基于concurrence度量研究量子相干和量子纠缠
量子测量问题的研究及应用
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图1 测量对量子干涉的破坏
(a) 没有对路径测量 ,有干涉条纹 ; (b) 进行路径的测量 ,干涉条纹消失
3 国家杰出青年基金 、 攀登计划和国家自然科学基金资助项目
1999 - 12 - 23 收到初稿 ,2000 - 03 - 02 修回
・457 ・
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量子测量问题的研究及应用 3
孙 昌 璞
( 中国科学院理论物理研究所 北京 100080)
摘 要 文章结合最近完成的量子测量实验 ( 如用冷原子 Bragg 散射实现的 “which2way” 实验和用 C60 分子完成的 小系统量子干涉实验) ,比较系统地介绍了量子测量问题及其相关的基本概念和基本思想 , 如量子相干 、 量子退相干 和量子纠缠 . 从理论和实验结合的角度 , 讨论了外部环境和内部运动怎样诱导量子退相干和量子耗散 , 由此探讨了 “薛定谔猫佯谬” 和 “宏观物体空间局域化描述” 的物理解释 . 最后 ,文章简单地描述了量子计算和量子通信等基本量子 信息过程 ,并讨论了量子退相干效应对它们的影响 . 关键词 量子测量 ,量子相干与退相干 ,量子纠缠 ,量子信息
基础物理学中的量子相干性与纠缠
基础物理学中的量子相干性与纠缠量子力学是现代物理学的基础，它描述了微观世界的奇特现象和规律。
量子物理学中最引人注目的现象之一就是量子相干性与量子纠缠。
这些概念不仅为新型量子技术的发展奠定了基础，而且也深刻影响了人们对物质和自然界的认知。
1. 量子相干性量子相干性是指在一个量子系统内，不同部分之间存在着一种特殊的量子纠缠状态，从而使得系统在微观尺度下呈现出一种不同于经典物理学的奇特行为。
一个简单的例子是光的干涉。
当两束光线以恰好相差 180 度的相位角度向同一点汇聚时，它们会出现干涉现象，这种现象就是量子相干性的一种表现形式。
量子相干性还有一种更为奇特的应用，即是量子计算。
在传统计算机中，信息是以 0 和 1 的形式存储和处理的。
但在量子计算中，由于量子态可以同时处于多个状态，因此量子计算机可以在计算速度和效率方面远远超过传统计算机。
2. 量子纠缠量子纠缠是指在一个量子系统中，不同粒子之间的量子态存在着一种特殊关系，它们在测量之前是处于相互核对的状态。
这种关系不受空间距离的限制，即使两个粒子距离非常遥远，它们之间的量子态也可以纠缠在一起。
量子纠缠的最著名的实验是贝尔不等式实验。
这个实验验证了一个有趣的现象，即两个纠缠在一起的粒子如同一对儿对跳舞的人，在彼此之间不论距离有多远，都可以保持紧密的配合。
量子纠缠不仅仅是一个理论现象，它还与实际应用息息相关。
例如，在量子通信中，可以通过量子纠缠来进行安全通信。
这种通信方式可以有效地防止信息被截获和窃取。
3. 量子相干性与量子纠缠的联系量子相干性和量子纠缠似乎并没有直接关系，但事实上它们之间有着密切的联系。
在量子系统中，不同粒子之间的量子状态可以通过相互作用而产生相干性，这种相干性反过来又会导致粒子之间的量子纠缠。
一个具体的例子是量子包络。
当两个量子态之间存在着相干性时，它们就会形成一个量子包络，在这个包络中，不同的量子态之间形成了复杂而有序的相互关系。
这样的包络中，量子系统中的不同部分就会产生量子纠缠状态。
基于单元分解的多粒子纠缠态的纠缠度量方法
基于单元分解的多粒子纠缠态的纠缠度量方法苏沛源【摘要】针对大多数多粒子纠缠度量方法难以摆脱随着粒子数的增加带来的计算复杂度问题.文中利用多粒子纠缠态的共价键固态表示,将具有一维VBS表示的多粒子纠缠态进行了单元分解.在此基础上,提出一种新的多粒子纠缠度量方法.计算结果表明,该方法能够有效降低多粒子纠缠度量的计算复杂度.【期刊名称】《电子科技》【年(卷),期】2018(031)005【总页数】4页(P16-18,27)【关键词】多粒子纠缠态;纠缠度量;VBS表示;单元分解;计算复杂度【作者】苏沛源【作者单位】中国海洋大学信息科学与工程学院,山东青岛266100【正文语种】中文【中图分类】TN929.1;O431最近，我国成功发射了世界第一颗量子科学实验卫星，并成功研制了10比特超导量子计算机，标志着量子信息科学的发展已进入了一个崭新的时代。
作为量子信息科学的核心资源[1]，量子纠缠无论在量子通信还是量子计算中均起着重要作用[2-4]。
对多粒子纠缠态的研究涉及纠缠态的定义、制备、判定、度量、操控等多个方面。
纠缠态的制备，通常采用自发参量下转换的非线性光学过程制备多个光子的纠缠态。
纠缠度量是对多粒子纠缠态纠缠程度的定量描述[5]，具有重要的基础地位。
目前，已有多种多粒子纠缠度量方法[6]被提出，但大多难以摆脱随着粒子数增加而带来的计算复杂度问题[7]。
2001年，Raussendorf等人提出了以测量为基础的量子计算模型[8]。
该模型以特定的多粒子纠缠态为平台，仅凭对单格点的测量来完成基本的量子计算任务。
这种特定的多粒子纠缠态被称为共价键固态(Valence-Bond Solid State，VBS)。
所以，本文引入了多粒子纠缠态的表示，将具有VBS表示的一维多粒子纠缠态进行了单元分解。
以单元分解为基础，本文提出了一种新的纠缠度量方法。
文中对新方法的合理性进行了证明，同时对两种不同的多粒子纠缠度量方法进行了分析与比较。
量子关联与量子相干性
量子关联与量子相干性量子力学是描述微观世界的一种理论，它与经典力学有着本质的区别。
在量子力学中，粒子的状态不再是确定的，而是以概率的形式存在。
量子关联和量子相干性是量子力学中一个重要的概念，它们揭示了微观粒子之间的非经典性质。
量子关联是指两个或多个粒子之间存在着特殊的关系，使得它们的状态相互依赖。
这种关系不受距离的限制，即使两个粒子相隔很远，它们仍然可以通过量子关联相互影响。
量子关联的一个典型例子是爱因斯坦-波尔斯基-罗森(EPR)效应。
EPR 效应是爱因斯坦等人提出的一个思想实验，它揭示了两个粒子之间的量子关联。
根据EPR效应，如果两个粒子处于量子关联状态，那么它们的某些物理量之间存在着确定的关系，即使在测量之前也是如此。
量子关联的另一个重要性质是量子纠缠。
量子纠缠是量子关联的一种特殊形式，它描述了两个或多个粒子之间的状态无法被单独描述的情况。
例如，当两个粒子处于量子纠缠状态时，它们的状态是相互关联的，无论对其中一个粒子进行测量，都会对另一个粒子产生影响。
这种关联的存在使得量子纠缠成为量子通信和量子计算的基础。
与量子关联相对应的是量子相干性。
量子相干性是指量子系统中的态可以保持一定的相对相位关系。
在经典物理中，相位关系可以通过波函数的幅度和相位来描述。
而在量子力学中，波函数的幅度和相位都是重要的，它们决定了粒子的性质和行为。
量子相干性的一个重要应用是量子干涉。
量子干涉是指两个或多个量子态之间的相互作用，使得它们的干涉效应显现出来。
量子干涉在实验室中已经得到了广泛的应用，例如干涉仪、双缝实验等。
量子关联和量子相干性在量子信息科学中起着重要的作用。
量子信息科学是研究如何利用量子力学的特性进行信息处理和通信的学科。
量子关联和量子相干性为量子信息科学提供了基础理论和实验手段。
例如，量子关联可以用来实现量子隐形传态和量子纠缠分布等量子通信协议。
量子相干性则可以用来实现量子比特的存储和传输。
这些应用不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的潜力。
量子信息和量子纠缠理论
Multipartite Schmidt-correlated State
Fully separable
PPT
Fully separable (maximally entangled)
~ 1 (N)
M.J. Zhao, S.M. Fei and Z.X. Wang, Phys. Lett. A 372(2008)2552
S. Albeverio, S.M. Fei, Phys. Lett. A 276(2000)8 S. Albeverio, S.M. Fei and W.L. Yang, Comm. Theor. Phys. 38 (2002) 301
S. Albeverio, S.M. Fei and W.L. Yang, Phys. Rev. A 66 (2002) 012301 M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki, Phys. Rev. A 60, 1888 (1999)
Separable! Separable！
Separability of mixed states: no general criteria a) Peres (PPT) criterion:
Peres PRL 77, 1413 (1996)
2x2, 2x3:
PPT
Separable
Horodeckis, Phys. Lett. A 223,1 (1996)
Caltech (Kimble et al)
/~qoptics/teleport.html
Nature 390(1997) 575
Science 282(1998) 706
Wigner functions before &after
量子相变中的量子纠缠度量研究-英文版
RG flow
• c-theorem:
cUV cIR
fixed point
(Zamolodchikov, 1986)
UV
fixed point
IR
• Massive theory (off critical) Block entropy saturation
fixed point
RG flow
UV
Irreversibility of RG trajectories
Loss of entanglement
Open Systems & Quantum Information Milano, 10 Marzo 2006
• Local Entropy: when the subsystem A is a single site.
