小学奥数平面直线型几何知识汇总
小学奥数五年级经典讲义之第一讲直线型面积的计算
第一讲 直线型面积的计算内容概述前三讲我们将针对几何部分进一步学习提高！首先，让我们一起来回顾一些基本知识！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。
我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：对于不规则图形的面积及周长计算，我们大都是由规则图形转化而来的！在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：① 等底等高的两个三角形面积相等．②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=则可知直线AB 平行于CD 。
这节课我们将通过例题学习到几个很重要的定理结论！同学们注意做好笔记啊！例题精讲【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成（1）2个面积相等的三角形；（2）3个面积相等的三角形；（3）4个面积相等的三角形。
分析：（1）如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；（2）如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一；（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考；前四种答案学生都容易得到，在这里我们需要特别说明的是第五个答案，请看例2 。
【例2】在学习三角形时，很多同学都听说过中位线，所谓中位线就是三角形两边中点的连线。
如右图所示，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，根据定义可知DE、DF、EF就是三角形ABC的中线。
那么请你说明：（1）DE与BC平行（2）DE= 1/2 BC（3）S△ADE= 1/4 S△ABC分析：（1）在解答一些几何问题时，我们常常需要添加一些辅助线帮助我们分析解决。
如右图（1），连接DC、BE。
因为D、E分别是AB、AC的中点，所以S△BDC=1/2 S△ABC= S△BEC，又因为△BDC与△BEC同用BC做底，根据“内容概述”部分常用结论③可得：DE与BC平行。
六年级奥数 几何; 第1讲;直线型面积一; 教师版_1
第一讲 直线型面积（一）1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =××△△EDCBAEDCB A板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ++，∴11562822ABCD S S ==×=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E D GCB654321HBCG DE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QPH G F EC B AK O QPH GF EC BA【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ΔΔ=，KGE FGE S S ΔΔ=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GABG4AB【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD (见右上图)，可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428×÷=．【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．C D E FHEFH【解析】如图，连接AF ，比较ABF Δ与ADF Δ，由于AB AD =，FG FE =，即ABF Δ与ADF Δ的底与高分别相等，所以ABF Δ与ADF Δ的面积相等，那么阴影部分面积与ABH Δ的面积相等，为6平方厘米．【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G F HCCH G D【解析】 方法一：三角形BEF 的面积2BE EF =×÷，梯形EFDC 的面积22EF CD CE BE EF =+×÷=×÷=（）三角形BEF 的面积， 而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形DHF 的面积=三角形BCH 的面积， 进而可得，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积1010250=×÷=(平方厘米)．方法二：连接CF ，那么CF 平行BD ，所以，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积50=(平方厘米)．【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H ED可得：12EHB AHB S S ΔΔ=、12FHB CHB S S ΔΔ=、12DHG DHC S S ΔΔ=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ΔΔΔ=++= 即11()361822EHBBHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ΔΔΔΔΔΔ++=++=×=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ΔΔΔΔ++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC Δ=××=××××=×=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S Δ=−=−=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF Δ的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ΔΔΔ=−−−=−××−×××−××=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P AA PA【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546×+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD Δ与PBC Δ的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116(1546×+=平方厘米．【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PP【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN Δ和ALK Δ．而AMN Δ的面积为(125)4214−×÷=，ALK Δ的面积为(124)5220−×÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ΔΔ+==×= 同理可得：72PAD PBC S S ΔΔ+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ΔΔ===,即13PDM PDC S S ΔΔ=；同理：13PBL PAB S S ΔΔ=,512PND PDA S S ΔΔ=,512PBK PBC S S ΔΔ=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ΔΔΔΔΔΔΔΔ+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ΔΔΔΔΔΔΔΔ+++=+++阴影面积； 145102DNM BLK S S ΔΔ==××=； 所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ΔΔΔΔΔΔΔΔ+=+++−+即为：15727210224302034312×+×−×=+−=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABCΔ的面积是 平方厘米．DBADA【解析】连接CD ．根据题意可知，DEF Δ的面积为DAC Δ面积的13，DAC Δ的面积为ABC Δ面积的12，所以DEF Δ的面积为ABC Δ面积的111236×=．