华东师大版七年级数学下册 用多种正多边形习题
华东师大版 七年级数学下册第9章多边形9.3用正多边形铺设地面同步练习含解析
用正多边形拼地板练习(镶嵌)一、选择题:1.用形状、大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是( )【答案】C【解析】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正五边形每个内角是：180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺．应选C．2.以下图形中,能镶嵌成平面图案的是( )【答案】A【解析】此题考查了平面镶嵌的条件分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．A、正六边形每个内角为120度，能整除360度，3个能密铺．B、正七边形每个内角是：180°360°÷7=，不能整除360°，不能密铺；C、正八边形每个内角是：180°360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；D、正九边形每个内角是：180°360°÷9=140°，不能整除360°，不能密铺；应选A.3.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为( )【答案】D【解析】正多边形的组合能否构成平面镶嵌,关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为.假设能,那么说明能镶嵌;反之,那么说明不能镶嵌,正方形和正八边形内角分别为,由于,故能镶嵌;正五边形和正十边形内角分别为,由于,故能镶嵌.,正六边形和正三角形内角分别为,由于,故能镶嵌,正六边形和正八边形内角分别为,由于,显然取任何正整数时,不能得正整数,故不能镶嵌.应选D.4.用以下两种边长相等的图形，能进行平面镶嵌的是〔〕A．正三角形和正八边形 B．正方形和正八边形C．正六边形和正八边形 D．正十边形和正八边形【答案】B【解析】用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形.用不同的正多边形镶嵌：〔1〕用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；〔2〕用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌.5.用三种边长相等的正多边形镶嵌成一个平面，其中的两种是正四边形和正五边形，那么另一种正多边形的边数是〔〕A．12 B．15 C．18 D．20【答案】D【解析】设正4的有X个正5有Y个.那么90X+108Y+Z=360X.Y=1Z=162 20边形X=1 Y=2Z=54 不是正方形X=2 Y=1Z=72 不是正方形X=2 Y=2Z=负数所以答案当然是20边形了.6.用正三角形和正十二边形镶嵌,可能情况有( )【答案】A【解析】此题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．假设能，那么说明可以进行平面镶嵌；反之，那么说明不能进行平面镶嵌．正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为，而正三角形和正十二边形的每一个内角分别为、，设各有个、个，根据题意可知，方程的整数解只有一个，应选A．7.用正三角形和正六边形作平面镶嵌，那么在一个顶点处，正三角形与正六边形的个数之比为〔〕A.4:1B.1:1C. 1:4D.4︰1或1:1【答案】A【解析】六边形一个内角=120度一个顶点周角=360度还差360-120=240度每个正三角形内角60度240/60=4个，故为4:1，选择A项.8.用正三角形和正六边形镶嵌,假设每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形,那么m,n满足的关系式是( )A.2m+3n=12B.m+n=8C.2m+n=6D.m+2n=6【答案】D【解析】正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度，而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，根据题意可知60°×m+120°×n=360°，化简得到m+2n=6．应选D.二、填空题:(每题4分,共12分)1.用正三角形和正方形作平面密铺，在一个顶点周围有______________个正三角形和________个正方形的角.【答案】3,2【解析】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和2个正方形．2.用边长相等的正方形和正十二边形以及正边形可以进行平面镶嵌．【答案】六【解析】正方形：90。
七级数学下册 9.3《用正多边形铺设地面》同步练习 (新版)华东师大版
《用正多边形铺设地面》基础训练1.下列正多边形的地砖中,不能铺满地面的正多边形是( )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形2.用一种正多边形能铺满地面的条件是( )A.内角都是整数度数B.边数是3的整数倍C.内角度数能整除360°D.内角度数能整除180°3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面的是( )A.正三角形和正方形B.正方形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形4.小芳家房屋装修时,选中了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她,只用正八边形地砖是不能铺满地面的,便向她推荐了其他几种形状的地砖.你认为要使地面铺满,应选择另一种形状的地砖是( )5.下列图案中,是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种铺设而成的是( )6.若用三种正多边形地砖铺设地面,一个顶点处已有一块正方形地砖和一块正六边形地砖,则还需一块正_________边形地砖.7.如图,某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成,图中图形的尖角∠ABC=_________.8.已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点铺满地面,正多边形A的一个内角的度数是正多边形B的一个内角的度数的.(1)试分别确定正多边形A、B是什么正多边形;(2)画出这5个正多边形铺满地面的图形(画一种即可).9.哪两种正多边形正好能铺满地面? (至少写出两对)培优提升1.只用下列图形中的一种,能够铺满地面的是( )A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形2.下列所给边长相同的正多边形的组合中,不能铺满地面的是( )A.正方形和正六边形B.正三角形与正方形C.正三角形与正六边形D.正三角形、正方形、正六边形3.用一种正多边形地砖铺地,使它铺成无缝隙、不重叠的图案,顶点处最多能有正多边形地砖( )A.5块B.6块C.7块D.8块4.小亮家客厅地面准备用边长相等的正三角形和正六边形地砖进行密铺,则在同一顶点处,正三角形地砖和正六边形地砖分别有( )A.3块,2块B.2块,2块C.4块,2块D.2块,2块或4块,1块5.用m个正方形和n个正八边形可铺满地面,则m,n满足的关系式是( )A.2m+3n=8B.3m+2n=8C.m+2n=6D.m+n=46.一个正六边形花坛的周围用正三角形地砖和正方形地砖铺路,假设按如图所示方式铺设,由花坛中心向外铺10层,则铺设整个路面所用的正三角形地砖和正方形地砖的总数是_______块.7.用边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形进行密铺,每个交叉点只允许用五个图形进行密铺,有_______种铺法.8.如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分,图中α的大小是.9.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角恰好组成一个周角时,就能拼成一个既不留空隙,又不互相重叠的平面图形,我们称之为铺满一个平面.用一种或几种正多边形铺满平面有多种方案,如:6个正三角形,记作(3,3,3,3,3,3);3个正六边形,记作(6,6,6);又如(3,3,6,6)(表示2个正三角形和2个正六边形的组合).请你再写出除了以上所列举以外的三种方案: .10.如图①,四边形ABCD是一位师傅打算用地砖铺设的地板图形,他准备从如图②所示的六块地砖中挑选若干块进行铺设,请你在如图③④⑤所示的网格纸上帮他设计三种不同的铺法示意图.在图③④⑤上画出分割线,标上地砖序号即可.11.图②是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成的.请仔细观察这个美丽的图案,风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度?参考答案【基础训练】1.【答案】C2.【答案】C解：用一种正多边形能铺满地面的条件是360°是正多边形的一个内角度数的整数倍,即内角度数能整除360°.故选C.3.【答案】A解：正多边形的组合能否铺满地面,关键是看位于同一顶点处的几个角的度数之和能否为360°.若能,则说明能铺满地面;反之,则说明不能铺满地面.4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】十二7.【答案】18°解：∵正五边形的每个内角是180°-360°÷5=108°,∴∠ABC=(360°-3×108°)÷2=36°÷2=18°.8.解:(1)设正多边形B的一个内角的度数为x,则正多边形A的一个内角的度数为x,由题意得3x+2×x=360°,解得x=60°,所以x=90°,所以正多边形A为正方形,正多边形B为正三角形.(2)所画图形如图.解：(2)题答案不唯一.9.解:3个正三角形,2个正方形;2个正三角形,2个正六边形.解：答案不唯一.【培优提升】1.【答案】C解：先分别求出各个正多边形的每个内角的度数,再利用铺满地面应符合内角度数能整除360°进行判断.2.【答案】A解：A.正方形的每个内角是90°,正六边形的每个内角是120°,设在同一顶点处有m个正方形,n个正六边形,则有90°m+120°n=360°,显然n取任何正整数时,m均不是正整数,∴不能铺满地面,符合题意;B.正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,∵3×60°+2×90°=360°,∴能铺满地面,不符合题意;C.正三角形的每个内角是60°,正六边形的每个内角是120°,∵2×60°+2×120°=360°或4×60°+1×120°=360°,∴能铺满地面,不符合题意;D.正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,正六边形的每个内角是120°,∵60°+2×90°+120°=360°,∴能铺满地面,不符合题意.故选A.3.