近代平差理论概述

误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX D 令：L% L D
L% AX
L% L
PL% P L
可以将 L AX 作为参数平差的通用模型，
考虑测量误差时，模型为： L AX
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX
X ：独立未知数，称为参数， 个数等于必需观测数： t
函数模型 （ L 为观测值）
L AX D
条件平差
具有参数的 条件平差
具有条件的 参数平差
BL B0 0
BL BX X B0 0 L AX D BX X B0 0
B(L ) B0 0
B(L ) BX X B0 0
L AX D
5、参数估值的特性： 当观测值服从正态分布时，参数平差值具备
无偏性、有效性、一致性。
近代平差理论概述
近代平差理论，是在经典最小二乘平差基础是发展 起来的，一方面将经典的内容不断扩充，另一方面对经 典平差中各种限制性条件不断放宽。
促进影响平差理论发展的两大因素 • 数学的发展（概率论、线性代数、矩阵论） • 电子计算机的应用
+
V T PV min
Xˆ ( AT PA)1 AT PL
QXˆ (AT PA)1
ˆ
2 0

V T PV nt
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
在有多余观测的基础上，根据一 组含有误差的观测值，依一定的数学 模型，按某种平差准则，求出未知量 的最优估值，并进行精度评定。
误差理论与测量平差基础
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
在有多余观测的基础上，根据一 组含有误差的观测值，依一定的数学 模型，按某种平差准则，求出未知量 的最优估值，并进行精度评定。
误差理论与测量平差基础
测量误差分类
粗 差： 由于观测者的粗心大意、操作失误、 仪器 故障等测量条件的异常变化引起的差错。
系统误差： 由测量条件中某些特定因素引起的呈系统 性变化的误差。
（1） 相关平差使测量平差的适应面更宽。实际中存 在的相关观测值，过去只能按独立观测值来处理。
（2）相关平差使观测值的概念广义化了。观测值的 平差结果也可以作为观测值，进行最小二乘平差， 它可以将庞大的平差划为若干部分或若干阶段来进 行。还可以简化公式的推导。
（3）相关平差是测量平差进入近代平差的标志。
数学期望的接近程度） （方差）
准确度：数学期望与真值的差异 （偏差） 精确度：观测值与真值的接近程度。（均方误差）
方差 E{(L E(L))2} 偏差 L真 E(L)
均方误差 E{(L L真)2}
误差理论与测量平差基础
什么是精度？
精密度：同一观测值重复观测的聚散程度（与
数学期望的接近程度） （方差）
L AX D
条件平差
具有参数的 条件平差
具有条件的 参数平差
BL B0 0
BL BX X B0 0 L AX D BX X B0 0
B(L ) B0 0
B(L ) BX X B0 0
L AX D
BX X B0 0
——《课程标准 ·课程性质、地位 》
课程的性质地位
课
程
大地测量学与测量工程专业的硕士生学位
地
课程;
位
和
同时也是一门适用于导航、制导与控制和
目
摄影测量与遥感等专业的选修课程。
标
课程的性质地位
课
通过本课程的学习，掌握近代平差理论的
程
主要内容及基本的研究方法；
地 位 和
了解平差理论的最新发展动向及前沿研究 领域；
BX X B0 0
（1）同一平误差差问题理，论选与择四测种量平平差模差型基的础任一平差模型平差，得
到的平差结果是相同的。
（2）四测种量模型平可差以用模一型个统(函一的数模模型概型括)：
CB观 （XL 测L A为方CX0真程值0B）0 0
观测方程 （ L 为观测值）
参数平差 L AX D
tr(Xˆ ) tr( X%)
平差理论 培养目标 应用需求
为什么要进一步学习平差理论与方法
平差理论：
1794 年，高斯提出最小二乘法，… 观测值独立的最小二乘法，… 1947 年，田斯特拉提出相关最小二乘法，… 最小二乘配置，… 自由网平差，… 方差分量估计，… 抗差估计，粗差探测… ………………………………….
