机器人的数学基础及模型建立
机器人机构学的数学基础(第2版)课件第8章 运动与约束
sac sa
SΔS r 0
$e21 sa ; ra labsab sa SΔS r 0
$e22
0 ;
sac sa
$1r1 0 ; sac sa
$$11rr23
0 ; sa ;
sab
0
sa
$1r4 sac ; 0
$2r1 0 ; sac sa
$$22rr23
等效运动副旋量系的定义
【例8.1】 考察平面四杆机构的KP旋量系。
r2
$3
$2
r1
r3
$4
$1 O
平面四杆机构的KP旋量集可以表示成
通过线性组合可以得到
$1 s ; 0
$$32
s ; s ;
r1 s
(r1 r2 )
s
$4 s ; r3 s
$e1 s ; 0
$$ee32
0 ; 0 ;
• 21世纪以来，以黄真教授为代表的中国学者采用旋量理论 很好地解决了机构自由度正确计算与分析的问题，得到了 通用公式
g
F d(n g) fi i 1
燕山大学 黄真教授
• 机构自由度研究历程和发展沿革完全可以演绎一部哥德巴赫猜想式的故事， 各种形式的自由度计算公式不下30余种，专著不下5部。
【例8.2】 试分析4R型平行四杆机构的等效运动。
当以杆1为机架、以杆4为输出构件时，可视其为由 2个分支组成。首先建立相应的坐标系，得到表示 每个分支各自对应的KP旋量系
等效运动副旋量系的应用
【例8.2】 试分析4R型平行四杆机构的等效运动。
$e11 sa ; ra sa
$e12
0 ;
末端运动模式或自由度类型为自由度空间
【约束空间】：约束空间（constraint space）是物体所受力旋量所张成 的空间，它表征了物体受限的空间运动，即所受约束情况。当物体受基本约 束（力或力偶）时，其力旋量也退化为线矢量及偶量，约束空间也可简单地 描述成约束线图的形式，这时更便于几何表达使其可视化、图谱化，而且其 中蕴含着局部自由度、冗余约束等诸多信息。
工业机器人运动学-1数学基础
则可得到如图1.8所示的点向量n.变换过程如下
1 00 4 2
6
0 1 0 -3 7
4
n = Trans <4, －3, 7> w = 0 0 1 7 3 = 10
0 00 1 1
1
z
z
•n
•v
0
2
y
2
w•
u•
•w
x
-7
•v
图1.7 Rot ( z, 90°) Rot ( y, 90°)
0•
•
7
y
x
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
〔1.1〕
向量的点积是标量.用" ·"来定义向量点积,即
a ·b = ax bx + ay by + az bz
〔1.2 〕
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量.用"×" 表示叉积,即
1.2.1 点向量〔Point vectors〕 点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位
置.同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同.如图 1.1中,点p在E坐标系上表示为 Ev,在H坐标系上表示为 Hu,且v ≠ u.一个点向量可表示为
v = ai + bj + ck 通常用一个〔n + 1〕维列矩阵表示,即除 x、y、 z 三个方向上的分量外,再加一个比例因子 w ,即
01
0 001
1
0
0
1
如果按着逆序旋转,首先绕y轴旋转90°,然后再绕z轴旋转90°,其结果为
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数、微积分等数学知识。
首先，向量是机器人机构学中必须掌握的概念，因为机器人的运动轨迹可以表示为一系列向量。
向量的长度和方向可以描述机器人的位置和姿态，因此对于机器人的运动规划和控制非常重要。
其次，矩阵是机器人机构学中不可或缺的数学工具，因为机器人的运动学和动力学问题可以表示为矩阵方程。
例如，通过矩阵变换可以将机器人末端执行器的位姿转换为关节角度，或者将关节力矩转换为末端执行器的力和力矩。
