矩阵的特征值与特征向量专题讲解
矩阵的特征值与特征向量(PPT)
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =
3矩阵的特征值和特征向量
3矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念之一，它们在许多应用中具有重要的意义。
本文将详细介绍矩阵的特征值和特征向量，并说明它们的性质和应用。
一、矩阵的特征值和特征向量定义对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么k称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的特征向量。
我们可以用以下的形式表示矩阵的特征方程：det(A-λI)=0其中，det(A-λI)是矩阵A-λI的行列式，λ是一个常数，I是单位矩阵。
根据特征方程，我们可以求解出矩阵A的特征值λ。
然后，将每个特征值代入特征方程，可以求解出对应的特征向量x。
二、特征值和特征向量的性质1.特征值的性质：-一个矩阵的特征值可以是实数，也可以是复数。
-一个n×n的矩阵最多有n个不同的特征值。
- 特征值与矩阵的行列式有关，它们的乘积等于矩阵的行列式：det(A)=λ1*λ2*…*λn。
2.特征向量的性质：- 特征向量具有标量倍数的自由度，即如果x是矩阵A的特征向量，则kx也是矩阵A的特征向量，其中k是任意非零标量。
-特征向量可以用于表示矩阵的一组基，这意味着可以用特征向量表示矩阵的任意向量。
三、特征值和特征向量的计算对于一个给定的n×n矩阵A，我们可以通过以下步骤计算其特征值和特征向量：1. 解特征方程det(A-λI)=0，求得特征值λ1, λ2, ..., λn。
2. 将每个特征值代入特征方程，解出对应的特征向量x1, x2, ..., xn。
对于一些矩阵，特征值和特征向量可以通过简单的计算得到。
例如，对于对角矩阵，其特征值就是其主对角线上的元素，而对应的特征向量可以是单位向量。
对于一些特殊的矩阵，如上三角矩阵和下三角矩阵，其特征值也可以很容易地得到。
四、特征值和特征向量的应用1.线性系统的稳定性分析特征值和特征向量在控制论中经常用于分析线性系统的稳定性。
对于一个线性系统，通过求解其特征值，可以判断系统是否稳定。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量一、定义与性质：1.特征值：设A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个非零列向量X使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
2.重要性质：(1)特征值与特征向量是一一对应的，即一个特征值对应一个特征向量，特征向量的倍数仍为特征向量。
(2) 设λ1，λ2，...，λn是A的n个特征值，则A的特征值的和等于A的主对角线元素之和，即λ1+λ2+...+λn=ΣAii(i=1,2,...,n)。
(3)A的特征值的积等于A的行列式值，即λ1λ2...λn=，A。
二、计算方法：1.方程法：设λ是A的一个特征值，则有，A-λE，=0，其中E是n阶单位矩阵。
将，A-λE，=0展开，可以得到一个n次的多项式，称为特征多项式。
解特征多项式，即可求得特征值。
2.特征向量法：对于方程A-λE=0，将其变形为(A-λE)X=0，其中X是一个n维列向量。
求解(A-λE)X=0可以得到特征向量。
三、应用：1.物理学中的应用：(1)量子力学中的量子态演化过程可以表示为一个特征值问题，特征值对应着能量，特征向量对应着量子态。
(2)电力系统中的节点电压和电流可以用矩阵的特征值和特征向量求解，用于电网稳定性的分析。
2.经济学中的应用：(1)马尔可夫过程中的平稳分布可通过马尔科夫矩阵的特征值和特征向量求解。
(2)输入输出模型中，矩阵表示产出与投入之间的关系，通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以得到经济系统的稳定性和发展趋势。
3.图像处理中的应用：(1)图像压缩算法中，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行信息提取和图像压缩。
(2)图像识别中，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量，进行目标物体的特征提取和分类。
总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它们的计算方法可以通过特征多项式和特征向量方程进行求解。
在物理学、经济学和图像处理等领域都有着重要的应用，可以对实际问题进行分析和求解。
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，其特征值和特征向量也是矩阵理论中的核心内容。
本文将全面介绍矩阵的特征值和特征向量，包括定义、性质、求解方法以及应用等方面，为读者深入理解和应用矩阵的特征值和特征向量提供帮助。
一、特征值和特征向量的定义矩阵A是由m×n个数构成的矩形数表，其特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是矩阵A的特征值，而非零向量x称为A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的定义说明了矩阵在线性变换下的不变性。
特征向量表示了矩阵在该线性变换下的一个不变方向，而特征值则表示了该方向上的伸缩倍数。
二、特征值和特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。
对于n阶矩阵A，其特征值λ1, λ2, …, λn满足λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)，λ1 × λ2 × … × λn = |A|。
2. n阶方阵的特征向量个数不超过n，且特征向量线性无关。
3. 若λ是方阵A的特征值，则对于任意非零常数c，cλ也是A的特征值。
4. 若λ是方阵A的特征值，且x是A对应于λ的特征向量，则对于任意正整数k，λ^k是A^k的特征值，x是A^k对应于特征值λ^k的特征向量。
三、特征值和特征向量的求解方法求解特征值和特征向量是矩阵理论中一个重要的问题。
下面介绍两种常用的求解方法：1. 特征方程法：设A是一个n阶矩阵，λ是其特征值，x是对应于λ的特征向量，那么Ax = λx可以变形为(A - λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵。
由于x是非零向量，所以矩阵(A - λI)的行列式必须为零，即|A - λI| = 0，这样就可以得到特征值λ的值。
然后，通过解(A - λI)x = 0可以求得特征向量x。
2. 幂迭代法：这是一种迭代法的方法，通过矩阵的幂次迭代来逼近特征向量。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
