函数的基本性质(2)函数单调性
函数的基本性质
第四讲 函数的基本性质.函数的单调性概念（1）增函数和减函数的概念如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． （3）函数的单调性等价变形 设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.2.运算法则：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数；3.常见函数的单调性：（1）一次函数b kx y +=，当0>k 时，在区间),(+∞-∞上是增函数，当0<k 时，在区间),(+∞-∞上是减函数；（2）反比例函数xky =，当0>k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是减函数，当0<k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是增函数（3）二次函数c bx ax y ++=2，当0>a 时，在区间)2,(ab--∞是减函数，在区间),2(+∞-a b 是增函数，当0<a 时，在区间)2,(a b --∞是增函数，在区间),2(+∞-ab是减函数.4.函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 ②运算法则法④图像法，利用图像研究函数的单调性.1.根据函数的单调性的定义，证明函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。
2.判断函数)0()(>+=p xpx x f 的单调性3.根据函数的单调性的定义，证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
函数的基本性质ppt课件
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
函数的基本性质
函数的基本性质一．函数的单调性：1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔>--⇔>--⇔<0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是增加的。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔<--⇔<--⇔>0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是减少的。
2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。
（图像在此区间上是增加的） 自左向右看图像是下降的。
（图像在此区间上是减少的）3.判断函数单调性的方法：（1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。
（数形结合） 解题程序：解析式-----图像-----单调区间（2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。
高中基本初等函数：一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：)0(≠=k x k y ，简单幂函数：3,2,21,1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且， “对勾”函数：)0(>+=a x ax y①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。
②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同；当0<a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相反；③在公共定义域内，增函数)(x f +增函数)(x g 是增函数， 减函数)(x f +减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f －减函数)(x g 是增函数，减函数)(x f －增函数)(x g是减函数；④两函数积的单调性：当)(x f ，)(x g 在公共区间上都是增（减）函数。
函数的基本性质——单调性
3.4 函数的基本性质——单调性【知识解读】1、函数单调性的概念对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调 增区间。
对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 ，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的 。
2、函数单调性的运算：设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上3、单调性与奇偶性：若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。
【例题讲解】例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。
例2、判别函数24xy =在区间),0(+∞上的单调性，并证明。
例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。
例4、已知函数x x x f +=3)(（1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性 （2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）（1）12)(+=x x f （2）2)1()(-=x x f（3）23)(2+-=x x x f （4）231)(-=x x f例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
函数的基本性质要点总结
函数的基本性质要点总结研究一种函数就要研究它的性质，单调性与奇偶性是函数最重要的基本性质。
一、单调性要点1:增函数、减函数定义及图象特征一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于定义域Ｉ内某个区间上的任意两个自变量的值，，当＜时，都有f（）＜f（），那么就说f（x）在这个区间上是增函数。
减函数的定义类似。
反映在图象上，若是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的。
关于函数单调性的理解：（1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如常数函数y=c，又如函数。
（2）函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质。
因此，若要证明在[a，b]上是递增的，就必须证明对于区间[a，b]上任意的两点x1、x2，当x1＜x2时都有不等式f (x1)＜f (x2)成立。
若要证明在[a，b]上不是单调递增的，只须举出反例就足够了。
即只要找到两个特殊的x1、x2，若a≤x1＜x2≤b，有f (x1)≥f (x2)即可。
（3）函数单调性定义中的x1、x2，有三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉。
证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。
要点2：单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做y＝f（x）的单调区间。
关于单调区间的书写：函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。
2函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。
（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。
（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。
二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原点对称。
