第2章 例题习题

有
1 m11
3EI 62ml 3
ymax
4F 499 Fl 3 1P F 1P 3 36 EI
习题1. 求图示体系中弹簧支座的最大动反力及梁的最大动位移 k 。已知梁EI=∞，弹簧的刚度系数k，且有： 2 m
ml ml
k 2l
解： 结构的动力及位移图： 结构的动力方程： A点的静力位移及相应弹簧反力： 弹簧的最大动反力： 梁的最大动位移：
9q0l 2 9q ml kl sin t 0 k 0 sin t 8 m 8m
2 2
C点的静力位移及相应弹簧反力： 弹簧的最大动反力： 梁的最大动位移：
FCd .FRC
yd max 3 yCst 2
yCst
9q0l 8k
FRC
9q0l 4 27q0l 8k
9q0l 8
5
一、判断题
1. 动力荷载对结构的影响不仅随时间而变化，而且 使结构产生不容忽视的惯性力。（ √ ） 2. 动力位移总是要比静力位移大一些。（ ╳ ） 3. 单自由度体系， 刚度系数与柔度系数的关系是 ： k=1/δ。 （ √）
m
4. 图示体系作动力计算时，若不计轴 向变形影响则为单自由度体系。 （ ╳）
6. 结构的动弯矩幅值图：
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例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩为I，弹性模量 为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周期。
解：解题的依据
T
2

m I
l

刚度系数：使质点产生单位位移需要施加的力。
k 1/
柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移。
1 1l 2l l
M A 0 m1l l m2l l m3 3l 3l k 2l 2l 0
12ml 2 4kl 2 0 k 0 3m k 3m
10
例6. 图示刚架的质量集中在横梁上，质量m=1000kg，忽略柱 子的质量及杆的轴向变形，求横梁（柱顶点）的最大侧移，并 画出刚架的动弯矩的幅值图。已知： P(t ) 8kN.sin t, 0.8
解：体系的约束越强，刚度越大, 所以（ A ）
9
，
，
q0
三、动力计算
例5. 求图示体系中m1=2m， m2= m3=m 。已知梁EI=∞，弹簧 的刚度系数k，求质点的振动频率。
m1
m1l
m2
a
EI=∞ k
m3
lFra Baidu bibliotek
l
m2l l
k 2l l
m3 3l
解：体系振动中的力： 刚度法建立体系的动力方程：
24EI1 g k 2 m Wl 3 3 2 Wl T 2 24 EI1 g
EI1
1
1
EI1
T 2
20 10 6 0.1434 s 7 24 3.528 10 9.8
3
3
A
12EI1 l3
24EI1 k= 3 l B 12EI1 返回目录 l3
例4. 求图示体系中弹簧支座的最大动反力及梁的最大动位移。 已知梁EI=∞，弹簧的刚度系数k，且有： 2 2k m
ml 2
a
k
kl
m 3l 3 2
2 k
m

解： 结构的动力及位移图：
1 2
2
1
2

M B 0 m l l m 3l 3l kl l q0 sin t 3l 3l 0 2 2 3 2 2 2 4
13
习题2. 求梁跨中的振幅及最大位移，并画出动弯矩幅值图。已 (t ) 8kN .sin t , 0.8 知EI=常数，W=9kNP ，
P ( t) W 2m 2m
解： 1. 作单位荷载作用下的弯矩图： 2. 求柔度系数及自振频率： 3. 荷载幅值作用的跨中静位移： 4. 动力系数： 5. 梁的最大动位移及最大位移：
l
0.5 l
0.5 l
6
一、判断题
5. 在动力计算中，以下两图所示结构的动力自由
度相同(各杆均为无重弹性杆)。
m1 m2 m1
( ╳ )
m3
m4
m2
7
二、选择填空
1. 体系的跨度、约束、质点位置不变，下列哪种况自 振频率最小： （ D ) A．质量小，刚度小 B．质量大，刚度大 C．质量小，刚度大 D．质量大，刚度小 2. 已知一单自由度 体系的阻尼比为=1.2，则该体系自 由振动时的位移方程曲线的形状可能为。 （ D ）
1 1 2 11 2l 3 l 3 62l 3 11 ( l l l 2) 20 EI 2 3 k 3EI EI 3EI
1 1 l 2l 1 3l l l 1 l l l 2 1 1 19l 3 10l 3 499l 3 1P ( l ) 1 EI 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 k 48 EI EI 48EI