第六讲矩阵的特征值与特征向量
第六讲 矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量 方阵A , 若数0λ和非零向量ξ, 使得0 A ξλξ=,则称0λ是A 的特征值, ξ是A 的属于0λ的特征向量.特征值与特征向量的含义：()0000 00A E A x E A n E A ξλξλοξλλλ=⇔-=⇔-=⇔-=有非零解是次多项式方程的根* n 阶方阵恰有n 个特征值 * 特征向量是非零向量 2. 特征值与特征向量的求法步骤一 计算特征多项式E A λ-步骤二 因式分解E A λ-, 求出全部特征值12,,,n λλλ步骤三 解齐次方程组()(1,2,,)i E A x i n λο-==, 求出全部特征向量3. 特征值与特征向量的性质(P107 定理6.1) (1)11n niiii i a λ===∑∑;(2)1ni i A λ==∏;(3)定理1(P107 定理6.2) (4)定理2(P108 定理6.3) (5)定理3(P112 定理6.6) P112 二、相似矩阵1. 相似矩阵/相似变换矩阵 设,A B 是n 阶方阵, 若存在可逆矩阵P , 使得1P AP B -=, 那么称A 与B 相似, 记为A B , 而称P 是把A 变为B 的相似变换矩阵.* 1,AB P P AP B -⇔∃∂=2. 相似矩阵的性质 (1)反身性 对称性 传递性(2)相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值(P108 定理6.4)* (2)的逆命题不成立（例如 1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10与11不相似）. (3)若()12,,,n A diag λλλ,则12,,,n λλλ是A 的全部特征值3. 相似矩阵的应用例（P111 例6.4 P49-50 12. 13.） 4. 矩阵与对角矩阵相似的条件 (1)定理1(P110 定理 6.5) ()12,,,n A diag A λλλ⇔有n 个线性无关的特征向量12,,,n ξξξ.且()12,,,n P ξξξ=.(2)推论(P111 推论） 若A 有n 个互异特征值 6.2A ⇒定理与对角矩阵相似.(3)定理2(P112 定理6.6) 若λ是n 阶矩阵A 的k 重特征值, 则属于λ的线性无关的特征向量的个数不大于k .(4)推论(P113 推论） 三、实对称矩阵的相似对角化 1. 实对称矩阵的性质 (1)定理1(P114 定理6.7) (2)定理2(P114 定理6.8) (3)推论(P115 推论)2. 实对称矩阵的正交相似对角化 (1)基本结论定理3(P114 定理6.9) (2)计算方法 P115 (3)例子(P116 例6.5) 四、习题解答 1. P118 4. 提示: (1)43213210E A a a a a λλλλλ-=++++(2) 020000223000334001230010100100100001A a a a a λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝020301λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⇒ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是A 属于0λ的特征向量 2. P118 6.提示：反证法 假若()12,,n Adiag D λλλ∆=，, 即存在可逆矩阵P , 使得1A PDP -=, 从而1112k kk k k n A PD P P P O λλλ--⎛⎫⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0,1,2,,0,1,2,,k i i i n i n A O λλ⇒==⇒==⇒=, 矛盾.故A 不能与对角阵相似. 3. P118 8.提示： 假若12ξξ+为A 的属于λ的特征向量, 即()()1212A ξξλξξ+=+. 于是有()()1122λλξλλξο-+-=.由于12,ξξ线性无关, 故必有12,λλλλ==, 矛盾.故12ξξ+不为A 的特征向量. 4. P118 12. 提示：i iA λ=∏5. P118 13.提示： 1*1,AA A A ξλξξξξξλλ-=⇒==6. P118 14.提示：易见()()231,1,0,0,1,1TTξξ=-=-, 于是()()11123212331123 110110111111101101A λξξξλξξξλλλλ--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪==⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭7. P118 16.提示： 14522246y x A y y ++=++⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩或 145222206y x A E y ++=++⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎪⎩⎩ 8. P118 17. 18.提示：求P , 使11nnA PDP A PD P --=⇒= 9. P119 1.提示： ,2,E A E A E A--+都不可逆 0,20,0E A E A E A ⇒-=-=+=1,2,1⇒-是A 的全部特征值2A ⇒=-10. P119 2.提示：3ξ垂直12,ξξ, 易见()31,1,0Tξ=-, 或计算312ξξξ=⨯. 余同14题. 11. P119 3. 提示：()()2123424,2E A λλλλλλ-=-+⇒===-()111303101100011303000r E A E A x x x λλ-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12. P119 4.提示：,1,2,,iiA A i m ξλξξλξ=⇒==()()()()f A f A f f A ξλξλλ⇒=⇒⇒的特征值若是是的特征值13. P119 5. 记住结论：()()A B f A f B ⇒14. P119 6.提示：由P119 4.可知,()()A f f A λλ⇒的特征值是是的特征值另()f A O =, 所以()f A 的特征值为零 所以()0fλ=15. P119 7.提示：()()11111A P A P P AP P P ξλξξλξξλξ-----=⇒=⇒=, 故1P ξ-是1P AP -的特征值λ所对应的特征向量 16. P119 8.提示：设1112,P AP D Q BQ D --==.1PA B P AP B ∃-⇔=10A E P AP E B E λλλ-⇒-=-=-=即,A B 有相同的特征值 反之, 设12D D ＝1111P AP Q BQ A PQ BQP ----⇒=⇒=即,A B 相似 17. P119 9.