巧借梯形和三角形面积公式探索规律
五年级上册数学平行四边形、梯形、三角形面积公式及推导过程
五年级上册数学平行四边形、梯形、三角形面积公式及推导过程1.平行四边形面积推导过程先画出平行四边形的底和高，沿平行四边形的高剪下，通过移拼，可以拼成一个长方形。
拼成长方形的长与平形四边形的底相等，长方形的宽与平形四边形的高相等，拼成长方形的面积与平形四边形面积相等，因为长方形面积等于长乘以宽，所以平行四边形的面积等于底乘以高。
字母表示为S =ah2.三角形面积推导过程把两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成平行四边形的底与三角形的底相等，平行四边形的高与三角形的高相等，每个三角形的面积是拼成平形四边形面积的一半，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2倍。
因为平形四边形的面积等于底乘以高，所以其中一个三角形面积等于底乘以高除以2。
字母表示为S =ah÷2。
3.梯形面积推导过程用两个完全一样的梯形可以拼成一个平形四边形，拼成平形四边形的底等于梯形的上底加下底的和，平行四边形的高与梯形的高相等，每个梯形的面积是拼成平形四边形面积的一半，拼成的平行四边形的面积是每个梯形的2倍。
因为平形四边形面积等于底乘以高，所以其中一个梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2。
字母表示为 S =(a+b)h÷2备注：1.长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
平行四边形拉成长方形，周长不变，面积变大。
2.等底等高的三角形，形状不同，面积相等。
（面积相等的三角形不一定等底等高）等底等高的平行四边形，形状不同，面积相等。
（面积相等的平行四边形不一定等底等高）等底等高的梯形，形状不同，面积相等。
（面积相等的梯形不一定等底等高）3.三角形的面积是与它等底等高平行四边形面积的一半。
平行四边形的面积是与它等底等高三角形面积的2倍。
三角形和梯形的计算公式
三角形和梯形的计算公式
三角形和梯形都是常见的几何图形，它们有不同的计算公式。
三角形的面积计算公式为：面积 = 底边× 高÷ 2，其中底边
为三角形下边的长度，高为从底边到另一顶点的垂直距离。
另外，根
据海伦公式，三角形的面积也可以通过三条边的长度来计算。
梯形的面积计算公式为：面积 = 上底 + 下底× 高÷ 2，其中
上底和下底分别为梯形上下两边的长度，高为两个平行边之间的距离。
此外，梯形也可以拆分成两个三角形来计算面积，即将梯形按中线划
分为两个三角形，分别计算它们的面积，然后相加即可。
三角形和梯形的计算公式常常用于解决几何题目，需要根据具体
情况选择合适的公式。
梯形面积计算公式推导方法
梯形面积计算公式推导方法（四种）
方法一：两个一样的梯形拼成一个平行四边形（图1）
推导：
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，这个平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。
方法二：把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形（图2）
推导：
平行四边形的底等于梯形的上底，三角形的底等于梯形的下底与上底之差；平行四边形的高与三角形的高都等于梯形的高；所以
梯形面积
=平行四边形面积+三角形面积
=平行四边形的底×高+三角形的底×高÷2
=（平行四边形的底+三角形的底÷2）×高
=（平行四边形的底×2+三角形的底÷2×2）×高÷2
=（平行四边形的底+平行四边形的底+三角形的底）×高÷2
=（上底+下底）×高÷2。
方法三：把一个梯形剪成两个三角形（图3）
推导：
梯形的面积=三角形1的面积+三角形2面积
=梯形上底×高÷2+梯形下底×高÷2
=(梯形上底+梯形下底)×高÷2
方法四：把梯形沿中位线剪成两个梯形后拼成一个平行四边形（图4）推导：
