概率空间
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A={取得球的标号为偶数}叫 复杂 事件. B={取得球的号码 5}叫 复杂 事件.
事件之间的运算: 1). 如果事件A发生必然导致事件B发生, 则称B 包含了A, 并记作 A B 或 B A. 例如, 上例中如果令A={球的标号=6}, B={球 的标号是偶数}, 则事件Ａ发生就会导致事件Ｂ发 生, 所以有 A B. 对任一事件A, 约定： A. 2). 如果 A B, B A 同时成立, 则称事件A与B 相等, 记作A=B. 注意: 相等的两个事件总是同时发生或同时 不发生.
i 1 i 1 m m
练习题: 1. 有两门火炮同时向一个目标各射击一次, 设A 表示甲火炮击中目标, B表示乙火炮击中目标, C表示目标被击中, 试用A, B来表示C. 解: C= A B. 2. 抛一粒骰子, 事件A=“出现点数不超过3”, 则 A= {1, 2, 3} , Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} , Ā = {4, 5, 6} , A A , A A = φ , A∪A = Ω .
3. 某人连续购买体育彩票, 令事件A, B, C分别表 示其第1, 2, 3次所买的彩票中奖, 试用A, B, C 及其运算表示下列事件： (1) 第3次未中奖 C , (2) 第3次才中奖 A BC , (3) 恰有一次中奖ABC ABC ABC , (4) 至少有一次中奖 A B C ,
随机试验的每一个可能结果称为基本事件 或样本点, 一般用字母 表示; 基本事件的全体 或样本点的全体称为样本空间, 一般用字母 子集称为复杂事件, 表示; 由基本事件构成的 一般用大写字母A, B, C, …等表示. 无论基本事件还是复杂事件, 它们在试验中 发生与否, 都具有随机性, 所以都称为随机事件, 简称事件. 在试验中, 若事件A中所包含的某一个基本事 件 发生, 则称为事件A发生, 并记作 A.
事件与集合及运算关系之间的对比: 概率论 集合论 全集 样本空间 基本事件 集合的元素 (复杂)事件 集合的子集 集合A的补集 A 事件A的对立事件 全集 必然事件 空集 不可能事件 A B 事件Ａ发生导致事件Ｂ发生 A B 或 Ａ +Ｂ 事件Ａ与Ｂ至少有一个发生 A B 或AB 事件Ａ与Ｂ同时发生 Ａ -Ｂ 事件Ａ发生而事件Ｂ不发生 事件Ａ与Ｂ互不相容 AB=
(2) A F , 则 A F ; (3) Ai F , i=1, 2, …, 则 Ai F ;
代数:
则称F为 代数, 简称事件域.
i 1
5.1.2 概率与频率 本小节是概率论中最基本, 最基础, 最重要 的内容之一. 定义7.1 随机事件A发生可能性大小的度量 (数值), 称为事件A发生的概率, 记作P(A). 人们经过长期实践发现, 虽然个别随机事件 在某次试验或观察中可以出现也可以不出现, 但 在大量试验中它却呈现出明显的规律性—频率稳 定性． 例如, 在掷一次硬币时, 既可能出现正面, 也可 能出现反面, 预先作出确定的判断是不可能的, 但 是假如硬币均匀, 直观上出现正面与出现反面
事件有两个极端情况, 因为 是由所有基本 事件组成的, 在任一次试验中, 必然要出现 中的 某一基本事件 , 即 , 也就是说 必然会发生. 因此, 可用 来表示一个必然事件或确定性事件. 相应地, 空集 是 的子集, 但在任何一次试 验中, 不可能有任何基本事件 , 也就是说, 不可能发生, 因此, 可用 来表示不可能事件. 必然事件和不可能事件的发生与否, 已经失 去了“不确定性”, 因此本质上它们已不是随机 事件, 但为了方便起见, 仍把它们看作随机事件, 只不过它们是随机事件的两个极端情形而已.
A B A B , AB A B . (4) 德摩根律(对偶原则)： A B A B 的证明： 两集合相等左 右 且右 左
A B A B A 且 B A 且 B AB . 左 右.
