您的位置：360文档中心› 平面向量的数量积 练习题

平面向量的数量积 练习题

合集下载

平面向量的数量积及运算律测试题

平面向量的数量积及运算律测试题

平面向量的数量积及运算律同步练习一、选择题：1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( )A.－６B.６C.３D.－３ 2．若AP 31=PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．34-3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120︒，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ．364．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（ ）A ．23B ．3C ．32D ．215．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，07．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．48．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π10．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．1211．设)41,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,20,||πθ<<b a 则θ为（ ）A ．4π B ．6π C ．3π D ．3π或6π12．在ABC ∆中，5||,3||,415,0,,===<∙==∆S ABC ，则,夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 65π D. 32π二、填空题13.命题①若b ≠0，且a ·b =c ·b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b ;③(a ·b ) ·c =a ·(b ·c ), 对任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2·b 2=(a ·b )2；正确命题的个数为____14.向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于 15.向量c b a ,,满足0=++c b a ，且4||,1||,3||===c b a ，则a c c b b a ∙+∙+∙＝16．设))34sin(),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin ,(cos απαπαπαπαα++++C B A ，则OC OB OA ++＝三、计算题17. 已知向量a 与b 的夹角为θ，|a |=2，|b |=3，分别在下列条件下求a •b ，(1) θ=135o;(2)a ∥b ;(3)a ⊥b .18.已知()2,1-=，()m ,3=，若⊥，若∥，分别求出m 值。

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题平面向量数量积练习题平面向量数量积教学要生掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示，分享了平面向量数量积的练习题，欢迎借鉴！一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为( )A．－2 B．2C．－12 D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )A．a⊥b B．a∥bC．|a|＝|b| D．|a|≠|b|解析：f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．而(xa＋b)(a－xb)＝x|a|2－x2ab＋ab－x|b|2，故ab＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.答案：A3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则ab的范围是( ) A．(1，＋∞) B．(－1,1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)解析：∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，则有b＝λ－12a，又∵|a|＝12＋12＝2，∴ab＝λ－12|a|2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴ab的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC中， ab<0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于( )A．30° B．－150°C．150° D．30°或150°解析：∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，∴sin∠BAC＝12，又ab<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°.答案：C5．(2010辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于( )A.|a|2|b|2－(ab)2B.|a|2|b|2＋(ab)2C.12|a|2|b|2－(ab)2D.12|a|2|b|2＋(ab)2解析：cos〈a，b〉＝ab|a||b|，sin∠AOB＝1－cos2〈a，b〉＝1－ab|a||b|2，所以S△OAB＝12|a||b|sin∠AOB＝12|a|2|b|2－(ab)2.答案：C6．(2010湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于( ) A．－16 B．－8C．8 D．16解析：解法一：因为cosA＝ACAB，故 cosA＝AC2＝16，故选D.解法二：在上的投影为| |cosA＝| |，故 cosA＝AC2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.答案：18．(2010浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α(α－2β)＝|α|2－2αβ＝0，故2αβ＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4αβ＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：109．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)a＝λab－a2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC中，O为中线AM上的'一个动点，若AM＝2，则 )的最小值是________．解析：令| |＝x且0≤x≤2，则| |＝2－x.＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴ 的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则ab＝|a||b|cos45°＝2×1×22＝1.而(2a＋λb)(λa－3b)＝2λa2－6ab＋λ2ab－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，则cosθ＝(2a＋λb)(λa－3b)|2a＋λb||λa－3b|>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，∴2＝kλ，λ＝－3k，解得k2＝－23.故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝ab|a||b|去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝－12，32.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23ab＋|b|2＝|a|2－23ab＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋43ab＝0，而|a|＝|b|，所以ab＝0，则－12cosα＋32sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k180°＋90°，即α＝k180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝cosπ2－θ，sinπ2－θ，(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．解：(1)证明：∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin(－θ)sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y，得xy＝0，即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t，∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.。

专题7.4 平面向量的数量积(专题训练卷)(原卷版)

专题7.4 平面向量的数量积(专题训练卷)(原卷版)

专题7.4平面向量的数量积（专题训练卷）一、单选题A ．1-B ．37C ．35D ．35A ．(4,2)B ．(2,4)-C ．(2,4)D ．(2,4)--A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-A ．向量a b +与a b -垂直B ．向量a b -与a 垂直C ．向量a b +与a 垂直D ．向量a b +与a b -共线 A ．78- B ．58- C ．34- D ．38- A ．725- B ．725 C ．2425- D ．2425 A ．152- B ．2- C ．152 D ．2A ．6πB ．3πC ．2πD ．23πA ．72B ．4C ．492 D ．23 二、多选题A ．//a bB ．()5a b a +⋅=-C ．()b a b ⊥-D ．2a b =A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=A ．()0a b c -⋅=B ．()0a b c a +-⋅=C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC == C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅三、填空题四、双空题（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________． （2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．五、解答题（1）计算：①a b +，②42a b -；（1）求向量a 与b 的夹角θ； （2）求a b -和向量a 与a b -夹角的余弦值．（1）求AD BC⋅的值；（2）求EB，EC夹角的余弦值.(1)求sin2α和cos2α的值;(2)若()10sinαβ-=且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求角β.。

平面向量的数量积与立体几何练习题

平面向量的数量积与立体几何练习题

平面向量的数量积与立体几何练习题前言：平面向量的数量积（又称内积、点积）是向量运算中的一个重要概念，它可以用来描述向量之间的夹角关系，以及计算向量的长度和方向等。

在立体几何中，数量积也被广泛应用于求解线段、平行四边形、三角形等几何问题。

本文将通过一些练习题来巩固和扩展读者对平面向量的数量积与立体几何的理解。

第一题：已知平面向量a = (3, -2, 1)和b = (2, 1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解答：向量a与向量b的数量积定义为a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量的模长，θ表示向量a和向量b所夹的夹角。

根据定义，我们可以计算向量a和向量b的模长：|a| = √(3² + (-2)² + 1²) = √14，|b| = √(2² + 1² + 4²) = √21。

同时，根据数量积的性质，我们可以得到a·b = b·a，因此不妨计算b·a。

b·a = (2)(3) + (1)(-2) + (4)(1) = 6 - 2 + 4 = 8因此，向量a与向量b的数量积为8。

第二题：已知平面向量a = (1, -2, 3)和向量b = (4, -3, 2)，求向量a与向量b所围成平行四边形的面积。

解答：根据平行四边形的性质，平行四边形的面积等于以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积。

而平行四边形的面积可以通过法向量的模长来计算。

因此，我们需要先计算平行四边形的法向量，再求其模长。

设平行四边形的法向量为n，可以通过向量a和向量b的叉积得到：n = a × b = (1)(-3) - (-2)(4), (-3)(2) - (1)(-4), (1)(-3) - (-2)(4) = (-11, -2, -5)平行四边形的面积等于法向量n的模长，即S = |n| = √((-11)² + (-2)² + (-5)²) = √150因此，向量a与向量b所围成平行四边形的面积为√150。

平面向量的加减与数量积练习题

平面向量的加减与数量积练习题

平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。

1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。

解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。

解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。

3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。

解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。

解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。

解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。

解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。

解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。

6.2.2 平面向量的数量积(精练)(解析版)

6.2.2 平面向量的数量积(精练)(解析版)

