北京市顺义区2020届高三第二次统练数学试题参考答案
北京顺义区高三数学第二次统练测试(理)新人教版
顺义区2010届高三第二次统练数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}2|1A x x =<，集合{}2|log 0B x x =<，则A B =I ( )A.()0,1B.()1,0-C.()1,1-D. (),1-∞ 2. 已知复数12z i =+，则1z= ( ) A. 1233i -+ B. 1233i - C.1255i - D. 1255i -+3. 已知向量(3cos ,2)a α=r ，(3,4sin )b α=r ，且a b r rP ，则锐角α等于（ ）A.6π B.4π C.3π D.512π4.“1m =”是“直线0x y m ++=与圆221x y +=相交”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是 （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 6. 从5名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生被选中的方法数是 （ ）A. 10B. 20C. 25D.307. 已知函数31()3f x x x =+，则不等式n=n+1s=s+(-1)n ⋅n n=1, s=0n ≤ 10 ?输出 S 开始结束是否2(2)(21)0f x f x -++>的解集是（ ）A.()),11,-∞-+∞UB.()1C.()(),13,-∞-+∞UD. ()1,3- 8.在区间[]0,1上任取两个实数a 、b ，则函数31()3f x x ax b =+-在区间()1,1-上有且仅有一个零点的概率为 （ ）A. 19B. 29C. 79D. 89第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.一个实心铅质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为1的圆，将8个这样的几何体加热熔解后，浇铸成一个实心球，则该球的表面积为__________. 10．若(nax +的展开式共有6项，并且2x 项的系数为10，则n =______.实数a =_____________.11.如图：PA 切圆O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，将OA绕点O 顺时针旋转060到D ，设1OB PB ==，则POD V 的面积等于______________12.设曲线C 的极坐标方程为θρcos 2= )0(>ρ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-==2t y tx （t 为参数），则曲线C 与直线l 交点的直角坐标为____________.13.已知双曲线22217x y a -=，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线的左支于A 、B 两点，且||4AB =，2F 为双曲线的右焦点，2ABF V 的周长为20，则此双曲线的离心率e =__________.14.如图，2(4)nn ≥个正数排成n 行n 列方阵：11121312122232123nnn n n n na a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L符号(1,)ij a i j n ≤≤ 表示位于第i 行第j 列的正数.DAB COP已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列， 且各列数的公比都等于q . 若1112a =，241a =，3214a =，则q = ________， ij a =__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共12分） 已知函数()sin cos f x x x =+，x R ∈． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）如果函数()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小正周期和最大值；16．（本小题共13分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下Ⅰ.现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；Ⅱ.若将频率视为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X ，求X 的分布列及数学期望EX . 17．（本小题共14分）已知：四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ,底面A B 是菱形,且2PA AB ==,060ABC ∠=,BC 、PD 的中点分别为E 、F .Ⅰ.求证BC PE ⊥Ⅱ.求二面角F AC D --的余弦值Ⅲ.在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF ||平面PCG ?若存在指出G 在AB 上位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 18．（本小题共14分）设a R ∈，函数2()()xf x e a ax x -=+- （e 是自然对数的底数） Ⅰ.若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程EBⅡ.判断()f x 在R 上的单调性 19．（本小题共14分）已知两点(0,1)M (0,1)N -，平面上动点(,)P x y 满足||||0NM MP MN NP ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rⅠ.求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程；Ⅱ.设(0,)Q m ，(0,)R m -（0m ≠）是y 轴上两点，过Q 作直线与曲线C 交于A 、B 两点，试证：直线RA 、RB 与y 轴所成的锐角相等； Ⅲ.在Ⅱ的条件中，若0m <，直线AB 的斜率为1， 求RAB V 面积的最大值.20．（本小题共13分）在数列{}n a 、{}n b 中，已知16a =，14b =，且n b 、n a 、1n b +成等比数列，n a 、1n b +、1n a +成等差数列，（n N +∈）Ⅰ.求2a 、3a 、4a 及2b 、3b 、4b ,由此猜想{}n a 、{}n b 的通项公式，并证明你的结论； Ⅱ.证明：1122331111720n n a b a b a b a b +++⋅⋅⋅+<++++.高三数学试题（理科）参考答案及评分标准二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分 9．16π ；10. 5,1；；12．()1,1-，()2,0;（注：10、12,14题只填对一空给3分）13．43；14 ．12,12ij ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭；（注：14题少解给2分，有错解不给分）三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共12分） 解：（Ⅰ）()sincos444f πππ=+== _______4分 （Ⅱ）()()()(sin cos )[sin()cos()]g x f x f x x x x x =-=+-+- (sin cos )(sin cos )x x x x =+-+ _______6分22cos sin cos 2x x x =-= _______8分x R ∈22T ππ==，()g x 的最小正周期为π．_______10分 1cos 21x ∴-≤≤，因此，函数()g x 的最大值是1．_______12分16．（本小题共13分）解：Ⅰ.本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分。
2020-2021学年北京顺义区第二中学高三数学理测试题含解析
2020-2021学年北京顺义区第二中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=(－2,1)，=(－1,3)，则( )A．∥ B．⊥ C.∥(－) D．⊥(－)参考答案：D2. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是（）A．“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数,则它是负数”C．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”参考答案：C略3.如上右图所示，C是半圆弧上一点，连接AC并延长至D，使|CD|=|CB|，则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时，D点所经过的路程为（）A． B． C． D．2参考答案：答案：C4.已知向量a=（1，2），b=（－2，1），则向量a 与bA．垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且反向 D.平行且同向参考答案：答案:A5. 复数（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A,选A.6. 已知向量,,且，则的值为 ( ) A．B．C．D．参考答案：B7. （09年湖北重点中学4月月考理）已知不等式，对任意恒成立，则a 的取值范围为（）A． B．C．（1，5） D．（2，5）参考答案：B8.若P为双曲线右支上一点，P到右准线的距离为，则点P到双曲线左焦点的距离为（）A．1 B．2 C．6 D．8参考答案：答案:D9.设实数，满足，，，则下列不等式一定成立的是A． B． C．D．参考答案：答案：C10. 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】本题为几何概型，由题意以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，AB=4，故半圆的面积是2π，梯形ABCD的面积是25，∴满足∠AEB为钝角的概率为p=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是▲．参考答案：答案：1.512. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M+N=16，则展开式中的常数项为.参考答案：略13. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的序号是________．参考答案：①③④ 略14. 运行如图所示程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出s 属于 ．参考答案：[﹣3，4]【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【解答】解：本程序为条件结果对应的表达式为s=，则当输入的t∈[﹣1，3]，则当t∈[﹣1，1）时，s=3t∈[﹣3，3），当t∈[1，3]时，s=4t ﹣t 2=﹣（t ﹣2）2+4∈[3，4]， 综上s∈[﹣3，4]， 故答案为：[﹣3，4]．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键．15. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：①若则； ②若则；③若则；④若则.其中正确的命题序号是 .参考答案：③④ 略 16. 在中，,,,则的面积等于 .参考答案：或17. 已知函数，则函数在时的最大值为 ．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
北京市顺义区2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
北京市顺义区2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．17B ．32C ．53D ．10 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解.【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.4．已知复数1cos23sin 23z i =+oo和复数2cos37sin37z i =+oo，则12z z ⋅为 A．122- B．122i + C．12+ D12i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝122+． 故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.5．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3 B．C．-D ．3-【答案】D 【解析】【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x=，Q 一条渐近线的倾斜角为56π，5tan 6π==，解得：3a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.6．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅r r，再由投影的定义计算．【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=r r r r r r r r ，因为||3||3a b ==r r ，所以2a b ⋅=-r r ．故2a b -r r 在a r 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===r rr r r r r r． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 7．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 8．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.9．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B 【解析】∵12F F =∵122F F c ==∴c =∵222c a b =-，24b = ∴4a =∴1228PF PF a +== 故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。
北京市顺义区2021-2022学年高三下学期第二次统练+数学试题+Word版含答案【+高考】
（2）证明见解析（3）
数学附加几何思维判断题（填“√”或“×”）
（ ）1.若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行。
（ ）2.若两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行。
（ ）3.和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线。
（ ）4.两条直线都平行于同一平面，则这两条直线平行。
③若 都是“凸集”，则 也是“凸集”；
④若 都是“凸集”，且交集非空，则 也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是_____________________．
【15题答案】
【答案】①②④
三、解答题共6道题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.已知函数 .
（1）求 在区间 上的最大值和最小值；
（2）当 ，设 ，求 的单调区间.
【24题答案】
【答案】（1）仅有一个，理由见解析；
（2）答案见解析.
26.设正整数数列 满足 ．
（1）若 ，请写出 所有可能的取值；
（2）记集合 ，证明：若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
（3）若 为周期数列，求 所有可能的取值.
