温克尔弹性地基梁的有限差分法计算
改进的 Winkler 地基桩土相互作用模型
改进的 Winkler 地基桩土相互作用模型唐剑华;刘振兴【摘要】传统的Winkler地基只能考虑地基中的正应力的作用，忽略了地基中剪应力的作用。
本文通过修正常规的Winkler地基，考虑地基中的剪应力作用，通过半无限弹性体中的Mindlin解获得与侧摩阻力相对应的基床系数。
基于改进的文克勒地基，模拟桩顶受倾斜荷载的桩土相互作用。
考虑p-Δ效应与桩土界面的位移协调关系，通过对典型单元体的分析，推导了桩的挠曲线微分方程。
采用差分法，利用matlab软件编制程求解，通过与已知的文献对比，论证了本方法的正确性。
%The conventional Winkler foundation only takes the normal stressinto account , ignoring the shear stress in subgrade .Base on the conventional Winkler model , this study presented a new model which can consider the shear stress in subgrade .The coefficient of subgrade reaction corresponding to side friction resist-ance can be obtained using Mindlin ’ s solution for the semi -infinite elastic mass.Base on the modified Wink-ler’ s spring model , the pile-soil interaction can be simulated for a single pile subjected to the oblique loads . The flexural differential equations can be obtained by considering the p -Δeffect and pile -soil displacement compatibility conditions .The flexural differential equations were solved by the finite difference method and the Matlab software .The comparison of the results calculated by the present method for single piles has shown good agreement with those obtained from the known literatures .【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】5页(P699-702,722)【关键词】Winkler地基;Mindlin解;p-Δ效应;倾斜荷载【作者】唐剑华;刘振兴【作者单位】同济大学土木工程学院地下建筑与工程系，上海 200092; 岩土及地下工程教育部重点实验室同济大学，上海 200092;同济大学土木工程学院地下建筑与工程系，上海 200092; 岩土及地下工程教育部重点实验室同济大学，上海200092【正文语种】中文【中图分类】TU4730 引言桩基础的应用具有悠久的历史，早在新石器时代，在地质不良的地地区，人们就利用木桩来克服不良地质的弱点，建造房屋.随着我国的快速发展，桩基础面临的受力条件也越来越复杂.在实际工程中只受到轴向力或横向力的情况是很少的，在受到轴向荷载的同时还受到横向荷载，基坑或隧道的开挖都会对邻近既有轴向荷载的基桩产生显著的影响.边坡上的基桩，与一般的基桩相比，不仅要受到来自上部结构的轴向力还受到来自岩土体的横向力.此类基桩的受力性状复杂，在轴横向荷载同时作用下，水平力将使桩身产生较大的弯矩和挠曲变形，竖向力又将因为桩身挠曲变形的出现产生附加弯矩(p－Δ效应)，而该附加弯矩又将使桩身挠曲变形增加.在我国桥梁基桩水平承载力的计算中，一般都不考虑轴向荷载及桩侧摩阻力的影响[1].云天锉[2]基于积分方程法分析桩顶受倾斜荷载的桩，但其未考虑桩侧摩阻力，这在理论上不够严密.赵明华[3]利用m法分析桩顶受倾斜荷载的基桩，虽然考虑了桩侧摩阻力，但假设桩侧摩阻力沿桩身呈线性分布，该方法仍有一定的局限性.本文在传统的Winkler地基基础上，引进剪力基床系数Kz来考虑桩侧摩阻力，剪力基床系数通过半无限弹性体中的Mindlin解求得.从桩的弹性理论出发，考虑桩顶的集中荷载和桩侧摩阻力，通过对典型单元的受力分析推导桩的挠曲线微分方程，并采用差分法求解该微分方程.1 基本假设及微分方程1.1 基本假设根据以上分析，为建立桩的挠曲线微分方程可作如下假设:(1)桩及桩周土体均处于弹性工作状态.图1 典型单元体示意图(2)桩是柔性桩，桩身均匀，各截面相等.(3)基于Winkler地基模型把桩视为弹性地基梁，且桩土之间的位移协调.1.2 桩身挠曲线微分方程如图1所示考虑长度为d z微分单元体，两端作用，两端作用有弯矩M、剪力H及轴力N，桩侧有土抗力q、侧摩阻力ps，单元体的横向位移为d u.对图1典型单元体下端中点取矩有:式中kh为桩侧土基床反力系数，单位为kN/m2，本文采用vesic[4]提出的方法来确定 .该方法的特点是将基床系数与桩的抗弯刚度、土体的弹性参数和土的泊松比联系起来[5].即:式中:Es为土体的弹性模量，单位为kPa;v为土的泊松比;Ep Ip为桩的抗弯刚度，单位为kN·m2;d为桩的直径，单位为m.对于桩侧摩阻力Ps，可定义Ps=kzw，kz可定义为剪切基床系数，kz的单位为kPa，kz的确定方法将在下节详述.1.3 边界条件的确定对于顶端自由的桩，桩顶的横向集中力H，轴向力N，弯矩M.故有对于桩端，除了刚性短桩以外，通常认为桩底的弯矩作用效应是可以忽略的[6，7].因此，桩端边界条件为图2 桩侧表面的积分图形2 基床系数的确定如图2所示将桩等分成n段，根据polous[8]的思想，按照mindlin解答的基本思路可求出桩侧任意一点的剪力与沉降的关系.