6.2.2 平面向量的数量积（精练）【题组一 向量的数量积】1．（2020·天水市第一中学高一期末）已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-【答案】D【解析】等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2=-．故选：D ． 2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在ABC 中，D 为线段BC 的中点，1AD =，3BC =，则AB AC ⋅（ ） A ．13- B ．54-C ．3D ．4【答案】B 【解析】在ABC 中，D 为线段BC 的中点()12AD AB AC BC AC AB⎧=+⎪∴⎨⎪=-⎩，可得12AB ADBC ，12AC ADBC , 2211152244AB AC AD BC ADBC AD BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．【答案】6【解析】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-， 所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：64．（2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.【答案】58【解析】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58.5．（2020·四川内江市）在等腰Rt ABC 中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】由题可知在等腰Rt ABC 中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a b C c a B ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎛⎫=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-.6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是______.【解析】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)11222=+⨯=-+=.7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，()1c ta t b =+-.若1a c ⋅=，则实数t =______. 【答案】1 【解析】两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，∴11·1122a b ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又(1)c ta t b =+-，1a c =，∴21[(1)](1)(1)12a ta tb ta t a b t t +-=+-=--=，解得1t =． 故答案为：1．8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t 的值为_____________. 【答案】4-【解析】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=,解得4t =-，故答案为：4- 【题组二 向量的夹角】1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【解析】因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,22aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.2．（2020·镇原中学高一期末）已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=，a 与b 的夹角为3π，则实数λ=_______________. 【答案】8λ=-或5λ=【解析】由370a b c λ++=，可得7(3)c a b λ=-+，则22224996b b c a a λλ=++⋅. 由a b c ，，为单位向量，得2221a b c ===，则24996cos 3πλλ=++，即23400λλ+-=，解得8λ=-或5λ=.3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向,,a b c ，满足2,3,1a b c ===，且()()5a c b c -⋅-=，a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于_________.【解析】平面向,,a b c ,满足2,3,1a b c ===,则2222224,3,1a a b bc c ======因为()()5a c b c -⋅-=展开化简可得()25a b c a b c ⋅-++=,因为221c c ==,代入化简可得()4a b c a b ⋅-+= 设c 与a b +的夹角为[],0,θθπ∈ 则由上式可得cos 4a b c a b θ⋅-⋅+⋅= 而()222272a b aba abb a b +=+=+⋅+=+⋅代入上式化简可得cos θ=令m a b =⋅,设a 与b 的夹角为[],0,ααπ∈,则由平面向量数量积定义可得cosa b a b m αα⋅=⋅⋅==,而1cos 1α-≤≤所以m -≤≤由余弦函数的值域可得cos 1θ≤,即4cos 1722a b m a bθ⋅-==≤+⋅将不等式化简可得21090m m -+≤,解不等式可得19m ≤≤ 综上可得1m ≤≤即123a b ⋅≤≤而由平面向量数量积的运算可知,设a b -与a b +夹角为β,则()()22727c 2osa b a b a b a ba b a bβ-⋅+-⋅+-⋅⋅⋅=+==当分母越大时,cos β的值越小;当a b ⋅的值越小时,分母的值越大 所以当1a b ⋅=时,cos β的值最小 代入可得c s o β==所以a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于15故答案为4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量,a b满足2,1,2a b a b a b ==+=-. （1）求a 在b 上的投影； （2）求a 与2a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）12-；（2）4. 【解析】（1）2222222(2)()442a b a b a b a b a a b b a a b b +=-⇒+=-⇒+⋅+=-⋅+2163,2a b b a b ∴⋅=-∴⋅=-，设a 和b 的夹角为θ，a 在b 上的投影为：1cos 2a ba bθ⋅==-；（2）设a 与2a b -夹角为α，()2222cos 2244a a ba a ba a ab bα⋅-====⨯⋅-⋅-⋅+.5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量a ，b ，2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为3π． （1）求a b ⋅； （2）求2a b +；（3）若2a b +与()2a b R λλ+∈垂直，求λ的值． 【答案】（1）1；（2）（3）4-. 【解析】（1）1cos2132a b a b π⋅=⋅=⨯=； （2）()2222224444412a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，223a b +∴=；（3）()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+⋅+=，即()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=，解得：4λ=-. 6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量,a b 满足||||1a b ==，||3||(0,)ka b a kb k k R +=->∈（1）若//a b ，求实数k 的值； （2）求向量a 与b 夹角的最大值. 【答案】（1）2±；（2）3π. 【解析】（1）因为//a b ，0k >，所以2104k a b k+⋅=>，则a 与b 同向.因为||||1a b ==，所以1a b ⋅=，即2114k k+=，整理得2410k k -+=，解得2k =所以当2k =±//a b . （2）设,a b 的夹角为θ，则221111cos 2444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，=，即1k =时，cos θ取最小值12，又0θπ≤≤，所以3πθ=，即向量a 与b 夹角的最大值为3π. 7．（2020·全国高一专题练习）已知向量12,e e ，且121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π.12m e e λ=+，1232n e e =-.（1）求证：()1222e e e -⊥； （2）若m n =，求λ的值； （3）若m n ⊥，求λ的值； （4）若m 与n 的夹角为3π，求λ的值. 【答案】（1）见解析（2）2λ=或3λ=-.（3）14λ=（4）2λ= 【解析】（1）证明：因为121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，所以()2221221221221222cos2111032e e e e e e e e e π-⋅=-=-=⨯⨯⨯-=， 所以()1222e e e-⊥.（2）由m n =得()()22121232e e e e λ+=-，即()2211229(212)30e e e e λλ-++⋅-=.因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos 32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()2191(212)3102λλ-⨯++⨯-⨯=， 即260λλ+-=.所以2λ=或3λ=-.（3）由m n ⊥知0m n ⋅=，即()()1212320e e e e λ+⋅-=，即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=. 因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()1332202λλ+-⨯-=.所以14λ=.（4）由前面解答知22121e e ==，1212e e ⋅=，7n =.而()22222212112221m e e e e e e λλλλλ=+=+⋅+=++，所以2m λ=()()1212211222113(32)23(32)222322e e e m n e e e e e λλλλλλ+-⋅-=+-⨯-⋅=+⋅-==-因为,3m n π=，由cos ,m n m n m n ⋅=得11222λ-=， 化简得23520λλ--=， 所以2λ=或13λ=-.经检验知13λ=-不成立，故2λ=.【题组三 向量的投影】1．（2021·江西上饶市）若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（）A B ．12-C ．-1D ．3 【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2-B ．1C ．1-D ．2【答案】C【解析】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=， 可得()222224414416a ba b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)()2222244144=4a b a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)联立(1)(2)解得32b =，32a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的投影为1a b b⋅=-.故选：C .3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量a ，b 满足1a=，3b=，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A B C ．4D ．5【答案】A【解析】设两个向量的夹角为θ，则cos cos a b θθ=，从而cos 0θ=， 因为[]0,θπ∈，故2πθ=，所以2210a b a b -=+=．故选：A ．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知1a =，2b =，,60a b =︒，则a b +在a 上的投影是（ ） A ． 1 B C ．2 D 【答案】C【解析】因为1a =，2b =，,60a b =︒，所以cos ,12cos601a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯︒=()22112a b a ab a +⋅=+⋅=+=所以a b +在a上的投影()2a b a a+⋅=故选：C 5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知3a =，3b =，32a b +=，则向量a 在向量b 方向的投影（ ） A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【答案】A【解析】由题意，向量3a =，3b =，32a b +=，可得222239218a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=，解得3a b ⋅=， 所以向量a 在向量b 方向的投影313a b b⋅==.故选：A. 6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC 中，ABAC ⋅=0，点P 为BC 的中点，且|PA |＝|AB |，则向量BA 在向量BC 上的投影为（ ） A BC B ．BC C ．﹣14BC D ．14BC 【答案】D【解析】根据题意，AB AC ⊥，又点P 为BC 中点，故可得PC PB PA AB ===， 如下所示：故三角形PAB 为等边三角形，故可得60B ∠=︒， 不妨设BA a =，故可得2BC a =， 则向量BA 在向量BC 上的投影为21212224a BA BC a BC a BC⨯⋅===. 故选：D .7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________.【答案】1-【解析】向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=，两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-．故答案为：1-． 8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量a ，b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为_______. 【答案】12【解析】()b a b ⊥+，()20a b b a b b =⋅+∴⋅+=，21a b b ∴=-=-⋅，()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=，22244442a b a b a b +=++⋅=+=，∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故答案为：12.9．（2021·河南郑州市）已知平面向量,a b 满足1,2,3a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影等于______． 【答案】12-【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：()22221243,1a b a a b b a b a b +=+⋅+=+⋅+=∴⋅=-，据此可得，a 在b 方向上的投影等于1122a b b⋅-==-. 10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边ABC 中，则向量AB 在向量CA 方向上的投影为_____． 【答案】1-【解析】因为ABC 是等边三角形， 所以向量AB 与向量CA 的夹角为120， 因为ABC 边长为2，所以向量AB 在向量CA 方向上的投影为1cos120212AB ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故答案为：1-.11．（2020·全国高一课时练习）已知e 为一个单位向量，a 与e 的夹角是120︒.若a 在e 上的投影向量为2e -，则a =_____________. 【答案】4【解析】e 为一个单位向量,a 与e 的夹角是120︒由平面向量数量积定义可得1cos1202a e a ⋅=⨯⨯︒=-, 根据平面向量投影定义可得122a e e ⎛⎫⨯-⋅=- ⎪⎝⎭,∴4a =.故答案为:4 12．（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______. 【答案】18 【解析】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=.故答案为：18. 【题组四 向量的模长】1．（2020·全国高一）已知平面向量a ，b 满足2a =，3b =，若a ，b 的夹角为120°，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】A【解析】由题意得，2239636a b a a b b -=-⋅+=+=A .2．（2020·全国高一）若向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 则a b +等于（ ）A ．37B ．13C D 【答案】C【解析】因为向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 所以22222+2++2cos 60+a b a a b b a a b b +⋅=⋅⋅=2214+243+3372=⨯⨯⨯=所以37a b +=，故选：C ．3．（2020·全国高一开学考试）已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，3b =，则a b -=（ ）A ．0B ．2C ．D【答案】D【解析】因为向量a ,b 满足0a b ⋅=,1a =,3b =则2a b a b -=-222a a b b =-⋅+==:D4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量a 、b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则a b -=_________. 【答案】3. 【解析】()222222222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=，8a b ∴⋅=，()2222222233a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=-，因此，3a b -=，故答案为3.5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a b ⋅=__________，22a b +=__________．【答案】-1 4 【解析】由2a b +=，得2222a a b b +⋅+=，①由6a b -=，得2226a a b b -⋅+=，②①-②得：44a b ⋅=-，∴1a b ⋅=-．故224a b +=．故答案为：①-1；②4.6．（2020·全国高一）已知6a →=，8b →=，则a b →→+的最大值为______；若6a →=，8b →=，且10a b →→-=，则a b →→+=______. 【答案】14 10【解析】222222()22cos ,a b a b a a b b a a b a b b →→→→→→→→→→→→→→+=+=+⋅+=+<>+3664248cos ,a b →→=++⨯<>10096cos ,a b →→=+<>10096196≤+=，当且仅当,a b →→同向时等号成立，所以14a b →→+≤，即a b →→+的最大值为14，由10a b →→-=两边平方可得：2222()21002100a b a b a a b b a b →→→→→→→→→→-=-=-⋅+=-⋅=，所以0a b →→⋅=，所以2222()2100a b a b a a b b →→→→→→→→+=+=+⋅+=，即10a b →→+=. 故答案为：14；107．（2020·东北育才学校）已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为 【答案】8【解析】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b-≥+⨯=，即28a b-≥，故选D.9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．3B C ．12D ．1【答案】B【解析】对于a，b 和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，22222222244cos4231244a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tbb+的最小值为2. 故选：B.10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量a 、b 满足23a a b =+=，则b a b ++的最大值为________． 【答案】【解析】22222443443a b a a b b a b b +=+⋅+=+⋅+=，则2a b b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos a b b θ⋅=-，3cos b θ∴=-，0b ≥，0θπ≤≤，可得2θπ≤≤π， 22222233sin a b a a b b b θ+=+⋅+=-=，则3sin a b θ+=，3cos 3b a b πθθθ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭，2θπ≤≤π，则2633πππθ≤-≤，所以，当32ππθ-=b a b ++取最大值故答案为：11．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m . 【答案】（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【解析】（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==，∴3b =. （2）∵27a mb -=，∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m =-或1m =. 12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量,a b 满足:2a =，1b =|.（1）若()()21a b a b +⋅-=，求a b ⋅的值；（2）设向量,a b 的夹角为θ，若存在t R ∈，使得||1a tb +=，求cos θ的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【解析】（1）若()()21a b a b +⋅-=，则2221a a b b +⋅-=， 又因为2a =，1b =|，所以421a b +⋅-=，所以1a b ⋅=-； （2）若||1a tb +=，则22221a ta b t b +⋅+=，又因为2a =，1b =，所以2203ta b t +=+⋅即204cos 3t t θ++=，所以2=16120cos θ∆-≥，解得2cos θ≤-或cos 2θ≥，所以311cos ,,θ⎡⎡⎤∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 13．（2020·全国高一单元测试）已知向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==． （1）求a b +，a b -；（2）求a b +与a 的夹角及a b -与a 的夹角．【答案】（1）43a b +=，4a b -=；（2）30，60．【解析】（1）因为向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==， 所以()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b +=+=+⋅+=++11624416482=+⨯⨯⨯+=，所以43a b +=， 又()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b -=-=-⋅+=-+11624416162=-⨯⨯⨯+=，所以4a b -=；（2）记a b +与a 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，a b -与a 的夹角为0,180,ββ⎡⎤∈⎣⎦，则()211644cos 43a b a a b aα+⨯⨯+⋅====⨯+，所以30α=．()21164412cos 44162a b a a a ba b aβ-⨯⨯-⋅-⋅====⨯-，所以60β=．【题组五 平面向量的综合运用】1．（2020·北京丰台区·高一期末）a ，b 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．a b = B ．1a b ⋅=C ．22a b ≠D ．22||||a b =【答案】D【解析】A ．,a b 可能方向不同，故错误；B ．cos ,cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，两向量夹角未知，故错误；C ．22221,1a a a a b b b b =⋅===⋅==，所以22a b =，故错误； D ．由C 知221a b ==，故正确，故选：D.2．（2020·全国高一单元测试）若a 是非零向量，b 是单位向量，①0a >，②1=b ，③ab a=，④()0a b λλ=≠，⑤0a b ⋅≠，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②⑤C ．①②④D ．①②【答案】D【解析】∵0a ≠，∴0a >，①正确；b 为单位向量，故1=b ，②正确；aa表示与a 方向相同的单位向量，不一定与b 方向相同，故③错误； a 与b 不一定共线，故()0a b λλ=≠不成立，故④错误，若a 与b 垂直，则有0a b ⋅=，故⑤错误． 故选：D.3．（2021·重庆）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“//a b ” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，a b ⋅= a b cos θ 若a b a b ⋅=，即a b cos θ=a b 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或 所以//a b若//a b ，则a b 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒= 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-即a b a b cos θ⋅= 所以“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分必要条件 所以选C4．（2020·全国高一课时练习）若a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +的最大值是（ ）A ．2 BC D ．1【答案】A 【解析】a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，∴222222()21c xa yb x y xya b x y xy =+=++=+-=，设x y t +=，y t x =-，得：22()()10x t x x t x +----=， 223310x tx t ∴-+-=，方程223310x tx t -+-=有解，∴()2291210t t ∆=--，23120t -+，22t ∴-x y ∴+的最大值为2．故选：A ．5．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定【答案】C【解析】由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B【解析】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误； 对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确， 故选：B .7．（多选）（2021·江苏高一）若a 、b 、c 是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ） A ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅B ．若a b a b ⋅=-⋅，则//a bC ．若a c b c ⋅=⋅，则//a bD ．若a a b b ⋅=⋅，则a b = 【答案】ACD【解析】()a b c ⋅⋅是与c 共线的向量，()b c a ⋅⋅是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，A 错， 若a b a b ⋅=-⋅，则a 与b 方向相反，∴//a b ，B 对，若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=，即()a b c -⊥，不能推出//a b ，C 错， 若a a b b ⋅=⋅，则||||a b =，a 与b 方向不一定相同，不能推出a b =，D 错， 故选：ACD.8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确， 对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.9．（2020·浙江高一期末）已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()c a c b -⋅-的最小值为__________. 【答案】4952- 【解析】()14c a a b λλ-=-+，()()241c b a b λλ-=-+-，()()()()()14241c b c a a b a b λλλλ⎡⎤⎡⎤-⋅-=⋅∴-+-+-⎣⎦⎣⎦ ()()()2222216122871a a b b λλλλλλ=-++-+-⋅+-，代入2a b a b ==⋅=， 原式252386λλ=-+，∴当1952λ=时，原式最小值为4952-. 故答案为：4952-10．（2020·湖北高一开学考试）在ABC 中，已知2AB =，||||CA CB CA CB +=-，2cos 22sin 12B CA ++=，则BA 在BC 方向上的投影为__________.【解析】因为CA CB CA CB +=-，所以()()22CA CB CA CB +=-所以0CA CB =，即2C π=因为2cos 22sin12B C A ++=，所以2cos 22sin 12A A π-+=即2cos 22sin 12AA +=，即cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=解得cos 1A =-或1cos 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =，即3A π=，所以6B π=，因为2AB =，所以2sin BC A ==所以BA 在BC 方向上的投影为3BC =【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π，则2a b -=____________；若t 为任意实数，则a tb +的最小值为____________．【答案】2【解析】由题意，平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π， 可得cos 21cos133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯=，则22224444414a ba b a b -=+-⋅=+-⨯=，所以22a b -=，又由22222()22a ta b t b t t a t a tb b ==+⋅+++=+=，所以当1t =-时，a tb +的最小值为故答案为：212．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 是BC 中点，E 在边AC 上，AE AC λ=，12AD BE ⋅=，则||=AD ________，λ的值为________.13【解析】因为2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，所以cos1203AB AC AB AC ⋅=⋅=-， 由题意()12AD AB AC =+，BE BA AE AC AB λ=+-=， 所以()()222211224AD AB AC AB AB AC AC ⎡⎤=+=+⋅+⎢⎥⎣⎦()1746944=-+=，所以72AD =； 由12AD BE ⋅=可得()()()2211222211AB AC AB AC AB AC AB AC λλλ+-⋅-=+⋅- ()31122229123λλλ=---=-=， 解得13λ=.；13. 13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）23λ=；（2）12-. 【解析】（1）由()2131cos 03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. 14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知2a =，3b =，向量a 与向量b 夹角为45°，求使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角时，λ的取值范围.【答案】1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 【解析】∵2a =，3b =，a 与b 夹角为45°，∴cos 453⋅=︒==b a a b ，而()()2222223393113a ab ba a b a b b λλλλλλλλλλ+++=++++=+=+⋅+，要使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角，则()()0a b a b λλ+⋅+>，且向量a λb +与a b λ+不共线，由()()0a b a b λλ+⋅+>得231130λλ++>，得λ<或λ>. 由向量a λb +与a b λ+不共线得211λλ≠∴≠±所以λ的取值范围为：1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 15．（2020·全国高一课时练习）在ABC 中，2CA CB ==，记,a CA B CB ==，且||3||(ka b a kb k+=-为正实数），（1）求证：()()a b a b +⊥-；（2）将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ； （3）求函数()f k 的最小值及此时角A 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）1()f k k k =+；（3）2，3A π=. 【解析】（1）在ABC 中，2CA CB ==，可得2a b ==，所以2222()()440a b a b a b a b +-=-=-=-=，所以()()a b a b +⊥-. （2）由||3||ka b a kb +=-，可得22||3||ka b a kb +=-，即22222223(2)k a ka b b a ka b k b ++=-+，整理得2888ka b k ⋅=+， 所以1()f k a b k k=⋅=+． （3）由（2）知1()f k a b k k=⋅=+，因为k 为正实数，则12k k +≥=，当且仅当1k k 时，即1k =时，等号成立，所以()f k 的最小值为2，即2a b ⋅=， 此时21cos 42||||a b C a b ⋅===⋅，因为(0,)C π∈，可得3C π=，又因为CA CB =，此时ABC 为等边三角形，所以3A π=．16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知OA a =，OB b =，点A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点．（1）试用a ，b 表示CD ；（2）若1a =，2b =，且a ，b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试求CD 的取值范围．【答案】（1）()2CD b a =-；（2）||2CD ⎡∈⎣．【解析】（1）连接AB ，则AB OB OA b a =-=-， ∵A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点， ∴12AB CD =，则()2CD b a =-． （2)222222CD b ab a a b =-=+-⋅2222cos b a a b θ=+-⋅，将1a =，2b =代入，则21CD == ∵2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]54cos 3,7θ-∈，故||2CD ⎡∈⎣．。