【26题答案】
【2题答案】
【答案】D
3. 展开式中的常数项为（）
A. B. C. 15D. 30
【3题答案】
【答案】C
4.已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线 的一条渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】A
5.设等比数列 的前 项和为 ，公比为 .若 ，则 （）
A. B. C. D.
【5题答案】
C.充分必要条件D.既不充分也不必要件
2024北京顺义区高三一模数学(第二次统练)试题及答案
2024北京顺义高三一模数学（第二次统练）第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设集合{}24U x Z x =∈≤， {}1,2A =，则U C A =（A ）[]2,0-（B ）{}0（C ）{}2,1--（D ）{}2,1,0--（2）已知复数z 的共轭复数z 满足()12i z i +⋅=，则z z ⋅=（A （B ）1（C ）2（D ）4（3）在5(21)x -的展开式中，4x 的系数为（A ）80-（B ）40-（C ）40（D ）80（4）已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c π=，则（A ）a b c>>（B ）b a c>>（C ）c b a>>（D ）c a b>>（5）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，1lg lg lg 2nn n a a ++=，N n *∈，则9S =（A ）511（B ）61（C ）41（D ）9（6）已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M ，若F 为PQ 的中点，则PM =（A ）4（B ）6（C ）（D ）8（7）若函数()1,0,0,0,1,0.x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩则“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的（8）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法：考生须知1.本试卷共5页，共两部分，21道小题，满分150分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和班级。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。
2020年北京市顺义区高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年北京市顺义区高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0，1}C. {0，2}D. {1，2}2.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为7，则输出的y值为（）A. -2B. -1C.D. 23.若实数x，y满足则2x+y的最小值是（）A. -2B. -1C. 0D. 44.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C.D.5.在△ABC中，a=7，c=3，．sin C的值为（）A. B. C. D.6.当c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立的正数a（a≠1）的值为（）A. B. C. 2 D. 47.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2={（x，y）|y=ln x}；；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A. M1B. M2C. M3D. M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.=______．10.已知向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为______．11.为了解中学生寒假从图书馆借书的情况，一个调研小组在2019年寒假某日随机选取了100名在市级图书馆借书的中学生，如表记录了他们的在馆停留时间，分为（0，15]，（15，30]，（30，45]（45，60]和60以上（单位：分钟）五段统计．现在需要从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取停留时长（单位：分钟）频数频率（0，15]20.02（15，30]a0.05（30，45]b0.10（45，60]250.2560以上580.58合计100 1.0012.（）的两条切线，则两条切线所成的锐角______．13.把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，得到函数y=sin2x的图象，则a的最小值为______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，则抛物线的标准方程为______；P为抛物线和双曲线的一个公共点，P到双曲线左焦点F1的距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=2，b5=16，a1=2b1，a3=b4．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60 贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20 极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.7 52.5 62.3 61.0 58.8 1988年54.2 48.3 51.9 55.4 52.6 1998年44.7 41.6 43.5 49.0 47.4 2008年37.9 36.5 29.2 41.3 42.7 2018年28.6 27.7 19.8 35.7 34.2（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为__（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.如图，AE⊥平面ABC，CD∥AE，AC=BC=AE=2CD=2，，M为棱BE上一点，平面CDM与棱AB交于点N．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）求证：CD∥MN；（Ⅲ）当四边形CDMN为矩形时，求四棱锥B-CDMN的体积．19.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．20.已知椭圆C：的右焦点为，过F的直线l与C交于A，B两点．当l与x轴垂直时，线段AB长度为1．O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若对任意的直线l，点M（m，0）总满足∠OMA=∠OMB，求实数m的值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△MAB面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.答案：C解析：解：若输入的x值为7，则x≤0否，x=7-2=5，x≤0否，x=5-2=3，x≤0否，x=3-2=1，x≤0否，x=1-2=-1x≤0是，y=2-1=，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．3.答案：B解析：解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．4.答案：D解析：解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.答案：B解析：解：根据题意，△ABC中，a=7，c=3，，有=，则sin C===；故选：B．根据题意，由正弦定理可得=，变形可得sin C=，代入数据计算可得答案．本题考查正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立，∴＞，∴＞，∴b＞a＞1时，不等式成立，故a可以取2，故选：C．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，可得＞，即b＞a＞1时，不等式成立，问题得以解决本题考查了对数不等式的解法，属简单题．7.答案：B解析：【分析】函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可.本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.答案：D解析：解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2=0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB 成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必须在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即排除A，B，C．故选：D．根据x1x2+y1y2=0确定A（x1，y1）与B（x2，y2）两点的位置关系：OA⊥OB．下面只要判断四个集合所表示的点集是否满足：对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立即可．此题考查了平面向量数量积的运用，利用了排除法，理解：若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”是解本题的关键．9.答案：1+i解析：解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.答案：60°解析：解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.答案：4解析：解：由图表可知学生在馆停留时间落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取16人做调查，则从（30，45]这段时长中抽取的人数是：=4，故答案为：4由落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，再结合频率之比运算可得解本题考查了分层抽样方法，属简单题12.答案：600解析：解：如图：OA，OB为圆的两条切线，在Rt△OAC中，CA=3，CO=6，∴∠COA=30°，同理∠COB=30°，故∠AOB=60°．故答案为：60°．结合图象可得．本题考查了圆的切线方程，属基础题．13.答案：解析：解：把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，可得y=sin（2x+2a-）的图象；再根据得到函数y=sin2x的图象，则有2a-=0，解得a=，即a的最小值为，故答案为：．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.答案：y2=8x7解析：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，可得，就是p=4，所以抛物线方程为：y2=8x；由，解得x=3，所以P（3，2），P到双曲线左焦点F1的距离为：=7．故答案为：y2=8x；7．求出双曲线的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线方程；求出两条曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求解P到双曲线左焦点F1的距离．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：解：（Ⅰ）设{b n}的公比为q．因为b2=2，b5=16，所以，所以q=2.，------------------------------------------（2分）所以．------------------------------------------（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b1=1，b4=8．设等差数列{a n}的公差为d．因为a1=2b1，a3=b4所以a1=2，a3=a1+2d=8所以d=3．------------------------------------------（6分）所以a n=3n-1．------------------------------------------（8分）因此．--------------------------------------（9分）从而数列{c n}的前n项和=------------------------------------------（12分）=．------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）设{b n}的公比为q．利用已知条件求出公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）设等差数列{a n}的公差为d．转化求解数列的通项公式a n=3n-1，然后利用拆项法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和的方法的应用，考查计算能力．16.答案：解：（Ⅰ）====，所以f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．于是，当，即时，f（x）取得最大值；当，即时，f（x）取得最小值-2．解析：（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）在区间[]上的最大值和最小值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．17.答案：解析：解：（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，∴在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率p=．故答案为：．（4分）（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的有9种．记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M，则这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（11分）（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，由此能求出在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率．（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭，利用列举法能求出这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．本题考查概率、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：（Ⅰ）证明：∵AC=BC=2，，∴AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC，∵AE⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AE⊥BC，∵AE∩AC=A，∴BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）证明：∵CD∥AE，AE⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE，∵CD⊂平面CDM，平面CDM∩平面ABE=MN，∴CD∥MN；（Ⅲ）解：∵CD∥MN，CD∥AE，∴MN∥AE，当四边形CDMN为矩形时，，∴MN为△ABE的中位线，∵AE⊥平面ABC，∴AE⊥CN，AE⊥AB，∴MN⊥CN，MN⊥AB，此时四边形CDMN为矩形，又BN⊥CN，MN∩CN=N，∴BN⊥平面CDMN．∴．解析：（Ⅰ）由已知结合勾股定理证明BC⊥AC，再由AE⊥平面ABC得AE⊥BC，利用线面垂直的判定可得BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）由CD∥AE，利用线面平行的判定可得CD∥平面ABE，再由平面与平面平行的性质得CD∥MN；（Ⅲ））由CD∥MN，CD∥AE，得MN∥AE，然后证明BN⊥平面CDMN，结合已知由棱锥体积公式求四棱锥B-CDMN的体积．本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，．---------------------------------------（1分）又，---------------------------------------（3分）所以．---------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为即x+2y-3=0---------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），-------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（1）=a≤0，不满足f（x）≥2-------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得列表可得xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（10分）所以=，所以令解得a≥2所以a的取值范围为a≥2．---------------------------------------（13分）或法二：定义域为（0，+∞），f（x）≥2恒成立即恒成立，又所以恒成立．令，x∈（0，+∞）则，由g'（x）＞0⇒0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，g（x）max=g（1）=2所以a≥2解析：（Ⅰ）利用导数的几何意义计算出切线的斜率，然后根据点斜式求出切线方程；（Ⅱ）有两种思路：一是利用分类讨论的方法计算出f（x）的最小值，建立不等式求解；二是利用分离参数法得到恒成立，再借助最值求解．本题考查导数的几何意义及其应用、函数的最值处理不等式恒成立问题，属于中档题目．20.答案：解：（I）椭圆C：的右焦点为所以a2-b2=3，当l与x轴垂直时，线段AB长度为1，所以，，代入椭圆方程可得，联立方程组可得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为，或法二：设左焦点为F1，则依题意可知：△F1AF2为直角三角形所以，.2a=|F1A|+|F2A|=4即a=2，又所以a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为（II）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R．当l与x轴不垂直时，因为∠OMA=∠OMB所以k AM+k BM=0，设A（x1，y1）B（x2，y2），直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为又，所以又，所以可得即，联立方程组消去y得所以，，代入上式可得．（III）最大值为，此时l斜率为．=可设此时直线方程为，联立方程组消去x可得，所以，所以==，当且仅当时取等号，此时，即直线斜率为解析：本题考查椭圆的方程和性质的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，三角形的面积，基本不等式，考查运算能力，属于较难题．（Ⅰ）根据题意可得c=，再根据，，可得a2=4，b2=1，即可求出椭圆方程（Ⅱ）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R，当l与x轴不垂直时，根据OMA=∠OMB可得k AM+k BM=0，根据韦达定理和斜率公式即可求出（Ⅲ）根据三角形的面积公式和弦长公式和基本不等式即可求出。
2020年北京顺义区高三二模数学试卷
数学期望： ．
（3）
．
解析:
（ 1 ）根据甲班统计数据，高三年级每天学习时间达到 小时及以上的学生人数为
人．
（ 2 ）由甲、乙两班的频率分布直方图，可得每天学习不足 小时的人数，
甲班：
人．
乙班：
人．
∴ 可以取 ， ， ．
，
，
． ∴
∴
．
（ 3 ）由甲、乙两班的频率分布直方图可知，
，因为乙班的直方图比甲班的更集中．
C.
