惠更斯菲涅尔原理基尔霍夫衍射理论

衍射理论。

设

E
和一个位置坐标的任意复函数G在曲面
∑’上和∑’内部都有连续的一阶和二阶偏
导数
则由格林定理：
§5－2基尔霍夫衍射理论
G~2 E~ E~2G~ dv
G~ E~ E~ G~ d
V
'

n


n

(1)
V是闭合面∑’所包围的体积， 表示∑’ 上每一点沿向外法线的偏微商。n
基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故 又称标量衍射理论。
E~
§5－2基尔霍夫衍射理论
一、亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
以简谐标量波的波动微分方程出发（此方程 在数学上称为“亥姆霍兹”方程）建立了一个 公式，使得空间任意一点的电磁场，可以用包 围该点的任意封闭曲面上的电磁场及其导数求 得”此即为：亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理
P
~ EQ


A expikR
R
Σ＇ Z＇
§5－1惠更斯－Z菲涅尔原理
~ EQ


A expikR
R
RQθ
Σ
r
S
P
Σ＇ Z＇
式中，A是离点光源单位距离处的振幅，
R是波面∑’的半径。
在Q点处取面元dσ，面元发出的子波~在P点 产生的复振幅与在面元上的复振幅 EQ、面 元大小和倾斜因子K成正比。
§5－1 惠更斯－菲涅尔原理
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
一、惠更斯原理： 1690年，惠更斯在其著作《论光》中提出假 设：“波前上的每一个面元都可以看作是一 个次级扰动中心，它们能产生球面子波”， 并且：“后一时刻的波前的位置是所有这些 子波前的包络面。”
这里，“波前”可以理解为：光源在某一时 刻发出的光波所形成的波面（等相面）。 “次级扰动中心可以看成是一个点光源”， 又称为“子波源”。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
波动具有两个基本性质，一方面，它是扰动 的传播，一点的扰动能够引起其它点的扰动， 各点相互之间是有联系的。另一方面，它具有 时空周期性，能够相干迭加。
惠更斯原理中的“次波概念反映了上述前一 基本性质，这是其成功的地方。但“时空周期 性”并没有反映。
利用惠更斯原理，可以说明衍射的存在，但 不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的 振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分 布。
即
Z RQθ

若：
~ EQ
有：


A expikR
R
r
Σ S
P
Σ＇ Z＇
E~P c
E~Q expikr K d
r
§5－2 基尔霍夫 标量衍射理论
§5－2基尔霍夫衍射理论
如前所述， 1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理，
并给出了菲涅耳衍射积分公式。最初菲涅耳 作的各项假设时，只凭朴素的直觉。 六十余年后，基尔霍夫（1882年）建立了一 个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本 上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对， 并对其进行了修正。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
惠更斯－菲涅耳原理可以表述如下：
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波前上每一个面元都可看成是新的振动中心， 它们发出次波（频率与入射波相同）;
在空间某一点P的振动是所有这些次波在该点
的相干迭加。
Z
是相干叠加→复振幅叠加
RQθ
如图所示。点光源S在波面∑’ Σ r 上任一点Q产生的复振幅为 S
若取 G~ 也满足亥姆霍兹方程，则
由
22GE~~

kk22GE~~
由惠更斯—菲涅耳原理知： 应该把∑面分割成无穷多的面元d ∑ ，把每
个面元d ∑看成发射次波的波源，从所有面 元发射的次波将在P点相遇。 一般说来，由各面元d ∑到P点的光程是不 同的，从而在P点引起的振动位相不同，P 点的总振动就是这些次波在这里相干叠加 的结果。 以上就是惠更斯－菲涅耳原理的基本思想
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
二、惠更斯－菲涅耳原理 此是研究衍射现象的理论基础： 波动具有两个基本性质： 1、波动是扰动的传播，一点的扰动能够引 起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有 联系的； 2、波动具有时空周期性，能够相干叠加。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
在惠更斯原理中，由于缺少对时空周期性 的反映，从而对各次波如何叠加问题就不 能给出令人满意的回答。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现 象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳 出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯 提出的次波概念，用“次波相干迭加”的 思想将所有衍射情况引到统一的原理中来, 这个原理就是惠更斯菲涅耳原理。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
惠更斯--菲涅耳原理
Z RQθ
其内容如下：
r Σ S
P
如图5-3所示：
Σ＇ Z＇
“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作
是一个频率（或波长）与入射波相同的子波
源；在其后任何地点的光振动，就是这些子
波叠加的结果。”
s为点波源，∑为从S发出的球面波在某时刻 到达的波面，P为波场中的某个点。要问， 波在P点引起的振动如何？
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
面元dσ在P点产生的复振幅可以表示为
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
dE~ P

cK



A
exp
ikR
exp
ikr

d
R
r
K表示子波的振幅随面元法线与QP的夹 角的变化。（ 称为衍射角）
c为一常数,r=QP。
菲涅耳假设：当时0 ，倾斜因子K有最大 值，随着增加↑ ，K减小，
如图5－4所示：
设有一单色光波通过
Σ＇
V
闭合曲面∑’传播。
则光波电磁场的 任一直角分量的复振幅
~ E
Σ＇ ε ε
P
n
n
§5－2基尔霍夫衍射理论
满足亥姆霍兹方程
即


2 E k2 E 0

若不考虑电磁场其它分量的影响，孤立地
把 表示E看面作内标任量一场点，的并E ，用这曲种面理上论的就E 和是标E n值量
当≥π /2时，K=0。
对P点产生作用的将是波面∑’中界于z z’范 围内的波面∑上的面元发出的子波。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
则：
E~P

cA exp ik R
R

K expikr d
r
此即为惠更斯－菲涅耳原理的菲涅耳表达
式，此关系式还可推广为（5－4）式，