【标准答案】数学分析专题研究-2018年7月本科真题-国家开放大学2018年春季学期期末统一考试
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试卷代号 :0877
座位号!I I
国家开放大学(中央广播电视大学 )2018 年春季学期"开放本科"期未考试
数学分析专题研究 试题(半开卷)
2018 年 7 月
题号
一
-一
-一 一
四
总分
分数
得分|评卷入
一、单项选择题(每小题 4 分，共 20 分)
1.A ， B ， C 是三个集合，下列等式正确的是〈
即打工〉是单调增加函数.
(15 分〉
12. 解:设所求面积为 S ，由于图形关于 Z 轴对称，关于 y 轴对称，故其面积是它所在第 1
象限面积的 4 倍，因而
S=412 作2 二 x 2 dx
(4 分〉
设 x= αsint ，则 dx = a cost dt ， 于是有
22
S一
A a ι
b-paR t-J-2o
I f(Xl)-f(X2)
14. 证明:任意选定 XlεR ，对于 X2 εR ，句子全町，有 O~
~IXI-X21
Xl 一-X2
(10 分〉
令 X2 →Xl ， 则得 f' (Xl) =0 ，由町的任意性知 f(x) 是 R 上的常值函数.
(15 分〉
23
c. (/2 ,,[3)
D. (子，/2)
20
得分 评卷入
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
6j:(Z+f)dz=
•
7. 已知 f{x) 在〈一∞，+∞〉上是既奇又偶的函数，则 f (x ) :::::::.
•
8. 已知 2f{2-x)+ f{x)=3x 十 6 ，则 f{x)=
•
2 y2
A. (A-B) UB=A
B. (A nB)-A = ②
C. (A UB)-B=A
D. (AUB)-A=B
2. 设 R 是实数集，函数 f:R→ R ， f(x)=-x 2 +2x-1 ， 则 f 是(
).
A. 单射而非满射
B. 满射而非单射
C. 双射
Βιβλιοθήκη Baidu
D. 即不单又不满的映射
3 已知 f(x) = 主川〉nJ、-.x2n ,9!Uf ω=( )
三、计算题(每小题 15 分，共 30 分)
11. 解:对函数 f(x) 求导数得
f'(x)=[l 十 x 2 J 一 ÷z-a
令伊 (x)=[1+x 2 J 专iz ，我们求伊 (x) 的最小值，为此，对伊 (x) 求导数得
伊 '(x)=(l 十 x 2 ) 手 >0
即伊 (x) 单调增加苦而且 m 伊 (x) =-1 雪故伊 (x)>-l ， 因此当 a~-l 时 ， f' (x) >0 苦
a cos q&
AU 咽
，
4tv
-
"
ι
If
=ωt o + 叫t)dt = 叫t+÷ω) =πab o
四、证明题(每小题 15 分，共 30 分)
(15 分〉
13 证明:显然有 tω 由 ~O ，另一方面，对任意 ε>0 ，有t si白白 t- z si白白
+ rlllJ s n z 白
/ 、
n QM
数学分析专题研究 试题答案及评分标准〈半开卷)
〈供参考〉
一、单项选择题(每小题 4 分，共 20 分)
1. B
2. D
3. A
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
4. C
2018 年 7 月
5. D
62+h2
7.0 8.6-3x
Xn
~Yn
b 9. a;x- ;y=l
10. A 不能与其任一真子集一一对应
9.
过双曲线
-a2-
--;2
0-
=1
上任一点 (xo'Yo) 的切线方程是
•
10. 集合 A 是有限集当且仅当
•
得分 i 评卷人
三、计算题(每小题 15 分，共 30 分)
11. 求 α 为何值时，函数 f(x)= 飞11+x2 -ax 是单调增加函数?
x 2 I y2 12. 求椭圆 -a 7- +707- =1 所围成的图形的面积.
A. cosx
B. sinx
C.lnx
D. eI
4. 复数域C不是(
).
A. 有序集
B. 半序集
c. 有序域
D. 完备域
5.f}(x)=sink}x , f2(X)=cosk 2 工，则当〈丸，走 2) = (
)时 ， /1 (x) • 12 (x) 是周期函
数.
A. (π ， 2)
B. (γ信， π 〉
得分|评卷入
四、证明题(每小题 15 分，共 30 分)
13 证明， jdsi川x =0
14. 证明，若对于任意的町 ， X2 εR ，函数 f{x) 满足不等式 I !(Xl) -f( 工 2)1~{XI-X2)2 ，
则 f{x) 是常值函数.