D.
4. 抛物线 A. B. C. D.
上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）．
5. 若角 的终边经过点 A. B. C. D.
，则 的值为（ ）．
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．
1
正 （ 主 ） 视图 侧 （ 左 ） 视图
俯视图 A. B. C. D.
7. 若 为任意角，则满足 A. B. C. D.
的直线 与椭圆 相交于 ， 两点． （ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 设点 是椭圆 的左顶点，直线 ， 求证：以 为直径的圆恒过点 ．
分别与直线
相交于点 ， ．
21. 给定数列 ， ， ， ．对
，， ，
，该数列前 项 ， ， ， 的最小值
记为 ，后 项 ， ， ， 的最大值记为 ，令
．
（ 1 ） 设数列 为 ， ， ， ，写出 ， ， 的值．
，
所以
．
又因为
，
，
所以
，
所以
．
又因为
14
，
所以
，
所以 所以以
， 为直径的圆恒过点 ．
21.（ 1 ）
，
2024年北京市顺义区高三二模数学答案
顺义区2024届高三第二次质量监测数学试卷参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. DCADB ，BCCAB二、填空题共5小题，每题5分.（11）()(],00,1−∞⋃ （12）（13）//a c ，且22a c >>即可（141+ （15）①④（有错不得分，对1个三分） 三、解答题 （16）（本小题满分13分）（I ）解：法一：()20cos cos 222f ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=2cos cos 222ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………………1分=1cos sin 22ϕϕ+−12= ……………………3分即可得tan 3ϕ=又2πϕ<，所以6πϕ= ……………………5分法二：()()()1cos 2222x f x x ϕϕ+−=+− ……………………2分 =1sin 262x πϕ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭ ……………………3分所以()10sin 62f πϕ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭12=即得sin 06πϕ⎛⎫−= ⎪⎝⎭ ……………4分又2πϕ<，所以6πϕ= ……………………5分（II ）()()()1cos 2222x f x x ϕϕ+−=+−=1sin 262x πϕ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭ 选择②，1sin 622f ππϕ⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51sin 122f ππϕ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭因为5612f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin sin 2πϕπϕ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭ ………………7分 因为()f x 的最小正周期22T ππ==，2πϕ< ………………8分所以由()sin sin 2πϕπϕ⎛⎫−=−⎪⎝⎭可得2πϕπϕπ−+−=所以4πϕ=，()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ ……………10分或法二：因为5612f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin sin 2πϕπϕ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭ ………………7分 所以cos sin ϕϕ=即tan 1ϕ= ………………8分因为2πϕ<所以4πϕ=，()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ ……………10分选择③，()()()1cos 2sin 222x f x x ϕϕ+−=+−=1sin 262x πϕ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭ ()y f x =的图像与直线12y =的一个交点的横坐标为24π即可得1242f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以sin 04πϕ⎛⎫−= ⎪⎝⎭ …………………8分 又2πϕ<，所以4πϕ=，()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ …………………10分法一：令222,2122k x k k Z πππππ−+≤−≤+∈解得572424k x k ππππ−+≤≤+，即()f x 的单增区间为57,2424k k ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦ (11)分又[]0,x m ∈时，()f x 单增 所以，[]0,m 是57,2424k k ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦的一个子区间所以，50247024k m k ππππ⎧−+≤⎪⎪⎨⎪<≤+⎪⎩即可得752424k −<<，又k Z ∈ 所以0k = …………………12分故[]0,m 是57,2424ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的一个子区间，所以m 的最大值为724π. …………………13分 法二：因为()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，[]0,x m ∈，所以22121212x m πππ−≤−≤− (11)分因为sin y x =在2,222k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦上单增，所以222212122k m k ππππππ−≤−≤−≤+，即可得7024m k ππ≤≤+，752424k −<< 所以0k = …………………12分所以7024m π≤≤，可得m 的最大值为724π. …………………13分（17）（本小题14分） (I)法一：证明：连接BE因为AB BC =，E 为AC 中点，所以BE AC ⊥ ……………………1分 因为1BB 是直三棱柱的侧棱， 所以1BB ⊥平面ABC ……………………2分 因为AC ⊂平面ABC ，所以1BB AC ⊥因为1BE BB B ⋂=，所以AC ⊥平面BDE ……………………3分 因为DE ⊂平面BDE ，所以AC DE ⊥ ……………………4分 法二：证明：连接,AD CD因为1BB 是直三棱柱的侧棱， 所以1BB ⊥平面ABC ……………………1分 所以1BB ⊥AB ，1BB ⊥BC又AB BC =，所以ABD CBD ∆≅∆ ……………………2分 所以AD CD = ……………………3分 又因为E 为AC 中点，所以AC DE ⊥ ……………………4分 (II)解：（i ）因为2AB AC BC ===，所以ABC ∆为等边三角形 设AB 中点为O ，则OC OB ⊥因为1BB ⊥平面ABC ，设11A B 的中点为M ，则OM OB ⊥，OM OA ⊥以OC 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OM 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系. ……………………5分则()0,0,0O ，()0,1,0A −，()0,1,0B，)C，()10,1,2A −，()10,1,2B，)C，因为,D E 为中点，所以()0,1,1D，1,02E ⎫−⎪⎪⎝⎭所以()10,2,1A D =−，131,222A E ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭…………6分 因为OC OB ⊥，1OC BB ⊥，所以OC ⊥平面11A ABB所以()3,0,0OC =是平面11A ABB 的一个法向量. ……………………7分设(),,m x y z =是平面1A DE 的一个法向量，则10mA D ⋅=，10m A E ⋅=所以2012022y z x y z−=⎧+−=⎪⎩，令1y =，可得2,3z x ==所以7323m ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭……………………9分 设平面1A DE 与平面11A ABB 的夹角为θ，则7cos 8OC m OC mθ⋅==所以平面1A DE 与平面11A ABB 的夹角的余弦值为78. ……………………11分 (ii)13BF BC = ……………………14分（18）（本小题满分13分）（I ）解：设甲选择方式一参加比赛得分为X()22311321228P X C ⎛⎫⎛⎫==−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ……………………1分 ()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ……………………2分设甲得分不低于2分为事件A ……………………3分则()()()23P A P X P X ==+==12……………………4分（II ）设乙选择方式二参加比赛得分为Y ，Y 的可能取值为0,2,4,6()102P Y ==，()112122P Y ⎛⎫==⨯− ⎪⎝⎭=14，()11141222P Y ⎛⎫==⨯⨯− ⎪⎝⎭=18，()1116222P Y ==⨯⨯=18……………………8分所以()4E Y = ……………………10分（III ）甲获胜的可能性更大. ……………………13分（19）（本小题满分15分）（I ）解：长轴长为2a =，所以a =……………………1分又焦点为()1,0F ，所以1c = ……………………2分所以2221b a c =−=所以，椭圆E 的方程为2212x y += ……………………4分（II ）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为()11y k x =− 联立()122112y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222111124220k x k x k +−+−=所以211221412k x x k +=+ ……………………5分 又M 为AB 的中点，所以2121212M k x k =+，()1121112M M k y k x k −=−=+ ……………7分 因为121k k ⋅=−，即211k k =−，又N 为CD 的中点不妨用11k −代换1k ，可得2122N x k =+，1212N k y k =+ ……………………9分 讨论：（1）当M N x x =时，直线MN 的斜率不存在此时2121212M k x k =+=2122N x k =+，解得11k =±. 当1k =时，2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时MN 的方程为23x =所以，点()1,0F 到直线MN 的距离d 为13同理，当11k =−，13d = ……………………11分（2）当11k ≠±时，M N x x ≠，此时M N MN M N y y k x x −=−=121322k k − 所以直线MN 的方程为11222111322222k k y x k k k ⎛⎫−=− ⎪+−+⎝⎭化简可得()211132220k x k y k +−−= ……………………12分 法一：点()1,0F 到直线MN 的距离d ==又10k ≠，所以d =……………………13分因为211k ≠，所以2121448k k +>= ……………………14分 所以103d <<综上可知，103d <≤……………………15分 法二：直线MN 的方程为()211132220k x k y k +−−= ……………………12分 令0y =，可得23x =，综上可知，直线MN 恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭……………………14分 故点()1,0F 到直线MN 的距离d 的最大值为13，此时直线MN 的斜率不存在又直线MN 的斜率一定不为0 所以103d <≤……………………15分 （20）（本小题满分15分）(I)解：因为()cos xf x e a x =+，所以()001f e a a =+=+ ……………………1分又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f = ……………………2分 所以12a +=即1a = ……………………4分 （II ）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根只需证明cos 20x e x +−=仅有一个零点 令()cos 2xg x e x =+−，则()sin xg x e x '=− ……………………6分令()()sin xh x g x e x '==−，则()cos xh x e x '=−讨论：（1）当0x >时，()0cos cos xh x e x e x '=−>−=1cos 0x −≥所以()h x 在()0,+∞上单调递增，所以()()01h x h >= 即()sin 10xg x e x '=−>>所以()g x 在()0,+∞上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点 …………………7分 （2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点 ……………………8分 （3）当0x <时，()cos 2xg x e x =+−0cos 2e x <+−1cos 0x =−+≤所以，当0x <时，()0g x < ，即此时无零点 ……………………9分 综上可得，()cos 2xg x e x =+−仅有一个零点，得证.（III ）当()0,x ∈+∞时，cos sin 2x e x k x +>+即cos sin 20x e x k x +−−>恒成立 令()cos sin 2xF x e x k x =+−−则()sin cos xF x e x k x '=−−由（II ）可知，()0,x ∈+∞时sin 1x e x −> ……………………11分 所以()sin cos 1cos xF x e x k x k x '=−−>−讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x −≤≤，所以cos k k x k −≤≤ 即11cos 1k k x k −≤−≤+所以()1cos 1F x k x k '>−≥−0≥ ……………………12分即当01k <≤时，()0F x '>，所以()cos sin 2xF x e x k x =+−−在()0,x ∈+∞时单增所以()()0F x F >=0恒成立，即满足条件cos sin 20x e x k x +−−> …………………13分 （2）当1k >时，由()sin cos xF x e x k x '=−−可知()01F k '=−0<又()F e k ππ'=+0>，所以存在()00,x π∈，使得()00F x '=所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增所以()()000F x F <=即不能保证cos sin 20x e x k x +−−>恒成立 ……………14分 综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤. ……………………15分（21）（本小题满分15分） (I)解：()(){}2,0,0,2A =时(){}1,1B =或者(){}1,1A =时()(){}2,0,0,2B =； ……………………4分（II ）证明：反证法：假设不存在.则对任意3M 的一个优划分()00,A B 一定有()()003X A Y B +>，且00003,A B A B M ⋂=∅⋃=令1010,A B B A ==，则()11,A B 也是3M 的一个优划分.一定有()()003X B Y A +> 故可得()()()()00006X A Y B X B Y A +++> 因为点集3M 满足0,,2i i i i x y x y ≤+≤，所以()()()()00001122336X A Y B X B Y A x y x y x y +++=+++++≤，矛盾故假设不成立，得证. ……………………9分 （III ）证明：不妨设1202n x x x ≤≤≤≤≤，则1102222n n x x x −≤−≤−≤≤−≤.若()12132n n x x x n ++++≤≥，则B 组任取其中一点即可满足； 若1212n n x x x ++++>，则存在正整数k 使得()1212112k k k n X A x x x x x x x ++=+++≤<++++，从而有()1211112k k k n x x x x k x +++<++++≤+，于是()1121k n x k ++>+，又因为()()()()1212222k k n k k n Y B y y y x x x ++++=++≤−+−++−()()()()112221k n n k x n k k +⎛⎫+≤−−≤−− ⎪ ⎪+⎝⎭()()()()21555512121.22122n n n n k n k ⎡⎤++++=−++≤−+=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦也就是，取()()(){}111222,,,,,,,k k k A P x y P x y P x y = ()()(){}111222,,,,,,k k k k k k n n n B P x y P x y P x y ++++++=时，即有()12n X A +≤且()12n Y B +≤. 证毕 ……………………15分。
