函数的周期性常见结论归类.doc

函数的周期性常见结论归类

四川省苍溪实验中学校

周万勇

一 . 周期函数的定义：

设函数 y f ( x) 的定义域为 D ，若存在常数 T ≠ 0，使得对一切 x ∈ D ，且 x+T ∈ D 时 都有 f ( x T ) f ( x) ，则称 y f ( x) 为 D 上的周期函数，非零常数 T 叫这个函数的周

期。

二 . 常见结论 ( 约定 a>0)

（ 1） f (x )

f (x a) ，则 f (x) 的周期 T a ；

（ 2） f ( x a)

－ f ( x) ，或 f (x a)

f (x － a) 或 f (x a)

1 ( f (x ) 0) ，或

f ( x )

f (x a)

1

( f (x) 0), 则 f ( x) 的周期 T 2a ； f ( x a)

1

f (x)

，则 f ( x) 是 f (x) 1 f (x)

以 T

2a 为周期的周期函数 .

（ 3） f ( x a)

1

f ( x)

，则 f (x) 是以 T 4a 为周期的周期函数 .

1 f ( x)

（ 4） f ( x

a) 1

f (x)

，则 f (x) 是以 T 4a 为周期的周期函数 .

1 f (x)

（ 5）函数 y f ( x) 满足 f (a x) f (a x) （ a 0 ），若 f ( x) 为奇函数，则其周期

为 T 4a ，若 f ( x) 为偶函数，则其周期为 T 2a . （ 6）若 f (a x ) f (a x) 且 f(x) 是偶函数 , 则 y f (x) 是周期为 4a 的周期函数；

若 f(x)

是奇函数 , 则 y

f (x) 是周期为 2a 的周期函数。

（ 7）若函数 f x 在 R 上满足 f (a x )

f a x ，且 f (b x ) f b x （其中

a b ），则函数 y f x 以 2 a b 为周期 .

（ 8）若函数 f x 在 R 上满足 f ( a x) f a x ，且 f (b x ) f b

x （其 中 a b ），则函数 y f x 以 2 a b 为周期 .

（ 9）若函数 f

x 在 R 上满足 f (a x ) f a x ，且 f ( b

x)

f b

x （其中

a b ），则函数 y f x 以 4 a b 为周期 .

(10) f ( x)

(11)

f ( x 1

f (x a) (12) f (x)

1

1 ( f ( x) 0) ，则 f (x) 的周期 T 3a ；

f (x a)

x 2)

f ( x 1) f ( x 2) 且 f (a) 1( f (x 1) f ( x 2)

1,0 | x 1 x 2 | 2a) ，或

1 f (x 1) f (x 2)

f ( x － a) 则 f ( x) 的周期 T=4a ；（证明方法：令 x 1 x, x 2 a ）

f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x)f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a),

则 f ( x) 的周期 T 5a ；

证明： f (x) f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x)f (x a) f (x 2a)f (x 3a) f (x 4a)

令 x x

a ，则 f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x 5a)

f (x a)f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x 5a)

两式做差得：

f ( x 5a) f ( x) [ f (x 5a) 整理 [ f ( x 5a) f (x)] [ f ( x 若 f (x 5a) f ( x) 0 则 f ( x f (x )] [ f ( x a) f ( x 2a) f ( x 3a) f ( x 4a)] a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) 1] 0

5a) f (x) 证毕

否则 f ( x a) f ( x 2a) f ( x 3a) f (x 4a) 1，这不可能。

举个反例：分段函数

1 ( x a, 3a,5 a,...)

f ( x )

2a,4 a,6a,...)

1 ( x

f(x) 也是符合题意的。

， x 的定义域是一系列的点，

(13) f ( x a) f ( x) f ( x a) ，则 f (x) 的周期 T 6a .

(14) 周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周

期 . 并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数 f (x ) a( x R) ；

(15)周期函数的定义域是无界的；

(16) 若 T 为y f ( x) 的周期，则nT (n Z 且 n 0) 也是 y f ( x) 的周期

(17) 若函数f (x)恒满足f ( x a) f ( x b) ，则 f (x)是周期函数， 2 a b 是它的一个周期；

推论：若函数 f ( x) 恒满足 f ( x a) f ( x b) (a b) ，则 f ( x) 是周期函数，

2 a b 是它的一个周期；

三、主要方法：

x 恒有

1 ．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的

f (x T ) f (x) ;二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.

2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的

运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。