成才之路人教B数学必修同步测试：第三章 基本初等函数 含答案

第三章 3.4

一、选择题

1．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则下列结论中正确的是( )

A ．x >22%

B ．x <22%

C ．x ＝22%

D ．x 的大小由第一年产量确定

[答案] B

[解析] 由题意设第一年产量为a ，则第三年产量为a (1＋44%)＝a (1＋x )2，∴x ＝0.2.故选B ．

2．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )

A ．12 h

B ．4 h

C ．3 h

D ．2 h [答案] C

[解析] 细菌的个数y 与分裂次数x 的函数关系为y ＝2x ，令2x ＝212，解得x ＝12，又每15 min 分裂一次，所以共需15×12＝180 min ，即3 h.

3．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )

[答案] D

[解析] 本题考查指数函数的解析式与图象．设山区第一年绿色植被面积为a ，则y ＝a ×(1＋10.4%)x

a

＝(1＋10.4%)x ，故选D ．

4．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的1

3

以下，则至少需要重叠玻璃板数为( )

A ．8块

B ．9块

C．10块D．11块

[答案] D

[解析]设至少需要重叠玻璃板数为n，

，解得n≥11.

由题意，得(1－10%)n≤1

3

5．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各1件，盈亏情况是()

A．不亏不赚B．亏5.92元

C．赚5.92元D．赚28.96元

[答案] B

[解析]设A产品的原价为a元，B产品的原价为b元，则

a(1＋20%)2＝23.04，求得a＝16；

b(1－20%)2＝23.04，求得b＝36.

则a＋b＝52元，而23.04×2＝46.08元．

故亏52－46.08＝5.92(元)．故选B．

6．某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比()

A．不增不减B．约增8%

C．约增5% D．约减8%

[答案] D

[解析]设原来成本为a，则现在的成本为a(1＋20%)2(1－20%)2＝0.921 6a，比原来约减8%.

二、填空题

7．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，则市场平衡价格为________元/件．

[答案]30

[解析]由题意，知y1＝y2，∴－x＋70＝2x－20，

∴x＝30.

8．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指

数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2； ③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；

④设野生水葫芦蔓延至2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1、t 2、t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

其中，正确的是________．(填序号)． [答案] ①②④

[解析] ∵关系为指数函数，∴可设y ＝a x (a >0且a ≠1)．由图可知2＝a 1.∴a ＝2，即底数为2，∴说法①正确；∵25＝32>30，∴说法②正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法③不正确；t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴t 1＋t 2＝t 3.∴说法④正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法⑤不正确．故正确的有①②④.

三、解答题

9．某乡镇目前人均一年占有粮食360 kg ，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后人均一年占有y kg 粮食，求函数y 关于x 的解析式．

[解析] 设该乡镇目前人口量为M ，则该乡镇目前一年的粮食总产量为360M . 经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)，人口总量为M (1＋1.2%)， 则人均占有粮食为360M (1＋4%)M (1＋1.2%)

；

经过2年后，人均占有粮食为360M (1＋4%)2

M (1＋1.2%)2

； ……

经过x 年后，人均占有粮食为y ＝360M (1＋4%)x

M (1＋1.2%)x

＝360(1.041.012)x ＝360(260

253

)x .

即所求函数解析式为y ＝360(260

253

)x .

10．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?

[解析] 设新树苗的木材量为Q ，则10年后有两种结果： 连续生长10年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； 生长5年后重新栽树木，木材量M ＝2Q (1＋18%)5. 则M N ＝2(1＋10%)5

. ∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴M

N

>1，即M >N .

因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量.

一、选择题

1．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2010年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是 ( )

A ．y ＝0.95x 50

·m

B ．y ＝(1－0.05x

50

)·m

C ．y ＝0.9550－

x ·m D ．y ＝(1－0.0550－

x )·m

[答案] A

[解析] 设每年减少的百分比为a ，由在50年内减少5%，得(1－a )50＝1－5%＝95%，即a ＝1－(95%)1

50

.

所以，经过x 年后，y 与x 的函数关系式为 y ＝m ·(1－a )

x

＝m ·(95%)x

50 ＝(0.95)x

50

·m .

2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为( )

A ．300

B ．400

C ．600

D ．700

[答案] A