二重积分的计算方法

重庆三峡学院数学分析课程论文

二重积分的计算方法

院系数学与统计学院

专业数学与应用数学（师范）

姓名

年级 2010级

学号

指导教师刘学飞

2014年5月

二重积分的计算方法

(重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班)

摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

引言

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重

要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被

积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求

二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1二重积分的定义

设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数

ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有

()1

,n

i

i

i

i f J ξησ

ε=∆-<∑,

则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D

J f x y d σ=

⎰⎰,

其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域.

1.2二重积分的若干性质

1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且

(),D

kf x y d σ⎰⎰(),D

k f x y d σ=⎰⎰.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且

()()[,,]D

f x y

g x y d σ±⎰⎰()(),,D

D

f x y d

g x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰.

1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在1

2D D 上也可积,且

()12

,D D f x y d σ⎰⎰()()1

2

,,D D f x y d f x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰

1.3在矩形区域上二重积分的计算定理

设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =⨯上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d

c

f x y dy ⎰存

在,则累次积分

(),b

d

a

c

dx f x y dy ⎰

⎰也存在,且

(),D

f x y d σ⎰⎰

(),b d

a

c

dx f x y dy =⎰⎰.

同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b

a

f x y dx ⎰存在,在上述条件上可得

(),D

f x y d σ⎰⎰

(),d b

c

a

dy f x y dx =⎰⎰

2.求的二重积分的几类理论依据

二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型、Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.

2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算

X -型区域: ()()(){}1

2

,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤

Y -型区域: ()()(){}1

2

,,D x y x y x x y c y d =

≤≤≤≤

定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则

(),D

f x y d σ⎰⎰()()

()

21,b

y x a

y x dx f x y dy =⎰⎰

即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有

(),D

f x y d σ⎰⎰

()()

()

21,d

x y c

x y dx f x y dy =⎰⎰

例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V .

解：设圆柱底面半径为a ,两个圆柱方程为 2

2

2

x y a +=与222

x z a +=.

只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的立体式以

z =为曲顶,以四分之一圆域D

:

00,y x a ⎧⎪≤≤⎨

≤≤⎪⎩

为底的曲顶柱体,所以

2230012()83a a D

V dx a x dx a σ===-=⎰⎰

于是3

163

V a =

. 另外,一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.

2.2 二重积分的变量变换公式

定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,变换T : (),x x u v =, (,)y y u v =将平面uv 由

按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域

D

,函数

(),x x u v =,(,)y y u v =在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ()()()

,,0,x y J u v u v ∂=≠∂, (),u v ∈∆,

则

()()()()(),,,,,D

f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆

=⎰⎰⎰⎰.

用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化. 例2 求

x y x y

D

e

dxdy -+⎰⎰,其中D 是由0x =,0y =,1x y +=所围区域.

解 为了简化被积函数,令u x y =-,v x y =+.为此作变换T :1()2x u v =

+,1

()2

y u v =-,则 ()1

1

12

2,01122

2

J u v ==>-. 即

111100111()2224x y u u v x y

v

v

v D

e e e

dxdy e dudv dv e du v e e dv ---+-∆

-==-=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3 求抛物线2

y mx =，2

y nx =和直线y x β=，y x α=所围区域D 的面积()D μ