平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，平行四边形的高等于梯形的高的一半；所以
梯形面积=平行四边形面积
=平行四边形的底×高
=(梯形上底+梯形下底)×高÷2
（图1）（图2）
（图3）（图4）。
三角形和梯形的面积的数学公式
三角形和梯形的面积的数学公式
三角形的面积公式：三角形是一个拥有三边和三个角的图形。
常见的求三角形面积的方法是使用底和高，或使用三角形三边的长度来计算。
下面是三角形面积的两种公式：
1.底和高公式：假设三角形的底长为b，高为h，则三角形的面积S 可以表示为S=0.5*b*h。
2. 海伦-秦九韶公式：如果已知三角形的三边长度分别为a、b、c，且半周长为s = (a+b+c)/2，则可以使用海伦-秦九韶公式来计算三角形的面积，公式为S = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中sqrt表示平方根。
梯形的面积公式：梯形是一个拥有两个平行边和两个斜边的四边形图形。
求梯形的面积也有多种方法，一种常见的方法是使用上底、下底和高来计算。
下面是梯形面积的公式：
假设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则梯形的面积S可以表示为S=0.5*(a+b)*h。
除了上述两个基本公式，还可以通过梯形的对角线长度来计算梯形的面积。
假设梯形的对角线长度分别为d1和d2，则梯形面积的公式可以表示为S=0.5*d1*d2
在实际问题中，可以根据题目给出的条件选择合适的公式来计算三角形或梯形的面积。
在解题过程中，要注意单位的转换和精确计算，确保计算结果准确无误。
综上所述，三角形和梯形是几何中常见的基本图形，其面积可以通过
特定的公式来计算。
熟练掌握这些公式可以帮助我们更好地解决几何问题，提高数学水平。
希望通过本文的介绍，对三角形和梯形的面积公式有更深
入的理解。
推导梯形面积公式的三种方法
推导梯形面积公式的三种方法推导梯形面积公式的三种方法如下：
方法一：几何推导
考虑一个梯形，将其切割成一个矩形和两个直角三角形。
假设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h。
我们可以将梯形分成两个等高的小梯形，分别是上底长为a和b 的梯形，这两个小梯形的面积之和等于原梯形的面积。
而每个小梯形的面积可以用矩形面积减去直角三角形面积来表示。
所以，梯形的面积可以表示为：(a+b)*h/2。
方法二：代数推导
我们可以将梯形看成是一个矩形和两个直角三角形的组合。
利用代数方法可以得到梯形的面积公式。
设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h。
可以得到梯形的面积S =矩形的面积+两个直角三角形的面积
= (a+b)*h + (1/2)*a*h + (1/2)*b*h
= (a+h)*h/2 + (b+h)*h/2
= (a+b)*h/2。
方法三：积分推导
我们可以使用微积分中的积分原理来推导梯形的面积公式。
设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，可以将梯形所在的平面区域看成是y = h和y = 0之间的平面图形。
利用定积分，梯形的面积可以表示为：∫[a,b]hdx
= h∫[a,b]dx
= h[x]ₐ_ᵦ
= h(b-a)
= (a+b)*h/2。
上述三种方法是推导梯形面积公式的常见方法，可以根据需要选择使用哪种方法。
同时，我们还可以推广梯形面积公式，例如推导出等腰梯形、半个圆柱体的梯形面积公式等。
梯形的面积计算公式的推导
梯形的面积计算公式的推导
要推导梯形的面积计算公式，我们可以利用梯形的性质和几何知识。
下面我将详细解释这个推导过程。
首先，让我们回顾一下梯形的定义。
梯形是一个有四边的多边形，其
中有两条平行边称为底，两条非平行边称为腰。
我们可以将梯形分为两个
三角形，通过绘制一条从梯形的一个顶点到另一条平行边上的一点。
这条