由图2可得第i个单元桩侧土的沉降:式中:w是土体的沉降，h是单元i中点的纵坐标，ρI是位移系数，可由半无限弹性体中的Mindlin解给出，Es是土体的弹性模量.c是桩侧摩阻力所在单元的纵坐标.对(16)式运用积分第一中值定理并考虑到位移系数在c=h处的奇异性[8]，化简可得到(16)式.式(17)中Ps(h)和Es(h)沿着桩身随着深度变化而变化.Iv(h)可由(18)式确定.式(18)中的ρI可由 Mindlin解[9] 给出式中 z1=h － c，z2=h+c，r=2R sin(θ/2)，由(17)式可得式(20)中kz(h)=Es(h)/d Iv(h)，经上述分析可得到剪力基床系数kz.3 有限差分解利用有限差分法，将微分方程(10)、(11)、(12)、(15)离散得到代数方程.式中δh=L/n，离散后的代数方程是非线性的代数方程组，可采用Newton－Raphson方法求解.图3 桩顶作用水平力图4 竖向基床系数分布图4 算例验证算例1:为说明计算方法的实用性，本文与Poulos的弹性理论法[8]对比，如图3所示，计算时桩长与直径比为L/d=25，桩的柔度系数为kR=Ep Ip/EsL4，土的泊松比 v为0.5，桩顶自由，桩顶作用水平力.本文方法与Poulos的分析一致，在桩身刚度较小的时候，本文方法得到的桩身弯矩.由本文方法可得到剪力基床系数Kz随深度的分布.图4是竖向基床系数Kz的分布图.从桩顶到桩身，Kz呈非线性的分布，随着深度的增加，Kz先减小，后逐渐增大，且在靠近桩端的部分，Kz增加的较快.此外，由图4还可知道，随着泊忪比v的增大，剪力基床系数减小，但泊忪比v对剪力基床系数的影响较小.图5 桩身弯矩图6 桩身水平位移算例2:计算参数如下:取桩长与直径比 L/d=25，土的泊松比v=0.25，桩土弹性模量比Ep/Es=1000，桩顶作用的水平力和轴力分别为H=πGs d2，N=0.2H，0.5H，H，Gs为土体的剪切模量.从图5中可以看出本文方法得到的弯矩比polous得到的弯矩偏大，这是因为本文考虑了侧摩阻力的影响.从图5中还可知道，轴向荷载对桩身弯矩的影响主要集中在桩身上部Z/L=0～0.4的范围内.Z/L约等于0.2处，弯矩取得最大之.随着N/H 的增大，最大弯矩逐渐增大.当N=0.5H时，最大弯矩增加10.4%;当N=H时，最大弯矩增大32.8%.从图6中可看出，当N/H的值较小的时候，N/H的值对桩身挠度的影响较小.当N/H的值较大的时候，随着N/H的增大，p－Δ效应显著，桩身挠度显著增大.桩身的侧向挠度主要集中在Z/L=0～0.6范围内.5 结语本文在传统的Winkler地基基础上，引进竖向基床系数Kz来考虑桩侧摩阻力，并得到了竖向基床系数随深度的分布图.随着深度的增加，竖向基床系数显著地增大.本文在引进竖向基床系数的基础上，计算表明，忽略侧摩阻力会使桩身弯矩偏小，在设计中会带来潜在的风险.参考文献:[1]赵明华.轴向和横向荷载同时作用下的桩基计算[J].湖南大学学报，1987，14(2):69 －81.[2]Yun Tian － quan.Pile Analysis by Simply Integral EquationMethod[J].Appl，Math＆Mech，1981，2(3):2(3):331 －348.[3]赵明华.倾斜荷载下基桩的受力研究[J].湖南大学学报，1997，24(2):98 －102.[4]Vesic AS.Bending of Beams Resting on Isotropic Elastic Solids[J].Journal of Soil Mechanicals and Foundation Engineering，ASCE，1961，87(2):35 －41.[5]梁发云，于峰，黄茂松.受土体侧移作用既有轴向受荷单桩的简化算法[J].同济大学学报，2011，39(6):807－813.[6]PAK R Y S.On the Flexure of a Partially Embedded Bar Under Lateral Loads[J].Journal of Applied Mechanics，1989，56(2):263–269.[7]CHEN S L，CHEN L Z.Note on the Interaction Factor for Two Laterally Loaded Piles[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2008，134(11):1685–1680.[8]Hiroyoshi Hirai.A Winkler Model Approach for Vertically and Laterally Loaded Piles in NonhomogeneousSoil[J].Int.J.Numer.Anal.Meth.Geomech.2012，36:1869 – 1897.[9]RAYMOND D.MINDLIN.Force at a Point in the Interior of a Semi－Infinite Solid[J].Journal of Physis，1936，7(2):195 －202.[10]陈海兵.横向与竖向荷载作用下单桩分析方法及两桩相互作用系数研究[J].上海:同济大学，2011.。
3、弹性地基梁理论解析
它的四个根是两对共轭复数
因此，齐次方程式(5—5a)的四个线性无关的解为，
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
当利用欧拉公式及双曲线函数定义时，即
这四个解可写为
§2.2.1梁跨间无荷载时的解
这样齐次方程式(5—5a)的通解为
式中C1~C4为积分常数 由梁两端的四个边界条件确定。将通解yx 代入公式(5—3)及(5—4)，并利用公式(5—6)及下列微分关系后得
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
由于作用在梁上的荷载，组合方式甚 多，计算上应分别对待，在此不作详细讨 论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷 载情形。