提示： A 的各行元素之和都是零1111011A ο⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0⇒是A 的一个特征值, 且111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是相应于0的特征向量 18. P119 10.提示：022111TT TTA A A A E A A A A A ξξλξξλξξλξξλξλλ≠<⎧=⎧=⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩⇒=⇒=⇒=±⇒-是的特征值19. P119 11.提示：参见P51 5.(2)(0)n m n m E AB E BA AB BA λλλλ--=-≠⇒与有相同的非零特征值20. P119 12.提示：()()()A A E O r A r A E n -=⇒+-≤()()()()E A E A n r E r A r E A =+-⇒=≤+-()()r A r A E n ⇒+-=所以A 能与对角阵相似（P113 推论） 21. P119 13.提示：()12312,,,3A P ξξξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆, (1)设1Px x P ββ-=⇒=其中()1002 01020011P β⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭()2,2,1Tx ⇒=-12322βξξξ⇒=-+(2)1112233n nnA P P P x ββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 ()12322nn AA βξξξ=-+11223311211233222223223223223n n n n n n n n n n n λξλξλξξξξ++++++=-+⎛⎫-+ ⎪=-+=-+ ⎪⎪-+⎝⎭21. P119 14.提示：设第i 年底从事农业的人员有i x 人, 从事非农业的人员有i y 人. 则11112000200011420319,2001,2002,,201042014i i i i i i x x y y x y i x y----⎧=+⎪⎪⎪=+=⎨⎪⎪=⎪⎩即 1111420,2001,2002,,2010319420i i i i x x i y y --⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭112101011211420 31942011420319420P PP Pλλλλ--⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎛⎫⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以 102010200011220102000x x P P y y λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭五、知识扩展1. 已知三阶矩阵A 与三维向量x 使得向量组2,,x Ax A x 线性无关, 且满足3232A x Ax A x =-.设()2,,P x Ax A x =, 求三阶矩阵B , 使1A PBP -=, 并计算行列式A E +. （2001 数一）提示：()123 ,,A PBP AP PB Ax A x A x PB -=⇔=⇔=()22,,32000103012000103012P Ax A x Ax A x PB P PBB ⇔-=⎛⎫ ⎪⇔= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎪⇒= ⎪⎪-⎝⎭可逆4A E B E ⇒+=+=-2. 设A 是n 阶矩阵, 2,4,,2n 是A 的n 个特征值. 计算行列式3A E -的值.提示：()2,4,,2Adiag n()()31,1,,23323!!A Ediag n A E n ⇒---⇒-=--3. 若四阶矩阵A 与B 相似, 矩阵A 的特征值为1111,,,2345, 则行列式1B E --= 24 . 提示： 因为A 与B 相似, 矩阵A 的特征值为1111,,,2345, 所以1B -的特征值为2,3,4,5, 且()12,3,4,5B diag -.()111,2,3,424B Ediag B E --⇒-⇒-=4. 设,A B 为n 阶矩阵, 且A 与B 相似, 则必有 (A)E A E B λλ-=-;(B)A 与B 有相同的特征值与特征向量; (C)A 与B 都相似于一个对角阵; (D)对任意常数t , tE A -与tE B -相似. 提示：由AB 推不出A B =, 故排除(A);由,A B A B ⇒有相同的特征值, 但推不出有相同的特征向量, 故排除(B);由A B 推不出,A B 相似对角阵, 故排除(C);由()11,AB P P AP B P tE A P tE B --⇔∃∂=⇔-=-, 故选(D).5. 设1010100,001A B P AP --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭, 其中P 为三阶可逆矩阵, 计算200422B A -. 提示：24111A A E ⎧-⎛⎫⎪ ⎪=-⎪⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩ 200421200421222223 231B A P A P A P P A E A --⇒-=-=-⎛⎫ ⎪=-= ⎪⎪-⎝⎭6. 设矩阵12314315A a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.（2004 数一）提示：()()228183E A a λλλλ-=--++若2λ=是二重根, 则()22818302aa λλλ=-++=⇒=-, 这时()21r E A -=, 说明A 可相似对角化.若2λ=不是二重根, 则28183a λλ-++为完全平方项, 从而()264418303a a -+=⇒=-, 这时4λ=是二重根, 而()42r E A -=, 说明A 不可相似对角化.7. 设12,λλ是矩阵A 的的两个不同特征值, 对应的特征向量为分别为12,αα, 则()112,A ααα+线性无关的充要条件是(A)10λ≠; (B) 20λ≠; (C) 10λ=; (D) 20λ=. 提示：方法一()()()()1112111221221,,,0A λααααλαλαααλ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故()112,A ααα+线性无关的充要条件是1221200r λλλ⎛⎫=⇔≠ ⎪⎝⎭.