2022年高考数学核心考点专题训练专题21 平面向量的数量积(含解析)

2022年高考数学核心考点专题训练专题21 平面向量的数量积(含解析)

2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为
2．
2
其中正确结论的个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
10. 设向量 a,b,c,满足 a = b = 2,a ⋅ b = 2, a − c ⋅ b − c = 0,则 c 的最小值为
A. 3+1 2
B. 3−1 2
C. 3 − 1
11. 在给出的下列命题中，不正确的是( )
−5 10
=−
10，所以
2
B
错误：
因为a
−
b
=
(5,0)，所以
cos
<
a，a
−
b
>=
a⋅(a−b) |a|×|a−b|
=
10 5×5
=
2 5，所以
5
C
正确;
因为c
=
(
5 5
,
25 5
)，所以a
⋅
c
=2×
5 5
+
1
×
25 5
=
45 5
≠
0，所以a与c不垂直，所以 D
错误．
故选 C．
20.
已知向量m =
⋅
OB
=
OA
⋅
OC,AO
=
λ(
AB |AB|
+
AC |AC|
)则ΔABC
为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足 OA = OB = OC = r(r > 0)，且OA + OB + OC = 0，则△ ABC
是等边三角形
12. 已知不共线向量OA,OB夹角为α, OA = 1, OB = 2,OP = 1 − t OA,OQ = tOB 0 ≤ t ≤ 1), PQ 在 t = t0

高中数学必修二 6 3 2 平面向量数量积的坐标表示(精练)(含答案)

高中数学必修二 6 3 2 平面向量数量积的坐标表示(精练)(含答案)

