2016—2017学年度第一学期期末检测试题

高三数学试题Ⅰ 第1页（共6页）

2016—2017学年度第一学期期末检测试题

高 三 数 学 2017.01

试 题Ⅰ

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．已知集合{0}A x x =≤，{1012}B =-，，

，，则A B = ▲ ．

2．设1i i 1i

a b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab = ▲ ．

3．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ． 4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5，

则输出的y 的值为 ▲ ．

5

．已知直线:20l x -=与圆22C :x +y =4交于,A B 两点，

则弦AB 的长度为 ▲ ．

6．已知,A B {}3,1,1,2∈--且A B ≠，则直线10Ax By ++=的斜率

小于0的概率为 ▲ ．

7．若实数,x y 满足10

101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩

，则23z

x y =+的最大值为 ▲ ． 8．若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm ），侧面积为8（单位：2cm ），

则它的体积为 ▲ （单位：3cm ）.

9．已知抛物线2

16y x =的焦点恰好是双曲线

22

2112x y b

-=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．

（第4题图）

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10．已知1cos(

)3

3π

α+=

()2

π

α<<0，则sin()πα+= ▲ ． 11．已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>两个相邻的极值点，且()f x 在

2x =处的导数()20f '<，则()0f = ▲ ．

12．在正项等比数列{}n a 中，若4321226a a a a +--=，则56a a +的最小值为 ▲ ． 13．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满

足21

33

AQ AP AC =+，则BQ 的最小值是 ▲ ．

14．已知一个长方体的表面积为48（单位：2

cm ），12条棱长度之和为36（单位：cm ），

则这个长方体的体积的取值范围是 ▲ （单位：3

cm ）．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

在ABC ∆中，6AB =

，AC =18AB AC ⋅=-． （1）求BC 的长；

（2）求tan 2B 的值． 16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点. （1）求证：EF ∥平面P AB ；

（2）若AP =AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD .

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17．（本小题满分14分）

如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在∆ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方.经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4

MPN π

∠=.记EPM θ

∠=（弧度），监控摄像头的可视区域∆PMN 的面积为S 平方米．

（1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：5

tan 34

≈） （2）求S 的最小值.

18．（本小题满分16分）

如图，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>，圆222:O x y b +=，过椭圆C 的上顶点A 的直线

l :y kx b =+分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P 、Q ，设AP PQ λ=．

（1）若点(3,0),P -点(4,1),Q --求椭圆C 的方程； （2）若3λ=，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．

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19．（本小题满分16分）

已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，

112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及

3124122334

11

3

n n n b b b b a a a a a a a a ++++++

<成立，求正实数1

b 的取值范围；

（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使

11,,s t

s t

A A A

B B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）

已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()x g x e =，2

()h x x ax a =++．

（1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；

（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；

（3）

当0a =

时，对于给定的正整数k ，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？

请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e ≈≈≈≈）