2
1
57.43
2
力的放大倍数。
例3：图示梁l=4m，惯性矩I=7480 cm4 ，弹模E=2.1104KN/cm2 。 在跨中有电动机，重量Q=35KN，转速n=500r/min。电机转动的离心 力P=10KN，离心力的竖向分力为Psint。不计梁的质量，试求梁振动的 1 最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。 1
2
3
EI 2
3
3EI
1

k 1 3EI m m m l3
I
m l3 T 2 3EI
2
M图
l
l
例2：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KN，试计算结构 的自振周期。EI1=3.528107Nm2. I=∞
EI1 EI1


考虑梁AB的平衡可得： 24EI1 k 3 l 结构的自振频率和周期：
11 5
EI
0.5l
1 EI
0.5l
荷载频率： 2n 2 500 52.36 / s M M 1 60 60 1 1 2 2 5.93 3. 动力系数： 为动力位移和动力应 52.36
2.
1
0.25l
4.
最大动位移（振幅）： 3 4 yd max P 10 5.93 5.03mm 8 5 48 2.110 7.48 10
1.
体系自由振动的频率：
3
Psint
1 1 1 l l 2 l 2 l k EI 2 2 4 3 4 48EI 2 1 48EIg k 1 3 m m m Ql
10 9.8 57.43/ s 48 2.1 10 73.48 3 35 10 4
l=6m
• 结构的刚度系数即使柱顶发生单 位位移时，在柱顶需施加的力。
例3：图示梁l=4m，惯性矩I=7480 cm4 ，弹模E=2.1104KN/cm2 。 在跨中有电动机，重量Q=35KN，转速n=500r/min。电机转动的离心 力P=10KN，离心力的竖向分力为Psint。不计梁的质量，试求梁振动的 最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。
P(t)
200/9
200/9 200/9
EI
P(t)
EI=
200/9
EI
EI
EI 4m
200/9
200/9
EI 3EI 解：结构的刚度系数及频率： k 243 8 l 横梁的最大静力位移： yst P0 64 k 3EI
25 9 1 2
2
2 k
m
动力系数：

1
1600 梁的最大动位移： yd max yst 27 EI

结构的动弯矩幅值图：
11
例7. 试求图示体系的自振频率及质量m的最大动力位移， 设θ=0.
5ω ，弹簧刚度k=0.05EI／l 3, 各杆EI相同。（天津大学1996年）
m B Fsin θ t A l
1 P
l/ 2 C l/ 2 l/ 2 D F=1
F= 1 l l/ 2
l
MP
1/2
M1
1
2 2 动力方程：y my11 F sin t1P y y F1P sin t
A y t B y D t y t8 C y t
二、选择填空
3. 图示三个单跨梁的自振频率之间关系分别为:
m (a) EI a EI a (b) EI a m EI a
(c) m EI a EI a
A. ωa>ωc> ωb C. ωb>ωa> ωc
B. ω a>ωb > ωc D. ωc> ωa> ωb
体系自由振动的频率： 3 1 1 1 l l 2 l l 2 k EI 2 2 4 3 4 48EI 动力系数： 5.93
4.
EI EI
M maxM 194.3kN.m 0.25l 1
EI
0.25l M M
最大动位移（振幅）：
yd max P 5.03mm
M d max
0.25l 59.3kN.m M
最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。 3 4 ymax W P 35 10 5.93 8.0mm 8 5 48 2.110 7.48 10 5. 最大动弯矩： M d max PM1 10 l 5.93 59.3kN .m 4 最大弯矩： M max WM1 PM1 35 10 5.93 l 94.3kN .m 4