2014海淀区高二第二学期期中考试数学文科

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2014海淀区高二(下)期中数学(文科)

2014海淀区高二（下）期中数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，共32分.1．（4分）已知复数z=1﹣i，那么|z|=（）A．0 B．1 C．D．22．（4分）下列推理正确的是（）A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．已知三个不同的平面α，β，γ，如果α⊥β，β⊥γ，那么α⊥γC．已知非零向量，，，如果?=?，那么=D．如果复数z满足z2＞0，则z∈R3．（4分）如图结构图中，框①，②处分别填入（）A．l?α，l⊥αB．l?α，l与α相交C．l?α，l⊥αD．l?α，l与α相交4．（4分）下面是一段“三段论”推理过程：若函数f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f′（x）＞0恒成立．因为f（x）=x3在（﹣1，1）内可导且单调递增，所以在（﹣1，1）内，f′（x）=3x2＞0恒成立．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．结论正确D．推理形式错误5．（4分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数6．（4分）在独立性检验中，统计量Χ2有两个临界值：3.841和6.635；当Χ2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ2≤3.841时，认为两个事件无关．调查者通过询问50名男女大学生在选修课程时是否选择“统计学”课程，得到数据如下表：不选统计学选统计学男1310女720根据表中的数据，得到Χ2=≈4.844．根据这一数据分析，认为大学生的性别和是否选修“统计学”课程之间（）A．有95%的把握认为两者有关B．约有95%的选修“统计学”课程的学生是女性C．有99%的把握认为两者有关D．约有99%的选修“统计学”课程的学生是女性7．（4分）若定义运算：；，例如2?3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a?b=b?a B．（a?b）?c=a?（b?c）C．（a?b）2=a2?b2D．c?（a?b）=（c?a）?（c?b）（c＞0）8．（4分）已知各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2a n=39（n∈N*），那么数列{a n}的前50项和S50的最小值为（）A．637 B．559 C．481+25D．492+24二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）在复平面内，复数i（1﹣i）对应的点的坐标是．10．（4分）观察下列等式：+i=cos+isin，（+i）2=cos+isin，（+i）3=cosπ+isiπ，（+i）4=cos+isin，…照此规律，可以推测对于任意的n∈N*，（+i）n=．11．（4分）在平面直角坐标系中，若向量=（x1，y1），=（x2，y2）且⊥，则x1x2+y1y2=0．把上述结论类比推广到空间：在空间直角坐标系中，若向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），且⊥，则．12．（4分）已知+2=bi（a，b∈R，i为虚数单位），那么a+bi的共轭复数为．。

北京市海淀区高二数学下学期期中试题文北师大版

数学（文科）学校___________ 班级姓名成绩 ___本试卷共100分,考试时间90分钟.一、选择题:本大题共8小题，每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中，其导数值在其定义域上恒小于零的是（） A. xy e = B. 2y x =- C. 1y x=D. 2log y x = 2.曲线1)(2--=x x x f 在点))0(,0(f 处的切线的斜率为（）A. 1B. 0C. 2D.1-3.某车站旁的小卖部为了了解热茶销售量与日均气温之间的关系，随机抽取了6天的记录数据（日均气温在[1,20]-内），获得回归直线方程为 2.0160y x =-+，则下列说法中不正确的是（）A ．日均气温为7C 时，预估售出热茶的杯数约为46杯B ．日均气温每上升1C ，售出热茶的杯数平均减少2杯 C ．日均气温每上升1C ，售出热茶的杯数平均增加2杯D ．以该回归方程得到的售出热茶杯数的预估值与实际值也可能存在较大偏差 4.函数)(x f的图象可能为（）5.观察下列各等式：312555=，1562556=，7812557=，…，则20135的末四位数字是（）A. 3125B. 5625C. 8125D. 06256.已知下列命题： <②三角形ABC 的三个内角满足sin sin sin A B C +>； ③存在等比数列{}n a 满足1322a a a +=成立. 其中所有正确命题的序号是（）AA.①B.①②C.②③D. ①②③7.若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入右图的容器，则容器中水的高度h 与时间t 的函数关系的图象是（）8.若函数b ax x x f ++=3)(有三个零点，分别为123,,x x x ,且满足11<x ,12=x ,13>x ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(,2)-∞-D ．(,3)-∞- 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.某路口的红绿灯设定如下：红灯的时间为40秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒.假如你到达路口的时刻是随机的，则当你到达路口恰逢黄灯的概率是_________.10.曲线32()f x x x =-过点．．（1,0）的切线有__________条. 11.右图是依据1981～2001年我国出口贸易量E x （亿美元）的原始数据画的散点图.给出下列经验公式：①y ax b =+②2y ax b =+③bxe a y ⋅=请依据该散点图的特征，指出拟合程度最不好．．．的经验公式的序号：__________.12.函数sin y ax x =-是单调递增函数，则实数a 的取值范围_____________.13.函数ln xy x=在点x e =处的瞬时变化率为__________. 14.已知函数()3xf x x =+,构造如下函数序列()n f x :()()1[]n n f x f f x -=（*∈N n ，且2≥n ）,其中()1()f x f x =，()0>x ，则3()f x =_______________，函数()n f x =_______________.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题共10分)t hO A t h O B t h O C thOD已知函数32()f x x ax bx c =-++在0x =处取得极大值．．．1.求实数b ,c 的值和实数a 的取值范围.16.（本小题共10分）已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝2，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，…，（I ）写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；（II ）设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．17.(本小题共12分)已知四面体ABCD 中，DC BD ⊥，22AB AD DC ===.AD ⊥平面EFGH ，且//AB 截面EFGH ，//CD 截面EFGH .（I ）求证：//GF CD ，//AB GH ；（II ）求证：GF ⊥平面ABD ；（III ）设GD x =，求四棱锥D EFGH -的体积()V x 的最大值.18.（本小题共12分）已知函数2()()xf x x kx k e =++，（I ）若函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，求实数k 的取值范围；（II ）求函数()f x 的单调区间.海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2013.4BD一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9． 11710．2 11．① 12．1a ≥13．0 14．()31327xf x x =+； ()3132n n nx f x x =-+ (每空2分)三、解答题：本大题共4小题，共44分.15.解：2'()32f x x ax b =-+ …………………………..2分.()f x 在0x =处取得极大值1(0)1'(0)0f f =⎧∴⎨=⎩，所以1,0c b == …………………………..5分 2'()32(32)f x x ax x x a ∴=-=-令'()0f x =得203或ax x == …………………………..6分①若0a >，则()f x 和'()f x 情况如下：②若0a <，则()f x 和'()f x 情况如下：分综上讨论可得0a >满足题意. 16.解：（I ）12(3)2n n n x x x n --+=≥ .....................................2分（II ）10x =，22x =，3211()12x x x =+=，43213()22x x x =+=1212a x x ∴=-=，2321a x x =-=-，34312a x x =-= (4)分推测12(2)n n a -=- (6)证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=-121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=-………………………….9分{}n a ∴是以2为首项，以12-为公比的等比数列.故11122()2(2)n n n a --=⋅-=- ………………10分17.（I ） //CD 截面EFGH 且CD ⊂平面ADC ，平面ADC 截面EFGH GF =∴ //GF CD ………………………2分同理可证//AB GH ………………………3分（II ）DC BD ⊥，//GF CD GF BD ∴⊥ ………………………4分 AD ⊥截面EFGH ，AD GF ∴⊥ ………………………5分又BD AD D = GF ∴⊥平面ABD ……………………….7分（III ）由（I ）知//GF CD ，//AB GH同（I ）的证明方法可得，//AB EF ，//HE CD ∴//GH EF ，//HE GF∴ EFGH 是平行四边形 ……………………….8分又GF ⊥平面ABD ，GF GH ∴⊥∴ EFGH 是矩形 …………………………9分在ABD ∆中，GH GDAB AD =，∴GH GD x == 在ACD ∆中，GF AG DC AD=，∴22xGF -= ∴2=2矩形EFGH xS GH GF x -⋅=⋅AD ⊥平面EFGH ∴GD 是四棱锥D EFGH -的高∴ 四棱锥D EFGH -的体积()V x 32121(2)3326矩形EFGH x x GD S x x x -=⋅=⋅⋅=-+，(0,2)x ∈ ……………..10分则21'()(34)6V x x x =-+令'()0V x =得0x =（舍）43或x =………………………11分当403x <<时，'()0V x >，()V x 在4(0,)3上单调递增；当423x <<时，'()0V x <，()V x 在4(,2)3上单调递减，∴max 41641616()()(2)3627981V x V ==-+⨯= …………………….12分18.解：22'()(2)()(22)x x xf x x k e x kx k e x kx x k e =++++=+++……………....2分整理得'()()(2)xf x x k x e =++ ……………………………..3分（1）若函数()f x 在(0,1)上单调递减，则在(0,1)x ∈上'()0f x ≤，由于0x e >∴当(0,1)x ∈时，有()(2)0x k x ++≤由二次函数()(2)y x k x =++的图像可知，1k -≥，即1k ≤-时满足题意………5分（2）若2k >，有2k -<-，则当(,)x k ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；当(,2)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； ………………………………8分若2k =，则2'()(2)0xf x x e =+≥，且仅当2x =-时'()0f x =，所以函数()f x 单调递增； ..…………………………9分若2k <，有2k ->-，则当(,2)x ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；当(2,)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当(,)x k ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； (12)分综上，当2k >时，函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(2,)-+∞，单调递减区间是(,2)k --；当2k =时，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2k <时，函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(,)k -+∞，单调递减区间是(2,)k --.。

北京四中2013-2014学年高二第二学期期中测验数学

参考答案卷Ⅰ1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．B 8．C 9．1 1 10．ln2－1 11．n+(n+1)+(n+2)+…+(3n―2)=(2n―1)212．②13．解：（1）121111131314a a a a +====++；232114331714a a a ===++ 3431173311017a a a ===++ （2）猜想：132n a n =- 证明：①当n=1时，11132n a a ===-，成立。

②假设当n=k （k ＞1且k ∈N*）时，132k a k =-成立。

则n=k+1时，11113233132331132k k k a k a a k k k +-====+-+++- 又∵111313(1)2k a k k +==++- 当n=k+1时也成立。

∴由①②得，N*n ∀∈，132n a n =-成立。

14．解：（1）当a=3时，3211()632f x x x x =-++，∴D ：x ∈R ∴2'()6(3)(2)f x x x x x =-++=-++ 令'()0f x >，则－2＜x ＜3则：x ，'()f x ，()f x 变化如下表：∴()f x 在（－∞，－2），（3，+∞）上递减，在（－2，3）上递增。

（2）2'()2f x x x a =-++∴若令2'()20f x x a a =-++= 则Δ=b2－4ac=1+8a ；a ∈（0，2），则Δ＞0 ∴x ==∵a ∈（0，2），则1+8a ∈（1，17）1(2∴若4<，则()f x 在[1，4]上单调增，min 1116()(1)2323f x f a ==-++=- ∴此时114a =-，不合题意，舍。

