浅谈函数方程的解法

一.函数方程的解法
(一)、换元法
换元法又叫定义法，它是已知复合函数及复合函数的内函数，求外函数，从而求出函数的表达式的一种方法。是解函数方程的基本方法之一。也就是对函数方程进行适当的变量代换，得到一个新的函数方程，从而得到原方程的解。
例1.1设 且 ，求解 。
解：不妨设 ，则有
故
所以有
例1.2已知 ，求 ；
（九）柯西法……………………………………………………………10
（十）解微分方程法……………………………………………………11
结束语……………………………………………………………………13
参考文献…………………………………………………………………13
前言
如果函数 在其定义域内的一切值均满足所给函数方程，那么称 是该函数方程的解。函数方程的解是一个或几个，甚至无限多个函数。有关函数方程方面的 题目大致可分为三类：确定函数的表达式；确定满足函数方程的函数的性质；确定函数的值。在中学的数学竞赛中也经常遇到与函数方程求解相关的问题,这类问题的分析,主要是直接求解某一给定的函数方程或根据数学实际问题写出函数方程后再求解其它拓展问题。求解这类题型是有一定难度的,这些困难同函数方程本身有关,因为暂时探索出解函数方程的方法还不全面,大量的函数方程至今仍未解出，本文重点介绍从函数方程中抽象、概括出来的几类常用的函数方程解法的分析。
有
故
可有
故 即为所求，也可以验证它满足题目中的条件需求。
一般的，已知函数的类型（有理函数、指数函数、对数函数、幂指函数等等）或函数的某些特征（如已知函数在某一特殊点的值或周期性、对称性等），都可以考虑是否可以用待定系数法来求解。
（三）、递推法
函数方程的定义在正整数上时,且方程是以递推数列形式给出时,我们可以使用递推法求解之.从要求解的函数方程出发，从简单情况入手，逐步递推，求出方程的解。递推法对于实数集上的函数方程未必适用。递推法涉及到两个方面的内容，一类是以递推表达式为特征的函数方程形式，另一类是以递归数列表达的函数方程形式。
例3.1定义在正整数上的函数 ,且 求
解: 令 ,有 即
取 得
累加得
所以
例3.2已知 是定义在自然数集 上的函数，满足 ，且对任意 ，有： ，求 .
解由已知的函数方程，令 ，且 ，得
化简后，可得
令
……
累加得
将 代入，经过化简可得
故 即为所求。
若 是定义在自然数集 上的函数. (确定常数) , 如果存在一个递推(或递归) 关系 ,当知道了前面 项的值 由 可唯一确定 的值, 那么称 为 阶递归函数. 递推法(或递归)是解决这类函数方程的重要方法.
（四）、赋值法
给方程中的某些元素赋上具体的数值，再运用数值的运算或推理来解决问题，我们称此法为赋值法。
例4.1已知函数 满足条件 且对于任意的
有 ………………………………(1)
试求
解：令 代入(1)中我们可以得到
………………………………………………(2)
令 代入(1)又可得
……………………………………………………(3)
解：由题可知，令 ，则有
由此可得
化简之
故有
在使用换元法时，最好要要遵循有利于标准化有利于运算的基本原则，还需注意的是换元后勿忘还元，而且换元后要注意变量范围的确定，一定要使新变量的取值范围相对应于原变量的取值范围，不能扩大也不能缩小。
（二）、待定系数法
当我们知道函数的类型及函数的某些特征，我们可以用待定系数法来解更为方便简洁。其基本解题步骤为（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出含待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数。
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∴由方程组（2）（3）（4）得
即：
例5.2设 ，且 ……………（1）
求 .