A
实际上： L1 L2 L3 180o
处理：
(L1 v1) (L2 v2 ) (L3 v3 ) 180o
附加约束条件： v12 v22 v32 min
最小二乘原理
C B
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
在有多余观测的基础上，根据一 组含有误差的观测值，依一定的数学 模型，按某种平差准则，求出未知量 的最优估值，并进行精度评定。
偶然误差： 测量条件中各种随机因素的偶然性影响而 产生的误差。
一般假定观测值仅有偶然误差！
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
在有多余观测的基础上，根据一 组含有误差的观测值，依一定的数学 模型，按某种平差准则，求出未知量 的最优估值，并进行精度评定。
误差理论与测量平差基础
测量平差模型(函数模型)
近代平差理论概述
相关平差 参数加权平差 最小二乘配置 秩亏自由网平差 具有奇异权阵的平差 最小二乘统一理论
随机模型的验后估计 附加系统参数的平差 有偏估计 可靠性理论与粗差探测 抗差估计 卡尔曼滤波 非线性估计
近代平差理论概述
1、相关平差
1947年，J.M.田斯特拉将经典平差中的观测权矩阵 由对角阵扩展为非对角方阵，提出了相关平差法，将 经典平差中观测值独立的要求，推广到随机相关的观 测值。
近代平差理论概述
2、参数加权平差
经典平差：
未知参数是非随机量， 参数在取得观测值前 无任何有利用价值的 信息，参数的估值完 全依赖于观测值及平 差的模型，当平差模 型和观测值取值确定 时，无论参数近似值 怎样选择，平差的结 果是唯一的。
为测绘各学科、各专业新技术的研究提供 理论支持；
目
使学员进一步开阔思路，提高独立分析问
标
题和解决问题的能力。
教学内容
授 近代平差概述 卡尔曼滤波
最小二乘配置 秩亏网平差
课
粗差探测 抗差估计
方差分量估计 附有系统参数的平差
有偏估计
内
容
本课程的学员应该是学习过《误差理 论与测量平差基础》、《测量平差程序
L ：观测值向量， n1
A ：系数矩阵， nt
rk(A) t , 列满秩
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
在有多余观测的基础上，根据一 组含有误差的观测值，依一定的数学 模型，按某种平差准则，求出未知量 的最优估值，并进行精度评定。
误差理论与测量平差基础
最小二乘准则
V T PV min P 是什么？
设计》等课程。
课程的性质地位
授
课堂讲授（10个专题，20-24学时）
课 指定文献精读（6-8学时）：课程资源库
方
研讨与交流（4学时）
编程实践（8学时）：《测量平差程序设计》
式
误差理论与测量平差基础
什么是平差？
设 A, B,C 角的观测值为 L1, L2 , L3
理论上： L1 L2 L3 180o
为什么要进一步学习平差理论与方法
应用需求：
1、出现了新的函数模型 2、出现了新的随机模型 3、海量测量数据 4、测量数据性质发生了根本的转变
近代平差理论概述
经典平差内容回顾
1、误差分类： 粗差 、系统误差 、偶然误差
（假定观测值偶然误差） 2、函数模型
V AX L
L 的协方差矩阵或权矩阵是已知的：L
准确度：数学期望与真值的差异 （偏差） 精确度：观测值与真值的接近程度。（均方误差）
没有粗差和系统误差时，精密度与精确度是统一的。 我们通常所指的精度是指二者统一意义上的精密度。
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX
VE(A) X0 L PP11002 ΣΣ11
+
V T PV min
思考：最小二乘的精度 估计是方差还是均方误 差？
Xˆ ( AT PA)1 AT PL
QXˆ (AT PA)1
ˆ
2 0

V T PV nt
误差理论与测量平差基础
高斯-马尔科夫模型最小二乘平差 值的统计性质：
Xˆ 是 X 的最优线性无偏估计解。
无偏： E( Xˆ ) X 最优： tr(Xˆ ) min （方差最小） 对任意的 B ， X% BL ，若 E( X%) X ，则
经典平差：
相关平差：
p1

