第二讲 工程仿真和有限元法简介.
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
第二章有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理1. 引言有限元法(Finite Element Method, FEM)是一种数值分析方法，用于解决工程和科学领域中的复杂物理问题。
它通过将连续的物理领域离散化成许多小元素，通过求解代表元素之间关系的离散方程来近似解决原问题。
本章将介绍有限元法的基本原理。
2. 有限元法的基本思想有限元法的基本思想是将复杂的问题分割成更小的、易于处理的部分，通过求解这些部分的解，并通过它们之间的关系来得到整体解。
在有限元法中，将连续问题离散化为有限元模型，分为以下几个步骤：2.1 建立几何模型首先，根据实际问题建立几何模型。
几何模型可以是二维或三维的，通常使用节点和单元表示。
节点表示模型中的离散点，单元表示连接节点的几何形状。
2.2 确定节点自由度每个节点都有与之关联的自由度，它们是用来表示节点状态的参数。
常见的自由度有位移、温度等。
2.3 建立单元和节点之间的关系根据单元类型和节点连接关系，建立单元与节点之间的关系。
通常，一个单元由若干个节点组成。
2.4 建立元素刚度矩阵根据单元类型和材料参数，建立元素刚度矩阵。
2.5 建立整体刚度矩阵利用单元刚度矩阵和节点关系，建立整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵由元素刚度矩阵按照节点自由度的排列组成。
2.6 施加边界条件和载荷根据实际问题，施加边界条件和载荷。
边界条件可以是位移、力或温度等。
2.7 求解方程通过将边界条件和载荷应用于整体刚度矩阵，可以得到未知节点的解答。
3. 有限元法的优缺点3.1 优点•适用于复杂几何形状和复杂边界条件的问题。
有限元法可以通过将问题离散化为小元素来逼近实际几何形状和边界条件。
•高精度的数值解。
有限元法通过增加节点数量和使用高阶元素可以得到更精确的数值解。
•灵活性。
有限元法可以灵活地处理不同类型的物理问题，例如结构力学、热传导、电磁场等。
3.2 缺点•需要大量的计算资源。
有限元法需要求解大型稀疏矩阵，这导致了计算资源的要求较高。
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
有限元 第2讲 有限元法基本理论
•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一 些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。
•基本假设是学科的研究基础。 •超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
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弹性力学的基本假设 1. 连续性假设
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的 介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
第2章 有限元法基本理论
张 洪 伟
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内容提要
1
弹性力学问题基本描述
弹性问题参量原理
2
3 4
有限元分析基本步骤
有限元解的误差分析
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弹性力学问题的基本描述
基本假设的必要性 •工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主 次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将 使得问题无法求解。
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弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所 引起的尺寸变化。 ——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方 程成为线性的偏微分方程组。
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弹性力学的基本假设
4. 完全弹性假设
•——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对 应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关， 称为完全弹性材料。 •完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线 性的应力与应变关系。 •研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
符号规定：
应力的概念
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力 分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为 y ,沿y轴的正向为正,其下
