近代平差理论概述
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
第一章(近代平差理论简介)
1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T QV min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V AX L
R ( A) t
D 0 Q
2
det(Q) 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机 的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了 带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY' ' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号 Y；未 知参数与观测值没有建立函数模型。
随机模型的验后估计的方法有: ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PVi 与对应的 i 的关系式，通过平差 求得的 ViT PVi ,求 i2 i2 i , ②MINQUE估计法（Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的 极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法： 假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
ˆ BV AX f ˆ W CX E 0
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V BX l ) V AX f 当A=0,C=0时,条件平差： BV f ( AV W 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V AX f
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➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
现代平差技术及其应用
现代平差技术及其应用摘要：現代平差的方法与理论有很多种，但彼此均不相同。
本文基于高斯一马尔柯夫模型，介绍了現代平差模型。
同时阐述了現代平差技术的发展与其相关应用。
关键词：高斯一马尔柯夫模型；現代平差；平差模型；航天遥感1 测量平差的任务近四十年来，随着测绘科技和相关学科的迅速发展，该学科在理论上有突出进展，其研究范围也由线性模型的经典平差向相关平差、滤波推估、秩亏平差、动态平差等方向扩展，从单纯地研究随机误差理论扩展至包括系统误差和粗差的全误差系统。
系统误差和偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差就呈現出系统的性质；反之，则呈現出偶然的性质。
当观测列中已经消除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比已处于次要地位，则该观测列中主要存在着偶然误差，这是比较普遍的情形。
如何处理这些带有偶然误差的观测值，是测量平差所要研究的基础内容，一船认为属于经典测量平差的范畴。
为了得到一个量的大小，仅测量一次就够了，也就不需要进行平差处理。
但这样做是很危险的，因为不知道误差有多大，甚至有无粗差也未知。
因此实际工作中，为了及时检查和发現有无粗差存在，同时也为提高成果的质量，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测。
如对一条导线边，实际上总要丈量两次或多次，取它们的平均值作为最后长度。
此时偶然误差的影响得到消除或减弱，既提高了精度，又防止了粗差。
取平均值就是一种最简单的数据处理方法。
再如一个平面三角形，尽管观测其中两个内角即可决定它的形状，但是通常却仍观测三个内角，由于其和一般不等于180度，产生不符值，因而暴露了误差的大小。
总之，通过多余观测必然会发現观测结果之间的不一致，或不符合应有关系而产生的不符值。
如何对这些带有偶然误差的观测值进行处理，得到观测量的最可靠的估值，是测量平差的一项基本任务。
测量平差的另一项任务就是评定观测值及其函数值的最可靠结果的精度，也就是考核测量成果的质量，人们把这一数据处理的整个过程叫做“测量平差”。
误差理论与测量平差基础CH12
T V T P∆ V + VY PY VY = min
其中VY 是虚拟观测值LY = E(Y )的改正数，最小二乘配置的误差 方程可写为 ˆ + AY ˆ−L V = BX ˆ − LY VY = Y 构建法方程：
误差理论与测量平差基础 第十二章 近代平差概论 12-4 最小二乘配置原理
