全国中学生物理竞赛——纯电阻电路的简化和等效变换

例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换

李进

山东省邹平县第一中学

计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。

1、等势节点的断接法

在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻

或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。

【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R i = R2 = R3 = R4 = R5 = R，试求A、B两端的等效电阻R AB。

模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。

答案：R AB = 3 R o

8

【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R i = 1 Q，R2 = 4 Q，R3 = 3 Q，R4 = 12 Q，R5 = 10Q，试求A、B两端的等效电阻R AB。

模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，

并假设R5不存在，C、D两点的电势相等。

因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙

对于图8-5的乙图，求R AB是非常容易的。事实上，只要满足R =壬的关系，该桥式

电路平衡。

答案：R AB = -- Q。

4

【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为 间的等效电阻R AB 。

B

A

2、电流分布法

设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电 压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组， 解出各支路

电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算 A 、B 两点间的电压

R

U AB

R

AB

U

AB ，再由

I

即可求出等效电阻。

【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试 求出A 、B 两点之间的等效电阻 R AB 。

【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出 A 、B 两点之间的等

效电阻R AB 。

【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络, 而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻 R AB 。

C B

D

B

R ，试求A 、B 两点之

【例题4】用导线连接成如图所示的框架, 求AB 间的总电阻。

ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是 1

C 、

D 之间是两根电阻丝并联

电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别 作用时，在此支路中产生的电流的代数和。 所谓电路中只有一个电源单独作用，

就是假设将

其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。

【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为

R ，求A 、B 间等效电阻。

以上两套公式的记忆方法:

Y :分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。 Y :分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。

当Y 形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的

三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的 Y 形联接的三个电阻相等，且等于

原来的1/3。

3、Y —△变换法

在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的 Y 型或△,如图所示，有时把Y 型联接代换成等效 的△型联接，或把△型联接代换成等效的

Y 型联

接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等 效代换要求Y 型联接三个端纽的电压 U i2、U 23、U 31及流过的电流h 、^、4 与△型联接的三个端纽相同。

⑴将Y 型网络变换到△型电路中的变换式：

R R 2

R 2 R 3 R 3R 1 R R 2

R 3

R 2 R 3 R 3R 1 R I

R 2 R 2

R 2 R 3 R 3R 1

R 1

⑵将△型电路变换到 Y 型电路的变换式:

R l2

R

3I

R 2

R

l2

R 12

B

R l2

尺2 R

23

R 31 R 23

【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻 R AB

提示：法一：“―”变换；

法二：基尔霍夫定律

【例题2】试求如图所示电路中的电流 用两种变换方式计算）

x 2 x a 0。所以

1

1 4a

x

2

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路， 那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷

大。

⑴一维无限网络

【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为 R ,试求A 、B 两点间的电阻 R AB 。

甲

乙

图 0-11

解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个

R 再串联一个R ”作为电路的一级，总电

路是这样无穷级的叠加。在图

8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添

AB 、CD 间等效电阻。 无影响， (a > 0)

x 是由无限多个 a 组成，所以去掉左边第一个 即剩余部分仍为x ,这样，

就可以将原式等效变换为x

■- a 对x 值毫

ift R

I 。（分别应

【课堂练习】分别求下图中

A R &

4、无限网络

在求x 值时，注意到 (答案：0.5R; R PQ =4 Q )