3.4.3《简单线性规划的应用》课件(北师大版必修5)

3x＋6y≥45， 5x＋6y≥55， x≥0，y≥0， 所以总面积为z＝2x＋3y.
作出可行域如图所示．当直线经过交点A时，z取得最 小值．
3x＋6y＝45， 由 5x＋6y＝55，
x＝5， 得 y＝5.
• 所以zmin＝2×5＋3×5＝25. • 即甲、乙两种钢板各用5张时，能保证制造
• 4．3 简单线性规划的应用
• 1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性
规划问题，并能加以解决． • 2.培养学生应用线性规划的有关知识解决实际 问题的意识.
• 1.对利用线性规划解决实际问题的考查是本节
的热点． • 2.本节内容常与实际问题结合问题． • 3.多以选择题、填空题形式考查，也可以解答 题形式考查.
x－4y≤－3， 3x＋5y≤25， x≥1.
z的最大值和最小值分别为 12,3 .
• 线性规划的应用 • 线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范
围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列 限制条件 出所有 ，不能有遗漏的部分，如有时变 量要求为正实数或自然数，其次是准确找到 目标函数 ，如果数量关系多而杂，可以用列表等方 法把关系理清．
向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的 点M，且与原点距离最大，此时z＝7x＋12y取 最大值．
3x＋10y＝300， 解方程组 4x＋5y＝200，
得M点坐标为(20,24)． 即应生产甲种产品20 t，乙种产品24 t，才能使此工厂 获得最大利润．
•
某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有 货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运 给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商 店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6 元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙， 每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应 如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货 物到三个商店的总运费最少？
• 线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题
中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定 一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的 人力、物力、资金等资源来完成这项任务． • 在生产和生活中，常用于：①下料问题；②优 化安排活动问题；③优化运营问题等． • 利用线性规划的方法解决实际问题的过程可分 为假设分配方案、确定目标函数、列出约束条 件、画出可行域、确定最优解、确定目标函数 最值、回归实际问题．
x≥0 y≥0
下的最小值．
作出上述不等式组所表示的平面区 域，即可行域， 作出直线l：x－2y＝0，把直线l作 平行移动，显然当直线l移动到过点 A(0,8)时，在可行域内，z＝x－2y＋126取得最小值zmin＝0－ 2×8＋126＝110. 即x＝0，y＝8时，总运费最少．
• 答：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0
• 本题解答可先设出企业生产甲、乙两产品
的吨数，再根据原料限制条件列出约束条 件，建立目标函数求解．
[解题过程] 设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且 x≥0， y≥0， 3x＋y≤13， 2x＋3y≤18
3x＋y＝13， 联立 2x＋3y＝18 x＝3， ，解得 y＝4.
吨、8吨、4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的 货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从 两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
• [题后感悟] (1)线性规划问题中条件往往较多，
需注意借助表格或图形梳理题目中的条件． • (2)在切实认真审题的基础上，将约束条件全 部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量 是否为正整数或有其他范围的限制．
，
作可行域如图(阴影内的整点)所示．
• • • • • • •
作直线l′：320x＋504y＝0， 作一组与l′平行的直线l：320x＋504y＝t(t∈R)， 由题设x，y是可行域内的整点的横、纵坐标． 在可行域内的整点中，点(8,0)使t取最小值， 即当l过点(8,0)时，t最小， 即zmin＝8×320＝2 560(元)． 答：每天从公司调A型卡车8辆就能完成任务， 且公司所花成本费最低．
• [题后感悟] 对于线性规划中的最优整数解的
问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可 用下面的方法求解： • (1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描 整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整 点坐标是整点最优解． • (2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时， 也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比 较得最优解．
A，B两种外壳的数量，同时又能使总的用 料面积最小．
• 某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少
运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重 为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车， 有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是： A型卡车为4次，B型卡车为3次．每辆卡车每 天往返的成本费为：A型卡车为320元，B型卡 车为504元，请你为该公司调配车辆，使公司 所花成本费最低．
12－x－y≥0 • z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y) 7－x≥0 ＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126. 8－y≥0 z＝x－2y＋126在约束条件 • 则问题转化为求总运费 x＋y－7≥0
0≤x≤7 0≤y≤8 即在 x＋y≥7 x＋y≤12
由图可知，最优解为P(3,4)， ∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
• 答：企业可获得的最大利润为27万元．
• [题后感悟] 线性规划的应用问题，关键是
根据题目正确的列出变量的约束条件与目 标函数，准确地画出可行域，确定其最优 解．
• 1.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产
品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作 日计算)3个；制造乙产品1 kg要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg可获 利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现 在此工厂只有煤360 t，电力200 KW，劳动力 300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品 各多少千克获得最大经济效益？
• 先设仓库A运给甲、乙商店的货物吨数，利
用题设等量关系表示出其他运物吨数，从而 表示出目标函数—总运费，列出线性约束条 件，建立线性规划模型．
• [解题过程] 将实际问题的一般语言翻译成数
学语言可得下表(即运费表，单位：元)
商店 每吨运费 甲 乙 丙 仓库 A 8 6 9 • 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨、y B 3 4 5 吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y) 吨；从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应 分别为(7－x)吨，(8－y)吨，[5－(12－x－y)]吨， 即(x＋y－7)吨，于是总运费为
作出直线l0：x＋y＝0，平移直线经过直线6x＋3y－40＝
20 20 20 ，0得直线l1的方程为x＋y＝ .由于 不 0和y＝0的交点A 3 3 3
是整数，而最优解(x，y)中x，y必须都是整数，所以，可行 域内点
20 ，0 3
不是最优解．经过可行域内的整点(横、纵坐
• 解析： 设此工厂应分别生产甲、乙产品x
kg、y kg，利润z万元，则依题意可得约束 条件：
9x＋4y≤360 4x＋5y≤200 ② 3x＋10y≤300 ③ x≥0 ④ y≥0 ⑤ 利润目标函数为： z＝7x＋12y.