6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精练）【题组一 数量积的坐标运算】1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量()1,3a =-，()5,4b =-，则⋅=a b （ ） A ．15 B ．16C ．17D ．18【答案】C【解析】因为向量()1,3a =-，()5,4b =-，所以()()153417a b ⋅=-⨯-+⨯=，故选：C 2．（2020·广东高一期末）若(1,2),(2,3)=-=a b 则(2b)b a -⋅=（ ） A ．-5 B ．5C ．-6D ．6【答案】A【解析】因为(1,2),(2,3)=-=a b ，所以(2b)b a -⋅=(4,1)(2,3)42135-⋅=-⨯+⨯=-.故选：A.3．（2020·湖北高一期末）已知向量()4,5a =，()22,11a b -=-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2-C ．2D ．-1【答案】B【解析】由题意，()4,5a =，()22,11a b -=-，可得()26,6b -=-，则()3,3b =-，所以43353a b ⋅=⨯-⨯=-，()233b =+-=所以向量a 在向量b 方向上的投影为3232a b b⋅-==-.故选：B.4．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知()1,2A -，()4,1B-，()3,2C ，则cos BAC ∠=（ ）A ．10-B ．10C ．2-D ．2【答案】D【解析】由已知得()3,1AB =，()2,4AC =，∴cos cos ,23AB AC BAC AB AC AB AC⋅∠====.故选：D. 5．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点()1,1A -，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量CD →在BA→方向上的投影是（ ） A．- B．2-C．D．2【答案】A【解析】由题可知，(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，所以(2,1)BA →=--，(5,5)CD →=， 则向量CD →在BA →方向上的投影是||BA CD BA →→→⋅==-故选：A.6．（2020·四川内江市）已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，若//a b ，a c ⊥，则()b a c ⋅-=（ ） A ．14 B ．-14C ．10D ．6【答案】C【解析】向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，//a b ，可得142x ⨯=，解得2x =，(2,4)b =，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．7．（2020·山东聊城市·高一期末）向量(1,3)a =，(3,1)b =，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．12πB ．6πC ．3π D ．2π 【答案】D【解析】设θ为a b +与a b -的夹角，(1,3)a =，(3,1)b =，则1+31+a b +=（，，131a b -=（-，）||=6a b ++||6a b -=-又()()0cos 04a b a b a b a bθ+⋅-===+-，0,2πθπθ≤≤∴=. 故选：D .8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量(1,2)a =，(,4)a b m +=，若a b ⊥ ，则m =（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】A【解析】()()(,4)1,2(1,2)b a b a m m =+-=-=-，因为a b ⊥，所以()112230a b m m ⋅=-⨯+⨯=+=，解得：3m =-，故选：A9．（2020·全国高一课时练习）设(3,4)a =，a b ⊥且b 在x 轴上的投影为2，则b =（ ） A ．8(2,)3B ．3(2,)2-C ．8(2,)3-D ．3(2,)2-【答案】B【解析】由题意，向量b 在x 轴上的投影为2，可设(2,)b y =， 因为a b ⊥，可得2340a b y ⋅=⨯+=，解得32y =-，所以3(2,)2b =-.故选：B. 10．（2021·江苏高一）已知平面向量(1,)a m =，()0,2b =，若(3)b a mb ⊥-，则实数m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】因为(3)b a mb ⊥-，所以(3)0b a mb ⋅-=，即23a b mb ⋅=，又(1,)a m =，()0,2b =，故324m m ⨯=，解得0m =.故选：B.11．（2020·全国高一）已知向量()()126,,3,2e e λ==-，若12,e e 为钝角，则λ的范围是（ ） A ．(,9)-∞ B ．(9,)+∞C ．(,4)(4,9)-∞⋃D ．(,4)(4,9)-∞-⋃-【答案】D【解析】12,e e 为钝角，∴12·0e e <且12,e e 不共线，∴18201230λλ-+<⎧⎨+≠⎩，解得9λ<且4λ≠-， λ∴的范围是(-∞，4)(4-⋃-，9).故选：D.12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量(),3a m =，()2,4b =-，若()a b a +⊥，则（ ） A ．1m =或3m =- B ．1m =-或3m = C ．2a b +=或10a b += D ．2a b +=或26a b +=【答案】AC【解析】因为向量(),3a m =，()2,4b =-，所以()2,1b m a +=+-，若()a b a +⊥，则()()2130m m +⨯+-⨯=，即2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 故A 正确，B 错；当3m =-时，(b m a +=+=当1m =时，(a b m +=+=故C 正确，D 错.故选：AC.13．（多选）（2020·全国高一）设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ） A ．a b = B ．()//a b b - C ．()a b b -⊥ D ．a 与b 的夹角为π4【答案】CD【解析】因为()2,0a =，()1,1b =， 所以2,2a b ==，所以a b ≠，故A 错误； 因为()2,0a =，()1,1b =，所以()()=1,1a b --，又()1,1b =， 则1111⨯≠-⨯，所以()a b -与b 不平行，故B 错误； 又()110a b b -⋅=-=，故C 正确；又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅， 又a 与b 的夹角范围是[]0,π， 所以a 与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.14．（2020·全国高一）已知向量()1,2a =-，()4,3b =，22c =.若a 与()b c -垂直，则向量a 与c 的夹角的余弦值是______.【答案】10-【解析】由已知14(2)32a b ⋅=⨯+-⨯=-，5a =，∵a 与()b c -垂直，∴()0a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=，∴2a c a b ⋅=⋅=-，∴2cos 105a c a c a c⋅-<⋅>===-⨯．15．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）已知向量()1,2a =，与向量(),1b x = （1）当x 为何值时，a b ⊥；（2）当3x =为何值时，求向量a 与向量b 的夹角； （3）求2b a -的最小值以及取得最小值时向量b 的坐标． 【答案】（1）2x =-；（2）4π；（3）最小值3，(2,1)=b ． 【解析】（1）20a b x ⋅=+=，2x =-，所以2x =-时，a b ⊥；（2）由题意(3,1)b =，3cos ,25a b a b a b⋅+<>===⨯,4a b π<>=；（3）由已知2(2,3)b a x -=--， 所以2(2)b a x -=-2x =时，2b a -取得最小值3，此时(2,1)=b ．【题组二 巧建坐标解数量积】1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 为CD 的中点，点Q 在BC 上，且2BQ =．（1）求AP AQ ⋅；（2）若AC AP AQ λμ=+（λ，μ∈R ），求λμ的值.【答案】（1）14；（2）23λμ=. 【解析】如图，分别以边AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴， 点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,3P ，()4,0B ，()4,3C ，()4,2Q .（1）∵()2,3AP =，()4,2AQ =，∴243214AP AQ ⋅=⨯+⨯=. （2）∵()4,3AC =，()2,3AP =，()4,2AQ =，由AC AP AQ λμ=+，得()()4,324,32λμλμ=++，∴244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23λμ=.2．（2020·江西高一期末）如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点.（1）求AD BC ⋅的值；（2）求EB ，EC 夹角的余弦值.【答案】（1）6；（2. 【解析】（1）依题意可知ABC为直角三角形，BC =则(0,0)B ，(0,2)A，C ， 因为D 为BC的中点，故D ，∴()3,2AD =-，()2BC =，∴36AD BC ⋅=⨯=.（2）由E 为线段AD 中点可知2E ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，∴12EB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，312EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴cos ,||||EB ECEB EC EB EC ⋅<>=11-⨯+⨯==3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB的圆心角为90︒，2OA =，点M 为线段OA 的中点，点N 为弧AB 上任意一点.（1）若30BON ∠=︒，试用向量OA ，OB 表示向量ON ； （2）求MB ON ⋅的取值范围. 【答案】（1）1322ON OA OB =+；（2）[]2,4-. 【解析】（1）如图，以O 为坐标原点，建立直角坐标系xOy ， 则()0,0O ，()0,2A ，()2,0B ，)N，所以()0,2OA =，()2,0OB =，()3,1ON =.设ON xOA yOB=+，则212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1322ON OA OB =+. （2）设()0θ90BON θ∠=︒≤≤︒，则()2cos ,2sin N θθ，()0,1M ， 则()2,1MB =-，()2cos ,2sin ON θθ=， 所以()4cos 2sin MB ON θθθϕ⋅=-=+， 其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=（ϕ为锐角）. 因为090θ︒≤≤︒，所以90ϕθϕϕ≤+=+︒， 则()maxcos cos 5θϕϕ+==，()()mincos cos 90sin 5θϕϕϕ+=︒+=-=-，所以MBON ⋅的取值范围为[]2,4-.【题组三 数量积与三角函数综合运用】1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( ) A ．1 B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---，故选：A . 2．（2020·辽宁高一期末）已知向量()1,cos2a x =，(sin 2b x =，将函数()f x a b =⋅的图象沿x 轴向左平移ϕ()0ϕ>个单位后，得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．512π D ．3π 【答案】D【解析】()sin 222sin 23f x a b x x x π=⋅⎛⎫==+⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位，得到()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 该函数的图象关于原点对称，∴该函数是奇函数，23k πϕπ∴+=，k Z ∈，62k ππϕ∴=-+，k Z ∈，又0ϕ>，min 3πϕ∴=.故选：D .3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知α是锐角，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，且a b ⊥，则α为（ ） A ．15° B ．45°C ．75°D ．15°或75°【答案】D【解析】a b ⊥，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，112sin cos 0sin 222a b ααα∴⋅=-=⇒=，又()0,90α∈，则20,180α，230α∴=或150，解得α=15°或75°.故选：D4．（2020·辽宁大连市·）已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,cos b α=，若a b ⊥，则3cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13- B ．13C ．D 【答案】A【解析】若a b ⊥，则1tan cos 03a b αα⋅=+⋅=，即1sin 3α=-， 所以31cos sin 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.故选：A 5．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知向量(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =，则a b +的值为（ ）A ．1 BC ．2D ．4【答案】B 【解析】(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =(sin 701a ∴==，(cos801b ==，1sin 70cos80cos70sin80sin1502a b ， ()22223a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=.故选：B.6．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.【答案】（1）90；（2）4π-. 【解析】（1）由已知得：1a b ==，则：()()22·0a b a b a b +-=-=，因此：()()a b a b +⊥-，因此，向量a b +与a b -所成的夹角为90；（2）由(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，可得()cos cos ,sin sin k a b k k αβαβ+=++，()cos cos ,sin sin a k b k k αβαβ-=--，(cos ka b k +=，(cos a kb α-=∴=整理可得：()()222cos 112cos k k k k βαβα+-+=--+，即：()4cos 0k βα-=，0k ≠ ， ()cos 0βα∴-=，即()cos 0αβ-=，00αβππαβ<<<∴-<-<，因此：2παβ-=-，即：24αβπ-=-.7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量()2sin ,1a α=，()1,cos b α=. （1）若角α的终边过点()3,4，求a b ⋅的值； （2）//a b ，且角α为锐角，求角α的大小； 【答案】（1）115；（2）4π．【解析】（1）角α的终边过点()3,4，点(3,4)到原点距离为5r ==，∴4sin 5α，3cos 5α=， ∴43112sin cos 2555a b αα⋅=+=⨯+=； （2）∵//a b ，∴2sin cos 10αα-=，sin21α=，又α为锐角，∴22πα=，∴4πα=．8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系xoy中，已知向量2(,22m =-，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）tan 1x =（2）512π． 【解析】（1）∵m n ⊥，∴0mn ⋅=0x x -=，∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，∴2cos 122cos ,112x x m n m n m n -⋅<>===⨯||||，故1sin()42x π-=， 又(0,)2x π∈，∴(,)444πππ-∈-x ，46x ππ∴-=，即512x π=．故x 的值为512π． 9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量(sin ,1)m x =-，向量13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求()f x 的最小正周期T 及其图象的对称轴的方程； （2）若方程()0f x t -=在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）π，23k x ππ=+，k z ∈；（2）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）∵(sin ,1)m x =-，13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，∴1sin ,2m n x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，可得1()()sin (sin )2f x m n m x x x =+⋅=+21sin cos 2x x x =+∵21sin (1cos 2)2x x =-，1sin cos sin 22x x x =∴11()(1cos 2)2sin 212226f x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭ 因此，()f x 的最小正周期22T ππ==. ∵262x k πππ-=+，k z ∈，∴对称轴方程为23k x ππ=+，k z ∈. （2）∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∵方程()0f x t -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， ∴()f x t =在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即得实数t 的取值范围为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量()3cos ,2sin a θθ=-． （1）当43θπ=时，求a 的值： （2）若()3,1b =-，且//a b，求22cos 124θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1；（2）23．【解析】（1）43θπ=，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎝⎭⎝，所以2322a ⎛⎫==⎪； （2）//a b ，则3cos 32sin 0θθ-+⨯=，所以1tan 2θ=，故22cos 1cos 122sin cos tan 134θθπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭．11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）若//a b ，tan 2x =-，求实数m 的值；（2）记()f x a b =⋅，若()1f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）±（2）(,1]-∞. 【解析】（1）∵//a b ，∴ 228sin cos (sin cos )m x x x x -=+，整理得：228tan tan 1m x x =-- ∵tan 2x =-，2321m =，解得：m = （2）∵()f x a b =⋅，()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-， ∴()2sin (sin cos )4sin cos f x m x x x x x =+-22sin 2sin cos m x m x x =- (1cos 2)sin 2m x m x =-- (sin 2cos2)m m x x =-+sin(2)4m x π=+∵(,0)2x π∈-，∴32444x πππ-<+<，∴1sin(2)42x π-≤+<，∴01)14x π<+≤若()sin(2)14f x m x π=+≤恒成立，则11)4m x π≤+恒成立，又∵111)4x π≥=+，∴1m ≤，故实数m的取值范围为(,1]-∞.12．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（理））已知()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-，()0,4ω∈，若()2f x a b =⋅其图像关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （3）当a b ⊥时，求x 的值. 【答案】（1）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）28k x ππ=+，k Z ∈. 【解析】（1）()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=- ∴()2222sin4sin cos 2cos f x a b x x x x ωωωω=⋅=+-2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 的图象关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ∴284k ππωπ⋅-=，k Z ∈即41k ω=+，k Z ∈∵()0,4ω∈ ∴1ω=∴()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为： ()()322224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈； 单调递减区间为：()()33722224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒+≤≤+∈； 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）∵a b ⊥∴()222sin 204f x a b x π⎛⎫=⋅=-= ⎪⎝⎭即24x k ππ-=，k Z ∈ 解得28k x ππ=+，k Z ∈13．（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b ，则函数f （x ）的值域．【答案】（1（2）【解析】（1）因为//a b ，所以cos 0x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan63x π==.（2）()f x a b =⋅=2cos 2x x x x+⨯=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以sin(),1]42x π+∈，所以()f x ∈.14．（2021·广东湛江）已知向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（1）求a b 及a b +的值；（2）若()·2f x a b a b λ=-+的最小值是32-，求实数λ的值． 【答案】（1）·cos 2a b x =，2cos a b x +=，（2）12λ= 【解析】（1）因为向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，所以33·cos cos sin sin cos 22222x x x xa b x =-=， 33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，所以(cosa b +===因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以cos 0x >， 所以2cos a b x +=，（2）由（1）可得()2·2cos 24cos 2cos 4cos 1f x a b a b x x x x λλλ=-+=-=--， 令cos t x =，则[0,1]t ∈，令2()241g t t t λ=--，其图像的对称轴为直线44t λλ-=-=， 则问题转化为当λ为何值时，函数2()241g t t t λ=--在[0,1]t ∈上有最小值32-， ①当0λ≤时，则函数()g t 在[0,1]上递增，最小值为3(0)12g =-≠-，不合题意，舍去， ②01λ<<时，则函数()g t 在[0,]λ上递减，在[,1]λ上递增，则最小值为23()212g λλ=--=-，解得12λ=或12λ=-（舍去）， ③当1λ≥时，则函数()g t 在[0,1]上递减，最小值为3(1)142g λ=-=-，解得58λ=，不合题意，舍去，综上，12λ=【题组四 数量积与几何综合运用】1．（2020·全国高一课时练习）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是()5,7、()3,5-、()3,4，则第四个顶点的坐标不可能是（ ） A ．()1,8- B ．()5,2-C ．()11,6D ．()5,2【答案】D【解析】设点()5,7A 、()3,5B -、()3,4C ，设第四个顶点为(),D x y ，分以下三种情况讨论： ①若四边形ABDC 为平行四边形，则AC BD =，即()()2,33,5x y --=+-，即3253x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得52x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()5,2-；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AD BC =，则()()5,76,1x y --=-， 即5671x y -=⎧⎨-=-⎩，解得116x y =⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()11,6；③若四边形ACBD 为平行四边形，则AD CB =，即()()5,76,1x y --=-，即5671x y -=-⎧⎨-=⎩，解得18x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()1,8-.综上所述，第四个顶点的坐标为()11,6或()5,2-或()1,8-，所以不可能是()5,2，故选：D. 2．（2020·辽宁）已知向量．（1）若ΔABC 为直角三角形，且∠B 为直角，求实数λ的值． （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数λ应满足的条件 ． 【答案】（1）λ=2；（2）λ≠−2． 【解析】∵即：−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2（2）∵若点A 、B 、C 能构成三角形，则A 、B 、C 不共线 ∴−7(3λ−2)≠7(6−λ) ∴实数λ应满足的条件 是λ≠−23．（2021·重庆市）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---,(4,1)OD =． （1）若四边形ABCD 是平行四边形，求,x y 的值；（2）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 【答案】（1）2,5x y =-=-；（2）0{3x y ==-或2{3x y =-=．【解析】（1）(1,5)AD =，(1,)BC x y =---，由AD BC =得x=-2,y=-5． （2）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，若B ∠为直角，则AB BC ⊥， ∴3(1)0x y ---=，又AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得0{3x y ==-或2{3x y =-=．4．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面上三点,,A B C ，()2,3BC k =-，()2,4AC =. （1）若BC AC =，求实数k 的值.（2）若ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，求实数k 的值.【答案】（1）2k =（2）2k =-【解析】（1）由于BC AC =，则=解得2k =.（2）(),1AB AC BC k =-= 由题意得A 为直角，则•0AB AC =. 即240k +=，故2k =-.5．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（文））已知向量OA =()3,4-,OB =()6,3-,OC =()5,3m m ---,O 为坐标原点.（1）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值； （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 【答案】（1）74m =；（2）12m ≠ 【解析】（1）因为OA =()3,4-，OB =()6,3-，OC =()5,3m m ---， 所以(3,1)AB OB OA =-=，(2,1)AC OC OA m m =-=--， 若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ∴3（2﹣m ）+（1﹣m ）＝0，解得74m =． （2）若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线， 得3（1﹣m ）≠2﹣m ，∴实数12m ≠时，满足条件． 6．（2020·广东云浮市·高一期末）（1）已知向量a ，b 满足5a =，()1,2b =，且//a b ，求a 的坐标． （2）已知()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，判断并证明以A ，B ，C 为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【答案】（1）()1,2a =或()1,2a =--；（2）ABC 为直角三角形，B 为直角，证明见解析. 【解析】（1）设(),a x y =，则225x y +=，又//a b ，所以20x y -=，联立2252x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩． 于是()1,2a =或()1,2a =--．（2）ABC 是直角三角形，B 为直角．证明如下：∵()()()1,45,26,6BA =---=--，()()()3,45,22,2BC =-=-，∴()()62620BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=，∴BA BC ⊥，即ABC 为直角三角形，B 为直角．7．（2020·湖北襄阳市·襄阳五中高一月考）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，(4,1)OD =--．（Ⅰ）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B 为直角，求x ，y 的值．【答案】（Ⅰ）2,5--；（Ⅱ）03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩． 【解析】（Ⅰ）(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，∴(1,5)AD =--，(1,)BC x y =+，由AD BC =，2x =-，5y =-； （Ⅱ）(3,1)AB =--，(1,)BC x y =+，B ∠为直角，则AB BC ⊥，3(1)0x y ∴-+-=，又||||AB BC =，22(1)10x y ∴++=，再由3(1)y x =-+，解得：03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．。