∴14<<，即()f x 在上单增，在4]上单减。

∴min 1116()(4)64168323f x f a ==-⨯+⨯+=- ∴a=12=，符合条件。

北京市重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题

北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高二文科数学试卷(考试时间：100分钟总分：100分) 2015．4．本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共60分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则M N =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-2． “1a >”是“函数()2(01)x f x a a a =->≠且在区间(0,)+∞上存在零点”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知命题p :(0,),32x x x ∀∈+∞>；命题q :(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝4．若10<<x ，则函数()()x x x f -=1的最大值为A. 1 B ．41 C ．21 D ．2 5．若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为A ．27-B ．2-C ．1D ． 25 6．设212=a ，313=b ，3log 2c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= A ．1 B ．2 C ．i - D ．i8．函数2()log (6)f x x -的定义域是A ． {}|6x x >B ． {}|36x x -<<C ． {}|3x x >-D ． {}|36x x -<≤9．奇函数()x f 在(,0)-∞上单调递增，若()01=-f ,则不等式()0<x f 的解集是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,0)(1,)-+∞ 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()1f a =，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第二部分（非选择题共60分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡上.11．半径为r 的圆的面积()2r r S ⋅=π，周长()r r C ⋅=π2．若将r 看作()+∞,0上的变量，则有()r r ⋅=⋅ππ2'2①，①式可用语言叙述为“圆的面积函数的导数等于圆的周长函数”．对于半径为R 的球，若将R 看作()+∞,0上的变量，请你写出类似于13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .14．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．15．复数(2i)i z =-的虚部是 .16．已知()()()()221log 1a x a x f x x x a +-=⎧<⎨⎩≥是R 上的增函数，则a 的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（本小题满分8分）已知函数()()3122--+=x a x x f ． ()1当2=a ，[]3,2-∈x 时，求函数()x f 的值域；()2如函数()x f 在[]3,1-上的最大值为1，求实数a 的值．18．（本小题满分6分）给定函数()xx x f 1lg 2+=，完成下列问题：()1指出函数的奇偶性；（必须说明理由）()2指出函数的单调区间；（必须说明理由）()3该函数是否存在最值？如存在，求出该最值．19．（本小题满分10分）已知函数1)(2-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g . （I ）若)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值；（II ）设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点F 1(、F 20)的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线l ：y kx =C 交于不同的两点P 和Q ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）是否存在常数k ，使0OP OQ ⋅=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．。

【2014海淀一模】北京市海淀区2014届高三下学期期中练习数学文扫描版含答案

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科）2014.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.B2.B3.C4.C5.A6.D7. C8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 1 10. 方案三11. 35,712. ③,2()817f x x x=-+13. 15214.π[0,)2{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成π(0,)2不扣分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.解：（Ⅰ）ππππ()sin sin()6663f=-----------------------------------1分ππsin sin()66=-----------------------------------2分ππsin sin66=+---------------------------------3分π2sin16==---------------------------------4分（Ⅱ）1()sin sin22f x x x x=-+---------------------------------6分1sin2x x=+sin()3xπ=+--------------------------------8分因为ππ22x-≤≤所以ππ5π636x-≤+≤--------------------------------10分所以1πsin()123x -≤+≤ --------------------------------12分所以()f x 的取值范围是1[,1]2- --------------------------------13分16.解：(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A55()10.45100P A =-= --------------------------------5分 (Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机，选出两人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 共7种.记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M ，则7()0.710P M == --------------------------------13分 17.解：（Ⅰ）因为D ,M 分别为,AC BD 中点，所以DM //EF ---------------------2分又1EF A EF ⊂平面，1DM A EF ⊄平面所以1//DM A EF 平面. -----------------------4分（Ⅱ）因为1A E BD ⊥，EF BD ⊥且1A EEF E =所以1BD A EF ⊥平面 -------------7分又11A F A EF ⊂平面所以1BD A F ⊥ ------------------------9分（Ⅲ）直线1A B 与直线CD 不能垂直 ---------------------------------------10分因为1A BD BCD ⊥平面平面,1A BDBCD BD =平面平面,EF BD ⊥,EF CBD ⊂平面，所以 1EF A BD ⊥平面. ---------------------------------------12分因为11A B A BD ⊂平面，所以1A B EF ⊥，又因为//EF DM ，所以1A B DM ⊥. 假设1A B CD ⊥，因为1A B DM ⊥，CDDM D =，所以1A B BCD ⊥平面， ------------------------------------------13分所以1A B BD ⊥，这与1A BD ∠为锐角矛盾所以直线1A B 与直线CD 不能垂直. ---------------------------------------14分18.解：(Ⅰ) 定义域为()0,+∞ ------------------------------------1分'()ln 1f x x =+ ------------------------------------2分令'()0f x =，得 1ex =------------------------------------3分 '()f x 与()f x 的情况如下：分所以()f x 的单调减区间为1(0,)e ，单调增区间为1(,)e+∞--------------------------6分 (Ⅱ) 证明1：设1()ln g x x x=+，0x > ------------------------------------7分 22111'()x g x x x x-=-= -------------------------------8分 '()g x 与()g x 的情况如下：所以()(1)1g x g ≥=，即 1ln 1x x+≥在0x >时恒成立， ----------------------10分所以，当1k ≤时，1ln x k x+≥，所以ln 1x x kx +≥，即ln 1x x kx ≥-，所以，当1k ≤时，有()1f x kx ≥-. ------------------------13分证明2：令()()(1)ln 1g x f x kx x x kx =--=-+ ----------------------------------7分'()ln 1g x x k =+- -----------------------------------8分令'()0g x =，得1e k x -= -----------------------------------9分'()g x 与()g x 的情况如下：分()g x 的最小值为11(e )1e k k g --=- -------------------11分当1k ≤时，1e 1k -≤，所以11e 0k --≥故()0g x ≥ -----------------------------12分即当1k ≤时，()1f x kx ≥-. ------------------------------------13分 19.解：（Ⅰ）证明：因为,A B 在椭圆上，所以2211222224,2 4.x y x y ②①ìï+=ïíï+=ïî -----------------------------------1分因为,A B 关于点(1,0)M 对称，所以12122,0x x y y +=+=， --------------------------------2分将21212,x x y y =-=-代入②得2211(2)24x y -+= ③，由①和③消1y 解得11x =， ------------------------------------------4分所以 121x x ==. ------------------------------------------5分（Ⅱ）当直线AB不存在斜率时，(0,A B -，可得AB MA ==∆ABM 不是等边三角形. -----------------------6分当直线AB 存在斜率时，显然斜率不为0.设直线AB ：3y kx =+，AB 中点为00(,)N x y ，联立2224,3,x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)12140k x kx +++=， ------------------7分2221444(12)143256k k k ∆=-+⋅=-由0∆>，得到274k >① -----------------------------------8分又1221212kx x k -+=+, 1221412x x k⋅=+ 所以0002263,31212k x y kx k k -==+=++，所以 2263(,)1212k N k k-++ -------------------------------------------10分假设∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ，又因为(1,0)M ，所以1MNk k ⨯=-，即2231216112k k kk +⨯=---+， ---------------------11分化简 22310k k ++=，解得1=-k 或12k =----------------12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意k 不能使得⊥MN AB ,故∆ABM 不能为等边三角形. ------------14分 20.解：（Ⅰ）有序整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列.-------------------------1分理由如下：由题设可知 1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ,1223(2,3)(33)B B B B ==-，，, 因为 12120=A A B B ,23230=A A B B 所以 12122323⊥⊥A A B B A A B B ，.所以整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列. ----------------------------3分（Ⅱ）证明：由题意可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，，设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)B B B B B B λλλ=-==-，,123λλλ∈，，Z 因为1144,与与A B A B 相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9①3+3+3=1②因为λλλ∈123，，Z ，方程②不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列.----------8分（Ⅲ）存在无正交点列的整点列(5)A . -------------------------------------------9分当5n =时，设1(,),,,i i i i i i A A a b a b +=∈Z 其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,4i = 若有序整点列12345,,,,B B B B B 是点列12345,,,,A A A A A 的正交点列, 则1(,),1,2,3,4i i i i i B B b a i λ+=-= ，由441i+1=11+==∑∑i i i i i A AB B得44=1144=11,.i i i i i i i i i i b a a b λλ==⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①②取1,(0,0)A =3,1,2,3,4i a i =,12342,1,1,1b b b b ==-==- 由于12345,,,,B B B B B 是整点列，所以有,1,2,3,4i i λ∈=Z .等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列(5)A . -----------------------------------13分。

北京四中2014年下学期高二期中考试数学试卷(文) 有答案

北京四中2014年下学期高二期中考试数学试卷（文）有答案试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（Ⅰ）《选修1－1》一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线x 2=－8y 的焦点坐标为A. （0，－4）B. （0，－2）C. 1(0,)16-D. 1(0,)32- 2．下列函数求导运算正确的个数为 ①(21)'2x -=；②21(log )'ln 2x x =⋅；③()'x x e e =；④(cos )'sin x x = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．函数()2cos f x x x =+在[0，π]上的极大值点为 A.12π B. 6π C. 3π D. 2π4．下列命题中，是假命题的是A ．如果x<2，则x<3B ．3+6=8或3+6=9C ．2,0x R x ∀∈> D. *x N ∃∈，使x 既是质数又是偶数5．若偶函数f （x ）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，f （x ）在（0,+∞）上的图象如图所示，则不等式f （x ）f'（x ）>0的解集是A. (,1)(0,1)-∞-B. (1,0)(1,)-+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (1,0)(0,1)-6．若ln (),3xf x a b x=<<，则 A ．()()f a f b > B ．()()f a f b = C ．()()f a f b < D ．()()1f a f b >7. 已知抛物线22y x =上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线y x m =+对称，若1212x x =-，则m 的值为A.23 B. 2 C. 52 D. 328. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致可能为二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 若命题2:,2p x N x x ∃∈=+，则p ⌝为：。