解： 从原方程的形式可以看出，作变量代换 是有作用的，代入（1）得 ，把这个式子中的 改写成 ，得
………………………………（2）
再令 ，代入（1）中可得
把 换成 ，可得 ……………………………（3）
把（1）、（2）、（3）联立，就可以看成是一个关于 的三元一次方程组。
（1）+（2）-（3）解之，可得
例5.3求解函数方程 …（1）
解：令 ，我们可以得到
于是（1）即为 ………………（2）
将（2）中的 换为 可得
………………………（3）
将（3）中的 换为 可得
………………………（4）
同理可得到
……………………………（5）
得
故有
（六）、数学归纳法
函数迭代是特殊的函数复合形式，在现代数学中有一定的地位，通常我们使用数学归纳法来求解。
将函数方程的变量进行适当的变量代换或几次变量代换，得一个或多个新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组中的未知函数 ，即可得出所求的函数方程的解。
例5.1设 是一切实数有定义的函数，且 ………（1）
求
解：基本思想:消去 ，求解
令 ，代入 式得 …………（2）
，代入 式得： ……………（3）
又： ………………………………（4）
Key words: Function equation, Assignment method, Mathematical induction, Cauchy method, Solution
前言
一．解函数方程的方法
（一）换元法……………………………………………………1
（二）待定系数法………………………………………………2
（三）递推法……………………………………………………3
（四）赋值法………………………………………………………5
（五）解方程组法………………………………………………5
（六）数学归纳法………………………………………………7
（七）不动点法…………………………………………………8
（八）参数法………………………………………………………9
例2.1对任意 R，函数满足 且 试求函数方程的解．
解：根据方程的结构，我们先求出形如 的解，其中 是待定
常数．将 代入方程得：
即
所以 ，解得
再设原方程的解为 其中A，B是常数
由 得A=-2，B=3
故原方程解为 ；
例2.2若 为多项式函数， ，求
解： 为多项式函数，而 、 不改变多项式的次数
故 为二次函数，不妨设
本科毕业论文（设计）
题目浅谈函数方程的解法
院（系）数学系
专业数学与应用数学
学生姓名蒋磊
学号08025027
指导教师祈 述 茂职称讲师
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令 代入(1)我们有
………………………………(4)
(2)＋(3)－(4)得
即为所求，
常见赋特殊值有0,1，-1等；此方法的特点是当函数方程的自变量多于一个时，将其中的一个或几个自变量用一些特殊值代入，常常可以简化方程，或求得未知函数在某些特殊点的值。这样就能够得到以简取萦、化难为易的效果。
（五）、解方程组法
关键词：函数方程；赋值法；数学归纳法；柯西法；解法
Discussion on the function equation
Abstract
As everyone knows, in mathematics has two kinds of different equations, one of a kind as our high school algebra equations, trigonometric equation and so on, his solution is just the individual value; and another class as we in the mathematical analysis in contact with the implicit function equation, her solution is a function, we collectively referred to as function equation. Function equation in our daily life has play a decisive role in the low, so the study of function equation solution value is very important and necessary. Function solution of the equation the myriads of changes, the early eighteenth Century, Euler, Lagrange, master of mathematics has been using function equation to solve the problem, the famous mathematician Cauchy had the following function equation to make an in-depth study,, and created a solution of function equation important method: Cauchy method. Function equation of inquiry can not only broaden our understanding of the function, it is involved in numerous mathematical science plays an important role, so it is necessary to function more thorough and wide-ranging discussion, in order to function equation has a comprehensive knowledge and understanding. This paper focuses on the function equation of some important and commonly used method, simple enumerate someof examples of a series of methods and tries to sum up.
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浅谈函数方程的解法
摘 要ห้องสมุดไป่ตู้
众所周知，在数学之中有两类性质截然不同的方程，其中一类如我们中学学过的代数方程、三角方程等等，他的解只是个别数值；而另一类如我们在数学分析中接触过的隐函数方程，她的解则是函数，后一类我们统称为函数方程。函数方程在我们平常生活中占有举足轻重的低位，所以研究函数方程的解法具有非常重要的价值和必要。函数方程的解法千变万化，十八世纪初期，欧拉、拉格朗日等数学大师就已经用函数方程解决问题了，著名数学家柯西就曾对下面的几个函数方程做出了深入的研究 ， ，并且创立了一种求解函数方程的重要方法：柯西法。函数方程的探究不仅可以拓展我们对函数的理解，它在许多涉及数学的科学中有着重要的作用，所以有必要对函数方程进行较为深入和广泛的探讨，以便对函数方程有着全面的认识和理解。本文着重探讨了函数方程的一些重要和常见解法，简单的列举一些实例来阐述一系列方法并加以总结。
例6.1 ，若
……………………………………………（1）
求 ；
；
，
猜想 ………………………………………（2）
设 时（2）成立，则当 ，我们可以得到
。
故 即为所求。
数学归纳法常用来求定义在自然数上函数方程的解。所以数学归纳法的原理通常被规定为自然数公理。由自然数集N的任何非空子集必有最大数。产生第二数学归纳法：（1）若F(1)成立（2）假设 时F(n)成立，若F(R+1)也成立，则F(n)成立；