3.3 共同本征函数
共同本征函数解读
§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明在算符Aˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。
如果测量B ，则不一定能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定≥∆⋅∆p x对于比较普遍的情况，设有Aˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ， （注意在经典力学中A A A -=∆）因为Aˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。
考虑积分⎰≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i AI ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。
展开上式，有⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**BB B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）因为Aˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I （利用了厄米性）而A B B A A A B B B B A A A B B Aˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ令K i A B B Aˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ这是有关实参数的一元二次方程。
其有解的条件可由判别式给出，即4)ˆ()ˆ(222K B A ≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。
量子力学讲义第三章讲义
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
第13讲共同本征函数、测不准关系
ˆx, p ˆ y, p ˆz. p
ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . H z
例 3：
ˆ H
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。
§8 测不准关系
（一）测不准关系的严格推导 （二）坐标和动量的测不准关系 （三）角动量的测不准关系
（三）力学量完全集合
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 例 1： 例 2： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量： 氢原子，完全确定其状态也 需要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力 学量就可完全确定其状态：
例如：
ˆF ˆ ˆ F ˆG G ˆF ˆ ) 0 ˆ F ˆG (G
ˆ ,L ˆ ] 0 [L x z
= 0 的态，Y
m
= Y00
？
Lx Lz 同时有确定值。 但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个， 而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。
定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。
（一）测不准关系的严格推导
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟 不确定到什么程度？即不确定度是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。
问题：
不确定度：
（1）测不准关系的严格推导
x
p
4.3共同本征函数解读
2
0 0
ˆ2Y ( , ) l (l 1)2Y ( , ) L lm lm
ˆ Y ( , ) mY ( , ) L z lm lm
l 0,1,2,3,, 称角量子数 , m 0,1,2,,l , 磁量子数 .
球谐函数具体表达式见P375，L2有2l+1重简并。
例1、三维粒子，动量三个分量（Px、Py、Pz) 构成一个力学量完全集； 例2、三维无限深势阱，能量E三个动能分量 2 2 2 p p p 构成一个力学量完全集。 y x z
( 2m 2m 2m , , )
三个量子数n1, n2, n3就完全确定一个 可能的状态。
2、量子力学的关于测量的一个基本假定2：
0
这是连带勒让德（Legendre）方程 只有当λ＝l(l+1), l=0,1,2,…时，方程才有 有限解（见附录P370，A4），其解为连 带勒让德多项式： m
Pl (cos ),
m l
得（L2,LZ）共同本征函数为：
m im 称球谐函数 Ylm ( , ) Nlm (1)m P (cos ) e l
4.3.2
已知：
(L2,Lz)的共同本征函数，球谐函数
ˆ L z i
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin
ˆ ( ) m ( ) L z m m 1 im e 本征函数： m 2
ˆ2Y ( , ) 2Y ( , ) L lm lm
L2的本征函数与本征值 ？
[L2,Lz]=0, （p89(17)式），故有共同本 征函数。设为Y（θ,φ）＝Θ(θ)Φm(φ) ∵Y（θ,φ）满足LZ本征方程， Θ(θ)＝？
共同本征函数
§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明在算符Aˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。
如果测量B ，则不一定能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定≥∆⋅∆p x对于比较普遍的情况，设有Aˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ， （注意在经典力学中A A A -=∆）因为Aˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。
考虑积分⎰≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i AI ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。
展开上式，有⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**BB B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）因为Aˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（BA B B A i A I （利用了厄米性）而A B B A A A B B B B A A A B B Aˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ令K i A B B Aˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ这是有关实参数的一元二次方程。
其有解的条件可由判别式给出，即4)ˆ()ˆ(222K B A≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A ≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。
12角动量算符共同完备本征函数系力学量完全集.