而DEF Δ的面积为5平方厘米，所以ABC Δ的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【解析】 ABD +，ABC +等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==++, 所以ABD S +=111809022ABC S ×=×=+(平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =×=×=++(平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE=×=++3022.5×= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MN B A12cm236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =−=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++××=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．DB【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ΔΔΔ=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ΔΔ===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ΔΔ==，故222789(901)20199999DBE S Δ=×=−×=−=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC Δ的面积是25cm ，OAB Δ的面积是22cm ，求OBD Δ的面积是多少？POC【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ΔΔ+=，而12ABD ABCD S S Δ=，所以AOD BOC ABD S S S ΔΔΔ+=，则BOC OAB OBD S S S ΔΔΔ=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ΔΔΔ=−=−=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD Δ的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFGH PCEFH P【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差．如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ΔΔΔΔΔ+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ΔΔΔ−=． 而12BCP BCFE S S Δ=，12ABP ABHG S S Δ=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ΔΔΔ−=−==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC Δ的面积是15，求阴影BPD Δ的面积．PDBOAB DP【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示， 可得//PO DC ，所以DPO Δ与CPO Δ面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ΔΔΔΔΔ+=+=，因为1120544BOC ABCD S S Δ==×=，所以15510BPD S Δ=−=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC Δ的面积是5，求阴影BPD Δ的面积．PBOAB DP【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，可得//PO DC ，所以DPO Δ与CPO Δ面积相等(同底等高)，所以有:BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ΔΔΔΔΔ+=+=，因为134BOC ABCD S S Δ==，所以532BPD S Δ=−=．【例 11】(2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG Δ面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG Δ的面积为12平方厘米，AHF Δ的面积为6平方厘米，AHC Δ的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+×=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC Δ的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =×÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++×=(平方厘米)．【例 12】如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F CAF CAF ED CBA【解析】方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ΔΔ==-∴38ADB ADE S DB DE S ΔΔ==， 12ACF AEF S FC EF S ΔΔ== ∴58BE DE DB DE DE −==，12CE FE CF EF EF −== ∴1515162822BEC S Δ=×××=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ΔΔΔΔ=−−−=-．方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =−−=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =−−−=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO Δ的面积为a 平方厘米，BDO Δ的面积为b 平方厘米．且b a −是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ΔΔΔ==+，14ABC BCE BCO S S a S ΔΔΔ==+，所以112.524ABC ABC S S b a ΔΔ−=−=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S Δ=×=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？GFE D C【解析】 如下图，连接FC ，DBF +、BFG +的面积相等，设为x 平方厘米;FGC +、DFC +的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF +的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE D CBA221BCD S x y =+=+，BDE 111S =x+y=l 333×=+．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=×=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC Δ被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ΔΔ==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =−=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ΔΔ==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB Δ、ABC Δ、BCD Δ、CDE Δ、DEF Δ的面积都等于1，则DCF Δ的面积等于 ．OBD FN【解析】根据题意可知，::4:1OED DEF OD DF S S ΔΔ==，所以14DF OD =，1133444DCF OCD S S ΔΔ==×=．【例 16】(2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】连接AF ，BD ． 根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ΔΔ=，1227BE CBF C S S ΔΔ=，2128AEG ADG S S ΔΔ=，728AED ADG S S ΔΔ=， 于是：2115652827ADG CBF S S ΔΔ+=；712382827ADG CBF S S ΔΔ+=；可得40ADG S Δ=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GECBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120×=，所以三角形BOC 的面积为1120304×=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204×−=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎞×−=⎜⎟⎝⎠，所以四边形EFGO 的面积为302010−=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积−白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050−=，所以四边形的面积为605010−=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【解析】 因为三角形ADO 与三角形BCO 的面积之和是矩形ABCD 的面积的一半，即12平方厘米，又三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和为7.8平方厘米，则三角形AMO 与三角形BNO 的面积之和是4.2平方厘米，则四边形PMON 的面积=三角形ABP 面积−三角形AMO 与三角形BNO 的面积之和−三角形ABO 面积12 4.26 1.8=−−=(平方厘米)．