①
• 作出可行域，作直线l：7x＋12y＝0，把直线l
• 2.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装
置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳， 已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每 张面积2 m2，可做A，B外壳分别为3个和5个， 乙种薄钢板每张面积3 m2，可做A，B外壳各6 个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用 料面积最小． 解析： 设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则
• 解答本题可先转化为线性规划问题，再利用
线性规划问题的知识求解，注意车辆数应为 整数．
[解题过程] 设每天从该公司调出A型卡车x辆，B型卡 车y辆，公司每天所花成本为z元，则z＝320x＋504y，其中 x，y满足约束条件 0≤x≤8 0≤y≤4 x＋y≤10 24x＋30y≥180 x，y∈N 0≤x≤8 0≤y≤4 ，即x＋y≤10 4x＋5y≤30 x，y∈N
• 3.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两
种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输 效果见下表： 方式 轮船运 飞机运 效果 输量 输量 (t) (t) 种类 300 150 粮食 250 100 石油 • 现在要在一天内运输2 000t粮食和1 500t石油需 至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
，销售额z＝x＋2y，
作出可行域如图．
令z＝0得直线x＋2y＝0， 平移此直线过点M时z最大，
2x＋5y＝20 由 5x＋4y＝25
，
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45 50 得M17，17，调整得最优解(2,3)，
∴zmax＝2＋2×3＝8(百元)．
• 答案： 8
• 3．有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生
产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要 原料和产生的利润分别为：磷酸盐2 t，硝酸盐 9 t，利润8 000元或磷酸盐2 t，硝酸盐5 t，利 润6 000元．工厂现有库存磷酸盐20 t，硝酸盐 70 t，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最 大利润？
解析： 设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车 2x＋2y≤20 皮数．由题意得9x＋5y≤70， x≥0，y≥0 工厂利润z＝8 000x＋6 000y.
2x＋2y＝20 由 9x＋5y＝70 x＝5 得 ’ y＝5
• 即当直线8 000x＋6 000y－z＝0过(5,5)点时，z
取得最大值． • 即生产甲、乙两种肥料各5车皮时可获得最大
•
某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每 吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每 吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每 吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获 得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该 企业可获得最大利润是多少？
• 1．线性目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)把直
增大 线l0：ax＋by＝0向右平移时，所对应的z随之 ，把l0向左平移时，所对应的z随之 减小 首先 ．在平移过程中与可行域 相交的 最后 点和 相交的点，可使目标函数z＝ax＋by＋ c取得最值．也就是最优解．
2．设z＝2x＋y，其中变量x，y满足条件
解析： 设需要安排x艘轮船和y架飞机， 300x＋150y≥2 000 250x＋100y≥1 500 则有x≥0 y≥0 x，y∈N 6x＋3y≥40 5x＋2y≥30 ，即x≥0 y≥0 x，y∈N
，
目标函数为：z＝x＋y.作出可行域，如图所示，
用料要求如表所示(单位：千克)
原 料 甲 乙
药 剂
A 2 5 B 5 4 • 药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售 价分别为100元、200元．现有原料甲20千克， 原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为 ________百元．
解析： 设药剂A、B分别配x剂、y剂， 2x＋5y≤20 则5x＋4y≤25 x、y∈N ＋
标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是 (7,0)，即为最优解． 答：至少安排7艘轮船和0架飞机．
• 1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，
设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆， 则要运送最多的货物，完成这项运输任务的线 性目标函数为( ) • A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y • C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y • 答案： A
• 2．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，