矩阵的特征值与特征向量专题讲解

矩阵的特征值与特征向量专题讲解

一、内容提要

一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念

设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是

λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法

（1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0；

（2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质

（1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）；

（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；

（4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中

()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量； （5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则

1

λ

是1A -的特征值；

A

λ

是*A 的特征值，

a 仍为相应的特征向量；

（6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()1

1

n

n

i ii i i a tr A λ====∑∑（迹）；

1

n

i

i A λ

==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零；

（7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的

特征向量彼此正交。

二、相似矩阵

1、定义

设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ；

２、A ～B 的性质

T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～

()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=-

⇒特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。 三、矩阵对角化的条件及方法

１、若矩阵A 与对角阵相似，则称A 可对角化，

（１）n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量； （２）若A 的特征值两两不同，则必可对角化。

２、实对称阵A 必可对角化，且存在正交阵P ，使1P AP -=Λ

实对称矩阵正交对角化具体计算步骤如下： （１）求出实对称矩阵A 的全部特征值；

（２）若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；

若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；

（３）将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P

二、典型例题

题型１：求数字矩阵的特征值与特征向量

例１（８７，６分）求矩阵312014101A --⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

的实特征值及对应的特征向量。

解

()()232

+3

1-23

10

+1

4201221451

1

1

01

E A c c λλλλλλλλλλλ+-=-++-=-++--， ()()2145E A λλλλ-=-++ 所以实特征值为 1λ=，

4121001 100000E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，基础解系021a ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，

故属于特征值1λ=的所有特征向量为()0,2,1T

k ，k 为任意非零常数。 例２ 设向量()()1212,,...,,,,...,T

T

n n a a a b b b αβ==都是非零向量，且满足条件

T =0αβ，记矩阵T A=αβ，

求：（１）2A （２）矩阵A 的特征值和特征向量。（９８，９分）

解 （１）()()()()2,T T T T

T

T A αβαβαβαβ

βαα

β===因为T =0,αβ所以T 2=0,A =O;βα⇒

（２）设A ,0,x x x λ=≠则22A x Ax x λλ==，而2A O =，故20,x λ=而0x ≠，故0λ=，

解齐次线性方程组()00E A x -= 不妨设

1111

121122122

21

2

0,0,.........00...0...00...0n n n n n n n a b a b a b a b b b b a b a b a b A a b a b a b ≠≠---⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪--- ⎪

⎪-=→ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

---⎝⎭

⎝⎭ ，可得基础解系 32121111,1,0,...,0010,...,,0,0, (1)

T

T

n n b b b b b b ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，...，于是

A 的属于特征值0λ=的全部特征向量为112211...n n c c c ξξξ--+++，其中

121,,...,n c c c -是不全为零的任意常数。

例３（０９，４）设()()1,1,1,1,0,,T T k αβ==若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，

则k ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

解 T αβ＝111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()101,0,10,10k k k k ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭由题意，()1300,T t r k αβ=+=++即

2k =。

例４设122212,221A -⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪--⎝⎭

（１）求A 的特征值；（２）求-1+A E 的特征值。