兴化市板桥初级中学中考第二轮专题复习第五讲开放型问题

☆◇☆中考数学中的开放型问题☆◇☆

开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。

探索性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。

这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9％左右。

给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

[例1] 已知△ABC 内接于⊙O ，

⑴当点O 与AB 有怎样的位置关系时，∠ACB 是直角？

⑵在满足⑴的条件下，过点C 作直线交AB 于D ，当CD 与AB 有什么样的关系时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ？

⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD ＝2cm 。

[解析]：⑴要使∠ACB ＝90°，弦AB 必须是直径，即O 应是AB 的中点；⑵当CD ⊥AB 时，结论成立；⑶由⑵知DB AD CD ⋅=2

，即422

==⋅DB AD ，可作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD ＝4，过D 作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即得所求。

⑴当点O 在AB 上（即O 为AB 的中点）时，∠ACB 是直角； ⑵∵∠ACB 是直角，∴当CD ⊥AB 时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ；

⑶作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD =4，过D 点作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即为所求（如下图所示）。

[评注]：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设——求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。看似平常，实际上非常精彩。

[例2] （鄂州市中考题）如图，E 、D 是△ABC 中BC 边上的两点，AD ＝AE ，要证明△ABE ≌△ACD ，还应补充什么条件？

[解析]：这是一道条件开放题，解题关键是由AD ＝AE ，可 以得出∠1＝∠2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条 件。在△ABE 和△ACD 中只需要再有一个条件，即可证明 △ABE ≌△ACD 。于是可补充以下条件之一：

⑴BE ＝CD （SAS ）

⑵BD ＝CE （此时BE ＝CD ） ⑶∠BAE ＝∠CAD （ASA ）

⑷∠BAD ＝∠CAE （此时∠BAE ＝∠CAD ） ⑸∠B ＝∠C （AAS ）

⑹AB ＝AC （此时∠B ＝∠C ），……

[评注]：本题应充分利用已掌握的知识，从多个角度去思考、分析，并大胆猜想，寻求尽可能多的方法。

[例3] （北京市东城区）在△ABC 与△A /B /C /中，∠A=∠A /，CD 和C /D /分别为AB 边和A /B /边上的中线，再从以下三个条件：①AB =A /B /； ②AC =A /C /； ③CD =C /D /中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成_____个正确的命题。

[解析]：根据题意，需分情况构造命题，再判断命题的真假性。

⑴若∠A =∠A /，AB =A /B /，AC =A /C /，则得△ABC ≌△A /B /C /（SAS ），∴CD =C /D /（全等

A

B

C

1

2

三角形对应线段相等），可以构成真命题。

⑵当∠A=∠A/，AB=A/B/，CD=C/D/时，不能推得△ABC与△A/B/C/，或△ADC与△A/D/C/全等，∴AC与A/C/不一定相等。

⑶同理，当∠A=∠A/，AC=A/C/，CD=C/D/时，也不能证明AB=A/B/成立。

∴真命题只有1个。

[评注]：本题是探索性问题颇具新意的一例，本题需在分类构造命题的基础上，对命题的真假性给出判断，以一种新的方式突出了对考生推理、思维能力的考查，题目新颖，问题开放，贴近基础。

[例4]在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下6个说法：

①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

②如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

③如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

④如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

⑤如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

⑥如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

其中正确的说法有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

[解析]：本题主要考查平行四边形的判定，但命题者别出心裁设计了一道给出结论和部分条件，让考生探索附加条件的各种可能性的开放型试题，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查给出的6种说法。

说法①符合平行四边形的定义；说法②符合平行四边形的判定定理4；说法③由AB∥CD和∠DAB＝∠DCB，可判断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法④可举出等腰梯形反例；说法⑤能证出BO＝CO，符合平行四边形的判定定理；说法⑥不符合平行四边形的判定定理。

应选B。

[评注]：这是一道确定以附加条件为目的的开放型试题，命题者编拟此题，旨在让考生殊途同归，起到归纳总结之作用。

[题型设计与能力训练]

1．（安徽省中考题）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的

解均是⎩

⎨⎧==42y x 和⎩⎨⎧-=-=42y x , 试写出符合要求的方程组 (只要填写一个即可)。

2．（乌鲁木齐中考题）已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，若使CB =BD ,则还需要添加什么条件___________（填出一个即可）。

3．如图，P 是四边形ABCD 的DC 边上的一个动点，当四边形 ABCD 满足条件： 时，△PBA 的面积始终保持不变。（注：

只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。

4．（安徽省中考题）已知242

--ax x 在整数范围内可以分解因式，则整数a 的值是__________ （只需填一个）。

5．如左图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。

⑴使三角形的三边长分别为3、22、5 （在图①中画一个即可）；

⑵使三角形为钝角三角形且面积为4（在图②中画一个即可）

6．（江西省中考题）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AE ⊙O 于点A ，BC ∥AE ，

⑴求证：△ABC 是等腰三角形；

⑵设AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 是射线AE 上 的点，若以A 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，问这 样的点有几个？并求AP 的长．

7．如图，已知△ABC ，P 是AB 边上一点，连结CP 。

⌒

⌒ D

P A

C

B