直线与圆相交弦长问题
直线与圆相交弦长问题
二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2＜r ；性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二：[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析：[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解析：三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B2＜r ； 性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．[解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)，∴|OC |＝|－1|2＝22.∵r ＝22， ∴|BC |＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12， ∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. [练习已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有⎝⎛⎭⎪⎫|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．。
直线与圆相交的弦长问题
【方法3】联立方程求交点，韦达定理求弦长（此 方法有普适性）
பைடு நூலகம்
直线与圆相交 例1 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y22y-4=0截得的弦长.
例2.已知过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x2y+1=0截得的弦长为√2,则直线l的斜率为
问题：圆C:（x-a)2 ( y b)2 r 2 , P( x0 , y0 )为圆内一点， 过P点的弦与圆交于A，B，当CP与AB满足什么条件时 弦AB的长度最小。
直线与圆的位置相交时弦长问题
问题：已知直线Ax+Bx+C=0,与圆（x-a) ( y b) r
2 2
2
交于A，B两点，则弦AB的长度。 （圆心到直线距离用d表示）
求弦长的三种方法: 【方法1】先联立方程求交点，再用两点间的距离公式求弦 长
【方法2】利用弦心距、弦长一半、半径构成的直角三角形 解决
例3：已知直线l： 2mx y 8m 3 0和 圆C：x 2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1)m R时，证明l与C总相交 （2）m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长
总结：圆的弦长的几种求法
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
直线圆的位置关系1直线与圆的位置关系
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法二：直线 l 的方程为 y=k（x-4），即 kx-y-4k=0.
圆心 O 到直线 l 的距离 d= | 4k | ，圆 O 的半径 r=2 2 . k2 1
（1）当 d= | 4k | <2 2 ,即-1<k<1 时，直线 l 与圆 O 相交. k2 1
（2）当 d= | 4k | =2 2 ,即 k=±1 时，直线 l 与圆 O 相切. k2 1
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1.直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定方法: (1)代数法:直线与圆的方程联立消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,此方程的判别式为 Δ,则
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探究要点一:直线与圆相交 1.直线与圆相交求交点坐标,只需联立两方程求解二元二次方程组即可. 2.直线与圆相交时弦长的求法 (1)求出交点坐标,利用两点间距离公式,求出弦长; (2)利用弦长公式求:
d=|x1-x2| 1 k 2 = (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
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变式训练 1-1：已知圆 O：x2+y2=8，过 P（4，0）的直线 l 的斜率 k 在什么范围内取值时，直线 l 与圆 O： （1）相交？（2）相切？（3）相离？
解：法一：设直线 l 的方程为 y=k（x-4），
y k(x 4)
直线与圆所截弦长公式
直线与圆所截弦长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆所截弦长公式是几何学中重要而基础的知识点。
当一个直线与一个圆相交时，构成的弦是直线与圆的一个重要交点。
在几何学中，我们经常需要求解直线与圆所截弦的长度，这就需要运用直线与圆所截弦长公式。
下面我们将详细介绍直线与圆所截弦长公式的推导过程及其应用。
我们需要明确的是在几何学中，有一个重要的定理：当直线与圆相交时，直线与圆所截弦长的乘积等于两条弦分割的线段之积。
即设直线AB与圆O相交于点A、B，则有AO×OB=AO'×OB'。
A、B为直线AB与圆O的交点，O为圆心，而A'、B'则是弦AB分割的两段。
根据上述定理，可以推导出直线与圆所截弦长公式。
假设直线AB 与圆O相交于点A、B，圆心为O，弦AB分割为AO'和OB'两段。
设弦长为L，AO的长度为x，OB的长度为y，则有x+y=L。
根据定理可知，AO×OB=AO'×OB'，即x×y=(L-x)×(L-y)。
化简上式，可得到x×y=L²-Lx-Ly。
然后通过齐次二次方程的求解方法，可以得到x和y的值。
进而可以求得AO和OB的长度，即直线与圆所截弦的长度。
除了直线与圆所截弦长的求解，直线与圆的位置关系也是几何学中的一个重要问题。
当直线与圆相交时，有六种可能的位置关系：相交两点、内切、相切、外切、相离、内含。
每种情况下，弦的长度和位置都有不同的特点和计算方法。
在实际问题中，直线与圆所截弦长公式的应用是非常广泛的。
数学、物理、工程学等领域的问题中，经常需要计算直线与圆相交时弦长的长度。
在工程设计中，有时需要计算杆件与圆轴相交时的弦长，以便确定杆件的长度和位置；在地理学中，需要计算地球表面上两点之间的最短距离时，也可以利用直线与圆所截弦长公式。
直线与圆所截弦长公式是几何学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆的交点、弦的长度、位置关系等内容。
直线与圆相交
题型六、数形结合问题
2 x 1 y • 7.若直线y=x+k与曲线 恰有一个公共点,
k 2或k (1,1] 则k的取值范围是________________.