12-4 最小二乘配置原理
BT P∆ B BT P∆ A AT P∆ B AT P∆ A + PY 解为
ˆ X ˆ Y
=
BT P∆ L AT P∆ A + PY LY
−1 BT P∆ B BT P∆ A BT P∆ L = ˆ Y AT P∆ B AT P∆ A + PY AT P∆ A + PY LY ˆ X
误差理论与测量平差基础 第十二章 近代平差概论 12-1 序贯平差
12-1 序贯平差
第一组单独平差，则有
−1 T ˆ xk−1 = (BT k−1 Pk−1 Bk−1 ) Bk−1 Pk−1 lk−1 T −1 QX ˆk−1 = (Bk−1 Pk−1 Bk−1 )
两组观测值整体平差
T T ˆ x = QX ˆ (Bk−1 Pk−1 lk−1 + Bk Pk lk ) −1 −1 QX + BT ˆ = (QX k Pk Bk ) ˆ
误差理论与测量平差基础 第十二章 近代平差概论 12-3 秩亏自由网平差
12-3 秩亏自由网平差
进一步推导，可知K = 0，V 和V T PV 是和基准条件无关的不 变量。构建新方程 (BT PB + SST )ˆ x = BT Pl 可解得 ˆ x = (BT PB + SST )−1 BT Pl
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➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
[精品]高等(近代)测量平差复习资料.doc
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第一章第一节绪论1、近代测量平差理论的主要内容⑴从独立观测值到相关观测值一相关平差⑵从函数模型和随机模型满秩到函数模型和随机模型奇异一秩亏自由网平差⑶从非随机参数到随机参数以及随机参数与非随机参数一并处理一最小二乘滤波、推估和配置⑷从先验定权到后验定权一随机模型的验后估计⑸从整体解算到分开解算——序贯平差⑹从处理静态数据到处理动态数据一动态测量平差⑺从线性模型的参数估计到非线性模型的参数估计一非线性平差⑻从确定性平差模型到不确定性平差模型一不确定性平差模型的处理⑼从偶然误差的处理到含有系统误差的处理一附加系统参数的平差(10) 从无偏估计到有偏估计(11) 从偶然误差的处理到含有粗差的处理——数据探测法与稳健估计第三节广义逆矩阵1、广义逆g逆：AGA=A解不唯一2、反射g逆：AGA=A, GAG=G解不唯一3、最小范数广义逆AGA=A, (GA T) =GA解不唯一「4、最小二乘广义逆AGA=A, (AG T) =AG解不唯一5、最小二乘最小范数广义逆AGA=A, GAG=G, (GA T) =GA, (AG T) =AG解唯一第二章秩亏自由网平差第一节概述1、平差时必要的起算个数称为基准2、基准数据：测角网d=4测边网、导线网、边角网d=3GPS 网d=5高程网d=l三维控制网d=73、没有足够起算数据的平差问题称为秩亏自由网平差4、秩亏自由网平差类型：普通秩亏自由网平差、拟稳平差、加权秩亏自由网平差例2-2-1课本19页例2-3-1课本27页例2-4-1课本30页第五节控制网附加阵G1 水准网：GT= (1 1 1 ........................ 1)2测边网、导线网、边角网GT=1010 ・・• (10)010 1 ・・• (01)-丫-Y2°X2°•••- -Y m°Xm°3二维测角网G T：第六节1、权逆阵奇异的原因⑴观测值向量中的一些分量是另一些分量的线性组合⑵观测值向量中的一些分量无误差2、权逆阵奇异的平差原则V T PV=V T P*V=V1T P1V1=min第三章最小二乘滤波推估和配置AA- -++-第一"P1、与观测值之间有函数关系的已测点参数称为滤波信号，求定滤波信号最佳估值的过程称为滤波2、与观测值之间没有函数关系的未测点参数称为推估信号，求定推估信号最佳估值的过程称为推估3、配置：最小二乘配置的函数模型L=BX+AY+A⑴当A=0或Y=0时模型变为L=BX+A,即高斯一马尔可夫模型⑵当B=0或X=0时模型变为L= AY+△即滤波和推估模型⑶当；=0时模型变为L=A1S + A即滤波模型第二节1、滤波的函数模型：L=AY+AL为观测向量，Y为随机参数A=[A1 0] Y=[ ]滤波的随机模型：E(A)=0, D(AJ=D A=P A-1,E(L)=U L D(L)=D LE(Y)= D(Y) =Cov(A, S)=D A,C OV(A, S,)=D A2、配置的函数模型：L=BX+AY+AL为观测向量，Y为随机参数A=[A1 0] Y=[ ]滤波的随机模型：E(A)=0, D(AJ=D A=P A-1,E(L)=U L D(L)=D LE(Y)= D(Y) =Cov(A, S)=D A,C OV(A, S,)=D A第五章1、卡尔曼滤波的基本思想：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新状态变量的估计，求出现时刻的估计值。
