二阶系统时域响应 PPT
二阶系统的时间响应及动态性能
（3-7）
当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二
阶系统近似看作由 λ1 确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图 3-7 曲线体现了这一规律
例 3-6 系统结构图如图 3-19 所示。求开环增益 K 分别为 10，0.5，0.09 时系统的动态
性能指标。
解 当 K =10， K ＝0.5 时，系统为欠阻尼状态，当 K =0.09 时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为
Φ(s) =
K
T0s2 + s + K
为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为
λ1 = λ2 = − ωn = − 1 T1
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s)
=
Φ(s)R(s)
=
(s
ωn2 + ωn )2
1 s
67
其单位阶跃响应为
h(t) = 1 − (1 + ωnt)e−ωnt 临界阻尼二阶系统的调节时间 ts 可参照过阻尼二阶系统调节时间的方法计算，只是此时 T1 T2 = 1，调节时间
−
2
ξω n
≈
3.5 ξω n
（ 0.3 < ξ < 0.8 ）
32-3 二阶系统时域响应
《自动控制理论》
§3.３ 3.３ §3.３.1 3.３
二阶系统的时间响应及动态性能
传递函数标准形式及分类
2 D(s) = s 2 + 2ξωn s + ωn = 0
《自动控制理论》
二阶系统的时域响应
R-L-C电路，其传递函数为： 电路，其传递函数为：
Uc( s) 1 G( s) = = Ur( s) LCs2 + RCs +1
s1, 2 = ± jωn
对应的单位阶跃响应为
c(t ) = 1 − cos ωnt
由此表明系统在无阻尼时，其瞬态响应呈等幅振荡，振荡 由此表明系统在无阻尼时，其瞬态响应呈等幅振荡， 频率为 wn 。 wn
《自动控制理论》
二阶系统的时域响应
（2）临界阻尼 (ξ = 1)
ξ =1时 系统具有两个相等的实根， 当ξ =1时，系统具有两个相等的实根，即 s1, 2 = −ωn 。此时 系统输出的拉氏变换为
《自动控制理论》
§3.3.4 二阶系统阶的动态校正
比例微分(PD)校正 例1. 比例微分 校正
校正前图3-7b所示系统的特征方程为： 所示系统的特征方程为： 校正前图 所示系统的特征方程为
Js 2 + fs + K = 0
对应的
ωn =
K F , ξ= J 2 KJ
(3 - 33)
图3-15 具有PD校正的二阶系统 具有 校正的二阶系统
π −β ωd
（3-18） 18） （3-19） 19）
ξπ
1−ξ 2
π ωd
c(tp) − c(∞) − （3）超调量 Mp = = c(tp) −1 = e c(∞) 1 1 1 ts = (ln + ln ) （4）调整时间 2 ∆ ξ ωd 1− ξ
第3讲 二阶系统的时域分析
18
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (0 1)：欠阻尼
s 1, 2 ζω n jωn 1 ζ
2
ζω n jωd
c (t ) 1 Fra biblioteke ζωn t 1 ζ 2
sin(ωd t β ) ,
t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t t r时，c(tr ) 1 。
3
s1, 2 n n 1
2
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平 面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为临界阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 ⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S 平面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为过阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 以上 1 属于非振荡情况
于是有：
tr d
ωd ωn 1 ζ 2
n
n
j n 1 2 j d
n
称为阻尼角
j n 1 2
cos
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比； 而当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
