzI
H
I z
A B
J
(Ur a
)e
j
•
横向分量：（5-1-15）；（5-1-I1I6）
E z II H z
C
D
K
(Wr a
)e
• 偏振特性: TE模与TM模是偏振方向相互正交的线偏振波;HE模与EH模则是椭圆 偏振波, 其中HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合右手定则),EH模偏振旋 转方向则与光波行进方向相反;
• 场强关系: EH模电场占优势,而HE模磁场占优势;(Ez,Hz)<<(Et,Ht),模式近似 为横场分布；
场解的选取
• 依据： – 导模场分布特点:在空间各点均为有限值; 在芯区为振荡形式,而在包层 则为衰减形式;导模场在无限远处趋于零。 – 贝塞尔函数形式: Jn呈振荡形式, Kn则为衰减形式。
• 本征解选取: 在纤芯中选取贝赛尔函数Jn,在包层中选取变态汉克尔函数Kn..
J0 J1
K0 K1
本征解的确定
§5 阶跃折射率光纤中的场解
• 数学模型 • 园柱坐标系中的波导场方程 • 边界条件 • 本征解与本征值方程 • 本征值与模式分析
ห้องสมุดไป่ตู้ §5-1 数学模型及波动方程的解
• 数学模型：阶跃折射率分布光纤(SIOF)是一种理想的数学模型,即认为光 纤是一种无限大直园柱系统,芯区半径a,折射率为n1;包层沿径向无限延 伸,折射率为n2;光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。