《理论力学》第十一章动量矩定理习题解
理论力学第十一章-2
dr 而 mv v mv 0 , r F M O ( F ) , dt d d [ M O (mv )] M O ( F ) 故： (r mv ) r F , dt dt 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
[例4]：两小球质量皆为m,初始角速度 0 求：剪断绳后, 角时的 .
解: 取A、B小球为研究对象， 受力分析：作用于二小球 的外力对转轴的矩都为零。 运动分析： A、B二小球均 作圆周运动。
17
M z
(e)
0
A、B二小球对其转轴的动量矩守恒。
依动量矩守恒定理有：
0
时,
Lz1 2ma0 a 2ma20
1
, 2
,总体积流量V q
。
19
经△t 时间,水流动量矩改变为：
dLO Labcd LABCD LCDcd LABab
设叶片数为 n ,水密度为 ,有
1 LCDcd qV dt v2 r2 cos 2 n 1 LABab qV dt v1 r1 cos1 n 1 dLO qV dt (v2 r2 cos 2 v1r1 cos1 ) n dLO M O (F ) n qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos1 ) dt
7
2．定轴转动刚体
Lz M z (mi vi ) mi ri J z
2
定轴转动刚体对转轴的动量 矩等于刚体对该轴转动惯量 与角速度的乘积。 3．平面运动刚体 Lz M z (mvC ) J C 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动 量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该 轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
理论力学(盛冬发)课后习题问题详解ch11
第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。
11 动量矩定理题解
解得 1
式中 FT1 FT 1 ， FT2 FT2 ， 2
2( R2 M R1 M ' ) g 2 (P 1 P 2 ) R1 R2
即第一个带轮的角加速度 1
2( R2 M R1 M ' ) g 2 (P 1 P 2 ) R1 R2
FOy
r1
r2
O
FOx
m3 g vA
A B
vB m2 g
m1 g
解：设塔轮的角速度为，则 A 块速度为 v A r1 ，B 块速度为 vB r2 ， 系统对水平轴 O 的动量矩 LO m1v A r1 m2vB r2 J (m1r12 m2 r22 m3 2 ) 由动量矩定理，
l l cos , yC sin ， 2 2
注意到
得 aCx
d d d d d ， dt dt d dt d
O A (b)
r
2 解： LO J O ml
1 3
1 2 mr ml 2 2
1 2 (8l 3r 2 ) m 6
（c）图示滑轮组，重物 A 和 B 质量分别为 m1 和 m2；滑轮 O 的质量为 m3，半径为 r，可视 为均质圆盘。滑轮绕水平轴 O 的作定轴转动，角速度为。 （绳子不计质量和弹性。 ） r O
11.7 均质圆轮 A 重量为 P1，半径为 r1，以角速度 绕杆 OA 的 A 端转动，此时将轮放置 在均质轮 B 上；杆 OA 重量不计；均质轮 B 重量为 P2、半径为 r2，初始静止，但可绕 其中心自由转动。放置后轮 A 的重量由轮 B 支持。设两轮间的摩擦系数为 f ’；求自轮 A 放在轮 B 上到两轮间没有相对滑动时的时间。
理论力学(11.7)--动量矩定理作业解答
第11章作业答案
1、解 （1）轮A 绕O 定轴转动
（2）轮A 作平面运动
（3）轮A 绕O 作圆周曲线平移
2、解 分别取轮A、B 为研究对象，其受力和运动分析如图b、c 所示，根据刚体绕定轴转动的微分方程式，对轮A，B 分别有
分离变量并积分
3、解 取轮子为研究对象，轮子受力如图b 所示，根据刚体平面运动微分方程有
因轮子只滚不滑，所以有
上式对时间2 次积分
4、解 取均质圆柱体A 为研究对象，其受力如图b 所示，根据刚体平面运动微分方程有
由运动学公式知
5、解 以圆板和质点M 为系统，因为系统所受外力（包括重力和约束力）对轴z 的矩均为零，故系统对轴z 动量矩守恒。
设质点M 在M0 位置为起始位置，该瞬时系统对轴z 的动量矩
在任意时刻：
6、解 （1）取均质杆为研究对象，受力及坐标系Oxy 如图b 所示，杆AB 作平面运动，质心在点C。
刚体平面运动微分方程为
将其对间t 求2 次导数，且注意到
分离变量并积分得
（2）当杆脱离墙时F N A= 0。
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0 Fox m2l amgFOy
FOymgm2lam 4g
§11-4 刚体对轴的转动惯量
一．定义： Jz miri2
z
i
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分
形式
Jz r2 dm
由定义可知，转动惯量不仅与 质量有关，而且与质量的分布有关；
ri
vi
mi
在国际单位制中，转动惯量的单位
是: kg·m2。同一刚体对不同轴的转
Jz mz2
回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集 中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该 点到轴的距离就等于回转半径的长度。
3、平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体 对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，
zC
z1
m
C
Jz1 JzC md2
dLO dt
MO(Fi(e))
若 Mz(F(e))0，则 Lz 常量。
dLz dt
Mz (Fi (e) )
例 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上
的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为a。
设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
O u
A
mg
mg
解：以系统为研究对象，受力如图。
由于SMO(F (e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。