所以f(x)为非奇非偶函数．二、知识归纳1．函数的单调性1)单调递增对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增函数．2)单调递减对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减函数．3)严格单调性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数．4)单调性判定设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增；②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减；③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值．2．函数的极值1)极值定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点．2)判别极值的方法①一阶导数法设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．②二阶导数法设函数f(x)在点x0处二阶可导，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．3．函数的凹凸性1)凹函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凹函数．2)凸函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≥λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凸函数．3)严格凹凸性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)λf(x1)+(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格凹函数或严格凸函数．4)凹凸性判定设函数f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，则①当f''(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上是凹函数；②当f''(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上是凸函数；③当f''(x)＝0时，函数f(x)在x处可能是拐点．解题提醒：①判定函数的单调性时，要注意定义域的连续性和可导性．②判定函数的极值和拐点时，要注意函数的可导性和二阶导数的符号．题型二函数单调性、极值和凹凸性的判定典型例题：求函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调性、极值和凹凸性．解：(1)单调性f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2。
函数的基本性质老师版(部分含答案)
函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
）3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加；当0<a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
练习：讨论函数()2-21f x ax x =+在（-1，1）内的单调性。
4．证明方法和步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；⑵作差：)()(21x f x f -；⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；⑸根据定义下结论。
例2、判断函数1()x f x x +=在)0,(-∞上的单调性并加以证明.练习： 判断函数2()1x f x x +=-在（-∞，0）上的单调性并加以证明。
[例3] 求证函数f (x )＝x ＋xa (a .,>0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 分析 利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形．证明 (1)设0<x 1<x 2≤a ,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x a －x 2－2x a ＝(x 1－x 2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ． 因为0<x 1<x 2≤a ，所以x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a .，所以\21x x a >1，所以211x x a -<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，\r(a .,)]上为减函数．(1) 设a ≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ． 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>a .,，所以\21x x a <1， 所以211x x a ->0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
2.函数的基本性质之单调性
函数的基本性质一. 函数的单调性1.复合函数的单调性的判定［例1］函数)(x f 在R 上为增函数，求函数)1(+=x f y 单调递减区间． 解析：令1+=x u ，则u 在(－∞,－1]上递减，又函数)(x f 在R 上为增函数， ∴ 函数)1(+=x f y 单调递减区间为(－∞,－1].【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数1+x 的单调性，)1(+=x f y 与1+x 的单调性和单调区间相同．如果变函数)(x f 在R 上为减函数，那么函数)1(+=x f y 的单调性与函数1+x 的单调性相反，即函数)1(+=x f y 单调递增区间为(－∞,－1].练习 设函数)(x f 在R 上为减函数，求函数)1(xf y =单调区间．2.函数的和函数与差函数的单调性的判定 在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内， 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数．［例2］若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，则bx ax y +=2的单调性是( ) A. 在()+∞∞-,上是增函数 B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 解析: 由函数 ax y =在()+∞,0上是减函数，得 a ＜0，又函数xby -=在()+∞,0上是减函数，得 b ＜0， 于是，函数2ax ，bx 在()+∞∞-,上都是减函数， ∴ 函数bx ax y +=3在()+∞∞-,上是减函数，故选C ．【技巧提示】 熟悉函数ax y =，2ax y =，bx y =，xby =的单调性与a 、b 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性． ［例3］求函数31)(--+=x x x f 的最大值．解析：由31431)(-++=--+=x x x x x f ，知函数31)(--+=x x x f 在其定义域 [3，+∞ )上是减函数． 所以31)(--+=x x x f 的最大值是2)3(=f ．【技巧提示】 显然由31431-++=--+x x x x 使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．练习 1. 已知[]1,0∈x ，则函数x x y --+=12的值域是 .解析：∵ x x y --+=12在[]1,0∈x 上单调递增，∴ 函数x x y --+=12的值域是[])1(),0(f f ．即[]3,12-．2. 求函数x x y 21++=的值域．解析：∵ x x y 21++= 在定义域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上是增函数， ∴ 函数x x y 21++=的值域为 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21．3. 抽象函数的单调性例 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)∵函数f(x)对于任意x ，y ∈R 总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，∴令x ＝y ＝0，得f(0)＝0.再令y ＝－x ，得f(－x)＝－f(x)． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2)＝f(x 1－x 2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x 1－x 2>0，∴f(x 1－x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．因此f(x)在R 上是减函数．(2)∵f(x)在R 上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.练习 定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a b R ∈、，有()()()f a b f a f b +=⋅. (1)求(0)f 的值；(2)求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围. 