几种创新大地测量数据处理理论与方法概述
现代大地测量学论文几种创新大地测量数据处理理论与方法概述现代测量平差与数据处理理论发展概述经典的测量平差与数据处理是以高斯-马尔柯夫模型为核心：L AX =+∆ (1a)()0E ∆=,2()D σ∆=,21Q P σ-=∙ (1b)()Rnk A n =, ()()R Q R P n == (1c)这里L 为观测向量,∆为误差向量,X 为未知参数向量,A 为X 的系数矩阵,()E 为数学期望,2σ为单位权方差,P 为观测权矩阵,Q 为协因素矩阵,n 为观测个数。
现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法。
各种现代平差理论与方法与经典平差模型的关系可以描述如图1所示【1】图1 各种现代平差理论与方法与经典平差模型的关系图1．测量平差主要发展状况概述测量平差估计准则的发展：高斯最小二乘理论的发展，相关平差理论的发展，极大验后估计准则，稳健估计的准则，统计决策的基本概念，容许性的概念。
测量平差数据质量评估及质量控制理论的发展：经典的数据质量评估与质量控制理论，现代的方差协方差估计理论的发展，赫尔黙特方差估计理论，二次无偏估计法，方差分量的Bayes 理论，方差估计的精度评定。
稳健估计主要介绍：稳健估计理论的发展，污染误差模型构成，污染误差模型在测量数据处理中的具体形式，稳健性度量的概念，各种稳健性度量准则，影响函数的定义，影响函数的确定。
稳健估计的种类，稳健的M估计的原理，选权迭代法的基本原理，测量中常用的几种选权迭代法，均方误差最小的稳健估计，污染误差模型下的测量数据处理理论。
一次范数最小的估计，一范最小估计的性质，一范最小估计的算法（线性规划法，迭代法），P范最小的原理，算法。
粗差探测的理论，data-snooping的原理和方法，可靠性理论（内可靠性，外可靠性），稳健估计理论在测量中的应用及发展现状。
时间序列数据处理的理论发展：实时动态数据的处理概况，动态数据的卡尔曼滤波（动态模型的建立，滤波），动态数据的预报，动态数据的平滑，随机过程与时间序列的概念，平稳随机过程和平稳时间序列，时间序列的随机线性模型平稳自回归模型，平稳自回归可逆滑动平均混合模型，线性模型的自相关函数和偏相关函数，模型的初步识别，模型参数的矩估计，模型参数的最小二乘估计，模型的检验和改进时间序列的预报。
3.《误差理论与测量平差》的研究对象及发展历程-史经俭
测量发展
（7）系统参数的平差法发展 观测中既然包含系统误差，那么系统误差特性、传播、检验、分
析的理论研究自然展开，相应的平差方法也就产生，例如，附有系 统参数的平差法、半参数估计和非参数估计等。为了检验系统误差 的存在和影响，引进了数理统计学中的假设检验方法，结合平差对 象和特点，测量学者发展了统计假设检验理论，提出了与平差同时 进行的有效的检验方法。
测量平差起源
直到1890年，高斯才在“天体运动的理论”一文中正式发表了 他的方法。
在此之前，1806年勒戎德尔（乐）（A.M.Legendre）发表了 “决定彗星轨道方法”一文，从代数观点也独立地提出了最小二乘 法，并定名为最小二乘法。
所以后人称它为高斯—勒戎德尔（乐）方法。 从此以后，最小二乘法得到了广泛的应用
课程发展
1 经典平差阶段 2 近代平差阶段
02
测量发展
经典平差阶段 自19世纪——20世纪50-60年代的一百多年的时间 测量平差学者依据最小二乘准则，在基于偶然误差的平差方法上 作了许多研究，提出了一系列解决各类测量问题的平差方法（经典 测量平差）： 1.条件平差法 2.附有未知参数的条件平差法 3.间接平差法 4.附有限制条件的间接平差法！
测量发展
总之，自20世纪70年代以来，特别是近20年来，测量平 差与误差理论得到了充分发展。
这些研究成果在常规测量技术中的应用已经相当普遍。 但相应于不断出现和发展的测绘新技术，如何应用已有 的方法以及研究提出新的平差理论和方法适应现代数据处 理的需要是一个值得研究的问题。
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➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论➢✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
测量数据处理
经典测量平差的任务是：根据观测建立平差模 型，从平差模型中求解(处理带有观测误差的观测值，估
计待求量的最佳估值并评定测量成果的精度)
平差模型：
条件平差：AV＝W 间接平差：L＋V＝BX 附有未知数的条件平差：AV＋BX＝W 附有约制条件的间接平差：
L＋V＝BX
归纳学习 神经网络 遗传算法等
不确定性理论
人工智能的理论
根据自己要研究的领域，选择一个数据 处理方面的问题，搜集目前的研究进展， 写一个评述。要求写清楚：