第三，三角函数也是机器人机构学中常用的数学工具，因为机器人的运动通常涉及到角度的变化。
例如，关节角度可以用正弦和余弦函数来表示，而逆解问题中也需要使用反三角函数求解。
最后，微积分是机器人机构学中的重要数学基础，因为机器人的运动学和动力学问题往往涉及到速度、加速度和力矩等概念。
例如，求解机器人的运动学和动力学模型时需要使用微积分知识，同时在机器人控制问题中也需要使用微积分来设计控制算法。
总之，机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数和微积分等数学知识。
掌握这些数学知识对于理解机器人的运动规划、控制和仿真非常重要。
机器人机构学的数学基础引用
机器人机构学的数学基础引用机器人机构学是机器人学中的一个重要领域，它研究机器人的结构、运动及其控制等问题。
机器人机构学的研究需要运用到一定的数学知识。
本文将就机器人机构学的数学基础进行引用和总结。
一、向量和矩阵机器人机构学中常用向量和矩阵来表示机器人的位置、姿态、运动等信息。
向量是一个具有大小和方向的量，可以用来表示位置、速度、加速度等物理量。
矩阵则是由多个向量组合而成，可以用来表示变换、旋转、平移等变换。
在机器人机构学中，常用齐次坐标系来表示机器人的位置和姿态。
二、三角函数三角函数是机器人机构学中常用的数学工具。
在机器人运动学中，三角函数可以用来描述机器人的角度、朝向、运动路径等信息。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例如，正弦函数可以表示机器人关节的位置，余弦函数可以表示机器人末端执行器的位置。
三、相似变换和仿射变换相似变换是机器人机构学中常用的一种变换方式，它保持物体的形状不变但可以改变物体的大小和位置。
相似变换需要用到欧氏变换、即平移和旋转。
在机器人机构学中，常用相似变换来描述机器人的运动学结构。
仿射变换也是机器人机构学中常用的一种变换方式，它可以改变物体的形状和大小，而且可以进行平移、旋转和剪切等操作。
在机器人机构学中，仿射变换常用于描述机器人末端执行器的位置和姿态。
四、李群和李代数李群和李代数是机器人机构学的重要数学工具。
李群是一种数学对象，它描述了物体的对称性和运动规律。
李代数则是对李群进行线性化的结果，它可以求出物体在某一点的切空间。
在机器人机构学中，李群和李代数可以用来描述机器人的变换及其群结构。
总结：机器人机构学的数学基础涉及到向量和矩阵、三角函数、相似变换和仿射变换以及李群和李代数等领域。
这些数学概念和工具可以帮助机器人机构学家更加准确地描述机器人的位置、姿态、运动及其控制方式，从而为机器人的应用研究提供有力的数学支撑。
描述机器人状态和运动的数学模型
描述机器人状态和运动的数学模型
机器人状态和运动的数学模型可以用数学符号和方程式来表示和描述。
1. 机器人状态模型
机器人状态包括位置和姿态两个方面，可以用以下符号和方程式来描述：
* 位置：用三维坐标系表示，分别为X、Y、Z，用向量 r 表示，即 r=[X, Y, Z]。
* 姿态：用欧拉角或四元数表示，分别为 yaw、pitch、roll 或 q1、q2、q3、q4，用向量 q 表示，即 q=[q1, q2, q3, q4]。
2. 机器人运动模型
机器人运动包括平移和旋转两个方面，可以用以下符号和方程式来描述：
* 平移：用向量 t 表示，即 t=[dx, dy, dz]，表示机器人在 x、y、z 三个方向上的平移距离。
* 旋转：用旋转矩阵 R 或四元数 Q 表示，分别为
R=[r11, r12, r13;
r21, r22, r23;
r31, r32, r33]
Q=[q1, q2, q3, q4]
其中旋转矩阵 R 表示机器人旋转前后坐标系之间的变换关系，四元数 Q 表示机器人旋转角度和旋转轴之间的关系。
综合起来，机器人状态和运动的数学模型可以表示为：
机器人状态：r=[X, Y, Z], q=[yaw, pitch, roll] 或 q=[q1, q2, q3, q4]