线称为梯形的高。
我们假设梯形的底的长度分别为a和b，高为h。
那么梯形的面积可
以表示为两个三角形的面积之和。
让我们先计算底为a的三角形的面积。
根据三角形的面积公式，三角
形的面积等于底乘以高的一半。
因此，底为a的三角形的面积可以表示为：Area1 = (1/2) * a * h
接下来，让我们计算底为b的三角形的面积。
同样地，底为b的三角
形的面积可以表示为：
Area2 = (1/2) * b * h
如前所述，梯形的面积等于两个三角形的面积之和，即：
Area = Area1 + Area2
代入Area1和Area2的公式，得到：
Area = (1/2) * a * h + (1/2) * b * h
我们可以进行合并和整理，将公式改写为：
Area = (1/2) * h * (a + b)
这就是梯形的面积计算公式。
总结一下，梯形的面积计算公式可以通过将梯形分为两个三角形，并应用三角形的面积公式推导得出。
公式为：
Area = (1/2) * h * (a + b)
其中，h表示梯形的高，a和b表示梯形的两个底的长度。
所以，可以根据这个公式计算梯形的面积。
梯形面积公式推导的多样方法
梯形面积公式推导的多样方法梯形是一个四边形，其中两边是平行的，且其他两边不平行。
梯形的面积可以使用多种方法来推导。
方法一：使用三角形面积公式推导梯形可以被分割为两个三角形和一个矩形。
我们可以使用三角形的面积公式来推导梯形的面积。
假设梯形的上底为a，下底为b，高为h。
我们可以将梯形分割成两个三角形：一个底边为a，高为h的三角形和一个底边为b，高为h的三角形。
我们还可以将梯形分割成一个底边为b-a，高为h的矩形和一个底边为b，高为h的三角形。
根据三角形的面积公式，第一个三角形的面积为1/2*a*h，第二个三角形的面积为1/2*b*h。
因此，两个三角形的总面积为1/2*a*h+1/2*b*h，即(h/2)*(a+b)。
根据矩形的面积公式，矩形的面积为(b-a)*h。
将两个三角形的面积和矩形的面积相加，得到梯形的面积公式为：(h/2)*(a+b)+(b-a)*h=(a+b)*h。
方法二：使用高和中线推导梯形的面积也可以使用梯形的高和中线来推导。
假设梯形的上底为a，下底为b，高为h，两条中线分别为m₁和m₂。
我们可以将梯形分割成两个三角形和一个平行四边形。
平行四边形的高为h，底边为m₂-m₁。
根据三角形的面积公式，由高h和底边m₂-m₁组成的三角形的面积为1/2*(m₂-m₁)*h。
根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积为底边乘以高，即(m₂-m₁)*h。
将两个三角形的面积和平行四边形的面积相加，得到梯形的面积公式为：1/2*(m₂-m₁)*h+(m₂-m₁)*h=(m₂-m₁)*h*(1/2+1)=(m₂-m₁)*h*3/2因此，梯形的面积可以表示为梯形的高h乘以梯形的两条中线之差m₂-m₁再乘以3/2方法三：使用角度和边长推导梯形的面积也可以使用梯形的角度和边长来推导。
假设梯形的上底为a，下底为b，高为h，两条斜边分别为c₁和c₂，两个角分别为θ₁和θ₂。
我们可以将梯形视为一个三角形和一个梯形组成。
梯形面积公式的几种推导
梯形面积公式的几种推导梯形面积是高中数学中常见的一个几何问题。
下面我将介绍几种不同的推导方法，帮助你更好地理解梯形面积的计算。
1.利用平行线的性质：我们可以利用平行线的性质来推导梯形面积公式。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB和CD是平行线段，h是梯形的高，AB和CD的长度分别为a和b。
为了计算梯形的面积，我们可以先将梯形分成两个三角形和一个矩形。
首先，将梯形ABCD分成两个三角形，一个是ABH，另一个是CDH。
根据三角形的面积公式，可以得到这两个三角形的面积分别为1/2*a*h和1/2*b*h。
然后，将梯形ABCD分成一个矩形和两个三角形。
矩形的高和梯形的高相等，即为h，长度等于两个平行线段的平均值，即(a+b)/2最后，将两个三角形的面积和矩形的面积相加，得到梯形ABCD的面积公式为(1/2*a*h)+(1/2*b*h)+((a+b)/2*h)。