21
试卷代号 :0877
国家开放大学(中央广播电视大学 )2018 年春季学期"开放本科"期末考试
π 2
ε2一
、 飞
E E E ，
F
π -
+
ε -
22
(7 分〉
I . 存在自然数 N ，当 n>N 时，有 sin" (飞/2一π 一ε 一2)1飞 .π 一 2"<"一2ε ，7 r故s-i .有.. O- τ ~--.; J sin" x dx <ε
由 ε 的任意性，故有 jhrsi川x =0
(15 分〉
座位号!I I
国家开放大学(中央广播电视大学 )2018 年春季学期"开放本科"期未考试
数学分析专题研究 试题(半开卷)
2018 年 7 月
题号
一
-一
-一 一
四
总分
分数
得分|评卷入
一、单项选择题(每小题 4 分，共 20 分)
1.A ， B ， C 是三个集合，下列等式正确的是〈
即打工〉是单调增加函数.
(15 分〉
12. 解:设所求面积为 S ，由于图形关于 Z 轴对称，关于 y 轴对称，故其面积是它所在第 1
象限面积的 4 倍，因而
S=412 作2 二 x 2 dx
(4 分〉
设 x= αsint ，则 dx = a cost dt ， 于是有
22
S一
A a ι
b-paR t-J-2o
I f(Xl)-f(X2)
14. 证明:任意选定 XlεR ，对于 X2 εR ，句子全町，有 O~
~IXI-X21
Xl 一-X2
(10 分〉
令 X2 →Xl ， 则得 f' (Xl) =0 ，由町的任意性知 f(x) 是 R 上的常值函数.
(15 分〉
23
c. (/2 ,,[3)
D. (子，/2)
20
得分 评卷入
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
6j:(Z+f)dz=
•
7. 已知 f{x) 在〈一∞，+∞〉上是既奇又偶的函数，则 f (x ) :::::::.
•
8. 已知 2f{2-x)+ f{x)=3x 十 6 ，则 f{x)=
•
2 y2
A. (A-B) UB=A
B. (A nB)-A = ②
C. (A UB)-B=A
D. (AUB)-A=B
2. 设 R 是实数集，函数 f:R→ R ， f(x)=-x 2 +2x-1 ， 则 f 是(
).
A. 单射而非满射
B. 满射而非单射
C. 双射
Βιβλιοθήκη Baidu
D. 即不单又不满的映射
3 已知 f(x) = 主川〉nJ、-.x2n ,9!Uf ω=( )
三、计算题(每小题 15 分，共 30 分)
11. 解:对函数 f(x) 求导数得
f'(x)=[l 十 x 2 J 一 ÷z-a
令伊 (x)=[1+x 2 J 专iz ，我们求伊 (x) 的最小值，为此，对伊 (x) 求导数得
伊 '(x)=(l 十 x 2 ) 手 >0
即伊 (x) 单调增加苦而且 m 伊 (x) =-1 雪故伊 (x)>-l ， 因此当 a~-l 时 ， f' (x) >0 苦
a cos q&
AU 咽
，
4tv
-
"
ι
If
=ωt o + 叫t)dt = 叫t+÷ω) =πab o
四、证明题(每小题 15 分，共 30 分)
(15 分〉
13 证明:显然有 tω 由 ~O ，另一方面，对任意 ε>0 ，有t si白白 t- z si白白
+ rlllJ s n z 白
/ 、
n QM
数学分析专题研究 试题答案及评分标准〈半开卷)
〈供参考〉
一、单项选择题(每小题 4 分，共 20 分)
1. B
2. D
3. A
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
4. C
2018 年 7 月
5. D
62+h2
7.0 8.6-3x
Xn
~Yn
b 9. a;x- ;y=l
10. A 不能与其任一真子集一一对应
9.
过双曲线
-a2-
--;2
0-
=1
上任一点 (xo'Yo) 的切线方程是
•
10. 集合 A 是有限集当且仅当
•
得分 i 评卷人
三、计算题(每小题 15 分，共 30 分)
11. 求 α 为何值时，函数 f(x)= 飞11+x2 -ax 是单调增加函数?
x 2 I y2 12. 求椭圆 -a 7- +707- =1 所围成的图形的面积.
A. cosx
B. sinx
C.lnx
D. eI
4. 复数域C不是(
).
A. 有序集
B. 半序集
c. 有序域
D. 完备域
5.f}(x)=sink}x , f2(X)=cosk 2 工，则当〈丸，走 2) = (
)时 ， /1 (x) • 12 (x) 是周期函
数.
A. (π ， 2)
B. (γ信， π 〉
得分|评卷入
四、证明题(每小题 15 分，共 30 分)
13 证明， jdsi川x =0
14. 证明，若对于任意的町 ， X2 εR ，函数 f{x) 满足不等式 I !(Xl) -f( 工 2)1~{XI-X2)2 ，
则 f{x) 是常值函数.
21
试卷代号 :0877
国家开放大学(中央广播电视大学 )2018 年春季学期"开放本科"期末考试
π 2
ε2一
、 飞
E E E ，
F
π -
+
ε -
22
(7 分〉
I . 存在自然数 N ，当 n>N 时，有 sin" (飞/2一π 一ε 一2)1飞 .π 一 2"<"一2ε ，7 r故s-i .有.. O- τ ~--.; J sin" x dx <ε
由 ε 的任意性，故有 jhrsi川x =0
(15 分〉