分离变量
() 其中， 1 2
eim 。
由求解过程可知，为使 Y(,) 在区间 [0, ] 内有限，必须 l (1 l ) l 0 , 1 , 2 ,
方程的解
m m i m Y ( , ) ( 1 ) N P ( c o s ) e m 0 , 1 , 2 , l l m l m l
ˆy y ˆx) i iy ix (x p p Lˆ z x y
ˆ Lz i
2．对易关系
ˆ, ˆ] ˆ [ L i L L
ˆ , [ L i ]
2 1 1 2 ˆ L Y ( ,) s i n Y ( ,) Y ( ,) 2 2 s i n s i n 2 2
Y ( , ) ( ) ( )
§3-4 角动量算符
一、角动量算符
粒子在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的重要物 理量。为了区别后面要引入的自旋角动量，将其称为轨道角动量。 1．轨道角动量算符的定义
ˆ rp ˆ L
ˆ yp L ˆ z zp ˆy x ˆ ˆ x xp ˆz L y zp ˆ ˆ ˆ L z xp y yp x
二、力学量完全集
2
ˆ 的本征值简并，仅由量子数 无法唯一地确定其本征态。 算符 L l ˆ L 要唯一地确定其本征态，必须启用另一个与之对易的算符 。这样 z 的两个相互对易的线性厄米算符可以有完备的共同本征函数系，能 唯一地确定体系的状态。 将其推广之，如果有N个相互对易的力学量算符能唯一 地确定体系的状态，就将这N个力学量称为力学量完全集， 或者完整力学数量组。
第8讲 测不准关系的严格证明
第八讲 连续谱本征函数的归一化 测不准关系的严格证明 共同本征函数
1
第8讲目录
一、连续谱本征函数 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数 三、不确定度（测不准）关系的严格证明 四、共同本征函数 五、习题
2
一、连续谱本征函数（1）
1、动量
x 分量的本征值与本征函数
设本征值与本征函数为 px 和 ，本征方程为： i p x C exp( ip x x / ) x 若 x (,) ，则 px (,) ，为连续变化：
ˆ iB ˆ d 0 A
2
ˆ iB ˆ iB ˆ )* (A ˆ ) d 0 I ( ) (A
ˆ )* A ˆ i ( A ˆ )* B ˆ d [ 2 ( A
ˆ (B ˆ )* A ˆ )* B ˆ )] i ( B
1 (1) (ax) ( x); (2) ( x) ( x); |a| (3) ( x)dx ( x)dx 1 ( 0); (亦可作为定义 )
(4) f ( x) ( x a)dx f (a);
(5) x ( x) 0
9
三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1)
ˆ x ，有 x px ， ˆ 和B ˆ 为厄 问题：对于 x ˆ 和p A
米算符，则 A B ? ， 结论为：A B [ A ˆ, B ˆ] 2 【证明】：设任意波函数 以及任意实数 做积分： I ( )
3、连续谱本征函数的归一化(1)
ipx x / )，若取：C 动量本征态为 p C exp(
简并情况下两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法
简并情况下两个对易算符的共同本征函数
系的简单求解方法
简单求解两个对易算符的共同本征函数系是数学中一个重要的应用问题，也是量子力学和理论物理学中的一个重要研究课题。
本文将介绍两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法。
首先，要求解两个对易算符的共同本征函数系，需要先搞清楚每个易算符的本征函数是什么。
本征函数是一个线性无关的函数，它的变量不会受到线性变换的影响，而且它的值是这个函数的常数。
因此，在求解两个对易算符的共同本征函数系之前，需要先求解每个易算符的本征函数。
其次，要简单求解两个对易算符的共同本征函数系，需要采用变分法。
变分法可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题，从而使问题变得更容易求解。
需要注意的是，在采用变分法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要考虑到每个易算符的本征函数的变化率，以及其他相关变量的变化率。
最后，要求解两个对易算符的共同本征函数系，还可以采用矩阵方法。
矩阵方法是一种基于矩阵的技术，它可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题。
在采用矩阵方法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要构造一个矩阵，该矩阵包含了各个易算符的本征函数，以及其他相关变量。
总而言之，两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法主要有变分法和矩阵方法，在求解这一问题之前还需要先求解每个易算符的本征函数。
不管采用哪种方法，都需要考虑到各个变量的变化率，以便得到准确的结果。
力学量和算符
第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
(完整)曾谨言量子力学第3章ppt
例，若 Aˆ d dx
则
Aˆ n dn dx n
显然算符的乘幂满足： Aˆ mn Aˆ m Aˆ n
[Aˆ m, Aˆ n ] 0
两个任意量子态的标积： (ψ ,φ ) dτψ φ
对一维粒子
dτ
dx
对三维粒子 dτ dxdydz r2 sinθdrdθdφ
(ψ ,φ ) dτψ φ
φ arctan(y / x)
lˆx
isin φ
θ
cotθ cosφ
φ
lˆy
i cosφ
θ
cotθ
sin φ
φ
lˆz
i
φ
lˆ 2
2
1
sin θ
θ
sin θ
θ
1
sin 2 θ
2
φ
2
角动量的对易关系
Levi-Civita 符号
[lˆα , xβ ] εαβγ ixγ
εαβγ ε βαγ εαγβ
即 (Aˆ A)ψ 0
或写成 Aˆn Ann
( 3)
An称为算符A的本征值，ψn为相应的本征态， 方程(3)称为算符A的本征方程。
量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量A时所有可能出现 的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符A的 本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即An
~ 0 x x
练习 证明： (1) pˆ x pˆ x , (2) (Aˆ Bˆ)T BˆAˆ
(g)复共轭算符和厄米共轭算符 算符A 的复共轭算符A*定义为
Aˆψ (Aˆψ) (40)
通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解： 把算符A中的 所有量都换成其复共轭。 如 pˆ (i) i pˆ
量子力学3-2
m
1
| m | l
由Legendre多项式的正交关系
1
P
l
m
( ) P ( )d
m l'
2
(l m)!