北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2 C ．3 D ．223【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩， 解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．2．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A 【解析】 【分析】利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282y xmy x ⎧=⎨=-⎩，最后利用韦达定理求解即可 【详解】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 3．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35 B ．5C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长． 【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|5=． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 4．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为3最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，半径为2的14圆弧MN ，长度为122242⋅π⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,2⎡⎤⎢⎥⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 5．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=，所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 6．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 7．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）A BC ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】解：由题意知，i 2i z =+，()22212121i i i iz i i i ++-+∴====--，∴12i z =-== 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法. 8．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（ ） A ．110B ．110i C ．1100D ．1100i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法求出z ，然后计算z z ⋅． 【详解】13313(3)(3)1010i z i i i i -===-++-，∴223131311()()()()10101010101010z z i i ⋅=-+=+=． 故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．9．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.10．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故z = A.11．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年6月北京市顺义区普通高中2020届高三下学期第二次统一练习(二模)数学试题(解析版)
绝密★启用前北京市顺义区普通高中2020届高三毕业班下学期第二次统一练习(二模)数学试题(解析版)2020年6月一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|32}A x x =-<<，{3,2,0}B =--，那么AB =（ ） A. {2}-B. {0}C. {2,0}-D. {2,0,2}- 【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念，可求出集合,A B 的交集.【详解】因为集合{|32}A x x =-<<,{3,2,0}B =--,所以AB ={2,0}-. 故选：C.【点睛】本题考查集合的交集,属于基础题.2.在复平面内,复数(1)z i i =+对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】【分析】运用复数乘法的运算法则,化简复数,最后确定复数所对应的点所在的象限.【详解】2(1)1z i i z i i i =+∴=+=-+,因此复数z 对应点的坐标为(1,1)-,在第二象限,故本题选B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则,以及复数对应点复平面的位置.3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,)+∞上为减函数的是（ ）A. 2y x =-B. 12log y x =C. cos y x =D.12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】结合函数的奇偶性及单调性,对四个函数逐个分析,可选出答案.【详解】由题意,选项B 、D 中两个函数是非奇非偶函数,不符合题意；对于选项A ,二次函数2y x =-,既是偶函数,又在区间(0,)+∞上为减函数,符合题意； 对于选项C ,余弦函数cos y x =是偶函数,在区间(0,)+∞上不是单调函数,不符合题意. 故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的应用,考查学生的分析问题、解决问题的能力,属于基础题.4.抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）A. 4B. 2C. 1D. 12【答案】C【解析】【分析】结合抛物线的定义,可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,进而可求出最小值.【详解】由题意,抛物线的焦点()1,0F ,准线为1x =-,设抛物线上的动点()00,P x y , 根据抛物线的定义可知,01PF x =+,因为[)00,x ∈+∞,所以011PF x =+≥,。
北京市顺义区高三数学第二次统练 文(顺义二模)(含解析)北师大版
北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）（•顺义区二模）已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B{x∈R|x≤1或x≥3}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意全集U=R，集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|x≤1或x≥3}，根据交集的定义计算A∩B．解答：解：∵集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|x≤1或x≥3}，∴集合A∩B={x|﹣3＜x≤1}，故选A．点评：此题主要考查不等式及集合的交集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．（5分）（•顺义区二模）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算进行化简．解答：解：．故选B．点评：本题考查了复数的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）（•顺义区二模）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．分析：根据题意，由分步计数原理可得a、b的情况数目，进而分析可得若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2，列举可得a2≥b2的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，a是从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合{1，2，3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2+2ax+b2=0有3×5=15种情况，若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2＞0，即a＞b，此时有，，，，，，，，共9种情况；则方程x2+2ax+b2=0有实根的概率P==故选C点评：本题考查等可能事件的概率计算，解题的关键是根据一元二次方程有根的充要条件分析出方程x2+2ax+b2=0有实根的情况数目4．（5分）（•顺义区二模）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4D．5考点：程序框图．分析：首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．1 / 85．（5分）（•顺义区二模）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n﹣1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．解答：解：q=a n﹣a n﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．点评：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•顺义区二模）设变量x，y 满足约束条件则23x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，先设出目标函数z=3x﹣y的取值范围，最后根据指数函数的性质即可得出23x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量x，y 满足约束条件，设目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点C（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点B（，3），分析可知z在点B处取得最小值，z min =3×﹣1=﹣，z在点C处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤3x﹣y≤6，∴≤23x﹣y≤64．故选C．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义．7．（5分）（•顺义区二模）已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC 边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积即可化为关于λ的二次函数，利用二次函数的单调性即可得出最大值．解答：解：如图所示，===﹣+（λ﹣1）+=（λ﹣λ2+1）×1×1×cos60°﹣λ+λ﹣1==，（0≤λ≤1）．当时，则的最大值为．故选D．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算性质、二次函数的单调性是解题的关键．8．（5分）（•顺义区二模）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l 的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B．2C．3D．4考点：点到直线的距离公式；三角形的面积公式．专题：计算题．分析：由距离公式可得，面积为S=•=，由基本不等式可得答案．解答：解：由坐标原点O到直线l 的距离为，可得=，化简可得，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故选C点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（•顺义区二模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．考点：正弦定理；三角形的面积公式；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA，利用正弦定理求得a的值，再由余弦定理求出c，再由正弦定理求得sinC 的值．从而求得△ABC的面积S=的值．解答：解：△ABC中，由cosA=，可得sinA=．由正弦定理可得，即，解得a=．再由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即=25+c2﹣10c•，解得 c=．再由正弦定理可得，即，解得 sinC=．故△ABC的面积S===，故答案为，．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．10．（5分）（•顺义区二模）已知函数f（x）=10x（x＞0），若f（a+b）=100，则f（ab）的最大值为10 ．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由f（a+b）=10a+b=100可求a+b，然后由基本不等式可得，可求ab的最大值，进而可求f（ab）的最大值解答：解：∵f（x）=10x，∴f（a+b）=10a+b=100∴a+b=2由基本不等式可得，=1当且仅当a=b=1时取等号此时，f（ab）=f（1）=10故答案为：10点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题3 / 811．（5分）（•顺义区二模）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，则甲组工人1天每人加工零件的平均数为20 ；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为．考点：茎叶图．专题：图表型．分析：先利用平均数和方差的定义求出甲组工人1天加工零件的平均数即可．再求出所有的基本事件共有4×4个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有7个，根据古典概型概率计算公式求得结果．解答：解：甲组工人1天每人加工零件的平均数为=20，所有的基本事件共有4×4=16个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有：（18，21），（19，21），（21，19），（18，21），（22，17），（22，19），（22，21），共有7个，故这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为．故答案为：20，．点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，茎叶图的应用，属于基础题．12．