平面向量的数量积与向量投影练习题

平面向量的数量积与向量投影练习题

平面向量的数量积与向量投影练习题在平面向量的运算中，数量积和向量投影是两个重要的概念。

它们在几何和物理学中有着广泛的应用。

本文将通过练习题的形式来帮助读者更好地理解和应用平面向量的数量积与向量投影。

1. 练习题一已知向量a = 3i + 4j和向量b = -2i + 3j，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量a与向量b的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

首先，我们需要计算|a|和|b|，它们分别表示向量a和b的模。

向量a 的模为|a| = √(3^2 + 4^2) = 5，向量b的模为|b| = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13。

接下来，我们需要计算θ的余弦值。

根据向量的坐标表示，可以得出cosθ = (a·b)/(|a||b|)。

代入已知数据，可以得到cosθ = ((3)(-2) +(4)(3))/(5√13) = 6/(5√13)。

最后，将cosθ代回数量积公式，可以求得向量a与向量b的数量积：a·b = (5)(√13)(6/(5√13)) = 6。

因此，向量a与向量b的数量积为6。

2. 练习题二已知向量a = i + 2j和向量b = 2i + 3j，求向量a在向量b上的投影。

解析：向量a在向量b上的投影可以用以下公式计算：proj_b(a) = (a·b/|b|)* (b/|b|)，其中proj_b(a)表示向量b上投影的向量。

首先，我们需要计算a·b，它表示向量a与向量b的数量积。

根据向量的坐标表示，可以得出a·b = (1)(2) + (2)(3) = 2 + 6 = 8。

接下来，计算|b|，它表示向量b的模。

向量b的模为|b| = √(2^2 +3^2) = √(4 + 9) = √13。

然后，计算投影向量的方向，即b/|b|。

根据向量的坐标表示，可以得出b/|b| = (2/√13)i + (3/√13)j。

5-3平面向量的数量积单元测试题(含答案)

5-3平面向量的数量积单元测试题(含答案)

5-3平面向量的数量积单元测试题A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(★)设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )． A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直解析 (筛选法)A 项，∵|a |＝1，|b |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，∴|a |≠|b |； B 项，a ·b ＝1×12＋0×12＝12；C 项，∵1×12－0×12≠0，∴a 不平行于b ；D 项，∵a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b )·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12＝0，∴(a －b )⊥b . 答案 D【点评】 本题采用了筛选法.数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论. 2．(2011·武汉模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝( )．A ．－32B ．－23 C.23 D.32解析 由于AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32.答案 D3．(2011·湖北)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )．A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π4.答案 C4．(2011·东北三校联考(二))已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )．A ．－4B ．4C ．－2D ．2解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝a ·b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4. 答案 A5．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2解析 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1， 故|a ＋b －c |≤1.答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·重庆)已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝________.解析 依题意得(2e 1－e 2)2＝4e 21＋e 22－4e 1·e 2＝4＋1－4×12×cos 60°＝3，故|2e 1－e 2|＝ 3.答案 37．(2011·安徽)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．解析 由(a ＋2b )·(a －b )＝－6，得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6，又|a |＝1，|b |＝2，所以a ·b ＝1，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝11×2＝12，而0≤θ≤π，所以θ＝π3. 答案 π38．(2011·全国新课标)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.解析 设a 与b 夹角为θ，由题意知|a |＝1，|b |＝1，θ≠0且θ≠π.由a ＋b 与向量k a －b 垂直，得(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k |a |2＋(k －1)|a ||b |cos θ－|b |2＝0，(k －1)(1＋cos θ)＝0. 又1＋cos θ≠0，∴k －1＝0，k ＝1.答案 1三、解答题(共23分)9．(11分)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7.(1)求a ，b 夹角的大小；(2)求|3a ＋b |的值．解 (1)设a 与b 夹角为θ，(3a －2b )2＝7,9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7，而|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12又θ∈[0，π]，∴a ，b 所成的角为π3.(2)(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13，∴|3a ＋b |＝13.10．(12分)如图所示，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；(2)在(1)条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．解 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，又AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0.即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，②联立①②化简，得y 2－2y －3＝0，∴y ＝3或y ＝－1.故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，∴S ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16；当y ＝－1时，x ＝2，此时AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)，∴S ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·杭州模拟)已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π解析 ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有两不相等的实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a·b ＞0，即a·b ＜12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |，|a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉＜12|a |2|a ||b |＝32，∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴π6＜〈a ，b 〉≤π.答案 D2．(2011·北京东城4月抽检)如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )．A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→解析 由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→||P 1P 3→|cos 30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos 60°＝a 2.答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·江苏)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析 由题意知：a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0, 化简可求得k ＝54.答案 544．(2011·浙江)若平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |≤1，且以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积为12，则a 和b 的夹角θ的取值范围是________．解析 依题意有|a ||b |sin θ＝12，即sin θ＝12|b |，由|b |≤1，得sin θ≥12，又0≤θ≤π，故有π6≤θ≤5π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 三、解答题(共22分)5．(10分)已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，求AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值．解 由题意知△ABC 为直角三角形，AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，cos ∠BAC ＝35，cos ∠BCA ＝45，∴BC →和CA →夹角的余弦值为－45，CA →和AB →夹角的余弦值为－35，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－25. 6．(★)(12分)设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．思路分析 转化为(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0且2t e 1＋7e 2≠λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)．解 由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0.得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)．∴⎩⎨⎧ 2t ＝λ，7＝tλ.∴2t 2＝7. ∴t ＝－142，此时λ＝－14.即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π.∴夹角为钝角时，t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12 【点评】 本题较好地体现了转化与化归思想.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.。