《有限元分析及应用》课件
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 –更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变
形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述 ；
物质均匀性假定: 物体内各个位置的物质具有相同特 性；
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
28
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
29
30
y
dy zy
1 2
zy
z
dz
0
略去微量项，得 yz zy
MY 0 zx xz
MZ 0
xy yx
剪切力互等定律
53
二维问题: 平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
剪切力互等定律
有限元法PPT课件
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
有限元法概述
5
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
但真正的应用实际问题是到1960年以后，随着电子 数值计算机的广泛应用和发展，有限单元法的发展速度才 显著加快。现代有限元法第一个成功的尝试，是将刚架位 移法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner，Cloug h等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们第一 次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。
2021/10/10
24
兼有静力分析功能（如动力分析前的预应力计算和薄板冲 压成形后的回簧计算）；军用和民用相结合的通用结构分 析非线性有限元软件。 LS-DYNA利用ANSYS、 LS-INGRID、 ETA/FEMB及LS-POST强大的前后处理模块，具有多种自动网 格划分选择，并可与大多数的CAD/CAE软件集成并有接口。
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能力，可以进行线性和非线性结构分析，如线性/非线性 静力分析、模态分析、简谐响应分析、频谱分析、随机 振动分析、动力响应分析、静/动力接触、屈曲/失稳、失 效与破坏分析等。它提供了丰富的结构单元、连续单元、 特殊单元的单元库，几乎每种单元都具有处理大变形几 何非线性、材料非线性和包括接触在内的边界条件非线 性以及组合的高度非线性的能力。MARC的结构分析材 料库提供了模拟金属、非金属、聚合物、岩土、复合材 料等多种线性和非线性复杂材料行为的材料模型、MAR C软件还提供了多种加载步长自适应控制技术，能够自动 确定分析屈曲、蠕变、热弹塑性和动力响应的加载步长。 此外，它还具有分析非结构场问题（温度场、流场、电 场、磁场）、模拟流-热-固、土壤渗流、声-结构、耦合 电磁、电-热、电-热-结构、以及热-结构等多种耦合场的 能力。
有限元仿真技术简介
有限元仿真技术简介（文章标题）有限元仿真技术简介1. 引言有限元仿真技术是一种广泛应用于工程和科学领域的数值计算方法，它可以在计算机上对复杂的物理系统进行建模和分析。
本文将简要介绍有限元仿真技术的原理、应用领域以及其优点和局限性。
2. 有限元分析的原理有限元分析的核心思想是将复杂的连续体划分为有限数量的小元素，然后根据元素的性质和相互之间的连接关系，利用数学方法近似解决变分原理。
通过在每个元素上选择合适的数学模型和适当的边界条件，可以得到物理系统的数值解。
3. 有限元仿真的应用领域有限元仿真技术在各个领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：3.1 机械工程在机械工程领域，有限元仿真可以用于材料力学、刚体力学和流体力学问题的分析。
在设计汽车零件时，可以使用有限元分析来预测材料的应力分布和变形情况，以确保设计的可靠性和安全性。
3.2 建筑工程在建筑工程领域，有限元仿真可以应用于结构分析、热传导和空气流动等问题。
通过对建筑结构进行有限元分析，可以评估结构的稳定性和强度，优化设计并提高建筑的效能和安全性。
3.3 航空航天工程在航空航天工程领域，有限元仿真可以用于飞机、火箭和卫星等复杂系统的设计和分析。
通过模拟力学和热力学行为，可以评估结构的性能和可靠性，并优化设计以提升工程效率。
4. 有限元仿真的优点有限元仿真技术具有许多优点，使其成为工程和科学领域中不可或缺的工具。
4.1 准确性有限元仿真可以提供高度准确的结果。
通过使用复杂的数学模型和离散化技术，可以更好地近似真实物理系统的行为，并生成准确的数值解。
4.2 灵活性有限元仿真方法非常灵活。
它可以适应各种不同的物理条件和边界条件，并支持对模型进行参数化研究和优化设计。
4.3 节省成本和时间相对于传统的试验方法，有限元仿真技术可以大大减少成本和时间。
通过在计算机上进行仿真，可以避免昂贵的实验设备和长时间的试验过程。
5. 有限元仿真的局限性然而，有限元仿真技术也有一些局限性需要注意。
有限元课件ppt
