成才之路人教B数学必修同步测试：第三章基本初等函数含答案

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【成才之路】高二数学人教B版必修3 同步精练：2.2.1 第1课时用样本的频率分布估计总体的分布(一) Word版

第二章 2.2 2.2.1 第1课时一、选择题1．从某批零件中抽出若干个，然后再从中抽出40个进行合格检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为( )A ．36%B ．72%C ．90%D ．25%[答案] C[解析] 用样本的合格率近似代替总体的合格率为3640×100%＝90%.2．在用样本估计总体分布的过程中，下列说法正确的是( ) A ．总体容量越大，估计越精确 B ．总体容量越小，估计越精确 C ．样本容量越大，估计越精确 D ．样本容量越小，估计越精确 [答案] C[解析] 用样本估计总体分布时，样本容量越大，估计越精确．3．(2015·湖南文，2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：min)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4 C.5 D ．6[答案] B[解析] 成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×2035＝4(人)，故选B.4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A．45 B．50C.55 D．60[答案] B[解析]根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.5．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长形的面积和的14，且样本容量为200，则第8组的频数为()A．40 B．0.2C.50 D．0.25[答案] A[解析]设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频率为200×0.2＝40.6．一个容量为20的样本数据分组后，组距与频数如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2.则样本在(－∞，50]上的频率为() A．90% B．70%C.50% D．25%[答案] B[解析]样本在(－∞，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14，故在(－∞，50]上的频率为14÷20＝70%，故选B.二、填空题7．(2015·河北行唐启明中学高一月考)样本容量为1 000的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算x的值为________，样本数据落在[6,14]内的频数为________．[答案]0.09680[解析]由题意得4×(0.02＋0.08＋x＋0.03＋0.03)＝1，解得x＝0.09.4×(0.08＋0.09)×1 000＝680.8．(2015·湖北文，14)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．[答案](1)3(2)6 000[解析]由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解之得a＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6×10 000＝6 000.三、解答题9．为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)．已知从左至右前3个小组的频率之比为，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，求抽取顾客多少人？[解析]前三组频率和为1－0.075－0.175＝0.75.又前三组频率之比为，所以第二组频率为26×0.75＝0.25.又知第二组频数为10，则100.25＝40(人)，故所抽取顾客为40人.一、选择题1．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100 g的个数是36，则样本中净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品个数是()A．90 B．75C.60 D．45[答案] A[解析]本小题主要考查了频率分布直方图，考查了读图用图的能力．产品净重小于100 g的频率P＝(0.050＋0.10)×2＝0.3，设样本容量为n，由已知36n＝0.3，∴n＝120.而净重大于或等于98 g而小于104 g的产品的频率P′＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.∴个数为0.75×120＝90.故选A.2．(2014·山东理，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)、[13,14)、[14,15)、[15,16)、[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8 C.12 D ．18[答案] C[解析] 第一、二两组的频率为0.24＋0.16＝0.4，∴志愿者的总人数为200.4＝50(人)．第三组的人数为：50×0.36＝18(人)，有疗效的人数为18－6＝12(人)．二、填空题3．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入段应抽出________人．[答案] 25[解析] 从10 000人中用分层抽样的方法抽出100人，∴抽取比例为由图可知，0.000 5×500×10 000＝2 500，∴月收入在[2 500,3 000)内的人数为2 500人，∴从中应抽出2 500×1100＝25(人)．4．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g) 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的概率约为____________．[答案] 0.25[解析] 袋装食盐质量在497.5～501.5g 之间的共有5袋，所以其概率为520＝0.25.三、解答题5．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午～间各自的点击量，得如图所示的茎叶图．根据统计图：(1)甲、乙两个网站点击量s 的极差分别是多少？ (2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？ (3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由． [解析] (1)甲网站的极差为：73－8＝65；乙网站的极差为：71－5＝66.(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率为414＝27＝0.285 71.(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方(较大)，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方(较小)．从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．6.在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了如图所示的频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为，第三组的频数为12，请解答下列问题．(1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多？有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？ [解析] (1)依题意知第三组的频率为 42＋3＋4＋6＋4＋1＝15，又∵第三组的频数为12，∴本次活动的参评作品有1215＝60(件)．(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×62＋3＋4＋6＋4＋1＝18(件)．(3)第四组的获奖率是1018＝59，∵第六组上交的作品数量为60×12＋3＋4＋6＋4＋1＝3(件)，∴第六组的获奖率为23.∵23＝69>59，显然第六组获奖率较高．。

2022-2021学年成才之路·人教B版数学·必修3试题：第三章概率3.3.2

第三章 3.3 3.3.2一、选择题1．随机摸拟法产生的区间[0,1]上的实数( )导学号67640824 A ．不是等可能的 B ．0消灭的机会少 C ．1消灭的机会少 D ．是均匀分布的[答案] D[解析] 用随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的． 2．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的挨次为( ) 导学号67640825 A.SHIFT RND B ．SHIFT Ran C.SHIFT Ran# D ．STO Ran# [答案] C3．将[0,1]内的随机数a 1转化为[－2,6]内的随机数a 2，需实施的变换为( ) 导学号67640826 A ．a 2＝a 1*8 B ．a 2＝a 1*8＋2 C ．a 2＝a 1*8－2 D ．a 2＝a 1*6 [答案] C[解析] 将[0,1]内的随机数a 1转化为[－2,6]内的随机数a 2，需进行的变换为a 2＝a 1*[6－(－2)]＋(－2)＝a 1*8－2.4．一个玩耍转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6214，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( ) 导学号67640827A.613 B ．713C.413 D ．1013[答案] B[解析] P ＝6＋16＋2＋4＋1＝713.5．若x 可以在－4≤x ≤2的条件下任意取值，则x 是负数的概率是( )导学号67640828 A.14B ．34C.13 D ．23[答案] D[解析] 记大事“x 是负数”为大事A ，∵x 可以在－4≤x ≤2的条件下任意取值，∴U Ω＝6，U A ＝4，∴P (A )＝46＝23. 6．在集合P ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx －12m ＋154＝0至多有一个实根(相等的根只能算一个)}中，任取一个元素x ，使得式子lg x 有意义的概率是( ) 导学号67640829A.38 B ．34C.0 D ．1[答案] A[解析] Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫－12m ＋154≤0，∴－5≤m ≤3. ∴集合P ＝{x |－5≤x ≤3}，对于x ∈P ，当0<x ≤3时，lg x 有意义，∴使式子lg x 有意义的概率为P ＝3－03－(－5)＝38，∴选A.二、填空题7．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是____________．导学号67640830[答案] 1π[解析] 设⊙O 的半径为R ，则⊙O 的面积为πR 2，即 μΩ＝πR 2.记大事A 为“黄豆落到阴影区域”， μA ＝12×2R ×R ＝R 2.∴由几何概型求概率的公式，得 P (A )＝μA μΩ＝R 2πR 2＝1π.8．用计算机来模拟所设计的试验，并通过这个试验的结果来确定一些量的方法称为________．导学号67640831[答案] 计算机随机模拟法或蒙特卡罗法三、解答题9.利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积．导学号67640832[解析] 如图所示，作矩形，设大事A “随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．S1：用计数器n 记录做了多少次投点试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )满足y ＜log 3x (即点落在阴影部分)．首先置n ＝0，m ＝0；S2：用变换rand( )*3产生0～3之间的均匀随机数x 表示所投的点的横坐标；用函数rand( )产生0～1之间的均匀随机数y 表示所投的点的纵坐标；S3：推断点是否落在阴影部分，即是否满足y ＜log 3x .假如是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1；假如不是，m 的值保持不变；S4：表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1.假如还要推断试验，则返回步骤S2连续执行；否则，程序结束．程序结束后大事A 发生的频率mn 作为大事A 的概率的近似值．设阴影部分的面积为S ，矩形的面积为3.由几何概型计算公式得P (A )＝S 3，所以m n ＝S 3.所以S ＝3mn即为阴影部分面积的近似值.一、选择题1．利用抛硬币产生随机数1和2，消灭正面表示产生的随机数为1，消灭反面表示产生的随机数为2，小王抛两次，则消灭的随机数之和为3的概率为( ) 导学号67640833A.12 B ．13C.14 D ．15[答案] A[解析] 抛掷硬币两次，所发生的状况有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，即(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)共4种状况．其中消灭的随机数之和为3的状况有2种，故所求概率P ＝24＝12.2.在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y ＝(12)x 与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( ) 导学号67640834A ．[－1,1]，[0,1]B ．[－1,1]，[0,2]C ．[0,1]，[0,2]D ．[0,1]，[0,1][答案] B[解析] 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数，x 表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数，y 表示所投点的纵坐标．二、填空题3．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估量阴影部分的面积是________．导学号67640835[答案] 9[解析] 由于每个点落在正方形内每个位置的可能性相同，则S 阴影S 正方形＝200800，所以S 阴影62＝14，所以S 阴影＝9.4．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为1 h 与2 h ，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是____________．导学号67640836[答案]1391 152[解析] 用两个变量代表两船时间，找出两变量的取值和满足的条件，设x 、y 分别代表第一艘船、其次艘船到达泊位的时间，由题意0≤x ≤24,0≤y ≤24，y －x ≤1，x －y ≤2，如图所示阴影部分表示必需有一艘船等待，则概率P ＝242－12×222－12×232242＝1391 152三、解答题5．在长为24 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于25 cm 2与64 cm 2之间的概率．导学号67640837[解析] 设大事A ＝“正方形的面积介于25 cm 2与64 cm 2之间”． (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a 1＝rand( )；(2)经过伸缩变换a ＝a 1*24得到一组[0,24]上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N 和[5,8]内的随机数个数N 1(即满足5≤a ≤8的个数)； (4)计算频率f n (A )＝N 1N即为概率P (A )的近似值．6．如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中心边长为1的正方形中的概率．导学号67640838[解析] 产生的随机数在0～1之间，是一维的；而大正方形内全部点的集合为Ω＝{(x ，y )|－2＜x ＜2，－2＜y ＜2}，点为二维数组，冲突格外尖锐，为此，需要产生两个随机数x ，y ，且－2＜x ＜2，－2＜y ＜2.当－1＜x ＜1且－1＜y ＜1时，认为飞镖落入中心小正方形内．由几何概型概率计算公式得P ＝S 小正方形S 大正方形＝14.用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：S1 用计数器n 记录了多少次投飞镖的试验，用计数器m 记录其中有多少次投在中心的小正方形内，置n ＝0，m ＝0；S2 用函数rand( )*4－2产生两个－2～2的随机数x 、y ，x 表示所投飞票的横坐标，y 表示所投飞镖的纵坐标；S3 推断(x ，y )是否落在中心的小正方形内，也就是看是否满足|x |＜1，|y |＜1，假如是，则m 的值加1，即m ＝m ＋1；否则m 的值保持不变；S4 表示随机试验次数的记录器n 加1，即n ＝n ＋1，假如还需要连续试验，则返回步骤S2连续执行，否则，程序结束．程序结束后飞镖投在小正方形发生的频率mn作为概率的近似值．。

