函数的基本性质(2)函数单调性

课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性

学 科：高中数学

课程类型：基础型

课式类型：新授课

执教老师：田红兵

授课班级：高一（2）班

一、教学目标

1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征，

能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函

数的单调性。

2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论

证和语言表达的能力。

3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良

好的思维习惯。

二、教学重点及难点

重点：函数单调性的概念

难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明

三、教学用具准备：多媒体课件

四、教学过程设计 策略与方法

（一）情景引入

1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ）

问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课，

趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念

预案：随年份的增加而增加。 在生活的原型，认识研

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。

预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数

值是增大还是减小，

对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同

学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续

研究这个问题。

(二).归纳探索，形成概念

1.借助图象，直观感知

问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=，

x y 1

=的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法

预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类

(2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图

(3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。

在()1,∞-上y 随x 的增大而增大．

(4)函数x y 1

=在（0,)∞+上 y 随x 的增大而减小，在

()0,∞-上y 随x 的增大而减小．

引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的

单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

预案1：如果函数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y

也越来越大，我们说函数)(x f 在该区间上为增函数；如果函 通过观察图像，获

数)(x f 在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们 得感性认识，得到初步

说函数)(x f 在该区间上为减函数． 概念，完成对单调性的

预案2：在区间I 上，若函数y=)(x f 的图像从左至右看总是上升 第一次认识

的，则称函数y=)(x f 在区间I 上是增函数；若函数y=)(x f

的图像从左至右看总是下降的，则称函数y=)(x f 在区间I 上

是减函数；

通过讨论，使学生

感受到用函数图象判断

2．探究规律，理性认识 函数单调性虽然比较直

问题3：二次函数2)(x x f = 的图象可能会在区间[)+∞,100 观，但有时不够严密，

上降下来？可能会在区间会在[)+∞,200 上降下来？可能会在 需要结合解析式用准确

[)+∞,300上降下来？。。。。。。。

的数学语言刻画概念。

问题4：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在[)+∞,0为

增函数？ 把对单调性的

认识由感性上升到理性

预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22, 认识的高度, 完成对概

所以2)(x x f =在[)+∞,0为增函数． 念的第二次认识．

(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以2)(x x f =在

[)+∞,0为增函数． 事实上也给出

(3) 任取

, 了证明单调性的方 因为,即， 法，为证明单调性

所以2)(x x f =在[)+∞,0为增函数． 做好铺垫.

3．抽象概括，准确刻画概念

让学生由特殊

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 到一般，从具体到抽

象归纳出单调性的

(1)板书定义 概念

a)一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，对于给定区间 用多媒体演示

D I ⊆：如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，概念的表述，当堂

当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x = 记忆概念。

在区间I 上是单调增函数，区间I 称为()y f x =的单调增区间. ，

b)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.

一般地，设函数()y f x =的定义域为D ,对于给定区间D I ⊆：

如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ， 利用几何画板让

当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在区学生体验单调性的概

间I 上是单调减函数，区间I 称为()y f x =的单调减区间. 念，通过动画强化用

c ）单调区间：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，抽象的数学语言刻画

那么就说函数()y f x =在这一区间上具有单调性，这一区间叫做 的概念，完成对概念

()y f x =的单调区间. 的第三次认识．

d) 若函数()y f x =在区间I 上是增函数或是减函数，则称

()y f x =是区间I 上的单调函数。

通过对判断题

(2)巩固概念 对概念进行辨析，使

学生明确概念的内涵

判断题： 和外延。进一步加深

① 若函数)(x f 满足f(2)

为增函数。 对概念的第四次认

② 若函数)(x f 在区间(]2,1和(2,3)上均为增函数，则函数 识.