【答案】B解：当用正三角形地砖铺地时,顶点处地砖的块数最多,最多有=6(块).4.【答案】D解：正三角形和正六边形的每个内角分别为60°、120°.设有m块正三角形地砖,n块正六边形地砖,则有60m+120n=360,得m=6-2n.当n=1时,m=4;当n=2时,m=2.故选D.5.【答案】A6.【答案】660解：分析题图知,铺10层需正方形地砖6×10=60(块).从正六边形花坛的每个角铺出去的都是正三角形地砖,并且从第二层开始每层所需的正三角形地砖数比前一层多2块,所以铺10层,从每个角铺出去的正三角形地砖有1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(块).从而需600块正三角形地砖.故共需地砖660块.7.【答案】2解：如果是一种图形的密铺,每个内角应是360°÷5=72°,边数应是360°÷(180°-72°),不是整数,∴不存在.两种图形的密铺有:正三角形和正方形;正三角形和正六边形;正方形和正八边形;正三角形和正十二边形.正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,∵3×60°+2×90°=360°,∴正三角形和正方形符合用五个图形进行密铺;正六边形的每个内角是120°,正三角形的每个内角是60°,∵120°+4×60°=360°,∴正三角形和正六边形符合用五个图形进行密铺;正方形的每个内角是90°,正八边形的每个内角为180°-360°÷8=135°,∵90°+2×135°=360°,∴不符合用五个图形进行密铺;正三角形的每个内角是60°,正十二边形的每个内角是180°-360°÷12=150°,∵60°+2×150°=360°,∴不符合用五个图形进行密铺.三种图形的密铺:一个交叉点放五个图形,度数最小为3×60°+90°+120°=390°>360°,∴不符合用五个图形进行密铺.四种图形的密铺:较小的四个内角的和已是405°,∴不存在.五种图形的密铺更不可能.综上,共有2种铺法.8.【答案】120°9.【答案】(4,4,4,4),(3,4,4,6),(3,3,3,3,6)解：答案不唯一.10.解:如图所示.解：答案不唯一.11.解:①如图所示,易知∠3=∠4,如题图所示,5个风筝形组成一个正十边形,所以∠1=(10-2)×180°÷10=144°,∠2=360°÷5=72°.风筝形是个四边形,内角和是360°,所以∠3=∠4=(360°-144°-72°)÷2=72°;②如题图所示,镖形中的∠5和风筝形中的∠1的度数和为360°,∠7和∠8都是风筝形中的∠1的补角,所以∠5=360°-144°=216°,∠7=∠8=180°-144°=36°.如题图所示,镖形和两个风筝形组成一个更大的风筝形,所以∠6=72°.即在风筝形砖中,有一个是钝角,是144°,其他三个角都是72°;在镖形砖中,有两个角相同,都是36°,有一个角是216°,另一个角是72°.。
七年级数学下册 多边形用正多边形铺设地面同步练习华东师大版
9.3用正多边形铺设地面一．选择题（共10小题）1．六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是（）A．正五边形地砖B．正三角形地砖C．正六边形地砖D．正四边形地砖2．下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形3．在正三角系，正方形，正五边形，正六边形这几个图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形4．若用同一种正多边形瓷砖铺地面，不能密铺地面的正多边形是（）A．正八边形B．正六边形C．正四边形D．正三边形5．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形6．用下列一种多边形不能铺满地面的是（）A．正方形B．正十边形C．正六边形D．等边三角形7．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．正六边形C．正方形D．正五边形8．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形9．现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是（）A．正七边形B．正五边形C．正六边形D．正八边形10．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形二．填空题（共7小题）11．在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖_________ 块．12．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有_________ （写出所有正确答案的序号）．13．幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板_________ （填三种）．14．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌（两种地砖的不同拼法视作为同一种组合），则共有组合方案_________ 种．15．为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，江宁区政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖进行铺设．现有下面几种形状的正多边形地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形，其中不能进行平面镶嵌的有_________ ．16．与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是_________ ．（只要求写出一种即可）17．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为_________ ．三．解答题（共4小题）18．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第1次铺2块如图①；第2次把第1次铺的完全围起来，如图②，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图③：（1）依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为_________ ．（2）依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为_________ ．（3）依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为_________ ．19．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法．20．试说明：用15块大小是4×1的矩形地砖和一块大小是2×2的正方形地砖能不能恰好铺盖一块大小是8×8的正方形地面．21．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）（2）请画出你的镶嵌图．9.3用正多边形铺设地面参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是（）A．正五边形地砖B．正三角形地砖C．正六边形地砖D．正四边形地砖考点：平面镶嵌（密铺）．分析：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．解答：解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；B、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意．故选：A．点评：本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．2．下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形考点：平面镶嵌（密铺）．分析：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．解答：解：A、正三角形的每一个内角等于60°，6×60°=360°，即能密铺，不合题意；B、正四边形的每一个内角等于90°，4×90°=360°，即能密铺，不合题意；C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，符合题意；D、正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺，不合题意．故选：C．点评：本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．3．在正三角系，正方形，正五边形，正六边形这几个图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形考点：平面镶嵌（密铺）．分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．解答：解：A、∵正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，不合题意；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺，不合题意；C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，符合题意；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，不合题意．故选：C．点评：此题主要考查了平面镶嵌，根据镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要看周角360°能否被一个内角度数整除：若能整除，则能进行平面镶嵌；若不能整除，则不能进行平面镶嵌．4．若用同一种正多边形瓷砖铺地面，不能密铺地面的正多边形是（）A．正八边形B．正六边形C．正四边形D．正三边形考点：平面镶嵌（密铺）．分析：看哪个正多边形的一个内角的度数不是360°的约数，就不能密铺平面．解答：解：A、正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°，不是360°的约数，不能密铺平面，符合题意；B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；C、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；D、正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意故选：A．点评：此题主要考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能密铺平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180﹣360÷边数．5．