2 n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
2 其中, 由特征方程 s 2 2 n s n 0
可求得两个特征根（即闭环极点）
s1, 2 n n 2 1
6
[分析]：
s1, 2 n n 1
s n n 1 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
3.3二阶系统
tp d 1 2 n
(6)最大超调量的计算：
p
c(t p ) c() c ( )
n t p
100%
1 2
2
e
e
(cos d t p
sin d t p ) 100%
n t p
(cos
1
sin ) 100%
dc(t ) / dt 0
则
故
n e
nt p
sin(d t p ) d e
tan(d t p )
nt p
cos(d t p ) 0
2
1
tan
到达第一个峰值时应有
d t p 0, , 2 ,3
d t p
s1 , s2 jn 是一对共轭纯虚数根。
三、二阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
r (t ) 1(t )
1 R( s) s
于是
2 n 1 C ( s) 2 2 s 2n s n s
由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为
c(t ) L1[C ( s)] 下面按阻尼比分别讨论。
欠阻尼系统单位阶跃响应为
c(t ) 1 e nt cos d t
n t e sin d t d
n
1 e nt (cos d t
1
2
sin d t )
(t 0)
或写为
c(t ) 1 e nt 1
2
( 1
解得 t 1/ n 。 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调 增长的没有超调。如以达到稳态值的 95% 所经历的时 间做为调整时间，则
自动控制理论时域分析2-二阶系统
案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二 阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳 定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模 和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初 始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大 系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通 过判断其阻尼比和自然频 率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是 过阻尼的，输出会缓慢地趋 近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临 界阻尼的，输出会以最快的速 度趋近于零，系统也是稳定的 。
当阻尼比等于0时，系统是无 阻尼的，输出会呈现等幅振荡 的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学 模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠 阻尼的，输出会呈现振荡衰减 的趋势，系统仍然是稳定的。
自动控制原理第三章 二阶系统PPT
tr t p
ts
t
第一节 系统的时域性能指标
2．抗扰性能指标
（1）动态降落 如果控制系统在稳态运行中受到扰 c(t) △cmax ±5% 动作用 , 经历一段动态过程后又能达到新 系 统 输 出 C∞1 的 最大降落 的稳态。可用抗扰性能指标来描述系统 值。 的抗扰性能. 0 t tν （2）恢复时间 系统输出恢复到与误差带范围所需的 根据系统在负载扰动之后的典型过 时间。 度过程定义抗扰性能指标: 返回
n n
ωdtr+β=0,π,2π…
第三节 二阶系统性能分析
2. 峰值时间tp -ζ ω t t -ωne e ω sin( ωdtp+β)] 2 ζ cos( ω t + β ) [ nβ 1ζ c(t)=1Sin( ω t+ ) = 1-ζ2 d p d 2
n p
n
1-ζ =0 dc(tp) =0 则 根据定义有 -ζ ω n sin(ωdtp+β)=0 1-ζ2 cos(ωdtp+β) dt
第三节 二阶系统性能分析
1. ζ >1 过阻尼
两个不相等 S1.2 = - ζ ω n ±ω n ζ 2 -1 的负实数根 A1 A2 A3 ωn C(s)= = + S S-S1 S-S2 S(S-S1)(S-S2) 拉氏反变换
c(t)=A1+A2es1t+A3es2t
系统输出随时间单调上升，无振荡和 超调，输出响应最终趋于稳态值1。