解：（1）解：令0a b ==，则2(0)(0).f f = 又(0)0f ≠，(0)1f =. （2）证明：当0x <时，0x ->，∴()1f x -> ∵(0)()()1f f x f x =⋅-=，∴1()0()f x f x =>- 又0x ≥时， ()10f x ≥> ∴对任意的x R ∈，恒有()0f x >. （3）解：设12x x <，则210x x ->. ∴21()1f x x ->. 又1()0f x > ∴ 1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--⋅ =121()[1()]0f x f x x --<∴ 12()()f x f x <.∴ ()f x 是R 上的增函数. 由2()(2)1f x f x x ⋅->，(0)1f =得 2(3)(0)f x x f ->.∴ 230x x ->，∴03x <<∴所求的x 的取值范围为(0,3)二.一个特殊的函数 ---对号函数xb ax x f +=)()0,0(>>b a 被称为对号函数．对号函数是奇函数，其图象是双曲线，y 轴和直线 ax y =是其渐近线． ［例4］试判断函数xbax x f +=)()0,0(>>b a 在()0,+∞上的单调性并给出证明.解析：设120x x >> ，()()()12121212ax x bf x f x x x x x --=- 由于120x x -> 故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭上增函数，同理可证函数()f x在⎛ ⎝上为减函数. 【技巧提示】 xbax x f +=)()0,0(>>b a 是一种重要的函数模型，要引起足够的重视．事实上，函数()()0,0bf x ax a b x =+>>的增函数区间为,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭，减函数区间为⎛ ⎝和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．但注意本题中不能说()f x在,⎛-∞ ⎝⎫∞⎪⎪⎭上为增函数，在⎛ ⎝⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数, 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．练习 求函数2=y 解析：由()u g uu x x x x y =+=+++=++=1414452222,[)+∞∈,2u ,用单调性的定义法易证()u u u g 1+= 在[)+∞,2上是增函数，易求函数2=y 25为所求．再例：已知函数()[)+∞∈++=,1,22x x ax x x f . 若对于x [)+∞∈,1,)(x f ＞0恒成立，试求a 的取值范围.解析：由)(x f ＝ [)+∞∈++=++,1,222x xax x a x x .当a ＞0时， ()2++=xa x x f 显然有)(x f ＞0 在[)∞+.1恒成立；a ≤0时，由()[)+∞∈++=++=,x ,xax x a x x x f 1222知其为增函数，只需)(x f 的最小值)1(f ＝3＋a ＞0,解之，a ＞－3. ∴当a ＞－3时，)(x f ＞0在[)+∞,1上恒成立.［例5］已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)10(f ＝1， 设)(x F =)(1)(x f x f +，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论． 解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(2x f ＞)(1x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)10(f ＝1，∴当x ＜10时0＜)(x f ＜1，而当x ＞10时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜10，则0＜)(1x f ＜ )(2x f ＜1， ∴0＜ )(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 2x ＞1x ＞10，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1，∴)()(121x f x f ＞0，∴ )(2x ＞)(1x F ； 综上，)(x F 在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键．课后训练1、函数1()(0)f x x x x=+≠的单调性描述，正确的是（ ） A 、在(－∞，＋∞)上是增函数； B 、在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数； C 、在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是增函数； D 、在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数2、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数3、函数()f x 是定义在[0,)+∞上的单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是4、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是5、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为6、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_____________.7、证明函数()x f ＝2x 在[0，＋∞）上是增函数．8、证明函数xx y 14+= 在),21[+∞上是增函数．9、已知函数)(x f 、)(x g 在R 上是增函数，求证：))((x g f 在R 上也是增函数.10、求函数12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最值．11、若函数22)(2+-=x x x f 当]1,[+∈t t x 时的最小值为()g t ，求函数()g t 当]2,3[--∈t 时的最值．12、讨论函数()f x ＝)0(12≠-a x ax，在－1＜x ＜1上的单调性．参考答案1．D 2．略 3．解析：设1x ＞2x ≥21， 则 )(2x f －)(1x f ＝2214x x +－（1114x x +） ＝212112)(4x x x x x x -+-＝21211214)(x x x x x x -⋅-， ∵ 012<-x x ，4121>x x ， ∴ )(2x f －)(1x f ＜0 ∴ 函数xx y 14+= 在),21[+∞上是增函数．4．25．证明：设1x ＞2x ，则)(1x f －)(2x f ＞0，)(1x g －)(2x g ＞0， 即 )(1x g ＞)(2x g于是 ))((1x g f －))((2x g f ＞0 ∴ ))((x g f 在R 上也是增函数.6．C 7．]1,0[ 8．)2,(--∞和),2(+∞- ]2,2(- 9．),3[+∞10．解析：函数12)(2--=ax x x f )1()(22+--=a a x ，当 0<a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)0(f ＝－1 )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 10<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 21<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1；当 2≥a 时，)(x f 在区间上的最小值为)(min x f ＝)2(f ＝a 43- )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 11．解析：因为函数22)(2+-=x x x f ＝1)1(2+-x 当t ≤0时，最小值)(t g ＝)1(+t f ＝12+t ； 当0＜t ≤1时，最小值)(t g ＝)1(f ＝1； 当t ＞1时，最小值)(t g ＝)(t f ＝222+-t t ；∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<≤+=1,2210,10,1)(22t t t t t t t g ，)(t g 当]2,3[--∈t 时的最大值为)3(-g ＝10；最小值为)2(-g ＝5．12．解析：函数)(x f ＝12-x ax＝xx a 1-作函数xx x g 1)(-=， )(x g 为奇函数且在)0,1(-和)1,0(上都是增函数， ∴ 当a ＜0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是增函数； 当a ＞0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是减函数．。