• The concurrence measures the entanglement between two sites after having traced out the remaining sites. • The transition is signaled by the first derivative of the concurrence, which diverges logarithmically (specific heat).
h 1 lnh 1
S1 has the same singularity as
Local (single site) entropy: 1 ρ1 = I + σ z σ z S1 = Tr ρ1lnρ1 2
σz
Local measures of entanglement based on the 2-site density matrix depend on 2-point functions
量子物理学中的量子纠缠和量子测量
量子物理学中的量子纠缠和量子测量随着人类在科学领域不断前进，我们逐渐开始了解到了微观世界中物体之间的奇妙现象。
其中最为著名的就是量子纠缠和量子测量。
本文将简要介绍这两个现象以及它们在量子物理学中的作用和应用。
量子纠缠量子纠缠是指在量子系统的两个或多个粒子之间，存在一种特殊的关系，使得它们之间彼此“纠缠”在一起，任意一方状态的修改都会同步影响另一方的态。
这种关系在经典物理学中是不存在的，只有在量子力学中才具有独特的存在方式。
例如，我们可以通过一系列实验验证量子纠缠的存在。
假设有两个电子，它们从一起被生成并正反移动一定距离后，它们被观测发现，如果一个电子自旋向上了，那么另一个电子自旋向下。
如果我们再把它们分开遥远距离，那么当我们在一个电子自旋向上的时候，另一个电子的旋转方向永远是相反的。
这就是“爱因斯坦纠缠问题”或者“量子纠缠”。
另一种被称为“量子密集编码”的方法，是通过纠缠两个电子，从而实现高效的信息交流，也就是量子计算机的基础之一。
量子纠缠的应用也很广泛，比如被用来制作量子加密技术。
它利用了量子纠缠的特性，使得消息发送方和消息接收方之间的信息受到量子纠缠的连接起来的粒子的保护。
量子测量除了量子纠缠之外，量子测量也是与量子物理学密不可分的一个概念。
量子系统中的测量与经典系统中的不同，前者可能会非常显著地影响量子系统中的状态，而后者则没有这种影响。
我们应该知道的是，物质粒子的状态可以被表示为“波函数”，通常用箭头符号表示。
当我们进行测量的时候，波函数会“坍塌”，产生一定的状态。
比如一个经典的例子是，在测量一件物体的位置时，它的存在的位置并不一定在这个时候就很确定，因此我们需要使用更大的误差范围来表示这个位置。
在量子物理学中同样如此。
在量子物理学中，一个带有“态”的量子“粘贴”在一起时，所产生的粘贴状态有时会被称为“幺正哈密顿”和“量子测量”。
幺正哈密顿的作用是在某些情况下保证保持量子纠缠的状态，使得这种纠缠能够被更好地利用。
两Jaynes-Cummings原子间的纠缠动力学和转移特性（英文）
两Jaynes-Cummings原子间的纠缠动力学和转移特性（英
文）
廖庆洪;刘志伟;袁硕;刘欣;张旗
【期刊名称】《光子学报》
【年(卷),期】2016(0)3
【摘要】采用两种不同的纠缠度量方法(并发度和负值度),研究了两Jaynes-Cummings原子之间的纠缠演化以及各子系统之间的纠缠转移,分析了两原子之间初始纠缠度对纠缠的影响.结果表明纠缠的幅值依赖于初始纠缠度,而解纠缠时间长度与初始纠缠度无关.制备了两个腔场之间的最大纠缠态,数值分析显示两原子之间的初始纠缠流入了其它各个子系统,导致演化过程中的纠缠突然死亡和纠缠突然产生现象.
【总页数】8页(P70-77)
【关键词】量子光学;量子信息;量子纠缠;纠缠突然死亡;纠缠突然产生;并发度;负值度
【作者】廖庆洪;刘志伟;袁硕;刘欣;张旗
【作者单位】南昌大学电子信息工程系
【正文语种】中文
【中图分类】O431.2
【相关文献】
1.非线性Jaynes-Cummings模型中原子与光场的纠缠特性 [J], 张立辉
2.双光子Jaynes-Cummings模型中运动原子与光场的纠缠特性 [J], 张春强;谢芳森
3.单模真空场中两个耦合二能级原子纠缠的时间演化特性(英文) [J], 张登玉;谢利军;唐世清;詹孝贵;高峰
4.耦合到马尔科夫和非马尔科夫环境下两相互作用原子系统纠缠动力学特性的研究[J], 廖庆洪;许娟;鄢秋荣;刘晔;陈桉
5.耗散腔场中两个Λ型原子的纠缠特性(英文) [J], 赖振讲;贺树芳;刘宝平
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量子力学中的相干态与纠缠态
量子力学中的相干态与纠缠态相干态和纠缠态是量子力学中重要的概念，它们在研究和应用量子系统时起着关键的作用。
相干态描述的是一个量子系统内部的相干性质，而纠缠态则涉及到多个量子系统之间的关联。
本文将就相干态和纠缠态的概念、性质以及应用进行论述。
一、相干态相干态是指在一个量子系统内部，不同量子态之间存在一定的相位关系，从而呈现出干涉现象的态。
相干态在光学等领域得到了广泛的应用，也是量子计算中重要的资源。
在光学中，一个典型的相干态是辐射光。
光的相干性是指光的峰值和谷值之间存在一定的相位关系，可以产生干涉现象。
例如Young的双缝干涉实验，只有当光线相干时才能观察到干涉条纹。
在量子力学中，我们可以使用激光来实现相干态。
激光光子的波函数是一个相干态，具有确定的相位关系。
通过合适的混合技术，可以制备出具有特定相干性质的量子态。
相干态在量子计算中具有重要的作用。
比如量子比特之间的纠缠可以通过相干态实现。
此外，相干态还广泛应用于量子测量、量子通信等领域。
二、纠缠态纠缠态是指多个量子系统之间通过非局域方式相互联系的态。
纠缠态的出现违背了经典物理学的直觉，但已被实验证实，并成为量子信息科学的重要研究对象。
在量子力学中，纠缠态的存在使得两个或多个量子比特之间的状态不可分辨。
当一个系统处于纠缠态时，对该系统的观测操作将会对其纠缠伙伴产生瞬时的相关性。
这种相关性在量子通信、量子隐形传态和量子计算等领域有着重要的应用。
一个典型的例子是量子纠缠的EPR（Einstein-Podolsky-Rosen）纠缠态。
EPR纠缠态是指两个自旋相反的粒子之间存在的纠缠关系。
当一个粒子的自旋态被测量时，另一个粒子的自旋态也会立即塌缩到相反的状态。
纠缠态在量子通信中的应用是量子密钥分发（Quantum Key Distribution，QKD）。
通过纠缠态的特殊性质，两个远距离通信的终端可以安全地分发密钥。
由于纠缠态的特殊性质，任何对其进行窃听的行为都会被立即检测到，并且通信中传输的信息可以保持机密性。
真正量子纠缠的检测与度量
摘要量子信息是量子力学中量子系统状态所带有的物理信息，量子纠缠态是量子信息理论中最主要的物理资源.本文主要研究了真正多体量子纠缠的检测与度量.首先介绍了量子纠缠与量子信息的关系及国内外的发展背景与现状.其次是基础知识，介绍了一些数学与物理的基本概念，如矩阵分解、密度矩阵、量子纠缠与真正多体量子纠缠的定义、一些经典的量子纠缠判据、用Bloch表示构造关联张量以及concurrence的定义和下界等.然后文中用密度矩阵的Bloch表示、密度矩阵部分转置、重排研究了真正多体纠缠的判定以及真正多体并发度的估计，通过分析Bloch向量的2范数、密度矩阵部分转置和PPT重排后的迹范数与真正纠缠的关系给出了真正多体纠缠的判据,并进一步得到了真正多体纠缠并发度分析的下界.最后文章分析对比了相关结果和一些已有的真正多体纠缠判据，用具体例子的数值实验说明我们得到的判据和真正多体纠缠的并发度下界是有效的，与已有的结论相比，我们得到的结果能识别更多的真正多体纠缠态，对于真正纠缠并发度，我们得到的下界大于已有的相关结果.关键词：真正量子纠缠，可分性，真正纠缠并发度The detection and measurement of genuinequantum entanglementJia Lingxia(Mathematics Engineering)Directed by Associate Prof.Li MingAbstractQuantum information is the physical information taking by quantum system states in quantum mechanics.Quantum entanglement is a most important kind of physical resource in quantum information theory.This paper mainly studies the detection and some measurements of genuine tripartite quantum entanglement.Firstly,the relationship between quantum entanglement and quantum information,the development background and current situation at home and abroad are introduced.The second part of the paper introduces some basic concepts of mathematics and