机器人运动：t=[dx, dy, dz], R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33] 或 Q=[q1, q2, q3, q4]
以上是常用的机器人状态和运动的数学模型，不同类型的机器人可能会使用不同的数学模型来描述其状态和运动。
工业机器人技术基础-第2版-课件--第1章-工业机器人概论-
实际作业tact time最大缩 监视ROBOT的姿势、负荷， 设置面积A4尺寸，重量约
特
短15%幅度。附加功能：附 依据实际调整伺服增益/滤
加轴控制、追踪机能、
波。
８kg的新设计小型控制器。 搭载独自开发的5节闭连结
点 Ethernet等提升目标。
冲突检知机能，支持原点 机构及64bitCPU；
参 最大合成速度：5.5m/s 数 最大可搬重量：3.5kg
随着工业机器人的应用越来越广泛，我国也在积极推动我国机器人产业的发展。尤其是进入 “十三.五”以来，国家出台的《机器人产业发展规划（2016-2020）》对机器人产业进行了全面 规划，要求行业、企业搞好系列化、通用化、模块化设计，积极推进工业机器人产业化进程。
第1章 工业机器人概论
工业机器人技术基础
第1章 工业机器人概论
工业机器人技术基础
工业机器人在我国发展概况
中国的机器人产业应走什么道路，如何建立自己的发展模式，确实值得探讨。中国工程院在 2003年12月完成并公开的《我国制造业焊接生产现状与发展战略研究总结报告》中认为，我国应 从“美国模式”着手，在条件成熟后逐步向“日本模式”靠近。
目前，我国基本掌握了工业机器人的结构设计和制造、控制系统硬件和软件、运动学和轨迹规划等技术， 形成了机器人部分关键元器件的规模化生产能力。一些公司开发出的喷漆、弧焊、点焊、装配、搬运等机器人 已经在多家企业的自动化生产线上获得规模应用，弧焊机器人也已广泛应用在汽车制造厂的焊装线上。总体来 看，在技术开发和工程应用水平与国外相比还有一定的差距。主要表现在以下几个方面：
迅猛。由此可见，未来工业机器人的应用依托汽车产业，并迅速向各行业延伸。对于
机器人行业来讲，这是一个非常积极的信号。
如何利用几何知识设计更智能的机器人
如何利用几何知识设计更智能的机器人在当今科技飞速发展的时代，机器人在各个领域的应用越来越广泛，从工业生产到医疗服务，从家庭助手到太空探索。
为了使机器人能够更加智能、高效地完成各种复杂任务，我们需要不断探索新的设计方法和技术。
几何知识作为数学的一个重要分支，为机器人的设计提供了丰富的理论基础和实用工具。
接下来，让我们一起探讨如何利用几何知识来设计更智能的机器人。
一、几何知识在机器人设计中的重要性几何知识在机器人设计中起着至关重要的作用。
首先，它有助于确定机器人的外形和结构。
机器人的外形和结构直接影响其运动性能、工作空间和稳定性。
通过运用几何中的形状、尺寸和比例关系，我们可以设计出具有最佳运动特性和工作效率的机器人结构。
其次，几何知识对于机器人的运动规划和路径规划至关重要。
在机器人执行任务时，需要规划出最优的运动路径，以避免碰撞、提高效率并确保准确性。
几何中的空间位置、方向和距离等概念为运动规划和路径规划提供了数学基础。
此外，几何知识还可以用于机器人的感知和定位。
机器人需要准确感知周围环境并确定自身在空间中的位置，这就需要利用几何中的坐标系、变换和投影等知识来处理传感器获取的数据。
二、基于几何的机器人外形和结构设计在设计机器人的外形和结构时，我们需要考虑多种几何因素。
例如，对于机械臂型机器人，其关节的位置和长度决定了工作空间的大小和形状。
通过运用几何中的连杆机构原理和运动学分析，可以优化关节的布局，使机器人能够到达更广泛的工作区域。
另外，机器人的外形设计也需要考虑几何美学和空气动力学等因素。
一个流线型的外形可以减少机器人在运动过程中的阻力，提高能量效率。
同时，美观的外形也有助于机器人更好地融入人类的工作和生活环境。
对于移动机器人，如轮式机器人或足式机器人，其底盘的几何形状和尺寸会影响其稳定性和通过性。
通过合理设计底盘的几何参数，可以使机器人在不同地形上平稳行驶，避免翻车和卡住的情况发生。
三、利用几何进行机器人运动规划机器人的运动规划是实现智能操作的关键环节。
工业机器人的数学基础