【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？23D 3353D【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD Δ、NAM Δ、PBN Δ、QCP Δ的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨−=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADEABE S S AD AB ===××△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===××△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =××△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E CBAA BCE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =++ 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =++，∴6ABC BDE S S =++，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADEABE S S AD AB ===××△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=×+×△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =××+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？CEB A【解析】由于180ABC DBE °∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份， 325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =××=××=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5×=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =××=××=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =××=××=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =××=××=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =−−−=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】(法1)本题是性质的反复使用． 连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =++，1ABC S =+， ∴S 1DBC =+．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC +和CFE +中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅×++． 又1ABC S =+，所以8FCE S =+． 同理可得6ADF S =+，3BDE S =+．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=+++++．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理 ∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补， ∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅×===⋅×△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD EF GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ΔΔ=，同理4HDG ADC S S ΔΔ=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ΔΔΔΔ+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ΔΔ=，同理9CFG CBD S S ΔΔ=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ΔΔΔΔ+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ΔΔΔΔ=+++−=+−==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S +．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =××××=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%−=．已知黄色三角形面积是221cm ，所以长方形面积等于2135%60÷=（2cm ）．练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与+BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【解析】 +AEC 、+AFC 、+ABF ．练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？【解析】 连接BM ，因为M 是中点所以ABM △的面积为14又因为2AN BN =，所以BDC △的面积为1114312×=，又因为BDC △面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212−−=.练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DC BA【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA ABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =++ 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷+++，∴1515ABC ADE S S ==++．练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅×△△． 又2ABC S =+，所以0.5FCE S =+． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++−=++−=△△△△△。
小学奥数平面直线型几何知识汇总
平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型第1讲 等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。
比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。
2、常见类型：（1）同底等高—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等） 平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B 、已知平行C 、并排摆放的正方形的同方向对角线 （2）等底同高ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则A 1CBAL 2L 1BC（3）等高等底12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点ABFG例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行 以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米FCAFCA本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。