physics, such as matrix decomposition,density matrix,quantum entanglement the definition of genuine tripartite quantum entanglement,some classical quantum entanglement criteria,the construction of correlation tensors with Bloch representation the definition and the lower bound of concurrence,etc.The third part of the thesis studies the genuine tripartite entanglement determination and the estimation of genuine tripartite concurrence by using the Bloch representation,the partial transposition and rearrangement of the density matrix.We analied the2norm of the Bloch vector and density matrix partial transposition and PPT rearrangement.The relationship between the trace norm and the genuine entanglement,we gives a criterion for genuine tripartite entanglement and further obtains the analytical lower bound of the genuine tripartite entanglement.The last part of the thesis analyzes some classical genuine tripartite entanglement ing numerical examples of specific examples,we show that our criterion and the lower bounds of genuine tripartite entanglement concurrence are valid,that is,our criteria can identify more genuine tripartite entanglement and the lower bound of the true degree of concurrency we obtain is larger than the existing related results.Key words:genuine quantum entanglement，separability，GME concurrence目录第一章绪论 (1)1.1量子纠缠简介 (1)1.2国内外研究现状 (2)1.3研究进展及研究结果 (2)第二章基础知识 (4)2.1矩阵分解 (4)2.1.1谱分解 (4)2.1.2奇异值分解 (4)2.2密度矩阵 (4)2.3量子态的Bloch表示 (6)2.4量子纠缠的定义 (7)2.5量子纠缠的判定 (9)2.5.1利用PPT判据检测量子纠缠 (9)2.5.2利用矩阵重排判据检测量子纠缠 (10)2.5.3利用Bloch表示检测量子纠缠 (10)2.6Concurrence (11)2.6.1量子态concurrence的定义 (11)2.6.2量子态concurrence的下界 (13)第三章真正量子纠缠的检测与度量 (16)3.1真正量子纠缠的检测 (16)3.2真正量子纠缠的度量 (19)第四章算例 (24)总结与展望 (28)参考文献 (29)攻读硕士学位期间的科研情况 (33)致谢 (34)中国石油大学（华东）硕士学位论文第一章绪论在量子力学中，量子信息是量子系统“状态”带有的物理信息.通过量子系统的相关性质（如量子的可分性与纠缠性、波粒二象性、不确定性等），将各种数据资料编码成可利用的处理和分析的信息，进行运算及传输信息的崭新的信息方式.其中，量子纠缠是一种区别与经典物理学的量子力学现象，并且它也是是量子信息科学领域中至关重要的物理资源.本章首先介绍了量子纠缠的概念及发展过程，随后阐述量子纠缠研究背景及意义，最后综述该领域的一些研究进展及结果.1.1量子纠缠简介1932年,V on Neumann为非相对论量子理论描述世界奠定了基础.后来Einstein，Podolsky，Rosen以及Schr o dinger第一次认识到量子力学的这种诡异现象.这种量子态的特别之处就在于,在任何条件下,它都不可以被分解成两个子系统状态的张量积形式,这就是量子纠缠的定义.量子纠缠在量子信息[1]与量子计算中都是重要的组成部分.在当今快速发展的信息时代,量子信息有望成为第四次工业革命,因此量子纠缠成为极其重要的资源而且它在量子信息应用方面有着重要的作用.比如利用量子比特共享自身状态,创造出一种超级叠加的量子并行计算、通过传输一个量子比特而传输两个比特的经典信息的量子密集编码[2]、区别与经典信息的量子态携带量子信息进行“超时空传输”的量子隐形传态[3,4]、量子秘钥分发等等,这些应用的实现都需要借助于量子纠缠.然而对于量子纠缠态的研究存在一定的难度,想要完全了解量子纠缠的数学和物理特点还需要很多学者为其做出坚持不懈的努力.随着研究的深入,人们发现量子纠缠并不是使量子计算机超越经典计算机的完全原因.1998年，Knill和Laamme提出了一个量子计算模型[5],在这个模型中有n+1个量子比特,其中n个处在极大混合态,而有一个始终与另外n个是可分的,也就是没有纠缠的,并且这个计算模型能够完成比任何经典计算机指数加速的量子运算.这启发了人们研究量子理论中的各种纠缠度量的存在和作用问题.对于两体纯态系统中的研究得到了相对简单且重要的结果,但是,由于局限性的存在,对于多体混合态而言,我们还没有弄清楚它的本质.最基础的,给定一个多体量子混合态,怎么判断它具有的特性?是可分的还是纠缠的?更深层次的,量子态的纠缠程度怎么来度量?退一步来讲,两体系统中量子concurrence的计算,多体系统中Bloch对量子态的刻画和度量等等,很多问题都需要第一章绪论更加深入的研究.描述多种纠缠态之间的定量可比关系是对其本质的探索.因此，在量子信息理论与应用中,量子纠缠通常被作为量子力学的关键“信息源”.纠缠度量最初的想法与信息交流的可用性[6]与纠缠度量的关系至关紧密.对于较为简单的两体量子系统,学者们已经研究出了一些经典的纠缠度量,例如,子系统约化密度矩阵的冯诺依曼熵、生成纠缠、concurrence等等.文献[7]中Wootters给出了两个量子比特系统的EOF和concurrence的较为简洁且计算量相对较小计算公式，但是对于多体量子系统而言,其子系统维数的增加也会导致EOF和concurrence的计算复杂且困难.到现在为止,只能研究出一些特殊的对称量子态EOF和concurrence的计算公式[8].对于一般的高维数和多体量子态,我们只能研究出concurrence的上下界,来估计两体高维量子态或者多体情形量子态的纠缠度.1.2国内外研究现状量子技术最前沿的两个应用方向就是量子计算和量子通信,不难看出,我国青睐量子通信技术,而美国更倾向于量子计算技术.1993年美国IBM研究人员已经开始研究量子通信技术,欧洲也成立了以英国、法国、意大利等国在内的量子信息物理学研究网.2018年3月,谷歌发布全球首个72量子芯片,如今各大科技公司都将量子计算机视为计算的下一个重大突破,量子计算机可以更快的运行某些算法.在过去的三十多年,我国量子领域的相关技术从最初的起步摸索,到目前为止已经走到了世界的前沿,掌握了世界较为先进的尖端技术.在国内,比较早起步而且系统全面研究量子信息（重点是量子纠缠）理论的有安徽合肥市的中国科技大学、中国科学院的物理所和北京的首都师范大学数学系等.这些学者们已经取得了一些很有价值的应用成果,包括成功研制出量子密钥分配终端一体机、千兆量子安全网关、量子交换机等量子产品；2013年中国量子通信已在潜艇深海实验中取得成功；2016年8月16号，世界首颗量子科学试验卫星“墨子号”在酒泉成功发射升空；2017年9月29日中国科学院举行新闻发布会,宣布世界首条量子保密通信干线“京沪干线”正式开通等,这些都标志着我国对量子信息的科学研究又迈出重要一步.1.3研究进展及研究结果量子纠缠态不仅在量子力学中发挥着至关重要的作用,而且在量子计算和量子通讯中国石油大学（华东）硕士学位论文技术中起着无可替代的作用.刘坤在他的论文[9]中系统全面的介绍了量子纠缠态的特性,从他的定义、一般常见的纠缠态及纠缠度量进行了说明.Peres提出了PPT判据：如果量子态可分,则对于给定的密度矩阵,它的部分转置为半正定的,否则纠缠.Rungta给出了concurrence的定义,concurrence可以度量量子纠缠程度的强弱.Rudolph提出了重排判据：如果量子态可分,则矩阵的迹范数必定小于或等于1,否则量子态是纠缠的.另外,李晓宇在他的博士论文中研究了纠缠态在量子信息处理中的应用,包括存储和提取量子信息,隐藏量子信息以及量子密钥分配等.他对量子信息存储和提取做了一般性的讨论,利用非最大纠缠态的量子信息隐藏方案和正交直积态的量子信息隐藏方案已经被成功提出.