例如, Ａ, B同上例, 则 A B { 球的标号为2}.
5). “事件Ａ发生而Ｂ不发生”, 这样的事件称为 事件Ａ与Ｂ的差, 记作Ａ-Ｂ. 例如, 在例5.1中, 若令Ａ={球的标号为偶数}, B={球的标号 3}, 则 Ａ-Ｂ＝{球的标号为4, 6, 8, 10}. 6). 若事件Ａ与Ｂ不能同时发生, 也就是说AB是 一个不可能事件, 即AB= , 则称事件Ａ与Ｂ互 不相容(互斥)． 例如, 在例5.1中, 若令Ａ={球的标号为偶数}, B={球的标号＝3}，则Ａ与Ｂ是互不相容的．
本章学习的主要内容是: 5.1 概率空间 5.2 条件概率 5.3 离散随机变量
§5.1 概率空间( , F , P ) 概率空间是一个比较抽象的概念, 必须有了 一定的基础之后才能理解.
5.1.1 随机事件, 样本空间和事件域
随机试验及相关概念: 一个试验如果满足如下3个条件 (1) 试验可以在相同的情形下重复进行; (2) 试验的所有可能结果是明确可知的, 而且 不止一个. (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个, 但在一次试验之前却不能确定这次试验会 出现哪一个结果. 则称这样的试验为随机试验, 简称试验, 一 般用字母E来表示.
的机会应该相等. 即在大量试验中出现正面的 频率应接近于50％, 为了验证这点, 历史上曾有 不少人做过这个试验, 其结果如下:
实验者 掷硬币次数 出现正面次数 4040 2048 蒲 丰 12000 6019 皮尔逊 24000 12012 皮尔逊 频 率 0.5069 0.5016 0.5005
AB AC BC
(5) 不只1次中奖
,
ABC ABC ABC ABC
(6) 至多中奖2次 ABC
.
7. 若Ａ是一个事件, 令 A A, 则称 A 是Ａ的 对立事件或逆事件. 易知: 在一次试验中, 若A发生ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 则 A 必不发生, 反之亦然, 即A与 A 二者只能发生其中之一, 且必然发生其中之一, 因而有
A A , A A , A A. 例如, 在例5.1中, 若令Ａ={球的标号为偶数}, 则 A {球的标号为奇数}.
A B A 且 B A 且 B A B A B. 右 左.
事件及其运算的文氏图: 样本空间 用一个矩形表示, A, B是两个事件, 也就是 的两个子集, 从而有 A
B
A
B
A
B
A-B
A∪B
A∩B
……
设 是样本空间, F={A| A , A是事件}称为 一个集合类, 如果F 满足： (1) F ;
以蒲丰试验为例, 若令1表示一次试验中出 现正面这一事件, n1表示出现正面的次数, n表示 试验总次数, 记 n1 出现1的次数 f ( ), n 1 n 试验总次数 则称 f n (1 )为事件1 在n次试验中出现的频率.
尽管每作一串(n次)试验, 所得到的频率 f n (1 ) 可能各不相同, 但只要n相当大, f n (1 ) 就会非常 该常数值就是 1 “靠近”某个常数值(本例是1/2). 出现的概率 P(1 ). 因此概率是可以通过频率来“测 量”的, 或者说频率是概率的一个近似. 频率的定义: 如果随机事件A在n次反复试验中发生了 n A 次, nA 则称 f n ( A) 为A的频率. n
3). “事件Ａ与Ｂ中至少有一个发生”, 这样的一 个事件称作事件Ａ与Ｂ的并(或和), 记作A B (或A+B). 例如, 在例5.1中, 若令Ａ={球的标号为偶数}, B={球的标号 3}, 则 A B {球的标号为1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}. 4). “事件Ａ与Ｂ同时发生”, 这样的一个事件称 作事件Ａ与Ｂ的交(或积), 记作A B或(AB).
例5.1 一个盒子中有十个完全相同的球, 分别 标有号码1, 2, …, 10, 从中任取一个球, 令: i={ 取得球的标号为i }; i=1, 2, …, 10. 则1, 2, …, 10分别叫做 基本事件 ; {1, 2, …, 10} 为样本空间； {取得球的号码不是1, 2, …, 10}为不可能事件.