2l 1 (l m)!
ll '
m l , l 1, ,1,0,1, l 1,l
(2l 1个)
17
可以定义归一化的θ部分的波函数 （为实数）
如何去区分这些简并态呢？
3
§3.3 共同本征函数 §3.3.1 不确定度关系的严格证明
ˆ 在算符A的本征态中测量力学量A，可以得到 确定值，并不出现涨落。如果测量B，则不一定 能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量 不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定
x p
4
x0 y0 z0 (r ) (r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
p( p x , p y , p z )
﹟
相应的本征值为
r0 ( x0 , y0 , z0 )
﹟
12
在讲述两个力学量的共同本征函数的一 般原则以前，先讨论角动量的本征态。
lm ( ) (1)
m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Pl (cos )
m
并满足归一化关系
0
lm
l 'm sin d ll '
ˆ2 , L ) 的正交归一的共同本征函数为 这样， L ˆ z (
18
Ylm ( , ) (1)
m
(2l 1)(l m)! 4 (l m)!
量子力学3
量子力学3第三章力学量算符§3.1 算符及其运算规则§3.2 厄米算符及其性质§3.3 连续谱本征函数的归一化§3.4 力学量算符随时间演化§3.5 守恒量与对称性§3.6 全同粒子体系§3.1 算符及其运算规则一、算符的基本运算规则二、算符的函数三、对易关系和对易子四、厄米算符和幺正算符五、量子力学向经典力学的过渡六、角动量算符一、算符的基本运算规则一、算符的基本运算规则量子力学第二公设—算符公设1）线性算符：A ( c1ψ 1 + c 2ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2二、算符的函数二、算符的函数例子一般地，算符的函数可以表为? ? f ( A) = ∑ cn A nn2）单位算符：I?ψ = ψ3）算符之和：( A + B )ψ = A ψ + B ψ ?? ? ? 4）算符之积： ( A B )ψ = A ( B ψ )一个常用的公式：eA = ∑∞ n=0An n!其它的例子例题：若G为算符，t为参数，证明：Gt e = Ge Gt ?t算符之积满足结合律，但不满足交换律（不对易）。
5）算符之逆： A A ?1 = A ?1 A = I?三、对易关系与对易子三、对易关系与对易子对易子的定义： [ A, B ] = A B ? B A例：坐标与动量的对易关系。
解：考虑x p xψ = ? ih x ? p x xψ = ? ih ? ψ ?x对易关系的几个恒等式： [ A, B ] = ?[ B , A ][ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B ]C [ AB , C ] = A[ B , C ] + [ A, C ] B [ A, [ B , C ]] + [ B , [C , A ]] + [C , [ A, B ]] = 0(Jacobi恒等式)( xψ ) = ? ih ψ ? ih x ψ ?x ?xx p xψ ? p x x ψ = ih ψ ? [ x , p x ] = ih这样，对任意波函数，均有所以类似可证： [ y , p y ] = ih但[ z , p z ] = ih[ x , p y ] = [ x , p z ] = [ y , p x ] = ...... = 0 ? [ xα , p β ] = ih δ αβ综合式四、厄米算符和幺正算符四、厄米算符和幺正算符进一步的例算1、计算对易子： [ f ( x ), p x ] = ?2、设λ是一个小量，算符 A 之逆 A ?1 存在，求证：~ ? ? 