设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为
va uv
v
LOmarvmv0 r
FOy
O
FOx
u
A mg mg
L Om (uv)rm v0r
理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答
习 题11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。
其中a 、b 和w 均为常量。
试求质点对坐标原点O 的动量矩。
t a xv x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-=)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω⨯+⨯= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω⨯+⨯= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω⨯+⨯= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2=11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。
如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。
（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。
图11-25(1)θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =⨯= θω22sin 2l m L z = (2)θθ2202sin 32d )sin (2ml x x lm J l z ==⎰杆 θ22sin 38ml J z = θω22sin 38l m L z =11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。
各物体质量均为m 。
图11-26(a) ω231ml L O =(b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω291ml L O -=(c) 2222452312121ml l m l m J O =⨯⨯+⨯⨯=ω2245ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω223mR L O =11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。
理论力学：第11章 动量矩定理
·1·第11章 动量矩定理11.1 主要内容11.1.1 质点系动量矩计算质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即∑∑==⨯==n i n i i i i i O O m m 11)(iv r v M L质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为∑==n i i i z z m M L 1)(v刚体对转动轴z 轴的动量矩为z z I L =质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即i i ni i C m v r L ⨯'=∑=1i r '为第i 个质点对质心的矢径。
质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。
C v r L L m C C O ⨯+=当刚体作平面运动时，又可表示为d mv L L C ±=C O其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理（1）对固定点的动量矩定理质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即)(e O O dt d M L =在直角坐标系上的投影式为·2·⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F（2）质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。
即(e)C C M L =dt d 或 (e)C Cr M L =dt d式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。
(3) 动量矩守恒定律在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即()0=e OM ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如0)()(=∑e x M F ，L x =常数11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为z z M tI =22d d ϕ 或z z M I =ε在工程中，常将转动惯量表示为2z z m I ρ=z ρ称为回转半径。
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
理论力学第11章的课后习题答案
求:重物A下降的加速度以及轮C与地面接触点处的静摩擦力。
C B rO R
D A
C
B
r OR
m2 g Fs
FN
解：分别选轮子和重物A为研究对象，受力分析和运动分析 如图所示。轮子作平面运动，应用刚体平面运动微分方程，有
C B
FT
Fs
m2aO
D
rO
R
FT r Fs R m2 2
JO g W1R2
g
小车上升的加速度为
aห้องสมุดไป่ตู้
R
M W1R sinR
JO g W1R2
gR
a
FT
W1
FN
由小车的运动微分方程，有
FT
W1 sin
W1 g
a
解得绳子的拉力为
FT
W1 sin
W1 g
a
11-18 如图11.52所示结构中，重物A、B的质量分别为m1和m2 B物体与水平面间摩擦系数为f，鼓轮O的质量为M，
重物A的运动微分方程为 A
m1g FT' m1aA
C B r OR
m2 g Fs
FN
FT
F T'
a
A
m1g
其中： aO R
aA (R r)
FT' FT
联立求解，可得重物A下降的加速度为
aA
m1(R
m1(R r)2 r)2 m2 (R2
2)
g
轮C与地面接触点处的静摩擦力为
Fs
(2
m1(R r)2
FT'A
A
aA
Mg
A
m1g
重物A： m1g FTA m1a A
理论力学第十一章动量矩定理