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
因此：
式中
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
设有长为l、宽为b的弹性地基等裁面宣粱，梁上作用有 任意荷裁，其坐标、荷裁及内力的正方向如图5—1所示。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
在以下讨论中，取粱变形前的左端截面中 心为坐标原点，x轴向右为正，y轴向下为正。 分布荷载q(x)及集中荷载p向下为正，集中力 偶荷载M顺时针向为正。弯矩Mx。使梁上边 缘受拉为正，剪力： q(x)使微段反时针转为 正。挠度(沉陷) y(x)向下为正，角变位⊙x反 时针转为正。地基反力p(x)向上为正。
3.1 概述
●弹性地基梁理论：
弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反 力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的 几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有 关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常 采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地 基梁的理论主要有以下两种。
弹性地基梁计算模型
梁的结构优化
梁截面优化
梁的材料优化
优化梁的截面尺寸和形状，以提高梁 的承载力和稳定性。
选择高强度、轻质材料，如铝合金、 碳纤维等，以提高梁的承载力和刚度。
梁跨度优化
根据实际需求和工程条件，合理选择 梁的跨度，以减小梁的挠度和应力。
06 结论与展望
研究结论
弹性地基梁计算模型在工程实 践中具有广泛的应用价值，能 够有效地解决实际工程中的梁
在弹性地基梁的计算中，有限元法可以将梁的变形和内力 分布进行离散化处理，通过建立离散化模型来求解梁的位 移和应力分布。
有限元法的优点在于可以处理复杂的边界条件和材料非线 性问题，适用于各种类型的梁结构和地基条件。
有限差分法
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的 方法，通过求解差分方程来逼近原微分方程的解。
结果讨论
根据计算结果，对弹性地基梁的设计和施工提出建议和优化方案。
05 弹性地基梁的优化与改进
计算方法的优化
01
02
03
有限元法
采用有限元法进行弹性地 基梁的计算，能够更精确 地模拟梁的变形和应力分 布。
边界元法
边界元法适用于处理复杂 边界条件的地基梁问题， 能够减少计算量，提高计 算效率。
无网格法
研究展望
01
进一步研究弹性地基梁计算模型的精度和稳定性，提高模型的可靠性 和适用范围。
02
探索更加高效的数值算法和计算方法，以加速弹性地基梁计算模型的 求解过程。
03
将弹性地基梁计算模型应用于更加复杂的工程结构中，如大跨度桥梁、 高层建筑等，以拓展其应用领域。
04
结合先进的技术手段，如人工智能、大数据等，对弹性地基梁计算模 型进行优化和完善，提高其预测和评估能力。
弹性地基梁法(全面版)资料
弹性地基梁法（全面版）资料弹性地基梁法整体式平底板的平面尺寸远较厚度为大，可视为地基上的受力复杂的一块板。
目前工程实际仍用近似简化计算方法进行强度分析。
一般认为闸墩刚度较大，底板顺水流方向弯曲变形远较垂直水流方向小，假定顺水流方向地基反力呈直线分布，故常在垂直水流方向截取单宽板条进行内力计算。
按照不同的地基情况采用不同的底板应力计算方法。
相对密度Dr ＞0.5的砂土地基或粘性土地基,可采用弹性地基梁法。
相对密度Dr 0.5的砂土地基，因地基松软，底板刚度相对较大，变形容易得到调整，可以采用地基反力沿水流流向呈直线分布、垂直水流流向为均匀分布的反力直线分布法。
对小型水闸，则常采用倒置梁法。
（一）弹性地基梁法该法认为底板和地基都是弹性体，底板变形和地基沉降协调一致，垂直水流方向地基反力不呈均匀分布（图1），据此计算地基反力和底板内力。
此法考虑了底板变形和地基沉降相协调，又计入边荷载的影响，比较合理，但计算比较复杂。
当采用弹性地基梁法分析水闸闸底板应力时，应考虑可压缩土层厚度T 与弹性地基梁半长L ／2之比值的影响。
当L T 2小于0.25时，可按基床系数法（文克尔假定）计算；当L T 2大于2.0时，可按半无限深的弹性地基梁法计算；当2T ／L 为0.25-2.0时，可按有限深的弹性地基梁计算。
弹性地基梁法计算地基反力和底板内力的具体步骤如下：（1）用偏心受压公式计算闸底纵向(顺水流方向)地基反力。
（2）在垂直水流方向截取单宽板条及墩条，计算板条及墩条上的不平衡剪力。
以闸门槽上游边缘为界，将底板分为上、下游两段，分别在两段的中央截取单宽板条及墩条进行分析，如图1（a ）所示。
作用在板条及墩条上的力有：底板自重（q 1）、水重（q 2）、中墩重（G 1/b i ）及缝墩重（G 2/b i ），中墩及缝墩重中（包括其上部结构及设备自重在内），在底板的底面有扬压力（q 3）及地基反力（q 4），见图1（b ）所示。
弹性地基梁计算理论及算例讲义课件
号规定如右图所示。
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图3.3 弹性地基梁的微元分析
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
为建立 y x 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 d x ，考察该段
的平衡有：
Y 0, 得：
Q (Q d)Q ky q d (x)d x x 0
pi
bk
4 x xp
p
2 2 pi bk
3
x
x
p
x
xp
M
p
pi 2
2 x xp
Q p pi 1 x x p
（3.21）
当 xxp时，取特解项为零。
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4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解