真正多体纠缠（GME）是量子纠缠中的一种重要纠缠类型,在比较两体纠缠[10]的量子任务中具有明显的优势,它也是组成测量量子计算的基本成分,而且在多种量子通信协议[11]中也是很有效的,其中包括一些通用的度量任务中的秘密共享[12,13]、极端自旋压缩器[14]和高灵敏度的多体量子网[15,16]等.然而检测和测量量子纠缠是非常困难的.人们推导出了一系列线性和非线性[17,18]、一般的并发度[19,20]和Bell不等式[21]等定理来证明真正多体纠缠,并且开发出了描述半正定的程序,尽管如此，GME问题仍然没有得到圆满的解决,用量子态的标准张量积和Bloch表示,来刻画两体和多体量子可分性的条件在文献[22,23]中有介绍.人们在检测真正的多体纠缠的框架和多体量子系统的非完全可分性中引入了任意维数.在文献[24]中已经证明了相关张量与最大违反的关系,在文献[25]中给出贝尔不等式和并发度的关系.由量子信息任务的不同,能得出不同的纠缠度量可以度量各种不同类型的纠缠.总的来说,两体量子态纠缠度量的研究理论已经基本成形,但是还缺少可操作性的纠缠度量.多体量子态的纠缠度量,相对来讲显得特别棘手.第二章基础知识第二章基础知识线性代数是研究量子纠缠需要用到的最重要的数学知识之一,想要研究量子纠缠问题就要精确掌握这些知识,尤其是矩阵的分解和密度矩阵等基础知识必须要要熟练的掌握.量子的可分性与纠缠性也在本章有了详细的介绍,除此之外还介绍了一些著名的纠缠判据包括PPT 判据、矩阵重排判据和真正纠缠判据及量子度量需要用到的传统的Bloch 和concurrence 的概念特性等知识.2.1矩阵的分解2.1.1谱分解任意一个满足M M MM ++=的线性算子都能写成如下形式:,+Λ=U U M 其中U 为幺正算子，Λ为实对角矩阵.2.1.2奇异值分解线性算子M 都能通过线性变换转化成如下形式:,+∑=W V M ∑是对角矩阵，V 和W 是幺正矩阵，∑的对角元叫做M 的奇异值，也是M M +的特征值的正平方根.此外定义[]∑==+i ii KF MM Tr Mσ并且用它表示矩阵M 的迹范数，用[]+=MM Tr M HS 表示矩阵M 的Frobenius 范数或者Hilbert-Schmidt 范数.2.2密度矩阵定义2.2.1密度矩阵在量子力学中，系统可能处于量子纯态，也可能处于多个量子纯态以某种概率的叠加，在数学上，Hilbert 空间的向量可以描述量子纯态，由于向量的任意叠加还是向量，所以要描述多体量子系统就需要引进密度矩阵的概念.设量子以i p 概率处在一组量子纯态中的某一个,其中i 是一个指标，则{},i i p ψ就叫做一个纯态系综,定义密度矩阵为:中国石油大学（华东）硕士学位论文ρψψ=∑,i i i i p 密度矩阵也被称为密度算子.密度矩阵的特点:矩阵ρ称为一个有系综分解{ψi ip 的密度算子，当且仅当它满足如下条件时:a)迹条件:ρ的迹为一.b)正定性:ρ是一个正算子，即对任意,ψ0.ψρψ≥定义2.2.2约化密度矩阵[26,27]量子信息常用的方法是在两个量子系统A 和B 复合而成的大系统中研究量子态.设Hilbert 空间A H 和B H 表示维数为A d 和B d 的系统A 和系统B 的量子态空间，A H 和B H 的张量积构成维数为A B d d 的复合量子系统AB H ，即此系统中的量子态AB ρ都能用迹为一的正定算子在AB H 来刻画.A和B是复合量子系统，AB ρ是的一个量子态AB H ，则对应子系统()A B H H 的约化密度矩阵为(),,A B AB B A AB Tr Tr ρρρρ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦其中()B A Tr Tr 是子系统()B A H H 的偏迹.偏迹运算定义为:()⎡⎤⎡⎤⊗=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⊗=⎣⎦⎣⎦1212121212121212,,B A Tr a a b b Tr b b a Tra b b Tr a a b b 且1a 和2a 是子系统A H 中的任意的两个向量，1b 和2b 是子系统B H 中的任意的两个向量.定义2.2.3W 态、Bell 态、GHZ 态在量子信息研究中最广泛应用的几类纠缠态是W 态、Bell 态、GHZ 态等.下面对此做一简单介绍.（1）两粒子体系的量子纠缠中，存在有如下四个量子态：(),100121B A B A AB ±=±ψ第二章基础知识(),001121B A B A AB ±=±ϕ其中AB ψ-叫做单重态，其他三个叫做三重态.这四个量子态构成一组两粒子系统的四维Hilbert 空间的正交完备基，其称作Bell 基(也称为Bell 态).Bell 基是有最大纠缠度的两量子位纯态，常被称为最大纠缠态，即不能再通过任何的方式增大它的纠缠度.（2）纠缠态还可以存在于多体系统中，下面是GHZ 态的形式：(),00011121+=ψGHZ 态具有和Bell 态类似的性质，也就是当检测出其中一个粒子的态是1态，则其他两个粒子一定在1态上，若测得其中一个粒子的态为0态时，另外两个粒子必定处在0态上.（3）三粒子纠缠态中还有一种区别于GHZ 态的纠缠形式：()，10001000131++=ψ称为W 态.W 态与GHZ 态不能通过某种操作相互转换.2.3量子态的Bloch 表示[28]D 维Hilbert 空间的厄米算子都可以用特殊酉群SU(d)的生成元表示.SU(d)可用转换投影算子定义：,k j Pjk =其中,,,1,d i i ⋅⋅⋅=是d H 中的正交本征态.假设），（）（1,1221112++-++++-=l l ll l lP P P P l l ω，kj jk jk P P +=μ，)(kj jk jk P P i -=υ其中.1,11d k j d l ≤≤≤-≤≤可得1-2d 个算子，且这些算子满足[][],2,0ij j i i Tr Tr δλλλ==中国石油大学（华东）硕士学位论文既而生成了SU(d)，其中i λ属于1-2d 个算子.任何d H 中的厄米算子ρ都能用SU(d)生成元表示为∑-=+=112211d j jj r I d λρ的形式，其中I 是单位矩阵，.),,,(112122--∈=d d R r r r r r 叫做Bloch 向量.设d d H H 21⊗∈ρ是一个两体量子态，可以用关联张量表示如下：12122111(),24i i j j ij i j I I t I t I td d dρλλλλ=⊗+⊗+⊗+⊗∑∑∑设d d d H H H 321⊗⊗∈ρ是一个三体量子态，可以用关联张量表示如下：123312132312311()21()41,8i i j j k k ij i j ik i k jk j k ijk i j k I I I t I I t I I t I I d d t I t I t I d t ρλλλλλλλλλλλλ=⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗∑∑∑∑∑∑∑),(),(21I I tr t I I tr t j j i i ⊗⊗=⊗⊗=λρρλ),(),(123I tr t I I tr t j i ij k k ⊗⊗=⊗⊗=λρλλρ),(),(2313k j jk k i ik I tr t I tr t λλρλρλ⊗⊗=⊗⊗=).(123k j i ijk tr t λλρλ⊗⊗=在下面，我们设)23()13()12()3()2()1(T T T T T T ，，，，，和)123(T 为由231312321,,,,,jk ik ij k j i t t t t t t 和⋅⋅⋅=,2,1,,,123k j i t ijk ，12-d 构成的向量，称为关联向量.2.4量子纠缠的定义量子纠缠是量子力学区别于经典物理的，存在于多量子系统中的奇特现象.量子信息最核心的部分就是量子纠缠.无论某些粒子间相差了多远的距离，某一个粒子的状态都与其他粒子的状态是相互关联的，这种物理现象就叫做量子纠缠.定义2.4.1纯态的可分性对于两体量子纯态B A AB H H ⊗∈ρ是可分的，当且仅当它可以写成BA AB ρρρ⊗=第二章基础知识的形式，其中A ρ和B ρ为约化密度矩阵.这等价于,B B A A AB φφψψρ⊗=其中.,B B A A H H ∈∈φψ相反，如果一个量子态不能写成上式形式就是纠缠态.对于多体量子纯态N N H H H ⊗⋅⋅⋅⊗⊗∈⋅⋅⋅2112ρ是可分的，当且仅当它可以写成,2112N N ρρρρ⊗⋅⋅⋅⊗⊗=⋅⋅⋅的形式，其中1ρ和N ρρ,...,2相应于各个子系统中的约化密度矩阵.这个条件等价于,221112N N N μμφφψψρ⊗⋅⋅⋅⊗⊗=⋅⋅⋅其中N N H H ∈⋅⋅⋅∈μψ,,11为每个子系统中规一化的纯态.相反,如果一个量子态不能写成上式形式就是纠缠态.定义2.4.2混合态的可分性对于两体量子混合态B A AB H H ⊗∈ρ是可分的，当且仅当它可以写成,iB i A i i AB p ρρρ⊗=∑的形式，其中A i ρ和B i ρ相应于子系统A H 和B H 的约化密度矩阵;且需要满足,1,0∑=>ii i p p 这个条件等价于,B i B i A i iA i i AB p φφψψρ⊗=∑其中∑=>iii pp .1,0B i A i φψ,为子系统中规一化的纯态，而且这些纯态不一定是正交的.反过来说，假如一个量子态不能写成上式形式就是纠缠态.