【教学设计】实数的性质及其运算

实数的性质及其运算

1．了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义；(重点) 2．理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．(重点、难点)

一、情境导入

如图所示，小明家有一正方形厨房和一正方形卧室，其中正方形厨房的面积为10平方米，正方形卧室的面积为15平方米，他想知道这两个正方形的边长之和的长是多少米，你能帮他计算出来吗？

二、合作探究

探究点一：实数与数轴的关系

【类型一】求数轴上的点对应的实数

如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．

解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．

解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，∴点B到点A的距离为1＋.则点C到点A的距离也为1＋.设点C表示的实数为x.则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.∴点C所表示的实数为－2－.

方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值．

【类型二】利用数轴进行估算

如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有()

A．6个B．5个C．4个D．3个

解析：∵≈1.414，∴和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.

方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．【类型三】结合数轴进行化简

实数在数轴上的对应点如图所示，化简：－－－.

解析：由于＝，＝＋，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简．

解：由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0.

所以，原式＝－－－＋＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.

方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：＝探究点二：实数的性质

求下列各数的相反数和绝对值：

(1)；(2)－；(3)－1＋.

解析：根据相反数、绝对值的定义求解．

解：(1)的相反数是－，绝对值是；

(2)－的相反数是－＋，绝对值是－＋；

(3)－1＋的相反数是1－，绝对值是－1＋.

方法总结：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数时，只需在这个数的前面加上“－”号再去括号即可．求一个数的绝对值，需要分清这个数是正数、0还是负数．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．

探究点三：实数的运算

计算下列各式的值：

(1)2－5－(－5)；

(2)－|＋|1－|＋|2－|.

解析：按照实数的混合运算顺序进行计算．

解：(1)2－5－(－5)

＝2－5－＋5

＝(2－)＋(5－5)

＝；

(2)因为－＞0，1－＜0，2－＞0，

所以－|＋|1－|＋|2－|

＝(－)－(1－)＋(2－)

＝－－1＋＋2－

＝(－)＋(－)＋(2－1)＝1.

方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律．探究点四：实数的大小比较

比较大小：

(1)与；(2)1－与1－.

解析：把两个数直接相减，根据差的正负比较大小．

解：(1)∵－＝<0，∴<.或÷＝－1＜1，∴＜；

(2)∵(1－)－(1－)＝－>0，∴1－>1－.

方法总结：作差法比较实数大小：设a，b为任意两个实数，先求出a与b 的差，再根据“当a－b<0时，a0时，a>b.”来比较a与b的大小．

三、板书设计

1．实数与数轴的关系

实数与数轴上的点一一对应．

2．实数的性质

有理数的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然有意义．

3．实数的运算

4．实数的大小比较

正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小．

由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣．同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度