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形考点：平面镶嵌（密铺）．分析：根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角360°的正多边形即可．解答：解：A、正十边形每个内角是180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；B、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；故选：C．点评：本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．6．用下列一种多边形不能铺满地面的是（）A．正方形B．正十边形C．正六边形D．等边三角形考点：平面镶嵌（密铺）．分析：根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．解答：解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正方形，正六边形，等边三角形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．∴不能铺满地面的是正十边形；故选B．点评：此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．7．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．正六边形C．正方形D．正五边形考点：平面镶嵌（密铺）．分析：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．解答：解：A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C、正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．故选：D．点评：本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．8．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形考点：平面镶嵌（密铺）．专题：几何图形问题．分析：平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．解答：解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．故选C．点评：考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．9．现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是（）A．正七边形B．正五边形C．正六边形D．正八边形考点：平面镶嵌（密铺）．分析：根据多边形内角和公式先算出每个多边形的内角的度数，再根据正四边形每个内角是90°，再从选项中看其内角和是否能组成360°，即可求出答案．解答：解：A、正七边形的每个内角约是129°，正四边形每个内角是90°，不能构成360°，则不能铺满，故本选项错误；B、正五角形每个内角108°，正四边形每个内角是90°，不能构成360°，则不能铺满，故本选项错误；C、正六边形每个内角120°，正四边形每个内角是90°，不能构成360°，则不能铺满，故本选项错误；D、正八边形每个内角135°，正四边形每个内角是90°，两个正八边形和一个正四边形能构成360°，则能铺满，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据内角和公式算出每个正多边形的内角的度数，根据内角的度数能组成一个周角就能密铺．10．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形考点：平面镶嵌（密铺）．专题：常规题型．分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．解答：解：A、正三角形的一个内角度数为180°﹣360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B、正四边形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C、正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D、正八边形的一个内角度数为180°﹣360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；故选D．点评：本题考查平面密铺的问题，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°﹣360°÷边数．二．填空题（共7小题）11．在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖2400 块．考点：平面镶嵌（密铺）．分析：先求出边长为10m的正六边形的面积，边长为50cm的正三角形的面积，继而可得需要瓷砖的数量．解答：解：解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为10m，高为5m，∴正六边形的面积为6××10×5=150m2，同理可得边长为50cm的正三角形的面积为××=m2，∴150÷=2400．故答案为：2400．点评：解决本题的关键是得到边长为50cm的正三角形瓷砖的块数的等量关系；难点是掌握正三角形的面积的求法．12．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有②③（写出所有正确答案的序号）．考点：平面镶嵌（密铺）；平移的性质．专题：压轴题．分析：根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，得出每个内角必须是90°，分别分析即可．解答：解：根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，∴①正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；②正方形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；③矩形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；④正五边形，每个内角等于108°，不能平面镶嵌，故此选项错误．故答案为：②③．点评：此题主要考查了平面镶嵌的性质以及平移的性质，得出符合两个图形的条件是解决问题的关键．13．幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形（写出其它图形，只要符合题目要求，均可得分）（填三种）．考点：平面镶嵌（密铺）．专题：开放型．分析：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．解答：解：几何图形镶嵌成平面的条件可知：能够保证铺地时既无缝隙，又不重叠，可以选择的塑料胶板有正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形．故答案为：正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形（写出其它图形，只要符合题目要求，均可得分）点评：本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意一种多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．14．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌（两种地砖的不同拼法视作为同一种组合），则共有组合方案 3 种．考点：平面镶嵌（密铺）．专题：方案型．分析：本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，能拼360°的就是能做镶嵌的．解答：解：①因为正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，所以能铺满；②正三角形每个内角60度，正六边形每个内角120度，2×60+2×120=360度，所以能铺满；③正方形每个内角90度，正六边形每个内角120度，不能拼成360度，所以不能铺满；④因为60+90+90+120=360度，所以一个正三角形、2个正方形、一个正六边形也能进行镶嵌．故共有组合方案3种．故答案为：3．点评：本题考查了平面镶嵌（密铺），判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．15．为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，江宁区政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖进行铺设．现有下面几种形状的正多边形地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形，其中不能进行平面镶嵌的有正五边形．考点：平面镶嵌（密铺）．专题：几何图形问题．分析：本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．解答：解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；正方形的每个内角是90°，4个能密铺；正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．故答案为：正五边形．点评：本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．16．与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是正方形．（只要求写出一种即可）考点：平面镶嵌（密铺）．专题：开放型．分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解答：解：可以选正方形，正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正方形和正三角形能铺满地面，故答案为：正方形．点评：此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．17．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 6 ．考点：平面镶嵌（密铺）．专题：应用题；压轴题．分析：根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．解答：解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，而正六边形的内角为120°，故答案为：6．点评：此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．