P
p2




pn

q11 q12 P Q1 q21 q22
qn1 qn2
q1n 1
q2n


qnn

近代平差理论概述
从矩阵形式看，相关平差与非相关平差的估值准 则和估值公式是完全相同的。但相关平差对平差理论 的贡献却是具有里程碑意义的。
什么是精度？
精密度：同一观测值重复观测的聚散程度（与
数学期望的接近程度） （方差）
准确度：数学期望与真值的差异 （偏差） 精确度：观测值与真值的接近程度。（均方误差）
误差理论与测量平差基础
什么是精度？
离散程度小 没有偏差
离散程度大 没有偏差
离散程度小 有偏差
误差理论与测量平差基础
什么是精度？
精密度：同一观测值重复观测的聚散程度（与
参数平差
观测方程 （ L 为真值）
L AX D
条件平差
具有参数的 条件平差
BL B0 0 BL BX X B0 0
பைடு நூலகம்
具有条件的 L AX D 参数平差 BX X B0 0
误差理论与测量平差基础
测量平差模型(函数模型)
参数平差
函数模型 （ L 为真值）
L AX D

P 2 1 0L
P一般是对角阵 A —列满秩矩阵
X—未知参数，非随机量其估值完全依赖于平 差结构和观测向量的取值
V—观测值改正数（残差，观测值真误差的估值）
近代平差理论概述
经典平差内容回顾
3、估值准则： V T PV min
4、参数估值公式：
AT PAXˆ AT PL 0 NXˆ U 0 Xˆ ( AT PA)1 AT PL
什么是“近代”？ 什么是“近代平差”？
“近代平差”是一个不十分准确、但又没 有更合适的词来替代的词汇。
本课程是在本科《误差理论与测量平差基础》 基础上，对平差知识的深入学习与研究。
近义词：广义测量平差、现代测量平差、 高等测量平差
课程的性质地位
《近代平差理论及其应用》是大地测量学与测量工程专 业的硕士生学位课，同时也是一门适用于导航、制导与控 制和摄影测量与遥感专业的选修课。课程内容主要包括： 测量平差发展的历史轨迹及理论体系，最小二乘配置，秩 亏网平差，最小二乘分解法、Helmert方差—协方差分量估 计，附加系统参数的平差，数据探测和抗差估计等。本课 程对培养研究生掌握近代平差理论发展的新动向和新成果、 并应用这些新理论解决测绘科研与生产实践中的实际问题 具有重要作用。
测量平差是古老的、与时俱进的、充满活力的、内 容即为丰富的学科领域（方向）
为什么要进一步信息平差理论与方法
培养目标：
要求研究生具有独立从事科学研究的能力 大地、导航、工测、遥感等专业，绝大多 数科研工作都与数据处理（平差）有直接 关系 数据处理能力是科研能力的重要组成部分， 平差理论是数据处理能力的基础
本科学习的内容相对于“研究型”人才的 培养目标，是远远不够的
为什么要进一步学习平差理论与方法
应用需求：
（1）计算条件从手算到应用计算机计算 （2）从提供位置服务到位置、速度、姿态、重力 场信息、磁力场信息等多方面服务 （3）从事后处理到实时处理 （4）从静态数据处理到动态数据处理 （5）从静态数据处理到动力数据处理
最小二乘法本身并未对 P 有任何特殊要求，为了保
证最小二乘解的“最优”性，通常取：
P


2 0
Σ
1
P 称为权矩阵， Σ －观测值协方差矩阵
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX
X ：独立未知数，叫参数 个数等于必需观测数： t
L ：观测值向量， n1
A ：系数矩阵， nt
rk(A) t , 列满秩
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX 函数模型

E() 0

P

1

2 0

Σ 1
随机模型
高斯-马尔科夫模型
高斯-马尔科夫模型含义？
误差理论与测量平差基础
参数平差模型
L AX
VE(A) X0 L PP11002 ΣΣ11