数学成才之路必修三答案1-1-2-2

数学成才之路必修三答案1-1-2-21．1．2．2一、选择题1．根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为()A．条件分支结构B．循环结构C．递归结构D．顺序结构[答案] B2．(2010·天津文，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为()A．－1 B．0 C．1 D．3[答案] B[解析]按照程序框图依次执行为：初始s＝1，i＝1第1次循环s＝3，i＝2第2次循环s＝4，i＝3第3次循环s＝1，i＝4第4次循环s＝0，i＝5∵5>4，∴输出s＝0.3．(09·天津理)下面的程序框图运行后，输出的S＝()A ．26B ．35C ．40D ．57[答案] C[解析] 由程序框图知，S ＝(3×1－1)＋(3×2－1)＋…＋(3×5－1)＝3×(1＋2＋…＋5)－5＝40.故选C.4．(2010·山东青岛)如图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋13＋15＋…＋119C.12＋14＋16＋…＋120 D.12＋122＋123＋…＋1210 [答案] C[解析] i ＝1>10不成立，S ＝12，n ＝4，i ＝2；i ＝2>10不成立，S ＝12＋14，n ＝6，i ＝3；i ＝3>10不成立，S ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4；…i ＝10>10不成立，S ＝12＋14＋16＋…＋120n＝22，i ＝11，i ＝11>10成立，输出S .5．(09·辽宁理)某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据a 1，a 2，…，a N ，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的()A．A>0，V＝S－T B．A<0，V＝S－TC．A>0，V＝S＋TD．A<0，V＝S＋T[答案] C[解析]由图知，在判断框中填入某语句，当其成立时，将A加到S 上，不成立时，将A加到T上，又S统计的为总收入，所以判断框中应填入A>0.要计算净盈利，应进行V＝S ＋T运算，∴选C.6．(09·浙江理)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A．4B．5C．6D．7[答案] A[解析] 程序运行过程为：k ＝0，S ＝0，满足S <100执行循环体，S ＝0＋20＝1，k ＝0＋1＝1；再判断S <100仍然成立，再次执行循环体，S ＝1＋21＝3，k ＝1＋1＝2；继续判断S <100仍成立，∴S ＝3＋23＝11，k ＝2＋1＝3；仍满足S <100，∴S ＝11＋211，k ＝3＋1＝4，此时不满足S <100，输出k 的值4后结束，故选A.7．如果执行下面的程序框图，那么输出的S 为( )A ．2450B ．2500C ．2550D ．2652[答案] C[解析] 由框图可知S ＝2×(1＋2＋…＋50)＝2550.8．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是( )A.781516C.348 D.78P <1516[答案] C[解析] ∵S，此时S＝12＋14＋18＝78，∴78≥P，结合输出n＝4知，34<p≤< p="">78.二、填空题9．(09·广东文)某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：则图中判断框应填________，输出的s＝________.(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)[答案]i≤6，a1＋a2＋…＋a6[解析]因为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所以图中判断框应填i≤6，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.10．(09·安徽理)程序框图(即算法流程图)如右图所示，其输出结果是________．[答案]127[解析]输入a＝1，循环一次时，a＝3，循环二次时，a＝7，循环三次时，a＝15，循环四次时，a＝31，循环五次时，a＝63，循环六次时，a＝127，此时循环终止，输出127.11．如图是求12＋12＋12＋12＋12＋12的值的算法的程序框图，则图中判断框中应填入条件________．[答案] i ≤5[解析] i ＝1时，得到A ＝12＋12，共需加5次，故i ≤5.三、解答题12．已知小于10000的正偶数当它被3、4、5、6除时，余数都是2，写出求这样的正偶数的算法的程序框图．[解析] 偶数首先一定是整数，因此，我们应该在程序的开始定义一个变量，并设初值为2，最后输出的是一个偶数，这个偶数应满足的条件是分别被3,4,5,6除时，余数为2，而且应该是同时满足上述条件．所以条件判断式中几个条件应该是“且”的关系．因为是对偶数进行处理，所以，每次变量的增值应该是2，而不是1，这样才能保证每次是对偶数进行的处理，程序框图如图．13．画出计算1＋12＋13＋14＋…＋1n的值的一个算法框图．[解析] 相加各数的分子都是1，而分母是有规律递增的，每次增加1，引入变量sum表示和，计数变量i ，i 的值每次增加1，则每次循环都有sum ＝sum ＋1i ，i ＝i ＋1，这样反复进行．程序框图如下：[点评] 将上述算法框图稍作调整就可解决下列问题，你会吗？ (1)求和sum ＝12＋23＋34＋…＋n －1n .(2)求和sum ＝1＋12＋14＋18＋…＋12n .(3)求S ＝ n ＝1201n 2＝1＋122＋132＋…＋1202. 答案为(1)程序框图如图(1)所示． (2)程序框图如图(2)所示．(3)程序框图如图(3)所示．14．2000年某地森林面积为1000km 2，且每年增长5%.到哪一年该地森林面积超过2000km 2.请设计一个算法，并画出程序框图．[解析] 算法步骤：需要一个累加变量P 和一个计数变量N ，将累加变量P 的初值设为1000，计数变量N 从0开始取值，则循环体为P ＝P (1＋5%)，N ＝N ＋1.程序框图如图．15．国家法定工作日内，每周工作时间满工作量为40小时，每小时工资8元；如需要加班，则加班时间每小时工资为10元．某人在一周内工作时间为x 小时，个人住房公积金、失业险等合计为10%.试画出其净得工资y 元的算法的程序框图．(注：满工作量外的工作时间为加班)[解析] 由题意知，当040时，y ＝[40×8＋(x －40)×10]×(1－10%)＝9x －72，∴y ＝?7.2x (040)此函数为分段函数，故用条件结构表达，条件为x >40，程序框图为：</p≤<>。

2022-2021学年成才之路·人教B版数学·必修3试题：综合测试题3

第三章综合测试题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列大事中，不是随机大事的是( )导学号67640894 A ．东边日出西边雨刘禹锡 B ．下雪不冷化雪冷民间俗语 C ．清明季节雨纷纷杜牧 D ．梅子黄时日日晴曾纾 [答案] B[解析] A 、C 、D 为随机大事，B 为必定大事．2．(2021·安徽太和中学高一期末测试)从装有5个红球和3个白球的口袋中任取3个球，那么下列是互斥而不对立的大事是( ) 导学号67640895A ．至少有一个红球与都是红球B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有一个白球D ．恰有一个红球与恰有两个红球 [答案] D[解析] A 中两大事是包含关系，B 中两大事是对立大事，C 中两大事可能同时发生，故选D.3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是( ) 导学号67640896A ．[－2，2]B ．(－2，2]C ．[－2，2)D ．(－2，－2)[答案] A[解析] 依题意知，直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1恒有公共点．故|a |12＋12≤1，解得－2≤a ≤ 2.4．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第1、2、3册的概率为( ) 导学号67640897A.16 B ．13C.12D ．23[答案] B[解析] 基本大事空间为Ω＝{(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}共6个基本大事．而大事A ＝“各册从左到右，或从右到左恰好为第1、2、3册”中含有两个基本大事(1,2,3)和(3,2,1)，各基本大事是等可能的．∴P (A )＝26＝13.5．在400 mL 自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观看，则发觉大肠杆菌的概率为( ) 导学号67640898A ．0.005B ．0.004 C.0.001 D ．0.002[答案] A[解析] 发觉大肠杆菌的概率为P ＝2400＝0.005. 6．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为( ) 导学号67640899A ．0.7B ．0.5 C.0.3 D ．0.6[答案] A[解析] 任意摸出一球，大事A ＝“摸出红球”，大事B ＝“摸出黄球”，大事C ＝“摸出白球”，则A 、B 、C 两两互斥．由题设P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.4， P (A ∪C )＝P (A )＋P (C )＝0.9，又P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1， ∴P (A )＝0.4＋0.9－1＝0.3， ∴P (B ∪C )＝1－P (A )＝1－0.3＝0.7.7.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为 ( ) 导学号67640900A.43 B ．83C.23 D ．无法计算[答案] B[解析] 设阴影区域的面积为S ，又正方形的面积为4，由几何概型的概率公式知S 4＝23，∴S ＝83.8．中心电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜玩耍，规章如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明肯定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖，参与这个玩耍的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)，某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是(A.14 B ．15C.16 D ．320[答案] C[解析] P ＝5－220－2＝318＝16.9．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是(A.34 B ．14C.13 D ．12[答案] D[解析] 4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P ＝24＝12.10．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的全部子集中任取一个，这个集合恰是集合{a ，b ，c }子集的概率是(A.35 B ．25C.14 D ．18[答案] C[解析] 集合{a ，b ，c ，d ，e }的子集有25＝32个，而集合{a ，b ，c }的子集有23＝8个，∴P ＝832＝14.11．一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为(A ．1－π6B ．1－π12C.π6 D ．π12[答案] B[解析] 蚂蚁活动的区域为三角形内部，面积为6，而蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的图形的面积是三角形的面积去掉三个扇形面积，即：以三角形的三个顶点为圆心，以1为半径画弧与三角形的边围成的三个小扇形，由于此图形为三角形，所以这三个扇形可拼成一半圆，面积为π2，所以蚂蚁距离三角形三个顶点距离可拼成一半圆，面积为π2，所以蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的圆形的面积是6－π2，所以某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为6－π26＝1－π12.12．在区间(0,1)内任取一个数a ，能使方程x 2＋2ax ＋12＝0有两个相异实根的概率为(A.12 B ．14C.22D ．2－22[答案] D[解析] 由Δ>0得a >22或a <－22(舍去)， ∵a >22，∴P ＝1－221＝2－22.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．)13．对飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没有击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}．其中彼此互斥的大事是________，互为对立大事的是________[答案] A 与B ，A 与C ，C 与B ，B 与D ；B 与D[解析] 大事“两次都击中飞机”发生，则A 与D 都发生．大事“恰有一次击中飞机”发生，则C 与D 都发生．A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 都不行能同时发生，B 与D 中必有一个发生．14．某市派出甲、乙两支球队参与全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是35和14，该市足球队夺得全省足球冠军的概率为________．导学号67640907[答案]1720[解析] 某市甲队夺取冠军与乙队夺取冠军是互斥大事，分别记为大事A 、B ，该市甲、乙两支球队夺取全省足球冠军是大事A ∪B 发生，依据互斥大事的加法公式得到P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝35＋14＝1720.15．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．导学号67640908 [答案] 13[解析] 如图，这是一个长度的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.16．甲、乙两射手在同样条件下击中目标的概率分别为0.6与 0.7，则至少有一人击中目标的概率为________．导学号67640909[答案] 0.88[解析] 由概率的一般加法公式得P ＝0.6＋0.7－0.6×0.7＝0.88.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本题满分12分)某商场进行抽奖活动，从装有编号为0、1、2、3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．导学号67640910(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．[解析] 两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的大事为A ，“中奖”的大事为B ，从四个小球中任选两个共有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)六种不同的方法．(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：(0,3)，(1,2)，故P (A )＝26＝13.(2)中奖的概率为P (B )＝1＋1＋26＝23.18．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，记第一次消灭的点数为x ，其次次消灭的点数为y . 导学号67640911(1)求大事“x ＋y <4”的概率； (2)求大事“|x －y |＝3”的概率．[解析] 设(x ，y )表示一个基本大事，则掷两次骰子包括：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、……、(6,5)、(6,6)，共36个基本大事．(1)用A 表示大事“x ＋y <4”，则A 包括：(1,1)、(1,2)、(2,1)共3个基本大事． ∴P (A )＝336＝112，所以大事“x ＋y <4”的概率为112.(2)用B 表示大事“|x －y |＝3”，则B 包括：(1,4)、(2,5)、(3,6)、(4,1)、(5,2)、(6,3)，共6个基本大事． ∴P (B )＝636＝16，所以大事“|x －y |＝3”的概率为16.19．(本题满分12分)某种日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某市场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必需参与如下活动：摇动如图所示的玩耍转盘(上面扇形的圆心角都相等)，指针所指区域的数字为购买商品的件数，每人只能参与一次这个活动. 导学号67640912(1)某顾客自己参与活动，求购买到不少于5件该种产品的概率； (2)甲、乙两位顾客参与活动，求购买该种产品件数之和为10的概率. [解析] (1)设“购买不少于5件该种产品”为大事A ，则P (A )＝812＝23.(2)设“甲、乙两位顾客参与活动，购买该产品数之和为10”为大事B ，甲、乙购买产品数的状况共有12×12＝144(种)，则大事B 包含(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、(5,5)、(6,4)、(7,3)、(8,2)、(9,1)，共9种状况，故P (B )＝9144＝116.20．(本题满分12分)(2021·广东中山纪念中学高一期末测试)在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝黑色，2枝蓝色，1枝红色，从中任取3枝．导学号67640913(1)该试验的基本大事共有多少个？若将3枝黑色圆珠笔编号为A 、B 、C,2枝蓝色圆珠笔编号为d 、e,1枝红色圆珠笔编号为x ，用{a ，b ，c }表示基本大事，试列举出该试验的全部基本大事；(2)求恰有两枝黑色的概率； (3)求至少1枝蓝色的概率．[解析] (1)该试验的全部基本大事为有(A ，B ，C )、(A ，B ，d )、(A ，B ，e )、(A ，B ，x )、(A ，C ，d )、(A ，C ，e )、(A ，C ，x )、(B ，C ，d )、(B ，C ，e )、(B ，C ，x )、(A ，d ，e )、(A ，d ，x )、(A ，e ，x )、(B ，d ，e )、(B ，d ，x )、(B ，e ，x )、(C ，d ，e )、(C ，d ，x )、(C ，e ，x )、(d ，e ，x )共20种．(2)大事“恰有一枝黑色”包含的基本大事有(A ，B ，d )、(A ，B ，e )、(A ，B ，x )、(A ，C ，d )、(A ，C ，e )、(A ，C ，x )、(B ，C ，d )、(B ，C ，e )、(B ，C ，x )共9种，故恰有两枝黑色的概率P ＝920.(3)大事“没有蓝色”包含的基本大事有(A ，B ，C )、(A ，B ，x )、(B ，C ，x )、(A ，C ，x )共4个，故至少有1枝蓝色的概率P ＝1－420＝45.21．(本题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的状况，拟接受分层抽样的方法从A 、B 、C 三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A 、B 、C 区中分别有18、27、18(1)求从A 、B 、C 区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．[解析] 本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机大事所含的基本大事数及大事发生的概率等基础学问，考查运用统计、概率学问解决简洁的实际问题的力量．(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为763＝19，所以从A 、B 、C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2、3、2.(2)设A 1、A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1、B 2、B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1、C 2为在C 区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A 1，A 2)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，B 3)、(A 1，C 1)、(A 1，C 2)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，B 3)、(A 2，C 1)、(A 2，C 2)、(B 1，B 2)、(B 1，B 3)、(B 1，C 1)、(B 1，C 2)、(B 2，B 1)、(B 2，C 1)、(B 2，C 2)、(B 3，C 1)、(B 3，C 2)、(C 1，C 2)，共有21种．随机抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为大事X )有：(A 1，A 2)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，B 3)、(A 1，C 1)、(A 1，C 2)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，B 3)、(A 2，C 1)、(A 2，C 2)，共有11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P (X )＝1121.22.(本题满分14分)袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概率； (2)3只颜色全相同的概率； (3)3只颜色不全相同的概率； (4)3只颜色全不相同的概率．[解析] (1)记“3只全是红球”为大事A .从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，则基本大事总数为27.其中大事A 的基本大事数为1，故大事A 的概率为P (A )＝127.(2)“3只颜色全相同”包含这样三个基本大事：“3只全是红球”(设为大事A )；“3只全是黄球”(设为大事B )；“3只全是白球”(设为大事C )，且它们之间是或者关系，故“3只颜色全相同”这个大事可记为A ∪B ∪C ，由于大事A 、B 、C 不行能同时发生，因此它们是互斥大事．又由于红、黄、白球个数一样，故不难得到P (B )＝P (C )＝P (A )＝127，故P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝19.(3)3只颜色不全相同的状况较多，如有两只球同色而与另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为大事D ，则大事D 为“3只颜色全相同”，明显大事D 与D 是对立大事．∴P (D )＝1－P (D )＝1－19＝89.(4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故“3次抽到红、黄、白各一只”包含6个基本大事，故3只颜色全不相同的概率为627＝29.。