小结：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的距离公式 表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0， 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。 d r
5 5=r 10
代数法： 3x +y－6=0
x2 + y2 － 2y － 4=0 消去y得：x2-3x+2=0 =(-3)2-4×1×2=1>0
2 2
练习题： P128 1、2、3、
练习1:已知圆
x y 4,
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1 (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1
(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1
(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1
作业：
课本P132 3、5、
几何法：
圆心C（0，1）到直线l的距离 d=
|3 0 1 6|
32 12
所以直线L与圆C相交
所以方程组有两解， 弦长= 10 2 2 ( 5)2 ( ) 10 2 直线l与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：
圆的弦长的求法
几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边
易错点15 直线和圆(解析版)
所以
,
由题设可得 ，解得 ，所以l的方程为 .
故圆心在直线l上，所以 .
题组四：直线与圆相切
10．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）】已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
11．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）】若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（）
易错点15直线和圆
易错点1： 直线的方程
若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。
易错点2：圆的方程
(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；
【解析】“直线 ： 与直线 ： 平行”的充要条件是 ，解得， 或 ，所以是充分不必要条件。故选： .
题组二：圆的方程
4.【2020年北京卷】已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．
A.4B.5C.6D.7
【答案】A.
【解析】设圆心 1为半径的圆，
若直线 ： （其中 为常数），则直线 必过定点 ；
听蔡运倩老师《探究直线与圆相交弦长问题求法》课有感
听蔡运倩老师《探究直线与圆相交弦长问题求法》课有感
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听蔡运倩老师《探究直线与圆相交弦长问题的求法》的课有感
今天有幸听了一节数学课，受益匪浅。
在全面减轻中小学生过重课业负担的大形势下，只有向教改要效率，充分利用好课堂分钟，才能提高教育教学质量，全面提高学生素质，使学生能领悟到数学的魅力，感受到数学的乐趣，进而感受数学之美。
作为生物老师，现谈谈自己听课后的一些心得体会。
一、精心设计课堂教学
教学设计是老师为达到预期教学目的，按照教学规律，对教学活动进行系统规划的过程。
从课堂教学中，能感受到教师的准备是相当充分的：不仅教材，
学生，还是基础目标，都体现了依托教材、以人为本的学生发展观。
二、教学过程精致
从授课教师的教学过程来看，是经过了精心准备的，从知识回顾到探究新知，每一个问题的设置都恰到好处。
教师能根据自己学生的知识水平、认知能力设计教学的各个环节，在知识深难度的把握上处理得很好。
三、注重知识的传授与能力的培养相结合
当今命题指导原则是，有利于高校对人才的选拔，确立了以能力立意的命题指导思想，这就加大了对能力的考查，为此在教学过程中特别注意了这个问题：在了解基础知识的基础上，提出问题让学生思考，指导学生去解疑，从而达到在传授知识的基础上使学生的能力得到培养的目的。
心得体会,中小学生,基础知识,发展观,数学课
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圆的弦长的计算公式
圆的弦长的计算公式圆的弦长公式知识梳理⼀、直线与圆的位置关系 1．⼏何判定法：设r 为圆的半径，d 为圆⼼到直线的距离： (1)d >r ?圆与直线相离； (2)d ＝r ?圆与直线相切； (3)d由?=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax 消元，得到⼀元⼆次⽅程的判别式Δ，则 (1)Δ>0?直线与圆相交； (2)Δ＝0?直线与圆相切； (3)Δ<0?直线与圆相离．⼆、圆的切线问题 1.切线⽅程（1）圆()()222x a y b r -+-=上⼀点()00,P x y 处的切线⽅程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=（2）圆220x y Dx Ey F ++++=上⼀点()00,P x y 处的切线⽅程为0000022x x y y x x y y D E F ++++++=g g 2.切线长公式过圆外⼀点()00,P x y 引圆的切线，设点为T ,则切线长MT =MT =三、弦长问题 1.⼏何法直线l 与圆C 交于,A B 两点，圆⼼C 到直线l 的距离为d ，则圆的半径r ，d 与弦长AB 的⼀半构成直⾓三⾓形的三边，即2222AB d r ??+=，故求出2AB 后再求AB ． 2.代数法——弦长公式设圆()()222x a y b r -+-=，直线l ：y kx b =+，则l 被圆截得的弦长L =或L =典型例题例1：已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值．解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利⽤弦长公式求解．答案：(1)解法⼀：由?x 2＋y －12＝5mx －y ＋1－m ＝0，消去y 整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.∵Δ＝(－2m 2)2－4(m 2＋1)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，对⼀切m ∈R 成⽴，∴直线l 与圆C 总有两个不同交点．解法⼆：由已知l ：y －1＝m (x －1)，故直线恒过定点P (1,1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P (1,1)在圆C 内．∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)解法⼀：圆半径r ＝5，圆⼼(0,1)到直线l 的距离为d ，d ＝r 2－?|AB |22＝32.由点到直线的距离公式，得|－m |m 2＋－12＝32，解得m ＝± 3.解法⼆：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x2] ＝(1＋k 2)100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ∴m ＝± 3.练习1：直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交，截得的弦长为45，求l 的⽅程．