小学奥数平面直线型几何知识汇总
平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型第1讲 等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。
比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。
2、常见类型：（1）同底等高—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等） 平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B 、已知平行C 、并排摆放的正方形的同方向对角线 （2）等底同高ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则A 1CBAL 2L 1BC（3）等高等底12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点ABFG例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行 以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米FCAFCA本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。
小学奥数4-1-1几何图形的认识.专项练习及答案解析
知识点拨本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交：两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．边顶点（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角．锐角比直角小，钝角比直角大．直角锐角钝角（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．顶角顶角边边角角角顶角边直角边斜边直角边腰腰底直角边直角边斜边腰腰底边边边角角角（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．（21）扇形：（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．腰腰下底上底半径直径半圆直径弧半径半径高宽长（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱．底面底面（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．底面（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．例题精讲模块一、几何图形的认识【例1】请看下图，共有个圆圈。
小学奥数几何知识点整理【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数⼏何知识点习题与答案【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇：⼏何图形的认知】【第⼆篇：常见定理】鸟头定理即共⾓定理。
燕尾定理即共边定理的⼀种。
共⾓定理： 若两三⾓形有⼀组对应⾓相等或互补，则它们的⾯积⽐等于对应⾓两边乘积的⽐。
共边定理： 有⼀条公共边的三⾓形叫做共边三⾓形。
共边定理：设直线AB与PQ交与M则S△PAB/S△QAB=PM/QM 这⼏个定理⼤都利⽤了相似图形的⽅法，但⼩学阶段没有学过相似图形，⽽⼩学奥数中，常常要引⼊这些，实在有点难为孩⼦。
为了避开相似，我们⽤相应的底，⾼的⽐来推出三⾓形⾯积的⽐。
例如燕尾定理，⼀个三⾓形ABC中，D是BC上三等分点，靠近B点。
连接AD，E是AD上⼀点，连接EB和EC，就能得到四个三⾓形。
很显然，三⾓形ABD和ACD⾯积之⽐是1：2 因为共边，所以两个对应⾼之⽐是1：2 ⽽四个⼩三⾓形也会存在类似关系 三⾓形ABE和三⾓形ACE的⾯积⽐是1：2 三⾓形BED和三⾓形CED的⾯积⽐也是1：2 所以三⾓形ABE和三⾓形ACE的⾯积⽐等于三⾓形BED和三⾓形CED的⾯积⽐，这就是传说中的燕尾定理。
以上是根据共边后，⾼之⽐等于三⾓形⾯积之⽐证明所得。
必须要强记，只要理解，到时候如何变形，你都能会做。
⾄于鸟头定理，也不要死记硬背，掌握原理，⽤起来就会得⼼应⼿。
【第三篇：平⾯图形】1、长⽅形 (1)特征 对边相等，4个⾓都是直⾓的四边形。
有两条对称轴。
(2)计算公式 c=2(a+b) s=ab 2、正⽅形 (1)特征： 四条边都相等，四个⾓都是直⾓的四边形。
有4条对称轴。
(2)计算公式 c=4a s=a2 3、三⾓形 (1)特征 由三条线段围成的图形。
内⾓和是180度。
三⾓形具有稳定性。
三⾓形有三条⾼。
(2)计算公式 s=ah/2。
小学奥数几何六大模型及例题
闯关目标
等积变形
一半模型 ○ 鸟头模型
六大模型 ○ 燕尾模型 ○ 相似模型
蝴蝶模型
赛前热身
平面几何是小升初考试的必考内容，而 且常常以大题的形式出现，重点中学选 拔考试中几何题目分值较高，并且难度 有逐步增加的趋势，虽然几何题形式多 样，但通过总结归纳，掌握基本的几何 模型，有助于解决更多几何新题，难题。
例题4
将长16厘米，宽9厘米 的长方形的长和宽都分 成三等份，长方形内任 意一点O与分点及顶点 连接，如图，则阴影部 分的面积是 平方厘米。
例题5
如图，已知三角形 ABC面积为1，延长 AB至D，使BD=AB， 延长BC至E，使 CE=2BC，延长CA至F， 使AF=3AC，求三角 形DEF的面积。
等积变形
等积变形这里的积指的是面积，因为任何直线型图形都可分解成 若干个三角形，所以三角形是最基本图形，等积变形里主要研究的 是三角形面积变换。
三角形面积=底×高÷2 决定三角形面积的大小，取决于底和高这两个量。 等底等高：如果两个三角形等底等高，则这两个三角形面积相同 （如图1）；（典型的夹在一组平行线间的，两个三角形若同底，则 面积相同） 同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的 比（如图2）； 同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的 比（如图3）。
S A: S B A O C S O O : S B O D C S A D : S B A D C B : D C D
燕尾模型
从三角形一个顶点向对边 上任意一点画线段，在线 段上任取一点组成的图形 面积也会有如下关系：
金字塔、沙漏模型
所谓的金字塔、沙漏 模型，就是指形状相 同，大小不同的两个 三角形，一切对应线 段的长度成比例的模 型，如图所示：
小学奥数-直线型面积讲义图文版
1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDA知识精讲教学目标第一讲 直线型面积（一）板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FE CBAFE C【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCB654321HBCG E【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QH G F EB A K O QH GF EBA【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GAB CDGAB CDF【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．BE FHBCEFH【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G HE CCEHG D【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P CAA CPCA【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PKK P【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN ∆和ALK ∆．而AMN ∆的面积为(125)4214-⨯÷=，ALK ∆的面积为(124)5220-⨯÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ∆∆+==⨯=同理可得：72PAD PBC S S ∆∆+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ∆∆===,即13PDM PDC S S ∆∆=；同理：13PBL PAB S S ∆∆=,512PND PDA S S ∆∆=,512PBK PBC S S ∆∆=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++阴影面积；145102DNM BLK S S ∆∆==⨯⨯=；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+++-+即为：15727210224302034312⨯+⨯-⨯=+-=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．