平面向量数量积习题

平面向量数量积习题

A BCD 平面向量数量积题(2.4～2.5 数量积、应用举例)A 组一、选择题:共6小题1、(易 数量积)平面向量a 与b 的夹角为60,(1,0)=a ,1=b ,则2+a b =( ) A.7 B.7 C.4 D.122、(易 数量积)已知正ABC △的边长为1,且BC =a ,CA =b , 则-a b = ( ) A.3B 3C.2D.13、(易 投影概念)已知a =5,b =3,且12⋅=-a b ,则向量a 在向量b 上的投影等于( )A.125 B.4 C.125- D.4- 4、(中 应用举例)设P 是曲线1y x=上一点,点P 关于直线y x =的对称点为Q ,点O 为坐标原点,则OP OQ ⋅=( )A.0B.1C.2D.35、(中 数量积)在ABC △中,BC =a ,CA =b ,AB =c ,且⋅⋅⋅a b =b c =c a ,则ABC △的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形 6、(中 应用举例)已知偶函数()f x 满足:()(2)f x f x =+,且当[0,1]x ∈时,()sin f x x =,其图象与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,P P ,则1324PP P P ⋅等于( ) A.2 B.4C.8D.16二、填空题:共3小题7、(易 数量积)如图,在边长为1的棱形ABCD 中,22AC BD += .8、(中 数量积)已知a (2,1)=,b (,1)=λ,λ∈R ,a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是 .9、(中 数量积)在△ABC 中,3,2,2AB BC A π==∠=,如果不等式AC BC t BA ≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 .OABCPAOCB三、解答题:共2小题10、(中 应用举例)设集合{=D 平面向量},定义在D 上的映射f ,满足对任意x D ∈,均有f (x ) =λx (λ∈R 且0λ≠).若︱a ︱=︱b ︱且a 、b 不共线,则(f ( a ) -f (b ))⋅(a+b )= ; 若)8,4(),6,3(),2,1(C B A ,且()f BC AB =,则λ . 11、(中 数量积)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的 夹角为90.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动,若OC xOA yOB =+,其中,x y ∈R ,则xy 的范围是________.B 组一、选择题:共6小题1、(中 数量积)已知平面向量11(,)x y =a ,22(,)x y =b ,若||2=a ,||3=b ,6⋅=-a b ,则1122x y x y ++的值为 ( )A.2-B.2C.23-D.232、(中 数量积)在平面直角坐标系xOy 中作矩形OABC ,已知3,4==AB OA ,则AC → ·OB →的值为( )A.0B.7C.25D.－73、已知非零向量,a b 若1==a b ,且⊥a b ,又知(23)+⊥a b (k 4)-a b ,则实数k 的值为( )A.6B.3C.－3D.－6 4、(中 数量积)已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ,0=⋅b a ,且2y =-+⎧⎨=-⎩a x yb x ,则|y ||x |+等于( ) A.23+ B.25+ C.2 D.55、(中 应用举例)如图,O,A,B 是平面上的三点,向量OA =a ,OB =b ,设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点,OxyAB图4向量OP =p ,若a =4,b =2,则()⋅-p a b =( ) A.8B.6C.4D.06、(中 应用举例)设向量a 与b 的夹角为θ,定义a 与b 的“向量积”:⨯a b 是一个向量,它的模⨯=⋅a b a b sin θ⋅,若(3,1)=--a ,(1,3)=b ,则⨯=a b ( ).A.3B.23C.2D.4二、填空题:共3小题7、(中 数量积)已知向量24,11()(),,a =b =.若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是 . 8、(中 应用举例)设向量,a b 满足:||3=a ,||4=b ,0⋅=a b .以,,+a b a b 为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个.9、(中 数量积)在直角坐标系xOy 中,,i j 分别是与x 轴,y 轴平行的单位向量,若在Rt ABC △中,AB =i +j ,AC =2m +i j ,则实数m = .三、解答题:共2小题10、(中 应用举例)已知a =(1,0),b =(0,1),若向量c =(,)m n 满足()()-⋅-=a c b c 0, 试求点(,)m n 到直线10x y ++=的距离的最小值.11、(中 数量积)如图4,已知点)1 , 1(A 和单位圆上半部分上的动点B .(1)若OB OA ⊥,求向量OB ; (2)求||OB OA +的最大值.C 组解答题:共2小题1、(难 应用举例)已知向量(2,1)AB k =--,(1,)AC k =. (1)若ABC △为直角三角形,求k 值; (2)若ABC △为等腰直角三角形,求k 值.2、(难 数量积)在平面直角坐标系中,已知向量(1,2),a =-又点(8,0),(,),A B n t (sin ,)C k t θ(0)2θπ≤≤.(1)若AB a ⊥,且5(AB OA O =为坐标原点),求向量OB ;(2)若向量AC 与向量a 共线,当4k >,且sin t θ取最大值4时,求OA OC ⋅.平面向量数量积题 考答案A 组1. B 由已知1=a ,2222441411cos6047+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b , ∴27+=a b .2.A 由题意知a 与b 的夹角为18060120-=,且1==a b , ∴1cos1202⋅=-a b =a b ,∴222233-=-⋅⇒-=a b a +b a b =a b . 3.D 向量a 在向量b 上的投影等于12cos 43θ⋅-⋅=⋅==-⋅a b a a a b . 4.C 设111(,)P x x ,则111(,)Q x x ,111111111111(,)(,)2OP OQ x x x x x x x x ⋅=⋅=⋅+⋅=.5.D 因,,a b c 均为非零向量,且⋅⋅a b =b c ,得()0()⋅-=⇒⊥-b a c b a c , 又()⇒-a +b +c =0b =a +c ,∴22[()]()0-⋅-=⇒a +c a c a =c ,得a =c , 同理b =a ,∴a =b =c ,得ABC △为正三角形.6.B 依题意1234,,,P P P P 四点共线,13PP 与24P P 同向,且1P 与3P ,2P 与4P 的横坐标都相差一个周期,所以13||2PP =,24||2P P =,13241324||||4PP P P PP P P ⋅==.7.4 AC AD AB =+,BD AD AB =-,则22AC BD +=2222()()AC BD AD AB AD AB +=++-=222()AD AB + 又1AD AB ==,∴222(11)4AC BD +=⨯+=. 8.1{2λλ>-,且2}λ≠ ∵cos θ=⋅⋅a b a b =22151λ+⋅λ+.因θ为锐角,有0cos 1θ<<,∴2210151λ+<≠⋅λ+,∴22102151λ+>⎧⎪⎨λ+≠⋅λ+⎪⎩,解得122⎧λ>-⎪⎨⎪λ≠⎩.9.1(,][1,)2-∞+∞ 由题意得1AC =,22BA tBC AC BA tBC AC -≥⇒-≥,∴22222BA tBA BC t BC AC -⋅+≥,得22233232212t t -⋅⋅⋅+⋅≥, 得12t ≤或1t ≥. 10.0;2 ∵︱a ︱=︱b ︱且a 、b 不共线,∴(f ( a ) -f (b ))⋅(a+b )= (λa －λb )⋅(a+b ) =λ(22-a b )=0;又(1,2)BC =,有()f BC =(1,2)λ,(2,4)AB =,∴2λ=. 11.1[0,]2由222222OC xOA yOB OC x OA y OB xyOA OB =+⇒=++⋅,又1,0OC OA OB OA OB ===⋅=,∴2212x y xy =+≥,得12xy ≤, 而点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动,得,[0,1]x y ∈,于是102xy ≤≤.B 组1.C 设,a b 的夹角为θ,则cos 6cos 1,θθ⋅==-⇒=-a b a b ∴180θ=︒. 即a,b 共线且反向,∴23-a =b,121222,,33x x y y =-=-∴112223x y x y +=-+.2.D 2222()()347AC OB OC OA OC OA OC OA ⋅=-⋅+=-=-=-.3.A (23)+⋅a b (k 4)-a b =02k ⇒2a 8-⋅ab +3k ⋅a b 212-b =0,∴6k =.4.B 由所给的方程组解得2⎧⎨⎩x =a +b y =a +b,2222=++⋅=x a b a b ,22445=++⋅=y a b a b ,∴|y ||x |+=25+.5.B 由BP AP =,知-=-p b p a ,∴22-=-p b p a ,222-⋅+=p p b b222-⋅+p p a a ,得222216412⋅-⋅=-=-=p a p b a b ,∴()6⋅-=p a b .6.C ∵cos θ=⋅⋅a b a b=333222--=-⨯,(0,)θ∈π,∴1sin 2θ=,∴⨯=⋅a b a b sin θ⋅12222=⨯⨯=. 7.13-λa +b =(21,41)λλ++,()=λ⋅b a +b 1(21)1(41)0λλ⨯++⨯+=. ∴13λ⇒=-.8.4 可得2225+=++⋅=a b a b a b ,设该三角形内切圆的半径为r ,则(4)(3)51r r r -+-=⇒=,∴对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现4个交点,但不能得到5个以上的交点.9.－2或0 把AB 、AC 平移,使得点A 与原点重合,则(1,1)B 、(2,)C m ,画图可知90B ∠=或90A ∠=.当90B ∠=时,0AB BC ⋅=,∴(1,1)(21,1)0m ⋅--=,得0m =;当90A ∠=时,0AB AC ⋅=,∴(1,1)(2,)0m ⋅=,得2m =-.10.解:将c =(,)m n ,代入()()-⋅-=a c b c 0得(1)(1)0m m n n ----=,∴22111()()222m n -+-=,它表示以11(,)22为圆心,22为半径的圆. ∵圆心11(,)22到直线10x y ++=的距离1112222d ++==, ∴点(,)m n 到直线10x y ++=的距离的最小值为22222d r -=-=. 11.解:(1)依题意,)sin , (cos θθB ,0θ≤≤π(不含1个或2个端点也对))1 , 1(=OA ,)sin , (cos θθ=OB (写出1个即可),因为OB OA ⊥,所以0=⋅OB OA ,即0sin cos =+θθ, 解得4θ3π=,所以)22, 22(-=OB . (2))sin 1 , cos 1(θθ++=+OB OA , 则22)sin 1(cos 1(||θ+++=+θ)OB OA )cos (sin 23θθ++=,∴232(sin cos )OA OB θθ+=++,令sin cos t θθ=+,则21sin 22t θ=+≤,即2t ≤,∴22322(21)OA OB +≤+=+,有21OA OB +≤+当22θπ=,即4θπ=时,||OB OA +取得最大值21+. C 组1.(1)(2,1)AB k =--,(1,)(1,1)AC k BC AC AB k k =⇒=-=-+ ①若90A ∠=,则AB ⊥AC ⇒(2,1)(1,)0k k --⋅=,∴1k =;②若90B ∠=,则AB ⊥BC ⇒(2,1)(1,1)0k k k --⋅-+=,得2230k k -+=无解; ③若90C ∠=,则AC ⊥BC ⇒(1,)(1,1)0k k k ⋅-+=,得2210k k +-=, ∴12k =-±.综上所述,当1k =时,△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形;当12k =-±时,ABC △是以C 为直角顶点的直角三角形.(2)①当1k =时,(1,1)AB =-,(1,1)AC =⇒AB =2AC =; ②当12k =-+时,(1,12)AC =-+,BC =(22,2)-+, 得422AC =-,842BC =-,AC ≠BC ;③当12k =--时,(1,12)AC =--,BC =(22,2)--, 得422AC =+,842BC =+,AC ≠BC ;综上所述,当1k =时,△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形. 2.解:(1)可得(8,)AB n t =-,∵AB a ⊥,∴(8,)(1,2)0AB a n t ⋅=-⋅-=, 得28n t =+.则(2,)AB t t =,又5,AB OA =8OA =.∴22(2)564t t +=⨯,解得8t =±,当8t =时,24n =;当8t =-时,8n =-. ∴(24,8)OB =或(8,8)OB =--.(2)∵向量AC 与向量a 共线,∴2sin 16t k θ=-+,2432sin (2sin 16)sin 2(sin )t k k k kθθθθ=-+=--+.∵4k >,∴401k <<,故当4sin k θ=时,sin t θ取最大值32k ,有324k =,得8k =. 这时,1sin 2θ=,8k =,sin 4t θ=,得8t =,则(4,8)OC =.∴(8,0)(4,8)32OA OC ⋅=⋅=.。