【2016成才之路】(人教B版)数学必修1课件：第三章基本初等函数2.1 第3课时

1 8 25 2lg3 2 1 ＝lg2×5× 2 －3lg3＝1－3＝3.
第三章 3.2 3.2.1 第3课时
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计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
lg125 lg25 lg5 lg2 lg4 lg8 [解析] 原式＝( lg2 ＋ lg4 ＋lg8)(lg5＋lg25＋lg125) 3lg5 2lg5 lg5 lg2 2lg2 3lg2 26lg5 3lg2 ＝( lg2 ＋2lg2＋3lg2)(lg5＋2lg5＋3lg5)＝ 6lg2 · lg5 ＝13.
第三章
3.2
3.2.1
第3课时
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4．若log23·log325·log5m＝2，则m＝________.
[答案] 2
[ 解析 ]
lg3 lg25 lgm lg3 2lg5 lgm ∵ log23· log325· log5m ＝ lg2 · lg3 · lg5 ＝ lg2 · lg3 · lg5
已知对数log864，log264，log28，log464，log48. 对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？由上面的问题你能得出什么结论？
第三章
3.2
3.2.1
第3课时
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课堂典例讲练
第三章
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第3课时
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2022-2021学年成才之路·人教B版数学·必修3试题：章末归纳总结3

第三章章末归纳总结一、选择题1．从装有m个红球，n个白球(m、n≥2)的袋中任取2个球，则互为对立大事的是()导学号67640876 A．至少有1个白球和至多有1个白球B．至少有1个白球和至少有1个红球C．恰有1个白球与恰有2个白球D．至少有1个白球与都是红球[答案] D[解析]取得一红一白时，A中两个大事都发生，故不互斥；取得一红一白时，B中两个大事都发生，故也不互斥；取得两个红球时，C中两个大事都不发生，故不对立；只有D中的两个大事不同时发生又有一个发生，是对立大事．2．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：导学号67640877时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数 5 5449 01313 52017 191男婴数 2 716 4 899 6 8128 590A．0.4B．0.5C.0.6D．0.7[答案] B[解析]由表格可知，男婴诞生的频率分别为0.49，0.54，0.50,0.50，故这一地区男婴诞生的概率约是0.5.3．(2021·河南南阳市高一期末测试)把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则大事“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是() 导学号67640878A．对立大事B．必定大事C．不行能大事D．互斥但不对立大事[答案] D[解析]“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立大事．4．(2021·河北邯郸市高一期末测试)某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现接受分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对同学进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是()导学号67640879A.15B．13C.35D．23[答案] A[解析]抽取的6个班中，高一、高二、高三分别有3个班、2个班、1个班，记高一的3个班分别为A1、A2、A3，高二的2个班分别为B1、B2，高三的1个班为C，从6个班中随机抽取2个班的基本大事有(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，C)、(A2，A3)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，C)、(A3，B1)、(A3，B2)、(A3，C)、(B1，B2)、(B1，C)、(B2，C)共15个，抽取的2个班均为高一的基本大事有(A1，A2)、(A1，A3)、(A2，A3)共3个，∴所求概率P＝315＝15.5．在数轴上的区间[0,3]内任取一点，则此点落在区间[2,3]内的概率是()导学号67640880A.13B．12C.23D．34[答案] A[解析]区间[2,3]的长度为1，区间[0,3]的长度为3，由几何概型的计算公式可知所求概率为13.6．在一底面半径和高都是2 m的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中，现从中随机取出2m3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率是()导学号67640881A.14B．18πC.14πD．1－14π[答案] C[解析]全部小麦种子的体积为πR2h＝π×4×2＝8π(m3)，现从中随机取出2m3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率为28π＝14π.二、填空题7．为了调查某野生动物爱护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算爱护区有这种动物________只．导学号67640882[答案] 12 000[解析] 设爱护区内有这种动物x 只，每只动物被逮到的概率是相同的，所以1 200x ＝1001 000，解得x ＝12 000.8．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆面，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率为________(油滴的大小忽视不计)．导学号67640883[答案]49π[解析] 记大事A 为“油正好落入孔中”，由题意可知μA ＝1 cm 2, μΩ＝9π4 cm 2，所以由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝μA μΩ＝49π.三、解答题9．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，将得到的点故分别记为a ，b . 导学号67640884(1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率；(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． [解析] 先后两次抛掷一颗骰子，将得到的点故分别记为a 、b ，大事总数为6×6＝36. (1)由于直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，所以有5a 2＋b 2＝1即：a 2＋b 2＝25，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，所以，满足条件的状况只有a ＝3、b ＝4和a ＝4、b ＝3两种状况，所以，直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118.(2)∵三角形的一边长为5， ∴当a ＝1时，b ＝5，当a ＝2时，b ＝5，当a ＝3时，b ＝3、5，当a ＝4时，b ＝4、5，当a ＝5时，b ＝1、2、3、4、5、6，当a ＝6时，b ＝5、6. ∴满足条件的状况共有14种．故三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝718.10．(2021·陕西文，19)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气状况进行统计，结果如下：导学号67640885(1)在4月份任取一天，估量西安市在该天不下雨．．．的概率； (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开头进行连续2天的运动会，估量运动会期间不下雨的概率． [解析] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估量概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是1315.(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估量概率，运动会期间不下雨的概率为78.一、选择题1．从一箱产品中随机地抽取一件，设大事A ＝{抽到一等品}，大事B ＝{抽到二等品}，大事C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则大事“抽到的是二等品或三等品”的概率为( ) 导学号67640886A ．0.7B ．0.65 C.0.35 D ．0.3[答案] D[解析] 本题主要考查互斥大事概率的求解方法．由题意知大事A 、B 、C 互为互斥大事，记大事D ＝{抽到的是二等品或三等品}，则P (D )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.2＋0.1＝0.3，故选D.2．教室有4扇编号分别为a 、b 、c 、d 的窗户和2扇编号分别为x 、y 的门，窗户d 放开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地放开2扇，则至少有1扇门被放开的概率为(A.23 B ．49C.710 D ．712[答案] C[解析] 本题主要考查古典概型的概率求解问题．记“随机地放开2扇门或窗”为大事A ，则大事A 包含的基本大事为：(a ，b )、(a ，c )、(a ，x )、(a ，y )、(b ，c )、(b ，x )、(b ，y )、(c ，x )、(c ，y )、(x ，y )，共10种．记“至少有1扇门被放开”为大事B ，则大事B 包含的基本大事有：(a ，x )、(a ，y )、(b ，x )、(b ，y )、(c ，x )、(c ，y )、(x ，y )，共7种，所以P (B )＝710，故选C.3．有五根细木棒，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是(A.320 B ．25C.15 D ．310[答案] D[解析] 以5根木棒中取3根有10种取法，而构成三角形只能有3种，3、5、7；5、7、9；3、7、9，∴P ＝310.4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log 2x y ＝1的概率为(A.16 B ．536C.112 D ．12[答案] C[解析] 骰子朝上的面的点数x 、y 构成的有序数对(x ，y )共有36个，满足log 2x y ＝1，即2x ＝y 的有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3个，故所求概率P ＝336＝112.二、填空题5．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是________[答案] 49[解析] 在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆；12个(在12条棱上，每条棱上一个)，两面涂漆；6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆，1个(中心)各面都不涂漆，∴所求概率为1227＝49.6．一个员工需在一周内值班两天，其中恰有一天是星期六的概率为____________． [答案] 27[解析] 基本大事空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)(5,7)，(6,7)}，恰有一天是星期六含6个基本大事，概率P ＝621＝27，选B. 三、解答题7．某外语学校英语班有A 1、A 2两位同学，日语班有B 1、B 2、B 3、B 4四位同学，俄语班有C 1、C 2两位同学共8人报名奥运会志愿者，现从中选出懂英语、日语、俄语的志愿者各1人，(1)写出一切可能的结果组成的基本大事空间并求出B 4被选中的概率； (2)求A 1和C 1不全被选中的概率．[解析] (1)基本大事空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 1，B 4，C 1)，(A 1，B 4，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 2，B 4，C 1)，(A 2，B 4，C 2)}共16个．其中B 4被选中的大事有4个． ∴B 4被选中的大事的概率为416＝14.(2)A 1和C 1全被选中的大事有(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 4，C 1)4个， ∴A 1和C 1全被选中的概率为416＝14.故A 1和C 1不全被选中的概率为1－14＝34.8.(2021·山东潍坊高一期末测试)某校随机抽取20名同学在一次学问竞赛中的成果(均为整数)，并绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100](1)求频率分布直方图中x的值；(2)估量这次学问竞赛成果的合格率(60分及以上为合格)；(3)从成果在[40,60)的同学中任选2人，求此2人的成果在同一分组区间的概率．[解析](1)由题意，得(0.010＋0.020＋0.030＋0.020＋x＋0.005)×10＝1，解得x＝0.015.(2)估量这次竞赛成果的合格率为：(0.030＋0.020＋0.015＋0.005)×10×100%＝70%.(3)成果在区间[40,50)人数为0.1×20＝2人，记为A1、A2；成果在区间[50,60)人数为0.2×20＝4人，记为B1、B2、B3、B4.从成果在[40,60)的同学中任选2人的全部基本大事有：(A1，A2)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，B3)、(A1，B4)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，B3)、(A2，B4)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B1，B4)、(B2，B3)、(B2，B4)、(B3，B4)共15个．依据题意，这些基本大事的消灭是等可能的．大事“2人的成果在同一分组区间”所包含的基本大事是：(A1，A2)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B1，B4)、(B2，B3)、(B2，B4)、(B3，B4)共7个．∴此2人的成果在同一分组区间的概率为P＝715.。