DADA【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MNB A12cm 236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．D【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==，故222789(901)2019S =⨯=-⨯=-=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？POD C B【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFHPCEFH P【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB P【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB DP【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 12】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CB A F ED CB A【解析】 方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== 5BE DE DB -1CE FE CF -∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEFADB ACF CBE S SS S S ∆∆∆∆=---=． 方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？G FD C【解析】 如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE DCBA221BCD S x y =+=，BDE 111S =x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】 由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．OBD FN【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GFEDBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？3PD C B333D CB【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ∆、NAM ∆、PBN ∆、QCP ∆的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨-=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？课后练习练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CBA AB CD E练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF。
小学奥数题库《几何》-直线型-毕克定理-4星题(含解析)
几何-直线型几何-毕克定理-4星题课程目标知识提要毕克定理•概念格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上．•正方形格点和毕克定理一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点〞．水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位〞．毕克定理：S= N+L2−1其中，N表示多边形内部格点数，L表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．•三角形毕克定理S=(N+L2−1)×2=2N+L−12其中，N表示多边形内部格点数，L表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．精选例题毕克定理1. 在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点〔又称为格点〕上的简单多边形叫做格点多边形．最简单的格点多边形是格点三角形，而除去三个顶点之外．内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形．如右图所示的格点三角形BRS．每一个格点多边形都能够很容易地划分为假设干个本原格点三角形．那么，右图中的格点六边形EFGHKB可以划分为个本原格点三角形．【答案】36【分析】根据格点面积公式：格点多边形面积=多边形内部格点数+多边形一周的格点数÷2−1,可得面积：15+8÷2+1=18,每个本原格点三角形最小面积是1×1×12=12,所以可以划分为本原格点三角形的个数为18÷12=36(个).2. 以下图中正六边形的面积为24平方米，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影局部的面积是平方米．【答案】5【分析】将六边形分割为三角形格点，如上图所示，正六边形被分成24个面积为1平方米的正三角形，根据毕克公式，内部点n=2，边上点b=3，那么阴影的面积为：(2+3÷2−1)×2=5〔平方米〕．3. 如图，水平相邻和竖直相邻的两个格点间的距离都是1，那么图中阴影局部的面积是．【答案】17【分析】根据毕克定理，正方形格点图算面积：面积=内部点+边界点÷2−1.内部点：8个；边界点：20个；所以面积：8+20÷2−1=17.4. 如以下图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影〔马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上〕，那么这个剪影的面积为平方厘米．【答案】56.5【分析】通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米． 5. 如图相邻两个格点间的距离是1，那么图中阴影三角形的面积为．【答案】1211【分析】连接AD、CD、BC．那么可根据格点面积公式，可以得到△ABC的面积为：1+42−1=2,△ACD的面积为：3+32−1=3.5,△ABD的面积为：2+42−1=3.所以BO:OD=S△ABC:S△ACD=2:3.5=4:7,所以S△ABO=44+7×S△ABD=411×3=12 11.6. 如图，水平方向和竖直方向上相邻两点之间的距离都是m，假设四边形ABCD的面积是23，求五边形EFGHI的面积．【答案】28【分析】根据毕克定理：S=a+b÷2−1,有(10+5÷2−1)×m2=23,有m2=2;所以五边形EFGHI的面积是(12+6÷2−1)×2=28.7. 如图，是一个漂亮礼盒的平面图，相邻两个格点距离为1，请求出图形的面积是多少？【答案】21【分析】方法一：利用割补，图中长方形的面积是2×6=12，左边三角形我们可以把它包含在一个4×4的方阵中如下左图，用总面积减去其他三角形的面积，所以左边三角形面积是4×4−3×4÷2−1×2÷2−2×4÷2=5，右边三角形同理包含在一个4×5的长方形中，所以右边三角形的面积是4×5−(1+5)×4÷2−4×1÷2−4×1÷2=4，所以礼盒的总面积是12+5+4=21．方法二：利用毕克定理，略．8. 如图，计算图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】12【分析】方法一：利用分割法，将原四边形分割成两个三角形ABC和ABD，ABC是单位三角形CEF面积的4倍，从而面积是4．同理ABD的面积是单位三角形CEF的8倍，所以面积是8，因此四边形面积是4+8=12．方法二：利用三角形毕克定理：S=(N+L2−1)×2，N:5个，L:4个，所以面积是(5+4÷2−1)×2=12．9. 相邻两个格点距离为1，求以下各个格点多边形的面积是多少？【答案】15；20【分析】利用毕克定理，图〔1〕N:10个，L:12个，面积是10+12÷2−1=15；图〔2〕N:16，L:10，面积是16+10÷2−1=20．10. 如图，有21个点，每相邻三个点成“∵〞或“∴〞，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积是多少？【答案】10【分析】方法一：利用割补，将ABC分割成四个三角形，易得S△DEF=1，S△ACD=2，S△AEB=3，S△FBC=4，所以S△ABC=1+2+3+4=10．方法二：毕克定理，N:4个，L:4个，所以S△ABC=(4+42−1)×2=10．11. 