（5分）（•顺义区二模）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= 4 m．考点：由三视图求面积、体积．分析：由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出h即可．解答：解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．（5分）（•顺义区二模）已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为=0 ．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的标准方程+=1可求得其焦点坐标为（±，0），依题意可求得a=，再由双曲线﹣=1的离心率为，可求得c，继而可求得该双曲线的方程，从而可得其焦点坐标与渐近线方程．解答：解：∵椭圆的标准方程为+=1，∴其焦点坐标为（±，0），∵双曲线﹣=1的顶点与椭圆+=1的焦点相同，∴a2=3，又双曲线﹣=1的离心率为，∴e2===，∴c2=8，又c2=a2+b2，∴b2=8﹣3=5，∴双曲线的标准方程为﹣=1．∴双曲线的焦点坐标为（±2，0），渐近线方程为：y=±x=±x，整理得：x±3y=0．故答案为：（±2，0），x±3y=0．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得双曲线的标准方程是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．14．（5分）（•顺义区二模）设函数，则满足f（x）≤2的x的取值范围是[0，4] ．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=，可知，对x≥2与x＜2分类讨论，即可求得满足f（x）≤2的x的取值范围．解答：解：∵f（x）=，∵f（x）≤2，∴当x≥2时，有log2x≤2，解得2≤x≤4；同理，当x＜2时，2﹣x≤2，解得0≤x＜2．综上所述，满足f（x）≤2的x的取值范围是0≤x≤4．故答案为：[0，4．]点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查解不等式的能力，考查集合的运算，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）（•顺义区二模）已知函数．（I ）求的值；（II）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f （）的值．（II）由cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．解答：解：（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x ）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx （cosx﹣sinx）+=sin2x﹣sin2x+=sin2x ﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为 T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．16．（13分）（•顺义区二模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S5=30，a1+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和公式．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用S n为等差数列{a n}的前n项和，且S5=30，a1+a6=14，求出数列的首项与公差，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式，判断数列是等比数列，利用等比数列的前n项和公式求解即可．解答：解（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=30，a1+a6=14所以解得a1=2，d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=2n ，令则，又，（n∈N*）所以{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，设数列{b n}的前n项和为T n则T n=b1+b2+b3+…+b n=4+42+43+ (4)==…（13分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列的通项公式与前n项和的求法，考查计算能力．5 / 817．（14分）（•顺义区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD．AB∥CD，PD=AD，F是DC 上的点且为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）求证：AB∥平面PDC；（Ⅱ）求证：PH⊥BC；（Ⅲ）线段PB上是否存在点E，使EF⊥平面PAB？说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知AB∥CD，利用线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用AB⊥平面PAD，得到平面PAD⊥平面ABCD．再利用面面垂直的性质定理即可证明；（Ⅲ）线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．分别取PA、PB的中点G、E，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到EF∥DG，l利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明GD⊥平面PAB．从而得到EF⊥平面PAB．解答：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PDC．（Ⅱ）证明：∵AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．∵PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，∴PH⊥BC．（Ⅲ）解：线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．证明如下：如图，分别取PA、PB的中点G、E，则，由，∴．∴EFGD为平行四边形，故EF∥GD，∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥GD．∵G为PA的中点，且PD=AD．∴GD⊥PA．∵PA∩AB=A，∴GD⊥平面PAB．∴EF⊥平面PAB．点评：熟练掌握线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（13分）（•顺义区二模）已知函数，其中a 为正实数，是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）依题意，x=是函数y=f（x）的一个极值点，由f′（）=0即可求得a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，令f′（x）=0，可求得极值点，通过对f（x）与f′（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间，再对b 分＜b ＜与b≥两类讨论即可求得函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．解答：解：f′（x）=，（Ⅰ）因为x=是函数y=f（x）的一个极值点，所以f′（）=0，因此，a﹣a+1=0，解得a=，经检验，当a=时，x=是y=f（x）的一个极值点，故所求a 的值为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=，令f′（x）=0，得x1=，x2=，f（x）与f′（x）的变化情况如下：x（﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）所以，f（x ）的单调递增区间是（﹣∞，），（，+∞）．单调递减区间是（，）．当＜b ＜时，f（x）在[b ，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f （）=，当b≥时，f（x）在[b，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（b）==．…（13分）点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出分类讨论思想与方程思想的考查，属于中档题．19．（14分）（•顺义区二模）已知椭圆的离心率为，F1，F2为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF1F2的周长为．（Ⅰ）求椭圆G的方程（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B 两点，若（O为坐标原点），求证：直线l 与圆相切．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知得，且2a+2c=4+4，联立方程组解出即得a，c，再由b2=a2﹣c2求得b值；（Ⅱ）由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），分情况讨论：（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且﹣2＜m＜2，联立直线方程与椭圆方程易求A，B 坐标，由得x1x2+y1+y2=0，可求m，从而易判断直线与圆垂直；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及x1x2+y1+y2=0可得k，m的方程①，根据点到直线的距离公式可表示圆心O到l的距离d，结合①式可求得d值，其恰好等于半径r；解答：（Ⅰ）解：由已知得，且2a+2c=4+4，解得a=2，c=2，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G 的方程为；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且﹣2＜m＜2，则x1=m ，，x2=m ，，∵，∴x1x2+y1+y2=0，∴，解得，故直线l 的方程为，因此，点O（0，0）到直线l的距离为d=，又圆的圆心为O（0，0），半径r==d，所以直线l 与圆相切；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，由得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，∴，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，∵，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，即3m2﹣8k2﹣8=0，3m2=8k2+8，①又圆的圆心为O（0，0），半径r=，圆心O到直线l的距离为d=，7 / 8∴==②，将①式带入②式得=，所以d==r，因此，直线l 与圆相切．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生对问题的阅读理解能力及转化能力，弦长公式、点到直线距离公式、韦达定理是解决问题的基础知识，要熟练掌握．20．（13分）（•顺义区二模）已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；其他不等式的解法．专题：新定义．分析：（Ⅰ）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m＜x ﹣，令h（x）=x ﹣，求导数可得函数h（x）在[1，5]上是减函数，从而可得m＜h（5）即可；（Ⅱ）可得a=，进而可得|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|，通过构造函数q（x）=e x﹣x﹣1，可得e x﹣1＞x …①，构造m（x）=lnx﹣x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2，还可得e x＞lnx，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），又f′（x）=2ae x，∴f′（0）=2a，函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），又g′（x）=，g′（2a）=由题意可知，2a=，即a2=又a＞0，所以a=…（3分）不等式可化为m＜x ﹣f（x）+即m＜x ﹣，令h（x）=x ﹣，则h′（x）=1﹣（）e x，∵x＞0，∴≥，又x＞0时，e x＞1，∴（）e x＞1，故h′（x）＜0∴h（x）在（0，+∞）上是减函数即h（x）在[1，5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，只需m＜h（5）=5﹣，所以实数m的取值范围是（﹣∞，5﹣）…（8分）（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，∴|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|令q（x）=e x﹣x﹣1，则q′（x）=e x﹣1＞0，∴q（x）在（0，+∞）上是增函数故q（x）＞q（0）=0，即e x﹣1＞x …①令m（x）=lnx﹣x+1，则m′（x）=，当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2又由①得e x＞x+1＞x由②得lnx＜x﹣1＜x，∴e x＞lnx∴|f（x）﹣g（x）|=e x﹣lnx＞2故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及切线的方程，涉及新定义，属中档题．。
北京顺义区高三数学第二次统练测试(文)新人教版
顺义区2010届高三第二次统练数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}2|1A x x =<，集合{}2|log 0B x x =<，则A B =I ( )A.()0,1B.()1,0-C.()1,1-D. (),1-∞ 2. 已知复数12z i =+，则1z= ( ) A. 1233i -+ B. 1233i - C.1255i - D. 1255i -+3. 已知等比数列{}n a 中，212a =，314a =，164k a =，则k = ( )A. 5B. 6C. 7D. 84.已知向量(3cos ,2)a α=r ，(3,4sin )b α=r ，且a b r rP ，则锐角α等于（ ）A.6π B.4π C.3π D.512π5.“1m =”是“直线0x y m ++=与圆221x y +=相交”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是 （ ）A. 4B. 5C. 6D. 77. 以双曲线2214x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是（ ）n=n+1s=s+(-1)n ⋅nn=1, s=0n ≤ 10 ?输出 S 开始结束是否A. 2y =-B. 2y =-C.2y =-D.2y =-8.在圆2250x y y +-=内，过点35(,)22作n 条弦（n N +∈），它们的长构成等差数列{}n a ，若1a 为过该点最短的弦，n a 为过该点最长的弦，且公差11(,)53d ∈，则n 的值为 （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上) 9. 在总体为N 的一批零件中，抽取一个容量为40的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 的值为_________.10.已知向量a =r(1b =-r，则a r 与2b r 的夹角为_________.11.已知x 、y 满足约束条件011x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z xy =+的最小值为______________.12.函数2,0()4cos ,02x x f x x x π⎧<⎪=⎨≤<⎪⎩，则不等式()2f x >的解集是____________.13.如图所示，墙上挂有一长为2π宽为2的矩形木板ABCD ，它的阴影部分是由sin y x =，5,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象和直线1y =围成的图形，某人向此板投飞镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每一点的可能性相同，则他击中阴影部分的概率是______________. 