方法二 ()11212k k A αααο++= ()1211222k k k λαλαο⇔++=12,112220k k k ααλλ+=⎧⇒⎨=⎩线性无关()()()20121122121122111120,,0 ,k k A A A λαααλααλαλαλαααα≠⎧⇒==+⎪⎪=⇒+=+=⎨⎪⇒+⎪⎩线性无关线性相关所以反之，假若 8. 设矩阵A 与B 相似, 且1112242,232A B a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 求:(1),a b 的值; (2)可逆矩阵P , 使得1P AP B -=.提示：因为A 与B 相似, 所以()54614565420a b a b a b a b A E ⎧+=+⎧⎪⎨-==⎧⎩⎪⇒⎨⎨=+=+⎧⎩⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⎩或 . 求解 ()2E A ξο-=()()1211120001,1,0,1,0,1000T T E A ξξ-⎛⎫⎪-⇒=-= ⎪ ⎪⎝⎭()()3621063011,2,3000T E A E A ξοξ-=⎛⎫⎪--⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭于是所求111102013P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭.9. 设A 是三阶矩阵, 123,,ααα是线性无关的三维列向量, 且满足1123223323,2,23A A A αααααααααα=++=+=+,(1)求矩阵B , 使得()()123123,,,,A B αααααα=; (2)求矩阵A 的特征值;(3)求可逆矩阵P , 使得1P AP -为对角矩阵.提示：由1123223323,2,23A A A αααααααααα=++=+=+()()123123100,,,,122113A αααααα⎛⎫⎪⇒= ⎪ ⎪⎝⎭()123,,100122113B AB ααα⎛⎫⎪⇒=⇒⇒ ⎪ ⎪⎝⎭线性无关矩阵A 的特征值为1, 1, 4.设()123,,1C A CBC αααξλξξλξ=-=⇒=记()()111C B C C B ηξξλξηλη---⇒=⇒=＝,解方程组()()4E B E B ηοηο-=-=和, 得()()()123110,20,1,1,T T Tηηη--＝，，＝，＝0，1()()()1123123,,1,1,4,,B diag ηηηηηη-⇒=从而()()()()()()()11231123123123123123123123121323,,1201221 ,,101,,11130111121 ,2,223,,120 ,,101011 ,2,.P C P C ηηηαααααααααααααααηηηααααααααα--=----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+-+-++=--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=-+-++。
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在众多学科领域中都有广泛的应用。
而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵分析与应用中的核心内容之一。
本文将详细介绍矩阵特征值的计算方法，以及如何求解矩阵的特征向量。
1. 特征值和特征向量的定义首先，我们来了解一下什么是矩阵的特征值和特征向量。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ以及一个非零n维列向量X，使得满足下述条件：AX = λX那么，λ就是矩阵A的一个特征值，而X则是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的求解在很多应用中都具有重要的意义。
2. 特征值的计算方法接下来，我们介绍几种常见的特征值计算方法。
2.1 特征多项式法特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
它利用方阵A减去λ乘以单位矩阵I之后的行列式为零的性质，构造出特征多项式，并求解多项式的根即可得到特征值。
举个例子，对于二阶方阵A = [a, b; c, d]，其特征多项式为：| A - λI | = | a-λ, b; c, d-λ | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0解这个方程可以得到A的特征值。
2.2 幂迭代法幂迭代法也是一种常见的特征值计算方法。
它利用特征向量的性质，通过迭代计算来逼近矩阵的特征值。
其基本思想是，给定一个初始向量X0，不断迭代计算：Xk+1 = AXk然后对得到的向量序列进行归一化处理，直到收敛为止。
最后得到的向量X就是对应的特征向量，而特征值可以通过如下公式计算：λ = X^TAX / X^TX2.3 QR方法QR方法是一种数值稳定性较好的特征值计算方法。
它利用矩阵的QR分解的性质来逐步逼近矩阵的特征值。
首先，对矩阵A进行QR分解，得到一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。
然后，将分解后的矩阵R与矩阵Q逆序相乘，得到一个新的矩阵A'。
重复进行QR分解和相乘的操作，直到收敛为止。
最后，得到的矩阵A'的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域均有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，特征值与特征向量是一个不可或缺的概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，探讨它们在矩阵理论和实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个非零向量 X 和一个实数λ，使得Ax = λX 成立，则称λ 为矩阵 A 的特征值，X 称为特征值λ 对应的特征向量。
2. 计算特征值与特征向量为了计算特征值与特征向量，我们可以使用特征值方程 det(A-λI) = 0。
其中，det() 表示矩阵的行列式，A 是待求特征值与特征向量的矩阵，I 是单位矩阵，λ 是未知数。
解特征值方程得到的λ 值即为矩阵的特征值。
3. 求解特征向量在得到特征值λ 后，我们可以通过代入特征值到方程 (A-λI)X = 0 中，求解出对应的特征向量 X。
需要注意的是，特征向量并不唯一，可以乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有以下重要性质：- 矩阵 A 的特征值的个数等于矩阵的阶数 n，包括重复的特征值。
- 所有特征值的和等于矩阵的迹（主对角线元素的和）。
- 矩阵 A 的特征向量构成的集合是线性无关的。