如图，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD 和三角形EFG 的面积分别是多少平方厘米？【答案】20平方厘米，10平方厘米【分析】四边形ABCD 中，N:9个，L:4个，毕克定理可知 S 四边形ABCD =(9+42−1)×2=20(平方厘米); 在三角形EFG 中，N:4个，L:4个，S 三角形EFG =(4+42−1)×2=10(平方厘米). 12. 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【答案】6.5【分析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N +L 2−1)×单位正方形面积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N =4，L =7，那么用粗线围成图形的面积为： (4+72−1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如以下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5②=2÷2=1③=2÷2=1④=2÷2=1⑤=2÷2=1⑥=2÷2=1还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l +1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16−9.5=6.5(平方厘米).13. 如图，每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米？【答案】19平方厘米【分析】阴影局部的面积为：(7+72−1)×2=19(平方厘米)． 14. 计算下面各图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】22；23【分析】利用毕克定理．图〔1〕，N:7个，L:10个，S =(7+10÷2−1)×2=22； 图〔2〕，N:5，L:15，S =(5+15÷2−1)×2=23．15. 求以下格点多边形的面积〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕．【答案】19；19；18；21【分析】方法一：分割法，略．方法二：毕克定理，图〔1〕N:7个，L:7个，S =(7+7÷2−1)×2=19；图〔2〕N:8个，L:5个，S =(8+5÷2−1)×2=19；图〔3〕N:7个，L:6个，S =(7+6÷2−1)×2=18；图〔4〕N:8个，L:7个，S =(8+7÷2−1)×2=21．16. 如图，中相邻两个格点的距离都是1，图中三个图形的面积分别是多少？【答案】3；11；5.5【分析】方法一：利用割补，第一个图“喇叭〞的面积是3；第二个图“狗〞的面积是11；第三个图“猫〞的面积是5.5．方法二：利用毕克定理，S=N+L2−1．用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积．内部点边上点正方形个数喇叭080+8÷2−1=3狗2202+20÷2−1=11猫0130+13÷2−1=5.517. 计算图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】24【分析】利用毕克定理．N:8个，L:10个，S=(8+10÷2−1)×2=24．18. 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】20【分析】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L−2)×单位正三角形面积其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4−2)×1=20(平方厘米).方法二：如以下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4局部计算，其中①局部对应的平行四边形面积为4，所以①局部的面积为2，②、③、④局部对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④局部的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米).19. 计算以下图面积并完成表格．〔每个小正方形面积是1〕【答案】见解析【分析】。
小学奥数几何模块知识点【三篇】
小学奥数几何模块知识点【三篇】【篇一】习题：两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”。
如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：(1)L的值是多少？(2)当L取值时，问所有的“夹角”的和是多少？解答：(1)固定平面上一条直线，其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算，只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线。
否则，必有两条直线平行。
(2)根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、45°、60°、75°的两条直线相交的情况均有12种；他们的角度和是(15+30+45+60+75)×12=2700°；产生90°角的有第1和第7条直线；第2和第8条直线；第3和第9条直线；第4和第10条直线；第5和第11条直线；第6和第12条直线共6个，他们的角度和是90×6=540°；所以所有夹角和是2700+540=3240°。
【篇二】习题：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？答案与解析：由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9(米)；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12(米)，所以，这个长方形的面积是12×9=108(平方米)。
四年级奥数专题 直线型面积计算(学生版)
学科培优 数学“直线型面积计算”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位本讲讲解已经学过的几种基本平面几何图形：正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形等的相关面积计算方法,是几何问题中的常见常考内容。
知识梳理一、 基本平面图形的计算公式【授课批注】在复习学校所学基本面积公式的同时也顺带复习周长的公式,这些知识点在具体题目中都可能用到。
二、 重要模型模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系：bs 2s 1即：两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。
S 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）如图,三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） ①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2【授课批注】因为四年级还没学过比例,所以在讲用比所表示的模型时可使用份数这个概念,学生更容易理解。
对于部分学有余力的学生可以先讲比例再直接引入上面的关系式。
【重点难点解析】1．等底或等高的三角形的面积关系2．长方形或平行四边形与同底等高三角形的面积关系 3. 三角形内不规则图形部分的面积计算【竞赛考点挖掘】1. 基本几何图形的面积计算2. 三角形中底和高与面积的关系3. 四边形对角线所分成的四个三角形的面积关系S 4S 3s 2s 1ba S 4S 3s 2s 1O DCB A例题精讲【试题来源】【题目】图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍, EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【试题来源】【题目】如图16-4,已知．AE=15AC,CD=14BC,BF=16AB,那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【试题来源】【题目】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成,其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】左下图是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如右下图,将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,那么右下图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?