数学成才之路必修三答案3-2-1

3．2．1一、选择题1．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为( )A.14B.13 C.12 D ．1[答案] C[解析] 用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个．2．有五根细木棒，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )A.320 B.25 C.15D.310 [答案] D[解析] 从五根木棒中，任取三根，有1,3,5；1,3,7；1,3,9；1,5,7；1,5,9；1,7,9；3,5,7；3,5,9；3,7,9；5,7,9.共10种取法，能够搭成三角形的情况有：3,5,7；3,7,9；5,7,9，共3种．因此概率为P ＝310.3．有四个高矮不同的同学，随便站成一排，从一边看是按高矮排列的概率为( ) A.112 B.14 C.12D ．1[答案] A[解析] 设四个人从矮到高的号码分别为1,2,3,4.基本事件构成集合Ω＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,4,3,2)，(1,4,2,3)，(1,3,4,2)，(1,3,2,4)，(2,1,4,3)，(2,1,3,4)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,2,4,1)，(3,2,1,4)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,4,2,1)，(3,4,1,2)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,3,1)，(4,2,1,3)，(4,3,2,1)，(4,3,1,2)}，一共有24个基本事件．那么从一边看从矮到高为事件A ，则A ＝{(1,2,3,4)，(4,3,2,1)}．则P ＝A 包含的基本事件个数基本事件的总数＝224＝112.4．一个员工需在一周内值班两天，其中恰有一天是星期六的概率为( ) A.17B.27C.149D.249[答案] B[解析] 基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)(5,7)，(6,7)}，恰有一天是星期六含6个基本事件，概率P ＝621＝27，选B.5．先后抛掷两枚均匀的骰子，若骰子朝上一面的点数依次为x 、y (x ，y ∈{1,2,3,4,5,6})，则log x (2y －1)>1的概率是( )A.12B.1936C.13D.23[答案] B[解析] ∵x ∈{1,2,3,4,5,6}，∴由log x (2y －1)>0得，2y －1>x (x >1)先后抛掷两枚骰子，点数(x ，y )共有36种不同的结果，其中满足x <2y －1的有：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共19个基本事件，∴P ＝1936.6．任取一个三位正整数N ，对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300D.1450[答案] C[解析] 三位正整数从100到999共900个， ∵26＝64,27＝128,29＝512,210＝1024，∴满足条件的正整数只有27＝128、28＝256、29＝512三个， ∴P ＝3900＝1300.7．在5张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，然后将它们混合再任意排成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8[答案] C[解析] 一个五位数能否被5整除关键看其个位数，而由1,2,3,4,5组成的五位数中，个位是1,2,3,4,5是等可能的，∴基本事件构成集合Ω＝{1,2,3,4,5}“能被2或5整除”这一事件中含有基本事件2,4,5，∴概率为35＝0.6.8．从数字1、2、3、4、5中任取2个数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )A.15B.25C.35D.45[答案] B [解析]从数字1,2,3,4,5中任取两个数字组成的两位数有12,21,13,31,14,41,15,51,23,32,24,42,25,52,34,43,35,53,45,54，共20个，其中大于40的有：41,42,43,45,51,52,53,54共8个，∴所求概率P ＝820＝25.[点评] 可列表如下，由表可知共有两位数5×5－5＝20个，其中大于40的有2×5－2＝8个，∴所求概率P ＝820＝25.9.(2010·b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15[答案] D[解析] 该试验所有基本事件(a ，b )可在平面直角坐标系中表示出来如下图．易知所有基本事件有5×3＝15个，记“b >a ”为事件A ，则事件A 所含基本事件有3个．∴P (A )＝315＝15，故选D.10．一个袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出球，然后再放进去，再摸第二次，则两次都是摸到白球的概率为( )A.25B.45C.225D.425[答案] D[解析] 把它们编号，白为1,2,3.黑为4,5.用(x ，y )记录摸球结果，x 表示第一次摸到球号数，y 表示第二次摸到球号数．所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)一共25种，两次摸球都是黑球的情况为(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，P ＝425.二、填空题11．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是________．[答案] 49[解析] 在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆；12个(在12条棱上，每条棱上一个)两面涂漆；6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆；1个(中心)各面都不涂漆．∴所求概率为1227＝49.12．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________． [答案] 34[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇数”的概率P ＝936＝14，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－14＝34.13．在很多游戏中，都要掷骰子比掷出点子的大小，点子大的优先，某次下棋由掷点子大小决定先行，谁的点子大谁先行棋，若甲先掷然后乙掷，那么甲先行的概率为________．[答案]512[解析] 记点子大的为赢，小的为输．由于对称性，甲赢与甲输(乙赢)的概率相等，又和局的概率为16，∴甲赢的概率为(1－16)÷2＝512.故甲先行的概率为512.14．设集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈Z }，B ＝{0,1}，a ∈A ，b ∈B ，则点P (a ，b )落在圆(x ＋1)2＋y 2＝2内的概率为________．[答案] 12[解析] A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，∵a ∈A ，b ∈B ，∴共有6个基本事件：(－1,0)，(－1,1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，其中落在圆(x ＋1)2＋y 2＝2内的有(－1,0)，(－1,1)，(0,0)共3个，∴所求概率P ＝36＝12.三、解答题15．从装有3个白球和2个黑球的袋子中，随机取出两球，事件A ＝“取出的球为两白球”，B ＝“取出的球为两黑球”，C ＝“取出的球一白一黑”，A 、B 、C 是等可能事件吗？[解析] A 、B 、C 不是等可能事件．将白球编号为白1、白2、白3，将黑球编号为黑1、黑2.基本事件构成集合Ω＝{(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(黑1，黑2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白3，黑1)，(白3，黑2)}中共10个等可能的基本事件．事件A 中有3个基本事件，事件B 中有1个基本事件，事件C 中有6个基本事件． 16．从A 、B 、C 、D 、E 、F 六名学生中选出4个参加数学竞赛． (1)写出这个试验的所有基本事件组成的集合； (2)求这个试验的基本事件总数；(3)写出事件“A 没被选中”所包含的基本事件． [分析] 按一定顺序记录所有的基本事件． [解析] (1)这个试验的基本事件构成的集合是：Ω＝{(A ，B ，C ，D )，(A ，B ，C ，E )，(A ，B ，C ，F )，(A ，C ，D ，E )，(A ，C ，D ，F )，(A ，B ，D ，E )，(A ，B ，D ，F )，(A ，B ，E ，F )，(A ，C ，E ，F )，(A ，D ，E ，F )，(B ，C ，D ，E )，(B ，C ，D ，F )，(B ，C ，E ，F )，(B ，D ，E ，F )，(C ，D ，E ，F )}．(2)从6名学生中选出4个参加数学竞赛，共有15种可能情况． (3)“A 没被选中”包含下列5个基本事件：(B ，C ，D ，E )，(B ，C ，D ，F )，(B ，C ，E ，F )，(B ，D ，E ，F )，(C ，D ，E ，F )． 17．1个盒子中装有4个完全相同的小球，分别标有号码1、2、3、5，有放回地任取两球．(1)求这个试验的基本事件总数；(2)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件包含的基本事件．[解析] (1)用(i ，j )表示第一次取出的号码为i ，第二次取出的号码为j ，则这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)}．∴基本事件的总数是16.(2)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件有3个：(1,5)，(3,3)和(5,1)．[点评] 条件不同，基本事件及基本事件构成的集合有可能发生变化．18．袋中有12个小球，分别为红球，黑球，黄球，绿球．从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？[解析] 利用方程思想求解．从袋中任取一球，记事件“取得红球”，“取得黑球”，“取得黄球”，“取得绿球”为A ，B ，C ，D ，则有P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝1－P (A )＝23＝P (B )＋P (C )＋P (D )，∴P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.。

【成才之路】高中数学本册综合测试题新人教B版必修3

【成才之路】2014-2015学年高中数学本册综合测试题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列描述不是解决问题的算法的是( )A．从中山到北京先坐汽车，再坐火车B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1C．方程x2－4x＋3＝0有两个不等的实根D．解不等式ax＋3>0时，第一步移项，第二步讨论[答案] C[解析] 因为算法是用来解决某一问题的程序或步骤，显然C不是，故选C.2．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则循环结构的终止条件为( )A．|x1－x2|>εB．|x1－x2|<εC．x1<ε<x2D．x2<ε<x1[答案] B[解析] 结合二分法关于精确度的要求可知，当精确度为ε时，只要|x1－x2|<ε时，循环终止，故选B.3．一个年级有20个班，每班都是50人，每个班的学生的学号都是1～50.学校为了了解这个年级的作业量，把每个班中学号为5,15,25,35,45的学生的作业留下，这里运用的是( )A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．随机数表法抽样[答案] A[解析] 根据系统抽样的概念可知，该种做法运用的是系统抽样．4．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A．7 B．15C．25 D．35[答案] B[解析] 由题意知青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数＝350：250：150＝7：5：3.由样本中青年职工为7人得样本容是为15.5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4[19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7[39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23[答案] B[解析] 由条件可知，落在[31.5,43.5)内的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求的概率为2266＝13. 6．将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8个组，如下表：A ．0.14B ．114C ．0.03D ．314[答案] A[解析] 第三组的频数为14，∴频率为14100＝0.14.7．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )A ．511B ．1011C ．3655D ．7255[答案] A[解析] S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝511.8．某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布直方图．已知从左往右4个小组的频率分别是0.05,0.15,0.35,0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于等于80分为优秀，且分数为整数)( )A ．18篇B ．24篇C ．25篇D ．27篇[答案] D[解析] 由频率分布直方图知从左往右第5个小组的频率为0.15故优秀数为60×(0.3＋0.15)＝27.9．已知f (x )＝x 4＋2x 3－3x 2＋5x －1，则f (2)的值为( ) A ．27 B ．29 C ．32 D ．33[答案] B[解析] f (x )＝x 4＋2x 3－3x 2＋5x －1＝(((x ＋2)x －3)x ＋5)x －1，∵v 0＝1，∴v 1＝1×2＋2＝4；v 2＝4×2－3＝5；v 3＝5×2＋5＝15；v 4＝15×2－1＝29；v 5＝15×2－1＝29，∴f (2)＝29.10．如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1、a 2，则a 1、a 2的大不关系是( )m 9 3A.a 1>a 2 B ．a 2>a 1 C ．a 1＝a 2 D ．无法确定[答案] B[解析] 去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙都有5组数据，此时甲、乙得分的平均数分别为a 1＝1＋4＋5×35＋80＝84，a 2＝6＋7＋4×35＋80＝85，所以a 2>a 1.11．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途经一条宽为x m 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里就能找到．已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为( )A ．80 mB ．20 mC ．40 mD ．50 m[答案] B[解析] 这是一个与长度有关的几何概型，根据题意物品能找到的概率为500－x 500＝2425，解得x ＝20，故选B.12．一个袋内装有大小相同的6个白球和5个黑球，从中随意抽取2个球，抽到白球、黑球各1个的概率为( )A ．611 B ．15 C ．211 D ．110 [答案] A[解析] 将6个白球编号为白1、白2、白3、白4、白5、白6,5个黑球编号为黑1、黑2、黑3、黑4、黑5.从中任取两球都是白球有基本事件15种，都是黑球有基本事件10种，一白一黑有基本事件30种，故基本事件共有15＋10＋30＝55种，设事件A ＝{抽到白球、黑球各一个}，则P (A )＝3055＝611，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．) 13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为________．[答案]120[解析] 简单随机抽样是等概率抽样，即每个个体在某次被抽到的概率为1N(N 指总体容量)，每个个体在整个抽样过程中被抽到的概率为n N(n 指样本容量)．14．下列程序运行的结果是________．[答案] 1 890[解析] 程序是计算2S 的值，而S ＝1×3×5×7×9＝945，∴2S＝1 890. 15．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：如上图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s ＝________.(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”) [答案] i≤6，a 1＋a 2＋…＋a 6[解析] 考查读表识图能力和程序框图．因为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所以图中判断框应填i≤6，输出的s ＝a 1＋a 2＋…＋a 6.16．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由其散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________.[答案] 5.25[解析] x －＝1＋2＋3＋44＝52，y －＝4.5＋4＋3＋2.54＝72.由线性回归方程知a ^＝y －－(－0.7)·x －＝72＋710·52＝5.25.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本题满分12分)某中学高中三年级男子体育训练小组2011年5月测试的50 m 跑的成绩(单位：s )如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5，设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 s 的成绩，并画出程序框图．[解析] 算法步骤如下：S 1 i ＝1；S 2 输入一个数据a ；S 3 如果a<6.8，则输出a ，否则，执行S 4； S 4 i ＝i ＋1；S 5 如果i>9，则结束算法，否则执行S 2.程序框图如图：18．(本题满分12分)(2014·湖南文，17)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b)，(a ，b －)，(a ，b)，(a －，b)，(a －，b －)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b －)，(a －，b)，(a ，b －)，(a －，b －)，(a ，b)，(a ，b －)，(a －，b)，(a ，b)其中a ，a －分别表示甲组研发成功和失败；b 、b －分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． [解析] (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为 x －甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为 x －乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625.因为x －甲>x －乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b)，(a ，b －)，(a －，b)，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b)，共7个．故事件E 发生的频率为715，将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝715.19．(本题满分12分)在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：(1)(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？ [解析] (1)(2)纤度落在[1.38,1.50)中的概率均为0.30＋0.29＋0.10＝0.69，纤度小于1.40的概率约为0.04＋0.25＋12×0.30＝0.44.20．(本题满分12分)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A 、B 、C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).(1)求x 、y ；(2)若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率． [解析] (1)由题意可得，x 18＝236＝y54，∴x＝1，y ＝3.(2)记从高校B 抽取的2人为b 1，b 2，从高校C 抽取的3人为c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共10种．设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，则X 包含的基本事件有(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共3种，因此P(X)＝310.故选中的2人都来自高校C 的概率为310.21．(本题满分12分)一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：(1)(2)如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围内？[解析] (1)画出散点图，如图所示：(2)x －＝12.5，y －＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，∴b ^＝∑i ＝14x i y i －4x － y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝438－4×12.5×8.25×660－4×12.52≈0.728 6， a ^＝y －－b ^x －≈8.25－0.728×12.5＝－0.857 5. 故回归直线方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5.(3)要使y≤10，则0.728 6x －0.857 4≤10，x≤14.901 9.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．22．(本题满分14分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2min的概率．(注：将频率视为概率)[解析] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(min)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2min”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1min”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5min”，“该顾客一次购物的结算时间为2min”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2min的概率为710 .。