2.利用面积相等的原理：我们可以利用面积相等的原理来推导梯形的面积公式。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB和CD是平行线段，AD和BC是梯形的高，AB和CD 的长度分别为a和b。
我们将梯形ABCD剖分为一个矩形和两个直角三角形。
首先，我们将梯形ABCD剖分为一个矩形和一个直角三角形。
与上面的推导类似，矩形的高和梯形的高相等，即为AD或BC，长度等于平行线段的平均值，即(a+b)/2然后，我们将梯形ABCD剖分为一个矩形和另一个直角三角形。
直角三角形的高等于梯形的高，即AD或BC，底边等于平行线段的差值，即a-b。
最后，根据面积相等的原理，我们可以得到矩形和两个直角三角形的面积之和等于梯形的面积。
矩形的面积为((a+b)/2)*AD或((a+b)/2)*BC，直角三角形的面积为(1/2*(a-b))*AD或(1/2*(a-b))*BC。
将两个矩形的面积和两个直角三角形的面积相加，得到梯形ABCD的面积公式为((a+b)/2)*AD+(1/2*(a-b))*AD或((a+b)/2)*BC+(1/2*(a-b))*BC。
三角形和梯形的面积公式推导过程
三角形和梯形的面积公式推导过程一、三角形的面积公式推导过程要推导三角形的面积公式，我们先来了解一下三角形的基本概念。
三角形是由三条边和三个角组成的图形，根据三角形的边长和高，可以推导出其面积公式。
假设三角形的底边长为a，高为h，根据三角形的定义，可以得到三角形的面积公式为：面积 = 底边长 * 高 / 2，即S = ah/2。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个具体的例子来进行推导。
例子：假设三角形的底边长为4cm，高为3cm，求解其面积。
根据三角形的面积公式S = ah/2，代入底边长a=4cm和高h=3cm，可以得到S = 4cm * 3cm / 2 = 6cm²。
所以，三角形的面积为6平方厘米。
二、梯形的面积公式推导过程梯形是由两条平行且不等长的边以及两条连接这两条边的斜边组成的图形。
梯形的面积公式可以通过将梯形分割为一个矩形和两个直角三角形来推导。
假设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，根据梯形的定义，可以得到梯形的面积公式为：面积 = (上底长 + 下底长) * 高 / 2，即S = (a + b) * h / 2。
为了更好地理解这个公式，我们同样通过一个具体的例子来进行推导。
例子：假设梯形的上底长为5cm，下底长为9cm，高为4cm，求解其面积。
根据梯形的面积公式S = (a + b) * h / 2，代入上底长a=5cm，下底长b=9cm和高h=4cm，可以得到S = (5cm + 9cm) * 4cm / 2 = 28cm²。
所以，梯形的面积为28平方厘米。
通过以上的推导过程，我们可以得到三角形和梯形的面积公式。
这些公式是几何学中的基本知识，在解决与三角形和梯形相关的问题时非常有用。
总结：本文通过推导的方式介绍了三角形和梯形的面积公式。
三角形的面积公式是通过底边长和高相乘再除以2得到的，梯形的面积公式是通过上底长、下底长和高相加再除以2得到的。
这些公式在解决与三角形和梯形相关的问题时非常实用。
三角形和梯形和平行四边形的面积公式
三角形和梯形和平行四边形的面积公式在咱们的数学世界里，三角形、梯形和平行四边形那可都是非常重要的角色。
就拿它们的面积公式来说，那可是藏着好多有趣的小秘密呢！先来说说三角形吧。
三角形的面积公式是：面积 = 底×高÷2 。
这就好比咱们盖房子，底就像是房子的地基长度，高就是房子的高度，而除以 2 呢，就像是给这个房子打了个五折。
记得有一次，我带着一群小朋友在公园里玩耍。
看到一个三角形的花坛，我就问他们：“谁能算出这个花坛的面积呀？”小朋友们都瞪大眼睛看着我，一脸的迷茫。