1、问题产生的原因、研究的意义； 2、目前国内外研究的情况，主要研究热点、 难点，科学问题所在等； 3、有待解决的问题及可能性，进一步研究 的有关想法。 要求在本学期完成！！
参数分两部分，其中一部分完全未知（Y），一部分（X） 具有先验值－－配置理论 ： L+V=BX＋GY
五、对平差模型的扩展
对线性模型的扩展－－非线性最小二乘（非线性估 计），（非线性曲率度量，非线性估计的算法，非 线性估计的初值等） 对限制条件的扩展：
等式限制条件 不等式限制条件
六、对参数的（另一种）扩展
P取不同值可分别得到最小绝对和， P范估计和稳健估计
以分布的某个特征为Байду номын сангаас则：
极大似然估计：f(L/X)=max
正态分布－－最小二乘估计 泊松分布－－最小绝对 P范分布 －－ P范估计 截尾正态分布 －－稳健M估计 以质量度量为准则：
以质量度量为准则：
方差最小：
最小二乘估计， 最小方差估计， 线性最小方差估计 主成份估计 岭估计
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➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
01平差讲义第一章
测量平差讲义第一章：绪论内容及学习要求误差的概念；当存在多余观测时,观测值理论上存在一定的几何（物理）关系。
误差导致观测值不满足这些关系而产生的闭合差，称不符值；测量平差即解决不符问题的方法。
学习本章要求理解测量平差的任务和内容，及学习本课程要求掌握的内容。
§1-1观测误差由于观测条件(观测者、仪器、外界条件)的局限，观测误差不可避免。
对于系统误差，由于其符号、大小有一定的规律，对观测成果的影响是积累性的，但正因为系统误差具有一定规律性，所以一般可采用一定观测程序或模型改正的方法予以消除或减弱，使观测误差主要表现为偶然误差，而偶然误差是难以消除的。
测量平差的任务：1、对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的最可靠值。
2、评定观测成果的精度对于1、就经典测量平差（本课程所讲述内容基本上属于经典平差）而言，观测值中已消除系统误差，或者系统误差与偶然误差相比已处于次要地位。
因此不符值由偶然误差引起。
要注意的是：消除不符值不等同于消除误差，不可提消除偶然误差。
对于2、精度评定是测量平差的另一个重要内容，也是一个较难掌握的问题。
§1-2测量平差的简史和发展自行阅读,一般了解,学全本课程后,可回顾阅读§1-3本课程的任务和内容本课程讲授测量平差的基本理论和基本方法,具体为:仅含偶然误差的观测值的最小二乘平差理论；条件平差、间接平差、附有未知参数的条件平差和附有限制条件的间接平差等四种基本的平差方法。
要求熟练掌握其理论及计算技巧，熟知其相互关系及适用范围，并对近代平差内容有一定了解。
思考题：1、为什么观测值总是带有误差，能否把它消除，为什么？2、测量平差的任务是什么，带有系统误差的观测值能否参加平差？1。
测量平差重点内容个人总结
绪论第一节观测误差本章主要介绍偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义及测量中常用的定权方法等例子回顾：导线计算表一、观测值中为什么存在观测误差？观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。
有观测就有误差的结论。
测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。
通常把这三方面的因素合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。
二、观测误差的计算给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。
三、观测误差的分类及其处理1、分类给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。
◆系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。
简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。
◆偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差。
2、处理在测量学里，偶然误差处理是按照边长比例分配或直接平均分配。
平差里则用平差的方法来处理，所处理的是一系列带有偶然误差的观测值，不包括系统误差的影响。
四、测量平差的任务根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。
第二节测量平差学科的研究对象研究对象为含有观测误差的各类观测值。
举例说明。
第三节测量平差的简史和发展一、测量平差理论的发展１、经典平差理论的发展主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。
