第四章格林函数法

若取 c1 1, c2 0,则得到特解 V0 ( r ) ,称此解为三维Laplace
r
c1 c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r 1
方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.
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第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0 ,其极坐标形式为:
M 2 K1 M1 K2 M3 S1 S2
Kn N Mn Sn
l


图4.1
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4.2 格林函数
由于调和函数有积分表示:
1 u(M 0 ) 4
u 0, x , 又因为Dirichlet边值问题 的解唯一,故希望 u f
u v u v u v v uvdV ( x x y y z z )dV u ndS
vudV (

u v u v u v u )dV v dS n x x y y z z
若取 c1 1, c2
1 0 , 则得到特解 V0 (r ) ln , 称此解为二维 r
Laplace方程的基本解.
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4.1.2 格林公式
由高斯公式 P Q R dV P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z) d S x y z v v v 令P u , Q u , R u ,则得到格林第一公式： x y z
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
方程的边值问题。
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4.1 格林公式及其应用
4.1.1 基本解 对拉普拉斯方程 u uxx u yy uzz 0 , 其球坐标形式为：
选择调和函数v满足 v
1 4 rMM 0
,于是有：

1 u(M 0 ) u ( v)dS n 4r MM 0
(4.2.4)
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记
1 G( M , M 0 ) v 4 rMM 0
(4.2.5)
则有
称 G( M , M 0 ) 为Laplace方程的格林函数。若G( M , M 0 ) 存在
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思考：Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么？
u u 0, | f . n
性质2 (平均值定理)
u n dS f dS 0.
设函数 u( M ) 在区域 内调和，
M0 是
的球面，此球完全落在区域 的内部，则有
1 1 u ( M ) u(M ) ( ) dS (4.2.1) n rMM 0 rMM 0 n
将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中，u
u 在边界上的值虽然已知,而 在边界上的值却不知道.那么, n u | 的值呢？显然这是行不通的， 能否作为边界条件加上 n u | 因为,此时的解已经是唯一的了.那么只有想办法去掉 n 为此，引入格林函数的概念。
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
v u (uv vu )dV (u n v n )dS
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
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4.1.3 调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数： 1 1 rMM ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2
u ( M ) u ( M 1 ) 。设 M 2 是 K 1 的球面 S1 与折线 L 的交点，
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
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如图4.1 , 以
u(M ) u(M 1 ) .
M1
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证明： （ 反证法）假设 u 在 内某点 M 1 达到最大值， 为中心，任意长 R 为半径作球 k R ,使 它完全落在区域 中，记 kR 的球面为 S R , 则在 SR 上有 这是因为，若 M ，使u ( M ) u ( M 1 ) ,则由函数的 连续性，必可找到此点在球面 S R上的一个邻域，在此 邻域中，也有 u ( M )
1 4R 2
u ( M 1 ) 。因此有
1 4R 2
S
u ( M ) ds
R
S u ( M 1 )ds u ( M 1 )
R
这与平均值性质矛盾。由于 R 的任意性，则在球 k R 中 恒有 u u ( M 1 ) .任取 N ,在 中作连结 M 1 ， N 两 点的折线 L ，记L 到 的边界 的最小距离为 d ，以M 1 为中心，小于d 的数为半径在 内作求 K1 ，则在 K1上
0
除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程u
定理：若函数 内调和，则
0，于是有
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
1 1 u ( M ) u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n
1 u(M 0 ) 4
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又因为，在
a
a
上式称为调和函数的球面平均值公式。 性质3 (极值原理)
1 1 1 ，所以 上有 n ( r ) r 2 a 2 1 u(M 0 ) udS . 2 a 4a
1 u 1 dS r n a

a
u dS 0 n
源自文库4.1.4 调和函数的性质
性质1. 设 u ( x, y, z ) 是区域 内的调和函数，它在 u 上有一阶连续偏导数，则 dS 0, 其中 , n n 是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1 即证。 注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
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格林函数的物理背景 原点处点电荷电量 0 ， 点电荷密度 0 r
M ( x, y, z )
2u
0
处点电位 u(M )
1
M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 即 r0处点电荷电量 0 点电荷密度 0 r r0 1 M ( x, y, z ) 处点电位 u ( M ) 2u(M ) r r0 4 rMM 0 F1 2 u(M ) F1 r r1 u ( M ) 4 r M1 F1 0 r r1 MM1 F2 2 u ( M ) M2 u(M ) F2 r r2 F2 0 r r2 4 rMM 2 F1 F2 2 u(M ) F2 r r2 F1 r r1 4 rMM1 4 rMM 2
1 u(M 0 ) udS 2 a 4a 证明： 由调和函数的积分表示：
内任意一点，若 是以 M 为中心，a为半径 a 0
1 u(M 0 ) 4
及由性质1，有
1 1 u u ( ) dS a r n n r
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格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
n 次后， 为中心 , 半径小于 d 的球
， …,
k n 内 , 因而 u ( N ) u ( M n ) u ( M 1 ) , 由 N 的 任意性 , 就得到整个 上有 u ( N ) u ( M 1 ) , 这与 u 不为
常数矛盾.
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调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个 函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
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若函数
内满足Poisson方程 u
1 u(M 0 ) 4
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
F ，则同样有
1 1 u ( M ) 1 u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n 4 F (M ) rMM dV 0
2u 1 u 1 2u 2 0 2 2 r r r r
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r ) (即与 无关的解) ,则有：
其通解为： V (r ) c1 ln r c2 , (r
d 2V 1 dV 0 2 dr r dr
0, c1 , c2 为任意常数)。
设函数 u ( x, y, z ) 在区域 内调和，
它在 上连续且不为常数，则它的最大值与最小值
只能在边界上达到。 推论1 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在
上连续且在边界 上有 u v，则在 内有 u v.
u 0, ( x, y, z ) 推论2 Dirichlet问题 的解是唯一的。 u f ( x, y, z )
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
(4.1.1)
求方程(4.1.1)的球对称解u V (r ) (即与 和 无关的解) ,则有：
其通解为：V ( r )
d 2 dV (r )0 dr dr
4 r
2u(M ) r
0 F ()
u(M ) F ()
2
1 u(M ) F ()dV0 4 rMM0
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4.2.1 格林函数的定义
设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续
且在 上有一阶连续偏导数，则当Dirichlet问题
G u ( M 0 ) u ds n
(4.2.6)
u 0 , ( x, y, z ) u f ( x, y, z ) 在 上具有一阶连续偏导数的解存在时，解可以表示为
偏导数，则由格林第二公式有
v u (u n v n )dS 0
将（4.2.1）和 (4.2.2)两式加起来：
(4.2.2)
1 1 u v 1 u(M 0 ) u[ ( )] ( v) dS (4.2.3) 4 rMM 0 n n 4 n rMM 0