2014年海淀区高二年级第二学期期中练习

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）2014.04学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数i(i 2)z =+的虚部是 ( ) （A ）2- （B ）2 （C ）2i - （D ）2i （2）计算e 11d x x⎰的结果是（）（A ）e （B ）21e -- （C ）1 （D ）e 1-（3）已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，那么下面判断正确的是 ( )（A ）在(3,1)-内()f x 是增函数（B ）在(1,3)内()f x 是减函数（C ）在(4,5)内()f x 是增函数（D ）当2x =时，()f x 取得极小值（4）已知函数()f x 和()g x 在区间[,]a b 上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）（A ）()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率（B ）()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b 之间的平均变化率（C ）对于任意0(,)x a b ∈，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率（D ）存在0(,)x a b ∈，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率（5）用反证法证明命题“已知,,,A B C D 是空间中的四点，直线AB 与CD 是异面直线，则直线AC 和BD 也是异面直线．”应假设（）（A ）直线AC 和BD 是平行直线（B ）直线AB 和CD 是平行直线（C ）直线AC 和BD 是共面直线（D ）直线AB 和CD 是共面直线（6）已知函数()sin f x x x =，记1()2m f =-，1()3n f =，则下列关系正确的是（）（A ）0m n << （B ）0n m << （C ）0m n << （D ）0n m <<（7）已知曲线在点处的切线方程为，设函数()(21)f x g x =-，则曲线在点处切线方程为（）（A ）21y x =+ （B ）41y x =- （C ）21y x =- （D ）41y x =+（8）已知定义在R 上的函数f x ()的导函数为f x '()，且满足f x f x '>()()，则下列结论正确的是（）（A ）f f >(1)e (0)（B ）f f <(1)e (0) （C ）f f >(1)(0) （D ）()()10<f f 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）函数()2ln f x x x =-的单调递增区间是______________.（10）已知复数z 满足2z ≤，则复数z 在复平面内对应的点Z 的集合构成的图形的面积是_______.（11）曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积是____________.（12）设正三棱柱（底面为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为 . （13）观察不等式：111223++<，11113237++++<，111142315++++<，111152331++++<，…，由此归纳第n 个不等式为______________________________，要用数学归纳法证明该不等式，由(1)n k k =≥时不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数为___________.（14）根据“已知点0(,0)A a 是圆22122:1x y C R R+=外一定点，设不垂直于x 轴的直线l 与圆1C 交于,P Q 两点，若x 轴是PAQ Ð的平分线，则直线l 过定点20'(,0)R A a ”，通过类比可推知“已知点0(,0)B b 是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>外一定点，设不垂直于x 轴的直()y g x =(1,(1))g 21y x =+()y f x =(1,(1))f线'l 与椭圆2C 交于','P Q 两点，若x 轴是''P BQ Ð的平分线，则直线'l 过定点'B ”.（将点'B 的坐标填入前面的横线上）三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E是棱P A 的中点，PD BC ^. 求证：（Ⅰ）PC ∥平面BED ；（Ⅱ）PBC ∆是直角三角形.(16)（本小题共11分）已知函数()332()f x ax x a R =++?的一个极值点是1. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[2,3]-上的最大值和最小值. (17)（本小题共12分）已知函数()e a x f x -=，其中e 是自然对数的底数，. （Ⅰ）求函数()()g x xf x =的单调区间；（Ⅱ）试确定函数()()h x f x x =+的零点个数，并说明理由. (18)（本小题共11分）在平面直角坐标系中，有一条折线12n C A A A ---：，若能再作出折线1231'n n C A B B B A ------：，使得1212232311,,,n n n n A B A A B B A A B A A A --⊥⊥⊥，（其中123231,,,,,,,,n n A A A A B B B -都是整点），则称折线C ＇是折线C 的一条共轭折线.（说明：横、纵坐标均为整数的点称为整点）（Ⅰ）请分别判断图（1），（2）中，虚折线是否是实折线的一条共轭折线；a ∈R AEB CDP（1）（2）（Ⅱ）试判断命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”的真假，并举例说明；备用图（Ⅲ）如图，折线1234C A A A A ---：，其中，12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A .求证：折线C 无共轭折线.。

北京市海淀区高二数学下学期期中试题文(扫描版)北师大版

北京市海淀区2012-2013学年高二数学下学期期中试题文（扫描版）海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9． 11710．2 11．① 12．1a ≥ 13．0 14．()31327x f x x =+； ()3132n n nx f x x =-+ (每空2分)三、解答题：本大题共4小题，共44分. 15.解：2'()32f x x ax b =-+ …………………………..2分.()f x 在0x =处取得极大值1(0)1'(0)0f f =⎧∴⎨=⎩，所以1,0c b == …………………………..5分 2'()32(32)f x x ax x x a ∴=-=-令'()0f x =得203或a x x == …………………………..6分 ①若0a >，则()f x 和'()f x 情况如下：②若0a <，则()f x 和'()f x 情况如下：分综上讨论可得0a >满足题意.16.解：（I ）12(3)2n n n x x x n --+=≥ .....................................2分（II ）10x =，22x =，3211()12x x x =+=，43213()22x x x =+= 1212a x x ∴=-=，2321a x x =-=-，34312a x x =-= ………………4分推测12(2)n n a -=- (6)分证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=- 121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=-………………………….9分{}n a ∴是以2为首项，以12-为公比的等比数列. 故11122()2(2)n n n a --=⋅-=- ………………10分17.（I ） //CD 截面EFGH 且CD ⊂平面ADC ，平面ADC 截面EFGH GF =∴ //GF CD ………………………2分同理可证//AB GH ………………………3分（II ）DC BD ⊥，//GF CD GF BD ∴⊥ ………………………4分AD ⊥截面EFGH ，AD GF ∴⊥ ………………………5分又BD AD D = GF ∴⊥平面ABD ……………………….7分（III ）由（I ）知//GF CD ，//AB GH同（I ）的证明方法可得，//AB EF ，//HE CD∴//GH EF ，//HE GF∴ EFGH 是平行四边形 ……………………….8分又GF ⊥平面ABD ，GF GH ∴⊥∴ EFGH 是矩形 …………………………9分在ABD ∆中，GH GD AB AD=，∴GH GD x == 在ACD ∆中，GF AG DC AD =，∴22x GF -= ∴2=2矩形EFGH x S GH GF x -⋅=⋅ AD ⊥平面EFGH ∴GD 是四棱锥D EFGH -的高∴ 四棱锥D EFGH -的体积 ()V x 32121(2)3326矩形EFGH x x GD S x x x -=⋅=⋅⋅=-+，(0,2)x ∈ ……………..10分则21'()(34)6V x x x =-+ 令'()0V x =得0x =（舍）43或x =………………………11分当403x <<时，'()0V x >，()V x 在4(0,)3上单调递增；当423x <<时，'()0V x <，()V x 在4(,2)3上单调递减， ∴max 41641616()()(2)3627981V x V ==-+⨯= …………………….12分 18.解：22'()(2)()(22)x x x f x x k e x kx k e x kx x k e =++++=+++……………....2分整理得'()()(2)xf x x k x e =++ ……………………………..3分（1）若函数()f x 在(0,1)上单调递减，则在(0,1)x ∈上'()0f x ≤，由于0x e >∴当(0,1)x ∈时，有()(2)0x k x ++≤由二次函数()(2)y x k x =++的图像可知，1k -≥，即1k ≤-时满足题意………5分（2）若2k >，有2k -<-，则当(,)x k ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；当(,2)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；………………………………8分若2k =，则2'()(2)0x f x x e =+≥，且仅当2x =-时'()0f x =，所以函数()f x 单调递增； ..…………………………9分若2k <，有2k ->-，则当(,2)x ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；当(2,)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当(,)x k ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；………………………..12分综上，当2k >时，函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(2,)-+∞，单调递减区间是(,2)k --；当2k =时，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2k <时，函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(,)k -+∞，单调递减区间是(2,)k --.。

北京101中学2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案

北京101中学2013－2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题单选共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos x x +=则下列判断正确的是（）A. p ⌝是假命题B. q 是假命题C. p q ∨⌝是真命题D. ()p q ⌝∧是真命题 2. 若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =（）A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 3. 已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（） A. 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 函数()f x = （）A. 在ππ(,)22-上递增 B . 在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减 C. 在ππ(,)22-上递减 D . 在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增 5. 已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（）A. 2或7-B. 2或8-C. 1或7-D. 1或8-6. 函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A. 2sin(2)4y x π=-B. 2sin(2)4y x π=+C. 32sin()8y x π=+D. 72sin()216x y π=+7. 如果函数()=y f x 图象上任意一点的坐标(,)x y 都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A. ()=y f x 是区间（0，+∞）上的减函数，且x y +4≤B. ()=y f x 是区间（1，+∞）上的增函数，且x y +4≥C. ()=y f x 是区间（1，+∞）上的减函数，且x y +4≥D. ()=y f x 是区间（1，+∞）上的减函数，且x y +4≤8. 若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()=y f x 的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对[,P Q ]是函数()=y f x 的一对“友好点对”（注：点对[,P Q ]与[,Q P ]看作同一对“友好点对”）。

海淀区高二年级第二学期期中练习数学(文)统一练习参考答案2014.4

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2014．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）(1,1) （10）ππcosisin33n n + （11）1212120x x y y z z ++= （12）53i -+ （13）66 （14）1(,1)2，2014注：（12）若填i a b -给1分；（14）题每空2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，所以 OE ∥PC . ………………………2分因为 PC Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分（Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^.因为 PD BC ^，CD PD D =，PD Ì平面PDC ，DC Ì平面PDC ，所以 BC ^平面PDC . ………………………8分因为 PC Ì平面PDC ，所以 BC PC ^. ………………………10分OAEBCDP（16）（本小题满分10分）证明：充分性：假设方程()0f x =至少有一个整数根0x .则 2000x bx c ++=. ………………………2分若0x 是奇数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾；………………………4分若0x 是偶数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾.所以方程()0f x =无整数根.所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分条件. ……………………6分不必要性：令1,2b c ==，方程()0f x =即220x x ++=显然无整数根，但此时c 为偶数.所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的不必要条件.综上所述，“,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分而不必要条件.………………………10分（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图所示. ………………………2分（Ⅱ）因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是（2，3），（6，6.2），所以直线l 的方程是： 6.233(2)62y x --=--，即4570x y -+=. …………………5分（Ⅲ）由题意可设直线l 的方程为(4)5y k x =-+. ………………………6分则维修费用的每一个观察值与直线l 上对应点的纵坐标的差的绝对值之和()3(25) 4.4(5) 5.6(5) 6.2(25)S k k k k k =--++--++-++-+2140.6k k =-+- 4.46, 020.4, 0.61, 6 4.4, 1.k k k k k k -≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩………………………9分因为函数()S k 的单调递增区间是(0.6,)+∞，单调递减区间是(,0.6)-∞，所以当0.6k =时，()S k 取得最小值0.8，此时直线l 的方程是35130x y -+=.………………………12分（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：（1）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直；（2）是，符合定义. ………………………2分（Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A --- ：有共轭折线”是真命题.理由如下：当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,n k k =-= ，取折线1221k C A A A ---- ：.其中(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =- ，满足2121(1,2,,21),0(1,2,,),1(1,2,,1)i i i a i i k b i k b i k -=-=-====- .则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,n k k == ，取折线122k C A A A --- ：.其中(,)(1,2,,2)i i i A a b i k = ，满足22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-===== .折线C的共轭折线为折线122'k C B B B --- ：.其中(,)(1,2,,2)i i i B x y i k = 满足22212211(1,2,,23),21,21,2,0(1,2,,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-= .如图所示. ………………………7分注：本题答案不唯一.（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，44B A =），设1(,)t t t t B B x y +=(1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥，得：11223312312330, 30, 30, 9, 1. x y x y x y x x x y y y +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩①②③④⑤由①②③式得11223,,.3333y x y x y x =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩这与⑤式矛盾，因此，折线C 无共轭折线. ………………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。

2014年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析版)