【成才之路】高一数学人教B版必修4 同步精练：第一章基本初等函数(Ⅱ) 阶段性测试题 Word版含解析[ 高考

阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列角与－750°角终边不同的是( ) A ．330° B ．－30° C ．680° D ．－1 110°[答案] C[解析] －750°＝－2×360°＋(－30°)， 330°＝360°＋(－30°)， 680°＝2×360°＋(－40°)，－1 110°＝－3×360°＋(－30)°，故680°角与－750°角终边不同.2．(2015·四川德阳第五中学月考)cos300°＝( ) A ．－32 B ．－12C ．12D ．32[答案] C[解析] cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.3．(2015·潮州市高一期末测试)已知tan α＝2，则2sin α＋cos αsin α－cos α＝( )A ．2B ．5C ．1D ．－1[答案] B[解析] ∵tan α＝2，∴2sin α＋cso αsin α－cos α＝2tan α＋1tan α－1＝51＝5. 4．若α是钝角，则θ＝k π＋α，k ∈Z 是( ) A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角[答案] D[解析] ∵α是钝角，∴π2<α<π，∵θ＝k π＋α(k ∈Z )，∴令k ＝0，则θ＝α是第二象限角，令k ＝1，则θ＝π＋α是第四象限角，故选D ．5．(2015·河南新乡市高一期末测试)已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P (sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为 ( )A ．11π6B ．5π3C ．5π6D ．2π3[答案] A[解析] ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，∴点P (32，－12)，点P 到坐标原点的距离r ＝|OP |＝1， ∴sin α＝y r ＝－12，cos α＝x r ＝32，∴角α的最小正值为11π6.6．下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以①错．sin π2＝1，但π2不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义cos α＝x x 2＋y2，所以③错，故选D ．7．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)下面四个函数中，既是区间(0，π2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝sin2xC ．y ＝|cos x |D ．y ＝|sin x |[答案] D[解析] 令f (x )＝|sin x |，∴f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )， ∴函数y ＝|sin x |是偶函数又函数y ＝|sin x |在(0，π2)上是增函数，且最小正周期为π.8．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移5π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝sin(x ＋5π6)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝cos(x ＋π3)，故选A ．9．(2015·山东潍坊高一期末测试)已知函数f (x )＝12sin(2x ＋π6)，若f (x －φ)为偶函数，则φ可以为( )A ．π2B ．－π3C ．－π6D ．π6[答案] C[解析] f (x －φ)＝12sin(2x －2φ＋π6)，若f (x －φ)为偶函数，∴－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，∴当k ＝0时，φ＝－π6，故选C ．10．如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d m(如果P 在水面上，那么d 为负数)．如果d (m)与时间t (s)之间的关系满足：d ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，且从点P 在水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中，错误的是( )A ．A ＝10B ．ω＝2π15C ．φ＝π6D ．k ＝5[答案] C[解析] 由图读出A ＝10，k ＝5，周期T ＝15 s ，∴ω＝2π15.由题意，知当t ＝0时，d ＝10sin φ＋5＝0，∴sin φ＝－12，即φ＝2k π－π6或φ＝2k π－5π6.∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π6.11．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] ∵f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴周期T ＝2ππ＝2，又f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cosπx －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．12．如果函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋32＋a 在区间[－π3，5π6]的最小值为3，则a 的值为( )A ．3＋12B ．32C ．2＋32D ．3－12 [答案] A[解析] ∵－π3≤x ≤5π6，∴0≤x ＋π3≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴f (x )的最小值为－12＋32＋a ，∴－12＋32＋a ＝3，∴a ＝3＋12.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知点P (2,3)在角α的终边上，则tan αcos 2α＝________.[答案]136[解析] 由三角函数的定义知，cos α＝322＋32＝313，tan α＝32，∴tan αcos 2α＝32913＝136.14．(2015·河南南阳高一期末测试)函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________． [答案] [π3＋2k π，π＋2k π]k ∈Z[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥012－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z， ∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .故函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域为[π3＋2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 15．函数y ＝|sin(13x －π4)|的最小正周期为________．[答案] 3π[解析] ∵y ＝sin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.16．(2015·商洛市高一期末测试)关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；③y ＝f (x )的图象交于点(－π6，0)对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题是________． [答案] ②③[解析] 由f (x 1)＝f (x 2)＝0，得 2x 1＋π3＝m π，m ∈Z ，2x 2＋π3＝n π，n ∈Z ，∴x 1－x 2＝(m －n )π2，当m －n 为奇数时，x 1－x 2不是π的整数倍，故①错误； f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4sin[π2－(π6－2x )]＝4cos(π6－2x )＝4cos(2x －π6)，故②正确；当x ＝－π6时，f (－π6)＝4sin[2×(－π6)＋π3]＝0，故③正确，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2015·广东揭阳市世铿中学高一月考)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π＋α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．[解析] 点P 到坐标原点的距离 r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45.∴cos (π2＋α)sin (－π＋α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·(－sin α)－sin α·cos α＝－sin αcos α＝－35－45＝34.18．(本小题满分12分)是否存在实数m ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1成立，且x 是第二象限角？若存在，请求出实数m ；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在m ∈R ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1，∵x 是第二象限角，∴sin x >0，cos x <0，∴0<m <1.由sin 2x ＋cos 2x ＝1(1－m )2＋m 2(m －1)2＝1，解得m ＝0，这时sin x ＝1，cos x ＝0，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，不是第二象限角，故m 不存在．19．(本小题满分12分)已知sin α、cos α是关于x 的方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求1sin α＋1cos α的值． [解析] ∵sin α、cos α是方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根， ∴sin α＋cos α＝－3m4，sin αcos α＝2m ＋18.∴(－3m4)2－2×2m ＋18＝1，整理得9m 2－8m －20＝0，即(9m ＋10)(m －2)＝0. ∴m ＝－109或m ＝2.又sin α、cos α为实根， ∴Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0.即9m 2－16m －8≥0，∴m ＝2不合题意，舍去．故m ＝－109.∴1sin α＋1cos α＝sin α＋cos αsin αcos α＝－3m 42m ＋18＝－6m 2m ＋1＝－6×(－109)2×(－109)＋1＝－6011.20．(本小题满分12分)用“五点法”画出函数f (x )＝cos(2x －π3)在同一周期上的图象．(要求列表描点作图)．(1)先完成下列表格，然后在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(2)求函数f (x )＝cos(2x －π3)，x ∈R 的单调增区间．[解析] (1)(2)由2k π－π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2cos(2x －π4)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)∵f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为单调递增函数，在区间[π8，π2]上为单调递减函数，且f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝－1，故函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时，x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝m 在(0，π)内有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)观察图象，得A ＝2，T ＝(11π12－π6)×43＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数图象经过点(π6，2)，∴2sin(2×π6＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin(2x ＋π6)与g (x )＝m 在(0，π)内的交点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin(2x ＋π6)和y ＝m (m ∈R )的图象如图所示．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.。

成才之路人教B数学必修1同步测试：第三章基本初等函数第1课时含答案

第三章 3.1 3.1.2 第1课时一、选择题1．若函数y ＝(2a －1)x ＋a －2为指数函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2[答案] D[解析] 要使函数y ＝(2a －1)x＋a －2为指数函数，应满足⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＞02a －1≠1a －2＝0，解得a ＝2.2．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x 、y 都有( ) A ．f (xy )＝f (x )f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y ) C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )[答案] C[解析] ∵f (x )＝a x ，∴f (x ＋y )＝a x ＋y ，f (x )·f (y )＝a x ·a y ＝a x ＋y ， ∴f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．3．(2014～2015学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝( )A ．12B ．2C ．4D ．14[答案] B[解析] 本题主要考查指数函数的单调性在求最值中的应用．因为函数y ＝a x 在R 上单调，所以最大值与最小值的和即为a 0＋a 1＝3，得a ＝2，故选B ．4．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)(x <2)2－x (x ≥2)，则f (－3)的值为( ) A ．2 B ．8 C ．12D ．18[答案] D[解析] f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1) ＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2) ＝f (3)＝2－3＝18.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A ．12B ．45C ．2D ．9[答案] C[解析] ∵f (0)＝20＋1＝2，∴f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.6．若函数y ＝(1－a )x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)[答案] B[解析] ∵函数y ＝(1－a )x 在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴0<1－a <1，∴0<a <1. 二、填空题7．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数y ＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过定点________．[答案] (－1,2)[解析] 令x ＋1＝0，得y ＝2，即x ＝－1，y ＝2.故函数y ＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过定点(－1,2)． 8．比较大小：2.12 015______2.12 014.(填“>”或“<”) [答案] >[解析] ∵指数函数y ＝2.1x ，x ∈R 单调递增， ∴2.12 015>2.12 014. 三、解答题9．函数f (x )＝12(a x ＋a －x )，(a >0且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性； (2)若函数f (x )的图象过点(2，419)，求f (x )． [解析] (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f (－x )＝12(a －x ＋a x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． (2)∵函数f (x )的图象过点(2，419)， ∴419＝12(a 2＋a －2)＝12(a 2＋1a 2)，整理得9a 4－82a 2＋9＝0， ∴a 2＝19或a 2＝9.∴a ＝13或a ＝3.故f (x )＝12(3x ＋3－x )．10．设a ＞0, f (x )＝e x a ＋ae x (e ＞1)是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，＋∞)上是增函数．[解析] (1)依题意，对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， ∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ，∴(a －1a )(e x －1e x )＝0， ∴a －1a ＝0，即a 2＝1，又a ＞0，∴a ＝1.(2)设任意实数x 1∈R ，x 2∈R ，且x 1＜x 2， ∴Δx ＝x 1－x 2＜0，Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(ex 2－e x 1)·(1ex 1＋x 2－1)＝e x 1 (e x 2－x 1－1)·1－e x 1＋x 22e x 1＋x 2，∵Δx ＝x 1－x 2＜0，∴x 2－x 1＞0，又x 1＋x 2＞0，e ＞1， ∴e x 2－x 1－1＞0,1－e x 1＋x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数.一、选择题1．下图是指数函数：①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c[答案] B[解析] 直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系．2．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数[答案] B[解析] f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数， g (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数，故选B ． 3．已知(12)m <(12)n <1，则有( )A ．0<n <mB ．n <m <0C ．0<m <nD ．m <n <0[答案] A[解析] 本题主要考查指数函数单调性的应用．因为指数函数y ＝(12)x 在R 上递减，所以由(12)m <(12)n <1＝(12)0，得m >n >0，故选A ．4．(2014～2015学年度山东烟台高一上学期期中测试)函数y ＝a x －a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )[答案] C[解析] 当x ＝1时，y ＝0，排除A 、B 、D ，故选C ．二、填空题5．已知a ＞b ，ab ≠0，下列不等式① a 2＞b 2；② 2a ＞2b ； ③ 0.2－a ＞0.2－b ；④(13)a ＜(13)b 中恒成立的有__________．[答案] ②③④[解析] ①若0＞a ＞b ，则a 2＜b 2，故①不正确； ②y ＝2x 为增函数，∴2a ＞2b ，②正确； ③y ＝0.2x 为减函数，∴0.2－a ＞0.2－b ，③正确； ④y ＝(13)x 为减函数，∴(13)a ＜(13)b ，④正确．6．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(1,3)，则f [f (1)]＝________. [答案] 27[解析] 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，由题意得3＝a 1，∴a ＝3.∴f (x )＝3x . ∴f (1)＝3，∴f [f (1)]＝f (3)＝33＝27. 三、解答题7．(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知f (x )＝2x ＋m2x ，且f (0)＝2.(1)求m 的值；(2)判断并证明f (x )的奇偶性． [解析] (1)∵f (0)＝2，∴2＝20＋m20，∴m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋12x ＝2x ＋2－x ，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．∴f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．8．已知f (x )＝x (12x －1＋12)(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)求证：f (x )>0.[解析] (1)f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＋1＋12＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x1－2x ＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2x －1－12 ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋12x－1－12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝f (x )， ∴f (x )是偶函数． (2)当x >0时，2x －1>0，∴f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12>0，又∵函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴当x ≠0时，总有f (x )>0.。