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1、函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的单调性与单调区间函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数 函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性 区间D 叫做=y )(x f 的单调区间3.对函数单调性的理解（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.题型一 求函数的单调区间例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1,3)(2x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.题型二 函数单调性的判定与证明利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子； 第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论.例2 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.变式练习1.求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)2.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．3.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．题型三 函数单调性的简单应用例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)<f(2－3a)，则a的取值范围是________.课后作业1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1xD.y ＝－x 2＋42.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <123.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)()(1212<--x x x f x f ，则( )A.f (3)<f (2)<f (1)B.f (1)<f (2)<f (3)C.f (2)<f (1)<f (3)D.f (3)<f (1)<f (2)4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3D.a <－35.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，13)B.(17，＋∞) C.[17，13) D.(－∞，－17]∪(13，＋∞)6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是_____.8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．9.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.10.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是_____.11.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________；(3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________.12.已知函数f (x )＝a －2x.(1)若2f (1)＝f (2)，求a 的值；(2)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.13.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.。
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课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性
学 科：高中数学
课程类型：基础型
课式类型：新授课
执教老师：田红兵
授课班级：高一（2）班
一、教学目标
1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征，
能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函
数的单调性。
2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论
证和语言表达的能力。
3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良
好的思维习惯。
二、教学重点及难点
重点：函数单调性的概念
难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明
三、教学用具准备：多媒体课件
四、教学过程设计 策略与方法
（一）情景引入
1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ）
问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课，
趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念
预案：随年份的增加而增加。
在生活的原型，认识研
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。
预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数
值是增大还是减小，
对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同
学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续
研究这个问题。
(二).归纳探索，形成概念
1.借助图象，直观感知
问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=，
x y 1
=的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法
预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类
(2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图
(3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。
在()1,∞-上y 随x 的增大而增大．
(4)函数x y 1
=在（0,)∞+上 y 随x 的增大而减小，在
()0,∞-上y 随x 的增大而减小．
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的
单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
预案1：如果函数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y
也越来越大，我们说函数)(x f 在该区间上为增函数；如果函 通过观察图像，获
数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们 得感性认识，得到初步
说函数)(x f 在该区间上为减函数． 概念，完成对单调性的
预案2：在区间I 上，若函数y=)(x f 的图像从左至右看总是上升 第一次认识
的，则称函数y=)(x f 在区间I 上是增函数；若函数y=)(x f
的图像从左至右看总是下降的，则称函数y=)(x f 在区间I 上
是减函数；
通过讨论，使学生
感受到用函数图象判断
2．探究规律，理性认识 函数单调性虽然比较直
问题3：二次函数2)(x x f = 的图象可能会在区间[)+∞,100 观，但有时不够严密，
上降下来？可能会在区间会在[)+∞,200 上降下来？可能会在 需要结合解析式用准确
[)+∞,300上降下来？。
的数学语言刻画概念。
问题4：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在[)+∞,0为
增函数？ 把对单调性的
认识由感性上升到理性
预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22, 认识的高度, 完成对概
所以2)(x x f =在[)+∞,0为增函数． 念的第二次认识．
(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以2)(x x f =在
[)+∞,0为增函数． 事实上也给出
(3) 任取
, 了证明单调性的方 因为,即， 法，为证明单调性
所以2)(x x f =在[)+∞,0为增函数． 做好铺垫.