2014年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为R ，集合A ={x|x ≥1}，那么集合∁R A 等于（） A.{x|x >1} B.{x|x >−1} C.{x|x <1} D.{x|x <−1}2. 已知命题P:∀x ∈R ，x 2+x −1<0，则命题￢P 是（） A.∀x ∈R ，x 2+x −1≥0 B.∃x ∈R ，x 2+x −1≥0 C.∀x ∈R ，x 2+x −1>0 D.∃x ∈R ，x 2+x −1<03. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递增的是( ) A.y =x 3 B.y =cos x C.y =1x 2D.y =ln |x|4. 设a =log 23，b =log 43，c =sin 90∘，则（） A.a <c <b B.b <c <a C.c <a <bD.c <b <a5. 下面给出的四个点中，位于{x +y +1>0x −y +1<0表示的平面区域内，且到直线x −y +1=0的距离为√22的点是（） A.(−1, 1) B.(−2, 1) C.(0, 3) D.(1, 1)6. 已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →=λAB →+μAD →，则λ+μ＝（）A.2B.−2C.3D.−37. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A 、B 间的距离，李宁同学首先选定了与A 、B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别记为a 、b 、c)：①测量A 、C 、b ；②测量a 、b 、C ；③测量A 、B 、a ；则一定能确定A 、B 间距离的所有方案的序号为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③8. 已知点E 、F 分别是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AA 1的中点，点M 、N 分别是线段D 1E 与C 1F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有（） A.0条 B.1条C.2条D.无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.复数2+i 的模等于________．若抛物线y 2=2px(p >0)的准线经过双曲线x 2−y 2=1的左顶点，则p =________．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为________．下列函数中：①y=−sin2x；②y=cos2x；③y=3sin(2x+π4)，其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数f(x)=sin2x的图象重合的是________. (填上符合要求的函数对应的序号)已知实数a>0且a≠1，函数f(x)={a x，x<3ax+b,x≥3，若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N∗)，且{a n}是等差数列，则a=________，b=________．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如图：根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大，该区域种植密度为________株/m2．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=2√3sin x cos x−2sin2x+a，a∈R．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．如图所示为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况：记△x=本月价格指数-上月价格指数．规定：△x>0时，称本月价格指数环比增长；△x<0时，称本月价格指数环比下降；当△x=0时，称本月价格指数环比持平．（1）比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；（2）直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份．若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率；（3）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大．（结论不要求证明）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．(Ⅰ)求证：AB⊥平面AA1 C1C；(Ⅱ)若线段AC上的点D满足平面DEF // 平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(Ⅲ)证明：EF⊥A1C．已知函数f(x)=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．（1）求证：函数f(x)在点（0, f(0)）处的切线与f(x)总有两个不同的公共点；（2）若函数f(x)在区间(−1, 1)上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．已知椭圆G的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)．(Ⅰ)求椭圆G的方程；(Ⅱ)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．给定正整数k≥3，若项数为k的数列{a n}满足：对任意的i=1、2、…、k，均有a i≤S kk−1（其中S k=a1+a2+...+a k），则称数列{a n}为“Γ数列”．(1)判断数列−1，3，5，2，4和34，3242，3343是否是“Γ数列”，并说明理由；(2)若{a n}为“Γ数列”，求证：a i≥0对i=1，2，…，k恒成立；(3)设{b n}是公差为d的无穷项等差数列，若对任意的正整数m≥3，b1，b2，…，b m均构成“Γ数列”，求{b n}的公差d．参考答案与试题解析2014年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】根据全集R及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|x≥1}，∴∁R A={x|x<1}．故选：C．2.【答案】B【考点】命题的否定【解析】对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题，由此不难得到对命题“∃x<0，有x2>0”的否定．【解答】解：∵对命题：“∀x∈A，¬P(X)”否定是“∃x∈A，P(X)”∴对命题“∀x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1≥0”故选B．3.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性．【解答】解：A，函数y=x3为奇函数，在(0, +∞)上单调递增，所以A不合适；B，函数y=cos x为偶函数，但在(0, +∞)上不单调，所以B不合适；C，函数y=1x2为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，所以C不合适；D，函数y=ln|x|为偶函数，在(0, +∞)上单调递增，所以D合适．故选D. 4.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数的单调性、sin90∘=1即可得出．【解答】解：∵b=log43<log44=1，c=sin90∘=1，a=log23>log22=1．∴b<c<a．故选：B．5.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设到直线x−y+1=0的距离为√22的直线为x−y+a=0，则|a−1|√2=√22，即|a−1|=1，解得a=0或a=2，则对应的直线为x−y=0或x−y+2=0，则到直线x−y+1=0的距离为√22的点必在直线x−y+2=0上，故选：A．6.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量基本定理即可得出．【解答】如图所示，建立直角坐标系．则AD →=(1, 0)，AC →=(2, −2)，AB →=(1, 2)．∵ AC →=λAB →+μAD →，∴ (2, −2)＝λ(1, 2)+μ(1, 0)＝(λ+μ, 2λ)， ∴ {2=λ+μ−2=2λ ，解得λ＝−1，μ＝3． ∴ λ+μ＝2． 7.【答案】 D【考点】解三角形的实际应用【解析】根据图形，可以知道a ，b 可以测得，角A 、B 、C 也可测得，利用测量的数据，求解A ，B 两点间的距离唯一即可．【解答】解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A ，B 两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A ，B 两点间的距离．故选：D ． 8.【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】取BB 1的中点H ，连接FH ，在D 1E 上任取一点M ，过M 在面D 1HE 中，作MG 平行于HO ，其中O 为线段D 1E 的中点，交D 1H 于G ，再过G 作GN // FH ，交C 1F 于N ，连接MN ，根据线面平行的判定定理，得到GM // 平面ABCD ，NG // 平面ABCD ，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG // 平面ABCD ，由面面平行的性质得到则MN // 平面ABCD ，由于M 是任意的，故MN 有无数条．【解答】解：取BB 1的中点H ，连接FH ，则FH // C 1D ，连接HE ，在D 1E 上任取一点M ，过M 在面D 1HE 中，作MG 平行于HO ，其中O 为线段D 1E 的中点，交D 1H 于G ，再过G 作GN // FH ，交C 1F 于N ，连接MN ，O 在平面ABCD 的正投影为K ，连接KB ，则OH // KB ，由于GM // HO ，HO // KB ，KB ⊂平面ABCD ， GM ⊄平面ABCD ，所以GM // 平面ABCD ，同理由NG // FH ，可推得NG // 平面ABCD ，由面面平行的判定定理得，平面MNG // 平面ABCD ，则MN // 平面ABCD ．由于M 为D 1E 上任一点，故这样的直线MN 有无数条．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【答案】√5【考点】复数的模【解析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：∵ z =2+i ，∴ |z|=√22+12=√5．故答案为：√5．【答案】 2【考点】双曲线的特性【解析】先求出x 2−y 2=1的左顶点，得到抛物线y 2=2px 的准线，依据p 的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x 2−y 2=1的左顶点为(−1, 0)，故抛物线y 2=2px 的准线为x =−1， ∴ p2=1，∴ p =2，故答案为：2．【答案】 8【考点】程序框图【解析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件n >10，确定输出S 的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S =1，n =2；第二次循环S =1+2=3，n =22+1=5；第三次循环S =3+5=8．n =52+1=26．满足条件n >10，跳出循环体，输出S =8．故答案为：8．【答案】①②【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用诱导公式的应用，根据y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：对于①，把y=−sin2x的图象向左平移π2个单位，即可得到y=−sin2(x+π2)=sin2x的图象，故①满足条件；对于②，把y=cos2x=sin(2x+π2)的图象向右平移π4个单位，即可得到y=sin[2(x−π4)+π2]=sin2x的图象，故②满足条件；对于③，y=3sin(2x+π4)无论向左或向右平移多少个单位，图象上各点的纵坐标不变，故不能通过向左（或向右）平移的方法使它的图象与函数f(x)=sin2x的图象重合，故③不满足条件．故答案为：①②．【答案】2,0【考点】分段函数的应用【解析】由条件得到a n={a n，n<3an+b,n≥3，根据等差数列的定义，即可得到a2−a=a，3a+b−a2=a，求出a，b 即可．【解答】解：∵函数f(x)={a x，x<3ax+b,x≥3，∴a n={a n，n<3an+b,n≥3，∴a1=a，a2=a2，a3=3a+b，a4=4a+b，a5=5a+b，…，a n=na+b，∵{a n}是等差数列，∴a2−a=a，即有a=0（舍去）或2，∴3a+b−a2=a，即b=0，故答案为：2，0．【答案】5,3.6【考点】根据实际问题选择函数类型收集数据的方法【解析】根据图象求出种植密度函数以及单株产量函数即可得到结论．【解答】解：种植密度函数对应的直线经过点(1, 2.4)，(8, 4.5)，则对应直线的斜率k=4.5−2.48−1=2.17=0.3，则直线方程为y−2.4=0.3(x−1)，即y=0.3x+2.1，单株产量函数对应的直线经过点(1, 1.28)，(8, 0.72)，则对应直线的斜率k=1.28−0.721−8=0.56−7=−0.08，则直线方程为y−1.28=−0.08(x−1)，即y=−0.08x+1.36，即总产量m(x)=(0.3x+2.1)(−0.08x+1.36)=−0.024(x+7)(x−17)=−0.024(x2−10x−119)，∴当x=5时，函数m(x)有最大值，即5号区域的总产量最大，此时当x=5代入y=0.3x+2.1得y=0.3×5+2.1=3.6，故答案为：5，3.6．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【答案】解：（1）∵f(x)=√3sin2x+cos2x+a−1=2sin(2x+π6)+a−1，∴T=2π2=π，∴函数f(x)的最小正周期为π．（2）令f(x)=0，即2sin(2x+π6)+a−1=0，则a=1−2sin(2x+π6)，∵−1≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤1−2sin(2x+π6)≤3，∴若f(x)有零点，则实数a的取值范围是[−1, 3]．【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法【解析】（1）首先，利用二倍角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式确定该函数的最小正周期；（2）令f(x)=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解．【解答】解：（1）∵f(x)=√3sin2x+cos2x+a−1=2sin(2x+π6)+a−1，∴T=2π2=π，∴函数f(x)的最小正周期为π．（2）令f(x)=0，即2sin(2x+π6)+a−1=0，则a=1−2sin(2x+π6)，∵−1≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤1−2sin(2x+π6)≤3，∴若f(x)有零点，则实数a的取值范围是[−1, 3]．【答案】解：（1）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．--------------------（2）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月．------------------------------------------设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A，--------------------------------------在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况．---------∴P(A)=311−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（3）从2012年11月开始，2012年11月，12月，2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大．-----------------------------------------【考点】频率分布直方图【解析】由2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．（2）由2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数环比下降的月份；通过列举得出任取连续两个月和所选两个月的价格指数都环比下降的取法，利用古典概型的概率公式求出．（3）由2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数方差最大的月份【解答】解：（1）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．--------------------（2）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月．------------------------------------------设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A，--------------------------------------在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况．---------∴P(A)=311−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（3）从2012年11月开始，2012年11月，12月，2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大．-----------------------------------------【答案】（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥面A1CC1．(II)∵面DEF // 面ABC1，面ABC∩面DEF＝DE，面ABC∩面ABC1＝AB，∴AB // DE，∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．(III)证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，由(Ⅰ)得AB⊥A1C，∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥面ABC1，∴A1C⊥BC1．又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF // BC1，∴EF⊥AC1．【考点】直线与平面垂直【解析】（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．(II)由AB // DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．(III)由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．【解答】（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥面A1CC1．(II)∵面DEF // 面ABC1，面ABC∩面DEF＝DE，面ABC∩面ABC1＝AB，∴AB // DE，∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．(III)证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，由(Ⅰ)得AB⊥A1C，∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥面ABC1，∴A1C⊥BC1．又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF // BC1，∴EF⊥AC1．【答案】解：（1）f′(x)=x 2+2ax +4， ∴ f′(0)=4，且f(0)=b ；∴ 在点（0, f(0)）处的切线方程为：y =4x +b ；解{y =4x +by =13x 3+ax 2+4x +b 得：x =0，或x =−3a ；∵ a ≠0，方程组有两个不同解，∴ 切线与f(x)总有两个不同的公共点．（2）法一：f′(x)=x 2+2ax +4=(x +a)2+4−a 2，根据题意可知：4−a 2<0 ①方程x 2+2ax +4=0有两个实数根，x =−a −√a 2−4，或x =−a +√a 2−4；∴ {−1<−a −√a 2−4<1−a +√a 2−4>1 ②或{−1<−a +√a 2−4<1−a −√a 2−4<−1③∴ 解①得：a <−2，或a >2；当a <−2，或a >2时②的解是：a <−52；当a <−2，或a >2时③的解是：a >52． ∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．法二：∵ f(x)在区间(−1, 1)上有且仅有一个极值点， ∴ 由二次函数图象性质可得 f′(−1)f′(1)<0 即(5−2a)(5+2a)<0，解得a <−52或a >52，∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据函数在一点的导数与过这一点切线斜率的关系，求出切线的斜率，再求出f(0)，从而求出切线方程．切线与函数曲线有几个公共点，就看切线方程与函数f(x)形成的方程组有几个解，所以连立方程组便能证明（1）．对于第二问，首先要求令导函数等于0的解有两个不同解，并要求只有一个根在(−1, 1)上，从而求出a 的范围．【解答】解：（1）f′(x)=x 2+2ax +4， ∴ f′(0)=4，且f(0)=b ；∴ 在点（0, f(0)）处的切线方程为：y =4x +b ；解{y =4x +by =13x 3+ax 2+4x +b 得：x =0，或x =−3a ；∵ a ≠0，方程组有两个不同解，∴ 切线与f(x)总有两个不同的公共点．（2）法一：f′(x)=x 2+2ax +4=(x +a)2+4−a 2，根据题意可知：4−a 2<0 ①方程x 2+2ax +4=0有两个实数根，x =−a −√a 2−4，或x =−a +√a 2−4；∴ {−1<−a −√a 2−4<1−a +√a 2−4>1 ②或{−1<−a +√a 2−4<1−a −√a 2−4<−1③∴ 解①得：a <−2，或a >2；当a <−2，或a >2时②的解是：a <−52；当a <−2，或a >2时③的解是：a >52．∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．法二：∵ f(x)在区间(−1, 1)上有且仅有一个极值点， ∴ 由二次函数图象性质可得 f′(−1)f′(1)<0 即(5−2a)(5+2a)<0，解得a <−52或a >52，∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．【答案】（1）∵ 椭圆G 的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)， ∴ 设椭圆G 的方程为：x 2a 2+y 2=1,(a >1)．由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，解得a 2＝2，∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．（2）以MN 为直径的圆是不过点A ．理由如下：∵ C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点， ∴ 设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)． ∵ A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 直线AC 的方程为y =y 0−1x 0x +1．令y ＝0，得x M =−x 0y 0−1，∴ M(−x 0y 0−1,0)．同理直线BD 的方程为y =y 0+1−x 0x −1，令y ＝0，解得N(−x 0y+1,0)． AM →=(x 01−y 0,−1)，AN →=(−x 01+y 0,−1)，∴ AM →⋅AN →=−x 021−y 02+1，由C(x 0, y 0)在椭圆G:x 22+y 2=1上，∴ x 02=2(1−y 02)，∴ AM →⋅AN →=−1≠0，∴ ∠MAN ≠90∘，∴ 以线段MN 为直径的圆不过点A ．【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】(Ⅰ)由已知条件设椭圆G 的方程为：x 2a 2+y 2=1,(a >1)．由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，由此能求出椭圆的标准方程．(Ⅱ)设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)，由已知条件推导出AM →⋅AN →=−x021−y 02+1，x 02=2(1−y 02)，由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A ．【解答】（1）∵椭圆G 的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 设椭圆G 的方程为：x 2a 2+y 2=1,(a >1)．由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，解得a 2＝2，∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．（2）以MN 为直径的圆是不过点A ．理由如下： ∵ C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点， ∴ 设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)． ∵ A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 直线AC 的方程为y =y 0−1x 0x +1．令y ＝0，得x M =−x 0y0−1，∴ M(−x 0y0−1,0)．同理直线BD 的方程为y =y 0+1−x 0x −1，令y ＝0，解得N(−x 0y0+1,0)．AM →=(x 01−y 0,−1)，AN →=(−x 01+y 0,−1)，∴ AM →⋅AN →=−x21−y 02+1，由C(x 0, y 0)在椭圆G:x 22+y 2=1上，∴ x 02=2(1−y 02)，∴ AM →⋅AN →=−1≠0，∴ ∠MAN ≠90∘，∴ 以线段MN 为直径的圆不过点A ．【答案】解：(1)①因为S 55−1=134<5，数列−1，3，5，2，4不是“Γ数列，②因为S 33−1=111128>34，又34是数列34，3242，3343中的最大项所以数列34，3242，3343是“Γ数列”．(2)反证法证明：假设存在某项a i <0，则a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k =S k −a i >S k ．设a j =max {a 1, a 2, ...a i−1, a i+i ..., a k−1+a k }，则S k −a i =a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k ≤(k −1)a j ，所以(k −1)a j >S k ，即a j >S k k−1，这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． (3)由(2)问可知b 1≥0，d ≥0． ①当d =0时，b 1=b 2=...=b m =S m m<S mm−1，符合题设；②当d >0时，b 1<b 2<...<b m ，由“Γ数列”的定义可知b m ≤S mm−1，即(m −1)[b 1+(m −1)d]≤mb 1+12m(m −1)d ，整理得(m −1)(m −2)d ≤2b 1(∗)显然当m =2b 1+3时，上述不等式(∗)就不成立所以d >0时，对任意正整数m ≥3，(m −1)(m −2)d ≤2b 1不可能都成立．综上讨论可知{b n }的公差d =0．【考点】数列的求和等差数列的通项公式数列的概念及简单表示法【解析】（1）根据“Γ数列”的定义，即可判断数列−1，3，5，2，4和34，3242，3343是否是“Γ数列”，（2）若{a n }为“Γ数列”，利用反证法即可证明：a i ≥0对i =1，2，…，k 恒成立；（3）【解答】解：(1)①因为S 55−1=134<5，数列−1，3，5，2，4不是“Γ数列，②因为S 33−1=111128>34，又34是数列34，3242，3343中的最大项所以数列34，3242，3343是“Γ数列”．(2)反证法证明：假设存在某项a i <0，则a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k =S k −a i >S k ．设a j =max {a 1, a 2, ...a i−1, a i+i ..., a k−1+a k }，则S k −a i =a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k ≤(k −1)a j ，所以(k −1)a j >S k ，即a j >S k k−1，这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． (3)由(2)问可知b 1≥0，d ≥0． ①当d =0时，b 1=b 2=...=b m =S m m<Smm−1，符合题设；②当d >0时，b 1<b 2<...<b m ，由“Γ数列”的定义可知b m ≤S m m−1，即(m −1)[b 1+(m −1)d]≤mb 1+12m(m −1)d ，整理得(m −1)(m −2)d ≤2b 1(∗)显然当m =2b 1+3时，上述不等式(∗)就不成立所以d >0时，对任意正整数m ≥3，(m −1)(m −2)d ≤2b 1不可能都成立．综上讨论可知{b n }的公差d =0．。