行相等比较的，同型矩阵之间不能比较大小。
12）负矩阵
对于矩阵 A (aij )mn ，每个元素取相反数，得到的矩阵称为 A 的负矩阵， 记为 A ，即
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
amn
1.2 矩阵的运算
1．矩阵的加法
设同型矩阵 A (aij )mn ， B (bij )mn ， A 与 B 的对应元素相加，称为矩 阵 A 与 B 的加法或和，记为 C (cij )mn ，即
a11 b11
C
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
2．数与矩阵相乘
数 k 与矩阵 A (aij )mn 的乘积，称为数乘，记为 kA ，规定为
ka11
kAmn
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
矩阵数乘满足以下性质：
（1）分配律： k(A B) kA kB，(k l)A kA lA 。 （2）结合律： (kl)A k(lA) 。 （3）1A A，0A O 。
a1n
a2n
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵。通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，这个元素可以是实数，也可以是虚数。 一个 m n 矩阵可以简记为 A Amn (aij )mn 。
将矩阵 A (aij )mn 的行与列依次互换得到的矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，简称转置，记为
工业机器人技术基础第2章 工业机器人的数学基础
根据此定义与微分的基本性质，可得如下关系式：
def d da dA (aA) A a dt dt dt
def d dA dB ( A B) dt dt dt
def d dA dB ( AB) B A dt dt dt
上式中： a为时间函数的标量； A与B 均为时间函数的矩阵，它们满足 矩阵运算的条件。
4 2 0
2 2 1
0 1 3
如果n阶矩阵A=（aij）的元素满足aij= aji（i，j=1，2，，n），则称 A为n阶反对称矩阵。显然，故aii=0（i=1，2，，n）
如：
0 1 2
1 0 3
2 3 0
第二章 工业机器人的数学基础
对于单位矩阵E,容易验证 EmAmn = Amn ， AmnEn = Amn 。 有了矩阵的乘法，就可以定义n阶方阵的幂。设A是n阶方阵，定义 A1 = A，A2 = A1 A1， ，Ak+1 = AkA1 ， 其中k为正整数。这就是说，Ak就是k个A相乘。显然，只有方阵的幂才有 意义。由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律： AA = A+ ，(A) = A 不过，一般 (AB)k AkBk。
b1 b B 2 bn
第二章 工业机器人的数学基础
工业机器人技术基础
例2 求AB和BA。其中
1 A 1
解：
1 1 ,B 1 1
1 1
1 AB 1 1 BA 1
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 2` 2 1 1 1 2 2
a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
第三章工业机器人机器人技术数学基础PPT课件
•方向余弦阵的几个性质
1)方向余弦阵是正交矩 阵，因此，矩阵中每 行和每列中元素的平 方和为1
2)方向余弦阵中两个不 同列或不同行中对应 元素的乘积之和为O
• 3)因为方向余弦阵又 是正交变换矩阵，因 此
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
A B
R
可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的
坐标 B p 变换成{A}中点的坐标 A p .