3．抽象概括，准确刻画概念
让学生由特殊
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 到一般，从具体到抽
象归纳出单调性的
(1)板书定义 概念
a)一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，对于给定区间 用多媒体演示
D I ⊆：如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，概念的表述，当堂
当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x = 记忆概念。
在区间I 上是单调增函数，区间I 称为()y f x =的单调增区间. ，
b)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
一般地，设函数()y f x =的定义域为D ,对于给定区间D I ⊆：
如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ， 利用几何画板让
当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在区学生体验单调性的概
间I 上是单调减函数，区间I 称为()y f x =的单调减区间. 念，通过动画强化用
c ）单调区间：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，抽象的数学语言刻画
那么就说函数()y f x =在这一区间上具有单调性，这一区间叫做 的概念，完成对概念
()y f x =的单调区间. 的第三次认识．
d) 若函数()y f x =在区间I 上是增函数或是减函数，则称
()y f x =是区间I 上的单调函数。
通过对判断题
(2)巩固概念 对概念进行辨析，使
学生明确概念的内涵
判断题： 和外延。
进一步加深
① 若函数)(x f 满足f(2)<f(3),则函数)(x f 在区间[2，3]上 对概念的理解，完成
为增函数。
对概念的第四次认
② 若函数)(x f 在区间(]2,1和(2,3)上均为增函数，则函数 识.
)(x f 在区间(1,3)上为增函数． 策略与方法
（三）例题分析，强化概念
例1．根据函数图象指出函数的单调增区间和单调减区间. 例1旨在锻炼
学生用图像法判定
函数单调性的能力，
是对新概念的初步
运用。
y =f (x )的单调增区间有______________;
y =f (x )的单调减区间有_______,_______.
例2．求证：函数21)(x
x f =在区间(0,)+∞上为单调减函数. 例2旨在强化 证明: 对于区间(0,)+∞上的任意两个实数12,,x x 且12x x < 用数学符号语言
22212121222121))((11
)()(x x x x x x x x x f x f +-=-=- 表述的概念，是对新
122112,0,0x x x x x x <->>而由0<得021>+x x 概念的进一步运用，
1212()()0,()()f x f x f x f x ∴->>即 提高论证推理的能
所以,函数21)(x
x f =在区间(0,)+∞上为单调减函数. 力
用定义证明函数()y f x =在区间I 上具有单调性的步骤：
（1）设元：（2）作差；（3）变形；（4）断号；（5）定论
（四）巩固练习
1：根据函数x
x y 1+=的图象，写出函数的单调区间. 2求证：函数2
2y x =-+在区间(,0]-∞上是单调增函数.
（五）归纳小结，提高认识 学生交流在本节
课学习中的体会、
收
(1)函数单调性的定义： 获，交流学习过程中
(2) 证明方法和步骤 ：设元、作差、变形、断号、定论。
的体验和感受，师
生
合作共同完成知识方
法小结．
（六）作业布置策略与方法1．课本P69 练习1，2做于书上。
3，4，5，6做于练习通过作业，巩固本上。
知识、方法。
2．练习册P33/ 5,6做于练习本上。
3. 归纳总结初中已经学习过的四个函数的单调性：通过总结整理，
（1）正比例函数：y＝kx （k≠0）完善知识结构。
（2）反比例函数：
k
y
x
＝（k≠0）
（3）一次函数： y＝kx＋b （k≠0）（4）二次函数： y＝ax2＋bx＋c （a≠0）
（七）板书设计。