3.3 共同本征函数

2 1 1 2 2 l sin 2 2 sin sin
2 1 2 sin 2 l z sin sin
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
2 2 l l , l 0, 考虑到 的本征函数可以同时也取为 l z z 的本征态
2 2
1
ˆ 与 B ˆ 为厄米算符, A 与 B 又均为实数, 在上式中， A ˆA ˆ A 与 B ˆB ˆ B 也是厄米的. A
让
ˆ B ˆ, ˆ A ˆ, B A
则(1)式仍成立.
ˆ , B ˆ, B ˆ A ˆ , 就可得出 A 再考虑到
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
关于CSCO, 再做几点说明: (1) CSCO是限于最小集合, 即从集合中抽出任何一个可 观测量后, 就不再构成体系的CSCO. 所以要求CSCO 中各观测量是函数独立的.
(2) 一个给定体系的CSCO中, 可观测量的数目一般等于
体系自由度的数目, 但也可以大于体系自由度的数目.
量子力学教程(第二版)
这里有两点值得提到:
ˆ (a) 自然界中真实存在的物理体系的Hamilton 算符 H
都应为厄米算符(保证所有能量本征值为实), 并且应有
下界( 能量无下界是不合理的, 在自然界中未发现这种
ˆ 情况). 因此, 体系的任一量子态总可以放心地用包含 H
在内的一个CSCCO的共同本征态完全集来展开.
有体系的Hamilton量, 则完全集中各力学量都是守恒量,
这种完全集又称为对易守恒量完全集( a complete set of
commuting conserved observables, 简记为CSCCO.)
包括 H 在内的守恒量完全集的共同本征态, 当然是定 态, 所相应的量子数都称为好量子数. 在这种展开中, 2 (无论ψ 是什么态, 定态或非定态), a 是不随时间 改变的.
m l , l 1,, l 1, l
满足


0
lm l m sin d δll
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
2 所以, l , lz 的正交归一的共同本征函数表示为
Ylm , 1
m
2l 1 l m ! m im cos e 4 l m ! P l
可以证明, 只当
l l 1 , l 0,1, 2,,
时,方程有一个多项式解(另一解为无穷级数), 即连带 Legendre 多项式
P ,
m l
m l
它在 1 区域中是有界的, 是物理上可接受的解.
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
利用正交归一性公式
1

3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
在上面的式子中,
l 和 l z 的本征值都是量子化的.
轨道角动量量子数 磁量子数
2
l
m
对于给定
l
,
l
2
的本征函数是不确定的,
因为
m l , l 1,, l 1, l , 共有 2l 1 个简并态.
Ylm 就
是用 l z
的本征值来确定这些简并态.
P
1
m l
l m ! 2 δll Pl d 2l 1 l m!
m
定义一个归一化的
lm 1
m
部分的波函数(实)
2l 1 l m ! m cos 2 l m ! P l
ˆ 为体系的一个厄米算符, 对于体系的任一态 定理: 设 H
ˆ ) /( , ) 有下界( 即总是大于某一个固定的数c), ,( , H
ˆ 的本征态的集合, 构成体系的态空间中 但无上界, 则 H
的一个完备集, 即体系的任何一个量子态都可以用这一
组本征态完全集来展开.
3.3 共同本征函数
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
化简本征方程,得
1 d d m2 2 sin sin d d sin 0,
0
令 cos (
1),
则
2 d d m 2 1 0 2 d d 1
1 im m e , 2
m 0, 1, 2,
此时, l 2 的本征函数已分离变量, 即令
Y , m
并代入本征方程
l 2Y , 2Y ,
2 其中, 2是 l 的本征值( 无量纲), 待定.
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版) 3.3.3 对易力学量完全集(CSCO)
ˆ(A ˆ ,A ˆ ,), 设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符 A 1 2
它们的共同本征态记为 , 设给定一组量子数
表示一组完备的量子数.