对于多体量子态N N H H H ⊗⋅⋅⋅⊗⊗∈⋅⋅⋅2112ρ是完全可分的，当且仅当它可以表示成如下形式:∑⊗⊗⊗=i2112,N i i i i N p ρρρρ 其中N i i ρρ,...,1为相应于子系统N H H ,,1⋅⋅⋅的约化密度矩阵，且需要满足，∑=>ii i p p 1,0中国石油大学（华东）硕士学位论文这个条件等价于∑⊗⊗⊗=i221112,N i N i i i i i i N p μμφφψψρ其中N i i i μφψ,,21⋅⋅⋅为子系统N H H ,,1⋅⋅⋅中的纯态,且需要满足，∑=>ii i p p 1,0相反，如果一个量子态不能写成上式形式就是纠缠态.定义2.4.3真正多体量子纠缠一个纯态N N N H H ⊗⋅⋅⋅⊗∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅1,,1,,1ϕρ两体可分，如果N ,,1⋅⋅⋅ρ可以写成如下形式：,,,1B A N ϕϕϕ⊗=⋅⋅⋅其中,1k j j A H H ⊗⋅⋅⋅⊗∈ϕ,1N k j j B H H ⊗⋅⋅⋅⊗∈+ϕ{}N k k j j j j ,,,,11⋅⋅⋅⋅⋅⋅+为{}N ,,1⋅⋅⋅的任意排列，否则N ，，⋅⋅⋅1ρ为真正纠缠.一个混合态N ,,1⋅⋅⋅ρ两体可分，如果N ,,1⋅⋅⋅ρ可以写成如下形式：,,,1iiii B A ii N q ρρρ⊗=∑⋅⋅⋅其中{}{}{},,,1,,,1,,,1N B A N B N A i i i i ⋅⋅⋅=⋃⋅⋅⋅⊂⋅⋅⋅⊂，1=∑iiq否则N ,,1⋅⋅⋅ρ为真正纠缠.2.5量子纠缠的检测2.5.1利用PPT 判据[29]检测量子纠缠PPT(partial positive transposition)判据是Peres 在1996年给出的一个很强的纠缠判据，也称为Peres 判据.它可以识别很多混合态的纠缠.PPT 判据指出，对任意两体可分的量子态的密度矩阵进行部分转置，得到的仍是一个正定的密度矩阵.如果AB ρ可分，则下面定义的矩阵，μρννρμn m n m AB T AB B≡仍是一个密度算子，即B TAB ρ仍然是一个量子态(同理定义正定矩阵AT AB ρ),部分转置的算子B T 对应于对第二个子系统进行转置.后来，Horodecki 等人[30]证明了此判据是2*2和2*3系统以及某些特殊的高维量子体系的纠缠性的充分必要条件.此外，PPT 判据对于一般的高维量子态而言，纠缠性只第二章基础知识是一个必要条件.2.5.2利用矩阵重排判据[31,32]检测量子纠缠另外一个很强的纠缠判据是基于乘积态的线性条件得到的.这个判据被称之为矩阵重排判据或者computable cross norm(CCN)判据，它独立于PPT 判据.该判据可表示为如下形式:设AB ρ是可分的量子态，则定义(),,,jl ik kl ij R ρρ=矩阵()ρR 的迹范数满足小于或等于1，即().1≤KF R ρ更为重要的是，一些PPT 纠缠态可以用矩阵重排判据检测.它还可以用来构造一些不可分解的量子态.另外，concurrence 的下界也可以由这个判据给出.2.5.3利用Bloch 表示检测量子纠缠[33]李明研究了关于任意维数的多体量子态的纠缠判据.对于粒子量子态，任意的量子态12d d A BH H ρ∈⊗都可以通过Bloch 表示为，∑∑∑∑=-===⊗+⊗+⊗+⊗=1-d 1k 1d 1l 1-d 1l 1-d 1k 21212222211l k kl l l k k t I s I r I I d d λλλλρ这里12d d A B H ,H 为维数分别为21,d d 的向量空间，()(),21,2112l l k k I Tr d s I Tr d r λρρλ⊗=⊗=()，l k kl Tr t λρλ⊗=41T 为元素是kl t 的矩阵，矩阵()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------11111111111121222121212222d 1d d d d d d t t r t t r s s d T如果12d d A BH H ρ∈⊗是可分的，那么对于任意的2212d d ⊗矩阵M 和()()221211d d -⊗-矩阵N 我们可以得到中国石油大学（华东）硕士学位论文()()(),222max21222121M d d d d d dT m klkl kl σ+-+-≤∑()()()，N d d d d t n klkl kl max 2121411σ--≤∑成立，这里的()()N M max max σσ，是矩阵N M ,的最大奇异值.以此类推，可以推广到N 粒子量子系统的量子纠缠检测.2.6Concurrence [34]一个好的纠缠测度E ，往往需要满足下列条件:(1)对可分态.0)(,=ρρE (2)正规化条件:两体d 维系统的量子最大纠缠态的纠缠度满足:.log )(d P E d =+(3)在经典通信(LOCC)操作和局域下纠缠度不增加:.)())((ρρE E LOCC ≤Λ(4)连续性:即当0→-σρ时，.0)()(→-σρE E (5)可加性:n n nE E ⊗⊗=ρρρ),()(表示n 个量子态ρ的张量积.(6)次可加性:).()()(σρσρE E E +≤⊗(7)凸性:)()1()())1((σλρλσλλρE E E -+≤-+其中.10<<λConcurrence 作为可以量化纠缠的度量，满足上述的一些性质，对于两个量子比特系统虽然还缺少可操作性的纠缠度量但是其研究理论已经基本成形.Wootters 已经在文献给出了两个量子比特系统的concurrence 的计算公式[35].多体量子态的纠缠度量，虽然有些棘手但是也形成了一些理论.Sarandy 指出concurrence 对于描述多体量子系统中各种相互作用下[36]的变换中起到至关重要的作用[37].而且，利用concurrence 的上下界还可以对形成纠缠度[38]进行估计[39].因为形成纠缠度量化了制备一个量子态需要的最少物理资源[40]，这是非常关键的.综上，给出精确的concurrence 的值便于更好地理解相应的物理系统.2.6.1量子态concurrence 的定义[41]第二章基础知识设)(B A H H 为)(N M 维的复向量空间，它的一组正交基,1,,(|,1,,)i i M j j N =⋅⋅⋅〉=⋅⋅⋅复合空间A B H ⊗H中的一个纯态能写成M N11||,ij i j a i j ψ===∑∑〉⊗〉且系数ij a C ∈满足11 1.M N i j ij ij a a *==∑∑=关于两个量子比特的复合系统，量子纯态ψ的concurrence 定义为11221221(|)|2,C a a a a ψψψ〉=〈〉=- 其中0y o i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭是Pauli 矩阵，||,|y y ψσσψψ**〉=⊗〉〉 为ψ的复共轭.设ρ为两个量子比特的混合态，则concurrence 定义为它的系综分解中任意可能的纯态平均值的最小值，即()inf (|)i i iC p C ρψ=∑〉，其中||i i i i p ρψψ=∑〉〈.在文献[42]中可以得到，对两个量子比特的混合态ρ，前面定义的形成纠缠度)(ρE 与concurrence 有很密切的联系，即:其中22()log (1)log (1).h x x x x x =----作者还对于以上定义的concurrence 给出了较为简单的计算公式，即{}1234()max ,0,C ρλλλλ=---其中i λ降序排列的本征值，()().y y y y ρσσρσσ=⊗⊗ 对维数为M 和N (这里设M N <)的两体量子纯态|ψ〉，文献[44]给出了concurrence 的定义:()h ρE =中国石油大学（华东）硕士学位论文(|)C ψ〉=其中[]|.A r ρψψ=T 〈〉设ρ为A B H ⊗H 中的一个量子态.Concurrence 的定义能推广到混合态的普遍情形:{}{},|()min ():||,i i i i i i i p iiC p C p ψρψρψψ〉=∑=∑〉〈Concurrence 的定义还能推广到多体量子态.假设⊗⊗∈21H H ψ，N H ⊗⋅⋅⋅N i d H i i ,,1,dim ⋅⋅⋅==为一个N 体量子纯态，文献[44]给出了ψ的concurrence 定义:,)()22(2)(221∑--=-ααρψψTr C N NN 其中αρ为所有不同的约化密度矩阵.设)(i i N i i C p ψψρ∑=为多体量子系统N H H H ⊗⋅⋅⋅⊗⊗21中的混合量子态，concurrence 同样由系综的Convex roof 给出:{},|()min().i i iNi i p iC p Cψρψψ〉=∑2.6.2量子态concurrence 的下界[44]首先考虑三体量子态.设H 表示一个d 维的Hilbert 空间.量子系统H H H ⊗⊗中的任意一个纯态都能写成下面的形式:,1,,*1,,1,,=∈=∑∑==ijk dk j i ijk ijk dk j i ijk a a C a ijk a ψ它的concurrence 为⨯-=)1(6)(3d dC d ψ,)(∑-+-+-iqm pjk pqm ijk pjm iqk pqm ijk pqk ijm pqm ijka a a a a a a a a a a a或者写成[][][],))(3()1(6)(2322213ρρρψTr Tr Tr d d C d ++--=第二章基础知识其中[][][]ρρρρρρ123132231,,Tr Tr Tr ===为ψψρ=的约化密度矩阵.