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
《有限元法及其应用》课件
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
有限元法的基本概念和特点
边界条件和载荷对分析结果的影 响
边界条件和载荷的设置直接影响分析结果 的精度和可靠性，因此需要仔细考虑和验 证。
03 有限元法的特点
适应性
有限元法能够适应各种复杂形状和边 界条件，通过将连续的求解域离散化 为有限个小的单元，实现对复杂问题 的近似求解。
有限元法的适应性表现在其能够处理 不规则区域、断裂、孔洞等复杂结构 ，并且可以根据需要自由地组合和修 改单元，以适应不同的求解需求。
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感谢您的观看
通过将不同物理场（如结构、流体、电磁等）耦 合在一起，可以更准确地模拟复杂系统的行为。
多物理场耦合分析将为解决复杂工程问题提供更 全面的解决方案面具有重要作用。
通过先进的建模技术和优化 算法，可以更有效地设计出 高性能、轻量化的结构。
有限元法在结构优化方面的应 用将有助于提高产品的性能和
近似性
利用数学近似方法对每个单元体的行 为进行描述，通过求解代数方程组来 获得近似解。
通用性
适用于各种复杂的几何形状和边界条 件，可以处理多种物理场耦合的问题。
高效性
通过计算机实现，能够处理大规模问 题，提高计算效率和精度。
02 有限元法的基本概念
离散化
离散化
将连续的物理系统分割成有限个小的、相互连接的单元，每个单 元称为“有限元”。
随着计算机技术的发展，有限元法的精度不断提高，对于一些高精度要求的问题 ，有限元法已经成为一种重要的数值分析工具。
04 有限元法的应用领域
工程结构分析
01
02
03
结构强度分析
通过有限元法，可以对工 程结构进行强度分析，评 估其在各种载荷条件下的 稳定性。
工程中的数值模拟与仿真——1 有限元法的理论基础
Ω
隐含条件：假定的积分能够进行计算 ——对函数 v, v , u能够选取的函数族提出了一定的要
求和限制，以避免积分中任何项出现无穷大的情况。
v和v以函数自身形式出现在积分中，因此对 v和v的选择 只需是单值的，并分别在Ω内和Γ上可积的函数即可。 这种限制并不影响“微分方程等效积分形式” 的有效性
in
6
1.2 微分方程的等效积分形式
1、微分方程的等效积分形式
微分方程的等效积分形式
v1 v v 2 vn v1 v v 2 vn
Ω
v T Au dΩ v1 A1 u v2 A2 u vn An u dΩ 0
i 1
n
ui ai vi w i
待定参数
1 0 0 N i IN i N i 0 1 0 0 0 1 坐标的独立函数
17
1.3 加权余量法
1、精确解与近似解
加权余量法
n取有限项数时
u u N1a1 N 2 a2 N n an N i ai Na
控制方程及边界条件的矩阵形式 y A1 u A u Au 2 0 in
An u B1 u B u Bu 2 0 Bn u
e
e
Au 0
Bu 0
x
on
O
A
k Q 0 k x x y y 0 on B k q 0 on q n
Γ
微分算子C,D,E,F中所包含的导数阶数较A低，降低了u 的连续性，但以提高 v和v 的连续性为代价
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
第二讲有限元法的理论基础(ppt)
有限元法的理论基础-变分原理
➢ 特点 1) 近似解对全域而言 2) 试探函数要求满足一定的边界条件，近似解
的精度与试探函数的选择有密切关系。 3) 待定系数不表示特定的物理意义。 4) 如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适
的试函数，可以说事半功倍，但缺乏一般性。
有限元法的理论基础-变分原理
➢ 提示
1.1.1微分方程的等效积分形式
1.1微分方程的等效积分形式
1.1.1微分方程的等效积分形式
1.1微分方程的等效积分形式
1.1.1微分方程的等效积分形式
1.1微分方程的等效积分形式
1.1.1微分方程的等效积分形式
1.1微分方程的等效积分形式
1.1.1微分方程的等效积分形式
1.1微分方程的等效积分形式
作用：强迫余量在某种平均意义上等于零
1.2 加权余量法
1.2 加权余量法
3. 加权余量法的关键(两种函数的选择)
1）与等效积分形式不同：一个是精确解，而加权余量法得 到的为是近似解。
a.近似表达式为有限项。 b.对某些特定的权函数（非任意 ） 2）试函数：如能满足一定的域内条件或边界条件，使问题 简化，且有一定的精确度。 3）权函数：不同的权函数，涉及不同的计算格式。 例如：
1) 经典意义上的泛函变分理论只适应于线性自伴随 微分方程。
预备知识
三、均匀性假设 物体在各点处的弹性性质都相同。
四、自然状态假设 假设物体不受外力作用和温度的影响，物体便没 有应力和变形，即不考虑由于制造工艺引起的残 余应力和装配应力。
预备知识
弹性力学问题的矩阵表示
预备知识
一、基本物理量 位移： 应变： 应力：
预备知识
一、场方程 几何方程：
有限元法2讲课文档
工程有限单元法
(1)对象离散化
当研究对象为连续介质问题时，首先需要将所研究的对 象进行合理的离散化分割，即根据精度预期或经验将连续问 题进行有限元分割。
(2)单元分析