2、集中力偶mi作用的特解项。
由pi作用下特解项的推导结果可知， 挠度附加项形式与初参数Q。作用下的挠 度相同，只是坐标起点与符号不同。同理， 在集中力偶mi作用下挠度附加项与初参 数M。作用下挠度也具有相同的形式，如 图3.6所示，Mo=Mi，故有
中有两个参数可由原点端的两个边界条件直接求出，另 两个待定初参数由另一端的边界条件来确定。这样就使 确定参数的工作得到了简化。表3.1列出了实际工程中 常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值。
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3. 初参数解
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4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解
式（3.7）等价于地基梁仅在初参数作用下的挠曲微分方程，式（3.6）等价 于地基梁既有初参数作用，又有外荷载作用的挠曲微分方程，其特解项就是仅 在外荷载作用下引起的梁挠度的附加项。下面根据梁上作用的各种形式荷载分 别加以讨论。
弹性地基梁的计算方法_卢晓莉
弹性地基梁的计算方法＊卢晓莉,李琦(河海大学工程力学系,江苏南京 210098)[摘 要]本文主要介绍的弹性地基上梁的计算方法,计算模拟假定主要分为反力直线假定、基床系数假定、半无限弹性假定.在基床系数假定中主要介绍的是初参数法,通过公式推导求出一般的表达式.在半无限弹性假定中主要介绍的是链杆法,即混合法.[关键词]弹性地基;基床系数假定;半无限弹性假定;初参数法;链杆法(混合法)[中图分类号]T U 471.2[文献标识码]A [文章编号]1004-7077(2008)02-0068-030 引言结构物与地基的连接方式主要取决于地基的条件和荷载的大小这两个方面.如果地基的条件比较好,荷载比较小,可以直接通过墙柱的作用,将荷载传至地基,但是如果地基的条件比较差,荷载比较大,就需要通过设置基础梁,基础梁的作用是把上部结构的重量、荷载等外力比较均匀地传给地基,以免地基承受局部较大的强度而破坏,在大型民用建筑物和水工建筑物经常会碰到这种情况.例如,在松软土壤中建造建筑物由于不能做成单个基础就必须设计成带形基础[1]、交叉基础或整片基础[2].因此,基础梁的作用就是将上层建筑传来的比较集中的力分散到地基上,从而减轻地基所承受的荷载强度.正因为基础梁承受着整个建筑物的重量和外来荷载,所以它的安全度关系着整个建筑物能否正常使用.因此建筑物的设计者对基础梁的研究十分重视,尽力想达到在保证安全的条件下较准确地估算出最少的材料用量.比较正确的计算理论是达到此目的的好途径之一.目前,基础梁的计算理论和计算方法仍在研究之中发展着.1 各种模拟假定的介绍1.1 反力直线假定[3]反力直线法是一种近似的方法,该法假定地基反力是按直线规律分布的,其地基反力图形在对称荷载作用下是矩形的,在偏心荷载作用下是梯形的.由于该假定没有考虑基础和地基变形的一致性,因此不论荷载及其分布情况如何,基础刚度和土壤的力学性质如何都可直接用材料力学的中心或偏心受压公式计算出地基反力,具有计算简单方便的优点.但是由于该方法没有考虑基础梁和地基之间的变形协调,因而其计算结果是不准确的,在设计重要的建筑物时不宜采用,通常只在初步估算或设计不太重要的基础梁的时候使用.1.2 基床系数假定(也称基床系数法)[4]1801年,富斯首先提出每单位长度的基础梁下的总地基反力和地基变形成正比.1867年,捷克人文克尔将其进一步发展为地基每单位面积上所受的压力P 与地基的变形y 成正比,即p=k y ,其中k 成为基床系数,这样该假定的适用范围就扩大到任何基础·68·2008年4月枣庄学院学报A p r .2008第25卷 第2期J O U R N A LO F Z A O Z H U A N GU N I V E R S I T Y V o l .25N O .2＊[收稿日期]2008-02-27[作者简介]卢晓莉(1982-)女,山东威海人,河海大学土木工程学院工程力学系2005级硕士研究生,主要从事计算力学与工程仿真研究.E-m a i l :2115530@163.c o m .梁.在基础系数法中,地基和基础梁遵循变形协调条件,即梁的挠度和地基的变形是一致的,也就是说即使在出现负的地基反力的时候也不会发生分离,这一点在实用上是可行的,因为结构的重量对地基施加了一个初始预压力.该假定还认为地基的变形只发生在基础范围内,基础以外的变形等于零(如图1所示).这显然是不正确的,因为我们知道地基的变形的变化应该是渐变的而不应该是突变的,即使受均布荷载作用,弹性基础各点的沉降也是不均匀的,而是基础中心较大,荷载区域外也不等于零.因此变形不仅仅只发生在地基范围内,也应该发生在基础范围以外.在基床系数法中,用的只是一个,而我们知道不仅与土壤的性质有关,而且也与荷载面积的大小和形状有关,在单位荷载相同的条件下,基床系数随基础底面积的增加而减小,因此,某一种土壤的基床系数不可能是一个常数.因此这种方法虽然适用范围比较广但是我们也应注意到它存在的问题.目前,基于基床系数假定的计算方法主要有初参数法[3]、变截面法[5],链杆法[3]、有限元法[7]、有限差分法[8].图1 文克尔地基的变形F i g .1 t h e d e f o r m a t i o n o f w i n k l e r 's f o u n d a t i o n我们主要介绍一下初参数法:该方法为弹性地基梁的通解,适用于任何梁端边界条件,任何荷载情况,可解决较为复杂的问题.根据文克尔假定[4],弹性地基梁的地基反力与沉降成正比,即p=k y .实际上受荷载的弹性地基梁变形后,除了垂直反力外,还有作用在梁和地基接触面上的水平摩擦力,但因其影响较小,一般不予考虑.图2-1为一受荷载的弹性地基梁的变形情况,现取其中一无穷小的单元,其长度为d x ,假设该单元位于分布荷载q 的b c 段梁上,则作用在该单元上的诸力如图2-2所示.