【成才之路】2021学年高中数学第三章三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4(1)

【成才之路】2021-2021学年高中数学第三章三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部份，总分值150分，时刻120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C ．12D ．1[答案] B[解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ，∴f (x )min ＝－12.2．cos67°cos7°＋sin67°sin7°等于( ) A ．12B ．22C ．32D ．1[答案] A[解析] cos67°cos7°＋sin67°sin7° ＝cos(67°－7°)＝cos60°＝12.3．假设x ＝π8，那么sin 4x －cos 4x 的值为( )A ．12B ．－12C ．－22D ．22[答案] C[解析] sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，∴x ＝π8时，－cos2x ＝－cos π4＝－22.4．(2021·山东德州高一期末测试)以下各式中值为22的是( )A ．sin45°cos15°＋cos45°sin15°B ．sin45°cos15°－cos45°sin15°C ．cos75°cos30°＋sin75°sin30°D ．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30°[答案] C[解析] cos75°cos30°＋sin75°sin30°＝cos(75°－30°)＝cos45°＝22.5．1－sin20°＝( )A ．cos10°B ．sin10°－cos10°C ．2sin35°D ．±(sin10°－cos10°)[答案] C[解析] 1－sin20°＝1－cos70°＝2sin 235°， ∴1－sin20°＝2sin35°.6．已知cos2α＝14，那么sin 2α＝( )A ．12B ．34C ．58D ．38[答案] D [解析]∵cos2α＝1－2sin 2α＝14，∴sin 2α＝38.7．假设函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R)，那么f (x )是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π2的奇函数[答案] D[解析] f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x ·cos2x ＝12sin4x (x ∈R)， ∴函数f (x )是最小正周期为π2的奇函数．8．假设sin θ＜0，cos2θ＜0，那么在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π2B ．5π4＜θ＜7π4C ．3π2＜θ＜2πD ．π4＜θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，得1－2sin 2θ＜0，即sin θ＞22或sin θ＜－22，又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22，由正弦曲线得知足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4.9．假设0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，那么( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．不确定[答案] A[解析] ∵a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，又0＜α＜β＜π4，∴π4＜α＋π4＜β＋π4＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4.10．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝2sin 2x[答案] B[解析] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，取得函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .11．已知f (tan x )＝sin2x ，那么f (－1)的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．12D ．0[答案] B[解析] f (tan x )＝sin2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x ＝2tan xtan 2x ＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1，∴f (－1)＝－22＝－1.12．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝14－14cos4x . ∴函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设α∈(0，π2)，假设sin α＝35，那么2cos(α＋π4)等于________．[答案] 15[解析] ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴2cos(α＋π4)＝2cos αcos π4－2sin αsin π4＝2×45×22－2×35×22＝45－35＝15. 14．计算：sin7°－sin15°cos8°cos7°－cos15°cos8°的值为________．[答案] －2－3[解析] 原式＝sin 15°－8°－sin15°cos8°cos 15°－8°－cos15°cos8°＝sin15°cos8°－cos15°sin8°－sin15°cos8°cos15°cos8＋sin15°sin8－cos15°cos8° ＝－cos15°sin8°sin15°sin8°＝－cot15°＝－1tan15°＝－1tan 45°－30°＝－1＋tan30°1－tan30°＝－2－3. 15．假设α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，那么sin α的值为________．[答案]3＋226[解析] ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.又∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝13>0，∴0<α－π6<π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝32×13＋12×223＝3＋226.16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有以下命题：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减； ④将函数y ＝2cos2x 的图像向左平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你以为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．由2k π≤2x －π12≤2k π＋π，得k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)17．(本小题总分值12分)已知α是第一象限的角，且cos α＝513，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α＋4π的值．[解析] ∵α是第一象限的角，cos α＝513，∴sin α＝1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α＋4π＝22sin α＋cos αcos2α＝22sin α＋cos αcos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214. 18．(本小题总分值12分)(2021·四川成都市立德协进中学高一时期测试)已知π2<α<π，0<β<π2，tan α＝－34，cos(β－α)＝513，求sin β. [解析] ∵0<β<π2，π2<α<π，∴－π<β－α<0.又∵cos(β－α)＝513，∴sin(β－α)＝－1213.又tan α＝－34，∴sin α＝35，cos α＝－45.∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝－1213×(－45)＋513×35＝6365.19．(本小题总分值12分)已知sin α＝210，cos β＝31010，且α、β为锐角，求α＋2β 的值．[解析] ∵sin α＝210，α为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2102＝7210. ∵cos β＝31010，β为锐角， ∴sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫310102＝1010. ∴sin2β＝2sin βcos β＝2×1010×31010＝35，cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫10102＝45. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2β∈(0，π)．而cos2β>0，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.∴α＋2β∈(0，π)．又cos(α＋2β)＝cos α·cos2β－sin α·sin2β＝7210×45－210×35＝22，∴α＋2β＝π4.20．(本小题总分值12分)求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1，x ∈R 的最大值和y 取最大值时自变量x 的集合．[解析] ∵y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1 ＝12·1＋cos2x 2＋34sin2x ＋1 ＝14cos2x ＋34sin2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54即x ＝k π＋π6(k ∈Z)时，y max ＝74.∴函数取最大值时自变量x 和集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z ，且最大值为74.21．(本小题总分值12分)已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域．[解析] (1)∵f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)·sin(x ＋π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin(2x －π6)，∴最小正周期T ＝2π2＝π.∵2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，∴对称轴方程为x ＝k π2＋π3，k ∈Z. (2)∵x ∈[－π12，π2]，∴f (x )＝sin(2x －π6)在区间[－π12，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减．当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f (－π12)＝－32<f (π2)＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32. 因此函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域为[－32，1]．22．(本小题总分值14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R.(1)假设f (x )＝1－3且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x ；(2)假设函数y ＝2sin2x 的图象平移向量c ＝(m ，n )⎝⎛⎭⎪⎫|m |<π2取得函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．[解析] (1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，又∵f (x )＝1－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32，∴2x ＋π6＝2k π－π3或2x ＋π6＝2k π－2π3，又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴x ＝－π4. (2)f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋1，y ＝2sin2x 向左平移π12个单位可得y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，再向上平移1个单位，即得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋1＝f (x )， ∴c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，1，即m ＝－π12，n ＝1.。

成才之路高二数学必修5(人教B版)第三章综合检测(Word有答案) (2)

第三章综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．a 、b ∈R 下列命题正确的是( )A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 2 [答案] C[解析] 由不等式的可乘方性质知a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2. 2．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N[答案] A[解析] M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，∴M ＞N . 3．下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0x －y ＋1>0，表示的平面区域内的点是( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0)[答案] C[解析] 点(0,2)不满足x ＋y －1<0，故A 不正确；点(－2,0)不满足x －y ＋1>0，故B 不正确；点(2,0)不满足x ＋y －1<0，故D 不正确，故选C.4．若a >0，b >0，则不等式a >1x >－b 等价于( ) A ．－1b <x <0或0<x <1a B ．－1a <x <0或0<x <1b C ．x <－1b 或x >1a D ．－1a <x <1b [答案] C[解析] 不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋b >01x －a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1b 或x >0x <0或x >1a.所以x <－1b 或x >1a .5．设M ＝a ＋1a －2(2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋116)(x ∈R)那么M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定[答案] A[解析] M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4，(∵2＜a ＜3)N ＝log 0.5(x 2＋116)≤log 0.5116＝4，∴M ＞N .6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x ≤0－x ＋2 x >0则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2][答案] A[解析] 本题考查分段函数的概念及一元二次不等式的解法．解法一：(排除法)当x ＝2时，f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2不成立，排除B 、D 选项；当x ＝－2时f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2不成立，排除C 选项．解法二：(直接法)当x ≤0时，原不等式化为x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤2，又∵x ≤0，∴－1≤x ≤0；当x >0时，原不等式化为－x ＋2≥x 2， ∴－2≤x ≤1，又∵x >0，∴0<x ≤1，综上可知，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．7．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )[答案] C[解析] 由题意知Δ＝b 2－4a 2>0 ∴(b －2a )(b ＋2a )>0∴⎩⎨⎧b －2a >0b ＋2a >0或⎩⎨⎧b －2a <0b ＋2a <0画图知选C.8．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b 则α＋β的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[答案] C[解析] 由题意a ＋b ＝1，则α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab ≥1＋1(a ＋b 2)2＝5. 9．设b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，则下列四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中，最大的数是( )A.12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 2[答案] B[解析] 因为b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，所以0＜a ＜12＜b ＜1，a 2＋b 2＞2ab .又因为a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )＜0. 所以a 2＋b 2＜b ，故四个数中最大的数是b .10．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≤0x (x －a )≥0与不等式(x －2)(x －5)≤0同解，则a 的取值范围是( )A ．a ＞5B ．a ＜2C ．a ≤5D ．a ≤2[答案] D[解析] 由(x －2)(x －5)≤0可得2≤x ≤5，所以不等式组⎩⎨⎧(x －2)(x －5)≤0x (x －a )≥0的解集为{x |2≤x ≤5}．∴[2,5]⊆[a ，＋∞)，故a ≤2.11．若x 、y 是正数，且1x ＋4y ＝1，则xy 有( )A ．最大值16B ．最小值116C ．最小值16D ．最大值116[答案] C[解析] ∵x >0，y >0，∴1x ＋4y ＝1≥24xy ＝4xy，∴xy ≥4，∴xy ≥16.12．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元[答案] B[解析] 设需甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ∈N *y ≤8，y ∈N *20x ＋10y ≥100，作出其可行域如图所示．可知目标函数z ＝400x ＋300y 在点A 处取最小值，z ＝400×4＋300×2＝2200(元)．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．(2011·上海理)不等式x ＋1x ≤3的解集是________． [答案] {x |x ≥12或x <0}[解析] 原不等式等价于x ＋1x －3≤0⇔1－2x x <0⇔2x －1x ≥0⇔x (2x －1)≥0，且x ≠0，解得x ≥12或x <0.14．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________________．[答案] {x |x ＞1或x ＜－2}[解析] ∵ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2－b a ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝1.∴bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0，解得x＞1或x＜－2.15．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________．[答案]18[解析]由题意，得2x＋y＝4，由9x＋3y＝32x＋3y≥232x＋y＝234＝18，当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时等号成立．16．当x＞1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的最大值为________．[答案] 3[解析]x＋1x－1≥a恒成立⇔(x＋1x－1)min≥a∵x＞1即x－1＞0∴x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2(x－1)·1x－1＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．∴a≤3即a的最大值为3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．[解析] 当a 2－4＝0，即a ＝±2.若a ＝2时，原不等式化为4x －1≥0，∴x ≥14.此时，原不等式的解集不是空集．若a ＝－2时，原不等式化为－1≥0，无解．此时，原不等式的解集为空集．当a 2－4≠0时，由题意，得⎩⎨⎧a 2－4<0Δ＝(a ＋2)2－4(a 2－4)×(－1)<0，∴－2<a <65.综上所述，a 的取值范围为－2≤a <65.18．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数． (1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值．[解析] (1)xy ＝16·3x ·2y ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋2y 22＝6.当且仅当⎩⎨⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝2y ＝3时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6.(2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y xx ＋2y ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32y ＝3－322时，取“＝”号．所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223. 19．(本小题满分12分)设z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25，x ≥1求z 的最大值与最小值．[解析] 满足条件⎩⎨⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1的可行域如图，将目标函数z＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，直线y ＝－2x ＋z 是斜率k ＝－2的平行线系，z 是它们的纵戴距．作平行直线过平面区域内的点A 、B 时直线的纵截距取最值．求A 、B 点坐标，代入z ＝2x ＋y ，过A 点时z max ＝12，过B 点时z min ＝3.20．(本小题满分12分)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[解析]解法一：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝9000.①广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a>0，b>0.广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋225a·40b＝18500＋21000ab＝24500.当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小．解法二：设广告的高和宽分别为x cm 、y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18000，由此得y ＝18000x －20＋25广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫18000x －20＋25＝18000x x －20＋25x 整理得S ＝360000x －20＋25(x －20)＋18500.因为x －20>0 所以S ≥2360000x －20＋25(x －20)＋18500 ＝24500.当且仅当360000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x >20)解得x ＝140代入y ＝18000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24500.故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a 、b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k >1，解关于x 的不等式f (x )<(k ＋1)x －k2－x.[解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b＝－9164a ＋b＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2.∴f (x )＝x 22－x(x ≠2)(2)原不等式即为x 22－x <(k ＋1)x －k2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x <0.即(x －2)(x －1)(x －k )>0. ①当1<k <2时，1<x <k 或x >2;②当k ＝2时，x >1且x ≠2； ③当k >2时，1<x <2或x >k .综上所述，当1<k <2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}；当k ＝2时，原不等式的解集为{x |x >1且x ≠2}；当k >2时，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }．22．(本小题满分14分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥04x －3y －12≤0x ＋2y －3≥0，求z ＝x 2＋y 2的最大值与最小值．[解析] 在同一直线坐标系中，作直线x －2y ＋7＝0,4x －3y －12＝0和x ＋2y －3＝0，再要据不等式组确定可行域为△ABC (如图所示)，把x 2＋y 2看作点(x ，y )到原点(0,0)的距离的平方．由⎩⎨⎧x －2y ＋7＝04x －3y －12＝0，解得点A 的坐标(9,8)．所以(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝92＋82＝145.因为原点O 到直线BC 的距离为|0＋0－3|5＝35，所以(x 2＋y 2)min ＝95.。