北京市海淀区高二下期中数学文科试题(答案)

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是( )A. B. C. D.2.下列导数运算错误的是（）A. B. C. D.3. 函数的图象如图所示，则的极大值点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.已知函数的导函数.若在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5. 已知两个命题：“若复数满足，则.”“存在唯一的一个实数对使得.”其真假情况是（）A.真假B. 假假C. 假真D. 真真6. 一个高为H容积为V的鱼缸的轴截面如图所示.现向空鱼缸内注水，直到注满为止.当鱼缸水深为h时，水的体积记为v.函数v＝f(h)的大致图象可能是( )7.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）8.已知函数，其导函数的图象如图所示，则函数的图象只可能是（）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.9.计算=_________.10.已知，则______________.11. 若函数是增函数，则实数的范围是_______________.12. 已知数列满足，且，则________，通项______________（用表示）.三、解答题:本大题共5小题,共52分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.（本小题12分）已知函数，其导函数为的部分值如下表所示：-2 0 1 3 8-10 6 8 0 -90根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数的值为___________；当 ________时，取得极大值（将答案填写在横线上）. （Ⅱ）求实数，的值.（Ⅲ）求的单调区间.14.（本小题10分）如图，四棱锥的底面满足 DE //AC，AC=2DE.（Ⅰ）若DC⊥平面ABC， AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD;（Ⅱ）求证：在平面内不存在直线与平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.（Ⅰ）证明：欲证平面平面BCD，只需证_______________________________，由已知AB⊥BC，只需证________________，由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD.（Ⅱ）证明：假设______________________________________，又因为平面，所以平面.又因为平面平面=,所以__________________，又因为DE //AC，所以是平行四边形，所以，这与_____________________________矛盾，所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）已知函数（）.（Ⅰ）若直线是函数在点处的切线，求实数的值；（Ⅱ）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.16. （本小题10分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.若数集具有性质，求的值.解：对于集合中最大的数，因为，，.所以,,都属于该集合.又因为，所以.所以,，故.问题2：已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.若数集具有性质，求的值.17. （本小题8分）阅读下面的一段文字，并解决后面的问题：我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况，例如，研究方程的解的情况：因为方程的同解方程有，等多种形式，所以，我们既可以选用函数，也可以选用函数，通过研究两函数图象的位置关系来研究方程的解的个数情况.因为函数的选择，往往决定了后续研究过程的难易程度，所以从函数的角度来研究方程的解的情况，首先要注意函数的选择.请选择合适的函数来研究该方程的解的个数的情况，记为该方程的解的个数.请写出的所有可能取值，并对的每一个取值，分别指出你所选用的函数，画出相应图象（不需求出的数值）.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.AABD CABD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.9. 10. 11. 12. 9（说明：一题两空的题目，每空2分）三、解答题:本大题共5小题,共52分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.（本小题12分）（Ⅰ）6，3. —————————————————————–4分（Ⅱ）解：，————————————————————-5分由已知表格可得解得——————————————–7分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得，———————8分因为和时，时，——-10分所以的单调增区间为，单调减区间为和.——–12分14.（本小题10分）（Ⅰ）证明：欲证平面平面BCD，只需证平面，————————————————————2分由已知AB⊥BC，只需证，————————————————-4分由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD.（Ⅱ）证明：假设在平面内存在直线与平行，———————————6分又因为平面，所以平面.又因为平面平面=,所以，—————————————8分又因为DE //AC，所以是平行四边形，所以，这与矛盾，———————————————10分所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）（Ⅰ）解：因为，.———————————————————-2分由已知可得，解得.—————————————-3分因为，所以，解得.——————————–4分（Ⅱ）解1：当时，因为，所以不合题意.———————-6分当时，对任意，都有成立.——–7分当时，令，解得，情况如下：—————————————9分所以的最大值为. ————————————————-10分所以，依题意有，————————11分因为，所以，即.综上，所求的取值范围为.———————————————-12分解2：对任意的，都有成立，即成立，设，当时，因为，显然不恒成立.—————6分当时，不等式显然成立.—————————————————–7分当时，，则，的情况如下：——————————-9分所以的最大值为，——————————————–10分故只需，即.———————————————————11分综上，所求的取值范围为.———————————————-12分16. （本小题10分）解：对于集合中最大的数，因为，，————2分所以,,,都属于该集合.—————————————4分又因为，所以.——————6分所以,,————————————————————-8分即.——————————————————————————-10分17. （本小题8分）解：的可能取值为0，1，2，3.的可能取值所选用的函数图象位置关系与2分与2分与2分与2分说明：其它选择函数的方法相对应给分即可。