向量的数量积经典例题(含详细答案)

向量的数量积经典例题(含详细答案)

向量的数量积经典例题（含详细答案）1．已知 a 3,b 4，a r ,b r的夹角为120o.r r r r r r求( 1) r agb r， a 2b 2a b ；(2) 2a 3br r 2 r r 2．已知向量a、b的夹角为3 ,|a r | 1,|b| 2.3（1）求a r·r b的值（2）若2a r b r和ta r b r垂直，求实数t的值.3．已知平面向量a 1,2 ,b 2,m（1）若r a b r，求 a 2b ；（2）若m 0，求r a b r与a r b r夹角的余弦值.4．已知向量r a (2, 1),b r (3, 2),c r (3,4) ，( 1)求a r (b r r c) ；(2)若(r a b r )∥r c ，求实数的值.5．已知| a r | 2，|b r| 3，且（2r a 3b r）（a r b r） 2.（1）求 a b 的值；（2）求a r与r b所成角的大小.6．已知 a 1,2 ，b 3,4（1）若ka b与a 2b 共线，求k；（2）若b r与 a 2b垂直，求k.ka rr r r r r r r r r r 7．已知 a 2,b 3,a与b r的夹角为60 ,c 5a 3b r ,d r3a kb r,(1)当c v Pd v时，求实数k的值；(2)当c r d ur时，求实数k的值.参考答案1．（1）6，32；（2）6 3．【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义进行求解；r r r r 2 （2）根据2a 3b 2a 3b 2先求数量积，再求模长．【详解】r rr r 解：（1）∵ a 3,b 4，a r,b r的夹角为120o，r r r r 1 ∴ agb a b cos120 3 4 （） 6 ，2r r r r r 2r2r ra 2b 2a b 2a r 22b r23a r g r b 2 9 2 16 3 （6）32；r r r r 2r2r2r r（2）2a 3b2a 3b = 4a r 29b r212a r gb r49 9 16 12 （ 6）6 3．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义及平面向量的模长，考查计算能力，属于基础题．2．（1）1；（2）2.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可．r r r r （2）利用2a b gta b0可求实数t 的值．【详解】rr 1) a b r r2 1a b cos 12 13 22）因为2a rr 2 r r r2 整理得到：2ta 2 tagb b 0即2t 2 t 1 2 14 0 ，2解得t 2 ．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量a v,b v垂直的等价条件是a v b v0，ra t g本题属于基础题．3．(1) a r 2b r 5(2) 6565解析】 分析】解得 m1r r所以r aa r2b 2b1,2 4,23,432 4252) 若m 0，则 b r2,0a b 1 65 r r r r a b a-b 5 13 65本题主要考查的向量的模以及数量积，属于简单题。

平面向量数量积测试题（含答案）

平面向量数量积测试题（含答案）

一、选择题1. 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()ac b c -∙-的最小值为A.2-B.2C.1-D.12. 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =A.B. C.5 D. 253. 平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=A.B. C. 4 D.24.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为4π,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为A.15B.15C. 16D.14 5. 设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,,则|a +b |的值 A.23 B.9 C.2918+ D.223+6. 若|a |=1,|b a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为A.300B.450C.600D.7507. 设向量与的夹角为θ，)1,2(=a ，)54(2，=+b a ，则θcos 等于 A.1010 B.10103 C.53 D.548. 已知向量a ，b 的夹角为3π，且||2a = ，||1b = ，则向量a 与向量2a b +的夹角等于A ．56π B ．2π C ．3π D ．6π9. 已知||OA = , ||OB =,∙=0，30AOC ∠=,设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ,则m n =A.3B. 3C.33D. 1310. 已知a =(2,3), b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 A ．13 B ．513 C ．565 D ．6511. 已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b等于A ．)54,53(或)53,54(B ．)54,53(或)54,53(-- C ．)54,53(-或)53,54(- D ．)54,53(-或)54,53(-12. 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b垂直，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°二、填空题13. 若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．14. ABC ∆中，︒=∠90A ，k AB (=，1），2(=AC ，3），则k 的值是________．15. 已知平面向量(2,4)a = ，(1,2)b =- ．若()c a a b b =-⋅，则||c = _____________．16.在ABC ∆中，AC =2，BC =6，已知点O 是ABC ∆内一点，且满足34OA OB OC ++=0，则 (2)O C B A B C ⋅+ =________. 三、计算题17. 已知a 4,|b|3,(2a 3b)(2a b)61==⋅+= ｜｜－,求：（1）求a b ⋅ 的值； （2）求a b 与的夹角θ； （3）求a b + ｜｜的值； 18. 已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值； （2）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)

(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积A 组 专项根底训练一、选择题(每题5分，共20分)1． (2021·辽宁)向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，假设a ·b ＝1，那么x 等于( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1 2． (2021·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，那么|a＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．假设向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，那么c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，那么AB →·AC→等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32二、填空题(每题5分，共15分)5．向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，那么|b |＝________.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，那么AB →·AC→＝________. 7． a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，假设a 与b 的夹角为钝角，那么λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分)8． (10分)a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)假设c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，假设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．B 组 专项能力提升一、选择题(每题5分，共15分)1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC→＝1，那么BC 等于 ( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 2． |a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，那么向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，那么|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10二、填空题(每题5分，共15分)4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．假设(a ＋c )⊥b ，那么|a |＝________.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，假设AB →·AF →＝2，那么AE →·BF→的值是________．6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，那么AM →·AN →的取值范围是________． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．平面向量的数量积参考答案A 组 专项根底训练1.答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． 答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10. 3．答案 D解析 设c ＝(x ，y )，那么c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4．答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32.二、填空题(每题5分，共15分)5．答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.6． 答案 －16解析 如下图，AB→＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC →＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM→－MB →) ＝AM→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7． 答案 (－∞，－6)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，32解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得： 6＝－λ，即λλ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8．解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)． 9．解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，那么⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)． 故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．B 组 专项能力提升一、选择题(每题5分，共15分)1．答案 A解析 ∵AB →·BC→＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ，即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝ 3.2．答案 A解析 a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． 答案 D解析 ∵P A →＝CA →－CP →，∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA→＋CP →2. ∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB→|2 ＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD→＋2CP →2. 又AB→2＝16CP →2，CD →＝2CP →， 代入上式整理得|P A →|2＋|PB→|2＝10|CP →|2，故所求值为10. 二、填空题(每题5分，共15分)4．答案 2解析 利用向量数量积的坐标运算求解． a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.5．答案 2解析 方法一 坐标法． 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，那么A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB→＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF→＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.方法二 用AB→，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，那么CF →＝(x －1)AB →.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF→＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2. 6．答案 [1,4]解析 利用基向量法，把AM→，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积． 如下图，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，那么BM→＝λBC →， CN→＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD→ ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN→取得最小值1.∴AM →·AN→∈[1,4]． 三、解答题7．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0， 故向量a ＋b 与a －b 垂直．(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，那么α＝30°或α＝210°.。