3)
A B
R
可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
在坐标系的旋转变换中，有一些特殊情况，即绕单 个轴的旋转，相应的旋转矩阵称为基本旋转矩阵． 当{A}仅绕z轴旋转角时，基本旋转矩阵记为
12
B ARR(z,30 0) 0.5 0.866 0 ;ApB0 6
0 0 1
0
0.90212 11.908 ApB ARBpApB07.562613.562
0 0 0
3.3 齐次坐标变换
(1)定义
1.齐次坐标
• 将非零常数作为第四个元素，用由四个数所组成 的列向量
P= x y z T
来表示前述三维空间的直角坐标的点(a，b，c)，
它们的关系为:
a= x
b= y
c=
z
(x，y，z， )称为三维空间点(a，b，c)的齐 次坐标
(2)齐次坐标不是单值确定的
• 比如(x，y，z， )是某点的齐次坐标，则(mx，
my，mz，m )也是该点的次坐标（m为任一 非零常数）。
• M=1 时,很容易给出一个点(a，b，c)的齐次坐 标为(a，b，c，1)
• 显然齐次坐标(0，O，O，1)表示坐标原点
机器人学第二章(数学基础)
微分的几何意义：切线的 纵坐标。
ABCD
计算方法：通过微分公式 或链式法则求得微分。
微分的运算性质：包括线 性性质、乘积性质、商的 微分性质等。
积分
定义
积分是微分的逆运算，即求函数与坐 标轴所夹的面积。
计算方法
通过不定积分和定积分的计算公式求 得积分。
定积分的几何意义
曲线与坐标轴所夹的面积。
定积分的性质
正运动学
正运动学是根据已知的关节参数，计算出机器人末端执行器的位置和 姿态。
逆运动学
逆运动学则是根据目标的位置和姿态，反推出机器人各关节的参数。
雅可比矩阵
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的微小位移与关节角度的微小变 化之间的关系。
动力学
动力学定义
动力学主要研究机器人在运动过程中受 到的力与力矩，以及这些力与力矩如何
随机变量
离散随机变量
随机变量可以取有限或可数无 穷多的值，这种情况下我们称
随机变量为离散随机变量。
连续随机变量
如果随机变量可以取任何实数 值，则称为连续随机变量。
期望值
对于离散随机变量，期望值定 义为E(X)=∑XP(X)，对于连续
随机变量，期望值定义为 E(X)=∫XP(X)dX。
统计推断
参数估计04 优化理论 Nhomakorabea线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于找到一组变量的最优值，这些变量受到一组线性等式或不等式的 约束。
线性规划的数学模型通常由目标函数和约束条件组成，目标函数是要求最大或最小的线性函数，约束条 件也是线性等式或不等式。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、内点法等算法求解，这些算法可以在有限步内找到最优解或近似 最优解。
移动机器人学数学建模、模型构建及实现方法
移动机器人学数学建模、模型构建及实现方法本文将介绍移动机器人学中的数学建模、模型构建及实现方法。
首先，我们将讨论运动学、动力学和控制理论的基本概念，以及它们在移动机器人学中的应用。
然后，我们将介绍常用的运动学和动力学模型，以及它们的优缺点。
接下来，我们将讨论如何构建移动机器人的控制系统，并介绍常见的控制算法，如PID控制和模型预测控制。
最后，我们将介绍如何使用ROS(Robot Operating System)来实现移动机器人的控制和仿真。
通过本文的学习，读者将能够了解移动机器人学的数学基础和实际应用，从而为移动机器人的开发和研究提供帮助。
- 1 -。
扫地机器人的数学模型-2019年文档资料
扫地机器人的数学模型-2019年文档资料扫地机器人的数学模型随着科学技术的进步和计算机技术的发展，扫地机器人的应用越来越广泛，在扫地机器人的应用中如何使机器人在其工作范围内为完成一项特定的任务寻找一条安全高效的行走路径，是人工智能领域的一个重要问题。
在原点O（0，0）点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，机器人不能与障碍物发生碰撞，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点。
规定机器人的行走路径由直线段组成。
场景图中有4个目标点O（0，0），A（120，120），B（440，160），C（340，320），下面我们将研究机器人从O（0，0）出发，求O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。
本文主要针对在一个场景中的各种静态障碍物，研究机器人绕过障碍物到达指定目的地的最短路径问题。
假设机器人的工作范围为600×400cm?的客厅区域（如图1），其中有6个不同形状的静态障碍物，障碍物的数学描述（如表1）：求解最短路径（O→A、O→B、O→C最短路径）（1）依据所制定绘制路径的原则，运用穷举法将场景图中，可能成为O→A、O→B、O→C最短路径的线路图全部绘出：（2）根据制定的求解路径长度和起始点坐标的方法进行求解，可得出O→A、O→B、O→C所走路径长度如下：根据表格数据可知，线路①的总距离为190.1654，线路②的总距离为190.1654。
则可知，O→A最短路径为：190.1654。
根据表格数据可知，线路③的总距离为470.6226，线路④的总距离为472.0753。
则可知，O→B最短路径为：470.6226。
经过计算，O→C的最短距离的那条直线为直接连接OC，所以O→C最短路径为：466.9047。
求解最短路径（O→A→B→C→O最短路径）本题只涉及6个障碍物，如果障碍物较多，到达目标点的路径就较多，这时可应用网络模型计算最短路。
如果障碍物形状较复杂，单纯用解析几何知识计算较困难，模型需要进一步改进。
机器人学基础第2章
2.1 刚体的位姿描述
根据前述的坐标系的四个元素, 坐标系{B} 的原点 在坐标系{A} 中的描述即为坐标系{B} 在坐标系{A} 中的位置。在本课程中位置用矢量表示, 点在坐标系 {A} 的位置矢量 可以表示为其在坐标系{A} 三个坐 标轴上的投影矢量和。
2.1 刚体的位姿描述
思考：如图所示, 当坐标系{B} 与坐标系{A} 的原点 不重合时, 坐标系{B} 在坐标系{A}下如何表示?