2013-2014年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2013-2014学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．（4分）复数z＝i（i+2）的虚部是（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i2．（4分）计算dx的结果是（）A．e B．1﹣e﹣2C．1D．e﹣13．（4分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么下面说法正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值4．（4分）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g （x）在x＝x0处的瞬时变化率D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率5．（4分）用反证法证明命题“已知A，B，C，D是空间中的四点，直线AB与CD是异面直线，则直线AC和BD也是异面直线．”应假设（）A．直线AC和BD是平行直线B．直线AB和CD是平行直线C．直线AC和BD是共面直线D．直线AB和CD是共面直线6．（4分）已知函数f（x）＝x sin x，记m＝f（﹣），n＝f（），则下列关系正确的是（）A．m＜0＜n B．0＜n＜m C．0＜m＜n D．n＜m＜0 7．（4分）已知曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1，设函数f（x）＝g（2x﹣1），则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线方程为（）A．y＝2x+1B．y＝4x﹣1C．y＝2x﹣1D．y＝4x+1 8．（4分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（）A．f（1）＞ef（0）B．f（1）＜ef（0）C．f（1）＞f（0）D．f（1）＜f（0）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）函数f（x）＝x﹣2lnx的单调递增区间为．10．（4分）已知复数z满足|z|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是．11．（4分）曲线y＝x2与直线y＝x所围成图形的面积为．12．（4分）设正三棱柱（底边为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为．13．（4分）观察不等式：1++＜2，1+++…+＜3，1+++…+＜4，1+++…+＜5，…，由此归纳第n个不等式为．要用数学归纳法证明该不等式，由n＝k（k≥1）时不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的项数为．14．（4分）根据“已知点A（a0，0）是圆C1：+＝1外一点，设不垂直于x轴的直线l与圆C1交于P，Q两点，若x轴是∠P AQ的平分线，则直线l过定点A′（，0）”，通过类比可推知“已知点B（b0，0）是椭圆C2：+＝1（a＞b＞0）外一定点，设不垂直于x轴的直线l′与椭圆C2交于P′，Q′两点，若x轴是∠P′BQ′的平分线，则直线l′过定点B′”．（将点的坐标填入前面的横线上）三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱P A的中点，PD⊥BC．求证：（Ⅰ）PC∥平面BED；（Ⅱ）△PBC是直角三角形．16．（11分）已知函数f（x）＝ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值．17．（12分）已知函数f（x）＝e a﹣x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数g（x）＝xf（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定函数h（x）＝f（x）+x的零点个数，并说明理由．18．（11分）在平面直角坐标系中，对于一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n，若能再作出一条折线C′：A1﹣B2﹣B3﹣…﹣B n﹣A n，使得A1B2⊥A1A2，B2B3⊥﹣1A2A3，…，B n﹣1A n⊥A n﹣1A n（其中A1，A2，A3，…，A n，B2，B3，…，B n﹣1都是整点），则称折线C′是折线C的一条共轭折线（说明：横、纵坐标均为整数的点成为整点）．（Ⅰ）请分别判断图（1），（2）中，虚折线是否是实折线的一条个，共轭折线；（Ⅱ）试判断命题“对任意的n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n有共轭折线”的真假，并举例说明；（Ⅲ）如图（3），折线C：A1﹣A2﹣A3﹣A4，其中A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）．求证：折线C无共轭折线．2013-2014学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．（4分）复数z＝i（i+2）的虚部是（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i【解答】解：∵z＝i（i+2）＝﹣1+2i．∴复数z＝i（i+2）的虚部是2．故选：B．2．（4分）计算dx的结果是（）A．e B．1﹣e﹣2C．1D．e﹣1【解答】解：dx＝．故选：C．3．（4分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么下面说法正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值【解答】解：①在（﹣3，﹣），（2，4）上，f′（x）＜0，∴f（x）是减函数，②在（﹣，2），（4，5）上，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数，③x＝2时，取到极大值；故选：C．4．（4分）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g （x）在x＝x0处的瞬时变化率D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是，g（x）在a到b之间的平均变化率是，∴＝，即二者相等；∴选项A、B错误；对于C、D，∵函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x＝x0处的导数，即函数f（x）在该点处的切线的斜率，同理函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x＝x0处的导数，即函数g（x）在x＝x0处的切线的斜率，由图形知，选项C错误，D正确．故选：D．5．（4分）用反证法证明命题“已知A，B，C，D是空间中的四点，直线AB与CD是异面直线，则直线AC和BD也是异面直线．”应假设（）A．直线AC和BD是平行直线B．直线AB和CD是平行直线C．直线AC和BD是共面直线D．直线AB和CD是共面直线【解答】解：用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”应假设直线AC、BD是共面直线，故选：C．6．（4分）已知函数f（x）＝x sin x，记m＝f（﹣），n＝f（），则下列关系正确的是（）A．m＜0＜n B．0＜n＜m C．0＜m＜n D．n＜m＜0【解答】解：∵f（x）＝x sin x，∴f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）是偶函数，∴m＝f（﹣）＝f（）当0时，函数y＝x，单调递增，y＝sin x单调递增，且此时f（x）＞0，∴此时f（x）＝x sin x在0上单调递增，∵＞，∴f（）＞f（）＞0，即f（﹣）＞f（）＞0，∴0＜n＜m，故选：B．7．（4分）已知曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1，设函数f（x）＝g（2x﹣1），则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线方程为（）A．y＝2x+1B．y＝4x﹣1C．y＝2x﹣1D．y＝4x+1【解答】解：曲线y＝g（x）在（1，g（1））处的切线是y＝2x+1，则：切点是（1，3），斜率是k＝2，得：g（1）＝3、g'（1）＝2，由f（x）＝g（2x﹣1），得：f′（x）＝2g′（2x﹣1），切线斜率k＝f′（1）＝2g′（1）＝2×2＝4．f（1）＝g（1）＝3，切点是（1，3），得切线是：y﹣3＝4（x﹣1），即：y＝4x﹣1．故选：B．8．（4分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（）A．f（1）＞ef（0）B．f（1）＜ef（0）C．f（1）＞f（0）D．f（1）＜f（0）【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝＝，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（1）＞g（0），即，∴f（1）＞ef（0），故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）函数f（x）＝x﹣2lnx的单调递增区间为（2，+∞）．【解答】解：由题意知函数的定义域为（0，+∞）．函数f（x）＝x﹣2lnx的导数为，由f'（x）＞0，即，解得x＞2．此时函数单调递增．所以函数f（x）＝x﹣2lnx的单调增区间为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．10．（4分）已知复数z满足|z|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是4π．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），由|z|≤2，得，即x2+y2≤4．∴复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形是半径为2的圆．其面积为4π．故答案为：4π．11．（4分）曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积为．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y ＝x 与曲线y ＝x 2所围图形的面积S ＝∫01（x ﹣x 2）dx而∫01（x ﹣x 2）dx ＝（ ﹣）|01＝﹣＝∴曲边梯形的面积是故答案为：．12．（4分）设正三棱柱（底边为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为 2 ．【解答】解：设正三棱柱的底面边长为x ，高为h ，∵体积为2，∴×x 2×h ＝2，∴h ＝，∴棱柱的表面积S ＝2××x 2+3xh ＝x 2+＝x 2++≥6，当x 3＝8时，即x ＝2时，取“＝”．故答案为：2．13．（4分）观察不等式：1++＜2，1+++…+＜3，1+++…+＜4，1+++…+＜5，…，由此归纳第n 个不等式为．要用数学归纳法证明该不等式，由n＝k（k≥1）时不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的项数为2k+1．【解答】解：第一空：∵不等式的右侧：2＝1+1，3＝2+1，4＝3+1，…左侧：每一项分别有：22﹣1，23﹣1，24﹣1，…项，每一项中最后一项的分母为：．∴由此归纳第n个不等式为：，第二空：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n＝k，末项为，到n＝k+1，末项为，∴应增加的项数为2k+1．故答案为：；2k+1（注：每空2分）14．（4分）根据“已知点A（a0，0）是圆C1：+＝1外一点，设不垂直于x轴的直线l与圆C1交于P，Q两点，若x轴是∠P AQ的平分线，则直线l过定点A′（，0）”，通过类比可推知“已知点B（b0，0）是椭圆C2：+＝1（a＞b＞0）外一定点，设不垂直于x轴的直线l′与椭圆C2交于P′，Q′两点，若x轴是∠P′BQ′的平分线，则直线l′过定点B′”．（将点的坐标填入前面的横线上）【解答】解：根据“已知点A（a0，0）是圆C1：+＝1外一点，设不垂直于x轴的直线l与圆C1交于P，Q两点，若x轴是∠P AQ的平分线，则直线l 过定点A′（，0）”中，A′点横坐标的分子为的分母，分子是A点的横坐标，可以类比得到：“已知点B（b0，0）是椭圆C2：+＝1（a＞b＞0）外一定点，设不垂直于x轴的直线l′与椭圆C2交于P′，Q′两点，若x轴是∠P′BQ′的平分线，则直线l′过定点B′，故答案为：（注：回答出给（4分）；答案为或或给（3分）；其它答案酌情给1～（2分）；未作答，给0分）三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱P A的中点，PD⊥BC．求证：（Ⅰ）PC∥平面BED；（Ⅱ）△PBC是直角三角形．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE．在矩形ABCD中，AO＝OC．因为AE＝EP，所以OE∥PC．因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．（Ⅱ）在矩形ABCD中，BC⊥CD．因为PD⊥BC，CD∩PD＝D，PD⊂平面PDC，DC⊂平面PDC，所以BC⊥平面PDC．因为PC⊂平面PDC，所以BC⊥PC．即△PBC是直角三角形．16．（11分）已知函数f（x）＝ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ax3+3x+2，∴f'（x）＝3ax2+3．∵函数f（x）的一个极值点是1，∴f'（1）＝3a+3＝0．解得：a＝﹣1．经检验，a＝﹣1满足题意．∴f（x）＝﹣x3+3x+2，∴f（2）＝0，f'（2）＝﹣9．∴曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y＝﹣9（x﹣2），即9x+y﹣18＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f'（x）＝﹣3x2+3．令f'（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝1．当x在[﹣2，3]上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表∴函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值为4，最小值为﹣16．17．（12分）已知函数f（x）＝e a﹣x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数g（x）＝xf（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定函数h（x）＝f（x）+x的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）＝xe a﹣x，x∈R，∴g'（x）＝（1﹣x）e a﹣x．令g'（x）＝0，得x＝1．当x变化时，g（x）和g'（x）的变化情况如下：故g（x）的单调递减区间为（1，+∞）；单调递增区间为（﹣∞，1）．（Ⅱ）∵h（x）＝e a﹣x+x，∴h'（x）＝1﹣e a﹣x．令h'（x）＝0，得x＝a．当x变化时，h（x）和h'（x）的变化情况如下：即h（x）的单调递增区间为（a，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，a）．∴h（x）的最小值为h（a）＝1+a．①当1+a＞0，即a＞﹣1时，函数h（x）不存在零点．②当1+a＝0，即a＝﹣1时，函数h（x）有一个零点．③当1+a＜0，即a＜﹣1时，h（0）＝e a＞0，下证：h（2a）＞0．令m（x）＝e x﹣2x，则m'（x）＝e x﹣2．解m'（x）＝e x﹣2＝0得x＝ln2．当x＞ln2时，m'（x）＞0，∴函数m（x）在[ln2，+∞）上是增函数．取x＝﹣a＞1＞ln2，得：m（﹣a）＝e﹣a+2a＞e ln2﹣2ln2＝2﹣2ln2＞0．∴h（2a）＝e﹣a+2a＝m（﹣a）＞0．结合函数h（x）的单调性可知，此时函数h（x）有两个零点．综上，当a＞﹣1时，函数h（x）不存在零点；a＝﹣1时，函数h（x）有一个零点；当a＜﹣1时，函数h（x）有两个零点．18．（11分）在平面直角坐标系中，对于一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n，若能再﹣A n，使得A1B2⊥A1A2，B2B3⊥作出一条折线C′：A1﹣B2﹣B3﹣…﹣B n﹣1A2A3，…，B n﹣1A n⊥A n﹣1A n（其中A1，A2，A3，…，A n，B2，B3，…，B n﹣1都是整点），则称折线C′是折线C的一条共轭折线（说明：横、纵坐标均为整数的点成为整点）．（Ⅰ）请分别判断图（1），（2）中，虚折线是否是实折线的一条个，共轭折线；（Ⅱ）试判断命题“对任意的n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n有共轭折线”的真假，并举例说明；（Ⅲ）如图（3），折线C：A1﹣A2﹣A3﹣A4，其中A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）．求证：折线C无共轭折线．【解答】解：（Ⅰ）（1）不是，因为线段A1B2与线段A1A2不垂直；（2）不是，因为线段B2B3与线段A2A3不垂直．…（2分）（Ⅱ）命题“对任意n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A1﹣A2﹣…﹣A n有共轭折线”是真命题．理由如下：当n为奇数时，不妨令n＝2k﹣1，k＝2，3，4，…，取折线C：A1﹣A2﹣…﹣A2k．其中A i（a i，b i）（i＝1，2，…，2k﹣1），﹣1＝0（i＝1，2，…，k），b2i＝1（i＝1，满足a i＝i﹣1（i＝1，2，…，2k﹣1），b2i﹣12，…，k﹣1）．则折线C的共轭折线为折线C关于x轴对称的折线．如图所示．当n为偶数时，不妨令n＝2k，k＝2，3，4，…，取折线C：A1﹣A2﹣…﹣A2k．其中A i（a i，b i）（i＝1，2，…，2k），满足a i＝i﹣1（i＝1，2，…，2k﹣1），a2k＝2k，b2i＝0（i＝1，2，…，k），b2i﹣1＝1（i＝1，2，…，k）．折线C的共轭折线为折线C'：B1﹣B2﹣…﹣B2k．其中B i（x i，y i）（i＝1，2，…，2k）满足：x i＝i﹣1（i＝1，2，…，2k﹣3），x2k﹣2＝2k﹣1，x2k﹣1＝2k+1，x2k＝2k，y2i﹣1＝0（i＝1，2，…，k﹣1），y2i＝﹣1（i＝1，2，…，k﹣2），y2k﹣2＝﹣3，y2k﹣1＝﹣1，y2k＝1．如图所示．…（7分）注：本题答案不唯一．证明：（Ⅲ）假设折线B1﹣B2﹣B3﹣B4是题设中折线C的一条共轭折线（其中B1＝A1，B4＝A4），设（t＝1，2，3），显然x t，y t为整数．则由B t B t+1⊥A t A t+1，得：由①②③式得这与⑤式矛盾，因此，折线C无共轭折线．…（11分）。