习题演练【试题来源】【题目】如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12,已知梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】图中ABCD是梯形,三角形ADE面积是1．8,三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少?【试题来源】【题目】如图,梯形ABCD的上底AD长为3厘米,下底BC长为9厘米,而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,BD,CF将长方形ABCD分成4块,红色三角形面积是4平方厘米,黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,平行四边形ABCD周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．【试题来源】【题目】如图,一个正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是110平方米、15平方米、3 10平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米?【试题来源】【题目】图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形,求阴影部分的面积．【试题来源】【题目】如图,长方形被其内的一些直线划分成了若干块,已知边上有3块面积分别是13,35,49．那么图中阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】在右图的△ABC中,CE=2AE,BD=3DC,已知△DEC的面积是4cm2,求△ABC的面积。
平面和直线知识点总结
平面和直线知识点总结1. 平面的基本概念平面是几何学中最基本的基本图形之一，它是一个没有边界的二维空间。
在数学上，平面可以用坐标系中的方程或者向量来表示。
平面上的任意两点都能确定一条直线，任意三点不在一条直线上。
在欧氏空间中，平面还有着平行、相交、共面等基本性质。
平面分为射影平面、仿射平面、欧氏平面等不同的类型。
2. 平面的性质（1）平面上的直线性质：平面上的任意两点都能确定一条直线，平面上的一点和一直线也可以确定唯一一条直线，平面上不存在一条直线以上的直线。
（2）平行线与垂直线：在平面上，两条直线如果不相交且不重合，则它们是平行的；两条直线如果相交成直角，则它们是垂直的。
3. 直线的基本概念直线是具有长度但没有宽度和高度的几何元素。
在欧氏几何中，直线是任意两点的集合，它具有无限延伸的性质。
直线也可以通过方程或者向量进行表示。
直线在解析几何中有着重要的应用，也是数学中的一个基本概念。
4. 直线的性质（1）直线的斜率：直线的斜率描述了直线的倾斜程度，直线与坐标轴的夹角可以通过斜率来计算。
（2）直线的方程：直线可以用各种不同的方程形式来表示，如点斜式、斜截式、截距式等。
（3）直线的平行与垂直关系：直线之间的平行和垂直关系在几何学中有着重要的意义，可以通过斜率判断直线的平行和垂直关系。
平面和直线在几何学、数学、物理学等领域都有着广泛的应用，其性质和关系在解决实际问题中有着重要的作用。
研究平面和直线的性质和关系，有利于加深对几何学的理解，提高数学分析和解决问题的能力。
希望通过本篇总结，读者能够对平面和直线有更深入的认识，为进一步学习相关知识打下坚实的基础。
几何模型知识点汇总
平面直线型几何知识汇总
赵奕凯一、等高模型（共顶点，同线段）
二、平行线间的等积变形（找到平行线）
三、一半模型
四、风筝模型
注意：风筝模型可谓最重要的模型之一，要出难题一定会涉及到
这个结论告诉我们：在做几何题目时候多数情况下应该将面积之比与线段之比联系起来，如果只盯着面积比或者线段比，一般难题绝对无法做出。
风筝模型就是面积比与线段比的桥梁。
风筝模型可以将面积比推到线段比，知晓线段比后就可以用很多其他的模型！
五、蝴蝶模型 (其中AB：CD=a:b)
小朋友们已经能够发现：蝴蝶模型和风筝模型的区别仅仅在于蝴蝶模型是发生在梯形当中，偷偷告诉你：其实广义蝴蝶模型包含两种：梯形中的蝴蝶模型和普通四边形中的蝴蝶模型（也就是现在我们学习的风筝模型啦）
类蝴蝶模型
六、鸟头模型（又称共角模型：角相同或者角互补）
两类特殊的鸟头模型：金字塔模型和沙漏模型
七、燕尾模型(三角形中有“×”)
八、共边模型：风筝模型中长出一个三角形。
小学六年级奥数知识：几何初步认识(平面图形)
小学六年级奥数知识：几何初步认识（平面图形）这篇关于小学六年级奥数知识：几何初步认识（平面图形），是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！二、平面图形1、长方形（1）特征对边相等，4个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
（2）计算公式c=2(a+b)s=ab2、正方形（1）特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。
有4条对称轴。
（2）计算公式c=4as=a23、三角形（1）特征由三条线段围成的图形。
内角和是180度。
三角形具有稳定性。
三角形有三条高。
（2）计算公式s=ah/2（3）分类按角分锐角三角形：三个角都是锐角。
直角三角形：有一个角是直角。
等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
钝角三角形：有一个角是钝角。
按边分不等边三角形：三条边长度不相等。
等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
4、平行四边形（1）特征两组对边分别平行的四边形。
相对的边平行且相等。
对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。
平行四边形容易变形。
（2）计算公式s=ah5、梯形（1）特征只有一组对边平行的四边形。
中位线等于上下底和的一半。
等腰梯形有一条对称轴。
（2）公式s=(a+b)h/2=mh6、圆（1）圆的认识平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。
一般用字母o 表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用d表示。
同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
圆的大小由半径决定。
圆有无数条对称轴。
（2）圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
（3）圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
1.8小学必学奥数几何图形的认识
本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交： 两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角． 锐角比直角小，钝角比直角大．（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边． 边边顶点直角锐角钝角顶角顶角边边角角角顶角边知识点拨（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等． 直角边斜边直角边腰腰底直角边直角边斜边腰腰底边边边角角角腰腰下底上底（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．（21）扇形：（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱．（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．半径直径半圆直径弧半径半径高宽长底面底面底面（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．例题精讲模块一、几何图形的认识【例 1】请看下图，共有个圆圈。
小学奥数平面几何
【例13】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，
BC，CD，DA的中点，求阴影部分的面积 ．
A
H
D
A
H
D
E
G
E
G
N
B
F
C
B
F
C
【解析】如右图所示，连接AC、EF．设AF、CE的交点为N．
可知AC∥EF且AC=2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1/4，所 以三角形BEF 的面积为1/8，梯形的面积为3/8
所以
SABCD 2 1 SEFGH 36 18
【例7】如图所示的四边形的面积等于多少？
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以 运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此 时三角形OAB将旋转到三角形 OCD的位置.这样，通过旋转后所 得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就 是原来四边形的面积.
