函数的基本性质(2)函数单调性

课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性
学 科：高中数学
课程类型：基础型
课式类型：新授课
执教老师：田红兵
授课班级：高一（2）班
一、教学目标
1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征，
能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函
数的单调性。

2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论
证和语言表达的能力。

3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良
好的思维习惯。

二、教学重点及难点
重点：函数单调性的概念
难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明
三、教学用具准备：多媒体课件
四、教学过程设计 策略与方法
（一）情景引入
1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ）
问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课，
趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念
预案：随年份的增加而增加。

在生活的原型，认识研
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。

预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数
值是增大还是减小，
对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同
学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续
研究这个问题。

(二).归纳探索，形成概念
1.借助图象，直观感知
问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=，
x y 1
=的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法
预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类
(2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图
(3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。

在()1,∞-上y 随x 的增大而增大．
(4)函数x y 1
=在（0,)∞+上 y 随x 的增大而减小，在
()0,∞-上y 随x 的增大而减小．
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的
单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
预案1：如果函数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y
也越来越大，我们说函数)(x f 在该区间上为增函数；如果函 通过观察图像，获
数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们 得感性认识，得到初步
说函数)(x f 在该区间上为减函数． 概念，完成对单调性的
预案2：在区间I 上，若函数y=)(x f 的图像从左至右看总是上升 第一次认识
的，则称函数y=)(x f 在区间I 上是增函数；若函数y=)(x f
的图像从左至右看总是下降的，则称函数y=)(x f 在区间I 上
是减函数；
通过讨论，使学生
感受到用函数图象判断
2．探究规律，理性认识 函数单调性虽然比较直
问题3：二次函数2)(x x f = 的图象可能会在区间[)+∞,100 观，但有时不够严密，
上降下来？可能会在区间会在[)+∞,200 上降下来？可能会在 需要结合解析式用准确
[)+∞,300上降下来？。

的数学语言刻画概念。

问题4：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在[)+∞,0为
增函数？ 把对单调性的
认识由感性上升到理性
预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22, 认识的高度, 完成对概
所以2)(x x f =在[)+∞,0为增函数． 念的第二次认识．
(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以2)(x x f =在
[)+∞,0为增函数． 事实上也给出
(3) 任取
, 了证明单调性的方 因为,即， 法，为证明单调性
所以2)(x x f =在[)+∞,0为增函数． 做好铺垫.
3．抽象概括，准确刻画概念
让学生由特殊
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 到一般，从具体到抽
象归纳出单调性的
(1)板书定义 概念
a)一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，对于给定区间 用多媒体演示
D I ⊆：如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，概念的表述，当堂
当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x = 记忆概念。

在区间I 上是单调增函数，区间I 称为()y f x =的单调增区间. ，
b)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
一般地，设函数()y f x =的定义域为D ,对于给定区间D I ⊆：
如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ， 利用几何画板让
当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在区学生体验单调性的概
间I 上是单调减函数，区间I 称为()y f x =的单调减区间. 念，通过动画强化用
c ）单调区间：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，抽象的数学语言刻画
那么就说函数()y f x =在这一区间上具有单调性，这一区间叫做 的概念，完成对概念
()y f x =的单调区间. 的第三次认识．
d) 若函数()y f x =在区间I 上是增函数或是减函数，则称
()y f x =是区间I 上的单调函数。

通过对判断题
(2)巩固概念 对概念进行辨析，使
学生明确概念的内涵
判断题： 和外延。

进一步加深
① 若函数)(x f 满足f(2)<f(3),则函数)(x f 在区间[2，3]上 对概念的理解，完成
为增函数。

对概念的第四次认
② 若函数)(x f 在区间(]2,1和(2,3)上均为增函数，则函数 识.
)(x f 在区间(1,3)上为增函数． 策略与方法
（三）例题分析，强化概念
例1．根据函数图象指出函数的单调增区间和单调减区间. 例1旨在锻炼
学生用图像法判定
函数单调性的能力，
是对新概念的初步
运用。

y =f (x )的单调增区间有______________;
y =f (x )的单调减区间有_______,_______.
例2．求证：函数21)(x
x f =在区间(0,)+∞上为单调减函数. 例2旨在强化 证明: 对于区间(0,)+∞上的任意两个实数12,,x x 且12x x < 用数学符号语言
22212121222121))((11
)()(x x x x x x x x x f x f +-=-=- 表述的概念，是对新
122112,0,0x x x x x x <->>而由0<得021>+x x 概念的进一步运用，
1212()()0,()()f x f x f x f x ∴->>即 提高论证推理的能
所以,函数21)(x
x f =在区间(0,)+∞上为单调减函数. 力
用定义证明函数()y f x =在区间I 上具有单调性的步骤：
（1）设元：（2）作差；（3）变形；（4）断号；（5）定论
（四）巩固练习
1：根据函数x
x y 1+=的图象，写出函数的单调区间. 2求证：函数2
2y x =-+在区间(,0]-∞上是单调增函数.
（五）归纳小结，提高认识 学生交流在本节
课学习中的体会、
收
(1)函数单调性的定义： 获，交流学习过程中
(2) 证明方法和步骤 ：设元、作差、变形、断号、定论。

的体验和感受，师
生
合作共同完成知识方
法小结．
（六）作业布置策略与方法1．课本P69 练习1，2做于书上。

3，4，5，6做于练习通过作业，巩固本上。

知识、方法。

2．练习册P33/ 5,6做于练习本上。

3. 归纳总结初中已经学习过的四个函数的单调性：通过总结整理，
（1）正比例函数：y＝kx （k≠0）完善知识结构。

（2）反比例函数：
k
y
x
＝（k≠0）
（3）一次函数： y＝kx＋b （k≠0）（4）二次函数： y＝ax2＋bx＋c （a≠0）
（七）板书设计。