２、近代平差理论的发展主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。
二、平差计算方法的发展１、手算阶段２、半自动平差阶段３、全自动平差阶段第四节测量平差的任务和内容一、任务讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。
测量平差概述
系统误差具有累计性 测量规范中所制定的种种限制都是 减少系统误差对观测结果的影响。
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例子
某钢尺的注记长度为30m，经鉴定后，它的实 际长度为30.016m，即每量一整尺，就比实际 长度量小0.016m，也就是每量一整尺段就有 +0.016m的系统误差。这种误差的数值和符号 是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量 了五个整尺段，则长度误差为 5×(+0.016)=+0.080m。若用此钢尺丈量结果为 167.213ｍ，则实际长度为： 167.213＋×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ)
技术水平 工作态度
精密度 误 差
温度、湿度 风力 等
观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差 观测条件较好则观测质量较高，观测条件较差则观测质 量较低，观测条件相同则观测质量相同。
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观测值不可避免地存在误差
仪器工具误差 环境误差：随时间变化、大气折光、无线电传 播干扰、多路径效应 图像转换误差 基准误差 定轨误差 输入误差 人员误差
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测绘界的院士知多少？
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二、测量平差学科的研究对象
经典测量平差范畴（只包含偶然误差）
近代测量平差范畴（系统误差与粗差） 测量平差理论和方法是测绘学科中测量数据 处理和质量控制方面重要的组成部分，并在 现代GPS(全球定位系统)、GIS（地理信息 系统）、RS（遥感）及其集成的高新测量 技术以及高精度自动化数字化数据采集和处 理中得到广泛应用。
(完整版)测量平差知识大全汇总
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
第六章近代平差简介
• b)秩亏测边网或边角网重心基准 • c)秩亏测角网重心基准
• 以上两项均有: i 1 条件成立， i 1 参照a)的水准网重心基准，可知b)、c)两项中也 有重心基准条件存在。
i
ˆ x
m
ˆi 0 0 , y
m
6、秩亏自由网平差的一些特性 • 1)参数估计值的有偏性
~ 由 Ax l
T T • 2)、x ˆ x ˆ min与G x ˆ 0等价
ˆ U 0的条件下，对x ˆ有 不同基准下的平差，均 是在满足Nx ˆ解。设有满足不同基准 不同的约束，故而产生 了不同的x 的 ˆ1 U 0 Nx ˆ1、x ˆ 2，有： 两个最小二乘解 x ˆ2 U 0 Nx ˆ1 x ˆ2 0 上两式相减： N x ˆ1 x ˆ 2＝GD 考虑：NG＝0 故有：x ˆ x ˆ GD 式中D未知， x ˆ T x ˆ min,需要： 若要满足x ˆ T x ˆ ˆ x T x ˆ ˆ T G＝0 x ˆ T x ˆ min G T x ˆ 0 ＝2 x ＝2 x D D
• 1)、水准网的G阵
2 －1 －1 如前例：N＝－1 2 －1 其中：R N 2, d 1 －1 －1 2
N有一个为零的特征值。 设其特征向量为：G＝ g1
g2
g3
T
2 －1 －1 g1 NG 0 －1 2 －1 g 2 0 －1 －1 2 g 3 得通解：g1 g 2 g 3 c－－任意常数 标准化后：G ＝
T
若G阵经标准化： G G＝I 则可用：Q x ˆx ˆ＝QG－GG
T
T
注意：秩亏网平差的广 义逆法及附加阵法均是 在最 小二乘原则下得到法方 程后，由于其系数阵秩 亏， 再加上最小范数约束而 得到的结果，所以这两 种平 差法的结果完全相同。
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平差理论 培养目标 应用需求
为什么要进一步学习平差理论与方法
平差理论：
1794 年，高斯提出最小二乘法，… 观测值独立的最小二乘法，… 1947 年，田斯特拉提出相关最小二乘法，… 最小二乘配置，… 自由网平差，… 方差分量估计，… 抗差估计，粗差探测… ………………………………….
