北京市顺义区2020届高三第二次统练数学试题参考答案
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顺义区2020届高三第二次统练
数学参考答案及评分参考
一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B
（ 7 ）D
（ 8 ）B
（ 9 ）A
（10）D
二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）2
（12）1,N n a n n *=+∈
（13）sin(2)3
y x π
=+
（14）1a =± （15）②③
注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。 三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）
解：选①：在ABC ∆中，1
cos 3
C =,
根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分
且5a b +=，3c =，得到292523
ab
ab =--
------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分
所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩
-------------10分
∵1cos 3
C =
00
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∴sin C =
-------------12分 所以三角形∆ABC
的面积是1
sin 2
ABC S ab C ∆== -------------14分
选②：在ABC ∆中，1
cos 3
C =-,
当1
cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-. -------------2分
又5a b +=，3c =，得到12ab = ------------- 8分
此时方程组5
12a b ab +=⎧⎨=⎩
无解. ------------- 12分
所以这样的三角形不存在. -------------14分
选③：在ABC ∆
中，因为sin C =
所以1
cos 3
C =±. -------------2分 当1
cos 3
C =
时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------4分 且5a b +=，3c =，得到292523
ab
ab =--
------------- 6分 所以6ab = -------------8分
所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩
-------------10分
所以三角形∆ABC
的面积是1
sin 2
ABC S ab C ∆== -------------12分
当1
cos 3
C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,
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又5a b +=，3c =，得到12ab =,
此时方程组5
12a b ab +=⎧⎨=⎩
无解.
所以这样的三角形不存在. ------------- 14分
③法二：在ABC ∆中，因为22
2
2
()2522
a b a b c ++≥
=>, 根据余弦定理222
cos 2a b c C ab
+-=,得到cos 0C > ------------- 2分
因为sin 3C =
所以1
cos 3
C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分
所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或3
2a b =⎧⎨=⎩
-------------12分
所以三角形∆ABC
的面积是1
sin 2
ABC S ab C ∆== -------------14分
17. （共14分）
解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O
∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分
又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分
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（II ）
Q 二面角1A BD C --是直二面角
∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥
∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分 ∴以O 为原点，如图建系：
∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C
又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11
(,0,)22
F
∴11(,1,)22DF =u u u r ，31
(0,,)22
DE =u u u r -------------8分
设(,,)n x y z =r
是平面DEF 的一个法向量
∴1102231022
DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r
-------------11分
又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r
-------------13分
∴111
cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u r
r u u u u r r u u u u r =311-
∴平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角余弦值为
311
-------------14分 18.（本题15分）
解：（I ）根据甲班的统计数据可知：
甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分 所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数