于是我就耐心地给他们解释，指着花坛的底边说：“这就是底，然后咱们量一量从底边到顶点的垂直高度，那就是高。
” 有个聪明的小家伙马上就反应过来了：“老师，那是不是用底乘高再除以 2 就行了？”我笑着点了点头，小家伙可高兴了，其他小朋友也恍然大悟。
再讲讲平行四边形。
平行四边形的面积公式是：面积 = 底×高。
这其实很好理解，底就是平行四边形下面那条边的长度，高呢，就是从底边到对边的垂直距离。
想象一下，平行四边形就像是一个被压扁的长方形，它的面积计算和长方形很像呢。
我曾经在课堂上做过一个小实验。
我用一张纸剪出了一个平行四边形，然后问同学们：“怎么才能算出这个图形的面积呀？”大家七嘴八舌地讨论起来。
最后，我们一起把这个平行四边形沿着高剪下来，拼成了一个长方形，这下子，大家一下子就明白了，原来平行四边形的面积就是底乘高。
最后说说梯形。
梯形的面积公式是：（上底 + 下底）×高÷ 2 。
梯形就像是一个被削去了一部分的平行四边形。
有一回，我去一个乡村小学支教。
那里的教学条件不太好，没有很多的教具。
为了让孩子们明白梯形的面积公式，我带着他们到了学校后面的一块农田。
农田里有一块梯形的菜地，我就问孩子们：“咱们怎么才能知道这块菜地能种多少菜呢？”孩子们一开始都不知道。
我就引导他们，先量出梯形的上底和下底，还有高度。
三角形和梯形的所有公式
三角形和梯形的所有公式在我们的数学世界里，三角形和梯形这两个家伙可是相当重要的角色！它们有着各自独特的公式，就像是它们的专属密码，能帮助我们解决好多好多的数学难题。
先来说说三角形。
三角形的面积公式是：面积 = 底×高÷2。
这个公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多问题的大门。
比如说，有一个三角形，底是 6 厘米，高是 4 厘米，那它的面积就是 6×4÷2 = 12 平方厘米。
三角形的周长公式呢，就是把三条边的长度加起来。
这就好像是把三角形的三条边手拉手围在一起，看看总长度是多少。
三角形还有个勾股定理，这可是个超级厉害的家伙！如果一个直角三角形的两条直角边分别是 a 和 b，斜边是 c，那么就有 a² + b² = c²。
我记得有一次在课堂上，老师给我们出了一道题：一个直角三角形，两条直角边分别是 3 厘米和 4 厘米，让我们算出斜边的长度。
我当时心里一紧，心想这可咋算呀。
但是当我想到勾股定理，马上就有了思路。
3 的平方是 9，4 的平方是 16，9 + 16 = 25，那么斜边就是 5 厘米。
算出答案的那一刻，我心里别提多有成就感了！再聊聊梯形。
梯形的面积公式是：（上底 + 下底）×高÷2 。
这就像是把梯形上下两个底边加起来，然后乘以高，再除以 2 。
比如说，有个梯形，上底是 2 厘米，下底是 4 厘米，高是 5 厘米，那面积就是（2 + 4）× 5 ÷ 2 = 15 平方厘米。
在实际生活中，三角形和梯形的公式用处可大了。
有一次我去帮爸爸装修房子，需要在一面墙上做一个三角形的装饰架。
爸爸量好了底和高，然后我们用三角形的面积公式算出了需要多少材料。
还有一次，我们去公园散步，看到了一个梯形的花坛，我马上就想到了梯形的面积公式，还跟爸爸说可以算出这个花坛的面积呢。
总之，三角形和梯形的公式虽然看起来简单，但却有着大大的能量。
梯形的面积公式推导
梯形的面积公式推导梯形是一个具有两个平行边的四边形，它的面积公式是很多学生在学习几何的时候都会接触到的一个重要的内容。
在这篇文章中，我们将推导出梯形的面积公式，并通过几个例子来加深对这个公式的理解。
假设有一个梯形，它的上底长为a，下底长为b，高为h。
我们的目标是推导出这个梯形的面积公式。
首先，我们可以将这个梯形分为一个大矩形和两个小三角形。
大矩形的长为b，宽为h，面积为bh。
两个小三角形分别由大矩形的两个边和梯形上底连接而成。
设其中一个小三角形的底边长为x，高为h1，那么这个小三角形的面积为1/2 * x * h1。
根据梯形的定义，我们可以知道两个小三角形的底边长分别为a和b，高都为h1。
因为两个小三角形是等高的，所以它们的面积相等，即1/2 * a * h1 = 1/2 * b * h1。