考虑单元的平衡,垂直力总和应为0,即 图2-1 弹性地基梁的受力变形图 图2-2 无穷小的梁单元 F i g .2-1 t h e d e f o r m a t i o n o f e l a s t i c f o u n d a t i o n F i g .2-2 i n f i n i t e s i m a l b e a me l e m e n tQ-(Q+d Q )+b k y -q d x=0 则d Q /d x=b k y -q(1)引入Q =d M/d x 的关系式,可写成d Q /d x=d 2M/d x 2=b k y -q(2)在材料力学中梁受弯的微分公式E 0J(d 2y /d x 2)=-M (3)将(3)式两次微分得 E 0J (d 4y /d x 4)=-d 2M/d x 2(4)把(2)式和(4)式联立可得E 0J d 4y /d x 4=-d 2M/d x 2(5)(5)式即为弹性地基梁的基本理论方程式,即梁的弹性曲线微分方程.在梁的不受荷载部分,分布荷载q=0,则方程式可化为·69·卢晓莉,李琦 弹性地基梁的计算方法E 0J (d 4y /d x 4)=-b k y (6)则(6)式的一般解可以写成以下形式y=e βx (C 1c o s βx +C 2s i n βx )+e -βx (C 3c o s βx +C 4si n βx )(7)这样我们只要确定C 1,C 2,C 3,C 4就可以求出弹性地基梁的弹性曲线倾角θ,弯矩M ,剪力Q ,以及地基反力p=k y ,而C 1,C 2,C 3,C 4可以利用初参数y 0,M 0,Q 0,θ0通过联立方程组求得.不同情况下,初参数y 0,M 0,Q 0,θ0的取值不同:当梁端为自由端时,y ≠0,θ≠0,M =0,Q =0;当梁为简支端时,y=0,θ≠0,M =0,Q≠0;当梁为固定端时,y=0,θ=0,M≠0,Q≠0;当梁的结构和外荷载作用均为对称时,初参数也可利用对称条件确定并得到简化.1.3 半无限弹性假定[2-3](简称弹性理论法)该假设是由苏联学者普洛克托儿于1919年首先提出文克尔假设的问题后提出的假定.这一计算方法是假定地基是半无限大的连续弹性体,即认为土壤是密实而匀质的弹性物体,应用弹性理论计算地基的沉陷,用材料力学公式计算梁的变形,然后根据接触和平衡条件确定地基的反力.弹性理论的公式推导,都是假定物体是均匀连续的、完全弹性的和各向同性的为前提.对于岩性地基,可以把它看成是连续弹性体,但对于土壤地基来说,土壤是松散的颗粒体,不能承受拉力.它在受压后,变形是由弹性变形和永久变形两部分组成的,并且永久变形大于弹性变形.如果土壤受压过大,它在基础边缘附近的部分会因为产生流动而进入塑性状态.但尽管在土壤和弹性体之间存在着差别,还是可以把土壤地基当作连续体看待.因为,按地基的工作条件,其主要是加载,而不是卸载,通常是受压的.同时,在基础设计中,地基的压力是有限制的,塑性状态只能是在很小的范围内,故可以忽略.基于半无限弹性地基假定的近似解决方法有:多项式法[2]、链杆法、能量法[2]等.2 结论总结上述几种方法来看,每种方法都各有各的优点与缺点,反力直线假定太简单无法满足比较复杂的地基要求,但是在初步估算或设计不太重要的基础梁的时候使用.基床系数假定由于没有考虑地基变形是连续的,具有一定的局限性和不合理性,但是初参数法适用于任何梁端边界条件,任何荷载情况,可解决较为复杂的问题.而半无限地基假定中我们用到的链杆法,就相对比较简单,它综合了有限元法[8]和链杆法的优点,能够解决比较复杂的问题.因此我们在计算的时候要结合条件,选择最为简洁,方便和相对正确的方法进行解答,这就要求我们在日常工作学习中,加以积累和思考.参考文献[1]彭宣茂.软基上多格水池结构计算的半解析法[J ].特种结构,2001,18(2):45-48.[2]黄义,何芳社.弹性地基上的梁、板、壳[M ].北京:科学出版社,2005,20-32.[3]丁大钧,刘忠德.弹性地基梁计算理论和方法[M ].南京工学院出版社,1986,5-13.[4]中国船舶工业总公司第九设计研究院.弹性地基梁及矩形板计算[M ].国防工业出版社,1983,23-53.[5]高屹.浅析弹性地基梁设计模型与计算方法[J ].甘肃科技,2003,3:103-110.[6]李皓月,周田朋,刘相新.A N S Y S 工程计算应用教程[M ].中国铁道出版社,2003,55-68.·70·枣庄学院学报2008年第2期。
文克尔地基上的有限长梁计算
基础梁计算方法：
基础梁承受着整个建筑物的重量和外来荷载，所 以它的安全度关系着整个建筑物能否正常用。因 此建筑物的设计者对基础梁的研究十分重视，使 基础梁的计算内力尽可能与实际受力相接近, 从而 合理设计、合理配筋。
目前基础梁的实用工程分析法多采用两种方法: 完 全不考虑上部结构-基础-地基的共同作用或只考 虑基础-地基的共同作用。
w
M 02
K
Bx
M 03
K
Cx
其中
M
M0 2
Dx
Ax ex (cosx sin x)
V
M 0
2
Ax
Bx ex sin x
Cx ex (cosx sin x)
Dx ex cosx
Ax、Bx、Cx、Dx的数值可以查表确定
3、有限长梁的判定
实际工程中的梁是属于无限长梁还是有限长梁并非
以梁的绝对尺寸划分，而是通过荷载在梁端引起
文克尔地基上的有限 长梁计算
研究背景
土质地基上受多个集中力作用的有限长梁, 是工程实践中时常遇到的 一种力学模型。
基础梁： 工程中，结构物与地基的连接方式主要取决于地基的条件和荷载的大
小这两个方面。如果地基的条件比较好，荷载比较小，可以直接通过 墙柱的作用，将荷载传至地基，但是如果地基的条件比较差，荷载比 较大，就需要通过设置基础梁，基础梁的作用是把上部结构的重量、 荷载等外力比较均匀地传给地基，可以在一定程度上调节建筑物沉降， 使其均匀化，以减小地基所受压力的强度，使地基满足承载力的要求。 因此，基础梁被广泛应用在工业与民用建筑上。 常用的基础梁包括：柱下条形基础、柱下交叉条形基础、筏形基础和 箱型基础等。
1.建立文克尔地基上梁的挠曲微分方程：
Winkler弹性地基上预应力锚索地梁内力的计算方法
