第二讲 工程仿真和有限元法简介.

既然是单元内某点的位移表达式， 当然三个节点上的位移也满足同样的表达式。
ui 1 xi v i 0 0 u j 1 x j e q v j 0 0 1 x k uk 0 0 vk yi 0 yj 0 yk 0 0 1 0 0 xi 0 0 a1 a yi 2 0 a3 Ca y j a4 0 a5 yk a6

2、由位移函数求应变
由弹性力学的知识：
Ni
ai bi x ci y
2A
Nj
Nk
a
j
bj x c j y
2A
2A
ak bk x ck y
选取单元位移函数的一般原则：
广义坐标 a i 是由节点场变量确定，因此， 其个数必须与节点自由度个数相等； 选取多项式时，常数项（反映刚体位移） 和坐标的一次项（反映常应变）必须完备； 当单元数目趋于无穷时，单元缩小趋于一 点，此时单元应变为常应变； 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取 完全多项式以提高单元精度。
边界元法
计算机仿真——一门新兴的边缘学科
工程背景 软件工程
计算机 仿真
计算机技术
计算数学
力学
可视化技术
仿真技术在新产品研发中的应用
Ｃ Ａ Ｅ
概念设计
结构设计
生产制造
Ｃ Ａ Ｄ
Ｃ Ａ Ｍ
新产品设计、生产过程
CAD
CAE
CAM
3 C 技术
有限元法的分析过程
有限元分析的六个基本步骤是： 1. 结构离散化； 2. 选择位移模式； 3. 分析单元力学特性； 4. 集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程；
0 0 0 aj bj cj
ak bk ck 0 0 0
0 0 0 ak bk ck
2A 1 x j 1 xk
y j x j xi y k y j x k x j y j y i yk





ai x j yk xk y j a j xk y i xi yk ak xi y j x j yi
bi y j yk b j yk yi bk yi y j
ci xk x j c j xi xk ck x j xi
为不使A 为负值，图1中的i，j，k必须按逆时针方向标注
将上述式子代入 d Sa 有： ai b i u 1 1 x y 0 0 0 c i v 2 A 0 0 0 1 x y 0 0 0
5. 求解未知节点位移；
6. 计算单元应变和应力。
平面问题有限元方法介绍
以平面三角形为例：
vk
k ( xk , y k )
uk
v ( x, y )
vi
u ( x, y )
ui
vj
i( xi , yi )
j( x j , y j )
uj
1、设定位移函数
单元内的位移通过节点的位移插值得到。对于 三角形单元，可假定单元内的位移为 x , y 的线性 函数。
解析解的困难
1 工程系统的构成较复杂 板、壳、梁、实体 多场耦合 2 非线性 材料非线性； 几何非线性； 边界条件非线性——接触问题 3 外载的形式复杂 静态、动态 温度载荷
计算力学的主要方法
弹 性 力 学 边 值 问 题 基本微分方程 有限差分法
变分原理
有限元法
边界积分方程
u ( x, y), v( x, y)
1 xj 0 0 1 xk
这里: ai (i 1,2,3,...) 是广义坐标。 可以得到：
a C q
1 e
式中： 1 xi
ai b i ci 1 1 C 2A 0 0 0
yi
0 0 0 ai bi ci
aj bj cj 0 0 0
u( x, y) a1 a 2 x a3 y v ( x, y ) a 4 a 5 x a 6 y
写成矩阵：
a1 a 2 u 1 x y 0 0 0 a3 d Sa v 0 0 0 1 x y a 4 a5 a6
节点位移
节点几何量
1 ai bi x ci y ui a j b j x c j y u j ak bk x ck y u k u ( x, y ) 2A 1 ai bi x ci y vi a j b j x c j y v j ak bk x ck y vk v ( x, y ) 2A
第二讲 工程仿真和有限元法简介
课 程 背 景
大多数实际工程系统地分析可分类为：
• 固体Leabharlann Baidu结构）的强度、刚度和稳定性分析（位移、 应力和应变场）——静态分析；
• 结构的振动特性分析——动态分析； • 流体力学中的流场分析； • 传热学中的温度场分析； • 电磁学中的电磁场分析。 最终归结为：在给定边界条件下，求解控制方程（常 微分或偏微分方程）——求解边值问题。






或写成：
ux, y Ni ui N j u j N k uk vx, y Ni vi N j v j N k vk
可简写为：
d Nq
0 Ni Nj 0
e
Ni N 0
0 Nj
Nk 0
0 Nk
上式为单元内某点的节点位移插值表示的 多项式，称N为形状函数，其中：
任意点位移 任意点坐标
0 0 0 ai bi ci
aj bj cj 0 0 0
0 0 0 aj bj cj
ak bk ck 0 0 0
0 u i v 0 i 0 u j a k v j bk u k ck v k