定义,)(,)(2|133|12pjm iqk pqm ijk pqk ijm pqm ijk a a a a C a a a a C -=-=ψψαβαβ,)(1|23iqm pjk pqm ijk a a a a C -=ψαβ其中,(2|133|12αβαβC C 或者)1|23αβC 中的α和β分别表示相应于子空间1，2和3(1，3和2或者2，3和1)的下指标.设N i i i L ⋅⋅⋅21表示为其对应于子系统N i i i ,,,21⋅⋅⋅的特殊正交群)(21N i i i d d d SO ⋅⋅⋅.从而对于三体量子纯态可以得到[],)))()1(6)(2*1|232*2|132*3|123∑++-=αβαβαβαβψψψψψψψS S S d d C d 且)(),(),(1231|232132|133123|12βααββααββααβL L S L L S L L S ⊗=⊗=⊗=.ρ是任意H H H ⊗⊗中的混合态，concurrence )(ρC 符合[],)())(())(())(()1(6)(22)1(2)1(21|2322|1323|12322ρρρρρταβαβαβαβC C C C d dd d d d ≤++-≡∑∑--其中)(3ρτ为)(2ρC 的下界，{},)4()3()2()1(,0max )(3|123|123|123|123|12αβαβαβαβαβλλλλρ---=C 3|123|123|123|12)4(,)3(,)2(,)1(αβαβαβαβλλλλ按照降序排列，并且是非厄米矩阵3|12~αβρρ的四个非零本征值的平方根，)(.~2|133|12*3|123|12ρρραβαβαβαβC S S =和)(1|23ραβC 的定义相似于)(3|12ραβC .对任何N 体量子态,H H H ⊗⊗∈ρconcurrence )(ρC 符合,)())(()1(2)(22ρρρταβαβC C d m d p PN ≤-≡∑∑其中)(ρτN 是)(2ρC 的下界，∑p表示对于所有可能取到的指标βα,的所有组合求和，{}4,3,2,1,)(,)4()3()2()1(,0max )(=---=i i C p p p p p p αβαβαβαβαβαβλλλλλρ按降序排列，为非厄米矩阵p αβρρ~的4个特征值的非负平方根，p p p S S αβαβαβρρ*~=.对于一个完全可分的多体量子态.0)(,=ρτρN 故0)(>ρτN 说明这个量子态一定包含了某种程度纠缠，可以通过下界中国石油大学（华东）硕士学位论文)(ρτN 识别量子纠缠,因此就有利于我们度量纠缠程度的强弱,得到有效的下界,进一步为量子真正纠缠并发度的研究作出贡献.第三章真正量子纠缠的检测与度量第三章真正量子纠缠的检测与度量目前为止,量子纠缠的研究结果并不理想,对于两体纯态,我们可以简单的判别它是可分态还是纠缠态,对于两体混合态仍有很多问题尚未解决.但是对于多体量子系统我们想判断一个量子态是可分态还是纠缠态就更困难了,因为对于一个量子态来说可能是真正的纠缠态,真正的两体可分态,真正的三体可分态等,本章将从Bloch 表示与concurrence 出发给出真正量子纠缠的检测与度量定理.3.1真正量子纠缠的检测定义3.1.1设k Mi k i k，∑==σ1是n n ⨯矩阵M 的范数，其中，n i i ,,2,1,⋅⋅⋅=σ是M 按降序排列的奇异值.KFnM M =是KF 范数.定义⋅是一个向量或者矩阵的迹范数.设21231,t t 和312t 分别为矩阵中的,)1(,,)1(,ijk k i d j ijk k j d i t t t t ==+-+-和,)1(,ijk j i d k t t =+-这里我们设:，)(31)(312321231kk k k T T T M ++=ρ),(31)(321T T T M ρρρρ++=).)()()((31)(123132231ρρρρR R R N ++=引理3.1.1设},,min{n m d =对一个两体量子态,Bmn A H H ϕ∈⊗有()AT dϕϕ≤和().AT A B R d ϕϕ≤证明由Schmidt分解，设di ii ϕ==∑其中.011≥=∑=i di i u u ，通过Cauchy-Schwarz 不等式计算得()22()((.AT A B iiR d d ϕϕϕϕ==≤=∑引理3.1.2如果一个三体量子纯态是两体可分的，则它满足：）（i如果这个态是完全可分的，则jlmkT ≤中国石油大学（华东）硕士学位论文）（ii 如果这个态在lm j是可分的，则jlmkT ≤）（iii 如果这个态在lm j是纠缠的，则jlmkT ≤证明我们将反复用,23,13,12,12,3,2,1,)1(222)()(=-≤=-≤lm dd T i d d T lm i [45]且对于任意矩阵都有，M k Mk≤则）（i如果这个态是完全可分的，则()()()()()()()()()()()().j j j l m l m l m jlmkT T T T T T T T T T =⊗=⊗=）（ii 如果这个态在lm j是可分的，则()()()()()()j j lm tlm jlmkkT T TTT==≤）（iii 如果这个态在lm j是纠缠的，则()()()()()()jl jl lm tm jlmkkkT TTTT=⊗=≤定理3.1.1设三体量子态.321123d d d H H H H ⊗⊗=∈ρ如果ρ是两体可分的，那么我们可以得到：,321)}(),(max{dN M +≤ρρ其等价于，如果,321)}(),(max{dN M +>ρρ则ρ是GME .。
量子信息和量子纠缠理论
0, E ( ) H 2 [ ()] [1 ()]log2 (m ห้องสมุดไป่ตู้ 1), log2 (m 1) ( m) log m, 2 m2
verschrä nkt entangled
1 01 10 2
Alice
Bob
Entanglement enhanced
1 qubit
2 bit
1 qubit
Alice
Bob
Entanglement enhanced
Alice
Bob
1 01 10 2
Entanglement enhanced
Separable! Separable！
Separability of mixed states: no general criteria a) Peres (PPT) criterion:
Peres PRL 77, 1413 (1996)
2x2, 2x3:
PPT
Separable
Horodeckis, Phys. Lett. A 223,1 (1996)
Copier
Alice
Eve
Bob
No-Cloning Copier:
Quantum information is a new kind of information
eavesdropping on quantum information
?
Copier
Alice
Eve
Bob
Detected
eavesdropping on quantum information
14 24 34 44
什么是量子纠缠和量子退相干？这个比喻太绝了！
什么是量子纠缠和量子退相干？这个比喻太绝了！God does not play dice with the universe.“无论如何，我都确信，上帝不会掷骰子。
”——爱因斯坦1905年，爱因斯坦使用量子理论对光电效应进行了全面的解释，量子力学由此迎来了其黄金时代，虽然因为这个成就获得了1921年的诺贝尔物理学奖，但爱因斯坦对量子理论是持怀疑态度的，尤其是在哥本哈根解释出来后，爱因斯坦更是表现出强烈的批判态度。
于是也就有了上面的言论。
但出人意料的是，对量子力学的批判反而成就了今天对量子计算至关重要的理论：量子纠缠。
量子纠缠的由来及证实1）EPR佯谬哥本哈根解释出来之后，爱因斯坦认为这种解释有点“实证论”的感觉，而爱因斯坦是主张“实在论”的，这是一种哲学观点上的分歧，用爱因斯坦的经典问题“月亮在没人看时存在吗”来阐述这两种哲学观点之间的差别就是：实证论：月亮在没人看时不存在那里，只有看时她才存在；实在论：月亮无论有没有人看，她都一直在那里；在某种程度上，物理学尤其是量子力学的纷争，很大程度上是哲学的纷争，于是，爱因斯坦决定提出一个佯谬来批判哥本哈根解释。
1935年，爱因斯坦联合波多尔斯基和罗森，发表了论文《能认为量子力学对物理实在的描述是完全的吗》对量子力学进行批判，这个批判后来以这三位科学家名字首字母命名为EPR佯谬。
佯谬就是悖论，意思就是要提出一个假设，并推导出自相矛盾的结果来反击对方。
大家听过的比较有名的悖论如祖母悖论，就是一种佯谬，假如你旅行到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死，就会产生一种悖论：你回到过去杀了你年轻的祖母，祖母死了就没有父亲，没有父亲也不会有你，那么是谁杀了祖母呢？EPR佯谬的主要内容是(引用来自物理学家也是知乎大V傅渥成《宇宙从何而来》的阐述)：在量子力学中，由于存在着不确定关系，我们无法同时确定一个粒子的位置和动量。
但如果我们研究两个状态相互影响的粒子，就有可能构造出一种有趣的情况，例如两个粒子（记作A和B）的位置之差和动量之和可以同时确定。