答案：解法⼀：设直线l 的⽅程为y －5＝k (x －5)且与圆C 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，y －5＝k x －5x 2＋y 2＝25消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0.∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0. 解得k >0.x 1＋x 2＝－10k 1－k k 2＋1，x 1x 2＝25k k －2k 2＋1. 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1＝4 5.两边平⽅，整理得：2k 2－5k ＋2＝0.解得：k ＝12，或k ＝2.故直线l 的⽅程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －5＝0.解法⼆：如图所⽰，|OH |是圆⼼到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的⼀半，在Rt △AHO 中，|OA |＝5，|AH |＝12|AB |＝12×45＝25，∴|OH |＝|OA |2－|AH |2＝ 5. ∴|51－k |k 2＋1＝ 5.解得：k ＝12或k ＝2. ∴直线l 的⽅程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －练习2：求直线:360l x y +-=被圆22:240C x y y +--=解得的弦长答案：解法⼀：圆22:240C x y y +--=可化为()2215x y +-=∴圆⼼()0,1C ,半径5r =点C 到直线l 的距离为22301610231d ?+-==+ ∴()222210105222ABr d ??=-=-= ? ???∴10AB = 解法⼆：联⽴直线l 与圆C 的⽅程22360240x y x y y +-=??+--=? 消去y 得：2320x x -+=设两交点,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y 由韦达定理有12123,2x x x x +==g ∴弦长()2 21334210AB =+--?=g 例2：已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0.求两圆的公共弦所在的直线⽅程及公共弦长．解析：因两圆的交点坐标同时满⾜两个圆⽅程，联⽴⽅程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线⽅程．利⽤勾股定理可求出两圆公共弦长．答案：设两圆交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标是⽅程组x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的解①②①－②得 3x －4y ＋6＝0.∵A 、B 两点坐标都满⾜此⽅程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线⽅程．易知圆C 1的圆⼼(－1,3)，半径r ＝3. ⼜C 1到直线AB 的距离为 d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝232－? ????952＝245.即两圆的公共弦长为245.课后练习1．已知圆C 和y 轴相切，圆⼼在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的⽅程．答案：由题意可设圆⼼坐标为(a ，a 3)，圆的半径R ＝|a |，由题意得(|a －a3|2)2＋(7)2＝a 2，∴a 2＝9，a ＝±3.故所求圆的⽅程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得弦长是( )A.6B.522C ．1 D.2答案 A。
2024高考数学常考题型 第18讲 直线与圆常考6种题型总结(解析板)
第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。
理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。
接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。
想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。
这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。
当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。
直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
若 d ＜ r，则直线与圆相交。
比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。
若 d ＝ r，则直线与圆相切。
比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。
若 d ＞ r，则直线与圆相离。
比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。
若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。
若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。
三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。
弦长的计算可以通过勾股定理来推导。
设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。
首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
直线与圆相交求弦长
直线与圆相交求弦长
【典型例题】
1、直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25 相交，截得弦长l为 4 5 , 求m的方程.
解：设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径
r
=
5，弦长的一半
l 2
2
5,
所以由勾股定理，得：d
2
52 2 5
5,
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即
故a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 25 0 或 2 x 5 y 25 0 ;
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
(2)连接MB，MQ，设 P(x,y),Q(a,0),由点M， P，Q在一直线上，得 2 y 2,(A)
a x
由 |M B|2|M P||M Q|,即 x2(y2)2 a241,(B ) 把（A）及（B）消去a，并注意到y<2 ，可得
x2(y7)21(y2). 4 16
2 k 1k2 1k2 1 0(1k2)11k21k22, 即k2＝3，故k＝± 3 . 答案：A
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，
Q是x轴上的动点，QA，QB分别切
⊙M于A，B两点，(1)如果| A B | 4 2
求直线MQ的方程；
的方程为
y + 3 = k (x + 3)， 即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的
距离 2 3k 3 因此 2 3k 3
d
.
