2020年上海市徐汇区南洋模范中学高考数学三模试卷(有答案解析)

=1 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O：x2+y2= 的两条切线，切点分别
为 M、N（M、N 不在坐标轴上），若直线 MN 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 m、n，证明：
为定值；
（3）若 P1、P2 是椭圆 C2：
上不同两点，P1P2⊥x 轴，圆 E 过 P1、P2，且椭圆 C2 上任
意一点都不在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆 C2 是否存在过焦点 F 的内 切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.答案：C
解析：解：选项 A 中，由 a⊥α，a⊥b，则 b 可能在平面 α 内，故该命题为假命题； 选项 B 中，由 a∥α，a⊥b，则 b⊥α 或 b∥α，故该命题为假命题； 选项 C 中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题； 选项 D 中，由 a∥α，b∥α 可得到 a，b 相交或平行，故该命题是假命题， 故选：C． 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论． 本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质 是关键．
Tr+1=（-1）r x7-2r，r 必须为偶数，分别令 r=0，2，4，6，经过比较即可得出． 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.答案：
解析：解：y=4-
，定义域为[-1，3]
当 x=1 时，y 取最小值为 2，当 x=3 或-1 时，y 取最大值为 4， 故 a=2，b=4；
2020 年上海市徐汇区南洋模范中学高考数学三模试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
1. 已知非零向量 、 ，“函数
为偶函数”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
2. 若 a、b 表示两条直线，α 表示平面，下列命题中的真命题为（ ）
且直线 AB 的斜率 k= =x1+x2=-m，又圆心坐标为（1，0），半径 r=1， 在同一个坐标系中作出相应的图形，如图所示：
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则直线 AB 与圆（x-1）2+y2=1 的位置关系可能相交、相切或相离，由 m 的值变化而变化． 故选：D． 由已知的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于 0，列出关于 m 的不等式，求 出不等式的解集得到 m 的范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和，由 A 和 B 坐标的特点得到 这两点在抛物线 y=x2 上，且根据两点的坐标求出直线 AB 的斜率，化简后将表示出的两根之和代入 得到关于 m 的式子，在同一个坐标系中画出圆与抛物线，由图象可知直线 AB 与圆的位置关系不确 定，随 m 的变化而变化． 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线斜率的求法，以及圆的标准方程， 利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时要灵活运用．
5.答案：（- ，3）
解析：解：A={x|3x+1＞0}={x|x＞- }， B={|x-1|＜2}={x|-2＜x-1＜2}={x|-1＜x＜3}， 则 A∩B={x|- ＜x＜3}，
故答案为：（- ，3）． 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
（1）求四棱锥 A1-ABCD 的体积； （2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小．
18. 已知函数 f（x）=|2x-a|+a． （1）若不等式 f（x）＜6 的解集为（-1，3），求 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在 x0∈R，使 f（x0）≤t-f（-x0），求 t 的取值范围．
过 P 作 PN 垂直直线 x=-1 于 N，
由抛物线的定义可知 PF=PN，
所以
,
连结 PA，当 PA 是抛物线的切线时， 则∠PAF 最大，就是直线 PA 的斜率最大，
此时 有最小值，
设直线 PA 的方程为：y=k（x+1），
联立直线与抛物线可得
，
整理得：k2x2+（2k2-4）x+k2=0，
．
由
，可得
，因此
，解出即可．
本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.答案：
解析：解：Tr+1= x7-r
=（-1）r x7-2r，
r 必须为偶数，分别令 r=0，2，4，6，
其系数分别为：1， ， ， ．
经过比较可得：r=4 时满足条件，T5= x-1= ， 故答案为： ．
所以 =（2k2-4）2-4k4=0，解得 k=±1，
所以
，
=cos∠NPA= ．
故选：B．
4.答案：D
解析：解：∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2+mx+m2-m=0 的两个不相等的实数根， ∴m2-4（m2-m）＞0，即 0＜m＜ ， ∴x1+x2=-m， 由 A（x1， ），B（x2， ），得到 A 和 B 为抛物线 y=x2 上的两点，
19. 某景区欲建两条圆形观景步道 M1，M（2 宽度忽略不计），如图所示，已知 AB⊥AC，AB=AC=AD=60 （单位：米），要求圆 M 与 AB，AD 分别相切于点 B，D，圆 M2 与 AC，AD 分别相切于点 C， D．
（1）若
，求圆 M1，M2 的半径（结果精确到 0.1 米）
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（2）若观景步道 M1，M2 的造价分别为每米 0.8 千元与每米 0.9 千元，则当∠BAD 多大时，总造 价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到 0.1°和 0.1 千元）
20. 已知椭圆 C：
的右焦点为 F（1，0），且点 P（1， ）在椭圆 C 上；
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过椭圆 C1：
6.答案：1-i
解析：解：由 =-i，得
，
∴
．
故答案为：1-i．
利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，则 可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．
7.答案：
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解析：解：∵
，
∴有
，
则
，必有 x-1＞0，
∴2（x-1）＜1，解得 1＜x ．
故答案为：
12.答案：200
解析：解：若遗漏的是 10 项中的第一项或最后一项， 则 185=9•a 中，故 a 中=20 （舍去）； 故设 9 项为 an，an+1，an+2，…，an+m-1，an+m+1，an+m+2，…，an+9，
+…+f（a9）+f（a10）=-a1，则 a1=______．
16. 定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x≥0 时，f（x）=
，则函数 F（x）=f
（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为______． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 17. 如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1=3；
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说明理由； （3）设 范围．
，Tn 是{cn}的前 n 项和，若数列{Tn}是{cn}的分隔数列，求实数 a，q 的取值
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1.答案：C
-------- 答案与解析 ---）2+ 2+2 • x，
又 f（x）为偶函数， f（-x）=f（x），
（x2， ）的直线与圆（x-1）2+y2=1 的位置关系是（ ）
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 随 m 的变化而变化
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
5. 若集合 A={x|3x+1＞0}，B={|x-1|＜2}，则 A∩B=______．
6. 若复数 z 满足 =-i，其中 i 为虚数单位，则 =______．
21. 若{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意 n∈N*，存在 m∈N*，使得
，则称{an}是{cn}
的“分隔数列” （1）设 cn=2n，an=n+1，证明：数列{an}是{cn}的分隔数列； （2）设 cn=n-4，Sn 是{cn}的前 n 项和，dn=c3n-2，判断数列{Sn}是否是数列{dn}的分隔数列，并
| |2+| |2+| |2+2（
）=0，
即有
=- （| |2+| |2+| |2）
=- ×（3+5+8）=-8．
故答案为：-8．
由三边的平方和的关系，可得△ABC 为直角三角形，由 + + = ，两边平方结合向量的平方即为
模的平方，计算即可得到所求值． 本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运 算能力，属于中档题．
A. 若 a⊥α，a⊥b，则 b∥α
B. 若 a∥α，a⊥b，则 b⊥α
C. 若 a⊥α，b⊆α，则 a⊥b
D. 若 a∥α，b∥α，则 a∥b
3. 抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，点 P（x，y）为该抛物线上的动点，又点 A（﹣1，0），则 的最小
值是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 设 x1、x2 是关于 x 的方程 x2+mx+m2-m=0 的两个不相等的实数根，那么过两点 A（x1， ），B
=
=
=．
故答案为： ．
先求函数的定义，求出函数的最大值 a 和最小值 b，代入求极限． 本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题．