在梯形AEFC中，由于EF：AC=1：2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面
积比为1：2：2：4：，所以三角形EFN的面积为 3 1 1 ，那么
四边形的面积为 1 1 1
．
8 1 2 2 4 24
8 24 6
而图中四个空白四边形的面积是相等的，所以图中阴影部分的面积 1 1 4 1．
63
所以 ABC 90 ，OCF OCB 180 ， 那么B、C、F三点在一条直线上．
由于OB=OF，BOF AOC 90 ，所以∆BOF是等腰直角三角形，且斜边 BF为5+3=8，所以它的面积为 82 1 16
4
根据面积比例模型，∆OBC的面积为 16 5 10 ． 8
小学直线几何知识点总结
小学直线几何知识点总结直线几何知识在小学阶段是数学学习的重要基础，涉及到线段、角度、平行线、垂直线等概念，对于学生的数学思维能力和几何观念的形成起着关键作用。
下面我将对小学阶段的直线几何知识点进行总结，以便帮助学生更好地掌握这些知识。
一、线段1. 线段的定义线段是由两个端点和端点之间的所有点组成的，是一条有限长度的直线。
2. 线段的表示方法在数学上，线段通常用符号“AB”来表示，其中A和B分别为线段的两个端点。
3. 线段的测量测量线段的方法是用尺子或其他测量工具测量线段的长度。
4. 线段的比较比较两个线段的长度时，可以用尺子等测量工具进行比较，也可以用数学方法进行比较，如利用大小关系符号进行比较。
二、角度1. 角度的定义角度是由两条射线或两条直线共同端点组成的几何图形。
2. 角度的表示方法常用的表示方法有角度符号“∠”，如∠ABC表示角A、B、C所组成的角。
3. 角度的测量测量角度的方法是用量角器或者其他测量工具进行测量。
4. 角度的种类根据角度的大小和位置，角可分为钝角、直角、锐角等不同类型。
5. 角度的构成方法角度可以由直线、平行线、垂直线等形成，可以通过角平分线、垂径等方法进行构造。
三、平行线1. 平行线的定义平行线是指在同一平面上的直线，它们的方向相同，不会相交。
2. 平行线的判定方法平行线的判定方法有通过角度、比例、距离等方法进行判定。
3. 平行线的性质平行线之间的距离相等，它们之间的夹角相等，对应角相等等性质。
四、垂直线1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线相交成直角的情况。
2. 垂直线的判定方法两条线段或直线构成直角时，就可以判定它们是垂直线。
3. 垂直线的性质垂直线之间的夹角为直角，它们之间的距离可以通过勾股定理进行计算。
五、直线几何的应用1. 直线几何在日常生活中的应用直线几何在日常生活中有许多应用，比如建筑、地图、家具制作等，都离不开直线几何的知识。
2. 直线几何在其他学科中的应用直线几何不仅在数学中有应用，在物理、化学等其他学科中也有许多应用，比如测量、实验设计等都需要直线几何的知识。
小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-5星题(含解析)
几何-直线型几何-鸟头模型-5星题课程目标知识提要鸟头模型•概念两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。
•特征共角三角形的面积比等于共角〔相等角或者互补角〕两夹边的乘积之比。
$S_{\triangle ABC}\mathbin{:}S_{\triangle ADE}=(AB\times AC)\mathbin{:}(AD\timesAE)$几何-直线型几何-鸟头模型-5星题-出门考姓名成绩 1. 如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，假设△ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是．2. 如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA＝AB，延长CA到E，使EA＝2AC，延长CB到F，使FB＝3BC．如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是．3. 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，假设四边形ABCD的面积为5，那么四边形EFGH的面积是．4. 鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位．三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖．说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“嘡〞的一声，飞镖被劈成了两半．如下列图所示，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那局部残片占到整体面积的几分之几？5. △DEF的面积为7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积．6. 如图，四边形EFGH的面积是75平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD的面积．7. 如下列图所示，正方形PQRS有三个顶点分别在三角形ABC的三条边上，且BQ=QC．求出正方形PQRS的面积．8. 如图，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少平方厘米？9. 如下图，平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求△BMG的面积．10. 如图，平行四边形ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．11. 如下图，∠A=∠B=60∘，且AB=24，BD=16，AC=8，而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积．请问：DE的长度是多少？。
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平面直线型几何专题
吴哲孙雪艳
2016年3月
目录第1讲等积变形
第2讲一半模型
第3讲等高(等底)模型
第4讲鸟头模型
第5讲风筝模型
第6讲蝴蝶模型
第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型
第1讲 等积变形
【知识点分析】
1、 定义：图形形状发生变化，面积保持不变。
比如：对称、平移、旋转等都
是保持图形面积。
2、 常见类型：
（1）同底等高
—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等）
平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）
112ABC A BC L //L S =S △△若，则
技巧：平行线的来源
A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形
B 、已知平行
C 、并排摆放的正方形的同方向对角线
（2）等底同高
ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则
A 1
C B A L 2
L 1
B C
（3）等高等底
12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则
3、 本质：
将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系
【典型例题】
例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？
【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点
A B F
G
例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行
以MP 为底：△MPN =△MPO
以NO 为底：△N OM=△NOP
等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ
例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米
F
C A
F
C A。