将上面这个等式变形，可以得到a * h1 = b * h1。
我们将这个等式代入一个小三角形的面积公式，即1/2 * x * h1 =1/2 * b * h1，两个h1可以约掉，那么就得到了一个小三角形的面积公式：1/2 * x * h = 1/2 * b * h1。
将两个小三角形的面积相加，可以得到整个梯形的面积：bh + 1/2 * x * h = (b + x) * h / 2。
我们可以看到，公式中的(b + x)实际上就是梯形的上底和下底之和，也即梯形的平均底长。
现在，我们已经推导出了梯形的面积公式。
根据这个公式，当我们已知梯形的上底、下底和高时，就可以轻松地计算出梯形的面积。
让我们通过几个例子来进一步加深对这个公式的理解。
例子一：已知梯形的上底长为8cm，下底长为12cm，高为5cm。
根据面积公式，我们可以计算出这个梯形的面积为(8 + 12) * 5 / 2 = 50平方厘米。
例子二：已知梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，高为6cm。
根据面积公式，我们可以计算出这个梯形的面积为(10 + 15) * 6 / 2 = 75平方厘米。
2019秋小学数学第5节 探索活动：梯形的面积
作业2
思维创新 提升培优 基础巩固
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1.（基础题）我会填。 (1)两个( 完全一样 )的梯形可以拼成一个平 行四边形,平行四边形的底就是梯形的 ( 上、下底的和 ),平行四边形的高就是梯 形的( 高 )。
(2)梯形的面积=(（上底+下底）×高÷2 ),用
字母表示:( S=(a+b)×h÷2 )。
如何求出图中梯形的面积?
请你把梯形转化成学过的图形。
上底 高
下底
平行四边形的面积 ＝底×高 ＝（上底＋下底）×高
梯形的面积 ＝（上底＋下底）×高÷2
下底
上底
S＝（a＋b）×h÷2
高÷2 下底
平行四边形的面积 ＝底×高 ＝（上底＋下底）×（高÷2）
梯形的面积 ＝（上底＋下底）×高÷2
上底
S＝（a＋b）×h÷2
(3)可以把一个梯形分成两个( 三角 )形,也 可以分成一个( 三角 )形和一个 ( 平行四边 )形。
(4)梯形的上底长8厘米,下底长14厘米,高是上 底的一半,这个梯形的面积是( 44 )平方厘 米。
2.判断。(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)梯形的面积等于平行四边形面积的一半。 (✕ )
(2)两个完全一样的直角梯形,可以拼成一个
答：这个梯形车窗的面积是15平方米。
(2)一块梯形花园,上底是35米,下底是25米,面积 是1140平方米,高是多少米? 1140×2÷(35+25)=38(米) 答：高是38米。
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作业1
作业2
作业设计
你是最棒的 ！
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作业1
教材第60页“练一练”第1题。 1.你是怎么得到梯形的面积公式的？
梯形面积公式的不同推导方式
梯形面积公式的不同推导方式课本中介绍梯形面积公式推导的方法，通常只有一种方法，那就是用两个相同梯形拼成一个平行四边形，然后用这个平行四边形的面积推得其中梯形的面积。
这种方法很简洁，实际上梯形面积公式推导还有其它方法，现介绍如下：方法一：把梯形分成两个三角形，分别算面积，然后计算它们的与。
把梯形分成两个三角形，如图所示，一个在左下，一个在右上。
右上三角形的面积= 上底×高÷2左下三角形的面积= 下底×高÷2所以梯形的面积= 上底×高÷2＋下底×高÷2= （上底＋下底）×高÷2因此梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2方法二：如图所示，分别沿梯形两腰中点向下底作垂线，与腰、下底正好围成两个直角三角形，把这两个三角形分别按逆时针或顺时针旋转1800角，使得原来的梯形被拼组成一个长方形。