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
第二节 一阶系统性能分析
二阶系统的时域分析.ppt
d ds
[C
(s
)(
s
n
)
2
]s
n
1
2 [C(s) (s n )2 ]sn n
C(t) 1 ent ntent 1 ent (1 nt) (t 0)
j [s]
s1s2
n o
1
C(t) 1
1 是输出响应的单调和振荡过程的分界，通
常称为临界阻尼状态。
o
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
况，故称为阻尼系数。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
10
3.二阶系统的性能指标(1)－上升时间
根据定义，当 t tr时，c(tr ) 1。 令 c(t) 1 et sin (dt+ ) =1
sin
c(t) 1 et sin (dt+ ) , t 0 sin
e t sin (d t+ ) 0 sin
T1 T2
n
T2
1
n
h(t)= 1 -(1临+ω界n阻t)尼0je-ωnt
0＜0＜ξ＜ξ＜1 1 S1,2= -ξ ωn ±jj ωn√1-ξξ2 ＝0
jj 0
0
0
e - h(t)=
ξ＝1 0 1
2020/3/2√91-ξ2
-ξωSnt欠1s,2i阻n=(尼ω±d3t-j3+二ωβ阶n)系统的时域分析
为阻尼振荡圆频率。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
1 2 是振荡频率。称 d
5
2.二阶系统的单位阶跃响应(4)-过阻尼
极点：s1,2 n n 2 1
阶跃响应：c(t) 1
n
第三章二阶系统响应与时域性能指标解析
第三章二阶系统响应与时域性能指标解析在控制系统中，二阶系统是指具有二阶传递函数的系统。
二阶系统在工程实践中非常常见，例如机械系统、电子电路系统等。
了解二阶系统的响应和时域性能指标对于设计和分析控制系统非常重要。
二阶系统的传递函数可以表示为$G(s)=\frac{\omega_n^2}{{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}}$，其中$\omega_n$是系统的自然频率，$\zeta$是系统的阻尼比。
首先我们从系统的阶跃响应来分析二阶系统的时域性能指标。
阶跃响应是系统对阶跃信号输入的响应。
通过对传递函数分母进行因式分解，我们可以将传递函数改写为$G(s)=\frac{\omega_n^2}{(s+s_1)(s+s_2)}$，其中$s_1 = (-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n$，$s_2 = (-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n$。
1. 峰值超调量（Percent Overshoot）：峰值超调量是指系统过渡过程中输出信号的最大超调量与步变幅度之比。
通过阶跃响应曲线可以直观地看出系统的峰值超调量。
2. 调节时间（Settling Time）：调节时间是指系统从初始状态到稳定状态所需的时间。
在阶跃响应曲线中，调节时间可以定义为系统的输出信号在峰值超调之后首次进入指定误差范围内所需的时间。
一般来说，稳定误差范围可以选择输出信号与目标信号之差小于目标值的一些百分比，例如5%。
3. 峰值时间（Peak Time）：峰值时间是指系统输出信号首次达到峰值超调量的时间。
在阶跃响应曲线中，峰值时间可以直接读取。
4. 上升时间（Rise Time）：上升时间是指系统输出信号从初始状态到达峰值的时间。
在阶跃响应曲线中，上升时间可以定义为系统输出信号从0.1倍峰值超调量到0.9倍峰值超调量之间所需的时间。
二阶系统的阶跃响应曲线具有不同的形态，取决于系统的阻尼比$\zeta$。
第三章二阶系统响应与时域性能指标
第三章二阶系统响应与时域性能指标第三章介绍了二阶系统的响应和时域性能指标。
二阶系统是指具有两个阶数的系统，常见的二阶系统包括二阶低通滤波器和二阶弹簧质量振动系统等。
了解二阶系统的响应和性能指标对于工程实践和控制系统设计非常重要。
首先，我们先介绍了二阶系统的自由响应和强迫响应。
自由响应是指系统在没有外部输入的情况下的响应，主要由系统的初始条件决定。
强迫响应是指系统在受到外部输入信号刺激后的响应，主要由刺激信号的频率和幅值决定。
在讨论自由响应时，我们介绍了二阶系统的特征方程和特征根。
特征方程是描述系统特征的方程，由系统的传递函数决定。
特征根是特征方程的根，决定了系统的稳定性和响应特性。
特征根可以分为实根和共轭复根两种，分别对应系统的欠阻尼和过阻尼响应。
接着，我们讨论了二阶系统的时域性能指标。
其中包括超调量、峰值时间、调节时间和稳态误差等。
超调量反映了系统响应的振荡程度，峰值时间是达到响应峰值所需要的时间，调节时间是达到稳态的时间。
稳态误差则表征了系统输出与目标值之间的差异。