量子纠缠及量子关联在光子晶体中的演化
南昌大学硕士学位论文量子纠缠及量子关联在光子晶体中的演化姓名：***申请学位级别：硕士专业：光学指导教师：***20120611摘要摘要在过去的几十年中，量子信息学己经发展成为一个非常活跃的研究领域。
作为量子力学最吸引入的特性之一，量子纠缠和量子关联在量子信息处理中起着关键性的作用，它是操控、存储和传递量子信息不可替代的重要资源，同时还是区别于量子力学和经典力学的本质特征。
目前，人们已经提出了多种纠缠的度量方法，包括两体和多体纠缠的度量，并发现量子系统与周围环境存在着不可避免的相互作用，正是这种相互作用导致了量子系统的退相于和能量耗散。
随着入们对量子关联的不断深入研究，发现量子纠缠并不一定包含全部的量子关联，比如，在可分离态中也可能含有非经典关联，这就意味着纠缠为零的可分态中也可能含有非零的量子关联，那么该如何去定义这一部分量子关联又成为人们所关注的热点，ＱｕａｎｔｕｍＤｉｓｃｏｒｄ是一种通过测量得到的量子关联度量，它包含了两个相互作用的量子体系之间所有的量子信息。
本文通过一个改进的共轭梯度法，研究了被分别嵌入三个相互独立的光子晶体中的三量子比特系统的残留纠缠随时间的演化。
我们发现，在各向同性光子晶体中，由于环境引发的退相干作用和记忆效应，纠缠会出现突然死亡（ＥＳＤ－－ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔｓｕｄｄｅｎｄｅａｔｈ）和突然产生（ＥＳＢ－－ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔｓｕｄｄｅｎｂｉｒｔｈ）现象，而在各向异性光子晶体中，量子比特的跃迁频率在带边附近时，残留纠缠能够维持相当长的一段时间，但是一旦纠缠消亡，在有限的时间里它将不再产生，即在各向异性光予晶体中不存在残留纠缠突然产生现象。
我们还发现，不管是在各向同性光子晶体中还是在各向异性光子晶体中，三体纠缠都要比丽体纠缠衰减的快，这就意味着在抵抗噪声环境方面多体纠缠比两体纠缠更加脆弱。
同时，我们还对这三量子比特中的两体子系统进行了分析，并分别计算了两体子系统ｃｏｎｃｕｒｒｅｎｃｅ和ｑｕａｎｔｕｍｄｉｓｃｏｒｄ的动态演化过程，并对它们做了一定的比较，发现不管在各向同性光子晶体中还是在个性异性光子晶体中，ｑｕａｎｔｕｍｄｉｓｃｏｒｄ中只能渐进地消亡，并且在纠缠为０的情况下，ｑｕａｎｔｕｍｄｉｓｃｏｒｄ仍然存在。
量子退相干与量子纠缠退相干
量子退相干与量子纠缠退相干量子力学是描述微观领域中粒子行为的理论，其中两个重要概念是量子退相干和量子纠缠退相干。
本文将探讨这两个概念的定义和性质，并讨论它们在量子信息科学和量子计算中的重要性。
1. 量子退相干量子退相干是指量子系统失去相干性质的现象。
在量子力学中，相干性是指系统的态能够保持定态震荡，不断在不同能级之间进行转换。
然而，由于量子系统与其周围环境的相互作用，这种定态震荡最终会衰减并消失。
量子退相干的过程由系统与环境之间的相互作用、测量和噪声引起。
量子退相干使得量子态的纯度减小，量子信息的可靠性下降。
在量子计算中，相干性是实现量子叠加和量子并行计算的基础，而量子退相干会导致计算结果的错误和不确定性增加。
因此，量子退相干是量子计算中的主要障碍之一，研究如何抑制和延长系统的退相干过程具有重要的意义。
2. 量子纠缠退相干量子纠缠是一种特殊的量子态，其中多个粒子之间存在非常强的相关性。
量子纠缠退相干是指量子纠缠态的相干性减弱或消失的过程。
由于量子系统与环境的相互作用，纠缠态在一段时间后会被破坏，从而导致量子信息的丢失。
量子纠缠退相干的过程对于量子通信和量子密钥分发等量子信息处理任务来说是致命的。
纠缠态的相干性决定了量子通信中的传输效率和安全性，而纠缠态的退相干会导致信息传输的错误和泄漏。
因此，研究如何保护和延长量子纠缠态的相干性对于实现可靠的量子通信和量子密钥分发至关重要。
3. 抑制和延长退相干的方法为了抑制和延长量子退相干和量子纠缠退相干的过程，科学家们提出了许多方法和技术。
其中一种常见的方法是通过量子纠错码来实现纠错和容错的效果。
量子纠错码可以通过冗余的方式来保护量子信息，从而提高系统的容错性能。
另一种方法是通过量子纠缠的制备和控制来抑制和恢复退相干过程。
研究人员通过对纠缠态的保护和增强，延长了纠缠态的相干时间。
同时，利用量子纠缠的分布性质和准周期控制的技术，科学家们还可以实现纠缠态的恢复和延长，从而有效抑制了量子退相干的过程。
量子力学中的测量问题与量子纠缠
量子力学中的测量问题与量子纠缠量子力学是描述微观世界的一种理论，在过去的几十年里发展迅速。
量子力学最令人困惑的一点是它所描述的系统似乎同时存在多种可能性，直到被观测或测量时才会确定。
而量子测量问题和量子纠缠则是量子力学中的两个核心概念，它们对于我们理解量子世界的本质起着重要的作用。
量子测量问题是指在量子力学中，当我们对一个量子系统进行测量时，我们所得到的结果并不是一个特定的数值，而是一系列可能的结果，并且每个结果出现的概率是不同的。
这与经典物理世界中我们所熟悉的测量方式有很大的不同。
在经典物理世界中，测量结果是能够唯一确定的，而在量子力学中，测量结果具有一定的不确定性。
例如，当我们测量一个电子的自旋时，量子力学的数学描述告诉我们，电子的自旋可能处于向上或向下的状态，以及两种状态的概率分布。
直到我们进行了实际的测量，电子的自旋状态才会被确定下来。
这种不确定性在量子力学中是无法避免的，它揭示了物质的微观本质的奇特性质。
量子纠缠是与量子测量问题紧密相关的概念。
在两个或多个量子系统纠缠在一起时，它们之间的状态变得相互依赖，无论它们远离多远，它们之间的信息是瞬时传递的。
这种纠缠现象被爱因斯坦称为“鬼魅般的遥远作用”，它是量子力学的一个重要特征。
量子纠缠的一个典型例子是双光子纠缠态。
当两个光子处于纠缠态时，它们的状态变成一种无法被单独描述的整体，即使将它们分开的很远，它们之间的状态依然是相互关联的。
这种非局域性是经典物理学无法解释的，却正是量子力学的重要特征之一。
量子纠缠还有一个有趣的性质，即所谓的“量子隐形传态”。
通过对一个纠缠系统的测量，我们可以在另一个纠缠系统上实现信息的传输，而这种传输是瞬时的，不受时间和空间的限制。
这种传输方式也被称为“量子隐形传态”，它是量子通信和量子计算中的重要组成部分。
通过量子纠缠和量子测量问题，我们可以看到量子世界与经典物理世界的巨大差异。
量子力学中的测量问题揭示了物质微观性质的不确定性，而量子纠缠则揭示了微观粒子之间的神奇联系。
量子力学中的量子测量和量子纠缠
量子力学中的量子测量和量子纠缠量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它的诞生不仅极大地推动了现代科学的发展，也改变了人们对于现实世界的认知。
在量子力学中，有两个关键的概念：量子测量和量子纠缠。
量子测量是量子力学中重要的基本操作之一。
当我们对一个量子系统进行测量时，它会塌缩到一个确定的状态上。
这个塌缩的结果是随机的，而且取决于我们选择的测量方式。
例如，对于某个粒子的自旋，我们可以选择在z轴方向测量其自旋向上还是向下。
无论自旋在测量前处于什么状态，测量结果只能是“向上”或者“向下”其中之一。
这种测量结果的随机性，并不是因为我们没有足够的信息来描述粒子的状态，而是因为在量子力学中，粒子在测量前并没有确定的状态。
实际上，粒子的状态是由一个复数表示的，称为波函数。
量子测量就是对波函数的塌缩，产生一个确定的结果。
量子纠缠是另一个令人惊叹的现象，也是量子力学的核心之一。
量子纠缠意味着两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联关系，使得它们之间的状态彼此依赖，无论它们之间的距离有多远。
让我们以一个简单的例子来说明量子纠缠。
假设有两个粒子A和B，它们可以处于自旋向上或者向下的状态。
根据量子力学的原理，它们的组合状态可以是：A向上B向下、A向下B向上、A向上B向上和A向下B向下。
这种叠加状态在测量前是存在的。
当我们对其中一个粒子进行自旋测量时，另一个粒子的状态也会立即塌缩。
无论A和B之间的距离有多远，它们的状态都是瞬间相关的。
这种关联关系称为量子纠缠。
量子纠缠给我们带来了许多奇异的现象。
例如，如果我们将A和B分别放在两个实验室中，测量A的自旋后，B的自旋立即确定。
这种联通超过了一般的信息传递速度，违背了狭义相对论的原则。
量子纠缠也是量子计算和量子通信的基础。
基于量子纠缠的量子比特可以在计算中实现并行计算，大大提高计算速度。
量子纠缠还可以在安全通信中起到重要的作用，通过纠缠粒子传递密钥可以实现不受窃听的通信。
总结一下，量子测量和量子纠缠是量子力学中的两个重要概念。
Quantum Entanglement and Coherence
Quantum Entanglement and Coherence量子纠缠和相干本文将介绍量子物理中两个重要的概念：量子纠缠和相干。
这两个概念在量子计算和量子通信中起着重要的作用。
在介绍这些概念之前，我们需要先了解一些量子物理的基本原理。
量子力学是研究微观世界的一种物理学。
它描述了微观粒子在宏观世界中的运动和相互作用。
量子力学中的核心概念是波粒二象性和量子态。
波粒二象性指的是微观粒子既像粒子又像波动。
量子态是一个向量，描述了量子粒子的状态和性质。
在量子力学中，量子粒子不能够被准确地确定其位置和动量。
相反，我们只能够在一定的概率上对其位置和动量进行测量。
这种不确定性是量子力学的基本原理之一。