有限元方法的核心工作是单元分析，通过分析各单元的结点力与 结点位移之间的关系和边界条件，以便建立单元刚度矩阵。
从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研 究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许 多通用或专用的有限元分析软件。
理论研究的一个重要领域是计算方法的研究， 主要有：
大型线性方程组的解法，
非线性问题的解法。
第二十三页，共108页。
工程有限单元法
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究 对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨， 因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但 为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材 料力学中关于材料性质的假定。
第三十三页，共108页。
工程有限单元法
弹性力学基本方程
一 、弹性力学中的几个基本概念：
1、体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、 磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成
形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件 SysWeld等。
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工程有限单元法
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
有限元法介绍 PPT
与CAD软件的无缝集成
当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD 软件的集成使用， 即：在用CAD软件完成部件和零件 的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如 果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算， 直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。 当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的 CAD软件（ 例如Pro/ENGINEER 、Unigraphics 、 SolidEdge 、SolidWorks 、IDEAS 、Bentley 和 AutoCAD 等） 的接口。
3、增强可视化的前置建模和后置数据处理功 能
➢随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机 运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解 运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果 的表现问题却日益突出。
➢在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个 方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师 在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力 都花在数据准备和结果分析上。
取决于材料性质、形状、尺寸
节点位移
ui
v
i
e
u v
j j
u
m
v m
节点力
U i
V
i
F
e
U
V
j j
U
m
V m
FeKee
– 选择位移模式：在反映力和位移的关系式中，依据那一 个量是未知量，可建立不同的模型。
➢ 位移法：选择节点位移作为基本未知F量e称为K位e移法e ；
➢ 力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法； ➢ 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基
本未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法 中位移法应用范围最广。
有限元法简介.ppt
四边形单元
u4 v4
4 u1
v1
1
u2 v2 2
(82)
u3
v3 3
u2 v2
2
2节点
2×3
3个节点自由度
用处：平面刚架
3节点
3×2
2个节点自由度
用处：平面应力
4节点 2个节点自由度
4×2
用处：平面应力
轴对承单元
板单元 (板弯曲)
三维
三棱柱 (四面体单元)
节点数:3
处理问题对象:
uv1 1
节点自由度:2 轴对承问题
...... ......
......
......
......
......
...... ...... ...... ......
......
......
...... ...... ...... ......
......
0
...... 0
...... [K63]4
1
常数项
xy x2 xy y2
一次项 二次项
x3 x2 y xy2 y3 三次项
x4 x3 y x2 y 2 xy3 y 4 四次项