5,
k2 1
k2 1
直线与圆相切、弦长问题(学生)
直线与圆的位置关系（复习）复习要求1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.[难点正本疑点清源]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________题型一直线与圆的位置关系例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．(2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________．题型二圆的切线问题例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x －1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4. （a>0）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；方法与技巧1．过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. 2．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法：设切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出． 3．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数法：设直线与圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点,两点间距离公式。
直线与圆的位置关系与性质知识点总结
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。
- 直线位于圆的内部，没有交点。
- 直线位于圆的外部，也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。
通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。
直线与圆的位置关系
2．代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
解方程组 消y后得关于x的一元二次方程，从而求
得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝ （此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 ）
(其中x1，x2为两交点的横坐标．k为直线斜率)．
2 2 x y 4 例1 、已知直线 y= x+1 与圆
(1)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时
可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的
距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不
存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.
(2)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用 圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切= 1 , 代入 kCP 点斜式方程可得. 也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过 该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(xa)+(y0-b)(y-b)=r2.
一.直线与圆的位置关系 想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
（1）
（2）
（3）
二.直线与圆的位置关系 那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位 置关系？ 判断直线与圆的位置关系有两种方法： 方法一：代数法，判断直线l与圆C的方程组成的 方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共 点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数 解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相 离． 方法二：几何法，判断圆C的圆心到直线l的距离 d与圆的半径r的关系．如果d< r ，直线l与圆C相交；如 果d= r ，直线l与圆C相切；如果d> r ，直线l与圆C相 离．
圆的方程与专题复习(直线与圆圆与圆的位置关系轨迹问题)知识梳理
圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）知识梳理浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2． 圆的标准方程① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()0222>=-+-r r b y a x ，其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r y x =+；② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3． 圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D ；② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项③ 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件是0≠=C A 且0=B ；二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是0≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D4． 圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量θ将变量y x ,联系起来的一个方程. ① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==r y r x 为参数）；② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数）； 5． 圆方程之间的互化022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D配方⇔44222222F E D E x D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+即圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E ，D ，半径F E D r 42122-+=⇔利用()()222sin cos r r r =+θθ得θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数） 6． 确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。
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二、直线与圆相交弦长问题
一、知识储备
性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d
＝A 2＋B
2＜r ；
性质2：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0
x －a 2＋y －b 2＝r 2
消元得
到一元二次方程的判别式Δ＞0；
性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦
心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭
⎪⎫
|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习
[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点
P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．
解析：法一：
法二：
[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，
求圆C 的方程．
解析：
[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截
y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
解析：
三、类题通法
求直线与圆相交时弦长的两种方法
.
-
(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，
弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭
⎪⎫
|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2
r 2－d 2.
(2)代数法：如图2所示，将
直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝
x 1－x 2
2＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|
＝1＋1
k
2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．
二、直线与圆相交弦长问题
一、知识储备
性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |
A 2＋B
2＜r ；
性质2：由⎩⎪⎨
⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0
x －a 2＋y －b
2＝r 2
消元得
到一元二次方程的判别式Δ＞0；
性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦
心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝
⎛⎭
⎪⎫
|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习
[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点
P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． [解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，
∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2
＝2
2.∵r ＝2
2，
∴|BC |＝
8－
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝
30.
法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得
2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7
2
，
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|
＝
1＋1[x 1＋x 22－4x
1x 2]＝
30.
(2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ，
∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1
2，
∴直线AB 的方程为y －2＝1
2(x ＋
1)，即x －2y ＋5＝0.
. [练习已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－
-
.
-
3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，
求圆C 的方程．
解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2
＝
2|m |.由半径、弦心距、半弦长的
关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.
[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截
y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
[解] 法一：如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝ |AC |2－|AO |2
＝
52－42＝3.设点C 坐标
为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3，
∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25.
法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25. ∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25. 三、类题通法
求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆
的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝
⎛⎭
⎪⎫
|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2
r 2－d 2.
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则|AB |＝
x 1－x 22＋y 1－y 22＝
1＋k 2|x
1－x 2|＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|(直线l 的斜
率k 存在)．
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