机器人的数学基础及模型建立

绕z轴旋转
v'
o
O'
vy
u
x
第二章 机器人的U数' 学基础及模型建立
13
三、坐标变换
3 复合变换
ApB ARBpApBO
复合变换特点：两坐标 系坐标原点不同，坐标 轴方向也不同。
复合变换
.
第二章 机器人的数学基础及模型Βιβλιοθήκη Baidu立
14
三、坐标变换
4 齐次坐标变换
用4×1的列向量来表示三维坐标系内的点的 坐标，称为点的齐次坐标。把式
基于机器人的算法设计
Algorithm design based on Robot
授课教师：温秀平
.
Algorithm design based on Robot
1
第2章 机器人的数学基础及模型建立
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
2
主要内容 一、矩阵相关知识 二、位置和姿态描述 三、坐标变换 四、机械手的运动学方程 五、机械手的动力学方程
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第二章 机器人的数学基础及模型建立
3
一、矩阵相关知识
1 矩阵的定义
由m×n个数a i j (1≤i≤m,1≤j≤n)排成m行n列的数表
a11 a12 L a1n
A
a
21
a22
L
a
2
n
M M O M
a
m
1
am2
L
a
m
n
称为m×n矩阵。也可以写作A(aij)m，n其中 称a 为i j 元素。
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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三、坐标变换
1 平移坐标变换
ApBpApBO
平移坐标变换特点： 两坐标系坐标轴相 互平行，但坐标原 点不同
平移坐标变换
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
11
三、坐标变换
2 旋转坐标变换
Ap BAR Bp
旋转坐标变换特点： 两坐标系坐标原点 相同，但坐标轴方 向不同
与刚体固联在一起的坐标系 B ,刚体相对
于坐标系 A 的 方位可以用旋转矩阵（方向
余弦矩阵）表示，即
r1 1 r1 2 r1 3
A B
R
r2
1
r2 2
r2
3
r3 1 r3 2 r3 3
iA iB
jA
iB
iA jB jA jB
iA kB
jA
k
B
k A i B k A j B k A k B
a22
L
M
M M
amn
a1n
a2n
L
am1
am
2
M
anm
1 3
如
：
A
2 7
5 4
,
则
AT
1
3
2 5
7
4
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
7
一、矩阵相关知识
5 矩阵的逆
设 A是 n阶 矩 阵 ,若 存 在 n阶 矩 阵 B满 足
ABBAEn 称 A是 可 逆 矩 阵 ,称 B为 A的 逆 矩 阵 ,记 为 BA1。
6 分块矩阵
对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算， 经常采用分块法。如：
a11 a12 a13 a14
A a21 aa3411
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
A1 A3
A2
A4
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
8
二、位置和姿态描述
1 位置描述
ApB ARBpApBO
写成等价形式
A 1 p B A RBp 1ApB O B A o RAp 1B O B 1 p
式中
ABT
BAR
o
A
pBO
1
称为齐次变换矩阵。
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
15
三、坐标变换
4 齐次坐标变换
齐次变换矩阵
ABT
A B
刚体的位置可以用它在某个参考坐标系中的坐
标向量来描述。
Appx
py
T
pz
其中 px , py是, p点z P在坐标系
A 中 的三个坐标分量， A 也p 称
zA Ap
pz
OA
py
yA
px
为位置矢量。
xA
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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二、位置和姿态描述
2 方向描述
为了描述刚体的方向，需要建立一个
16
三、坐标变换
4 齐次坐标变换
对于仅有平移变换的情况，AB T 记作
1
0
0
pxA
ABTrans(
pxA
,
pyA
,
pzA
)
0 0
1 0
0 1
pyA
pzA
0 0 0 1
对于仅有基本旋转变换的情况，{B}绕{A}的X轴或
Y轴或Z轴旋转 角的齐次变换矩阵分别记为
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
4
一、矩阵相关知识
2 矩阵的加法
设有矩阵 A(aij)m n,B(bij)m n，则矩阵 A B 定义为
a11b11 AB(aij bij)mna21 M b21
a12b12 a22b22
M
L a1nb1n L a2nb2n O M
am1bm1 am2bm2 L amnbmnmn
旋转坐标变换
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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三、坐标变换
2 旋转坐标变换
1 0
0
R(x,) 0 cos sin
0 sin cos
cos 0 sin
R（y,) 0
1
0
sin 0 cos
cos -sin 0 R（z,)sin cos 0
0 0 1
.
z
W'
w
绕y轴旋转
o
O'
vy
u
z
x
w
U' W'
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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一、矩阵相关知识
4 矩阵的转置
m n矩阵A =(aij)的转置矩阵是一个n m矩阵，它的 (i, j)元 素 是 aji,记 为 AT(或 A)。
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
a
m
1
am2
L
a1n
a11 a21 L
a2n
则
AT
a12
R
o
A
pBO
1
的一些性质：
（1）它代表了坐标系{B}相对于坐标系{A}的描述，A p B O
是{B}的原点在{A}中的位置矢量，A
B
R
则是{B}在{A}中
的姿态。
（2）它表示{B}从与{A}重合开始，先沿A p B O 进行平
移变换，再按 A
B
R
进行旋转变换得到的复合变换的结
果。
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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一、矩阵相关知识
3 矩阵的乘法
设 A=(aik)ms， B=(bkj)sn， 那 么 AB是 一 个 mn矩 阵 ，
令 C=AB=(cij)mn,其 中
s
cij aikbkj ai1b1j ai2b2j Laisbsj , 1im,1jn
k1
第j列
第j列
第i行aaaM M m 1i111 aaaM M m 1i221 L L LM MaaaM M m 1issnbbbM 12s111 L L LMbbbM 12sjjj L L LMbbbM 12snnncccM M m 1i111 L L LM McccM M 1m ijjj L L LM Mcccm M M 1innn第i行