高考一轮数学复习 5-2平面向量的数量积 理 同步练习(名师解析) 试题

高考一轮数学复习 5-2平面向量的数量积 理 同步练习(名师解析) 试题

第5章 第2节 知能训练·提升考点一：向量的数量积运算1．(2010·崇文检测)设a 、b 、c 是三个向量，以下命题中真命题的序号是________． ①若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③若a 、b 、c 互不共线，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 答案：④2．若向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 解析：解法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，故向量a 与b 同向，而向量c 与它们的和反向． 所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°＝3－4－12＝－13. 解法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.答案：－13 考点二：向量的模3．(2010·台州模拟)已知向量a 、b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5，则|3a －b |等于 ( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：∵|3a －b |2＝(3a －b )2＝9a 2＋b 2－6a ·b ＝9＋25－6×1×5×cos120°＝49，∴|3a －b |＝7. 答案：A4．(2010·大连模拟)已知a ＝y －x ，b ＝2x －y ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，则|x |＋|y |等于( ) A ．7 B ．2 2 C ．5 2 D.2＋ 5解析：∵a ·b ＝(y －x )·(2x －y ) ＝－|y |2－2|x |2＋3x ·y ＝0，又∵|a |2＝(y －x )2＝|y |2＋|x |2－2x ·y ＝1， |b |2＝(2x －y )2＝4|x |2－4x ·y ＋|y |2＝1，可得|x |＝2，|y |＝5， ∴|x |＋|y |＝2＋ 5. 答案：D考点三：向量的夹角5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案：C6．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)AB →＝a ，AC →＝b ，作三角形ABC ，求△ABC 的面积． 解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61，∵|a |＝4，|b |＝3，代入求得a ·b ＝－6，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－64×3＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)可先平方转化为向量的数量积．. |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)计算a 、b 夹角的正弦，再用面积公式求值． 由(1)知∠BAC ＝θ＝120°， |AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AC →|·|AB →|·sin∠BAC ＝12×3×4×sin120°＝3 3.考点四：向量的垂直7．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 、b 满足关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(其中k ＞0)．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)求将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数f (k )； (3)求函数f (k )的最小值及取最小值时a 与b 的夹角θ. 解：(1)解法一：由a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， 则a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)，a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，又(a ＋b )·(a －b )＝(cos α＋cos β)·(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)·(sin α－sin β)＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝1－1＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．解法二：由a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， 则(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝1－1＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)． 解法一：k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，∴|k a ＋b |2＝(k cos α＋cos β)2＋(k sin α＋sin β)2＝1＋k 2＋2k (cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋k 2＋2k cos(α－β)，|a －k b |2＝(cos α－k cos β)2＋(sin α－k sin β)2＝1＋k 2－2k (cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋k 2－2k cos(α－β)， 由|k a ＋b |＝3|a －k b |，得1＋k 2＋2k cos(α－β)＝3[1＋k 2－2k cos(α－β)]， ∴8k cos(α－β)＝2(k 2＋1)，又k ＞0，∴cos(α－β)＝k 2＋14k，即a ·b ＝k 2＋14k(k ＞0)． ∴f (k )＝k 2＋14k(k ＞0)．解法二：∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1， |b |＝cos 2β＋sin 2β＝1. 由|k a ＋b |2＝3|a －k b |2，得k 2|a |2＋2k a ·b ＋|b |2＝3|a |2－6k a ·b ＋3k 2|b |2，8k a ·b ＝2(k 2＋1)，即a ·b ＝k 2＋14k (k ＞0)，故f (k )＝k 2＋14k (k ＞0)．(3)∵k ＞0，∴a ·b ＝k 2＋14k ＝k 4＋14k ≥12.当k ＝1时，等号成立， 所以a ·b 的最小值为12.此时a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.8．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0＜α＜β＜π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数) (1)证明：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解：k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，|k a ＋b |＝k 2＋2k cos(β－α)＋1， |a －k b |＝1－2k cos(β－α)＋k 2. ∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)． 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0. 而0＜α＜β＜π，∴β－α＝π2.1.(2009·全国卷Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为 ( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2解析：∵a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －b ·c ＋c 2＝1－c ·(a ＋b )，求原式的最小值，即求c ·(a ＋b )的最大值，而当c 与a ＋b 共线且同向时，c ·(a ＋b )有最大值 2. ∴(a －c )·(b －c )的最小值为1－ 2. 答案：D2．(2009·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝ ( ) A. 5 B.10 C ．5D ．25解析：设b ＝(x ，y )，由⎩⎨⎧a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，得⎩⎨⎧2x ＋y ＝10，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 2.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.则|b |＝x 2＋y 2＝5.故选C. 答案：C3．(2009·陕西)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49解析：由题知P 为△ABC 重心，则PB →＋PC →＝－PA →. 则PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2＝－|PA →|2＝－49，故选A. 答案：A4．(2009·重庆)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是 ( ) A.π6B.π4C.π3D.π2解析：∵a ·(b －a )＝2，∴a ·b －a 2＝2. ∴1×6cos〈a ，b 〉－1＝2，∴cos〈a ，b 〉＝12.又0≤〈a ，b 〉≤π，∴〈a ，b 〉＝π3.答案：C1.已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(t ，x )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(0，π2)上是增函数，则实数t 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝a ·b ＝t sin x ＋x ，∴f ′(x )＝t cos x ＋1，x ∈(0，π2)．∵f (x )在(0，π2)上为增函数，∴t ≥－1cos x ，其中x ∈(0，π2)．∴t ∈[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)2．已知平面上的向量PA →、PB →满足|PA →|2＋|PB →|2＝4，|AB →|＝2，设向量PC →＝2PA →＋PB →，则|PC →|的最小值是________．解析：∵|PA →|2＋|PB →|2＝|AB →|2＝4，∴PA →⊥PB →.|PC →|2＝(2PA →＋PB →)2＝4|PA →|2＋4PA →·PB →＋PB →2 ＝4|PA →|2＋|PB →|2＝4＋3|PA →|2≥4. ∴|PC →|的最小值为2. 答案：2。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

绝密★启用前2018年01月19日214****9063的高中数学组卷试卷副标题考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共2小题）1．若向量，满足，，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．52．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．4- z -第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题）3．设=（2m+1，m），=（1，m），且⊥，则m= ．4．已知平面向量的夹角为，且||=1，||=2，若（）），则λ= ．5．已知向量，，且，则= ．6．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= ．7．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．8．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|= ．评卷人得分三．解答题（共6小题）9．化简：（1）；（2）．10．如图，平面有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若+，求λ+μ的值．- z -11．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若，试用，表示、、．12．在平面直角坐标系中，以坐标原点O和A（5，2）为顶点作等腰直角△ABO，使∠B=90°，求点B和向量的坐标．13．已知=（1，1），=（1，﹣1），当k为何值时：（1）k+与﹣2垂直？（2）k+与﹣2平行？14．已知向量，的夹角为60°，且||=4，||=2，（1）求•；（2）求|+|．- z -- z -2018年01月19日214****9063的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．若向量，满足，，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】通过将、两边平方，利用||2=，相减即得结论．【解答】解：∵，，∴（+）2=10，（﹣）2=6，两者相减得：4•=4，∴•=1，故选：A．【点评】本题考查向量数量积运算，注意解题方法的积累，属于基础题．2．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．4【分析】根据两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，先求得的值，再根据=0求得实数的值．【解答】解：∵向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，∴•=3•2•cos60°=3，∴=（﹣）•（m+n）=（m﹣n）•﹣m+n•=3（m﹣n）﹣9m+4n=﹣6m+n=0，- z -∴实数=，故选：A．【点评】本题主要考查了向量垂直与数量积的关系、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（共6小题）3．设=（2m+1，m），=（1，m），且⊥，则m= ﹣1 ．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵=（2m+1，m），=（1，m），且⊥，∴=2m+1+m2=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．已知平面向量的夹角为，且||=1，||=2，若（）），则λ= 3 ．【分析】令（）•（）=0列方程解出λ的值．【解答】解：=1×2×cos=﹣1，∵（）），∴（）•（）=0，即λ﹣2﹣（2λ﹣1）=0，∴λ+（2λ﹣1）﹣8=0，解得λ=3．故答案为：3- z -【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．5．已知向量，，且，则= ．【分析】，可得=0，解得m．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵，∴=6﹣2m=0，解得m=3．∴=（6，﹣2）﹣2（1，3）=（4，8）．∴==4．故答案为：．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= 7 ．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．7．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2．- z -【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．8．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|= ．【分析】根据平面向量数量积的定义与模长公式，求出结果即可．【解答】解：两个单位向量，的夹角为60°，∴•=1×1×cos60°=，∴=+4•+4- z -=1+4×+4×1 =7，∴|+2|=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与模长公式的应用问题，是基础题目．三．解答题（共6小题）9．化简：（1）；（2）．【分析】根据向量的加法和减法的运算法则进行求解即可．【解答】解：（1）==；（2）=（3﹣+2﹣）﹣（++）=﹣﹣﹣=．【点评】本题主要考查向量的加法和减法的计算，根据加法和减法的运算法则是解决本题的关键．10．如图，平面有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若+，求λ+μ的值．- z --z -【分析】直接求λ+μ的值有难度，可换一角度，把利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则来表示成与共线的其它向量的和向量，再由平面向量基本定理，进而求出λ+μ的值 【解答】解：如图，，在△OCD 中，∠COD=30°，∠OCD=∠COB=90°， 可求||=4，同理可求||=2，∴λ=4，μ=2， ∴λ+μ=6．【点评】本题考查平面向量加法的平行四边形法则与三角形法则，及解三角形，是一道综合题，是本部分的重点也是难点．夯实基础是关键11．如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE ，BF 的交点，若，试用，表示、、．【分析】由题意及图形知，本题考查用两个基向量，表示、、．故利用向量运算的三角形法则与数乘的几何意义将三个向量用两个基向量表示出来即可．【解答】解：由题意，如图- - -连接BD，则G是△BCD的重心，连接AC交BD于点O则O是BD 的中点，∴点G在AC上．∴【点评】本题考点是向量数乘的去处及其几何意义，考查向量中两个基本运算向量的三角形法则与向量的数乘运算定义，是考查向量基础运算的一道好题，做题过程中要注意体会向量运算规则的运用．12．在平面直角坐标系中，以坐标原点O和A（5，2）为顶点作等腰直角△ABO，使∠B=90°，求点B和向量的坐标．【分析】设B（x，y），则，由此利用，，能求出点B和向量的坐标．【解答】（本小题满分12分）解：如图，设B（x，y），则，…（2分）∵，∴…（4分）∴x（x﹣5）+y（y﹣2）=0，即x2+y2﹣5x﹣2y=0…（6分）又∵，…（8分）∴x2+y2=（x﹣5）2+（y﹣2）2，即10x+4y=29…（10分）由解得或∴B点的坐标为，…（11分）…（12分）- z -- - -【点评】本题考查点的坐标及向量坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．13．已知=（1，1），=（1，﹣1），当k为何值时：（1）k+与﹣2垂直？（2）k +与﹣2平行？【分析】（1）求得k+=（k+1，k﹣1），﹣2=（﹣1，3），由向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到所求值；（2）运用两向量平行的条件可得3（k+1）=﹣（k ﹣1），解方程即可得到所求值．【解答】解：（1）=（1，1），=（1，﹣1），可得k+=（k+1，k﹣1），﹣2=（﹣1，3），由题意可得（k+）•（﹣2）=0，即为﹣（1+k）+3（k﹣1）=0，解得k=2，则k=2，可得k+与﹣2垂直；（2）k+与﹣2平行，可得3（k+1）=﹣（k﹣1），解得k=﹣，则k=﹣，可得k+与﹣2平行．【点评】本题考查向量的平行和垂直的条件，注意运用坐标表示，考查运算- z -- - -能力，属于基础题．14．已知向量，的夹角为60°，且||=4，||=2，（1）求•；（2）求|+|．【分析】（1）运用向量数量积的定义，计算即可得到所求值；（2）运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量，的夹角为60°，且||=4，||=2，可得•=4×2×cos60°=8×=4；（2）|+|=====2．【点评】本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．- z -。

相关文档
最新文档