Winkler弹性地基上预应力锚索地梁内力的计算方法夏雄;周德培【摘要】介绍用Winkler弹性地基梁计算预应力锚索地梁的内力,并给出主要计算流程.结合京珠高速公路某工点工程实例,将Winkler弹性地基梁和连续梁方法的计算结果与工程实测进行比较,指出在预应力锚索地梁正常工作状态下,采用Winkler 弹性地基梁方法所得结果与真实情况更为吻合.【期刊名称】《铁道标准设计》【年(卷),期】2005(000)001【总页数】3页(P46-48)【关键词】预应力锚索;地梁;内力;Winkler弹性地基【作者】夏雄;周德培【作者单位】西南交通大学峨眉校区土木系,四川峨眉,614202;西南交通大学土木工程学院,成都,610031;西南交通大学土木工程学院,成都,610031【正文语种】中文【中图分类】U412.36+6.1;U416.1+4在预应力锚索边坡工程中，由于预应力锚索外锚头处常常处于一种高应力状态区，并会在外锚头附近的浅层岩土表面出现应力受拉区，为了分散其高应力状态，避免浅层岩土的压缩变形过大，进而引起预应力的损失；同时，也为了调整浅层土体的受力状态，使其成为三向受压，对外锚头的结构就提出了一定的要求。
在工程经验的基础上，目前已发展了一种单根地梁的外锚头作用形式，如图1所示。
图中，锚索张拉力为Pi，地梁下岩土体反力为p(x)；地梁自重为G以及坡面摩擦力T。
该结构比较简单，易于施工，而且提供的挡护力大，是加固高边坡的一种很有效的方法。
然而，目前很多设计部门在设计这种结构时，一般都采用经验类比法来估算地梁内力，或者按一般建筑基础的方法[1～3]来计算地梁内力，没有较为严格地根据岩石高边坡工程中预应力锚索地梁的具体受力特点来设计计算地梁，其不合理性及弊端是显而易见的。
本文给出按照Winkler弹性地基梁进行地梁内力计算的方法，并与连续梁计算结果和实测结果进行比较，指出采用Winkler弹性地基梁方法的合理性。
抗滑桩全桩计算的有限差分法
4
(9)
式中 : P0 — — — 锚索集中荷载即锁定拉力值 , (kN) ; λ— 差分单元长度 , (m) ;
kp — — — 锚索水平换算弹性系数 , ( kNΠ m) 。 kp = n EA 2 ×cos α , ( kNΠ m) L
BK( xn +3 ) λ EI
4
位移解 。利用差分公式即可就得全桩内力 、 弯矩 、 桩 侧地基应力等 。 313 预应力锚索抗滑桩的相关假定与等效 求解预应力锚索抗滑桩 , 主要是确定锚索作用力 大小与桩锚的协调变形 。对此做与下假定 :锚索约束 换算为等效地基系数 ;桩头锚索施加力值大小等效为 锚索作用点处的桩身荷载 。 根据圣维南原理 ,可将锚索集中力与锚索约束点 支座等效为邻近差分单元的集度分布 ( 图 3) 。 λ �( xi ) = � q q0 ( x i ) - P0Π
B K( x i ) λ + B i+ 1 ( B i+ 2 - 4) - Ci+ 2 EI
4 4
α— )。 — — 锚索的倾角 ( °
Bi = Ci ( 4 - B i+ 1 ) , Ci = 1Π Ai , Di = q ( x i )λ ] - Di +1 ( Bi +2 - 4) - Di+ 2 EI Ai
其中由方程 ( 4) 可得 : B n + 4 = 2 , Cn + 4 = 1 , Dn + 4 = 0 令 ( 7) 带入方程 ( 3 ) 中 方程 ( 3) 中 i = n + 3 , 将方程 ( 6) 、 化简得到 : ( 8) y n+ 3 = Bn +3 y n+ 2 - Cn+ 3 yn +1 + Dn+ 3 其中 : An +3 = 2 +
3、弹性地基梁理论解析
当利用分部积分
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
对于全跨梯形荷载弹性地基等截面直梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
在概述中我们提到，当地基梁的刚度很大，地基抗力近似 为直线分布，地基梁的计算可退化为静定问题计算。
无限长梁：若荷载作用点仅距梁一端的换算长度>=2．75 时，可忽略该荷载对这一端的影响，而对另一端的影响 不能忽略，这类梁称为半无限长梁。无限长梁可化为两 个半无限长粱，因此，我们只讨论半无限长梁。
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
由于作用在梁上的荷载，组合方式甚 多，计算上应分别对待，在此不作详细讨 论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷 载情形。
式中 p(x)——梁单位长度上的地基反力(公斤／厘米)， b——梁的宽度(厘米)， k——比例系数，在地下建筑中称围岩弹性抗力系数 (公斤／厘米3。)，其物理意义为使单位面积地 基沉陷单位深度时所需要的力。各种围岩的弹 性抗力系 数，交附表5—3及附表5—4；
y(x)——梁的挠度(厘米)。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
为了计算方便，我们将地基梁分为刚性梁、柔性梁（长梁） 和弹性梁（短梁）三种。
基于Winkler弹性地基梁模型的基坑支护结构内力与变形数值分析方法
２ ０ １ ３年 ９月
土
木
工
程
与
管
理
学
报
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ０ Ｎｏ ． ３ Ｓ ｅ ｐ． ２０１ ３
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ｍａ ｎ ａ ｇ ｅ ｍｅ ｎ ｔ
Ｃ Ｈ Ｅ Ｎ Ｙ ａ ｎ — ｂ ｉ ｎ ，Ｗ Ａ ＮＧ Ｆ ａ ｎ － ｊ ｕ ｎ
（ Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｔ ｈ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉ ｒ ｎ ｇ Ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ａ ｎ ｄ Ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ Ｃ ｏ ｒ ｐ ｏ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ３ ０ ０ １ ８ １ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｗ ｉ ｎ ｋ ｌ ｅ ｒ ｂｅ ａ ｍ ｏ ｎ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ａ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｔ ｈｅ ｏ ｒ ｙ ａ ｂ ｏ ｕ ｔ ｔ ｈ ｅ ｆ ｏ ｕ ｎ ｄａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄｅ ｓ ｉ ｇ ｎ， ｔ ａ ｋ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｇ ｒ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｎ ｄ ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｔ ｏ ａ ｃ ｃ ｏ ｕ ｎ ｔ ． Ｒｅ ｔ ａ ｉ ｎ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ｏ ｔ ｅ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｆ ｏ ｒ ｅ ｘ ｃ ａ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｉ ｔ ａ ｌ ｓ ｏ ｓ ｈ ｏ ｕ ｌ ｄ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｉ ｌ — ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ．Ｃｕ ｒ ｒ ｅ ｎ ｔ ｌ ｙ
3.4文克勒地基上梁的计算解析
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。 影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
M0 M
q
M+dM V+dV
+q
x w bp
挠曲曲线
V bp x
+V
+M
w
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
d2w EI 2 M dx
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
Wi Si
挠度=沉降量
解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
x F o
dx q
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设： 地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
弹性地基梁的计算
弹性地基梁的计算弹性地基梁是一种结构，其特点是梁体与地基之间存在一定的弹性变形能力。
这种结构通常用于承受复杂荷载，且地基土质较差或变化较大的场合。
弹性地基梁的设计计算主要涉及梁体的承载力和变形能力以及地基的变形和承载能力等方面。
首先，需要确定梁体的形状和尺寸。
在弹性地基梁设计中，通常采用矩形和T型梁等形状。
根据梁体所受荷载和跨度的大小，确定梁体的宽度和高度等尺寸。
接下来，计算梁体的弯曲和剪切应力。
根据梁体所受的荷载和跨度，可以通过梁体的弯矩和剪力计算出梁体的弯曲和剪切应力。
如果梁体所受的荷载较大或形状较复杂，还需要考虑二阶效应和变形计算等。
然后，需要确定地基的变形和承载能力。
地基的变形和承载能力是弹性地基梁设计的重要参数。
通常通过地基的压缩模量、剪切模量和弯曲模量等参数来计算地基的变形和承载能力。
最后，需要计算梁体和地基的相互作用。
由于梁体与地基之间存在一定的弹性变形能力，因此在计算梁体和地基的相互作用时需要考虑地基的刚度和梁体的刚度等因素。
在进行弹性地基梁的计算时，还需要注意以下几个问题。
首先，需要根据实际情况选择合适的计算方法和理论模型。
例如，可以采用经验公式、解析方法、有限元方法等进行计算。
其次，需要进行合理的假设和简化。
例如，可以假设地基土质为均匀、各向同性等来简化计算。
最后，需要进行合理的验算和控制。
例如，对梁体的弯矩和剪力应力、地基的变形和承载能力等进行验算，以确保结构的安全和稳定。
总之，弹性地基梁的计算是一个复杂而重要的工作。
在计算过程中需要考虑梁体和地基的相互作用以及变形和承载能力等，通过合理的计算方法和理论模型，可以得到合适的梁体形状和尺寸以及地基的变形和承载能力等设计参数，从而保证弹性地基梁的安全和稳定性。
弹性地基梁计算模型
在大型桥梁的设计和建设中，支撑结构的稳定性至关重要。 通过应用弹性地基梁计算模型，可以模拟桥梁在不同负载和 地质条件下的支撑结构反应，从而优化设计，提高桥梁的安 全性和稳定性。
工程实例二：高层建筑的抗震性能评估
总结词
高层建筑的抗震性能评估是弹性地基梁计算模型的另一个重要应用。
详细描述
高层建筑在地震等自然灾害中的安全性是至关重要的。通过应用弹性地基梁计 算模型，可以模拟高层建筑在地震作用下的动态反应和变形，评估其抗震性能， 为建筑设计和加固提供科学依据。
实验材料
选择适当的弹性地基材料，如土壤、砂石等，以 及梁的构造材料，如钢材、混凝土等。
3
实验设备
包括测量设备、数据采集仪器、加载设备等，确 保能够准确测量梁的位移、应变等参数。
数据采集与分析
数据采集
01
在实验过程中，使用测量设备实时记录梁的位移、应变等参数，
确保数据的准确性和可靠性。
数据处理
02
对采集到的数据进行整理、分析和处理，提取关键参数，如梁
工程实例三
总结词
在复杂地质条件下，隧道开挖的稳定性是施工中的一大挑战。
详细描述
在隧道开挖过程中，地质条件的复杂性可能导致开挖面失稳等问题。弹性地基梁 计算模型可以用于分析隧道开挖面在不同地质条件下的稳定性，预测可能出现的 工程风险，并提供相应的加固措施建议，确保施工安全。