北京师大附中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案

北京师大附中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）试卷说明：本试卷满分150分，考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ，()g x 满足'()'()f x g x =，则()f x 与()g x 满足（）A ．()f x =2 ()g xB ．()f x －()g x 为常数函数C ．()f x =()g x =0D ．()f x ）+()g x 为常数函数2．设函数()f x 的图象如图，则函数'()y f x =的图象可能是下图中的（）3．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真的是（） A ．p 且q B ．非p C ．p 或q D ．非p 且非q4．设复数3z i =+ （i 为虚数单位）在复平面内对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知命题p ：1x ∀，2R x ∈，2121(()())()0f x f x x x --≥，则p ⌝是（） A ．1x ∃，2R x ∈，2121(()())()0f x f x x x --≤ B ．1x ∀，2R x ∈，2121(()())()0f x f x x x --≤ C ．1x ∃，2R x ∈，2121(()())()0f x f x x x --< D ．1x ∀，2R x ∈，2121(()())()0f x f x x x --<6．曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（）A ．0BC ．D ．7．函数()f x 的导数'()f x 的图象是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴交点坐标为（1,0），若11a b -<-，则()f a 与()f b 的大小关系为（）A ．()()f a f b >B ．()()f a f b <C ．()()f a f b =D ．无法确定 8．设()f x 是定义在R 上的可导函数，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为（） A ．1 B ．2 C ．0 D ．0或2二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．若复数1z a i =+，21z i =+（i 为虚数单位）且12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为____________． 10．设全集{1,2,3,4,5}U MN ==，{2,4}U MN =ð，则N=___________________． 11．设函数11(0)2()1(0)x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a =，则实数a 的值为_____________．12．函数()y f x =的定义域为[-2,4]，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域为_____________． 13．设1|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}|B x x b a =-<，若“A B ≠∅”是“1a =”的必要条件，则实数b 的取值范围是_____________．14．已知32()69,,f x x x x abc a b c =-+-<<且()()()0f a f b f c ===。

北京师大附中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案

北京师大附中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 集合{}N x x y N y ∈+-=∈,6|2的真子集的个数是（） A. 9B. 8C. 7D. 62. 下列哪一组中的函数()x f 与()x g 相等（）A. ()1-=x x f ，()12-=xx x g B. ()()()42,x x g x x f ==C. ()()362,x x g x x f ==D. ()()xx g x x f 2log 2,==3. 已知集合{}1,log |2>==x x y y A ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==1,21|x y y B x，则B A ⋂=（）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210|y yB. {}10|<<y yC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121|y yD. φ4. 命题p ：函数()542+-=mx x x f 在区间[]∞+-,2上是增函数，命题q ：16-=m ，则p 是q 的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. ()=x f 21++x ax 在区间()∞+-,2上单调递增，实数a 的取值范围是（） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+,21C. ()∞+-,2D. ()()∞+⋃-∞-,11,6. 已知定义域为R 的函数()x f 在区间()5,∞-上单调递减，对任意实数t ，都有()()t f t f -=+55，那么下列式子一定成立的是（）A. ()()()391f f f <<-B. ()()()1913-<<f f fC. ()()()1319f f f <-<D. ()()()9113f f f <-<7. 已知函数()⎩⎨⎧<≥=,cos sin ,cos ,cos sin ,sin x x x x x x x f 则下面结论中正确的是A. ()x f 是奇函数B. ()x f 的值域是]1,1[-C. ()x f 是偶函数D. ()x f 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,22 8. 已知函数()x f 的定义域为R ，若∃常数0>c ，对R x ∈∀，有()()c x f c x f ->+，则称函数()x f 具有性质P ，给定下列三个函数：①()||x x f =②()x x f sin =；③()x x x f -=3其中，具有性质P 的函数的序号是（） A. ①B. ③C. ①②D. ②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

【解析】北京二十四中2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试卷 Word版含解析[ 高考]