近代平差理论概述
相关平差 参数加权平差 最小二乘配置 秩亏自由网平差 具有奇异权阵的平差 最小二乘统一理论
随机模型的验后估计 附加系统参数的平差 有偏估计 可靠性理论与粗差探测 抗差估计 卡尔曼滤波 非线性估计
近代平差理论概述
1、相关平差
1947年，J.M.田斯特拉将经典平差中的观测权矩阵 由对角阵扩展为非对角方阵，提出了相关平差法，将 经典平差中观测值独立的要求，推广到随机相关的观 测值。
最小二乘法本身并未对 P 有任何特殊要求，为了保
证最小二乘解的“最优”性，通常取：
P
2 0
Σ
1
P 称为权矩阵， Σ －观测值协方差矩阵
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX
X ：独立未知数，叫参数 个数等于必需观测数： t
L ：观测值向量， n1
A ：系数矩阵， nt
rk(A) t , 列满秩
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
在有多余观测的基础上，根据一 组含有误差的观测值，依一定的数学 模型，按某种平差准则，求出未知量 的最优估值，并进行精度评定。
误差理论与测量平差基础
测量误差分类
粗 差： 由于观测者的粗心大意、操作失误、 仪器 故障等测量条件的异常变化引起的差错。
系统误差： 由测量条件中某些特定因素引起的呈系统 性变化的误差。
+
V T PV min
Xˆ ( AT PA)1 AT PL
QXˆ (AT PA)1
ˆ
2 0
V T PV nt
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
在有多余观测的基础上，根据一 组含有误差的观测值，依一定的数学 模型，按某种平差准则，求出未知量 的最优估值，并进行精度评定。
误差理论与测量平差基础
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX D 令：L% L D
L% AX
L% L
PL% P L
可以将 L AX 作为参数平差的通用模型，
考虑测量误差时，模型为： L AX
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX
X ：独立未知数，称为参数， 个数等于必需观测数： t
为测绘各学科、各专业新技术的研究提供 理论支持；
目
使学员进一步开阔思路，提高独立分析问
标
题和解决问题的能力。
教学内容
授 近代平差概述 卡尔曼滤波
最小二乘配置 秩亏网平差
课
粗差探测 抗差估计
方差分量估计 附有系统参数的平差
有偏估计
内
容
本课程的学员应该是学习过《误差理 论与测量平差基础》、《测量平差程序
A
实际上： L1 L2 L3 180o
处理：
(L1 v1) (L2 v2 ) (L3 v3 ) 180o
附加约束条件： v12 v22 v32 min
最小二乘原理
C B
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
在有多余观测的基础上，根据一 组含有误差的观测值，依一定的数学 模型，按某种平差准则，求出未知量 的最优估值，并进行精度评定。
本科学习的内容相对于“研究型”人才的 培养目标，是远远不够的
为什么要进一步学习平差理论与方法
应用需求：
（1）计算条件从手算到应用计算机计算 （2）从提供位置服务到位置、速度、姿态、重力 场信息、磁力场信息等多方面服务 （3）从事后处理到实时处理 （4）从静态数据处理到动态数据处理 （5）从静态数据处理到动力数据处理
函数模型 （ L 为观测值）
L AX D
条件平差
具有参数的 条件平差
具有条件的 参数平差
BL B0 0
BL BX X B0 0 L AX D BX X B0 0
B(L ) B0 0
B(L ) BX X B0 0
L AX D
BX X B0 0
（1）同一平误差差问题理，论选与择四测种量平平差模差型基的础任一平差模型平差，得
到的平差结果是相同的。
（2）四测种量模型平可差以用模一型个统(函一的数模模型概型括)：
CB观 （XL 测L A为方CX0真程值0B）0 0
观测方程 （ L 为观测值）
参数平差 L AX D
测量平差是古老的、与时俱进的、充满活力的、内 容即为丰富的学科领域（方向）