2.1 刚体的位姿描述
根据坐标系的4 个元素基本元 素, 即原点位置和三个相互垂直 的单位矢量, 如果可以将坐标系 的4个元素表示出, 就可以实现 坐标系{B} 在坐标系{A} 下描 述。 坐标系{B} 原点在坐标系{A} 中的位置为一个三维矢量, 记为
下的位置矢量, 根据公式(2 - 9),
可以得到P 点在坐标系{B} 下的位
置矢量在坐标系{A} 下的位置矢
量表示
, 则P点在坐标系{A}
下的位置为
2.1 刚体的位姿描述
将 补一行, 写为 可以得到
由上式可知，通过齐次变换矩阵, 可以方便地计算得到一 点在不同坐标系下的位置变换关系。
2.1 刚体的位姿描述
2.2 坐标系的齐次变换
同理可得到动坐标系O′UVW 绕定坐 标系OXYZ 的Y 轴旋转β的姿态矩阵 R(Y, β), 和绕Z 轴旋转γ 的姿态矩阵 R(Z, γ) 等三个基本旋转矩阵
2.2 坐标系的齐次变换
2. 2. 2 坐标系的相对变换和绝对变换
如图所示, 空间有三个坐标系{1} 到{3}, 已知坐标系 {2} 在坐标系{1} 下的旋转矩阵为 , 坐标系{3} 在 坐标系{2} 下的旋转矩阵为 。根据式(2 -5), 可知
机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。
相对于固定坐标系，轴相 X 轴 当 v轴 ， 于 相 Y 轴 对 w 轴 ， 于 相 Z 轴
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v ```
7
o′ u ```
w ```
o(o′ ) v y
u x
o(o′ ) u′ y
o
x
x w″
u″ y
-3 oy
4 x
解2：用计算的方法
根据定义1，我们有： T Trans(4 , 3, 7) R(y, 90 ) R(Z,90 )
0 0 1 4
1 0 0 3 0 1 0 7
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
P'''
0
1
0
01
《机器人技术基础》第二章 数学基础
yA
一旦建立了坐标系，我们就能用一 个3×1位置矢量对世界坐标系中的 任何点进行定位。
xA
图 位置表示
6
2.1.1 位置描述
注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐标系被定
义的；这个前置的上标A标明此位置矢量AP 在坐标系{A}中定
义的。
zA { A }
p
pz
Ap
oA
px
py
yA
xA
2.1.2 方位描述
R为正交矩阵。
18
2.1.3 位姿描述
相对参考系{A}，坐标系{B}
的原点位置和坐标轴的方位，
分别由位置矢量(Position
A
Vector)
pBo和旋转矩阵
A B
R
(Rotation Matrix) 描述。这样，
刚体的位姿（位置和姿态）可
由坐标系{B}来描述，即
{B}
A B
R
A pBo
旋转矩阵 位置矢量
的描述Ap。
yB
yC
解：
BAR
R
z,
30yA
c30 s30
s30 0{B } 0.866
c30
Ap
0
0.5
0.5 B0p .866
00xB
0
0 1 0
0 1xC
oB
{A}
ApBo
oA
xA
zC zB
zA
25
2.2 Coordinate Transformation
25
2.2 坐标变换
• 例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于
xB xC
oA
xA
倒立摆机器人系统的数学模型描述
倒立摆机器人的模型倒立摆动力学模型示意图如图1.1所示。
图1.1倒立摆动力学模型示意图表1.1 参数说明参数名称参数定义1l 主动臂的长度1c l主动臂相对于连接点到质心的距离2c l 欠驱动臂相对于连接点到质心的距离1q主动臂相对于坐标轴的角度2q 欠驱动臂相对于主动臂的角度1I 主动臂相对于质心转动惯量2I 欠驱动臂相对于质心转动惯量1m 主动臂质量2m 欠驱动臂质量g重力加速度拉格朗日动力学方程拉格朗日方程以广义坐标为自变量，通过拉格朗日函数来表示。
拉格朗日体系分析力学处理问题时以整个力学系统作为对象，用广义坐标来描述整个力学系统，着眼于能量概念。
对于机械系统，其拉格朗日函数都可以定义成该系统动能k E 和势能p E 之差，即：k pL E E =-(1.1)系统的动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示。