1）算符的转置：∫ ψ * A ? d τ = ∫ ? A ψ * d τ~ ? ? 即(ψ , A ? ) = (? * , A ψ * )注意算符乘积的转置用法 ?* ? * * 2）算符的复共轭：A ψ = ( A ψ )+ ? 3）算符的厄米共轭：(ψ , A ? ) = ( A ψ , ? ) ~ ? ? ? ? 由 ( A ψ , ? ) = (? , A ψ ) * = (? * , A *ψ * ) = (ψ , A *? )~ ? ? 可得 A + = A *( A ? λ B ) ?1 = A ?1 + λ A ?1 B A ?1 + λ 2 A ?1 B A ?1 B A ?1 + ...3、算符A与B不对易，但它们的对易子C与B对易，求证：[ A, B n ] = nCB n ?1 , [ A, f ( B )] = C f ' ( B ), [ A, e B ] = Ce B 算符乘积的厄米共轭4）厄米算符：若算符A满足 A + = A ，则A称为厄米算符。
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
3.3 共同本征函数
1
ˆ 与 B ˆ 为厄米算符, A 与 B 又均为实数, 在上式中， A ˆA ˆ A 与 B ˆB ˆ B 也是厄米的. A
让
ˆ B ˆ, ˆ A ˆ, B A
则(1)式仍成立.
ˆ , B ˆ, B ˆ A ˆ , 就可得出 A 再考虑到
2
2
2
B2 C 2 / 4 A2 0
C 为实，不妨取 C / 2 A2 ,则得
B 2 C 2 / 4 A2 0
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
1 2 即 A B C , 或表成 4
2 2
1 1 ˆ ˆ A B C A, B 2 2
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版) 3.3.2
l
2
, l z 的共同本征态,球谐函数
由于角动量的三个分量不对易, 一般无共同本征态.
2 l 但由于 , l 0( x, y, z )
,可以找出 l 2 与任何一个
分量(例如 l z )的共同本征态. 采用球坐标, 角动量的平方算符表示为
量子力学教程(第二版) 3.3.1 不确定度关系的严格证明
引 入
ˆ 的本征态时,对其测量,可得一 当体系处于力学量 A 个确定值,而不会出现涨落.但在其本征态下去测量 ˆ 时,却不一定得到一个确定值. 另一个力学量 B
下面我们普遍地分析此问题.
ˆ 和B ˆ, 设有两个任意的力学量 A
分析下列积分不等式 其中, 为体系的任意一个波函数, 为任意实参数.
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
化简本征方程,得
§34 本征函数系的一般性质
ˆ 的平均值) (F 是F
ˆ (F ˆ F ) F F 0, F ˆ )2 (F ˆ F )2 (F ˆ 2 2F ˆF F 2 ) ( F
ˆ 2 2F F F 2 F 2 F 2 . F ˆ ] iC ˆ 0 ，那么 ˆ 的测量值的偏差程度。我们的问题是：如果 [ F ˆ,G 这个量描写了力学量 F
本征函数系的一般性质
定义：若两个函数 1 ( r ) 和 2 ( r ) 满足
1
(r) 2 ( r )d 0,
则称它们是正交的。 正交性定理：同一个 Hermitian 算符的属于不同本征值的本征函数是彼此正交的。 说明 :(1)若 F 的本征值谱是非简并的和离散的，本征值为 1 , 2 , ，本征函数为