为什么要进一步信息平差理论与方法
培养目标：
要求研究生具有独立从事科学研究的能力 大地、导航、工测、遥感等专业，绝大多 数科研工作都与数据处理（平差）有直接 关系 数据处理能力是科研能力的重要组成部分， 平差理论是数据处理能力的基础
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX 函数模型
E() 0
P
1
2 0
Σ 1
随机模型
高斯-马尔科夫模型
高斯-马尔科夫模型含义？
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX
VE(A) X0 L PP11002 ΣΣ11
+
V T PV min
思考：最小二乘的精度 估计是方差还是均方误 差？
Xˆ ( AT PA)1 AT PL
QXˆ (AT PA)1
ˆ
2 0
V T PV nt
误差理论与测量平差基础
高斯-马尔科夫模型最小二乘平差 值的统计性质：
Xˆ 是 X 的最优线性无偏估计解。
无偏： E( Xˆ ) X 最优： tr(Xˆ ) min （方差最小） 对任意的 B ， X% BL ，若 E( X%) X ，则
L ：观测值向量， n1
A ：系数矩阵， nt
rk(A) t , 列满秩
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
在有多余观测的基础上，根据一 组含有误差的观测值，依一定的数学 模型，按某种平差准则，求出未知量 的最优估值，并进行精度评定。
误差理论与测量平差基础
最小二乘准则
V T PV min P 是什么？
数学期望的接近程度） （方差）
准确度：数学期望与真值的差异 （偏差） 精确度：观测值与真值的接近程度。（均方误差）
方差 E{(L E(L))2} 偏差 L真 E(L)
均方误差 E{(L L真)2}
误差理论与测量平差基础
什么是精度？
精密度：同一观测值重复观测的聚散程度（与
数学期望的接近程度） （方差）
——《课程标准 ·课程性质、地位 》
课程的性质地位
课
程
大地测量学与测量工程专业的硕士生学位
地
课程;
位
和பைடு நூலகம்
同时也是一门适用于导航、制导与控制和
目
摄影测量与遥感等专业的选修课程。
标
课程的性质地位
课
通过本课程的学习，掌握近代平差理论的
程
主要内容及基本的研究方法；
地 位 和
了解平差理论的最新发展动向及前沿研究 领域；
设计》等课程。
课程的性质地位
授
课堂讲授（10个专题，20-24学时）
课 指定文献精读（6-8学时）：课程资源库
方
研讨与交流（4学时）
编程实践（8学时）：《测量平差程序设计》
式
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
设 A, B,C 角的观测值为 L1, L2 , L3
理论上： L1 L2 L3 180o
经典平差：
相关平差：
p1
P
p2
pn
q11 q12 P Q1 q21 q22
qn1 qn2
q1n 1
q2n
qnn
近代平差理论概述
从矩阵形式看，相关平差与非相关平差的估值准 则和估值公式是完全相同的。但相关平差对平差理论 的贡献却是具有里程碑意义的。
什么是精度？
精密度：同一观测值重复观测的聚散程度（与
数学期望的接近程度） （方差）
准确度：数学期望与真值的差异 （偏差） 精确度：观测值与真值的接近程度。（均方误差）
误差理论与测量平差基础
什么是精度？
离散程度小 没有偏差
离散程度大 没有偏差
离散程度小 有偏差
误差理论与测量平差基础
什么是精度？
精密度：同一观测值重复观测的聚散程度（与
（1） 相关平差使测量平差的适应面更宽。实际中存 在的相关观测值，过去只能按独立观测值来处理。
（2）相关平差使观测值的概念广义化了。观测值的 平差结果也可以作为观测值，进行最小二乘平差， 它可以将庞大的平差划为若干部分或若干阶段来进 行。还可以简化公式的推导。
（3）相关平差是测量平差进入近代平差的标志。
L AX D
条件平差
具有参数的 条件平差
具有条件的 参数平差
BL B0 0
BL BX X B0 0 L AX D BX X B0 0
B(L ) B0 0
B(L ) BX X B0 0
L AX D