3) 若 A B 发生, 则至少A, B中之一发生, 又因为 A与B不能同时发生, 所以 A B发生的次数一定 是A发生次数与B发生次数之和, 即 nA B nA nB , 所以结论成立.
n
性质3)的推广: 若 Ai Aj , (1 i, j m, i j ), 则 f n ( Ai ) f n ( Ai ).
第5章 离散概率初步
概率论是研究随机现象统计规律的一门数学 学科. 什么是随机现象？ 引例1：一个盒子中有十个完全相同的白球, 搅匀后从中任意摸取一球, 问取出的球是什么颜 色? 在没取出球之前, 就能知道取出的必定是白 色的, 这种现象是必然的.
引例2：一个盒子中有十个完全相同的球, 但其中5个是白色的, 另外5个是黑色的, 搅匀后 从中任意摸取一球, 问取出的球是什么颜色? 在球没有取出以前, 我们不能确定取出的 球是白的还是黑的. 因此, 取出的球的颜色是一 种随机现象. 在概率论中, 对随机现象进行一次观察和 试验, 叫做随机试验. 随机现象乍看起来似乎没有什么规律, 但 如果反复试验, 是能找到其规律的, 这也是概率 论要研究的问题.
1) 非负性：即 f n ( A) 0; 2) 规范性：若 为必然事件, 则 f n () 1; 3) 有限可加性：若A, B互不相容(即AB= ), 则
频率的性质:
f n ( A B) f n ( A) f n ( B). nA 证: 1) n A 0, 0. n n 2) 是必然事件, n n, 1.
用集合论阐述的概率论的语言: 例5.2 设A, B, C是 中的随机事件, 则事件 ABC ；“A, B, C “A与B发生, C不发生”可以表示成 AB BC AC . 中至少有二个发生”可以表示成
事件的运算规则： (1) 交换律：A B B A, A B B A. (2) 结合律：( A B) C A ( B C ), ( A B) C A ( B C ). (3) 分配律：(A+B)C =AC+BC.
事件之间的运算: 1). 如果事件A发生必然导致事件B发生, 则称B 包含了A, 并记作 A B 或 B A. 例如, 上例中如果令A={球的标号=6}, B={球 的标号是偶数}, 则事件Ａ发生就会导致事件Ｂ发 生, 所以有 A B. 对任一事件A, 约定： A. 2). 如果 A B, B A 同时成立, 则称事件A与B 相等, 记作A=B. 注意: 相等的两个事件总是同时发生或同时 不发生.
i 1 i 1 m m
练习题: 1. 有两门火炮同时向一个目标各射击一次, 设A 表示甲火炮击中目标, B表示乙火炮击中目标, C表示目标被击中, 试用A, B来表示C. 解: C= A B. 2. 抛一粒骰子, 事件A=“出现点数不超过3”, 则 A= {1, 2, 3} , Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} , Ā = {4, 5, 6} , A A , A A = φ , A∪A = Ω .
3. 某人连续购买体育彩票, 令事件A, B, C分别表 示其第1, 2, 3次所买的彩票中奖, 试用A, B, C 及其运算表示下列事件： (1) 第3次未中奖 C , (2) 第3次才中奖 A BC , (3) 恰有一次中奖ABC ABC ABC , (4) 至少有一次中奖 A B C ,
随机试验的每一个可能结果称为基本事件 或样本点, 一般用字母 表示; 基本事件的全体 或样本点的全体称为样本空间, 一般用字母 子集称为复杂事件, 表示; 由基本事件构成的 一般用大写字母A, B, C, …等表示. 无论基本事件还是复杂事件, 它们在试验中 发生与否, 都具有随机性, 所以都称为随机事件, 简称事件. 在试验中, 若事件A中所包含的某一个基本事 件 发生, 则称为事件A发生, 并记作 A.