ˆ ) 2 有什么关系？计算的方法如下。 ˆ ) 2 和 ( G ( F
引入
ˆ ) d , 它必然 0. ˆ iG I ( ) (F
而另一方面，
2
ˆ ) ] [ ( F ˆ )]d ˆ ) i ( G ˆ ) i ( G I ( ) [ ( F
[F , G] F G G F
称为 F 和 G 的对易括号或对易子。在 [ F , G ] 0 时，称 F 和 G 对易，否则称为不对易。 定理：若 [ F , G ] 0 ，则 F 和 G 可以有 同时本征函数 ，即存在 使得 F
ˆ 的本征值谱是离散的还是连续的。 这个式子不依赖于 F
例子：一维谐振子基态的动量测量几率和动量平均值。 作业：p.100,#3.1(不要时间因子，不做(3));#3.2(不做(5)); p.101,#3.6,(提示：改写 为虚指数函数); p.102,#3.9，注意：在球坐标中
高中物理竞赛量子力学第8讲 测不准关系的严格证明
x x x x
8
二、连续谱本征函数的归一化与δ 函数（5）
4、连续谱本征函数的归一化困难
, p x px 无论动量( px , px ) （p x px ) x p 0, p , x x 还是坐标( x , x ) （x x) 0, x x 都没有严格地解决归一 化的问题。这就是量子 力 学中连续谱波函数的归 一化困难。解决的方式 有 1、分布理论， A. Megsiah, QuantumMechanics 2、葙归一化方法，曾谨 言，量子力学，上册 科学出版社， 1984
7
二、连续谱本征函数的归一与δ 函数（4）
3、连续谱本征函数的归一化(2)
x ( x) 0,( x x) ( x x) 0 x ( x x) x ( x x)
已证明， x ( x) （x x) 为坐标算符的本征态，x 为 本征值。做积分
所以称
p 为连续谱本征函数：
x
不能用一般的方式进行归一化
3
一、连续谱本征函数（2）
2、一维自由粒子的能量本征态
2 2 2 ˆ p ˆ z H 一维自由粒子的哈密顿量算符为： 2 2m 2m x 2 2 能量本征方程为： E 2 2m x
ikx 2 2 E k / 2m 0, k 2mE / 0 ( x ) Ce , 解为： E
（ x , x ) x dx ( x x) ( x x)dx
* x
(a b) ( x a) ( x b)dx
（ x , x ) ( x x) 0
3.3 共同本征函数
lzYlm m Ylm ,
l 0,1, 2, , m l,l 1, , l 1, l
2
d
0
0
sin
d
Yl*m
,
Ylm ,
δll δ mm,
3.3 共 同 本 征 函 数
量子力学教程(第二版)
在上面的式子中, l2 和 lz 的本征值都是量子化的.
l
轨道角动量量子数
m
磁量子数
另一个力学量 Bˆ 时,却不一定得到一个确定值.
下面我们普遍地分析此问题.
设有两个任意的力学量 Aˆ 和 Bˆ,
分析下列积分不等式
I
Aˆ
iBˆ
2
d
0
其中, 为体系的任意一个波函数, 为任意实参数.
3.3 共 同 本 征 函 数
量子力学教程(第二版)
因为 Aˆ 与 Bˆ 为厄米算符， 所以
I Aˆ iBˆ , Aˆ iBˆ
与Schrödinger方程是量子力学的一个基本假定一样, 量子体系的可观测量 (力学量) 用一个线性厄米算符来 描述, 也是量子力学的一个基本假定, 它们的正确性应 该由实验来判定. “量子力学中力学量用相应的线性厄米算符来表达”,
其含义是多方面的:
3.3 共 同 本 征 函 数
量子力学教程(第二版)
3.3 共 同 本 征 函 数
量子力学教程(第二版)
反之, 若[ Aˆ, Bˆ] 0, 则一般说来, 力学量 A 与 B 不能 同时具有确定的观测值．
特别是对于H 不显含 t 的体系, 一个力学量 A 是否 是守恒量, 可以根据Aˆ 与 Hˆ 是否对易来判断.