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THANKS
特性
具有较好的适应性，能够承受较 大的载荷，且在载荷作用下能够 保持较好的稳定性。
应用领域
01
建筑结构
在大型建筑、桥梁、高层建筑等 结构中广泛应用，用于支撑和传 递载荷。
机械工程
02
第3章弹性地基梁理论
2
(
x
-
x
a
)
q
q 1 x b - x a bk
1 1 ( x - xa )
M q
q xb - xa
1 4
3
2
( x- xa
)
Q q
q xb - xa
1 2 2
3 ( x - xa )
当 x xb 时，积分限是 [xa , xb] ，
yq
q k(xb
xa
)
(xb
xa) 1(xxb)
普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
温克尔假设： y
p k
把地基模拟为刚性 支座上一系列独立
的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层， 下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。
8 e ax sin ax
对于梁的左半部分，只需将式中 Q 和 改变负号即可。
无限长梁在集中力偶mi作用下的计算
反对称条件：
y 0 x0
M mi
x0
2
代入齐次微分方程通解得：
q kbl
x
1
2
2
yq
q bk
1- 1
q
q kbl
1 1
M
q
-
q
4 3l
4
q
2
bk
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弹性地基梁的计算
第3章 弹性地基梁的计算计算基础梁常用的三种假设： (1)地基反力按直线分布的假定； (2)文克尔假定；(3)地基为弹性半无限体(或弹性半无限平面)的假定。
3.1按文克尔假定计算基础梁的基本方程1. 弹性地基梁的挠度曲线微分方程根据文克尔假定，地基反力用下式表达。
Ky =σ (3-1) 式中，σ－任一点的地基反力（kN/m 2）y －相应点的地基沉陷量（m ）K －弹性压缩系数（kN/m 3）梁的角变，位移、弯矩、剪力及荷载的正方向均如图中所示。
推导出基础梁的挠度曲线微分方程。
图3-1从弹性地基梁中取出微段，根据平衡条件∑y =0，得 (dQ Q +)－Q +dx x q )(－dx σ＝0 化简后变为)(x q dx dQ-=σ (3-2) 再根据∑M =0，得M －(M +dM )+(dQ Q +)dx +2)(2)()(22dx dx x q σ-=0 整理并略去二阶微量，则得dx dM Q =(3-3) 由式(3-2)和式(3-3)，知)(22x q dx Md dx dQ -==σ (3-4)若不计剪力对梁挠度的影响，则由材料力学中得dx dy =θdx d EJM θ-== 22dx y d EJ - (3-5)33dx y d EJ dx dM Q -== 将式(3-5)代人式(3-4)，并应用式(3-1)，则得)(44x q Ky dx yd EJ +-= (3-6) 令 α＝44EJ K（3-7） 代入式(3-6)，得)(444444x q K y dx y d αα=+ (3-8)式中α叫做梁的弹性标值。
式(3-8)就是弹性地基梁的挠度曲线微分方程。
为了便于计算，在上式中用变数x α代替变数x ，二者有如下的关系：)()()(x d dy dxx d x d dy dx dy αααα== (3-9) 将上式代入式(3-9)，则得)(44)(44x q K y x d y d αα=+ (3-10)2. 挠度曲线微分方程的齐次解解的一般形式为：x x sh C x x sh C x x ch C x x ch C y ααααααααsin cos sin cos 4321+++= （3-11） 在上式中引用了2x x e e x sh ααα--=， 2xx e e x ch ααα-+=3.2按文克尔假定计算短梁1. 初参数和双曲线三角函数的引用图示一等截面基础梁，设左端有位移0y ，角变0θ、弯矩0M 和剪力0Q ，它们的正方向如图中所示。
温克尔地基系数
温克尔地基系数1. 介绍温克尔地基系数（Winkler’s soil modulus）是土壤力学中用于描述地基承载能力的一个重要参数。
它是由德国工程师阿尔伯特·温克尔（Albert Winkler）于20世纪初提出的，用于评估土壤的刚度和强度，进而判断地基的稳定性和承载能力。
2. 地基承载能力地基是建筑物的支撑结构，承担着建筑物自身重量以及外部荷载（如风、雨、震动等）所产生的力。
为了确保建筑物的安全可靠，必须对地基进行合理设计和评估。
而地基承载能力则是评估地基是否能够承受这些荷载并保持稳定运行的关键指标之一。
3. 温克尔地基系数的定义与计算温克尔地基系数是通过测量土壤对单位面积上施加垂直荷载后产生的沉降来确定的。
它描述了单位面积上施加单位荷载时土壤所产生的变形情况。
温克尔提出了一种简化模型来计算地基的承载能力。
他将地基看作由一系列弹簧和阻尼器组成的系统，每个弹簧和阻尼器对应着土壤中的一个单元。
这些单元在受到荷载时会发生变形，从而导致地基整体上的沉降。
根据温克尔地基系数的定义，可以得到以下公式：其中，K表示温克尔地基系数，a为单位体积土壤重量，E为土壤的弹性模量。
4. 温克尔地基系数的影响因素温克尔地基系数受多种因素影响，例如土壤类型、含水量、固结程度等。
以下是一些常见的影响因素：4.1 土壤类型不同类型的土壤具有不同的物理和力学性质，因此其温克尔地基系数也会有所不同。
例如，在粘性土中，颗粒间存在较强的吸附力和黏聚力，导致其刚度较高；而在砂土中，颗粒之间摩擦较大，刚度较低。
4.2 含水量土壤中的含水量对温克尔地基系数有着重要影响。
当土壤含水量增加时，颗粒间的黏聚力会减小，导致土壤刚度下降。
这也是为什么在建筑工程中常常需要进行排水处理的原因。
4.3 固结程度土壤的固结程度指的是土体颗粒之间的接触状态和密实程度。
固结程度越高，颗粒之间的接触面积越大，因此温克尔地基系数也会相应增加。
反之，固结程度较低时，土壤的刚度较小。