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
理论力学11—动量矩定理
11.2 动量矩定理
例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为 m1 ，绕O 轴转动。小车和矿石的总质量为 m2 。作用在鼓轮 上的力偶矩为 M，鼓轮对转轴的转动惯量为 J，轨道倾角为α。 设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。 分析： 小车的速度对时间的一阶导数等 于加速度，利用动量矩定理可求 出小车速度的表达式。 解：以系统为研究对象，受力 如图。以顺时针为正，则
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等 于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的 乘积。
11.1 质点和质点系的动量矩
注意：
对点的动量矩是矢量，对轴的动量矩是代数量。 计算质点系相对于质心的动量矩时，无论是用绝对运动的动 量，还是用相对于以质心为基点的平动坐标系的相对运动的 动量，其计算结果是相同的。
对质心之外的其它点，用上述两种方法计算的动量矩是不同 的，必须用绝对运动中的动量来计算动量矩。
11.1 质点和质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳， 绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯 量为J ，半径为 r，角速度为 ，重物A的质量 为 m ，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系统 对轴O的动量矩。
O
r
解：
A
mv
LO L盘 mvr J 块L LOL L mvr J 块 盘 2 2 2 J ( mr 2 mr ) mr J (mr J J )
刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系 将由本章的动量矩定理给出。
它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
11.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩 是矢量。
动量矩定理作业参考答案及解答
g (顺时针), 2r
FOx = 0,
1 FOy = mg (↑) 2
6．如题图所示，有一轮子，轴的直径为 50mm，无初速的沿倾角θ=20°的轨道
滚下，设只滚不滑，5s 内轮心滚过的距离为 s=3m。试求轮子对轮心的惯性半径。
s
提示：本题用刚体平面运动微分方程求解。注意到轮心加速度可由式 1 s = at 2 求得，且轮心加速度 a 与轮子角加速度α关系 a = rα ，其中 r 为轮轴的 2 半径。 解：
a mg
Ff × r = mρ α
2
由以上两式消去 Ff 得 ρ 2 =
r ( g sin θ − a )
α
=
r 2 t 2 g sin θ − r 2 = 8113(mm) 2 2s
ρ= & 90mm
r 2 t 2 g sin θ − r 2 = 8113(mm) 2 , ⇒ 2s
答案： ρ 2 =
整个系统对轴 O 的动量矩守恒
p 1 p LO = L1 + L2 = r 2 1 ω + 2 r (ωr − at ) = 0 2 g g
解得
ω=
2aP2 t , r (2 P2 + P1 )
α=
2aP2 dω = dt r (2 P2 + P1 )
答案： ω =
2aP2 t , r (2 P2 + P1 )
vB
A
ωB
B
D
1 1）对杆分析，杆对轴 A 的动量矩 L A1 = m2 R 2ω 3 2）对轮分析
ω B R = ωl
ωB =
齿轮对轮心 B 的动量矩为 齿轮对轴 A 的动量矩为
ωl
《理论力学》第十一章动量矩定理习题解详解
yx第十一章 动量矩定理 习题解[习题11-1] 刚体作平面运动。
已知运动方程为：23t x C =，24t y C =，321t =ϕ，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。
设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。
解：)(1223|22m x t C =⨯== )(1624|22m y t C =⨯== t t dtddt dx v C Cx6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =⨯== t t dtddt dy v C Cy8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =⨯==2323)21(t t dt d dt d ===ϕω )/(6223|22s rad t =⨯==ω→→→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω→→-+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2ωρ→=→⨯-⨯+⨯⨯=k L t O ]1612121665.0[10|22→=→=k L t O 15|2 )/(2s m kg ⋅，→k 是z 轴正向的单位向量。
[习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。
解：gPl l g P J ABz 33122,=⋅⋅=平动)(a O 转动绕定轴C )(b 转动绕定轴1 )(Oc O 在圆弧上作纯滚动)(d gl R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=⋅+⋅⋅=圆盘ωω⋅+⋅=圆盘,,z AB z z J J Lω]4)4(3[222g l R W g Pl L z ++=ω)4443(222gWRg Wl g Pl L z ++= ω)4333(222gWR g Wl g Pl L z ++=ω)433(22R gW l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。
《理论力学》第十一章 动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
MO (mv)
mv
M z (mv)
r
[MO (mv)]z Mz (mv)
对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负.