三．解答题（共4小题）18．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第1次铺2块如图①；第2次把第1次铺的完全围起来，如图②，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图③：（1）依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为56 ．（2）依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为380 ．（3）依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为4n2﹣2n ．考点：平面镶嵌（密铺）．专题：规律型．分析：（1）第一次铺完用1×2块，第二次铺完共用3×4块，第三次铺完后，共用5×6块，所以第4次铺完后，共使用的木板数为7×8块；（2）第10次铺完后，共使用的木板数为19×20块；（3）第n次铺完后，共使用的木板数为（2n﹣1）×2n块．解答：解：（1）第4次铺完后，共使用的木板数为7×8=56；（2）第10次铺完后，共使用的木板数为19×20=380；（3）第n次铺完后，共使用的木板数为2n（2n﹣1）=4n2﹣2n．点评：解决本题的关键是得到共使用的木板数的变化规律．19．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法．考点：平面镶嵌（密铺）．专题：网格型；开放型．分析：把正方形网格平均分成8块，选择不同于（a）的4块选用黑色的等腰三角形地砖即可．解答：解：点评：解决本题的关键是把所给网格分为若干个地砖的和．20．试说明：用15块大小是4×1的矩形地砖和一块大小是2×2的正方形地砖能不能恰好铺盖一块大小是8×8的正方形地面．考点：平面镶嵌（密铺）．分析：这也是一种密铺问题，从面积来看，15块4×1的矩形地砖和一块2×2的正方形地砖的面积之和为4×15+2×2=64，恰好等于8×8．从每个拼接点来看，90°×4=360°，但是这些地砖不能敲碎，不能改成面积更小的地砖．因此只考查面积和拼接点的角度之和，不能解决问题．解答：解：如图，在大小是8×8的正方形地面上画出64个小方格，并按如图所示的方法涂上黑，白两种颜色，黑，白小方格各有32个，每一横行或每一纵行都分别有4个黑方格和4个白方格，用一块大小是4×1的矩形地砖无论铺在横行，还是纵行上，总是盖住2个黑方格和2个白方格，铺下15块后，共能盖住30个黑方格和30个白方格，地面上，一定剩下2个黑方格和2个白方格必须用2×2的正方形地砖，但从图中可以发现，2×2的正方形地砖无论铺在地面上的什么位置，都不能盖住2个黑方格和2个白方格，盖住的方格是3黑1白或1黑3白，因此不能恰好铺盖成功．点评：在图形的拼接里，除了考虑面积和拼接点的角度之和外，还需考虑可行性．21．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）（2）请画出你的镶嵌图．考点：平面镶嵌（密铺）．分析：（1）看几个正方形的一个内角与几个正三角形的一个内角度数之和为360°即可；（2）根据（1）得到的结果画出相应图形即可．解答：解：（1）正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，∵3×60+2×90=360°，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；（2）如图所示：．点评：用到的知识点为：两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°．11。
最新版初中七年级数学题库 数学七年级下华东师大版9.3用正多边形拼地板同步练习1
9.3 用正多边形拼地板同步练习◆回顾探索当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个______时，•就拼成一个平面图形．◆课堂测控测试点正多边形铺满地面的条件1．围绕一个顶点，有三个这样角：120°，90•°，•60•°，•这三样角能否密铺平面_____（填“能”或“不能”）2．日常生活中常用的铺设地板的多边形有_____（举一个）．3．用正方形和正三角形铺满地面，在每一个顶点处有_____个正方形和_____•个正三角形．4．用下列的一样多边形不能铺满地面的是（）A．平行四边形 B．正十边形 C．直角梯形 D．任意三角形5．下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（）A．正方形与正六边形 B．正八边形和正方形C．正五边形和正八边形 D．正五边形和正十边形6．若铺满地面的瓷砖每一顶点处由6块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（）A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形7．如图，在下面四种正多边形中，用同一种图形不能铺满地面的是（）8．用三种正多边形拼地板，其中的两种是正四边形和正五边形，则第三种正多边形的边数是（）A．12 B．15 C．18 D．20◆课后测控1．在用等边三角形拼地板中，拼接点处有_____个角．2．若由全等菱形可拼成地板，则可知该菱形的锐角是_______度．3．外角等于45°的正多边形能铺满地面吗？______（填“能”或“不能”）4．下图中，能用来铺设地板的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．能构成如右图所示的基本图形是（）6．用m个正方形和n个正八边形铺满地面，则m、n满足的关系是（）A．2m+3n=8 B．3m+2n=8 C．m+n=4 D．m+2n=67．我们知道用正三角形、正方形、正六边形合在一起可以铺满平面，若用正十边形、正八边形、正九边形合在一起，能不能铺满地面，为什么？8．用正三角形、正方形、正六边形中至少一种铺满地面，有几种不同的选法？请写出来．9．在一间长6米，宽3．5米的客厅地面上需同样规格的正方形地面板，现有“40×40cm2”和“30×30cm2”、“50×50cm2”、“60×60cm2”地面砖，请你设计一下，要想全部铺满，不锯破不留一点空隙也不多余，选哪一种规格？为什么？需要多少块？把铺的方案画出来．10．现有一批边长相等的正多边形瓷砖（如图9-3-4所示），•设计能铺满地面的瓷砖图案．（1）能用相同的正多边形铺满地面的有_______．（2）从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是_______．（3）从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是________．（4）你能说出其中的数学道理吗？◆拓展创新某生产瓷砖的厂家因工作失误，使一批正方形瓷砖的一角受到了同样的损坏（如图），在有人决定将这批瓷砖全部报废之时，一位总工程师设计了一个合理的方案，使这批瓷砖经过简单加工后又能铺地面了，请画图表示出这位总工程师的设计．答案:回顾探索周角（或360°）课堂测控1．能2．正方形（答案不唯一）3．2 3（点拨：设正方形x个，正三角形有y个，则有90°x+60°y=360°，即3x+2y=12，此时x=2，y=3）4．B5．B（点拨：正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，由135°×2+1×90°=360°可知正八边形和正方形可铺满地面．6．C7．C（点拨：正五边形的每一个内角均为108°，又360°不能被108°整除）8．D（点拨：正四边形，正五边形，正二十边形的内角分别为：90°，108°，162°）课后测控1．6 2．603．不能（点拨：外角等于45°的正多边形的内角是135°，而135°不能整除360°）4．C（点拨：只有第2个图形不能铺设）5．D6．A（点拨：正四边形内角和为90°，正八边形的内角和为135°，故90m+136n=360）7．正十边形，正八边形，正九边形合在一起不能铺满地面，因为正十边形，正八边形，正九边形的内角分别为144°，135°，140°，它们的和144°+135°+140°>360°．8．单独用一种正多边形铺满地面的有三种，即正三角形，正方形，正六边形；用两种组合来拼有正三角形与正方形，正三角形与正六边形两种，用这三种正多边形组合也能铺满，故共有6种不同的选法．9．50×50cm2，84块，方案略10．（1）①②③（2）①和②，①和③，①和⑤，②和④（3）①②③，②③⑤，①②⑤（4）铺满地面的正多边形的边长都相等，且这些正多边形满足在同一顶点交接处各角之和恰好360°．拓展创新11．如答图．。
七年级数学下册 第9章 多边形精选练习华东师大版 试题
币仍仅州斤爪反市希望学校第9章多边形精选练习1．以下列图形都是由同样大小的正方形和正三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有5个正多边形，第②个图形中一共有13个正多边形，第③个图形中一共有26个正多边形，……，那么第⑥个图形中正多边形的个数为〔 〕A 、90B 、91C 、115D 、1162．如下列图，①中多边形〔边数为12〕是由正三角形“扩展〞而来的，②中多边形是由正方形“扩展〞而来的，…，依此类推，那么由正八边形“扩展〞而来的多边形的边数为〔 〕．A. 32B. 40C. 72D. 643．正方形ABCD 边长为a ，点E 、F 分别是对角线BD 上的两点，过点E 、F 分别作AD 、AB 的平行线，如下列图，那么图中阴影局部的面积之和等于 ．4．把一张矩形纸片〔矩形ABCD 〕按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．假设AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，那么重叠局部△DEF 的面积是 cm 2． 5．如图，点A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的三边BC 、AC 、AB 的中点，点A 2、B 2、C 2分别是△A 1B 1C 1的边B 1C 1、A 1C 1、A 1B 1的中点，依此 类推，那么△A n B n C n 与△ABC 的面积比为6．如图8中图①，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置得到图②，那么阴影局部的周长为_________7．：点P 为正方形ABCD 内部一点，且∠BPC=90°，过点P 的直线分别交边AB 、边CD 于点E 、点F ．当PC=PB 时，那么S △PBE 、S △PCF 、S △BPC 之间的数量关系为 _________ ；8．提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕〔BC AB =，且AC BC ≠〕，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分〔要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样〕． 背景介绍：这条分割直线．．即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线〞．尝试解决：〔1〕小明很快就想到了一条分割直线.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线〞，从而平分蛋糕．〔2〕小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．9．如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小时，那么∠AMN+∠ANM的度数为〔〕A．100° B．110° C．120° D．130°10．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形。