系统的动力学方程（第二类拉格朗日方程）为：d L Ldt qq τ∂∂=-∂∂ (1.2)由于势能不含速度项，因此动力学方程也可以写成：pk k E E E d dt q q qτ∂∂∂=-+∂∂∂ (1.3)由此可见，对于Pendubot 系统，其拉格朗日运动方程则为：()()()1,,[ 0]()()()1,2T i i i d K q q K q q P q dt q q qi τ∂∂∂-+=∂∂=∂(1.4)其中，(),K q q为Pendubot 系统的动能之和，()P q 为Pendubot 系统的势能总和。
摆臂受到的力矩为τ，只有摆臂与电机相连接的主动关节受力，而另一个关节是欠驱动的。
由于两杆均为刚体，所以摆臂的动能与势能可根据每一根杆的总质量与相对于重心的惯量来唯一确定。
欠驱动机械臂动力学模型根据式(1.4)，分析Pendubot 摆臂的动能和势能。
计算平移动能的一般表达式为22mv K =。
由上图可知，系统两个摆臂的角速度可以表示为：11212ωωqq q ==+ ， (1.5)对于系统的主动臂，其平移动能可以直接描述成以下形式：22111112c K m l q =(1.6)由于系统的势能大小与机械臂的质心位置有关系，这里可以用y 坐标来表示摆臂的其位置高度，于是势能可以直接描述为：1111 sin()c P m l g q =(1.7)对于系统的欠驱动臂，要先得到其质心位置的笛卡儿坐标表达式，然后通过微分处理得到关节角速度。
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16
三、坐标变换
4 齐次坐标变换
对于仅有平移变换的情况，AB T 记作
1
0
0
pxA
ABTrans(
pxA
,
pyA
,
pzA
)
0 0
1 0
0 1
pyA
pzA
0 0 0 1
对于仅有基本旋转变换的情况，{B}绕{A}的X轴或
Y轴或Z轴旋转 角的齐次变换矩阵分别记为
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
3
一、矩阵相关知识
1 矩阵的定义
由m×n个数a i j (1≤i≤m,1≤j≤n)排成m行n列的数表
a11 a12 L a1n
A
a
21
a22
L
a
2
n
M M O M
a
m
1
am2
L
a
m
n
称为m×n矩阵。也可以写作A(aij)m，n其中 称a 为i j 元素。
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
6
一、矩阵相关知识
4 矩阵的转置
m n矩阵A =(aij)的转置矩阵是一个n m矩阵，它的 (i, j)元 素 是 aji,记 为 AT(或 A)。
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
a
m
1
am2
L
a1n
a11 a21 L
a2n
则
AT
a12
刚体的位置可以用它在某个参考坐标系中的坐
标向量来描述。
Appx
py
T
pz
其中 px , py是, p点z P在坐标系
A 中 的三个坐标分量， A 也p 称
zA Ap
pz
OA
py
yA
px
为位置矢量。
xA
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
9
二、位置和姿态描述
2 方向描述
为了描述刚体的方向，需要建立一个
6 分块矩阵
对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算， 经常采用分块法。如：
a11 a12 a13 a14
A a21 aa3411
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
A1 A3
A2
A4
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
8
二、位置和姿态描述
1 位置描述
旋转坐标变换
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
12
三、坐标变换
2 旋转坐标变换
1 0
0
R(x,) 0 cos sin
0 sin cos
cos 0 sin
R（y,) 0
1
0
sin 0 cos
cos -sin 0 R（z,)sin cos 0
0 0 1
.
z
W'
w
绕y轴旋转
o
O'
vy
u
z
x
w
U' W'
基于机器人的算法设计
Algorithm design based on Robot
授课教师：温秀平
.