最后，我们通过实例来说明了如何使用MATLAB来计算和绘制二阶系统的时域性能指标。
MATLAB是一种非常方便的工具，可以极大地简化计算和绘图的过程。
通过使用MATLAB，我们可以更加直观地了解二阶系统的响应特性和时域性能。
总之，了解二阶系统的响应和时域性能指标对于工程实践和控制系统设计非常重要。
通过本章的学习，我们可以更好地理解和分析二阶系统的响应特性，为系统设计和调试提供有力支持。
同时，通过使用MATLAB等工具，我们可以更加方便地进行计算和绘图，提高工作效率和准确性。
自动控制原理--二阶系统的时域响应
y(t ) L-1[Y (s)]
-n
1 - e-nt (cos d t
1 - 2 sin d t )
s2
1-
e - nt (
1- 2
1 - 2 cos d t sin d t )
j jd
0
1-
e - nt 1 - 2 sin(n
1 - 2 t tg-1
1- 2 )
y(t)
单位阶跃响应（ 0<<1 ）
esst
2
a K
K
0.25
a 0.187
比例微分控制与输出微分反馈的比较
1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同；
2、对于噪声和元件的敏感程度不同； 3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不
同； 4、对动态响应的影响不同。
（1）增加阻尼的来源
• 比例微分的阻尼来自误差信号的速度；
1)
阶跃响应：y(t) 1
1
-1t
e T1
1
-1t
e T2
T2 T1 -1
T1 T2 -1
yt
j
1
0
0
t
单位阶跃响应（>1）
无振荡、无超调
2、临界阻尼 =1
j 0
两个相同的负实根
闭环系统的极点为 s1,2 -n
闭环传递函数为
GB
Y (s) R(s)
(s
n2 n )2
阶跃响应： y(t) 1- e-nt (1 nt)
阻尼振荡频率
衰减振荡
d 1- 2n
4、零阻尼 0
阶跃响应y(t)=1-cos nt
n --无阻尼振荡角频率
j 0
一对纯虚根
第三节二阶系统的时域响应
第三节二阶系统的时域响应⏹二阶系统的数学模型⏹二阶系统的单位阶跃响应⏹二阶系统单位阶跃信号的性能指标⏹二阶系统的动态校正第三节二阶系统的时域响应定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
例一22()()()()c c c r d u t du t LC RC u t u t dt dt++=Ｒ-L-C 电路2()1()()1c r U s G s U s LCs RCs ==++例二：22()()()()c c c r d t d t J F K t K t dt dt θθθθ++=()()2c r s Ks Js FS Kθθ=++将传递函数转换为：2222/()2nn n K Js F K s s s s J JωζωωΦ==++++n KJω=——系统的无阻尼自然振荡角频率式中：112F KJζ=——系统的阻尼比。
一. 二阶系统数学模型1.二阶系统的微分方程一般式为：ζ-阻尼比n ω-无阻尼振荡频率2222()()2()()n n n d c t dc t c t r t dt dtζωωω++=(0)n ω>222()()()2nn nC s s R s s s ωζωω=Φ=++2()(2)nn G s s s ωζω=+3.二阶系统传递函数标准形式：开环：闭环：2. 二阶系统的标准形式结构图：)2(2n ns s ξωω+)(s R )(s C 2(2)n n s s ωξω+二阶系统的特征方程为2220n ns s ζωω++=解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012()s t s tc t A A e A e=++式中为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。
012,,A A A s 1,s 2完全取决于，ωn 两个参数。
ζ21,21n n s ζωωζ=-±-二、二阶系统的单位阶跃响应1．欠阻尼（）的情况01ζ<<21(1)ns j ζζω=---22(1)ns j ζζω=-+-[]()()1222()()11sin1111sin , 01n n tn td c t LC s e t et t ξωξωζωβξωβξ---==--+-=-+≥-特征方程的根为：系统输出响应为：21arctanζβζ-=21 dnωζω=-式中称阻尼振荡角频率，或振荡角频率；二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分组成。
二阶系统时域响应
响应速度比ζ>1 时快。
④当 1 时：过阻尼系统 s1,2 n n 2 1
系统两个不等负实根：
yt
s1,2 n n 2 1
1
1
1
Y (s) R(s)(s) 1
n2
0
t