华师大版初中数学七年级下册《9.3.2 用多种正多边形》同步练习卷(含答案解析
华师大新版七年级下学期《9.3.2 用多种正多边形》同步练习卷一．选择题（共14小题）1．某商场营业厅准备装修地面，现有正三角形，正方形，正五边形，正六边形这四种规格的花岗石板料（所有边长相等）若从其中选择一种板料铺设地面，则可以进行平面镶嵌的有（）A．1种B．2种C．3种D．4种2．某商店出售下列四种形状的地砖，若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．A．4种B．3种C．2种D．1种3．选用下列某一种形状的瓷砖密铺地面，不能做到无缝隙，不重叠要求的（）A．任意四边形B．正方形C．正六边形D．正十边形4．某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是（）A．1、2B．2、1C．2、2D．2、35．某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种边长相同、形状不同的正多边形地砖，与正三角形地砖作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形6．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第9层中含有正三角形个数是（）A．54个B．102个C．90个D．114个7．用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形8．下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形9．下列正多边形的地板瓷砖中，单独使用一种不能铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形10．如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则n 等于（）A．4B．6C．8D．1011．阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点周围正方形、正三角形地砖的块数可以是（）A．正方形2块，正三角形2块B．正方形2块，正三角形3块C．正方形1块，正三角形2块D．正方形2块，正三角形1块12．用一些不重叠的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做平面镶嵌．则用一种多边形镶嵌时，下列多边形中不能进行平面镶嵌的是（）A．三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形13．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个6×6的正方形图案，则其中完整的圆共有（）个．A．59B．61C．63D．6514．定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌，如图是只选用大小相同的正方形在某顶点O周围拼接成的镶嵌图案．判断：若只选用一种大小相同的正多边形，在下列四个选项中，能进行平面镶嵌的是（）A．正五角形B．正六边形C．正八边形D．正十边形二．填空题（共8小题）15．某装饰图案非常漂亮，是由正三角形、正六边形和正边形镶嵌（密铺）而成．16．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m块正三角形，n块正六边形，则m+n=17．在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是．18．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是．19．能够与正八边形平铺底面的正多边形是．（请从正六边形、正方形、正三角形、正十边形中选择一种正多边形）．20．把边长为a的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需个正三角形才可以镶嵌．21．某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形，②正四边形，③正五边形，④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是．22．用一种正五边形或正八边形的瓷砖铺满地面（填“能”或“不能”）．三．解答题（共24小题）23．如图所示，有一边长为米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的正方形方砖密铺而成．（1）图中黑白方砖共有块；（2）求一块方砖的边长．24．数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法去进行探究．探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．第三类：选正六边形．（仿照上述方法，写出探究过程及结论）探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第四类：选正三角形和正方形在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成个周角．根据题意，可得方程60x+90y=360整理，得2x+3y=12．我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌第五类：选正三角形和正六边形．（仿照上述方法，写出探究过程及结论）第六类：选正方形和正六边形，（不写探究过程，只写出结论）探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．（不写探究过程，只写结论），25．某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．26．阅读下面内容并回答问题：（1）有若干边长相等、边数分别为x，y，z的三种不同的正多边形，若这三种正多边形能镶嵌整个平面，试猜想x，y，z之间的关系，你能对你的这个猜想给出证明吗？解：边数为x的正多边形的一个内角为度．边数为y的正多边形的一个内角为度．边数为z的正多边形的一个内角为度，因为能进行平面镶嵌，即各取三种正多边形的一个内角能拼成360o角，所以有+ + =360，在等式两边同时除以180o，得．因为，所以（1﹣）+ + =2所以在等式两边同时除以（﹣2），得（2）根据上面得到的结论，从正三角形、正方形中选一种，再在其他正多边形中选两种，请尝试找出一个三种不同的正多边形镶嵌的方案．（直接写出方案即可）27．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+y=360，整理得：2x+3y=8，我们可以找到方程的正整数解为．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．28．如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．29．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）（3）．请你仿照此方法解决下面问题：（1）研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，求出x和y的值（2）按图（4）中给出两个边长相等的正方形和正三角形画出一个密铺后图形的示意图．（画正三角形时必须用尺规作图）30．（1）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是几边形？（2）某学校想用地砖铺地，学校已准备了一批完全相同的正n边形[n为（1）中的所求值]，如果单独用这种地砖能密铺吗？（3）如果不能，请你自己只选用一种同（2）边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能，请你画出一片密铺的示意图．31．我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°•x+120°•y=360°，化简得x+2y=6．因为x、y都是正整数，所以只有当x=2，y=2或x=4，y=1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．32．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料辅成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．现在，问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．33．小明家准备在客厅铺设地板砖．客厅地面是一个矩形，长6.3米，宽4.8米．装修工人提出两个建议，一是铺设80cm×80cm的地板砖，每块40元；二是铺设60cm×60cm的地板砖，每块25元．小明希望材料费少，又铺得整齐（即只用同一种规格的地板砖），你能帮他出个好主意吗（实际生活中地板砖只售整块）？34．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）（2）请画出你的镶嵌图．35．如图，是一个长方形地面，现有正三角形、正方形和正六边形三种瓷砖若干，要求：（1）三种瓷砖都必须用到；（2）铺成长方形或近似长方形，请你设计一种方案．36．如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的．（1）用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面？（2）像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？为什么？（3）你能不能另外想出一种用多边形（不一定是正多边形）的材料铺地面的方案？把你想到的方案画成草图．37．8年级①班教室的面积为80m2，房间地面恰巧由500块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？38．一个凸11边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸11边形各个内角的大小，并画出这样的凸11边形的草图．39．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（2）如果只限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？