实例分析 对单元1进行分析
取位移模式 u=α 0+ α 1x 1点： x=0 u=u1 2点： x=l1 u=u2
l1
l2
P
A1
A2
1
2
1
2
3
划分单元
uu12
0 0
ANSYS
预备知识：
1.线性代数（矩阵加、减、乘、除、秩、逆、 分块等）
2.弹性力学
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解析解的困难
1 工程系统的构成较复杂 板、壳、梁、实体 多场耦合 2 非线性 材料非线性； 几何非线性； 边界条件非线性——接触问题 3 外载的形式复杂 静态、动态 温度载荷
计算力学的主要方法
弹 性 力 学 边 值 问 题 基本微分方程 有限差分法
变分原理
有限元法
边界积分方程
2、由位移函数求应变
由弹性力学的知识：
0 0 0 aj bj cj
ak bk ck 0 0 0
0 0 0 ak bk ck
2A 1 x j 1 xk
y j x j xi y k y j x k x j y j y i yk
ai x j yk xk y j a j xk y i xi yk ak xi y j x j yi
u( x, y) a1 a 2 x a3 y v ( x, y ) a 4 a 5 x a 6 y
写成矩阵：
a1 a 2 u 1 x y 0 0 0 a3 d Sa v 0 0 0 1 x y a 4 a5 a6
节点位移
节点几何量
1 ai bi x ci y ui a j b j x c j y u j ak bk x ck y u k u ( x, y ) 2A 1 ai bi x ci y vi a j b j x c j y v j ak bk x ck y vk v ( x, y ) 2A
或写成：
ux, y Ni ui N j u j N k uk vx, y Ni vi N j v j N k vk
可简写为：
d Nq
0 Ni Nj 0
e
Ni N 0
0 Nj
Nk 0
0 Nk
上式为单元内某点的节点位移插值表示的 多项式，称N为形状函数，其中：
任意点位移 任意点坐标
0 0 0 ai bi ci
aj bj cj 0 0 0
0 0 0 aj bj cj
ak bk ck 0 0 0
0 u i v 0 i 0 u j a k v j bk u k ck v k
边界元法
计算机仿真——一门新兴的边缘学科
工程背景 软件工程
计算机 仿真
计算机技术
计算数学
力学
可视化技术
仿真技术在新产品研发中的应用
Ｃ Ａ Ｅ
概念设计
结构设计
生产制造
Ｃ Ａ Ｄ
Ｃ Ａ Ｍ
新产品设计、生产过程
CAD
CAE
CAM
3 C 技术
有限元法的分析过程
有限元分析的六个基本步骤是： 1. 结构离散化； 2. 选择位移模式； 3. 分析单元力学特性； 4. 集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程；
5. 求解未知节点位移；
6. 计算单元应变和应力。
平面问题有限元方法介绍
以平面三角形为例：
vk
k ( xk , y k )
uk
v ( x, y )viu ( 源自, y )uivj
i( xi , yi )
j( x j , y j )
uj
1、设定位移函数
单元内的位移通过节点的位移插值得到。对于 三角形单元，可假定单元内的位移为 x , y 的线性 函数。
bi y j yk b j yk yi bk yi y j
ci xk x j c j xi xk ck x j xi
为不使A 为负值，图1中的i，j，k必须按逆时针方向标注
将上述式子代入 d Sa 有： ai b i u 1 1 x y 0 0 0 c i v 2 A 0 0 0 1 x y 0 0 0
Ni
ai bi x ci y
2A
Nj
Nk
a
j
bj x c j y
2A
2A
ak bk x ck y
选取单元位移函数的一般原则：
广义坐标 a i 是由节点场变量确定，因此， 其个数必须与节点自由度个数相等； 选取多项式时，常数项（反映刚体位移） 和坐标的一次项（反映常应变）必须完备； 当单元数目趋于无穷时，单元缩小趋于一 点，此时单元应变为常应变； 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取 完全多项式以提高单元精度。
u ( x, y), v( x, y)
1 xj 0 0 1 xk
这里: ai (i 1,2,3,...) 是广义坐标。 可以得到：
a C q
1 e
式中： 1 xi
ai b i ci 1 1 C 2A 0 0 0
yi
0 0 0 ai bi ci
aj bj cj 0 0 0
第二讲 工程仿真和有限元法简介
课 程 背 景
大多数实际工程系统地分析可分类为：
• 固体（结构）的强度、刚度和稳定性分析（位移、 应力和应变场）——静态分析；
• 结构的振动特性分析——动态分析； • 流体力学中的流场分析； • 传热学中的温度场分析； • 电磁学中的电磁场分析。 最终归结为：在给定边界条件下，求解控制方程（常 微分或偏微分方程）——求解边值问题。
既然是单元内某点的位移表达式， 当然三个节点上的位移也满足同样的表达式。
ui 1 xi v i 0 0 u j 1 x j e q v j 0 0 1 x k uk 0 0 vk yi 0 yj 0 yk 0 0 1 0 0 xi 0 0 a1 a yi 2 0 a3 Ca y j a4 0 a5 yk a6