14．某同学在研究函数()||1xf x x =+ ()x R ∈时，分别给出下面几个结论：（1）函数()f x 是奇函数（2）函数()f x 的值域为(1,1)- （3）函数()f x 在R 上是增函数（4）函数()()g x f x b =-（b 为常数，b R ∈）必有一个零点其中正确结论的序号为___________（把所有正确结论的序号都填上）三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分） 已知函数()sin cos f x x x =+，x R ∈． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）如果函数()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小正周期和最大值.16．（本小题共13分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下Ⅰ.从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，用列举法计算甲的成绩比乙高的概率；Ⅱ.现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.17．（本小题共14分）一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D 为11A B 的中点）Ⅰ.求证：1C D ⊥平面11ABB AⅡ.当点F 在棱1BB 上的什么位置时，有1AB ⊥平面1C DF ， 请证明你的结论Ⅲ.对（2）中确定的点F ，求三棱锥11B C DF -的体积．俯视图侧视图主视图21112D C 1B 1A 1BCA18．（本小题共14分）已知函数()ln (1)f x x a x =+- （a 为常数，a R ∈） Ⅰ若1x =时，函数()f x 取得极大值，求实数a 的值；Ⅱ.若不等式'()2f x x ≥-在函数定义域上恒成立，（其中'()f x 为()f x 的导函数）求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知：椭圆2222:1x y C a b += ()0a b >> 过()0,1点，离心率2e =；直线:l y kx m =+()0m >与圆O :221x y +=相切,并与椭圆C 交于不同的两点A 、B ,（O 为坐标原点）.Ⅰ.求椭圆C 的方程及m 与k 的关系式()m f k =；Ⅱ.设,OA OB <>u u r u u u r θ=，且满足||OA =uuu r ||OB =uu u r ，cos θ=求直线l 的方程；Ⅲ.在Ⅱ.的条件下，求三角形AOB 的面积.20．（本小题共13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n P S a 在直线(2)220m x my m -+--=上，其中m 为常数，且0m >.Ⅰ.求证：{}n a 是等比数列，并求其通项n a ；Ⅱ若数列{}n a 的公比()q f m =，数列{}n b 满足11b a =，1()n n b f b -=, (n N +∈， 2n ≥）， 求证：1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n b ; Ⅲ.设数列{}n c 满足1n n n c b b +=，n T 为数列{}n c 的前n 项和，且存在实数T 满足n T T ≥，()n N +∈求T 的最大值.高三数学试题（文科）参考答案及评分标准9．160 ；10.3π; 11. 3- ；12.(,0,3π⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭U ；13．12；14．()()()1,2,3;（注：14题少解给2分，有错解不给分）三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本小题共12分）解：（Ⅰ）()sincos444f πππ=+==_______4分 （Ⅱ）()()()(sin cos )[sin()cos()]g x f x f x x x x x =-=+-+- (sin cos )(sin cos )x x x x =+-+_______6分22cos sin cos 2x x x =-= _______8分x R ∈22T ππ==，()g x 的最小正周期为π．_______10分 1cos 21x ∴-≤≤，因此，函数()g x 的最大值是1．_______12分16．（本小题共13分）解： Ⅰ.由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为： 甲：82 81 79 88 80乙：85 77 83 80 85 ______2分 记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个为(,)x y ， 用列举法表示如下：(82,85)(82,77)(82,83)(82,80)(82,85)(81,85)(81,77)(81,83)(81,80)(81,85)(79,85)(79,77)(79,83)(79,80)(79,85) (88,85)(88,77)(88,83)(88,80)(88,85)(80,85)(80,77)(80,83)(80,80)(80,85) ______4分∴甲的成绩比乙高的概率为1125______7分 Ⅱ.本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分. （1）派乙参赛比较合适， ______9分 . 理由如下： 甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，甲乙平均分相同；又甲的标准差的平方（即方差）210S =甲，乙的标准差的平方（即方差）29.6S =乙， 22S S >乙甲______11分 甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，∴派乙去比较合适；______13分（2）派乙去比较合适，理由如下：从统计学的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率115P = 乙获得85分以上（含85分）的概率225P =， 甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同； ∴派乙去比较合适.若学生或从得82分以上(含82分)去分析：甲获得82分以上（含82分）的概率125P =, 乙获得82分以上（含82分）的概率235P =，甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同；∴派乙去比较合适.（同样给此问的分）. 17．（本小题共14分）证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -，1112AC B π∠=，棱1AA ⊥平面11A B C，1AA ，俯视图侧视图主视图21112D C 1B 1A 1BCA11111AC B C ==，11A B =______2分Ⅰ. Q D 为11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，Q 1AA ⊥平面111A B C1C D ⊂平面111A B C ，∴11C D AA ⊥，1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A ______5分Ⅱ. 当点F 在棱1BB 上的中点时，有1AB ⊥平面1C DF ______7分证明：连结DF ，1A B ，∴1||DF A B ，Q 111AA A B ==，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11AB A B ⊥，∴1AB DF ⊥，由Ⅰ知11C D A B ⊥，1DF C D D =I ∴1AB ⊥平面1C DF ______10分Ⅲ.设1AB DF G =I ，1B G 为三棱锥11B C DF -的高，112B G =，______12分可求得 14C DF S =V ，体积24V =.______14分18.（本小题共14分）解：Q ()ln (1)f x x a x =+-∴定义域()0,+∞，1'()f x a x=+______2分 ⅠQ ()f x 在1x =处取得极值，∴'(1)0f =∴1a =-______4分()ln (1)f x x x =-- 11'()1x f x x x-=-=-，令'()0f x >，解得01x << ∴()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，满足在1x =处取得极大值，∴1a =-.______7分Ⅱ. 方法1：若不等式'()2f x x ≥-在函数定义域上恒成立______9分 即12a x x +≥-在()0,+∞上恒成立，12a x x -≤+在()0,+∞上恒成立Q12x x +≥“=”当且仅当2x =时取到，______12分 （不验证“=”成立扣1分）∴a ≥-.______14分方法2：令1()2g x x x =+ ，222121'()2x g x x x -=-+=，易知()g x 在⎛ ⎝⎭递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增；∴()g x有最小值（即极小值）为(2g =，∴a -≤∴a ≥-.19．（本小题共14分）解：Ⅰ.Q 椭圆2222:1x y C a b+=，过()0,1点，∴1b =，______1分c e a ===∴22a =，______2分∴椭圆C 方程为：2212x y +=；______3分 Q 直线:l y kx m =+()0m >与圆221x y +=相切，∴1=，m ，即()m f k = ______5分 Ⅱ.方法1：2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(21)4220k x kmx m +++-=， 280k =>V ，∴0k ≠ ______6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -⋅=+，2||||cos 3OA OB OA OB θ⋅=⋅==uu r uu u r uu r uu u r又211221212212(,)(,)213k OA OB x y x y x x y y k +⋅==+=⋅⋅⋅==+uu r uu u r ______8分 21k =，1k =±；∴()m f k ===直线l的方程为：y x =y x =- ______10分Ⅲ.由Ⅱ.知1k =±；m =消去y得2320x ±+=，12x x +=1223x x =由弦长公式：4||3AB =，∴121||23AOB S AB =⋅⋅=V ______14分 方法2：Q ||OA =u u r∴(A ∴直线AB过(点Q ＜,OA OB u u r u u u r＞θ=，且cos θ=∴sin θ=tan 2OB k θ==± ∴OB l ：2y x =±，与2212x y +=联立解得：x =，y =或x =，y =即1(33B -，2(33B -，由两点得AB的方程为：y x =± 由前面解知：||OA 为三角形的底边，||B y 为三角形的高，||3B y =，112||||2233AOB B S OA y ===V uuu r 20．（本小题共13分）解：解：Ⅰ.Q 点(,)n n P S a 在直线 (2)220m x my m -+--=上，∴(2)220n n m S ma m -+--= * ______1分当1n =时，11a S =，∴11(2)220m a ma m -+--=，∴1(2)2a m m +=+∴11a =， ______2分当2n ≥时，由*式知11(2)220n n m S ma m ---+--=**，两式相减得1(2)2n n m a ma -+= Q 0m >∴122n n a ma m -=+ ，∴ 11122()()22n n n m m a a m m --==++， 又当1n =时也适合，∴{}n a 是等比数列，通项12()2n n m a m -=+；____5分 Ⅱ.由Ⅰ知2()2m q f m m ==+， ∴1112()2n n n n b b f b b ---==+ ，∴11112n n b b -=+ 即11112n n b b --=，又111b =也适合，∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，______7分其通项112n n b +=， ∴21n b n =+ ______9分 Ⅲ. Q {}n c 满足140(1)(2)n n n c b b n n +=⋅=>++n T 为数列{}n c 的前n 项和，∴n T 递增；______11分∴1123n T T C ≥==，要满足n T T ≥对任意n N +∈都成立， ∴23T ≤ . ∴T 的最大值为23. ______13分。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二次全国大联考数学试卷
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二次全国大联考数学试卷第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题．．卡相应的位置．．．．．．上． 1．已知复数201532i iz -=(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第象限． 2．已知全集U =N ，集合{}10A x x =->，则=A C U ．3．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本12322015,22015,22015a aa +++的方差是．4．已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆22100x y x +-=的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的准线方程为．5．已知实数[3,9]x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为．6．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，91336,104,S S =-=-，则5a 与7a 的等比中项为．7．定义在R 上的奇函数()f x ，对任意x R ∈都有 (2)()f x f x +=-，当(02)x ∈，时，()4x f x =，则(2015)f =． 8.一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF 是一个直角三角形，090,2,1,AEF AE EF ∠===∠三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为．9．已知函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,]2π上为增函数，且图象关于点π(3,0)对称，则ω的取值集合为．10．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PA PB =,则0x 的取值范围为． 11.已知函数20151()sin 201521xf x x =++在[]2015,2015-上的最大值分别为,M m ，则M m += ．12．在ABC ∆中，2AC BC ⋅=且两中线AD 与BE 互相垂直，则ABC ∆面积的最大值为． 13．设(,)P x y 为函数22y x =+(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点P 的坐标为．14．设椭圆和双曲线有公共焦点12F F ，，两曲线的一个公共点为P ，且123F PF π∠=，记12e e ，分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211e e +的最大值为． 二、解答题：本大题共6小题，计90分。
北京顺义区高三数学第二学期统一练习(二)理