40．问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角．问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+，整理得：2x+3y=8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：_______；结论2：_______．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_______；验证3：_______；结论3：_______．41．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第1次铺2块如图①；第2次把第1次铺的完全围起来，如图②，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图③：（1）依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为．（2）依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为．（3）依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为．42．某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来排列，设这三种正多边形的边数分别为x，y，z，求的值．43．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．44．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；（3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．45．王老师正准备装修新买房屋的地面，到一家装修公司去看地砖，公司现有一批边长相等的正多边形瓷砖（如下图）供用户选择．（1）若王老师考虑只用其中一种正多边形铺满地面，则供他选择的正多边形有哪些？（2）若王老师考虑想从其中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合有哪些？（3）若王老师考虑从其中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合有哪些？（4）你能说出其中所蕴含的数学道理吗？46．试说明：用15块大小是4×1的矩形地砖和一块大小是2×2的正方形地砖能不能恰好铺盖一块大小是8×8的正方形地面．华师大新版七年级下学期《9.3.2 用多种正多边形》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．某商场营业厅准备装修地面，现有正三角形，正方形，正五边形，正六边形这四种规格的花岗石板料（所有边长相等）若从其中选择一种板料铺设地面，则可以进行平面镶嵌的有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断，一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；正方形的每个内角是90°，4个能密铺；正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．故选：C．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，根据镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要看周角360°能否被一个内角度数整除：若能整除，则能进行平面镶嵌；若不能整除，则不能进行平面镶嵌．2．某商店出售下列四种形状的地砖，若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．A．4种B．3种C．2种D．1种【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．故选：B．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．3．选用下列某一种形状的瓷砖密铺地面，不能做到无缝隙，不重叠要求的（）A．任意四边形B．正方形C．正六边形D．正十边形【分析】根据密铺的条件能整除360度的能密铺地面，分别对每一项进行分析即可．【解答】解：A、任意四边形的内角和为360°，在同一顶点处放4个，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺；C、正六边形每个内角是120°，能整除360°，能密铺；D、正十边形每个内角是144°，不能整除360°，不能密铺；故选：D．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．4．某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是（）A．1、2B．2、1C．2、2D．2、3【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴需要正方形2块，正三角形3块．故选：D．【点评】本题考查平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．5．某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种边长相同、形状不同的正多边形地砖，与正三角形地砖作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形【分析】根据密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可．【解答】解：A、正方形的每个内角是90°，90°×2+60°×3=360°，∴能密铺；B、正六边形每个内角是120°，120°+60°×4=360°，∴能密铺；C、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，∴不能密铺；D、正十二边形每个内角是150°，150°×2+60°=360°，∴能密铺．故选：C．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．6．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第9层中含有正三角形个数是（）A．54个B．102个C．90个D．114个【分析】观察三角形的规律，发现：三角形依次是6+12×（1﹣1），6+12×（2﹣1），…，6+12×（n﹣1）块，据此可得．【解答】解：第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，所以第9层中含有正三角形的个数是6+12×8=102（个）．故选：B．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）问题，此题要注意能够分别找到三角形和正方形的个数的规律．7．用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【解答】解：正八边形的一个内角=180°﹣=135°，360°﹣2×135°=90°，∵正方形的每个内角是90°，∴另一种是正方形．故选：B．【点评】考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．8．下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】先求出每个多边形的内角的度数，再逐个判断即可．【解答】解：∵正八边形的每个内角的度数是=135°，正三角形的每个内角的度数是60°，正方形的每个内角的度数是90°，正，五边形的每个内角的度数是=108°，正六边形的每个内角的度数是=120°，∴与正八边形组合能够铺满地面的是正方形（两个正八边形和一个正方形，故选：B．【点评】本题考查了正多边形的内角和外角，平面镶嵌等知识点，能理解平面镶嵌的定义是解此题的关键．9．下列正多边形的地板瓷砖中，单独使用一种不能铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，6个能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺；D、正八边形的每个内角为180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．。
七年级数学下册 9.3 用多种正多边形铺设地面 华东师大版
90
60 90
60 60
150
150
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用正五边形、正十边形这两正多 边形组合能否铺满平面呢？
让我们一起去实践
返回
返回Байду номын сангаас
剪出一些形状、大小都一样的四边形， 拼拼看，能否如下图那样铺满地面。
现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角
形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买
的地砖形状是（ ）C
A．正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形
作业：
1、P73.练习第2题 2、P74习题9.3中的1、2、3 3、挑战题（我做设计师）： （1）看一看哪三种正多边形组合可拼成地板？可拼成什么 样的图案？ （2）用形状相同的任意四边形能拼成平整无缝隙的地面吗？ 如果能，请你画出拼接的图案并说明理由。如果不能，也 请说明理由。
正八边形瓷砖
４０５°
。
135 。 135。135
围 绕 某 一 顶 点 铺 满 地 面
一个正多边形能不能铺满平面，关 键是看周角360度能不能被一个内角度 数整除。
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起
恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。
我们刚才所研究的都是用同种正多边形 所拼的地板，那么两种正多边形组合是否 也可以拼成地板呢？
让我们一起去实践
2×60°+2×120°＝360 °
60°
120°
120°
60°
得出两种多边形拼成地板要满足的条件： 正多边形1个数×正多边形1内角度数
+正多边形2个数×正多边形2内角度数=360º
其它
用正五边形、正十边形这两正多 边形组合能否铺满平面呢？
9.3 用正多边形铺设地面复习 练习题 含答案 2020-2021学年华东师大版数学七下册