s (s s1)(s s2 ) 过阻尼系统单位阶跃响应( >1)
1 c1 c2
4
5
6
d n n
(2)峰值时间 tp
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
dy(t) dt
ent
1 2
n
sin(d t
) d
cos(d t
)
ent n 1 2
sin(d t
)
1
2
cos(d t
)
ent n 1 2
cos
sin(d t
) sin
cos(d t
)
ent n 1 2
③当 =1时，临界阻尼系统
yt
s1,2 n n 2 1
1
1
1
系统两个负实重根： s1 s2 n
Y
(s)
R(s)(s)
1 s
(s
n2 n
)2
1 1 n s s n (s n )2
y(t) 1 ent (1 nt), t 0
0
t
临界阻尼系统单位阶跃响应(
=1)
输出响应无振荡和
1.欠阻尼二阶系统的性能指标
本课程主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论。
其单位阶跃响应曲线： 性能指标有：
y(t) 1
ent
典型二阶系统的时域响应与性能分析
实验二 典型二阶系统的时域响应与性能分析一、实验目的1、研究二阶系统的特征参量（ζ, ωn ）对过渡过程的影响。
2、研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。
二、实验设备PC 机一台，TD-ACS 教学实验系统一套。
三、实验原理典型二阶系统开环传递函数为：)1()1()(101101+=+=s T s T K s T s T K s G ；其中，开环放大系数01T K K = 。
系统方块图与模拟电路如图2-1与图2-2所示。
图2-1典型二阶系统方块图图2-2模拟电路图先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电电阻R 的理论值，再将理论值应用于模拟电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性。
设R T K K s T T s T 200,2.0,10110=====，系统闭环传递函数为：2222221)()(n n n s s TK s T s T KK s Ts K s R s C ωζωω++=++=++= 其中，自然振荡频率：RT K n 1010==ω 阻尼比：4102521RTKTn===ωζ 典型二阶系统的瞬态性能指标：超调量：21%ζζπδ--=e峰值时间：21ζωπ-=n p t峰值时间的输出值：211)(ζζπ-=+=e t C p调节时间：1）欠阻尼10<<ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈5324，，t n n s ζωζω2）临界阻尼1=ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈575.4284.5，，t nns ωω3）过阻尼1>ζ，⎩⎨⎧=∆=∆≈532411，p ，p t s ，1p -与2p -为二阶系统两个互异的负实根122,1-±-=-ζωζωnn p ，21p p ->>-，过阻尼系统可由距离虚轴较近的极点1p -的一阶系统来近似表示。
四、实验内容与要求1、实验前预先计算出典型二阶系统性能指标的理论值并填入实验对照表2-1中。
2、按模拟电路图接线，将信号源单元的“ST”端插针与“S”端插针用“短路块”短接，使每个运放单元均设置锁零场效应管，此时运放具有锁零功能。
二阶系统的时域响应
现在针对阻尼 (01) 的情况，讨论暂态
响应指标与特征参量的关系。
欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应为
c(t) 1 e n tsin 1 (2 1 2
1 2 n t arctan )t,0
（＊）
C(t)
1.上升时间 tr
在暂态过程中，第一次达到稳 1
n=1,于是§３－３二阶系统的时域响应
tr
a
rc
12 tan
n 12
1d(a
rc
12 tan )
C(t)
２．峰值时间 t p
1
MP
0.05或 0.02
响应由零上升到第一个峰值所
需
对（＊）求一阶系数，并令其为零，得
d(t)c
e n t
e n t
dtt tpd1 2co d tp s)( n1 2sid tn p) ( 0
A0 A1 A2 s ss1 ss2
按不同极点的情况求系数 A0, A1, A2
A0 C(s) s s0 1
A1
C(s)(ss1)
ss1
2
1
2 1(
2 1)
A2
C(s)(ss2) ss2
2
1
2 1(
2 1)
求拉§氏３反变－换３，二得阶系统的时域响应
c(t) 1 1 e (2 1 ) n te (2 1 ) n t ,t 0 2 2 1 2 1 2 1
s(s
n2 n
)2
c (t) 1 e n t( 1 n t) ， t 0