事件与集合及运算关系之间的对比: 概率论 集合论 全集 样本空间 基本事件 集合的元素 (复杂)事件 集合的子集 集合A的补集 A 事件A的对立事件 全集 必然事件 空集 不可能事件 A B 事件Ａ发生导致事件Ｂ发生 A B 或 Ａ +Ｂ 事件Ａ与Ｂ至少有一个发生 A B 或AB 事件Ａ与Ｂ同时发生 Ａ -Ｂ 事件Ａ发生而事件Ｂ不发生 事件Ａ与Ｂ互不相容 AB=
(2) A F , 则 A F ; (3) Ai F , i=1, 2, …, 则 Ai F ;
代数:
则称F为 代数, 简称事件域.
i 1
5.1.2 概率与频率 本小节是概率论中最基本, 最基础, 最重要 的内容之一. 定义7.1 随机事件A发生可能性大小的度量 (数值), 称为事件A发生的概率, 记作P(A). 人们经过长期实践发现, 虽然个别随机事件 在某次试验或观察中可以出现也可以不出现, 但 在大量试验中它却呈现出明显的规律性—频率稳 定性． 例如, 在掷一次硬币时, 既可能出现正面, 也可 能出现反面, 预先作出确定的判断是不可能的, 但 是假如硬币均匀, 直观上出现正面与出现反面
事件有两个极端情况, 因为 是由所有基本 事件组成的, 在任一次试验中, 必然要出现 中的 某一基本事件 , 即 , 也就是说 必然会发生. 因此, 可用 来表示一个必然事件或确定性事件. 相应地, 空集 是 的子集, 但在任何一次试 验中, 不可能有任何基本事件 , 也就是说, 不可能发生, 因此, 可用 来表示不可能事件. 必然事件和不可能事件的发生与否, 已经失 去了“不确定性”, 因此本质上它们已不是随机 事件, 但为了方便起见, 仍把它们看作随机事件, 只不过它们是随机事件的两个极端情形而已.
A B A B , AB A B . (4) 德摩根律(对偶原则)： A B A B 的证明： 两集合相等左 右 且右 左
A B A B A 且 B A 且 B AB . 左 右.
例如, Ａ, B同上例, 则 A B { 球的标号为2}.
5). “事件Ａ发生而Ｂ不发生”, 这样的事件称为 事件Ａ与Ｂ的差, 记作Ａ-Ｂ. 例如, 在例5.1中, 若令Ａ={球的标号为偶数}, B={球的标号 3}, 则 Ａ-Ｂ＝{球的标号为4, 6, 8, 10}. 6). 若事件Ａ与Ｂ不能同时发生, 也就是说AB是 一个不可能事件, 即AB= , 则称事件Ａ与Ｂ互 不相容(互斥)． 例如, 在例5.1中, 若令Ａ={球的标号为偶数}, B={球的标号＝3}，则Ａ与Ｂ是互不相容的．
本章学习的主要内容是: 5.1 概率空间 5.2 条件概率 5.3 离散随机变量
§5.1 概率空间( , F , P ) 概率空间是一个比较抽象的概念, 必须有了 一定的基础之后才能理解.
5.1.1 随机事件, 样本空间和事件域
随机试验及相关概念: 一个试验如果满足如下3个条件 (1) 试验可以在相同的情形下重复进行; (2) 试验的所有可能结果是明确可知的, 而且 不止一个. (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个, 但在一次试验之前却不能确定这次试验会 出现哪一个结果. 则称这样的试验为随机试验, 简称试验, 一 般用字母E来表示.
的机会应该相等. 即在大量试验中出现正面的 频率应接近于50％, 为了验证这点, 历史上曾有 不少人做过这个试验, 其结果如下:
实验者 掷硬币次数 出现正面次数 4040 2048 蒲 丰 12000 6019 皮尔逊 24000 12012 皮尔逊 频 率 0.5069 0.5016 0.5005
AB AC BC
(5) 不只1次中奖
,
ABC ABC ABC ABC
(6) 至多中奖2次 ABC
.
7. 若Ａ是一个事件, 令 A A, 则称 A 是Ａ的 对立事件或逆事件. 易知: 在一次试验中, 若A发生ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 则 A 必不发生, 反之亦然, 即A与 A 二者只能发生其中之一, 且必然发生其中之一, 因而有
A A , A A , A A. 例如, 在例5.1中, 若令Ａ={球的标号为偶数}, 则 A {球的标号为奇数}.