第9章多边形 9.3 用正多边形铺设地面1．下列正多边形中，不能铺满地面的是( )A．正三角形 B．正四边形C．正五边形 D．正六边形2．学校科技馆的地面准备铺设一些边长相同的正六边形地砖，那么在每一个顶点处，应铺设( )A．2块 B．3块 C．4块 D．5块3．用两种正多边形地砖镶嵌地面，不能与正三角形匹配的是( )A．正方形 B．正六边形 C．正十二边形 D．正十八边形4．现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形形状的地砖，如果选择其中的两种铺满平整的地面，那么选择的两种地砖的形状不能是( )A．正三角形与正方形B．正三角形与正六边形C．正方形与正六边形D．正方形与正八边形5．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．66．某同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是( )A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③7．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是( )8．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种9. 现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能铺满地面成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形10．正八边形不能铺满地面的原因是 .11．用完全相同的任意三角形、任意四边形、任意五边形，选一种一定能铺满地面的是．12．设在一个顶点周围有a个正三角形、b个正十二边形铺满地面，则a＋b ＝ .13．如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1＝ .14．一个正m边形恰好被正n边形围住(无重叠、无间隙，如图所示的是m＝4，n＝8的情况)，若m＝10，则n＝ .15．铺设一间长6m，宽3.5m的客厅地面需要同样规格的正方形地板砖，现有“40cm ×40cm”“30cm×30cm”“50cm×50cm”和“60cm×60cm”的地板砖，请你设计一下，要想全部铺满，不锯破且不留一点空隙，选哪一种规格？为什么？需要多少块？16．已知2个正多边形A 和3个正多边形B 可绕一点周围镶嵌(密铺)，A 的一个内角的度数是B 的一个内角的度数的32. (1)试分别确定A 、B 是什么正多边形？(2)画出这5个正多边形在平面镶嵌(密铺)的图形(画一种即可)．17．用边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的两种正多边形拼地板，哪两种能铺满地面？说明理由，并设计出符合条件的图案．答案：1-9 CBDCA ACBA10. 它的内角不能整除360°11. 任意三角形和任意四边形12. 313. 67.5°14. 515. 解：选“50cm ×50cm ”的地砖．理由如下：因为地砖不可能是半个，所以选的规格要同时是长6m ，宽3.5m 的公约数．因为6m ＝600cm,3.5m ＝350cm ，60050＝12，35050＝7，所以需选“50cm ×50cm ”规格的地板砖，总共需要12×7＝84(块)地板砖．16. 解：(1)设B 的一个内角是x °，则A 的一个内角是1.5x °，根据题意得方程：2×1.5x ＋3×x ＝360，所以x ＝60，所以1.5x ＝90，所以A 为正方形，B 为正三角形；(2)共有两种情形(正方形相邻；正方形不相邻)．17. 解：因为正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角分别是60°、90°、108°、120°，所以(1)正三角形和正方形能铺满平面．因为3×60°＋2×90°＝360°，所以用三个正三角形和两个正方形能覆盖平面，图案如图①所示；(2)正三角形和正六边形能铺满平面．因为2×60°＋2×120°＝360°，所以用两个正三角形和两个正六边形能覆盖平面，图案如图②所示．因为4×60°＋120°＝360°，所以用四个正三角形和一个正六边形也能覆盖平面，图案如图③所示．。
用多种正多边形铺设地面
三、用三种正多边形密铺
三种正多边形的密铺条件：
给定的三种正多边形，当围绕一点拼在一起的几 个内角加在一起恰好组成一个周角( 360°)时， 就能密铺地面。
即：已知第一种正多边形的内角度数为α，第二 种正多边形的内角度数为β，第三种正多边形 的内角度数为γ. 则密铺条件为：m·α+ n·β + k·γ=360° （m，n,k为正整数）
2、常见两种正多边形铺满地面的有： 正三角形与正方形；正三角形与正六边形 正三角形与正十二边形；正方形与正八边形
3、常见三种正多边形铺满地面的有： 正三角形、正方形、正六边形； 正方形、正六边形、正十二边形
小结二：
1、已知第一种正多边形的内角度数为α， 第二种正 多边形的内角度数为β，第三种正多边形的内角度数 为γ
（A ）
A 正三角形、正方形、正六边形 B 正三角形、正方形、正五边形 C 正方形、正五边形 D 正三角形、正方形、正五边形、正六边形
练习1：若铺满地面的瓷砖的每个顶点处由6块相同的正
多边形组成，此时的正多边形只能是（ A ）
A 正三角形 B 正方形 C 正六边形 D 正八边形
观察：
思考： 一种正多边形的密铺条件对于两种正多边形密铺 的情况同样适用吗？
①只用一种正多边形密铺条件： m·α=360°（m为正整数） ②两种正多边形组合密铺条件： m·α+ n·β =360°（m，n为正整数） ③三种正多边形组合密铺条件： m·α+ n·β + k·γ=360°（m，n,k为正整数） 转化思想： 密铺条件转化为方程的正整数解
作业：
1、复习本堂课的内容，掌握正多边形密铺的条件， 理解记忆常见的可以密铺的一种或两种组合的 正多边形
初中数学七年级下华东师大版9.3用正多边形拼地板同步练习1
9.3 用正多边形拼地板同步练习◆回顾探索当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个______时，•就拼成一个平面图形．◆课堂测控测试点正多边形铺满地面的条件1．围绕一个顶点，有三个这样角：120°，90•°，•60•°，•这三样角能否密铺平面_____（填“能”或“不能”）2．日常生活中常用的铺设地板的多边形有_____（举一个）．3．用正方形和正三角形铺满地面，在每一个顶点处有_____个正方形和_____•个正三角形．4．用下列的一样多边形不能铺满地面的是（）A．平行四边形 B．正十边形 C．直角梯形 D．任意三角形5．下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（）A．正方形与正六边形 B．正八边形和正方形C．正五边形和正八边形 D．正五边形和正十边形6．若铺满地面的瓷砖每一顶点处由6块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（）A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形7．如图，在下面四种正多边形中，用同一种图形不能铺满地面的是（）8．用三种正多边形拼地板，其中的两种是正四边形和正五边形，则第三种正多边形的边数是（）A．12 B．15 C．18 D．20◆课后测控1．在用等边三角形拼地板中，拼接点处有_____个角．2．若由全等菱形可拼成地板，则可知该菱形的锐角是_______度．3．外角等于45°的正多边形能铺满地面吗？______（填“能”或“不能”）4．下图中，能用来铺设地板的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．能构成如右图所示的基本图形是（）6．用m个正方形和n个正八边形铺满地面，则m、n满足的关系是（）A．2m+3n=8 B．3m+2n=8 C．m+n=4 D．m+2n=67．我们知道用正三角形、正方形、正六边形合在一起可以铺满平面，若用正十边形、正八边形、正九边形合在一起，能不能铺满地面，为什么？8．用正三角形、正方形、正六边形中至少一种铺满地面，有几种不同的选法？请写出来．9．在一间长6米，宽3．5米的客厅地面上需同样规格的正方形地面板，现有“40×40cm2”和“30×30cm2”、“50×50cm2”、“60×60cm2”地面砖，请你设计一下，要想全部铺满，不锯破不留一点空隙也不多余，选哪一种规格？为什么？需要多少块？把铺的方案画出来．10．现有一批边长相等的正多边形瓷砖（如图9-3-4所示），•设计能铺满地面的瓷砖图案．（1）能用相同的正多边形铺满地面的有_______．（2）从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是_______．（3）从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是________．（4）你能说出其中的数学道理吗？◆拓展创新某生产瓷砖的厂家因工作失误，使一批正方形瓷砖的一角受到了同样的损坏（如图），在有人决定将这批瓷砖全部报废之时，一位总工程师设计了一个合理的方案，使这批瓷砖经过简单加工后又能铺地面了，请画图表示出这位总工程师的设计．答案:回顾探索周角（或360°）课堂测控1．能2．正方形（答案不唯一）3．2 3（点拨：设正方形x个，正三角形有y个，则有90°x+60°y=360°，即3x+2y=12，此时x=2，y=3）4．B5．B（点拨：正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，由135°×2+1×90°=360°可知正八边形和正方形可铺满地面．6．C7．C（点拨：正五边形的每一个内角均为108°，又360°不能被108°整除）8．D（点拨：正四边形，正五边形，正二十边形的内角分别为：90°，108°，162°）课后测控1．6 2．603．不能（点拨：外角等于45°的正多边形的内角是135°，而135°不能整除360°）4．C（点拨：只有第2个图形不能铺设）5．D6．A（点拨：正四边形内角和为90°，正八边形的内角和为135°，故90m+136n=360）7．正十边形，正八边形，正九边形合在一起不能铺满地面，因为正十边形，正八边形，正九边形的内角分别为144°，135°，140°，它们的和144°+135°+140°>360°．8．单独用一种正多边形铺满地面的有三种，即正三角形，正方形，正六边形；用两种组合来拼有正三角形与正方形，正三角形与正六边形两种，用这三种正多边形组合也能铺满，故共有6种不同的选法．9．50×50cm2，84块，方案略10．（1）①②③（2）①和②，①和③，①和⑤，②和④（3）①②③，②③⑤，①②⑤（4）铺满地面的正多边形的边长都相等，且这些正多边形满足在同一顶点交接处各角之和恰好360°．拓展创新11．如答图．。
原七年级数学下册9.3用正多边形铺设地面习题课件(新版)华东师大版
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16．从边长相等的正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边 形中选出两种来铺设地砖，求出铺满地面所用(suǒ yònɡ)的正多边形的个数， 画出草图．(要求写出三种铺设方法)
解：(答案不唯一)铺设方法如下：方法(1)：设用x个正三角形，y个正方形 可铺满地面，则60x＋90y＝360，即2x＋3y＝12.因为x，y为正整数，所以x ＝3，y＝2，即用3个正三角形，2个正方形可铺满地面，如图①.