5. 矩阵的对角化与相似矩阵如果能找到一个可逆矩阵 P，使得 P^-1AP = D，其中 D 是对角矩阵，则称矩阵 A 是可对角化的。
对角矩阵 D 的对角线上的元素就是矩阵 A的特征值。
P 的列向量组成的矩阵就是 A 的特征向量矩阵。
6. 特征值与矩阵的性质关系矩阵的特征值与矩阵的性质之间存在一定的联系：- 如果矩阵 A 是奇异矩阵，则它的特征值中至少有一个为零。
- 如果矩阵 A 是对称矩阵，则它的特征值都为实数，并且相应的特征向量可以取为正交向量。
- 如果矩阵 A 是正定矩阵，则它的特征值都大于零。
7. 应用举例：主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的统计学方法，用于数据降维和特征提取。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的基本概念之一，它们在科学计算、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将对矩阵的特征值与特征向量进行详细的介绍。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零n维向量x，使得Ax与x线性相关，即满足下式：Ax = λx其中，λ为非零常数，称为矩阵A的特征值；而向量x称为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。
从定义中可以看出，特征向量并不唯一，一个特征值可以对应多个特征向量，且特征值和特征向量是成对存在的。
二、求解特征值与特征向量的方法求解一个矩阵的特征值与特征向量可以使用多种方法，其中比较常用的有特征值问题的特征多项式法和幂法。
1. 特征多项式法特征多项式法是一种较为直观的方法，其基本思想是通过解矩阵的特征方程来求解特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程可以表示为：|A-λI| = 0其中，I是n阶单位矩阵，λ是一个未知量。
解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值。
解特征方程得到特征值后，再带入Ax = λx中，可以求解对应的特征向量。
2. 幂法幂法是一种迭代的方法，通过不断迭代矩阵的幂次来逼近特征值和特征向量。
算法的基本思想是：(1)选择一个任意的非零向量x0；(2)计算x1 = Ax0；(3)计算x2 = Ax1；......(4)迭代到某一步，得到xk与x(k-1)之间的变化很小时，停止迭代。
在迭代过程中，向量x逐渐趋近于特征向量，而矩阵B = A^k中的最大特征值则逐渐趋近于特征值，因此可以通过幂法来估计特征值与特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有多个重要性质。
1. 特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n；（2）特征值的和等于矩阵的迹（即主对角线上元素之和）；（3）特征值的积等于矩阵的行列式；（4）特征值具有可交换性，即两个矩阵AB和BA具有相同的特征值。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵在数学和物理学中扮演着重要的角色，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量，v称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的求解是一个重要的矩阵问题。
2. 求解特征值与特征向量的方法求解特征值与特征向量的方法主要有两种：代数方法和几何方法。
代数方法：通过求解矩阵A的特征方程来确定特征值λ，然后通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解特征向量v。
其中I为单位矩阵。
几何方法：考虑矩阵A作用下的线性变换，特征向量表示在该变换下仅仅被拉伸而不改变方向的向量，特征值则表示该变换在相应方向上的拉伸倍数。
3. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：- 矩阵A的特征值的个数等于其维数。
- A的所有特征值的和等于其主对角线元素之和，即Tr(A)。
- A的所有特征值的乘积等于其行列式，即det(A)。
- 如果A是一个对称矩阵，则其特征向量构成一组正交基。
- 如果A是一个正定矩阵，则所有特征值大于零。
4. 特征值与特征向量在实际问题中的应用特征值与特征向量在许多实际问题中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：- 物理学：矩阵的特征值与特征向量在量子力学、振动理论、电路分析等领域中有重要应用。
- 数据分析：特征值与特征向量可用于降维、聚类以及图像处理等方面的数据分析。
- 工程科学：特征值与特征向量在结构动力学、控制系统等工程问题中有着广泛的应用。
总结：矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们不仅具有丰富的数学性质，而且在实际问题中有广泛的应用。
通过求解特征值与特征向量，我们可以深入理解矩阵所代表的线性变换的特性，并应用于解决各种实际问题。
了解并掌握特征值与特征向量的求解方法与应用将为我们在数学和科学领域的研究与应用提供有力的工具和思路。
矩阵的特征值与特征向量
1, 2, …, n), 则 P 可逆, 且 P-1AP=
1,
注: 对于实对称矩阵 A，一定有可逆阵 P，使 P－1AP为对角阵， P 的列向量为 A 的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为 A 的特征值，而且也一定有正交阵 Q，使 Q－1AQ 为对角阵. 当 A 的特征 值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向量单位化 ，即可求得正交阵 Q；当 A 有 k 重特征值时，这个k 重特征值 一定对应有 k 个线性无关的特征向量，用施密特正交化方法将其 化为两两正交的向量并单位化，就求出正交阵 Q 来了.
矩阵的特征值与特征向量
一. 特征值与特征向量的求法
1.利用定义求特征值与特征向量
注: 用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值. 为此， 首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根或 因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值. 求特征向 量 即求齐次方程组(A- E)X=0 的基础解系.
2.利用公式求特征值与特征向量
二.A 与对角阵相似的解题方法
注: 当矩阵有重特征值时，我们用定理“A 与对角阵相似的充 要条件为 r(A- iE)=n-ri”来判定 A 能否与对角阵相似，其中 ri特征值 i的重数，n 为矩阵 A 的阶数.