A B A 且 B A 且 B A B A B. 右 左.
事件及其运算的文氏图: 样本空间 用一个矩形表示, A, B是两个事件, 也就是 的两个子集, 从而有 A
B
A
B
A
B
A-B
A∪B
A∩B
……
设 是样本空间, F={A| A , A是事件}称为 一个集合类, 如果F 满足： (1) F ;
以蒲丰试验为例, 若令1表示一次试验中出 现正面这一事件, n1表示出现正面的次数, n表示 试验总次数, 记 n1 出现1的次数 f ( ), n 1 n 试验总次数 则称 f n (1 )为事件1 在n次试验中出现的频率.
尽管每作一串(n次)试验, 所得到的频率 f n (1 ) 可能各不相同, 但只要n相当大, f n (1 ) 就会非常 该常数值就是 1 “靠近”某个常数值(本例是1/2). 出现的概率 P(1 ). 因此概率是可以通过频率来“测 量”的, 或者说频率是概率的一个近似. 频率的定义: 如果随机事件A在n次反复试验中发生了 n A 次, nA 则称 f n ( A) 为A的频率. n
3). “事件Ａ与Ｂ中至少有一个发生”, 这样的一 个事件称作事件Ａ与Ｂ的并(或和), 记作A B (或A+B). 例如, 在例5.1中, 若令Ａ={球的标号为偶数}, B={球的标号 3}, 则 A B {球的标号为1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}. 4). “事件Ａ与Ｂ同时发生”, 这样的一个事件称 作事件Ａ与Ｂ的交(或积), 记作A B或(AB).
例5.1 一个盒子中有十个完全相同的球, 分别 标有号码1, 2, …, 10, 从中任取一个球, 令: i={ 取得球的标号为i }; i=1, 2, …, 10. 则1, 2, …, 10分别叫做 基本事件 ; {1, 2, …, 10} 为样本空间； {取得球的号码不是1, 2, …, 10}为不可能事件.
3) 若 A B 发生, 则至少A, B中之一发生, 又因为 A与B不能同时发生, 所以 A B发生的次数一定 是A发生次数与B发生次数之和, 即 nA B nA nB , 所以结论成立.
n
性质3)的推广: 若 Ai Aj , (1 i, j m, i j ), 则 f n ( Ai ) f n ( Ai ).
第5章 离散概率初步
概率论是研究随机现象统计规律的一门数学 学科. 什么是随机现象？ 引例1：一个盒子中有十个完全相同的白球, 搅匀后从中任意摸取一球, 问取出的球是什么颜 色? 在没取出球之前, 就能知道取出的必定是白 色的, 这种现象是必然的.
引例2：一个盒子中有十个完全相同的球, 但其中5个是白色的, 另外5个是黑色的, 搅匀后 从中任意摸取一球, 问取出的球是什么颜色? 在球没有取出以前, 我们不能确定取出的 球是白的还是黑的. 因此, 取出的球的颜色是一 种随机现象. 在概率论中, 对随机现象进行一次观察和 试验, 叫做随机试验. 随机现象乍看起来似乎没有什么规律, 但 如果反复试验, 是能找到其规律的, 这也是概率 论要研究的问题.
1) 非负性：即 f n ( A) 0; 2) 规范性：若 为必然事件, 则 f n () 1; 3) 有限可加性：若A, B互不相容(即AB= ), 则
频率的性质:
f n ( A B) f n ( A) f n ( B). nA 证: 1) n A 0, 0. n n 2) 是必然事件, n n, 1.
用集合论阐述的概率论的语言: 例5.2 设A, B, C是 中的随机事件, 则事件 ABC ；“A, B, C “A与B发生, C不发生”可以表示成 AB BC AC . 中至少有二个发生”可以表示成
事件的运算规则： (1) 交换律：A B B A, A B B A. (2) 结合律：( A B) C A ( B C ), ( A B) C A ( B C ). (3) 分配律：(A+B)C =AC+BC.