顺义区2011届高三第二次统练数学（理科）测试一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}01|2<-=x x M ，{}0lg |<=x x N ，则N M ⋃等于A {}11|<<-x xB {}10|<<x xC {}01|<<-x xD {}0|<x x2.已知21,e e 是不共线向量，212e e +=，21e e -=λ，当∥时，实数λ等于A 1-B 0C 21-D 2- 3.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB 若m n m //,α⊥，则α⊥nC 若αα//,//n m ，则n m //D 若γβγα⊥⊥,，则βα// 4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于 A 21+ B 21- C 223+ D 223-5.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3，那么=PFA 34B 38C 8D 166.极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=t y tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为A 圆，圆B 圆，直线C 直线，直线D 直线，圆7.已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为 A514 B 56C 2D 1C8.已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称，当43π≥x 时，x x f cos )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 则S 不可能．．．为 Aπ45 B π23 C π49D π3 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数ii++121对应的点的坐标为________________________. 10.在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为______________________. (用数字作答）11.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，a CP 89=，︒=∠60AOP ,则=PD ________________.一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是38，则=a ____________________.13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量mm)的重要指标）。
2020年顺义二模高三数学试题参考答案
数学参考答案及评分参考 第 1 页（共 8 页）顺义区2020届高三第二次统练数学参考答案及评分参考一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）A（10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）2（12）1,N n a n n *=+∈（13）sin(2)3y x π=+（14）1a =± （15）②③注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）解：选①：在ABC ∆中，1cos 3C =,根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分∵1cos 3C =00数学参考答案及评分参考 第 2 页（共 8 页）∴sin C =-------------12分 所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分选②：在ABC ∆中，1cos 3C =-,当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-. -------------2分又5a b +=，3c =，得到12ab = ------------- 8分此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解. ------------- 12分所以这样的三角形不存在. -------------14分选③：在ABC ∆中，因为sin C =所以1cos 3C =±. -------------2分 当1cos 3C =时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------4分 且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = -------------8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------12分当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,数学参考答案及评分参考 第 3 页（共 8 页）又5a b +=，3c =，得到12ab =,此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解.所以这样的三角形不存在. ------------- 14分③法二：在ABC ∆中，因为2222()2522a b a b c ++≥=>, 根据余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,得到cos 0C > ------------- 2分因为sin 3C =所以1cos 3C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------12分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分17. （共14分）解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分数学参考答案及评分参考 第 4 页（共 8 页）（II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分 ∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r =311-∴平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角余弦值为311-------------14分 18.（本题15分）解：（I ）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分 所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数数学参考答案及评分参考 第 5 页（共 8 页）为6000.8480⨯=人 -------------4分 （II ）甲班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.052⨯=人乙班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.14⨯=人 -------------6分 X 的可能值为：0,1,234361(0)5C P x C ===,1224363(1)5C C P x C ===,2124361(2)5C C P x C === -------------9分 ∴的分布列为：∴X 的数学期望为()0121555E x =⨯+⨯+⨯= -------------12分(III) D D <甲乙 -------------15分 19.（本题14分）（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分 ∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分 所求切线方程为1y x =+ ---------------5分 （II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2xe a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x-'=， ---------------8分 令()0g x '=得1x =数学参考答案及评分参考 第 6 页（共 8 页）当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g = ． ------------------11分所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分 等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分 分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立， 所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 那么()(0)1h x h ≥=， 所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分 ②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =． 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减； 当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分 由2(1ln 2)0a a -≥解得2e a ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个 -------------------14分数学参考答案及评分参考 第 7 页（共 8 页）（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分（II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分 由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k-⋅=+ --------------8分 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x +同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r-------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++=222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分数学参考答案及评分参考 第 8 页（共 8 页）解：（I ）14d =，25d =，32d =． ----------------3分（II ）因为10a >，公比01q <<， 所以 12,,,n a a a L 是递减数列．因此，对1,2,,1i n =-L ，1,i i i i A a B a +==． ----------------5分 于是对1,2,,1i n =-L ，1i i i i i d B A a a +=-=-11(1)i a q q -=-． ----------------7分因此 0i d ≠ 且1i id q d +=（1,2,,2i n =-L ）， 即121,,,n d d d -L 是等比数列． ----------------9分(III) 设d 为121,,,n d d d -⋅⋅⋅的公差，则0d >对12i n -≤≤，因为1i i B B +≥，所以1111i i i i i i i i i i A B d B d B d d B d A ++++=-≤-=--<-=，即1i i A A +< ------------11分 又因为11min{,}i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=<≤．从而121,,,n a a a -L 是递减数列．因此i i A a =（1,2,,1i n =-L ）．----------------12分 又因为111111++B A d a d a ==>，所以1121n B a a a ->>>>L ． 因此1n a B =．所以121n n B B B a -====L ． i i i i n i a A B d a d ==-=-． 因此对1,2,,2i n =-L 都有1+1i i i i a a d d d +-=-=-，即121,,,n a a a -L 是等差数列． ----------------14分。
北京顺义区2020届高三数学第二次统练测试(文)新人教版doc高中数学
北京顺义区2020 届高三数学第二次统练测试（文）新人教版doc 高中数学2 23 58.在圆x2 y2 5y 0内，过点$2)作n条弦(n N ),它们的长构成等差数列a n，若a为过该一1 1点最短的弦，a n为过该点最长的弦，且公差d (,)，贝U n的值为5 3( )A. 4B. 5C. 6D. 7第n卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.二•填空题(本大题共6个小题，每小题5分,共30分，把答案填在题中横线上9.在总体为N的一批零件中，抽取一个容量为40的样本，若每个零件被抽取的可能性为值为_________ .(1)函数f (x)是奇函数(2)函数f(X)的值域为(1,1)(3)函数f(x)在R上是增函数(4)函数g(x) f (x) b ( b为常数，b R)必有一个零点其中正确结论的序号为 ____________ (把所有正确结论的序号都填上)三.解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)25%，则N10.已知向量(1,J3)与向量b (1,J3)，贝y a与2b的夹角为11.已知x 、束条件 1 ，贝V z 2x y 的x2, x 012•函数f (x)4cos x, 0 x2，则不等式f(x) 2的解集是13.如图所示，墙上挂有一长为2宽形木板ABCD，它的阴影部分是由5y sinx，x , 的图象和直2 2围成的图形，某人向此板投飞镖，假能击中木板，且击中木板上每一点的为2的矩线y 1设每次都可能性相同，则他击中阴影部分的概率是_________________14 •某同学在研究函数f(x)x|x| 1(x R)时，分别给出下面几个结论:直线l : V kx mm 0与圆O : x 2 y 2 1相切,并与椭圆C 交于不同的两点 A 、B , ( O 为坐标原点)15 .(本小题共12分)已知函数 f(x) sinx cosx , x R .(i)求f()的值；4(n)如果函数g(x) f (x)f ( x)，求函数g(x)的最小正周期和最大值16 .(本小题共13分)甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 5次,19.(本小题共14分)X 2 V 2血已知：椭圆C ：—221 a b 0过0,1点，离心率e - ab2甲乙 9 7 70 8 1 285 3 0 5I •从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个， 用列举法计算甲的成绩比乙高的概率;n •现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由17 .(本小题共14分)一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，(其中AB j 的中点)I •求证：C 1D 平面ABRAn .当点F 在棱BB 1上的什么位置时，有 AB, 平GDF ,请证明你的结论『对(2)中确定的点F ，求三棱锥B, GDF 的18 .(本小题共14分) 已知函数 f(x) ln x a(x 1)( a 为常数，i 若x 1时，函数f (x)取得极大值，求实数 a 的D 为面体积.a R )值；n •若不等式f'(x) 2x 在函数定义域上恒成立,(其中f '(x)为f (x)的导函数)求a 的取值范围B1I .求椭圆C 的方程及m 与k 的关系式m f (k)；求直线l 的方程；川•在n •的条件下，求三角形 AOB 的面积. 20 .(本小题共13分)设数列a n 的前n 项和为S n ，点P(S n ,a n )在直线(2 m)x 2my m 2 m 0. I •求证：a n 是等比数列，并求其通项 a n ；n 若数列a n 的公比q f(m)，数列b n 满足b i a 1, b n f(b n1), (nN , n 2),1求证：匸是等差数列，并求bn ；川.设数列q 满足c n b n b n1, T n 为数列c n 的前n 项和，且存在实数T 满足T n T ,(n N )求T 的 最大值.高三数学试题(文科)参考答案及评分标准题号123456 7 8 答案 A C C B A BDB9. 160 ; 10. ;11.33 ; 12. ,、、2 II0, ; 13. 311； 14. 1,2,32(注：14题少解给2 分 讥有错解不给分)三.解答题(本大题共 6小题，共80分)15.