2．质点系的动量矩
对点的动量矩
n
LO MO (mivi ) i 1
对轴的动量矩
n
Lz M z (mivi ) i 1
即 LO Lxi Ly j Lzk
二者关系
[LO ]z Lz
（1） 刚体平移 LO MO (mvC ) Lz Mz (mvC )
（2） 刚体绕定轴转动 Lz J z
(JO m1r12 m2r22 )
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g
由
dLO dt
MO (F(e))
,得
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
FN
（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
Jz JzC md 2 式中 zC 轴为过质心且与 z轴平行的轴，d 为 z
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量
与两轴间距离平方的乘积.
证明：
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]
和11章例题动量定理动量矩定理
5
5
cos cos(450 ) 3 ,
sin sin(450 ) 1 ,
10
K2 mvC2
滑块B：
10
5 ml(
3
i
2
10
K3 mvC3 mvC31i
1
j)
2
ml
(3
i
1 j)
10 4
K3 2ml i 3
总动量： K K1 K2 K3
K1 K2
式中：
A
m π R2
JO
R 0
(2π
r Adr
r2)
2π
A
R4 4
即
JO
1 2
mR2
1
26
（4）匀质圆柱，半径为R,质量为M 。
对质心z轴的转动惯量
Jz
1 2
MR2
（5）匀质实心球，半径为R,质量为M 。
对质心z轴的转动惯量
z
z
R
y
x
C
Jx
Jy
Jz
2 5
MR2
x
y
CR
1
27
四. 平行移轴定理 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的
（1）杆与圆盘固结在一起；
（2）杆与圆盘不固结，盘相对于杆的角速度- ；
（3）行星轮机构，轮O固结不动。
（1）
（2） 1
（3）
20
解：（1）杆与圆盘固结： 盘作定轴转动
JO
1 2
mr2
ml 2
1 2
m(r2
2l2 )
GO
JO
1 2
m(r2
2l2 )
转向：顺时针
（2）杆与圆盘不固结，盘相对于杆的角速度- ；
理论力学：第11章 动量矩定理
12 g g
12 9.8
9.8
由刚体绕定轴转动微分方程 IB kx BC FP BG (kx BC FP BG) / IB
(8750 76 103 0.6 200 0.1) /1.9 198.975rad/s2
由质心运动定理有
FN ＝1234N
Ff＝370N FT 575N
11-28 题 11-28 图所示质量为 4kg 的矩形均质板，用两根等长的不变形的 软绳悬挂在图示位置（AB 水平）。该板处于静止状态时，B 端的绳子突然被剪断， 试求（1）此瞬时该板质心的加速度及 A 端绳子张力。（2）若将两绳换成弹簧， 在 B 端的弹簧突然被剪断时，质心加速度及 A 端弹簧张力将如何？
(2)轴承 O 的水平约束力。
·7·
FT
R
A
aA
mg
F
FN
（a）
B
M
R FOy
FT
O
FOx
m2g
（b）
题 11-33 图
（c）
解：（1）对系统进行整体受力分析，主动力元功之和为
dW Md m1g Rd sin (M m1gR sin )d
动能增量为
dT
FOx m1(m2gR sin cos 3M cos ) (3m1 m2 )R
·9·
d
m2
R
2
2 B
1
I
A
2 A
1
m1v
2 A
2
2
2
运动学补充条件，圆盘 A 纯滚动
vA A R
理论力学第11章动量矩定理
F1 b C
摆动的频率 ω0 和周期 T 分别是
mgb n ; JO
(a )
mg
21
第十一章结束
22
§11-3
23
2
ห้องสมุดไป่ตู้
§11-1
转动惯量
Z
一、刚体对轴的转动惯量
J Z mi ri 2
i 1
n
刚体对Ｚ轴的转动惯量
ri
mi vi
刚体上所有各mi与ri2的乘积之和称为刚体对z
轴的转动惯量，用符号Jz表示。
一个刚体的各质点离轴越远，它对该轴的转动 惯量越大；反之越小。 转动惯量是刚体转动惯性的度量，总是正标量。 量纲： dim J ML2 2 常用单位：
即：定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于该刚体 上的所有外力对转轴的力矩的代数和。这就是刚体的定轴转动微分方程。16
d 2 或 J M z (F ) z 2 dt
刚体的转动惯量是刚体转动时的惯性的量度。
J z M z ( F )
解决两类问题：
—刚体定轴转动微分方程
例 题
解: 此系统所受的重力和轴承的约束
力对于转轴的矩都等于零，因此系统 对于转轴的动量矩守恒。 当θ=0时，动量矩
θ l B
a
z a
a
z a
l A l
θ
B
A l
Lz1 2 ma0 a 2ma20
当 θ≠ 0 时，动量矩
Lz 2 2m(a l sin )2
因为 Lz1=Lz2 ，得
dm A 2 rdr
2 2
4
于是： J z r 2 dm R A 2 r 3dr 1 AR 4 1 mR 2 m 0
《理论力学》第十一章 动量矩定理
LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
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Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
