数值分析分解法
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§3 LU 分解法
——Gauss 消去法的变形
知识预备：
1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积
2矩阵的乘法
3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆
一、Gauss 消去法的矩阵解释
Gauss 消去法实质上是将矩阵A 分解为两个三角矩阵相乘。 我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。 第一轮消元：相当于对A
（1）
左乘矩阵L 1，即
)2()1(1A A L =
其中
)
1(11
)
1(1
1)2()2(2
)2(2)2(22)
1(1)
1(12)1(11)
2(131211,,1001
011a a l a a a a a a a A
l l l L i i nn n n n n =⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=
第二轮消元：对应于
)3()2(2A A L =
一般地
1,,2,1)
1()(-==+n k A A L k k k (1)
其中
n
k k i a a l l l L k kk
k ik
ik nk k
k k ,,2,1,,10111)()
(1 ++==⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡--=+整个消元过程为
U A A L L L L n n n 记)(1221=-- ⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡=nn n
n
u u u u u u 22211211………（2） 从而
U L U L L L L U L L L L A n n n n ⋅===---------1
112121111221)(
其中L 是单位下三角矩阵，即
,1,,1,,3,2,,11
11)()(21323121⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-===⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n j n i l l l l l l L j jj j ij
a a ij n n …（3） 【注】消元过程等价于A 分解成LU 的过程
回代过程是解上三角方程组的过程。
二、矩阵的三角分解
1、若将A 分解成L?U ，即A=L?U ，其中L 为单位下三角矩阵,U 为非奇异上三角矩阵,则称之为对A 的Doolittle 分解。
当A 的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而A 存在唯一的Doolittle 分解。
证明：若有两种分解，A=L 1U 1，A=L 2U 2，则必有L 1=L 2，U 1=U 2。
因为L 1U 1=L 2U 2，而且L 1，L 2都是单位下三角矩阵，U 1,U 2都是可逆上三角矩阵,所以有
112112--=U U L L
因此 )(1
1211
2单位矩阵I U U L L ==--
即
L 1=L 2，U 1=U 2、
2、若L 是非奇异下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵时，A 存在唯一的
三角分解，A=LU ，称其为A 的Crout 分解（对应于用列变换实施消元）
三、直接分解（LU 分解）算法
LU 分解算法公式——按矩阵乘法
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n
n
n n u u u u u u l l l l l A 222112112132312111
11 第一步：利用A 中第一行、第一列元素确定U 的第一行、L 的第一列
元素。由
),,2,1()0,,0,,,()0,,0,0,1(1211n j u u u u a j
T ij j j j ==⋅=
),,3,2()0,,0,()0,,1,,,(11
1111211n i u l u l l l a i T ii i i i =⋅=⋅=-
得 u 1j =a 1j n j ,,2,1( =) l i1=a i1/u 11n i ,,3,2( =)
第r 步:利用A 中第r 行、第r 列剩下的元素确定U 的第r 行、L 的第r 列元素（r=2，3，…，n ）.由
)
,,1,()0,,0,,,()0,,0,1,,,(1
1
21121n r r j u u l u u u l l l a rj
kj r k rk T
jj j j rr r r rj +=+=⋅=∑-=-得U 的第r 行元素为
∑-=+=-=1
1
,,1,,
r k kj rk rj rj n r r j u l a u
由
)
,,2,1()0,,0,,,()0,,0,1,,,(1
1
21121n r r i u l u l u u u l l l a rr
ir kr r k ik T
rr r r ii i i ir ++=+=⋅=∑-=-得
),,1,1,,3,2(/)(1
1
n r i n r u u l a l rr
kr r k ik ir ir +=-=-=∑-=…………
(4)
直接分解的紧凑格式：
方程组的三角分解算法（LU 分解）
对于方程组Ax=b ，设A=LU (Doolittle 分解)。
由于 ⎩⎨⎧==⇔=y
Ux b
Ly b Ax
1、求解Ly=b ：
∑-==-==1
1
11),,3,2(,,i k k ik i i n i y l b y b y (5)
2、求解Ux=y ：