圆锥曲线高考常见题型与分析

圆锥曲线高考常见题型与分析

湖南 黄爱民

有关圆锥曲线的高考命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查．既有对基础知识的考查，又有与其他知识的综合考查，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，下面例谈圆锥曲线高考题常见类型．

一、轨迹问题

例1 椭圆方程为2

2

14y x +=，过点(01)M ，的直线l 交椭圆于点A B O ，，是坐标原点，点P 满足1()2

OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程． 解：设()P x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，，

由题意，得122x x x +=，122

y y y +=，21211y y y x x x --=-． 又∵A B ，在椭圆上，

代入椭圆方程并相减，得121212121()()()()04x x x x y y y y -++-+=． 当12x x ≠时，有121212121()04y y x x y y x x -++

+=-g ． 即112204y x y x -+=g g

， 整理，得2240x y y +-=；①

当12x x =时，点A B ，的坐标分别为(02)，，(02)-，，这时点P 的坐标为(00)，，也满足①．

故点P 的轨迹方程为：2

212111

1616

y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=． 评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键．

二、对称问题 例2 已知椭圆C 的方程22

143

x y +=，试确定m 的取值范围，使得C 上有不同的两点关于直线4y x m =+对称．

解：设椭圆上两点为11()A x y ，，22()B x y ，，

代入椭圆方程并相减，得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=．①

又设AB 中点为()D x y ，，斜率为k ，

由题意得122x x x +=，122

y y y +=，1

21214y y k x x -==--， 代入①，得3y x =．

又由34y x y x m =⎧⎨=+⎩，，

，解得D 点(3)m m --，．

要使D 点在椭圆内，则有22

()(3)143

m m --+<．

解得1313

m -<<． 评析：在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线；求这两直线的交点；使交点在圆锥曲线内．

三、参数范围问题

例3 设双曲线2

22:1(0)x C y a a

-=>与直线:1l x y +=相交于不同的点A B ，．试求C 的离心率e 的取值范围．

解：由C 与l 相交于不同的两点，

知2

2211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩

，有两个不同的实数解，

消去y 整理，得2222

(1)220a x a x a -+-=．

∴24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，，

解得0a <<1a ≠，

∵e a ===，

∴2

e >

且e ≠ 即e

的取值范围为)+∞⎝U ．

评析：本题利用已知条件求出相关量a 的范围，再建立e 与a 的关系式，得出e 的范围．这是求解参数范围问题的常用方法．

四、与向量结合的问题

例4 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的长、短轴端点分别为A B ，，从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB u u u r 与OM u u u u r 是共线向量．

（1）求椭圆的离心率e ；

（2）设Q 是椭圆上任意一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，求12FQF ∠的取值范围；

解：（1）∵1(0)F c -，则2b M c a ⎛⎫- ⎪⎝

⎭，，∴2OM b k ac =-． ∵AB b k a

=-，由题意，得2b b ac a -=-， ∴b c =

，故e =

． （2）设|1

1FQ r =，22F Q r =，12F QF θ∠=， 2222222

1212122121212124()24cos 110222r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===--=+⎛⎫ ⎪⎝⎭

≥ 当且仅当12r r =时，cos 0θ=，∴0θπ⎡⎤∈⎢⎥2⎣⎦

，．

评析：平行、共线问题均可在向量共线的新情景下设计问题．解此题的关键是正确理解向量共线的意义，把有关向量的问题转化为解析几何问题来解决．

五、存在性问题 例5 已知椭圆22

143

x y +=，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点1F 、2F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．

解：假设存在满足条件的点11()M x y ，，

由2a =

，b =1c =，得12

e =， 又由焦半径公式，得111MF r a ex ==+，221MF r a ex ==-，

22221211111()()44

r r a ex a ex a e x x =+-=-=-g ， 点M 到左准线的距离2

114a d x x c

=+=+，

d =，即221114(4)4

x x -

=+，∴211532480x x ++=， ∴14x =-或1125

x =-，这与1[20)x ∈-，相矛盾， ∴满足条件的点M 不存在． 评析：巧妙利用椭圆的统一定义是解决本题的关键．应注意的是在求出坐标之后，要从范围上进行验证．