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LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
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例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
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第十一章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
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yx第十一章 动量矩定理 习题解[习题11-1] 刚体作平面运动。
已知运动方程为：23t x C =，24t y C =，321t =ϕ，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。
设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。
解：)(1223|22m x t C =⨯== )(1624|22m y t C =⨯==t t dtddt dx v C Cx6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =⨯==t t dtddt dy v C Cy8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =⨯==2323)21(t t dt d dt d ===ϕω )/(6223|22s rad t =⨯==ω→→→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω →→-+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2ωρ→=→⨯-⨯+⨯⨯=k L t O ]1612121665.0[10|22→=→=k L t O 15|2 )/(2s m kg ⋅，→k 是z 轴正向的单位向量。
[习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。
解：gPl l g P J ABz 33122,=⋅⋅=平动)(a O 转动绕定轴C )(b 转动绕定轴1 )(Oc 1O 在圆弧上作纯滚动)(d gl R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=⋅+⋅⋅=圆盘ωω⋅+⋅=圆盘,,z AB z z J J Lω4)4(3[222g l R W g Pl L z ++=ω)4443(222gWRg Wl g Pl L z ++= ω)4333(222gWR g Wl g Pl L z ++=ω)433(22R gW l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。
解：)(a因为圆盘作平动，所以ωω211ml J L z O O ==解：)(b→→→→⨯+=p r L L C C O 1其中，质心C 的动量为0ωω2211mR J L Cz O == 解：)(cωω)21(2211ml mR J L z O O +==解：)(d因为圆盘作平面运动，所以：)(11→+=C Z O Cz O v m M J L ω→A v Bv )(2121l R mR mR L O +-=ωω ωω)21()21(2221l R mR m Rl R R L O -=--=[习题11-4] 均质直杆AB 长为l ，质量为m ，A 、B 两端分别沿铅垂和水平轨道滑动。
求该杆对质心C 和对固定点O 的动量矩C L 和O L （表示为ϕ和••ϕ的函数）。
解：(1) 求C Lϕcos l y A =ϕϕϕϕsin sin ••-=⋅-==l l dtdy v AAϕsin l x B =ϕϕϕϕcos cos ••=⋅==l l dtdx v BB ••===ϕϕϕϕωcos cos l l BI v B AB（逆时针，转向如图所示） )(→+=C C AB C C v m M J L ω 0+=AB C C J L ω•=ϕ2121ml L C→•→=k ml L C ϕ2121（2）求O Lϕϕϕcos 2cos 24cos 222⋅⋅⋅-+=ll l l OC2lOC =ϕϕϕcos 2cos 24cos 222⋅⋅⋅-+=ll l l IC2lIC = ϕsin 2lx C =••-=ϕϕ43122ml ml L O ϕϕcos 2•==l dt dx v C Cxϕϕcos 2)90sin(20ll y C =-=ϕϕsin 2•-==l dt dy v C Cy)(→+=C Oz AB Cz O v m M J L ωC Cy C Cx O x mv y mv ml L --=•ϕ2121ϕϕϕϕϕϕϕsin 2sin 2cos 2cos 21212l l m l l m ml L O ⋅⋅-⋅⋅-=•••ϕϕϕϕϕ22222sin 4cos 4121•••--=ml ml ml L O)sin (cos 41212222ϕϕϕϕ+-=••ml ml L O••-=ϕϕ412122ml ml L O•-=ϕ261ml L O→•→-=k ml L C ϕ261[习题11-5] 均质杆AB 长l 、重1P ，B 端刚连一重2P 的小球（小球可视为质点），杆上D 点连一刚度系数为k 的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。