(本小题共12分)厂解：(I) f( ) sin—cos_V 2 . 4分4 4 4 2 2(n) g(x) f(x)f ( x) (sin x cosx)[sin( x) cos( x)](sin x cosx)( sinx cosx) __________ 6 分 cos 2 x sin 2 x cos2x _________ 8 分，且满足|OA|,10 ,cos30上，其中m 为常数，且n .设< Ix RiT 2—, g(x)的最小正周期为1 cos2x 1 ,因此，函数g(x)的最大值是1. _______ 12分 16. 解:(本小题共13分) I •由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为：甲: 82 81 79 88 80乙：85 77 83 80 85 2 分记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个为 (x,y),用列举法表示如下：(82,85) (82,77)(82,83)(82,80)(82,85) (81.85) (81,77)(81,83)(81,80)(81,85) (79.85) (79,77)(79,83)(79,80)(79,85) (88,85) (88,77)(88,83)(88,80)(88,85) (80,85)(80,77)(80,83)(80,80)(80,85) 4 分n •本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分(1)派乙参赛比较合适， _______ 9分. 理由如下: 甲的平均分x 甲 82，乙的平均分x 乙 82，甲乙平均分相同; 又甲的标准差的平方(即方差) S 甲 10 , 乙的标准差的平方(即方差)S 乙 9.6 ,S 甲S 乙 _______11分甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 派乙去比较合适； ________ 13分 (2)派乙去比较合适，理由如下：1从统计学的角度看，甲获得 85分以上(含85分)的概率P -152乙获得85分以上(含85分)的概率F 2 甲的平均分x 甲 82，乙的平均分x 乙82，平均分相同;甲的成绩比乙高的概率为11 25______ 10分派乙去比较合适•若学生或从得82分以上（含82分）去分析：2甲获得82分以上（含82分）的概率R -,5 3乙获得82分以上（含82分）的概率P 25甲的平均分X 甲82，乙的平均分X 乙82，平均分相同;派乙去比较合适.（同样给此问的分）. 17 .（本小题共14分）证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的 直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 , A 1C 1B 1 —,2分n .当点F 在棱BR 上的中点时，有 ABj 平面C 1DF ____ 7 分证明：连结 DF , AB , DF||AB ，: AA A 1B 1 血, 四边形ABBA 为正方形，AB 1 A B , AB 1 DF ，由i 知 C 1D A,B , DF || GD DAB 1 平面 C 1DF _______ 10 分『设AB 「|DF G , B,G 为三棱锥B C 1DF 的高,1B 1G -,12 分2棱AA平面 ABG ,AA2 ,AC 1 B C 1 1, A 1B 1、2 ；2分i .■ iD+为AB 1的中点，GD AB ,平面A 1B 1C 1GD 平 面 A B 1C 1,GD AA ,AA 伽A ,GD 平面ABBA可求得S C 1DF2，体积V14分42418.(本小题共 14分)解：:f(x)In x a(x 1) 定义域0, ，f'(x)-a 2分xI ( f(x)在 x 1处取得极值，f'(1) 0 a 1 4分f (x) lnx (x 1) f '(x)—1 x1J，令 f '(x)0，解得0 xxxf(x)在0,1上单调递增，在1, 上单调递减,满足在x 1处取得极大值，a 2 2.19 .(本小题共14分)It 2 2解：i .,椭圆C:令占1，过0,1点，b 1, _________________ 1分a bc 、a 2 b 2 ■■、2ea a 2a 2 2, _____ 2 分n .方法1 ：若不等式 f '(x)2x 在函数定义域上恒成立即1a 2x 在0,x 上恒成立,a — 2x 在 0, x上恒成立2x 2 2，“x”当且仅当 12分(不验证“成立扣1分) a 22.14分方法 2 :令 g(x)12x ，xg'(x)务」，易知g(x)在x递减，在■12 递增;g(x)有最小值(即极小值)为g (弓2迁，2 2x2椭圆C 方程为：一 y 21 ；3分2"直线 l : y kx m m 0 与圆 x2y 21 相切，—|m|— 1,m 1 k 2，即 m f (k) . 1 k2V 1 k 28k 2 0，k 2 1，k 1f(k).1 k 2直线I 的方程为:设 A% yj , BXy)，则 x X4km2k 2xi X ，2m 2 2 2k 2 1，|cos 2；10 53 5I又 (X i ,y i )(X 2, y ,) NX , y 』2k 2 1 2k 2y 得 3x 24.2x 2 0， xX24「2T ，x 1x 2-由弦长公式:34 1|AB|4，SAOB21|AB|14分sin I OB : 即B 1(方法2 : A （、、2,0），k oB tan52x 2y 2x ，与 y直线AB 过（、.2,0）点v>，且 cos1联立解得：x 辽，y 辽或x 3 32.23楽），由两点得AB 的方程为：y3n •方法1:y 2x Tkx m消去y 得(2k 21)x 2 14kmx 2m 2 2 0，10分由前面解知：|0A|为三角形的底边，|y B |为三角形的高,,,2迈 c . 1/7； 2^2 2\yB13 ，S AOB|0A|1 y B1223 320 .(本小题共13分)解：解：i •(点 P(S n ，a n )在直线(2 m)x 2my m 20上,(2 m)S n 2mq m 20 * ______ 1 分2T n T 1 C 1 -,要满足T n T 对任意n N 都成立，32 2 T - . T 的最大值为一. 13分1时, a S ,(2 m)a 1 2maia 1(m 2) ma 12时, 由*式知 (2 m)S n 12mq 1 0 ** 两式相减得(2 m)a n 2ms n 12m旦a n 1 m 2a nT )n1m 22m n 1(m^)，又当 n 1时也适合，a n 是等比数列，通项a nn .由1知qf (m)f(b n 1)2bu b n 1 2，1 丄 b n b n 1即丄 b n 1b n 11 b11也适合,1—成等差数列,b n其通项1 b nb n满足c nb n b n(n 1)(n 2)T n 为数列c n 的前n 项和， T n 递增; _____ 11分3 3 -。
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数学参考答案及评分参考 第 1 页（共 8 页）顺义区2020届高三第二次统练数学参考答案及评分参考一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）A（10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）2（12）1,N n a n n *=+∈（13）sin(2)3y x π=+（14）1a =± （15）②③注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）解：选①：在ABC ∆中，1cos 3C =,根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分∵1cos 3C =00数学参考答案及评分参考 第 2 页（共 8 页）∴sin C =-------------12分 所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分选②：在ABC ∆中，1cos 3C =-,当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-. -------------2分又5a b +=，3c =，得到12ab = ------------- 8分此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解. ------------- 12分所以这样的三角形不存在. -------------14分选③：在ABC ∆中，因为sin C =所以1cos 3C =±. -------------2分 当1cos 3C =时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------4分 且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = -------------8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------12分当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,数学参考答案及评分参考 第 3 页（共 8 页）又5a b +=，3c =，得到12ab =,此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解.所以这样的三角形不存在. ------------- 14分③法二：在ABC ∆中，因为2222()2522a b a b c ++≥=>, 根据余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,得到cos 0C > ------------- 2分因为sin 3C =所以1cos 3C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------12分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分17. （共14分）解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分数学参考答案及评分参考 第 4 页（共 8 页）（II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分 ∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r =311-∴平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角余弦值为311-------------14分 18.（本题15分）解：（I ）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分 所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数数学参考答案及评分参考 第 5 页（共 8 页）为6000.8480⨯=人 -------------4分 （II ）甲班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.052⨯=人乙班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.14⨯=人 -------------6分 X 的可能值为：0,1,234361(0)5C P x C ===,1224363(1)5C C P x C ===,2124361(2)5C C P x C === -------------9分 ∴的分布列为：∴X 的数学期望为()0121555E x =⨯+⨯+⨯= -------------12分(III) D D <甲乙 -------------15分 19.（本题14分）（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分 ∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分 所求切线方程为1y x =+ ---------------5分 （II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2xe a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x-'=， ---------------8分 令()0g x '=得1x =数学参考答案及评分参考 第 6 页（共 8 页）当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g = ． ------------------11分所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分 等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分 分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立， 所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 那么()(0)1h x h ≥=， 所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分 ②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =． 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减； 当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分 由2(1ln 2)0a a -≥解得2e a ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个 -------------------14分数学参考答案及评分参考 第 7 页（共 8 页）（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分（II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分 由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k-⋅=+ --------------8分 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x +同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r-------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++=222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分数学参考答案及评分参考 第 8 页（共 8 页）解：（I ）14d =，25d =，32d =． ----------------3分（II ）因为10a >，公比01q <<， 所以 12,,,n a a a L 是递减数列．因此，对1,2,,1i n =-L ，1,i i i i A a B a +==． ----------------5分 于是对1,2,,1i n =-L ，1i i i i i d B A a a +=-=-11(1)i a q q -=-． ----------------7分因此 0i d ≠ 且1i id q d +=（1,2,,2i n =-L ）， 即121,,,n d d d -L 是等比数列． ----------------9分(III) 设d 为121,,,n d d d -⋅⋅⋅的公差，则0d >对12i n -≤≤，因为1i i B B +≥，所以1111i i i i i i i i i i A B d B d B d d B d A ++++=-≤-=--<-=，即1i i A A +< ------------11分 又因为11min{,}i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=<≤．从而121,,,n a a a -L 是递减数列．因此i i A a =（1,2,,1i n =-L ）．----------------12分 又因为111111++B A d a d a ==>，所以1121n B a a a ->>>>L ． 因此1n a B =．所以121n n B B B a -====L ． i i i i n i a A B d a d ==-=-． 因此对1,2,,2i n =-L 都有1+1i i i i a a d d d +-=-=-，即121,,,n a a a -L 是等差数列． ----------------14分。