注: 矩阵相似对角化的步骤: (1) 求出 A 的所有特征值 1, 2,…
三. 方阵 及其特征值、特征向量的互求
四.An 的求法
五.证明题
n,若
1, 2,…,
n 互异, 则 A 与对角阵相似；若
1, 2,…,
异的为
1, 2,…,
m, 每个
i 的重数为 ri, 当 r(A-
i E)=n-
(i=1,2,…m), A 与对角阵相似；否则 A 不能与对角阵相似
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。
在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。
特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。
特征值则是衡量该变换强度的标量。
二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。
解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。
2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。
2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。
这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。
3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。
对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。
2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。
相似矩阵具有相同的特征值。
3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。
例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。
五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。
特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用矩阵作为数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个科学领域中。
在矩阵的运算中，特征值和特征向量是其中的一个重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质以及它们的应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个实数λ和一个n维非零向量x使得Ax = λx，则称λ为矩阵A的一个特征值，x为矩阵A的对应于特征值λ的一个特征向量。
特征向量可以是任意量值，但是特征向量的长度必须是1。
特征值和特征向量的性质特征值和特征向量都有一些重要的性质，其中一些性质如下：1.特征值的和等于矩阵A的迹假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1+λ2+…+λn=tr(A)其中tr(A)表示矩阵A的迹，即矩阵A的主对角线上元素的总和。
2.特征值的积等于矩阵A的行列式假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1λ2…λn=det(A)其中det(A)表示矩阵A的行列式。
3.对于对称矩阵，所有特征向量都是正交的如果一个矩阵A是对称矩阵，那么所有特征向量都是正交的，即对于不同的特征向量x和y，都有xTy=0。
4.如果一个矩阵是正定矩阵，那么所有特征值都是正的如果一个矩阵A是正定矩阵，那么所有特征值都是正的。
反之，如果一个矩阵A的特征值都是正的，那么矩阵A不一定是正定矩阵。
特征向量的应用特征向量在各个领域中都有非常广泛的应用，其中一些应用如下：1.图像处理特征向量在图像处理中有着非常重要的应用。
通过对一个图像的像素矩阵进行特征向量分解，我们可以得到该图像的主要特征，包括图像的边缘，轮廓等。
2.信号处理特征向量在信号处理中也有重要应用。
通过分析信号的特征向量，我们可以得到信号的主要频率分量，进行频率分析，识别峰值等。
3.机器学习特征向量在机器学习中也非常重要。
在特征提取中，我们可以通过对样本数据进行主成分分析，得到样本的主要特征向量，然后再利用这些特征向量进行分类。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在许多科学领域中都有广泛的应用。
在矩阵中有两个与之相关的重要概念，即特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换中非常有用的性质，它们可以帮助我们理解和描述线性变换的特点。
本文将重点探讨矩阵的特征值和特征向量的定义、性质以及应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指满足方程Av=λv的非零向量v以及对应的常数λ。
其中v是特征向量，λ是特征值。
换句话说，特征向量是矩阵作用后与自身平行（或成比例）的向量，而特征值则表示该向量在作用后的缩放倍数。
2. 计算特征值与特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值与特征向量，需要解决特征值问题，即求解方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。
解这个方程可以得到特征值的集合。
对于每个特征值λ，再解方程(A-λI)v=0，可以得到特征向量的集合。
3. 特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有一些重要的性质：- 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
- 矩阵的特征值与它的转置矩阵的特征值是相同的。
- 对于n阶矩阵，特征值的个数不超过n个。
- 特征向量可以线性组合，线性组合后的向量仍然是对应特征值的特征向量。
4. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：- 特征值分解：通过特征值与特征向量的计算，可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积形式，这在数值计算和信号处理中非常有用。
- 矩阵对角化：特征值与特征向量可以将一个矩阵对角化，使得计算和处理更加简化和高效。
- 特征值的物理意义：在物理学中，特征值可以表示物理系统的某些性质，如量子力学中的能级等。
总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
通过计算特征值与特征向量，可以帮助我们理解和描述线性变换的性质，进行矩阵的对角化处理，以及在数值计算和信号处理中应用。
矩阵的特征值和特征向量是线性代数学习中不可或缺的内容，对于深入理解线性变换和矩阵的性质具有重要的作用。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域的数学和科学问题中都起着至关重要的作用。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得满足下面的关系式：Av = λv其中λ是一个实数，那么称λ为A的特征值，v为对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的存在性是由代数基本定理所保证的。
在实际计算中，我们通常将这个关系式转化为一个线性方程组来求解特征值和特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值如果两个矩阵A和B相似，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B。
那么A和B具有相同的特征值。
证明：设Av = λv，其中v是A的特征向量。
将上式两边同时左乘P^{-1}，得到(P^{-1}AP)(P^{-1}v) = B(P^{-1}v)。
令u = P^{-1}v，则Bu = λu，其中u是B的特征向量。
因此，λ也是B的特征值。
2. 特征向量可以线性组合如果v_1和v_2是矩阵A对应于相同特征值λ的特征向量，那么对于任意实数c_1和c_2，cv_1 + c_2v_2也是对应于特征值λ的特征向量。
证明：由于Av_1 = λv_1，Av_2 = λv_2，那么A(cv_1 + c_2v_2) = cAv_1 + c_2Av_2 = cλv_1 + c_2λv_2 = λ(cv_1 + c_2v_2)。
因此，cv_1 +c_2v_2也是对应于特征值λ的特征向量。
三、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化将一个矩阵A通过相似变换P^{-1}AP = D变换为对角矩阵D，其中D的对角线上的元素为A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化。
对角化后的矩阵形式更加简洁，便于计算和分析。
2. 矩阵的幂对于一个对角化的矩阵A和一个非负整数k，有A^k = PD^kP^{-1}，其中D^k是D的每个元素都进行了k次幂运算。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质，具有很大的研究价值和应用潜力。