2014-2015学年北京二十四中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.）1．设集合A={﹣2，0，2，4}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，2，4}2．命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0 B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0 D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥03．“a＞b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣25．函数f（）=，则函数f（x）的解析式是（）A．（x≠0）B．1+x C．D．（x≠0）6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|7．已知f（x）=，若f（x）=2，则x的值是（）A．1或2 B．2或﹣1 C．1或﹣2 D．±1或±28．计算lg﹣8的值为（）A．﹣B．C．D．﹣49．设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=（）A．10 B．20 C．40 D．8011．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的递增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．[，3）D．（1，3）12．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分.）13．若幂函数f（x）的图象过点，则=．14．函数f（x）=+lgx的定义域是．15．定义在R上的奇函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（﹣x），当x∈（0，2）时，f （x）=4x，则f（2015）=．16．函数f（x）=（x2﹣5x+6）的单调递增区间为．17．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，则满足不等式f（x）＞0的x 的取值范围是．18．设函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=_；若函数f（x）与y=k 存在两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本题共4小题，共40分.）19．（10分）（2015春•北京校级期中）设全集U=R，集合A={x|（x+6）（3﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．20．（10分）（2015春•南昌校级期末）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．21．（10分）（2015春•北京校级期中）已知函数y=﹣3x2+2ax﹣1，x∈[0，1]，记f（a）为其最小值，求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．．22．（10分）（2015春•北京校级期中）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并加以证明．（Ⅲ）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2014-2015学年北京二十四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.）1．设集合A={﹣2，0，2，4}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，2，4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A={﹣2，0，2，4}，∴A∩B={0，2}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0 B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0 D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是∃x∈R，x2﹣3x+2＜0，故选：A．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握含有量词的命题规律．3．“a＞b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立．当a=﹣1，b=1时，满足，但a＞b不成立．∴“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．解答：解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，故选D．点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．5．函数f（）=，则函数f（x）的解析式是（）A．（x≠0）B．1+x C．D．（x≠0）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法直接求解函数的解析式即可．解答：解：函数f（）=，令，则f（t）==，可得函数f（x）的解析式是：f（x）=（x≠0）．故选：A．点评：本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．已知f（x）=，若f（x）=2，则x的值是（）A．1或2 B．2或﹣1 C．1或﹣2 D．±1或±2考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，f（x）=2，∴当x≤0时，log2（|x|+2）=2，|x|+2=4，解得x=﹣2，或x=2（舍），当x＞0时，x2+1=2，解得x=1或x=﹣1（舍）．∴x=﹣2或x=1．故选：C．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．8．计算lg﹣8的值为（）A．﹣B．C．D．﹣4考点：对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则，即可得出结论．解答：解：lg﹣8=﹣4﹣=﹣4，故选：D．点评：本题考查对数的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．9．设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数、幂函数及指数函数的单调性即可比较出大小．解答：解：∵log70.3＜log71=0，0＜0.37＜0.30=1，1=70＜70.3，∴c＜b＜a，故选B．点评：熟练掌握对数函数、幂函数及指数函数的单调性是解题的关键．注意与0、1的比较．10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=（）A．10 B．20 C．40 D．80考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式．分析：根据已知条件便可得，一年的总费用和总存储费用之和为，当x=20时取“=“，这便求出了使一年的总费用和总存储费用之和最小时的x值了．解答：解：由已知条件知，一年的总费用与总存储费用之和为；当，即x=20时取“=“；即要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=20．故选B．点评：考查对基本不等式：a+b，a＞0，b＞0，的运用，注意等号成立的条件．11．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的递增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．[，3）D．（1，3）考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：本题考查的是分段函数和函数单调性的综合类问题．在解答时，首先得保证函数在各段上是增函数，然后保证x=1时x＜1对应的上限要小于等于x≥1时函数对应的下限．解不等式进而获得问题的解答．解答：解：由题意：函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的递增函数，所以必有：，解得：，故选C．点评：本题考查的是分段函数和函数单调性的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的思想、解不等式的思想以及数形结合的思想．值得同学们体会和反思．12．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．解答：解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A点评：对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分.）13．若幂函数f（x）的图象过点，则=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设出幂函数的解析式，然后把点的坐标代入求出幂指数即可．解答：解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，∴，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．==2﹣1=故答案为：．点评：本题考查了幂函数的概念，是会考常见题型，是基础题．14．函数f（x）=+lgx的定义域是（0，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．解答：解：由，解得0＜x≤1．∴函数f（x）=+lgx的定义域是（0，1]．故答案为：（0，1]．点评：本题考查函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．15．定义在R上的奇函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（﹣x），当x∈（0，2）时，f （x）=4x，则f（2015）=﹣4．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件f（x+2）=f（﹣x），得到函数的周期是4，利用函数的奇偶性，将条件进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）=f（﹣x），f（x）关于x=1对称，函数是奇函数，f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），可得函数是周期函数．∴函数f（x）的周期是4，∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），∵当x∈（0，2）时，f（x）=4x，∴f（1）=4，∴f（2015）=﹣f（1）=﹣4，故答案为：﹣4．点评：本题主要考查函数值的计算，抽象函数的应用，根据函数奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．16．函数f（x）=（x2﹣5x+6）的单调递增区间为（﹣∞，2）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣5x+6＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=t，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间．解答：解：令t=x2﹣5x+6＞0，求得函数的定义域为{x|x＜2或x＞3}，且f（x）=t，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域{x|x＜2或x＞3}内的减区间为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．17．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，则满足不等式f（x）＞0的x 的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：首先令x＜0，则﹣x＞0，结合已知条件和奇函数的性质，求出此时f（x）的解析式，又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0两种情况分别求出f（x）＞0的解集，最后求其并集．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣f（﹣x），∵x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=log2（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣log2（﹣x），当x=0时，f（0）=0；∴f（x）=当x＞0时，由log2x＞0解得x＞1，当x＜0时，由﹣log2（﹣x）＞0解得x＞﹣1，∴﹣1＜x＜0，综上，得x＞1或﹣1＜x＜0，故x的取值范围为（﹣1，0）U（1，+∞）．故答案为：（﹣1，0）U（1，+∞）．点评：本题通过不等式的求解，考查了分段函数解析式的求法和奇函数的性质，同时考查了转化思想和分类讨论思想以及学生的基本运算能力，是高考热点内容．18．设函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=_﹣2；若函数f（x）与y=k存在两个交点，则实数k的取值范围是（0，1]．考点：函数的图象；函数的值；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数求解函数值即可．解答：解：函数f（x）=，则f（﹣1）=4﹣1，f[f（﹣1）]=f（4﹣1）=log24﹣1=﹣2；函数f（x）与y=k的图象为：两个函数存在两个交点，则实数k的取值范围：0＜k≤1．故答案为：﹣2；（0，1]．点评：本题考查函数的值的求法，函数的图象以及函数的零点的求法，考查计算能力．三、解答题（本题共4小题，共40分.）19．（10分）（2015春•北京校级期中）设全集U=R，集合A={x|（x+6）（3﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（Ⅰ）解二次不等式，求出A，解对数不等式求出B，进而可求A∩（∁U B）；（Ⅱ）由C={x|2a＜x＜a+1}，B∩C=C，分C=∅和C≠∅两种情况，讨论满足条件的a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（Ⅰ）∵集合A={x|（x+6）（3﹣x）≤0}={x|x≤﹣6，或x≥3}，B={x|log2（x+2）＜4}={x|﹣2＜x＜14}．∴∁U B={x|x≤﹣2，或x≥14}，∴A∩（∁U B）={x|x≤﹣6，或x≥14}，（Ⅱ）∵C={x|2a＜x＜a+1}，B∩C=C，当2a≥a+1，即a≥1时，C=∅，满足条件，当2a＜a+1，即a＜1时，若B∩C=C，则C⊆B，则﹣2≤2a＜a+1≤14，解得：﹣1≤a＜1，综上所述，a≥﹣1．点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．20．（10分）（2015春•南昌校级期末）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．考点：一元二次不等式的解法；基本不等式．分析：（1）由不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；解答：解：（1）由f（x）＜0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可得，解得（2）f（1）=2得a+b=1，∵a＞0，b＞0∴（a+b）（）=5+=5+2≥9∴的最小值是9点评：此题考查了不等式的解法，属于基础题21．（10分）（2015春•北京校级期中）已知函数y=﹣3x2+2ax﹣1，x∈[0，1]，记f（a）为其最小值，求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出f（a）的表达式，从而求出f（a）的最大值即可．解答：解：f（x）=﹣3x2+2ax﹣1=﹣3（x﹣）2+﹣1对称轴x=，对a的取值分类讨论：①当≤0，即a≤0时：f（x）在x∈[0，1]上单调递减，∴f（x）的最小值f（a）=f（1）=﹣3+2a﹣1=2a﹣4≤﹣4，②0＜≤即0＜a≤时：f（x）在[0，）递增，在（，1]递减，∴f（a）=f（1）=﹣3+2a﹣1=2a﹣4≤﹣4，③＜≤1即＜a≤3时：f（x）在[0，）递增，在（，1]递减，∴f（a）=f（0）=﹣1，④＞3即a＞9时：f（x）在[0，1]递增，∴f（a）=f（0）=﹣1，综上f（a）的最大值是﹣1．点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．22．（10分）（2015春•北京校级期中）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并加以证明．（Ⅲ）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．分析：（Ⅰ）利用f（0）=0，求a的值．（Ⅱ）f（x）==﹣1+在（﹣∞，+∞）上单调递减，利用导数加以证明．（Ⅲ）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，t2﹣2t＞k﹣2t2，分离参数，即可求实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）定义域为R的函数f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，∴a=1．（Ⅱ）f（x）==﹣1+在（﹣∞，+∞）上单调递减，证明如下：∵f′（x）=＜0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；（Ⅲ）∵对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，∴t2﹣2t＞k﹣2t2，∴k＜3t2﹣2t，∵3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣≥﹣，∴k＜﹣．点评：本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查单调性的证明，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。

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2013～2014学年度第二学期期中练习
高二文科数学
（考试时间：100分钟卷面总分：100分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合},2,1{2m A =，},1{m B =，A B A = ，则=m （）
A ．0或2
B ．1或2
C ．0或2
D ．1或2 2.设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为（）
A ．2
B ．2
C ．4
D ．2i
3.设集合{}0322≤-=x x x P ，3.02=m ，则下列关系中正确的是（）
A ．A m ⊂
B ．A m ∉
C ．{}A m ∉
D ．{}A m ≠⊂
4.已知集合{}R x x x A ∈≤=,2|,{|4,}B x x Z =≤∈,则A B ⋂=（）
A ．(0,2)
B ．[0,2]
C ．{0,2}
D ．{0,1,2}
5.已知函数⎩⎨⎧≤>=0
,40,log )(3x x x x f x ，则=)]9([f f （） A.16 B.2
3log C.1 D.48 6.已知命题:P x x R x lg 2,>-∈∃，命题:q ()f x 1
2--=x x x 不是奇函数 ,则（） A ．命题)()(q p ⌝⌝∨是假命题 B . 命题p q ∧是假命题
C ．命题p q ∨是假命题
D . 命题()p q ∧⌝是真命题
7．已知函数x
x f 21log )(=，若2|)(|≥x f ，则实数x 的取值范围是（）
A ．410<
<x 或4>x B ．4
1≤x 或4≥x C ．410≤<x 或4≥x D ．44
1≤<x 8.若1.01.1-=a π3log =b ，，34
1l o g =c ，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a c b >>
9.函数)]21(ln[x e y -=的图象可以看成是由函数ln(2)y x =-
的图象（） A.向右平移
12
个单位长度，再向上移动1个单位长度得到的 B.向左平移12个单位长度，再向上移动1个单位长度得到的 C.向左平移1个单位长度，再向下移动1个单位长度得到的
D.向右平移1个单位长度，再向上移动1个单位长度得到的
10.已知函数)(2)()(2b a ab x b a x x f <+++-=的两个零点为)(,βαβα<，则实数βα,,,b a 的大小关系是（）
A. βα<<<b a
B.b a <<<βα
C. b a <<<βα
D.βα<<<b a
第二部分（非选择题共60分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．已知i 为虚单位，则复数
121-+i i 的对应的点在第象限. 12.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第．n 个等式．．．
为. __________. 13. 函数)2(9.0log -=x y 的定义域 .
14.函数||)(2x x x f --=的单调增区间是 .
15．命题,0:≥∀x p 有1≥-x e ，写出命题p 的否定_______:；命题p 为____命题（填真、假）
16.已知函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=2141)(x x x f )40()4(<≤≥x x ，若关于x 的方程0)(=+m x f 仅有一个实根，则实数m 的取值范围
是 .
17.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线0=--k y x 与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有3个公共点，则实数k 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共3小题，共32分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
18设:p 实数x 满足26x x ≥+且042>+x x ，:q 实数x 满足03422<+-a ax x ，已知p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围；
19已知函数2)1(2
1)(-=x a x f ，1ln )(--=x x x g ，其中a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x g 在1=x 处的切线方程；
（Ⅱ）求)(x f )(x g -的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f )(x g -在[),1∞+上的最小值是0，求a 的取值范围.
20已知函数x
ax x f 1)(-= （Ⅰ）若(]0,2x ∈，求函数)(x f 的最大值.
（Ⅱ）0<a 时，设函数x
x x g 1ln )(--=，若()f x 与()g x 的图象在区间()21,e 上无交点，求实数a 的取值范围。