用脉冲响应求传递函数

T) 2T

c es1 (tT ) 1

)

c es1 (t2T 1
)
c es2 (tT ) 2

c2es2 (t2T
)

c esn (tT ) n cnesn (t2T
)

g (t

nT
)

c es1 (tnT ) 1

c es2 (tnT ) 2

c esn (tnT )
a n
i1 i
g(2n

i)
z 2 n

8
令上式两边z-i的同次项系数相等，可以得到：
b0 1 0 0
b1

a1 1
0
b2


a2
a1
1

bn an an1 an-2
0 0 g(0)
0
0
g
(1)

0 0 g(2)
cn
x n 1 n
5
例：有一个三阶系统，脉冲响应数据如下：
t
0
1
2
3
4
5
g(t) 0
1
2
2
4
0
试求解该系统的线性定常脉冲传递函数：
G(s) c1 c2 c3 s s1 s s2 s s3
6
2. 离散系统的脉冲传递函数 设系统脉冲传递函数形式为：
G( z 1 )

b0 b1z1 1 a1z1
g(t0 ) a1g(t0 T ) an g(t0 nT ) 0
等式中a1,a2…,an为待定的n个常数。
1
根据上式，将时间依次延迟T，可以得到：
a1g(t0 T ) ang(t0 nT ) g(t0 ) a1g(t0 2T ) ang(t0 (n 1)T ) g(t0 T ) a1g(t0 3T ) ang(t0 (n 2)T ) g(t0 2T )
n
3
将上面等式带入到下列脉冲响应的差分方程中
g(t) a1g(t T ) an g(t nT ) 0
得到： c1es1t 1 a1es1T an (es1T )n c2es2t 1 a1es2T an (es2T )n cnesnt 1 a1esnT an (esnT )n 0
G(s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
等式中s1,s2…,sn和c1,c2,..,cn为待求的2n个未知数。
对上式求Laplace反变换，得到脉冲响应函数：
g (t) c1es1t c2es2t cnesnt
g (t g (t


a1 1 g(n)
g(1) g(2)

g (2)
g(3)


g(n)
g(n 1)
g(n) an g(n 1)
g(n 1)


wk.baidu.com
an1




g
(n

2)



g
(2n
-1)


a1



g(2n)
g(1)z1

g(2)z2

7
进一步得到:
b0 b1z1 bn zn g(0) g(1) a1g(0) z1


g(n)

n i 1
ai
g(n

i)
zn


g(n
1)

n i 1
ai
g
(n

1

i)

z

(
n1)

g(2n)
要使上式为成立，应令方括号内的值为0，即：
1 a1esiT a2esi 2T an (esiT )n 0, i 1, 2 n
令esiT x ，则可以得到： 1 a1x an xn 0
4
解方程可以得到x的n个解x1,x2,…,xn。设： es1T x1, es2T x2 , , esnT xn
a1g(t0 nT ) a2g(t0 (n 1)T ) ang(t0 2nT ) g(t0 (n 1)T )
联立求解上述n个方程，就可以得到差分方程的n个 系数a1,a2…,an。
2
任何一个线性定常系统，如果其传递函数G(s)的
特征根为s1s2…sn，则其传递函数可以表示为：
用脉冲响应来求解传递函数
1.连续系统的传递函数 任何一个SISO系统都可以用差分方程来表示。若系
统的输入为 (t) 函数，则输出为脉冲响应函数g(t)。
因为 (t) 函数只作用于t=0，而在其他时刻系统的输
入为0，所以系统的输出是从t=0开始的脉冲响应函数 g(t)。如果采样间隔时间为T。并设系统可以用n阶差 分方程表示，则：

s1

ln x1 T
, s2

ln x2 T
,
,
sn

ln xn T
至此可以得到s1,s2…sn，下面求解c1,c2…cn。
g(0) c1 c2 cn g(T ) c1x1 c2x2 cn xn

g
((n
1)T
)

c1x1n1

c2
xn1 2



9
例：设采样间隔时间为0.5s，系统的脉冲响应序 列g(k)如下表所示，求系统的脉冲传递函数。
G( z 1 )

b0 b1z1 1 a1z1
bn zn an zn
t
0
k
0
g(k) 0
0.05 0.1 0.15 0.20 0.25 0.3
1
2
3
4
5
6
7.515 9.491 8.564 5.931 2.846 0.145
10
例：有一个三阶系统，脉冲响应数据如下：
k
0
1
2
3
4
5
6
g(t) 0
1
4
2
6
2
2
试用Hankel矩阵法求解该系统的脉冲传递函数。
11
第七章 系统阶次的辨识
系统的阶次，对传递函数而言，指极点个数； 对于状态空间而言，是指最小实现的状态个数； 本章讨论单输入单输出系统的阶次辨识问题， 主要介绍F检验法和AIC准则这两种基本的阶次辨 识方法； 阶次辨识和参数估计两者是互相依赖的，参 数估计时需要已知阶次，而辨识阶次时又要利用 参数估计值，两者密不可分。
bn zn an zn
根据脉冲传递函数的定义可以得到：
G(z1) g(0) g(1)z1 g(2)z2 等式中 g(i) g(iT ),i 0,1, 2... 。因而有
b0 b1z1 1 a1z1
bn zn an zn

g(0)