Algorithm design based on Robot
1
第2章 机器人的数学基础及模型建立
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
2
主要内容 一、矩阵相关知识 二、位置和姿态描述 三、坐标变换 四、机械手的运动学方程 五、机械手的动力学方程
ApB ARBpApBO
写成等价形式
A 1 p B A RBp 1ApB O B A o RAp 1B O B 1 p
式中
ABT
BAR
o
A
pBO
1
称为齐次变换矩阵。
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
15
三、坐标变换
4 齐次坐标变换
齐次变换矩阵
ABT
A B
绕z轴旋转
v'
o
O'
vy
u
x
第二章 机器人的U数' 学基础及模型建立
13
三、坐标变换
3 复合变换
ApB ARBpApBO
复合变换特点：两坐标 系坐标原点不同，坐标 轴方向也不同。
复合变换
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
14
三、坐标变换
4 齐次坐标变换
用4×1的列向量来表示三维坐标系内的点的 坐标，称为点的齐次坐标。把式
与刚体固联在一起的坐标系 B ,刚体相对
于坐标系 A 的 方位可以用旋转矩阵（方向
余弦矩阵）表示，即
r1 1 r1 2 r1 3
A B
R
r2
1
r2 2
r2
3
r3 1 r3 2 r3 3
iA iB
jA
iB
iA jB jA jB
iA kB
jA
k
B
k A i B k A j B k A k B
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
4
一、矩阵相关知识
2 矩阵的加法
设有矩阵 A(aij)m n,B(bij)m n，则矩阵 A B 定义为
a11b11 AB(aij bij)mna21 M b21
a12b12 a22b22
M
L a1nb1n L a2nb2n O M
am1bm1 am2bm2 L amnbmnmn
R
o
A
pBO
1
的一些性质：
（1）它代表了坐标系{B}相对于坐标系{A}的描述，A p B O
是{B}的原点在{A}中的位置矢量，A
B
R
则是{B}在{A}中
的姿态。
（2）它表示{B}从与{A}重合开始，先沿A p B O 进行平
移变换，再按 A
B
R
进行旋转变换得到的复合变换的结
果。
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
10
三、坐标变换
1 平移坐标变换
ApBpApBO
平移坐标变换特点： 两坐标系坐标轴相 互平行，但坐标原 点不同
平移坐标变换
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
11
三、坐标变换
2 旋转坐标变换
Ap BAR Bp
旋转坐标变换特点： 两坐标系坐标原点 相同，但坐标轴方 向不同
a22
L
M
M M
amn
a1n
a2n
L
am1
am
2
M
anm
1 3
如
：
A
2 7
5 4
,
则
AT
1
3
2 5
7
4
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
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一、矩阵相关知识
5 矩阵的逆
设 A是 n阶 矩 阵 ,若 存 在 n阶 矩 阵 B满 足
ABBAEn 称 A是 可 逆 矩 阵 ,称 B为 A的 逆 矩 阵 ,记 为 BA1。
.
第二章 机器人的数学基础及模型建立
5
一、矩阵相关知识
3 矩阵的乘法
设 A=(aik)ms， B=(bkj)sn， 那 么 AB是 一 个 mn矩 阵 ，
令 C=AB=(cij)mn,其 中
s
cij aikbkj ai1b1j ai2b2j Laisbsj , 1im,1jn
k1
第j列
第j列
第i行aaaM M m 1i111 aaaM M m 1i221 L L LM MaaaM M m 1issnbbbM 12s111 L L LMbbbM 12sjjj L L LMbbbM 12snnncccM M m 1i111 L L LM McccM M 1m ijjj L L LM Mcccm M M 1innn第i行