【成才之路】高二数学人教B版必修3 同步精练：3.2 第1课时古典概型 Word版含解析[ 高考]

第三章 3.2 第1课时一、选择题1．从甲、乙、丙三人中任选两人作为代表去开会，甲未被选中的概率为( ) A.12 B ．13C.23 D ．1[答案] B[解析] 所有的基本事件为：甲、乙，甲、丙，乙、丙，即基本事件共有三个，甲被选中的事件有两个，故P ＝23.∴甲未被选中的概率为13.2．下列概率模型中，有几个是古典概型( ) ①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率； ②从1～10中任意取出一个整数，求取到1的概率；③向一个正方形ABCD 内投一点P ，求P 刚好与点A 重合的概率； ④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率． A ．1个 B ．2个 C.3个 D ．4个[答案] A[解析] 第1个概率模型不是古典概型．因为从区间[1,10]内任意取出一个数有无数个对象被取，即试验中所有可能出现的基本事件有无限个．第2个概率模型是古典概型．在试验中所有可能出现的结果只有10个，而且每一个数被抽到的可能性相等．第3个概率模型不是古典概型，向正方形内投点，可能结果有无穷多个．第4个概率模型不是古典概型．因为硬币残旧且不均匀，因此两面出现的可能性不相等． 3．(2015·潮州高一期末测试)从1、2、3、4、5这两个数中任取2个数，则取出的两个数是连续自然数的概率是( )A.25 B ．35C.13 D ．23[答案] A[解析] 从1、2、3、4、5这五个数中任取2个数的基本事件有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10个，取出的两个数是连续自然数的基本事件有(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4个，故所求的概率P ＝410＝25.4．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率为( )A.45 B ．35C.25 D ．15[答案] D[解析] 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，所得情况有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)共15种，b >a 的情况有(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3种，∴所求的概率为315＝15.5．已知集合A ＝{－1,0,1}，点P 坐标为(x ，y )，其中x ∈A ，y ∈A ，记点P 落在第一象限为事件M ，则P (M )＝( )A.13 B ．16C.19 D ．29[答案] C[解析] 所有可能的点是(－1，－1)、(－1,0)、(－1,1)、(0，－1)、(0,0)、(0,1)、(1，－1)、(1,0)、(1,1)，共9个，其中在第一象限的有1个，因此P (M )＝19.6．若第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠在一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车，假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )A.12 B ．23C.35 D ．25[答案] D[解析] 汽车到站共有5种不同情况，恰好是这位乘客所需乘的汽车有2种，故所示概率P ＝25.二、填空题7．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是________．[答案] 12[解析] 记3只白球分别为A 、B 、C,1只黑球为m ，若从中随机摸出两只球有AB 、AC 、Am 、BC 、Bm 、Cm 有6种结果，其中颜色不同的结果为Am 、Bm 、Cm 有3种结果，故所求概率为36＝12.8．4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为____________．[答案] 23[解析] 由题意知，基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，记“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”为事件A ，∴A ＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}，∴P (A )＝46＝23. 三、解答题9．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． [解析] (1)X 的所有可能取值为－2、－1、0、1. (2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→、OA 1→·OA 6→、OA 2→·OA 4→、OA 2→·OA 6→、OA 3→·OA 4→、OA 3→·OA 5→，共6种；数量积为0的有OA 1→·OA 3→、OA 1→·OA 4→、OA 3→·OA 6→、OA 4→·OA 6→，共4种；数量积为1的有OA 1→·OA 2→、OA 2→·OA 3→、OA 4→·OA 5→、OA 5→·OA 6→，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为p 1＝715；因为去唱歌的概率为p 2＝415，所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝1－415＝1115.10.右面茎叶图中记录了甲组3名同学寒假假期内去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B 学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示．(1)如果x ＝7，求乙组同学去图书馆B 学习次数的平均数和方差；(2)如果x ＝9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．[解析] (1)当x ＝7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆B 学习的次数是7、8、9、12，所以其平均数为x ＝7＋8＋9＋124＝9，方差为s 2＝14[(7－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(12－9)2]＝72.(2)记甲组3名同学为A 1、A 2、A 3，他们去图书馆A 学习的次数依次为9、12、11；乙组4名同学为B 1、B 2、B 3、B 4，他们去图书馆B 学习的次数依次为9、8、9、12；从学习次数大于8的学生中任选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是A 1A 2、A 1A 3、A 1B 1、A 1B 3、A 1B 4、A 2A 3、A 2B 1、A 2B 3、A 2B 4、A 3B 1、A 3B 3、A 3B 4、B 1B 3、B 1B 4、B 3B 4.用C 表示“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是A 1B 4、A 2B 4、A 2B 3、A 2B 1、A 3B 4.故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆里学习且学习的次数和大于20的概率为P (C )＝515＝13.一、选择题1．(2015·广东文，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6 C.0.8 D ．1[答案] B[解析] 5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，恰有一件次品，有6种，分别是(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，设事件A ＝“恰有一件次品”，则P (A )＝610＝0.6，故选B.2．已知f (x )＝3x －2(x ＝1,2,3,4,5)的值构成集合A ，g (x )＝2x －1(x ＝1,2,3,4,5)的值构成集合B ，任取x ∈A ∪B ，则x ∈A ∩B 的概率是( )A.16 B ．14C.13 D ．12[答案] B[解析] 根据条件可得A ＝{1,4,7,10,13}，B ＝{1,2,4,8,16}，于是A ∪B ＝{1,2,4,7,8,10,13,16}，A ∩B ＝{1,4}．故任取x ∈A ∪B ，则x ∈A ∩B 的概率是28＝14.3．从所有3位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为( ) A.1225 B ．1300C.1450 D ．以上全不对 [答案] B[解析] 三位的正整数共有900个，若以2为底的对数也是正整数(设为n )，则100≤2n ≤999，∴n ＝7、8、9共3个，故P ＝3900＝1300.4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块，如果婴儿能够排成“20 12 伦敦”或者“伦敦 20 12”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块挨着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( )A.12 B ．13C.14 D ．16[答案] B[解析] 3块字块的排法为“20 12 伦敦”，“20 伦敦 12”，“12 20 伦敦”，“12 伦敦 20”，“伦敦 20 12”，“伦敦 12 20”，共6种，婴儿能得到奖励的情况有2种，故所求概率P ＝26＝13.二、填空题5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为P 点的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率是____________．[答案] 29[解析] P 点坐标共有36个，落在圆x 2＋y 2＝16内的点为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)共8个，故所求概率P ＝836＝29.6．在平面直角坐标系中，从五个点A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,2)、E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________．[答案] 45[解析] 如下图所示，则从这五点中任取三点的全部结果为：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BDE 、CDE ，共10个．而事件M “任取三点构不成三角形”只有ACE 、BCD 2个，故构成三角形的概率P (M )＝1－P (M )＝1－210＝45.三、解答题7．(2014·四川文，16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a 、b 、c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率． [解析] (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,2,1)、(1,2,2)、(1,2,3)、(1,3,1)、(1,3,2)、(1,3,3)、(2,1,1)、(2,1,2)、(2,1,3)、(2,2,1)、(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,1)、(2,3,2)、(2,3,3)，(3,1,1)、(3,1,2)、(3,1,3)、(3,2,1)、(3,2,2)、(3,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)、(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.8．(2015·福建文，18)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．[解析] 解法一：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1、A 2、A 3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1、B 2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}、{A 1，A 3}、{A 2，A 3}、{A 1，B 1}、{A 1，B 2}、{A 2，B 1}、{A 2，B 2}、{A 3，B 1}、{A 3，B 2}、{B 1，B 2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A 1，A 2}、{A 1，A 3}、{A 2，A 3}、{A 1，B 1}、{A 1，B 2}、{A 2，B 1}、{A 2，B 2}、{A 3，B 1}、{A 3，B 2}，共9个．所以所求的概率P ＝910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.解法二：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}、{A 1，A 3}、{A 2，A 3}、{A 1，B 1}、{A 1，B 2}、{A 2，B 1}、{A 2，B 2}、{A 3，B 1}、{A 3，B 2}、{B 1，B 2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B 1，B 2}，共1个．所以所求的概率P ＝1－110＝910.(2)同解法一．9.(2015·安徽太和中学高一期末测试)已知某学校有教职工60名，为了了解教职工的健康状况，对教职工进行了体检．现将全体教职工随机按1～60编号，并用系统抽样的方法从中抽取10名职工了解健康状况．(1)若抽出的某职工的号码为26，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求这10名职工的平均体重；4 95 5 86 1 4 5 8 8 757(3)在(2)的条件下，从10名职工中随机抽取两名体重不低于65 kg 的职工，写出这两名职工体重的所有基本事件，并求体重为77 kg 的职工被抽到的概率．[解析] (1)由题意可知，所有被抽出职工的号码为2、8、14、20、26、32、38、44、50、56.(2)这10名职工的平均体重x＝110(75＋77＋61＋64＋65＋68＋68＋55＋58＋49)＝64(kg)．(3)记“体重为77 kg的职工被抽到”为事件A.基本事件空间Ω＝{(65,68)，(65,68)，(65,75)，(65,77)，(68,68)，(68,75)，(68,77)，(68,75)，(68,77)，(75,77)}，共有10个基本事件．事件A包含的基本事件有(65,77)、(68,77)、(68,77)、(75,77)共4个，∴P(A)＝410＝2 5.。

成才之路人教B数学必修1同步测试：第三章基本初等函数21 第2课时含答案

第三章 3.2 3.2.1 第2课时一、选择题1．lg8＋3lg5＝( ) A ．lg16 B ．3lg7 C ．6 D ．3[答案] D[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3lg10＝3.2．(2014～2015学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知x 、y 为正实数，则下列各式正确的是( )A ．2lg x ＋lg y 2＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2(lg x ·lg y )＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y [答案] A[解析] ∵x >0，y >0，∴2lg x ＋lg y 2＝2lg x ＋2lg y ，故选A ． 3．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝a ＋3b －c B ．x ＝3ab5cC ．x ＝ab 3c 5D ．x ＝a ＋b 3－c 3 [答案] C [解析]∵lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lgab 3c 5， ∴x ＝ab 3c5.4．当a ＞0且a ≠1，x ＞0，y ＞0，n ∈N *时，下列各式不恒成立的是( ) A ．log a x n ＝n log a x B ．log a x ＝n log a nxC ．x log a x ＝xD ．log a x n ＋log a y n ＝n (log a x ＋log a y )[答案] C[解析] 要使式子x log a x ＝x 恒成立，必须log a x ＝1，即a ＝x 时恒成立． 5．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．33B ．3C ．19D ．9[答案] C[解析] ∵2log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.6．(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( )A ．2a ＋b 1－a ＋bB ．2a ＋b 1＋a ＋bC ．a ＋2b 1－a ＋bD ．a ＋2b1＋a ＋b[答案] A[解析] lg12lg15＝lg4＋lg3lg3＋lg5＝2lg2＋lg3lg3＋1－lg2＝2ab 1－a ＋b ，故选A ．二、填空题7．lg 5＋lg 20的值是________． [答案] 1[解析] lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg10＝1. 8．log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. [答案] 2[解析] log 6x ＝0.386 9＝1－0.613 1＝1－log 63 ＝log 66－log 63＝log 663＝log 62，∴x ＝2.三、解答题9．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.[解析](1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12.(2)原式＝12(lg2＋lg9－lg10)lg1.8＝12lg1.8lg1.8＝12.10．计算下列各式的值：(1)log2748＋log212－12log242；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解析](1)原式＝log2748＋log212－log242＝log2⎝⎛⎭⎪⎫748×142×12＝log2⎝⎛⎭⎪⎫16×8×16×12＝log228＝log22－12＝－12.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.一、选择题1．log(2＋1)(3－22)的值为()A．2B．－2C．3D．－3[答案] B[解析]log(2＋1)(3－22)＝log(2＋1)1(2＋1)2＝log(2＋1)(2＋1)－2＝－2.2．已知|lg a|＝|lg b|，(a＞0，b＞0)，那么()A．a＝b B．a＝b或a·b＝1C．a＝±b D．a·b＝1[答案] B[解析] ∵|lg a |＝|lg b |；∴lg a ＝±lg b . ∴lg a ＝lg b 或lg a ＝lg 1b ，∴a ＝b 或a ＝1b.3．某企业的年产值每一年比上一年增长p %，经过n 年产值翻了一番，则n 等于( ) A ．2(1＋p %) B ．log (1＋p %)2 C ．log 2(1＋p %) D ．log 2(1＋p %)2[答案] B[解析] 由题意得1·(1＋p %)n ＝2， ∴n ＝log (1＋p %)2. 4.2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3 [答案] B[解析] 2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝lg4＋lg3lg10＋lg0.6＋lg2＝lg12lg12＝1.二、填空题5．已知log 32＝a ，则2log 36＋log 30.5＝________. [答案] 2＋a[解析] 2log 36＋log 30.5＝log 336＋log 30.5＝log 3(36×0.5)＝log 318＝log 39＋log 32＝log 332＋log 32＝2＋a .6．方程lg x 2－lg(x ＋2)＝0的解集是________． [答案] {－1,2}[解析] ∵lg x 2－lg(x ＋2)＝0，∴⎩⎨⎧x ≠0x ＋2＞0x 2＝x ＋2，解得x ＝－1或x ＝2.∴方程lg x 2－lg(x ＋2)＝0的解集为{－1,2}．三、解答题7．计算：2723－2log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)．[解析]2723－2log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)＝(33)23 －3×log 22－3＋lg(3＋5＋3－5)2＝9＋9＋lg10＝19.8．(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m＋n的值；(2)设x ＝log 23，求22x ＋2－2x ＋22x ＋2－x的值． [解析] (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝(a log a 2)2·a log a 3＝4×3＝12.(2)22x ＋2－2x ＋22x ＋2－x ＝(2x ＋2－x )22x ＋2－x＝2x ＋2－x＝2log 23＋(2log 23)－1 ＝3＋13＝103.。