梯形的上下底总长度，正好等于现在长方形两个长的总长度，即长方形的长=（上底＋下底）÷2。
长方形的宽正好等于梯形的高。
长方形的面积= 长×宽所以梯形的面积=[（上底＋下底）÷2 ]×高=（上底＋下底）×高÷2因此梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2方法三：如图所示，把梯形切割成两块，一块是平行四边形，一块是三角形。
平行四边形的底就是原梯形的上底，三角形的底是梯形的下底与上底之差，而平行四边形与三角形的高都等于梯形的高。
所以梯形的面积= 平行四边形的面积＋三角形的面积= 上底×高＋（下底－上底）×高÷2=（2×上底）×高÷2＋（下底－上底）×高÷2=（2×上底＋下底－上底）×高÷2=（上底＋下底）×高÷2因此梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2方法四：如图所示，把梯形的缺角补上，正好补成一个长方形，则：长方形的面积=下底×高而补上的两个小三角形的总面积为：小三角形面积与=（下底－上底）×高÷2所以梯形面积= 长方形的面积－小三角形面积与=下底×高－（下底－上底）×高÷2= [下底－（下底－上底）÷2] ×高= [2×下底－（下底－上底）] ×高÷2=（上底＋下底）×高÷2方法五：如图所示，在梯形的一侧补上一个三角形，使整个图形成为一个平行四边形。
推导梯形面积公式的三种方法
推导梯形面积公式的三种方法
我们要推导梯形面积的公式，并且给出三种不同的方法。
首先，我们要理解梯形的定义和它的基本属性。
梯形是一个四边形，它有一对相对边是平行的。
方法1: 我们可以将梯形分为两个三角形，然后使用三角形面积的公式来推导梯形的面积。
方法2: 我们可以将梯形看作是一个矩形的一部分，然后使用矩形面积的公式来推导梯形的面积。
方法3: 我们可以使用微积分的方法，将梯形的面积看作是无数个小矩形的面积之和。
方法1的计算过程如下：
假设梯形的上底为a，下底为b，高为h。
那么，梯形的面积= (a + b) × h / 2
方法2的计算过程如下：
假设梯形的高为h，底为b（即梯形的一对平行边）。
那么，梯形的面积= b × h
方法3的计算过程如下：
假设梯形的上底为a，下底为b，高为h。
那么，梯形的面积= ∫(a, b) h dx
通过以上三种方法，我们得到了梯形面积的公式：
方法1: (a + b) × h / 2
方法2: b × h
方法3: ∫(a, b) h dx。
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∙ ∙ ∙ ∙∙∙
（100层）
总数=（顶层数+底层数）×层数÷2
• • • • •
（1+100）×100÷2 =101×100÷2 =10100÷2 =5050 从1开始的n个连续自然数的和可以用如下 的式子表示： • (1+n)×n÷2
100以内所有奇数的和是多少？
• • • • • 1+3+5+∙∙∙ +95+97+99 =（1+99）×50÷2 =100×50÷2 =5000÷2 =2500
田忌赛马
想一想：什么变了，什么没变？
田忌的马还是那三匹马，只是改变 了马匹出场的顺序，便反败为胜。
• 我们的整数和小数四则混合运算中同样蕴 含着这样的智慧。我们可以运用计算法则 和运算定律适当改变一个算式的运算顺序 或结构，就可以使计算简便。
• 用简便算法计算 • 11 × 9.9 - 3.6 - 6.3 • 98 × 99 ÷ 2
•
•
• 0+1+2+3+4+5+∙∙∙+97+98=？（条）
1
0
2
3
4
5 6 99
（99层）
（98条）
∙ ∙ ∙ ∙∙∙
在同一平面内，任意三点都不在同一条 直线上的99个点，能确定多少条直线？
• 直线总数=底层数×层数÷2
•
• • • • • •
C总数=(n-1)×n÷2
=（99-1）×99÷2 =98×99÷2 =98×（100-1）÷2 =（9800-98）÷2 =9702÷2 =4851（条）