3.3 共 同 本 征 函 数
态下的涨落必须满足的关系式,即Heisenberg的不确 定
共同本征函数
§3.7 共同本征函数1．两力学量同时有确定值的条件当在ψ态中测量力学量A 和B 时，如果同时具有确定值，那么ψ必是二力学量共同本征函数。
2． 两算符对易的物理含义定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。
（证明）逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。
（仅考虑非简并情况）（证明）定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。
例 1：动量算符：两两对易， z y x p p pˆ,ˆ,ˆ共同完备本征函数系：r p ipe r v v h v h v ⋅=2/3)2(1)(πψ 同量有确定值： z y x p p p ,,例2：定轴转子：2ˆˆˆ,2z z l H l I=ˆz l ，相互对易 共同完备本征函数系：()im m ϕψϕ= 同量有确定值：22,2m m E I=h h m ) ， (0m h ,1,m =±L 例 3：定间转子：22ˆˆˆˆ,,2z l H l l I=2ˆl ，，两两对易 ˆz l 共同完备本征函数系：(,)lm Y θϕ (0,1,;0,1,,l m )l ==±±L L 同量有确定值：22(1),(1),2m l l E l l m I+=+h h h 2(1)l l +h ，， m h 小结：两个力学量同时有确定值的条件(1)、 ˆˆ[,]0AB =(2)、体系恰好处在其共同本征态上。
3．力学量完全集合1）、定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
设有一组彼此对易，且函数独立的厄米算符Â(Â1,Â2, ...)，它们的共同本征函数记为ψk ，k 是一组量子数的笼统记号。
设给定k 之后就能够确定体系的一个可能状态，则称(Â1,Â2, ...)构成体系的一组力学量完全集。
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2
2
B2 C 2 / 4 A2 0
C 为实，不妨取 C / 2 A2 ,则得
B 2 C 2 / 4 A2 0
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
1 2 即 A B C , 或表成 4
2 2
1 1 ˆ ˆ A B C A, B 2 2
2 2
1
ˆ 与 B ˆ 为厄米算符, A 与 B 又均为实数, 在上式中， A ˆA ˆ A 与 B ˆB ˆ B 也是厄米的. A
让
ˆ B ˆ, ˆ A ˆ, B A
则(1)式仍成立.
ˆ , B ˆ, B ˆ A ˆ , 就可得出 A 再考虑到
量子力学教程(第二版) 3.3.1 不确定度关系的严格证明
引 入
ˆ 的本征态时,对其测量,可得一 当体系处于力学量 A 个确定值,而不会出现涨落.但在其本征态下去测量 ˆ 时,却不一定得到一个确定值. 另一个力学量 B
下面我们普遍地分析此问题.
ˆ 和B ˆ, 设有两个任意的力学量 A
分析下列积分不等式 其中, 为体系的任意一个波函数, 为任意实参数.
ˆ 为体系的一个厄米算符, 对于体系的任一态 定理: 设 H
ˆ ) /( , ) 有下界( 即总是大于某一个固定的数c), ,( , H
ˆ 的本征态的集合, 构成体系的态空间中 但无上界, 则 H
的一个完备集, 即体系的任何一个量子态都可以用这一
组本征态完全集来展开.
3.3 共同本征函数
2
(这里假定量子数 , 或力学量 A , 不连续变化. 若
d , 而相应的展开系数的模方代表概 连续变化, 则
率密度. 例如, 坐标表象和动量表象的展开, 即属此情况.)
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
如体系的 Hamilton 量不显含时间 t (H / t 0), 则 H 为守恒量. 在此情况下, 如对易力学量完全集中包含
可以证明, 只当
l l 1 , l 0,1, 2,,
时,方程有一个多项式解(另一解为无穷级数), 即连带 Legendre 多项式
P ,
m l
m l
它在 1 区域中是有界的, 是物理上可接受的解.
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
利用正交归一性公式
1
观测量完全集 (complete set of commuting Observables, 简记
为CSCO), 在中文教材中,习惯称为对易力学量完全集, 或简
称为力学量完全集. 对易力学量完全集的概念与体系的一个 量子态的制备密切相关. 3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
按照态叠加原理, 体系的任何一个状态 均可用 来展开 a 利用 的正交归一性, 上式中的展开系数 a ( , ) 可确切定出. a 表示 态下, 测量力学量 A 得到 在 A 值的概率. 这是波函数的统计诠释的最一般的表述.
P
1
m l
l m ! 2 δll Pl d 2l 1 l 1
m
部分的波函数(实)
2l 1 l m ! m cos 2 l m ! P l
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版) 3.3.3 对易力学量完全集(CSCO)
ˆ(A ˆ ,A ˆ ,), 设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符 A 1 2
它们的共同本征态记为 , 设给定一组量子数
表示一组完备的量子数.