设给小球B 一微小初位移0δ后无初速释放，试求AB 杆的运动规律。
解：以AB 杆为研究对象，其受力如图所示。
质点系的动量矩为：ωω22l m J L Oz O +-=ωω22213l gPg l P L O --= 外力矩为：R yzl P lP l T F M D i O 2123)(--⋅=→ l P l P l k F M i O 21233)(--⋅=→δl P l P l kl F M i O 21233)(--⋅≈→ϕl P lP kl F M i O 21229)(--≈→ϕ 由动量矩定理得：)(→=i O OF M dtdLl P l P kl l g P g l P dt d 212222129)3(--=--ϕωω l P lP kl dt d l g P dt d g l P 2122221293++-=+ϕωω212129)3(P P kl dt d l g P g P ++-=+ϕωl gP g P P P kl dtd )3(292121+++-=ϕω l gP g P P P kl dtd )333(18181891822121+++-=ϕωg l P P P P kl dt d 3)3(18)1892(2121+++-=ϕωlP P gP P kl dt d )3(6)1892(2121+++-=ϕω l gP P kg dtd 23)3(32122++-=ϕϕ22023)3(32122=-++l gP P kg dtd ϕϕ 令：)3(32120P P kg+=ω，则上式变为：lg 2320=+••ϕωϕ 通解为：)sin(0αωϕ+=t A0)0sin(|00=+⨯==αωϕA t 0sin =α[习题11-6] 两个重物A 、B 各重1P 、2P ，分别系在两条绳上，此两绳又分别围绕半径为1r 、2r 的鼓轮上，重物受重力影响而运动。
求鼓轮的角加速度α。
鼓轮和绳的质量均略去不计。
解：质点系的动量矩为：222111r v m r v m J L Oz O ++=ω ω)(222211r m r m J L Oz O ++=外力对O 点之矩为：22110)(r P r P F M i -=→由动量矩定理可知：)(→=i O OF M dtdL 2211222211])[(r P r P r m r m J dtdOz -=++ω 2211222211)(r P r P dtd r m r m J Oz -=++ω2211222211)(r P r P r m r m J Oz -=++α2222112211r m r m J r P r P oz++-=αOxF OyA22221122211021r g P r g P R r P r P ++⨯⨯-=αg r P r P r P r P 2222112211+-=α[习题11-7] 一倒置的摆由两根相同的弹簧支持。
设摆轴圆球与直杆组成，球重W ，半径为r ，杆重不计。
弹簧的刚度系数为k 。
问当摆从平衡位置向左或向右有一微小偏移后，是否振动？写出能发和振动的条件。
解：质点系的受力如图所示。
ω)21(22l gWr g W L O +⋅=ϕϕtan cos 2)(Wl b F F M A i O +-=→ϕϕWl b kb F M i O +-≈→)(2)( ϕ)2()(2kb Wl F M i O -=→由动量矩定理得：ϕω)2(])21[(222kb Wl l g W r g W dt d -=+⋅ ϕω)2(2)2(222kb Wl dtd g W l r -=+ϕϕW l r g kb Wl dt d )2()2(222222+-= 0)2()2(222222=+-+ϕϕW l r gWl kb dt d 令Wl r g Wl kb )2()2(222220+-=ω，则： 020=+••ϕωϕ上式的通解为：)sin(0αωϕ+=t A能发出振动的条件是：00>ω，即：0])2()2(2[21222>+-Wl r g Wl kb ，也就是：022>-Wl kb22bWlk >[习题11-8] 卷扬机的B 、C 轮半径分别为R 、r ，对水平转动轴的转动惯量为1J 、2J ，物体重P 。
设在轮C 上作用一常力矩M ，试求物体A 上升的加速度。
解：以轮B 为研究对象，应用动量矩定理得：)(→=i B BF M dtdL TR PR vR g PJ dt d -=--)(1ω R P T R dt dv g P dt d J )(1-=+ω R P T a gPRJ )(1-=+α 221)(R P T a gPR R J -=+α221)(R P T a gPR a J -=+ (1)以轮C 为研究对象，应用动量矩定理得：)(→=i C CF M dtdL r T M J dtd'22)(-=ω r T M dtd J '22-=ω r T M J '22-=α 2'22r T Mr r J -=α22Tr Mr a J -=22raJ Mr T -=………(2) (2) 代入（1）得：221)(R P T a g PR a J -=+22221)()(R P r a J Mr a g PR J --=+ 2222221)(PR a r R J r MR a g PR J --=+2222221)(PR r MR a rR J g PR J -=++gr r PR g R J r J r r PR r MR g PR J r R J PR r MR a 222222122222222122)(++-=++-= 2222212)(Pr)(rPR g R J r J rgR M a ++-=。