孙膑的智慧 • 四两拨千斤 • 例.1（小组合作，说一说，摆一摆，算一算） • 1+2+3+4+5+∙∙∙+98+99+100 • 先找到撬动千斤大石的杠杆和 支点
• 杠杆：总个数=（顶层数+底层数）×层数÷2
支点：一个梯形（或三角形）
• 1+2+3+4+5+∙∙∙+98+99+100
（100）
例2. 在同一平面内，任意三点都不在同一条 直线上的99个点，能确定多少条直线？
•
经过一点可以画无数条直 线，但不能确定一条直线。
• •
•
• •
0条 两点确定一条直线 0+1=1（条）
三点确定三条直线
0+1+2=3（条）
那四点呢？五点呢？
四个点确定6条直线
1个点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2个点
0条
0+1=1（条）
3个点
0+1+2=3（条）
• 0+1+2+3+4+5+∙∙∙+98+99 （转化成图形）
1
0
2
3
4
5 6 100
（100层）
（99条）
∙ ∙ ∙ ∙∙∙
0+1+2+3+4+5+∙∙∙+98+99=？（条）
• 直线总数=底层数×层数÷2 • =99×100÷2 • =9900÷2 • =4950（条）
在同一平面内，任意三点都不在同一 条直线上的n个点，能确定多少条直线？ • • • • • • • • 1个点 2个点 3个点 4个点 5个点 6个点 ••• n个点 0条 0+1=1（条） 0+1+2=3（条） 0+1+2+3=6(条） 0+1+2+3+4=10(条） 0+1+2+3+4+5=15(条） •••••• 0+1+2+3+4+5+•••+(n-1)=？(条）
• 0+1+2+3+4+5+∙∙∙+(n-2)+(n-1)
1
0
2
3
4
5 6 n
（n层）
（n-1条）
∙ ∙ ∙ ∙∙∙
n表示点数
在同一平面内，任意三点都不在同一条 直线上的n个点，能确定多少条直线的公式
• 直线总数=底层数×层数÷2
C总数=(n-1)×n÷2 • 在同一平面内，任意三点都不在 同一条直线上的99个点，能确定多 少条直线?
一点一滴的努力， 一尺一寸的收获。
巧借梯形和三角形面积公式
• • • • • 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 当梯形的上底为0时，它就变成了一个三角形。 三角形的面积=底×高÷2 圆木根数=（顶层根数+底层根数）×层数÷2 横截面是梯形形状的一堆有规律摆放的物体（只 计横截面）的个数可以用如下的公式表示： • 总个数=（顶层数+底层数）×层数÷2 • （或 总个数=底层数×层数÷2）（0也算一层）
抢答：
在同一平面内，任意三点都不在同一条 直线上的101个点，能确定多少条直线？
• 直线总数=底层数×层数÷2
•
• • • •
C总数=(n-1)×n÷2
=（101-1）×101÷2 =100×101÷2 =10100÷2 =5050（条）
课堂小结
• 1、这节课我们学习了哪些知识？ • 2、你有什么收获？
• •
• •
4个点 0+1+2+3=6(条）
五个点确定10条直线
1个点 2个点 0条 0+1=1（条）
3个点
0+1+2=3（条）
0+1+2+3=6(条）
• •
•
●
4个点
•
5个点
0+1+2+3+4=10(条）
讨论：你发现了什么？
每次增加的直线条数比对应的点数少1
• • • • • • • • 1个点 0条 2个点 0+1=1（条） 3个点 0+1+2=3（条） 4个点 0+1+2+3=6(条） 5个点 0+1+2+3+4=10(条） 6个点 0+1+2+3+4+5=15(条） ••• •••••• 100个点 0+1+2+3+4+5+•••+98+99=？(条）
从2到100的所有偶数的和是多少？
• • • • • 2+4+6+∙∙∙ +96+98+100 =（2+100）×50÷2 =102×50÷2 =5100÷2 =2550
从0到100的所有偶数的和是多？
• • • • • 0+2+4+6+∙∙∙ +96+98+100 =（0+100）×51÷2 =100×51÷2 =5100÷2 =2550