之后, 就能够完全确定体系的唯一
ˆ ,A ˆ ,) 构成体系的一组对易可 一个可能状态, 则我们称 ( A 1 2
m l , l 1,, l 1, l
满足
0
lm l m sin d δll
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
2 所以, l , lz 的正交归一的共同本征函数表示为
Ylm , 1
m
2l 1 l m ! m im cos e 4 l m ! P l
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
化简本征方程,得
1 d d m2 2 sin sin d d sin 0,
0
令 cos (
1),
则
2 d d m 2 1 0 2 d d 1
ˆ 本征值有简并的情况下, 对于给定能量本征值, (b) 在 H 本征态尚未完全确定, 此时需要用包含Hamilton量在内
的一个CSCCO, 根据他们的本征值把本征态完全确定下 来, 以便于对任何量子态进行确切的展开.
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版) 3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
在上面的式子中,
l 和 l z 的本征值都是量子化的.
轨道角动量量子数 磁量子数
2
l
m
对于给定
l
,
l
2
的本征函数是不确定的,
因为
m l , l 1,, l 1, l , 共有 2l 1 个简并态.
Ylm 就
是用 l z
的本征值来确定这些简并态.
3.3 共同本征函数
ˆ iB ˆ d 0 I A
2
量子力学教程(第二版)
ˆ与 B ˆ 为厄米算符， 所以 因为 A
ˆ iB ˆ iB ˆ , A ˆ I A
2
ˆ , A ˆ i A ˆ , B ˆ B ˆ i B ˆ , A ˆ , B ˆ 2 A
有体系的Hamilton量, 则完全集中各力学量都是守恒量,
这种完全集又称为对易守恒量完全集( a complete set of
commuting conserved observables, 简记为CSCCO.)
包括 H 在内的守恒量完全集的共同本征态, 当然是定 态, 所相应的量子数都称为好量子数. 在这种展开中, 2 (无论ψ 是什么态, 定态或非定态), a 是不随时间 改变的.
2 1 1 2 2 l sin 2 2 sin sin
2 1 2 sin 2 l z sin sin
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
2 2 l l , l 0, 考虑到 的本征函数可以同时也取为 l z z 的本征态
A ( , A ) /( , )
(2) 在实验上观测某力学量A, 它的可能取值 A 就是算符
ˆ 的某一个本征值. 由于力学量观测值总是实数, 所以 A
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
关于CSCO, 再做几点说明: (1) CSCO是限于最小集合, 即从集合中抽出任何一个可 观测量后, 就不再构成体系的CSCO. 所以要求CSCO 中各观测量是函数独立的.
(2) 一个给定体系的CSCO中, 可观测量的数目一般等于
体系自由度的数目, 但也可以大于体系自由度的数目.
与Schrö dinger方程是量子力学的一个基本假定一样,
量子体系的可观测量 (力学量) 用一个线性厄米算符来
描述, 也是量子力学的一个基本假定, 它们的正确性应
该由实验来判定.
“量子力学中力学量用相应的线性厄米算符来表达”,
其含义是多方面的:
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
(1) 在给定状态ψ 之下, 力学量 A 的平均值 A 由下式 确定: ˆ
1 im m e , 2
m 0, 1, 2,
此时, l 2 的本征函数已分离变量, 即令
Y , m
并代入本征方程
l 2Y , 2Y ,
2 其中, 2是 l 的本征值( 无量纲), 待定.
(3) 一个给定体系往往可以找到多个CSCO, 或CSCCO.
在处理具体问题时, 应视其侧重点来进行选择. 一个
CSCCO的成员的选择, 涉及体系的对称性.
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同
本征函数来展开, 在数学上涉及完备性问题. 这是一个颇 为复杂的问题.李政道曾经给出关于本征态的完备性的 如 下重要的定理.
2 2
ˆ i , A ˆ , B ˆ , A ˆ, B
ˆ A ˆ, B ˆ ˆ /i C C
引进厄米算符
则
I 2 A2 C B 2
A C / 2A
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
例如
坐标 r x, y, z 的共同本征态,即 δ 函数
x y z r δ r r0
0 0 0
δ x x0 δ y y0 δ z z0
相应本征值为
r0 x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 实
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
由(2)式可以看出, 若两个力学量 A 与 B 不 对易, 则一般说来 A 与 B 不能同时为零, 即
ˆ, B ˆ 0 的特殊态可 ˆ 与 B ˆ 不能同时测定. (但 A A