【成才之路】(人教B版)数学必修1第三章基本初等函数12 第2课时指数函数的应用PPT课件

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宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入．只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失．对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳 14 的含量，就可推断其年代．这就是考古学家常用的碳14测年法．你知道生物体内碳14 的衰减有着怎样的变化规律的吗？
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
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2．当 x∈[－1,1]时，函数 f(x)＝3x－2 的值域是( )
A．1，53 C．－53，1
B．[－1,1] D．[0,1]
[答案] C
[解析] ∵－1≤x≤1，∴13≤3x≤3， ∴－53≤3x－2≤1，故选 C．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
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复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性，在x∈[m，n]上 (au在相应区间上)如果单调性相同(同增或同减)，则复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上__增__；如果单调性相反(即一增一减)，则复合的函数 y ＝ af(x) 在 [m ， n] 上 __减__ ．总之，复合函数的单调性，要看原来参与复合的两个函数的单调性，同则__增__，异则 _减___，即“同_增___异_减___”．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
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成才之路人教B数学必修1同步测试：第三章基本初等函数含答案

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．计算[(－2)2]－12 的结果是( )A ．2B ．－2C ．22D ．－22[答案] C[解析] [(－2)2] －12 ＝[(2)2] －12 ＝(2)－1＝22.2．下列运算正确的是( ) A ．a ·a 2＝a 2 B ．(ab )3＝ab 3 C ．(a 2)3＝a 6 D ．a 10÷a 2＝a 5[答案] C[解析] a ·a 2＝a 3，故A 错；(ab )3＝a 3b 3，故B 错；a 10÷a 2＝a 8，故D 错，只有C 正确．3．(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2[答案] C[解析] (36a 9)4·(63a 9)4＝(3a 32)4·(6a 3)4＝(a 12 )4·(a 12 )4＝a 4.4．(2014～2015学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为( )①na n＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43＋y ；④3－5＝6(－5)2.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] ∵a ∈R ，∴a 2－a ＋1>0， ∴(a 2－a ＋1)0＝1，只有②正确．5．(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设a >0，将a 2a ·3a 2写成分数指数幂，其结果是( )A ．a 32B ．a 12C ．a 56D ．a 76[答案] D [解析]a 2a ·3a 2＝a 2a 53＝a 2a 56＝a 76. 6.481×923的值为( )A ．363B ．3C ．3 3D ． 3[答案] A[解析]481×923＝[34×(343)12 ]14 ＝(34＋23)14 ＝376 ＝363. 二、填空题 7．64－23 的值是__________．[答案]116[解析] 64－23 ＝(26) －23 ＝2－4＝116. 8．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算：2－12＋(－4)02＋12－1－(1－5)0＝____.[答案] 2 2[解析] 2－12＋(－4)02＋12－1－(1－5)0 ＝12＋12＋2＋1－1＝2 2. 三、解答题 9．计算：(1)3(－4)3－(12)0＋0.2512×(－12)－4；(2)(0.064)－13 －(－59)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋(0.01) 12 .[解析] (1)3(－4)3－(12)0＋0.2512×(－12)－4＝－4－1＋12×(2)4＝－5＋12×4＝－3.(2)(0.064) －13－(－59)0＋[(－2)3] －43＋16－0.75＋(0.01)12＝[(0.4)3] －13 －1＋(－2)－4＋(24)－34＋[(0.1)2]12＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1 ＝52－1＋116＋18＋110＝14380. 10．计算：(1)(214)12 －(－9.6)0－(338)23＋(1.5)－2；(2)设x 12 ＋x －12 ＝3，求x ＋x －1及x 12 －x －12 的值． [解析] (1)(214)12 －(－9.6)0－(338)23＋(1.5)－2＝[(32)2]12－1－[(32)3]23＋(23)2＝32－1－94＋49＝－4736. (2)∵x 12＋x －12 ＝3，∴x ＋1x＝3，∴x ＋x －1＝x ＋1x ＝(x ＋1x)2－2＝9－2＝7.(x 12 －x －12 )2＝(x －1x)2＝x ＋1x－2＝7－2＝5，∴x 12 －x －12 ＝±5.一、选择题1．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)，得( ) A ．－32b 2B ．32b 2C ．－32b 73D ．32b 73[答案] A [解析](2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)2．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若a <14，则化简4(4a －1)2的结果是( )A ．1－4aB ．4a －1C ．－1－4aD ．－4a －1[答案] A[解析] ∵a <14，∴4a －1<0.∴4(4a －1)2＝1－4a ，故选A ．3．将3－22化简成不含根号的式子是( )A ．－212B ．－2－15 C ．－213 D ．－223[答案] A[解析] ∵－22＝－(2)3＝－232，原式＝(－232)13＝－212.故选A ． 4．若m <0，n >0，则m n 等于( ) A ．－m 2n B ．－m 2n C ．－(mn )2 D ．m 2n[答案] A[解析] ∵m <0，∴m ＝－m 2， ∴m n ＝－m 2n ，故选A ．二、填空题5．23×31.5×612的值为__________． [答案] 6[解析] 原式＝2×312·(32)13·(22×3)16＝2×312×313×2－13×316×213 ＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.6．(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)计算259＋⎝⎛⎭⎫2764－13＋(0.1)－1－π0＝________. [答案] 12 [解析]259＋⎝⎛⎭⎫2764－13＋(0.1)－1－π0 ＝53＋⎝⎛⎭⎫34－1＋⎝⎛⎭⎫110－1－1 ＝53＋43＋10－1＝12. 三、解答题7．将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)a a (a ＞0)； (2)13x (5x 2)2；(3)⎝⎛⎭⎪⎫4b －23－23(b ＞0) . [解析](3)原式＝[(b －23)14]－23＝b －23×14×(－23)＝b 19.8．求下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748； (2)(0.008 1)－14－⎣⎡⎦⎤3×⎝⎛⎭⎫780－1×[81－0.25＋(338)－13]－12－10×0.02713.[解析](1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋⎝⎛⎭⎫110－2＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748＝100.＝⎝⎛⎭⎫310－1－13×⎝⎛⎭⎫13＋23－12－10×310 ＝103－13×1－3＝0.。

【成才之路】高中数学人教B版必修四练习：第1章基本初等函数(Ⅱ)131第2课时.docx

第一章1.3 1.3.1第2课时基础巩固一、选择题1. （2015-潮州高一期末测试）已知./W = sin （2x —为，则.心）的最小正周期和一个单调增区间分别为（将学号34340276A. 兀，［一务 5B. n,［-|,普］C. 2兀，［一务乎］D. 2兀，［-务|］［答案］B［解析］函数./（X ）的最小正周期T=n. 令一号+2A TC W2X —中W 号+2加,RGZ, 得一普+«兀，AW 乙当£=0时，得一个单调增区间［一备普］,故选B.2. 下列表示最大值是周期是6兀的三角函数的表达式是（1 兀B. ypsin(3x+g)C. y=2sin6-》［答案］A［解析］函数y=|sin （|+^）的最大值为£周期为6兀，初相为务故选A.3. 下列四个函数中，最小正周期是兀且图象关于兀=申对称的是（C. j^=sin(2x —亍)［答案］DTIB. j^=sin(2x+g) D. j=sin(2x —［解析］•・•函数的最小正周期为兀，排除A,又•・•函数图象关于申对称，.••当兀二扌时, 函数取最大值或最小值，只有选项D 满足，故选D.4. （2015-河南南阳高一期末测试）为得到函数y=cos （x+扌）的图彖，只需将函数v=siav)导学号34340277)导学号34340278的图象（）|导学号34340丽A.向左平移彳个长度单位B.向右平移殳个长度单位C.向左平移罟个长度单位D.向右平移罟个长度单位［答案］C［解析］将函数y=sinx 的图象向左平移普个长度单位，得到y=sin （x+^） = sin ［^+ （x+^)]=cos(x+j),故选 C.5. 函数y=sin （2x+£）在区间［0,兀］内的一个单调递减区间是（［答案］BTTTT 3兀|■解析］由㊁+2竝冬2^+亍冬亍+2加伙WZ ）JT/TI、得帀+伽:£^冬巧+加伙£Z ）,・••选B.6. 设点尸是函数f （x ） = smcox 的图象C 的一个对称中心，若点"到图象C 的对称轴的距离的最小值是务则心）的最小正周期是（）|导学号343402“A. 2兀［答案］BT 兀［解析］由题意知:.T=n,故选B. 二、填空题7.____________________________________________________ 已知函数./W=2sin （亦+卩）的图象如图所示，则./（寻）= _____________________________ 导学号34340282［答案］0)导学号34340280B. 兀 7兀D.B.兀A. [0,誇]［解析］由图象知，r=y,；册0‘ 出)比+恭-点)f8・已知0)>0,0<^<71,直线x=》和x=乎是函数/(x) = sin(ftzx+°)图彖的两条相邻的对称轴，则0= ________ .|导学号34340莎［答案］|［解析］由题意可知，函数./(X)的最小周期7=2(普一》=2兀，・・“=1.•\/(x) = sin(x+^).又Vx=J是函数./(工)的图象的一条对称轴，••・扌+卩=£兀+号，MZ,• •卩=Ait+才，k Z.三、解答题9.若函数/(x) = 3sin(3x+j)表示一个振动.导学号34340284(1)求这个振动的振幅、周期、初相；(2)说明函数y=shu的图象经过怎样的变换可得到函数.心)的图象.［解析］⑴振幅力=3,周期卩=今，初相(2)先将函数y=sinx的图象向左平移申个单位，得到y=sin(x+|)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的+倍(纵坐标不变)，得到y=sin(3x+|)的图象；最后将所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到./(x)=3sin(3x+》的图象.10.(2015•湖北理，17)某同学用"五点法”画函数/(x)=/sin(ex+°)(e>0,个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：|导学号34340285］cox+(p0712兀3兀T2n兀兀35兀~6Asm((ox+(p)05-50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数/(X)的解析式；(2)将y=/(x)图象上所有点向左平行移动〃(&>0)个单位长度，得到y=g(x)的图彖.若y =g(x)图象的一个对称中心为借，0),求〃的最小值.TT［解析］⑴根据表中已知数据，解得A = 5, e=2, 0=—*.数据补全如下表:(Dx+(p0兀2713兀T2兀X71127137兀125兀"6"13兀12Asin(o)x+(p)050-50函数.A-v)的表达式为./W = 5sin(2x—?).⑵白⑴知./U)=5siM"—{),jr故g(x) = 5sin(2x+20—g).因为y=sin x的对称中心为(加，0), kWZ.令2x+20—^=kn,解得兀=竽+令一〃，kWZ.又函数y=g(x)的图象关于点(普，0)中心对称，因此可以令号+令一宀労，解得。

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