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3．(1)用一批相同的正方形地砖(dìzhuān)铺满地面，每个顶点4由______
块正方形地砖(dìzhuān)铺成；
(2)若铺满地面的地砖(dìzhuān)的某一点处是由3块相同的正多边形铺成， 则这种正多边形是正___六____边形．
知识点❷ 用多种正多边形铺设地面
4．(习题1变式)有下列四组多边形地板砖：①正三角形与正方形；②正三
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9．(习题2变式)用边长相等的正三角形和正六边形地板砖能不能铺满地面？ 如果能，有几种方法，试画出示意图．
解：能．正三角形的每个内角为60°，正六边形的每个内角为120°，如果在 同一个顶点处用x个正三角形，y个正六边形，可得60°·x＋120°·y＝360°，化 简，得x＋2y＝6.因为x，y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时， 上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或者(huòzhě)4个正三角形和1个正六 边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图①和如图②所示，
与正八边形；③正三角形(zhènɡ sān jiǎo xínɡ)与正方形以及正六边形；④正方形与正
六边形以及正八边形．其中能铺满地面的组合有_①__②___③______．(填序号)
华师大版数学七年级下册 9.3 用正多边形铺设地面 同步练习(含解析)
初中数学华师大版七年级下学期第9章9.3 用正多边形铺设地面一、单选题1.分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（）A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①②③④都可以2.某市对人行道路翻新，准备选用—种正多边形铺设地面，下列地砖中，不能在平面镶嵌中铺满地面的是（）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形3.用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则的值为（）A. 1B.C.D.4.如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则等于( )A. 6B. 8C. 9D. 105.商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种6.在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是A. 正三角形，正方形B. 正方形，正六边形C. 正五边形，正六边形D. 正六边形，正八边形7.将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个正五边形A. 6B. 7C. 8D. 98.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数是（）A. 102个B. 114个C. 126个D. 138个二、填空题9.如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是________．10.一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个正六边形和正十二边形，则第三个多边形的边数是________.11.用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m+n＝________．12.如图的图案是由正方形、正三角形和________密铺而成的．13.如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要________个小正方形，________小三角形．（不含图案的4个角）答案解析部分一、单选题1.【答案】C解：①、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；②、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；③、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；④、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．正确的为①②④．故答案为：C．2.【答案】C解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺．故答案为：C．3.【答案】C解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为：+ + =360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得：+ + = .故答案为：C.4.【答案】B解：解:正n边形的一个内角=（360°-90°）÷2=135°,则135°n=（n-2）180°，解得n=8,故本题选B.5.【答案】C解：①长方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有①②④．故答案为：C．6.【答案】A解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°又∵60°×3+90°×2=360°∴能够组合是正三角形，正方形7.【答案】B解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故答案为：B．8.【答案】B解：根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形．第2层包括18个正三角形．此后，每层都比前一层多12个．依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个．故答案为：B．二、填空题9.【答案】10．解：360°−108°−108°＝144°，180°−144°＝36°，360°÷36°＝10．故答案为10．10.【答案】4解：由于正六边形和正十二边形内角分别为120°、150°，∵360−（150＋120）＝90，又∵正方形内角为90°，∴第三个正多边形的边数是4.故答案为：4.11.【答案】3解：由题意，有135n+90m＝360，m＝4﹣，因为m、n为整数，∴n＝2，m＝1，m+n═3，故答案为3．12.【答案】正六边形解：围绕一点观察图形可知如图的图案是由正方形、正三角形和正六边形密铺而成的．故答案为：正六边形．13.【答案】12；14解：小正方形4×3=12；小三角形的个数为4×2+3×2=14，故答案为：12，14．。
华师大版七年级下册数学同步练习课件-9.3 2 用多种正多边形铺设地面
▪ C．正五边形 D．正六边形
▪ 分析：因为正三角形、正方形、正六边形的内角分别为60°， 90°，120°，
▪ 所以360°－60°－90°－120°＝90°，
▪ 所以另一个为正方形．
▪ 答案：B 3
课时即练
▪ 1．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的C正多边形 是( )
第9章 多边形
9.3 用正多边形铺设地面
2 用多种正多边形(第二课时)
名师点睛
▪ 知识点 用多种正多边形密铺地面
▪ 当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组 成一个周角时，就能拼成一个平面图形，即可以密铺地面．
▪ 注意：(1)用多种正多边形密铺地面的原理与用同种正多边形 密铺地面的原理是相同的．
6．已知围绕某一点的 m 个正三角形和 n 个正六边形恰好铺满地面，若 n＝1， 则 m 的值为___4____.
6
▪ 7．小芳家进行装修，她在材料市场选中了一种漂亮的正八 边形的地砖，可建材行的服务员告诉她，仅一种正八边形的 地砖是不能密铺地面的，随后又向她推荐各种尺寸、形状、 花色的其他地砖，供小芳搭配选用的有：菱形的、正方形的、 正三角形的、平行四边形的、等腰直角三角形的、正六边形 的、正五边形的、五角星形状的等等，小芳顿时选花了眼， 你能帮忙筛选一下吗？
▪ A．正方形
B．正六边形
▪ C．正八边形 D．正十二边形
▪ 2．在现实生活中，铺地最常A见的是用正方形地板砖，某小
区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是
()
▪ A．正三角形，正方形
ห้องสมุดไป่ตู้
B．正方形，正六边形
▪ C．正五边形，正六边形
华东师大版数学 七年级下册 2. 用多种正多边形 课后练习题
一、单选题1. 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌，如图是只选用大小相同的正方形在某顶点O周围拼接成的镶嵌图案．判断：若只选用一种大小相同的图形，在下列四个选项中，能进行平面镶嵌的是（）A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形2. 在某广场整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面．则下列满足要求的地板砖是（）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形3. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．在镶嵌图案里若基本图形只有一种，则称为单元镶嵌．下面基本图形不能进行单元镶嵌的是（）A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形4. 在下列四种边长均为的正多边形中，能与边长为的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（）①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形A．种B．种C．种D．种5. 用一批完全相同的多边形地砖铺地面，不能进行镶嵌的是( )A．正三角形B．正方形C．正八边形D．正六边形二、填空题6. 用边长相等的正三角形与正方形两种图形铺满地面，设在一个顶点周围有x个正三角形和y个正方形，则x＝________，y＝________．7. 生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为 _____．8. 用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是_________．三、解答题9. 已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的．（1）试分别确定，是什么正多边形？（2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．10. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠(在数学上叫做平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．(1)请你根据图中的图形，填写表中空格：正多边形边数 3 4 5 6 ……n正多边形每个内角度数60°90°108°120°……(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？11. 我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°•x+120°•y＝360°，化简得x+2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．。
华师大版数学七年级下册_典例精析：用正多边形铺设地面2
《用正多边形铺设地面》典例精析
例1商店里出售下列形状的地砖：①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形.只选购买其中的一种地砖密铺地面,要求不重叠,也没有空隙,可供选择的地砖共有（）.
A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4种
命题立意；主要考查对用同一种正多边形密铺地面的几种情况的理解.
解：能用同一种正多边形密铺地面的有：①正三角形;②正方形；④正六边形.所以选C.
例2 一幅美丽的图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成,其中有两个正八边形,那么另一个是（）.
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
命题立意：本题主要考查用两种不同的正多边形密铺地面的理解与掌握.
解：因为正八边形的一个内角为135°.两个正八边形的两个内角和为270°，而360°-270°=90°，所以另一个是正方形.选B.。
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《用多种正多边形》习题
1．用正方形和正三角形铺满地面，在每一个顶点处有_____个正方形和_____个正三角形．
2．下列多边形的组合中，能够铺满地面的是( )．
A．正方形与正六边形B．正八边形和正方形
C．正五边形和正八边形D．正五边形和正十边形
3．用三种不同的正多边形镶嵌，每一个顶点处每种正多边形只有一个，那么这几种正多边形可以是( ).
A．正三角形、正方形、正六边形B．正三角形、正六边形、正八边形C．正方形、正六边形、正十二边形D．正五边形、正六边形、正十边形4．用三种正多边形拼地板，其中的两种是正四边形和正五边形，则第三种正多边形的边数是( )．
A．12B．15C．18D．20
5．用m个正方形和n个正八边形铺满地面，则m、n满足的关系是( )．
A．2m＋3n＝8 B．3m＋2n＝8 C．m＋n＝4 D．m＋2n＝6
6．一副美丽的图案，在某个顶点由四个边长相等的正多边形平铺而成的，其中的三个分别是正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为( ).
A．正三边形B．正四边形C．正五边形D．正六边形
7．某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是( ).
A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形
8．我们知道用正三角形、正方形、正六边形合在一起可以铺满平面，若用正十边形、正八边形、正九边形合在一起，能不能铺满地面，为什么？。