本文将介绍矩阵特征值与特征向量的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个标量λ，使得满足方程Av=λv 成立的非零向量v称为矩阵A的特征向量（eigenvector）。
其中，方程为矩阵特征值方程。
特征值与特征向量之间存在一一对应关系。
特征值与特征向量是描述矩阵在特定线性变换下的性质的重要指标。
特征值表示变换后的向量与原向量之间的比例关系，特征向量则表示在特定变换下保持方向不变的向量。
二、特征值与特征向量的计算为了求解矩阵的特征值和特征向量，可以通过解特征值方程来实现。
给定一个矩阵A，求解特征值和特征向量的步骤如下：1. 求解特征值方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，det()表示行列式。
2. 解得特征值λ1，λ2，...，λn。
3. 对每个特征值λi，求解方程组(A-λiI)v=0，得到特征向量vi。
特征向量vi可以有多个，对应于不同的特征值λi。
特征向量可以通过高斯消元法或其他方法求解。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下重要性质：1. 矩阵A与其特征向量组成的矩阵P的乘积AP=PD，其中D是一个对角矩阵，对角线上的值是矩阵A的特征值，P是由特征向量组成的矩阵。
2. 特征值的和等于矩阵的迹（trace），特征值的乘积等于矩阵的行列式的值。
3. 特征向量线性无关，可以构成矩阵的一组基。
这些性质为矩阵的分析和计算提供了便利。
四、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个经典的应用示例：1. 特征值分解：利用特征值和特征向量的分析，可以将矩阵分解为对角矩阵的形式，简化计算和求解问题。
2. 主成分分析（PCA）：主成分分析是一种常用的数据降维方法，通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量，将原始数据转换为一组线性无关的主成分。
矩阵的特征值与特征向量专题讲解
矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法（1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0；（2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质（1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；（4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量； （5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则1λ是1A -的特征值；Aλ是*A 的特征值，a 仍为相应的特征向量；（6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()11nni ii i i a tr A λ====∑∑（迹）；1nii A λ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零；（7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。
二、相似矩阵 1、定义设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ； ２、A ～B 的性质T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=-⇒特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。
矩阵的特征值和特征向量的性质和应用
矩阵的特征值和特征向量的性质和应用矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念，它们具有广泛的应用价值和理论意义。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质和应用，包括如何求解特征值和特征向量、它们代表什么、它们的几何意义与应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量是矩阵A与具有相同列数的列向量x 相乘后，得到的仍是x的常数倍的非零列向量x所对应的特征值及其对应特征向量。
数学上，若矩阵A在向量x作用下相当于在x方向上只进行了伸缩，即Ax=λx；（式1）其中，λ表示特征值，x表示特征向量。
在式1中，右边的量可以看作把x向量伸缩λ倍，故特征向量x在矩阵作用下只是尺度改变，即特征向量具有确定的方向。
而特征值λ则表示向这个方向的伸缩倍数。
矩阵A有n个特征值λ1，λ2，…，λn，并对应于n个线性无关的特征向量x1，x2，…，xn。
这n个特征向量可以构成向量空间，且这个向量空间是矩阵A的不变子空间，称为A的特征空间。
二、矩阵的特征值和特征向量的求解对于一个n阶方阵A，要求它的特征值和特征向量，可以通过以下步骤：（1）解出特征方程将矩阵A与单位向量x相乘，得到Ax = λx移项得到(A-λE)x = 0其中，E为n阶单位矩阵，0为列全为0的列向量。
在矩阵A减去λE之后，可以用高斯消元法求出矩阵(A-λE)的秩rank，进而解出λ的值。
由于(A-λE)是一个n阶矩阵，因此可以求得n个特征值。
（2）求解特征向量对于每个特征值λi，构造矩阵(A-λiE)，对于矩阵(A-λiE)，对其进行高斯消元，得到对应的行阶梯形矩阵，这个矩阵的主元位置对应了基础解系的数量。
找出自由未知量，求解出特征向量x。
三、矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在很多领域得到了广泛的应用，例如：线性代数、物理学、机器学习、图像处理、信号处理等等。
1. 线性代数特征值和特征向量在线性代数中被广泛应用。
在矩阵论中，矩阵的对角化涉及到特征向量和特征值。
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矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法（1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0；（2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质（1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；（4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量； （5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则1λ是1A -的特征值；Aλ是*A 的特征值，a 仍为相应的特征向量；（6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()11nni ii i i a tr A λ====∑∑（迹）；1nii A λ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零；（7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。
二、相似矩阵1、定义设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ；２、A ～B 的性质T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=-⇒特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。
三、矩阵对角化的条件及方法１、若矩阵A 与对角阵相似，则称A 可对角化，（１）n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量； （２）若A 的特征值两两不同，则必可对角化。
２、实对称阵A 必可对角化，且存在正交阵P ，使1P AP -=Λ实对称矩阵正交对角化具体计算步骤如下： （１）求出实对称矩阵A 的全部特征值；（２）若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；（３）将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P二、典型例题题型１：求数字矩阵的特征值与特征向量例１（８７，６分）求矩阵312014101A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的实特征值及对应的特征向量。
解()()232+31-2310+142012214511101E A c c λλλλλλλλλλλ+-=-++-=-++--， ()()2145E A λλλλ-=-++ 所以实特征值为 1λ=，4121001 100000E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，基础解系021a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故属于特征值1λ=的所有特征向量为()0,2,1Tk ，k 为任意非零常数。