之后, 就能够完全确定体系的唯一
ˆ ,A ˆ ,) 构成体系的一组对易可 一个可能状态, 则我们称 ( A 1 2


3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版) 3.3.2
l
2
, l z 的共同本征态,球谐函数
由于角动量的三个分量不对易, 一般无共同本征态.
2 l 但由于 , l 0( x, y, z )
,可以找出 l 2 与任何一个
分量(例如 l z )的共同本征态. 采用球坐标, 角动量的平方算符表示为
与Schrö dinger方程是量子力学的一个基本假定一样,
量子体系的可观测量 (力学量) 用一个线性厄米算符来
描述, 也是量子力学的一个基本假定, 它们的正确性应
该由实验来判定.
“量子力学中力学量用相应的线性厄米算符来表达”,
其含义是多方面的:
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
(1) 在给定状态ψ 之下, 力学量 A 的平均值 A 由下式 确定: ˆ
(3) 一个给定体系往往可以找到多个CSCO, 或CSCCO.
在处理具体问题时, 应视其侧重点来进行选择. 一个
CSCCO的成员的选择, 涉及体系的对称性.
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同
本征函数来展开, 在数学上涉及完备性问题. 这是一个颇 为复杂的问题.李政道曾经给出关于本征态的完备性的 如 下重要的定理.
量子力学教程(第二版) 3.3.1 不确定度关系的严格证明
引 入
ˆ 的本征态时,对其测量,可得一 当体系处于力学量 A 个确定值,而不会出现涨落.但在其本征态下去测量 ˆ 时,却不一定得到一个确定值. 另一个力学量 B
下面我们普遍地分析此问题.
ˆ 和B ˆ, 设有两个任意的力学量 A
分析下列积分不等式 其中, 为体系的任意一个波函数, 为任意实参数.
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
由(2)式可以看出, 若两个力学量 A 与 B 不 对易, 则一般说来 A 与 B 不能同时为零, 即
ˆ, B ˆ 0 的特殊态可 ˆ 与 B ˆ 不能同时测定. (但 A A
能是例外), 或者说他们不能有共同本征态. 反之,若两个厄米算符 A 与 B 对易, 则可以 找出这样的态, 使 A 0 与 B 0 同时满足, 即可 以找出它们的共同本征态.
ˆ 本征值有简并的情况下, 对于给定能量本征值, (b) 在 H 本征态尚未完全确定, 此时需要用包含Hamilton量在内
的一个CSCCO, 根据他们的本征值把本征态完全确定下 来, 以便于对任何量子态进行确切的展开.
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版) 3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达
2 2
ˆ i , A ˆ , B ˆ , A ˆ, B
ˆ A ˆ, B ˆ ˆ /i C C


引进厄米算符
则
I 2 A2 C B 2
A C / 2A

ˆ B ˆ A
2
2
1 ˆ ˆ A, B 2
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
或简记为
1 ˆ ˆ ˆ ˆ A B A, B 2
(2)
上式就是任意两个力学量 A 与 B 在任意量子 态下的涨落必须满足的关系式,即Heisenberg的不确 定 度关系(uncertainty relation)的普遍表达式.
2

(这里假定量子数 , 或力学量 A , 不连续变化. 若
d , 而相应的展开系数的模方代表概 连续变化, 则
率密度. 例如, 坐标表象和动量表象的展开, 即属此情况.)
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
如体系的 Hamilton 量不显含时间 t (H / t 0), 则 H 为守恒量. 在此情况下, 如对易力学量完全集中包含
3.3 共同本征函数
ˆ iB ˆ d 0 I A
2
量子力学教程(第二版)
ˆ与 B ˆ 为厄米算符， 所以 因为 A
ˆ iB ˆ iB ˆ , A ˆ I A
2

ˆ , A ˆ i A ˆ , B ˆ B ˆ i B ˆ , A ˆ , B ˆ 2 A
或
2 2 d d m 2 1 d 2 2 d 1 2 0
这就是连带Legendre方程.
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
在 1 区域中, 微分方程有两个正则奇点, 1, 其余各点均为常点.
2

2

2
B2 C 2 / 4 A2 0

C 为实，不妨取 C / 2 A2 ,则得
B 2 C 2 / 4 A2 0
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
1 2 即 A B C , 或表成 4
2 2
1 1 ˆ ˆ A B C A, B 2 2
A ( , A ) /( , )
பைடு நூலகம்
(2) 在实验上观测某力学量A, 它的可能取值 A 就是算符
ˆ 的某一个本征值. 由于力学量观测值总是实数, 所以 A
Ylm 为球谐函数, 它们满足
l 2Ylm l l 1 2Ylm ,
lz Ylm mYlm ,
l 0,1, 2,,
m l , l 1,, l 1, l

2
0
* d sin d Ylm , Ylm , δllδmm, 0
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
例如
坐标 r x, y, z 的共同本征态,即 δ 函数
x y z r δ r r0
0 0 0
δ x x0 δ y y0 δ z z0
相应本征值为
r0 x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 实
观测量完全集 (complete set of commuting Observables, 简记
为CSCO), 在中文教材中,习惯称为对易力学量完全集, 或简
称为力学量完全集. 对易力学量完全集的概念与体系的一个 量子态的制备密切相关. 3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
按照态叠加原理, 体系的任何一个状态 均可用 来展开 a 利用 的正交归一性, 上式中的展开系数 a ( , ) 可确切定出. a 表示 态下, 测量力学量 A 得到 在 A 值的概率. 这是波函数的统计诠释的最一般的表述.