此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。
二阶系统有两个参数 和 n ，阻尼比 是二阶
二阶系统的时间响应及动态性能
ts
=
3.5 ξω n
=
3.5 0.5 × 10
= 0.7
相应的单位阶跃响应如图 3-18 所示。
(2) Φ(s) =
10K
，与二阶系统传递
s 2 + 10s + 10K
函数标准形式比较，得
⎪⎧ω n = 10K
⎪⎩⎨ξ
=
2
10 10K
令ξ = 0.707 ，得 K = 100 × 2 = 5 4 ×10
解 （1）当 K = 10 时，系统闭环传递函数
Φ(s)
=
G(s) 1+ G(s)
=
s2
100 + 10s + 100
与二阶系统传递函数标准形式比较，得
ωn = 100 = 10
ξ = 10 = 0.5 2 ×10
tp =
π= 1−ξ 2ωn
π
= 0.363
1 − 0.52 ×10
= e σ ％
−ξπ 1−ξ 2 = e −0.5π / 1−0.52 = 16.3 ％
（3-7）
当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二
阶系统近似看作由 λ1 确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图 3-7 曲线体现了这一规律
ts = 4.75T1
例 3-4 角度随动系统结构图如图 3-9 所示。图中， K 为开环增益， T = 0.1 s 为伺服 电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间 ts ≤ 1 s，问 K 应取多大？
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[总结]
阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断 一个二阶系统的瞬态品质。在 1的情况下瞬态特性为单调变化
曲线，无超调和振荡，但ts 长。当 0 时，输出量作等幅振荡
或发散振荡，系统不能稳定工作。
在欠阻尼 (0 1) 情况下工作时，若 过小，则超调量大，振 荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。
二阶系统两个共轭复根：
s1 n j n 1 2 j d s2 n j n 1 2 j d
其中： d n 1 2 阻尼振荡角频率
cos1
阻尼角
j
s1
n d
n
s2
s域输出响应：
ts
n
ln ln 1 2
ts
n
nts
ln
ln
1 2
当ζ由零增大时， ωnts先减小后增大， ∆= 5%，ωnts的最小值出现在ζ ＝0.69处； ∆= 2%，ωnts的最小值出现在ζ ＝0.78处； 出现最小值后， ωnts随ζ几乎线性增加。
③当 =1时，临界阻尼系统
yt
s1,2 n n 2 1
1
1
1
系统两个负实重根：s1 s2 n
Y
(s)
R(s)(s)
1 s
(s
n2 n
)2
1 1 n s s n (s n )2
y(t) 1 ent (1 nt), t 0
y(t p ) 1 e 1 2
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
tp
tp
Time (sec.)
%
y(tp )
y() 100% e
1 2
100%
y()
% e 1 2 100%
%的大小完全取决于ζ，ζ越小，%越大； 反映了系统的平稳性, ζ越大，系统平稳性越好。 ζ= 0.4~0.8 % = 25.4%~1.5%。
第三章 时域分析法
3.1 典型输入信号 3.2 控制系统的时域性能指标 3.3 一阶系统的时域响应 3.4 二阶系统的时域响应 3.5 高阶系统的时域分析 3.6 线性定常系统的稳定性和劳斯判据 3.7 控制系统的稳态误差
1
3.5 二阶系统的时域响应
一、二阶系统的数学模型 二、二阶系统的单位阶跃响应 三、二阶系统的性能指标 四、二阶系统对其他典型输入信号的响应 五、具有零点的二阶系统分析 六、改善二阶系统性能的措施
一、二阶系统的数学模型
• 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统；
• 二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶 系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二 阶系统具有很重要的意义；
• 求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何 二阶系统的动态性能指标。
Rs
• 系统结构图：
n2
s s 2n
)
ent n 1 2
cos
sin(d t
) sin
cos(d t
)
ent n 1 2
sin(d t )
dy(t) dt