例２ 设向量()()1212,,...,,,,...,TTn n a a a b b b αβ==都是非零向量，且满足条件T =0αβ，记矩阵T A=αβ，求：（１）2A （２）矩阵A 的特征值和特征向量。
（９８，９分）解 （１）()()()()2,T T T TTT A αβαβαβαββααβ===因为T =0,αβ所以T 2=0,A =O;βα⇒（２）设A ,0,x x x λ=≠则22A x Ax x λλ==，而2A O =，故20,x λ=而0x ≠，故0λ=，解齐次线性方程组()00E A x -= 不妨设11111211221222120,0,.........00...0...00...0n n n n n n n a b a b a b a b b b b a b a b a b A a b a b a b ≠≠---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪-=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ，可得基础解系 32121111,1,0,...,0010,...,,0,0, (1)TTn n b b b b b b ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，...，于是A 的属于特征值0λ=的全部特征向量为112211...n n c c c ξξξ--+++，其中121,,...,n c c c -是不全为零的任意常数。
例３（０９，４）设()()1,1,1,1,0,,T T k αβ==若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则k ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．解 T αβ＝111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()101,0,10,10k k k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由题意，()1300,T t r k αβ=+=++即2k =。
例４设122212,221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（１）求A 的特征值；（２）求-1+A E 的特征值。
解 ()()221+122122E-A =2+12+r 110150-22+1221r λλλλλλλλλλ--+-----=-+=-+， 所以A 的特征值为１，１，－５；由特征值性质可知，1A -的特征值为１，１，15-，设(0),Aa a a λ=≠则()P A 的特征值为()P λ，其中()P x 为任一多项式，而α仍为相应的特征向量。
于是1+A E -的特征值为２，２，45。
题型２ 特征值、特征向量的逆问题例１（９７，６分，数一）已知111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2-12A=5312a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，（１）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值； （２）问A 能否相似于对角阵？说明理由。
解（１）00000212112125311531,3,0121112a a a b b b λλλλλ---=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎪⎪⎪ ⎪=⇒+-=⇒=-=-=⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-----++=-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩（２）212A 533102-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1λ=-是三重特征根，312101523011,101000E A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭秩为２，所以只有一个线性无关的特征向量，故A 不可对角化。
例２ 设矩阵1A=5310ac b c a -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为()1,1,1Tα=--求,,a b c 和0λ的值。
解 由题设，***000,,,,AA A E E A a a AA a Aa a Aa λλλ==-==-=即有011153111011ac b c a λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()00011(1)21(2)11(3)a c b c a λλλ-++=⎧⎪⇒--=⎨⎪--=-⎩ （１）－（３）得0λ＝１，代入（２）得3b =-，代入（１）得a c =，再代入1A =-111A 53353352331101101aaa aa a aa a a ---=-=-==-=----，所以2a c ==。
类题（＋０８，１０分）设矩阵15301bc A a c b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为()1,1,1Ta =--，求,,a b c 和0λ的值。
答案 3,4,a b c ===-0λ＝１.题型３：相似矩阵的判定及其逆问题例１（９２，７分）设矩阵A ～B ，其中20010022,02031100A x B y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（１）求x 与y 的值；（２）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=。
解 因为A ～B ，所以E A E B λλ-=-，即()()()()()()221212,x x y λλλλλλ⎡⎤+-++-=+--⎣⎦令λ=0，得()222x y -=，令λ=1，得2,y =-所以0x =。
（2）200100202,020311002A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，对应于A 和B 的共同特征值-1，2，-2的特征向量分别为()()()1230,2,1,0,1,1,1,0,1T T Tξξξ=-==-，得可逆矩阵001210111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，满足1P AP B -=。
例2 （+05，7分）已知矩阵28220006x A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于对角阵Λ，试求常数x ，并求可逆阵P ,使1P AP -=Λ。
解 ()()22822062006xE A λλλλλλ----=--=-+=-得A 得特征值 12362λλλ===-，，4-81206E-A=24000000000x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为A 相似于对角阵Λ，所以()61r E A -=，即x =0，基础解系12020,1,10ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34801202,2240001,008000E A λ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦基础解系3210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，取022600011060100002P -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，，使1P AP -=Λ。
题型4：可对角化的判定及其逆问题例1（94，8分）设0011100A x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量，求x 和y 应满足的条件。
解()()2011111010E A x y λλλλλλ--=---=-+=-，得A 的特征值为1231,1λλ==-、，只要对应121λ=、有两个线性无关的特征向量即可，即矩阵1E A ⋅-的秩等于1，1011011 101000E A x y y x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，只要满足0x y +=即可。
5、正定二次型与正定矩阵若对0X ∀≠,有()0T f X X AX =>，称()f X 为正定二次型，A 正定的充分必要条件；（1）A 的正惯性指数等于n ；（2）A 与E 合同，即存在可逆阵D ，使T A D D =；（3）A 的特征值全正；（4）A 的顺序主子式全正；A 正定的必要条件：0,1,2,...;0ii a i n A >=>；若A 是正定矩阵，则1*,,,,()T m A A A A P A -均为正定阵，其中P()x 为系数全正的多项式；若,A B 均为正定阵，则(,0)kA lB k l +>也是正定阵；但AB 正定⇔A B B A=；其他类似还有负定、半正定、半负定等。