量子纠缠是一种非常奇特的现象。
在量子物理中，两个或多个量子粒子可以有一种特殊的联系，称为纠缠。
纠缠的量子粒子共同存在一个量子态，这个量子态是不能被分离成两个单独的态的。
也就是说，当我们测量一个量子粒子时，它的纠缠伴侣的状态也会立即被影响。
这种非局域性是量子力学中的一个重要特征。
量子纠缠在量子计算和量子通信中起着重要作用。
在量子计算中，我们可以利用纠缠的特性来进行量子算法的实现。
例如，量子纠缠可以用于实现量子并行算法、量子搜索算法、量子误差纠正算法等。
在量子通信中，纠缠可以用于量子加密和量子远程通信。
量子密码学技术是目前为止唯一一种可靠的密码学方法，它利用了量子纠缠的特性来保证信息的安全性。
相干是另一个重要的概念。
在量子物理中，相干是对量子态之间的相互作用性质的一种描述。
当两个量子态的相位可以被完全确定时，它们就是相干的。
相干是一个很关键的概念，因为它是实现量子算法和量子通信的重要基础之一。
量子相干可以通过干涉来观察。
干涉是一种基本的物理现象，它可以用于测量量子态之间的相干。
量子干涉可以通过双缝实验来演示。
在这个实验中，电子通过两个靠近的缝隙，然后在背后重新组合。
当电子相干时，背后的干涉图案就会出现明暗条纹。
这个干涉图案是相干性质的一个明显迹象。
双电子系统的量子纠缠计算方法分析
［中图分类号 ］Ｇ６４２
［文献标志码 ］Ａ ［文章编号 ］２０９６—０６０３（２０１８）１６—０１０２—０２
量 子 纠缠 态 从 １９３５年 被 提 出 ，开 始 被 人 们 所 关 是 跳跃 近 邻积 分项 ， 表 示位 势 。另 外空 间 Ｆｏｃｋ占据 的
注 ，特 别 是 随 着 信 息 科 技 的 发 展 ，关 于 量 子 的 纠 缠 程 基 数矢 一 般表 示 为 ：
专 业教 学
课 题
双 电子 系统 的量子 纠缠计 算方法分析①
张 侃 ，韩 玉龙 ，姚 星星 ，倪 程鹏
（安 徽信 息工程 学 院基础 教 学部 ，安徽 芜 湖 ２４１００２）
［摘 要 ］将 纠缠 ｃｏｎｃｕｒｒｅｎｃｅ单 电子 系统 中的 量子 计 算 工作 在 双 电子 系统 中使 用 ，分析 相 关推 导公
作者简 介 ：张侃 （１９８０＿一），硕士 ，安徽 信息工程学院讲师 ，主要研 究方向为量子光学、量子计算。
一 ｌ０２－
专 业 教 学
课 题
的费米 子 最多 只 有一 个 ，也就 说 这个 格 点 只有 量子 态 ２ 个 ；假设 电子 占据一个Ｉ１＞或空着１０＞，利用映射关系（公
（１０）
公 式 中 ：（ｃ ）表 示 在第 ｎ个 电商 出现 湮灭 算 符 ，ｔ 子 构成 的 系统 ，因为 泡利 不 相 容原 理 ，每个 量 子 态 占用
①本 文 系 ＳｕｐｐｏＳｅｄ ｂｙ Ｕｎｉｖｅｌ￣ｉｔｙ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｐｒｏｊｅｃｔ ｏｆＡｎｈｕｉ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ安徽 省高校 自然科学重点研 究项 目（项 目编 号 ：ＫＪ２０ ｌ８Ａ０６２５）的 研 究 成 果 。
短程 ，同时只要最近邻项。紧束缚哈密顿量可以写成 ：
量子纠缠及其度量.doc
量子纠缠及其度量量子纠缠及其度量摘要：量子纠缠是首先被Einstein-Podolsky-Rosen(EPR)和薛定谔注意到的不同于经典物理最奇特、最不可思议的1种奇妙现象。
它是微观量子系统内各子系统或各自由度之间关联的反映。
在量子信息中，纠缠态扮演着极为重要的角色。
可以说如果没有量子纠缠现象，就不会有现在所说的量子信息。
由于纠缠态特殊的物理性质，使量子信息具有经典信息所没有的许多新的特征，同时纠缠态也为信息传输和信息处理提供了新的物理资源。
本文对量子纠缠以及量子纠缠的度量（包含纯态和非纯态两种系统）的历史渊源和基本概念，以及近年来在理论实践研究方面的重要进展和在量子信息科学领域的应用前景，做1个系统、综合的介绍和讨论。
关键字：量子纠缠；纠缠的度量；EPR佯谬；薛定谔猫Quantum entanglement and measurement Abstract: Quantum entanglement, enon of quantum system. It is the most strange andunbelievable phenomenon classical physics. It reflects the correlation bets or freedom of degree in the microscopic quantized system. Quantum entanglement is the key role in the realism of quantum information. Due to the particular physical properties of quantum entanglement, there are some neation theory. Quantum entanglement also provides the key resource for quantum communication and quantum information processing. In this paper entanglement, the progress in theory and experiment and the measurement of entanglement. Keyent; Measurement of the entanglement; EPR-Paradox; Schrodingers Cat......................(FAN)【摘要】随着我国高等教育改革的发展，高校周边成为了各种人群众聚集的地方，由于高校周边的特殊性和社会治理相对滞后性，高校周边安全隐患突出。
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基于concurrence度量研究量子相干和量子纠缠量子信息学在最近若干年特别是过去的二十年间经历了迅猛式的发展.在量子信息领域,量子纠缠被视为一种重要的物理资源.它在量子信息处理中扮演着关键性的角色并且在诸如量子密码学、量子隐形传态和稠密编码等方向有着广泛的应用.在量子纠缠理论中,一个基本和长期的问题是如何区分可分态和纠缠态.在过去的二十年里,它吸引了人们广泛的兴趣并取得了丰硕的成果.量子信息学中另一个迅速发展的领域是关于量子相干的研究.作为量子力学的一个基本特征,源自于量子叠加原则的量子相干在量子物理中有着重要的地位.它是诸如量子光学、量子热动力学、量子生物学等众多物理现象的根本要素.在量子信息处理中,量子相干也被视为一种关键的资源.最近,从物理资源理论的角度,一个严谨的量化相干的框架被提出,并引起研究者巨大的兴趣.在此框架中,量子相干被认为是一种与量子纠缠类似的可以被刻画、量化和控制的物理资源.现在人们已经将相当大的精力投入到量子相干的研究,并且得到了许多研究发现.量子纠缠和量子相干均源自于量子叠加原则,对量子理论来说意义重大.它们又都是量子计算和量子信息中的重要量子资源.因此,研究两者之间潜在的联系就变得自然而然了.本学位论文的主要内容便是来自于对上述问题的研究.我们提出了一个物理上意义丰富并且数学上严谨的相干度量–相干concurrence,并通过构造相干concurrence和著名的纠缠concurrence之间的关系进而建立了这两大量子资源之间相互转化的严格和一般的框架.我们的工作在量子相干和纠缠之间提供了一个清晰的可量化和可操作的联系.另外,在给出上述主要结果前,我们报告了在纠缠理论上的发现.在纠缠探测方面,关于量子态,我们基于密度矩阵重排矩阵的秩给出了充分且必要的直积准则,对于纯态而言,就是充分且必要的可分准则.在纠缠量化方面,对于多量子比特系统,我们给出了多体concurrence的一些下界,并证明了当多体concurrence大于某个特定的值时,那么这个多体量子态肯定是6)-不可分的.上述的结果都可以在某种程度上探测6)-不可分态.在文章的最后,我们关注量化系综的量子特性这一问题.我们提出了一类系综度量,并讨论了这些度量在量子信息不同分支特别是量子相干、量子纠缠和量子关联中的应用.我们的结果提供了一种从系综的量子特性的角度来理解这些量子资源的新视角.本学位论文组织如下:在第一章,我们回顾了量子理论的主要概念,包括量子态、量
子测量和操作以及约化密度算子等.在第二章,在简单回顾量子纠缠之后,我们介绍了在纠缠理论上取得的发现.基于密度矩阵的重排矩阵的秩,我们给出了量子态充分且必要的直积准则.做为特殊情况,这些准则可判定多体纯态是否6)-可分.接着,我们给出了多体concurrence的下界并用来探测6)-不可分态.同时,我们给出一类多体量子态concurrence的解析表达式.在第三章,我们报告在相干度量和研究相干和纠缠之间关系上的成果.首先,我们介绍了量子相干的基本知识.接着,基于推广的Gell-Mann矩阵,我们定义了一个新的相干度量,严格的证明表明它满足相干度量应有的所有要求.最后,通过构造相干concurrence和著名的纠缠concurrence之间的关系,建立了这两大量子资源之间相互转化的联系.在第四章,我们研究量子系综的量子特性(quantumness)问题.基于系综中各密度算子之间对易式的酉相似不变范数,我们定义了一类系综的量子特性度量,并讨论了它们在量子信息中的应用.。