ttp
sin dt p
n entp 0 1 2
Amplitude To: Y(1)
Step Response
1 s
s2 2ns n2 0
s1,2 2n
2n 2 4n2
2
n
n
2 1
ζ值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、 复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不 相同。下面分别讨论。
①当 0 时，零阻尼系统
s1,2 n n 2 1
结论： 当ζ增加到0.69或0.78时，调整时间ts为最小。设
计二阶系统，一般选ζ =0.707(β=45°),为最佳阻尼比, 此时不但调整时间ts为最小,而且超调量也不大。
ζ= 0.707 % = 4.32%≈5%。ts ≈ 3/( ζωn)。
ln ln 1 2
ts
系统两个共轭虚根：s1,2 jn
Y (s)
n2 s(s2 n2
)
1 s
s2
s
n2
y(t) 1 cosnt, t 0
此时输出将以频率 n 做等幅振荡，所以，n 称为无 阻尼振荡角频率。
②当 0 1 时，欠阻尼系统： s1,2 n n 2 1
s2
n2 2n s
n2
L C uc(t)
2n
R L
n2
1 LC
n
1 LC
R 2
C L
可见：二阶系统 的参数与标准式 的参数之间有着 对应的关系。
二、二阶系统的单位阶跃响应
Y
(s)
(s)R(s)
s2
n2 2n s
n2
• 闭环极点坐标与阻尼比的关系：
j
s1
1 等阻尼线
n d n 1 2
n
s2
2 cos 3 横 坐 标 n 4 纵 坐 标 d 5 距 原 点 n
三、二阶系统的性能指标
1.欠阻尼二阶系统的性能指标
本课程主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论。
其单位阶跃响应曲线： 性能指标有：
),
t
0
y(tr ) 1
sin dtr 0
tr
d
n 1
2
Amplitude To: Y(1)
Step Response
From: U(1) 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
tr tr 1
2
3
Time (sec.)
4
5
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
(1)上升时间tr (2)峰值时间tp (3)超调量σ% (4)调节时间ts (5)振荡次数N (6)稳态误差ess
c(t)
σ%
ess
1
0 tr tp
ts t
(1)上升时间 tr
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
tp
d
代入y (t ), 有：
1.4
1.2
1
y(t)max y(t p ) 1
e 1 2 sin( ) 1 2
Amplitude To: Y(1)
0.8 0.6
0.4
Step Response From: U(1)
而sin( ) sin 1 2
6
d n n
(2)峰值时间 tp
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
dy(t) dt
ent
1
2
n
sin(d t
)
d
cos(d t
)
ent n 1 2
sin(d t
)
1
2
cos(d t
等幅振荡 衰减振荡 单调上升 单调上升
二阶系统的阻尼响应曲线
随着阻尼系数ζ的增加，y(t)将从无衰减的周期运动变为有衰 减的正弦运动，当ζ>1时y(t)呈现单调上升运动(无振荡)。
ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。 ★ 0.707 最佳阻尼比，系统响应较快、超调不大。
2
1 2
, 2%
N 仅与有关:越大， N越小，系统平稳性 越好。
(6)稳态误差ess
根据稳态误差的定义
e(t) r(t) y(t)
ent
1 2
sin(d t
)
欠阻尼二阶系统的稳态误差:
ess
lim e(t)
t
lim
t
ent
cos
sin dt)
1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
欠阻尼系统的单位阶跃响应（ 0<ζ<1 ） 系统响应的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰 减的周期函数，其振荡频率为：d 1 2n
Y s
• 闭环传递函数：
(s)
s2
2 n
2 ns
2 n
• 闭环特征方程：
s2
2
ns
2 n
0
(s) 为典型二阶系统的传递函数， 为阻尼系数， n 为无阻尼自然振荡角频率或固有频率。
例1：RLC电路的传递函数为
R
G(s) Uc(s)
1
Ur (s) LCs2 RCs 1 ur(t)
Y (s) R(s)(s)
1
n2
s (s n jd )(s n jd )