精选八年级下学期数学期中考试压轴题
【压轴题】八年级数学下期中试卷(附答案)
（3）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？ （4）买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是多少米/分？
24．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
已知：在 Rt ABC 中， BAC 90，斜边 BC 5 ，直角边 AB 3,Rt ABC 的准外心 P 在 AC 边上，试求 PA 的长． 25．如图，直线 L：y＝﹣ 1 x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C(0，
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 设绳索长为 x 尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】 解：设绳索长为 x 尺，可列方程为（x-3）2+82=x2， 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质，四条边相等且对角线互相平分且互相垂直，由勾股定理得出 BO 的长， 进而得其对角线 BD 的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可. 【详解】 解：如图：四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
三、解答题
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 l，每个小格的顶点叫做格点．以格点为 顶点分别按下列要求画图：
（1）画出一个平行四边形，使其面积为 6； （2）画出一个菱形，使其面积为 4． （3）画出一个正方形，使其面积为 5． 22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点称为格
42 x2 (4 1)2 (x 1)2 ， 解得 x 3 ，
AB 42 32 5 ， 答：梯子 AB 的长为 5m ． 故选： A ．
八年级数学期中试卷压轴题
一、（15分）已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x2-3x+2，求以下问题：（1）求函数f（x）和g（x）的交点坐标；（2）求函数f（x）和g（x）的图像的对称轴；（3）求函数f（x）和g（x）的图像的公共点个数。
二、（20分）已知数列{an}的通项公式为an=3n-1，求以下问题：（1）求数列{an}的前10项；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）求数列{an}的项数n，使得Sn=100。
三、（20分）已知直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AB=6cm，求以下问题：（1）求直角三角形ABC的面积；（2）求直角三角形ABC的斜边AC的长度；（3）求直角三角形ABC的高BD的长度。
四、（20分）已知一次函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，其中A（-2，0），B（0，4），求以下问题：（1）求一次函数的解析式；（2）求一次函数的图像与直线y=-x的交点坐标；（3）求一次函数的图像与直线y=x+2的交点坐标。
五、（20分）已知等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=8cm，AD是BC边上的高，求以下问题：（1）求三角形ABC的底边BC的长度；（2）求三角形ABC的面积；（3）求三角形ABC的周长。
答案：一、（1）令2x+1=x2-3x+2，得x2-5x+1=0，解得x=1或x=4，所以交点坐标为（1，3）和（4，9）；（2）函数f（x）的对称轴为x=-1/2，函数g（x）的对称轴为x=3/2；（3）函数f（x）和g（x）的图像有3个公共点。
二、（1）a1=2，a2=5，a3=8，a4=11，a5=14，a6=17，a7=20，a8=23，a9=26，a10=29；（2）Sn=2n^2-n；（3）n=10。
三、（1）S=1/2×AB×BC=1/2×6×8=24cm^2；（2）AC=AB×√3=6×√3=6√3cm；（3）BD=BC×√3/2=8×√3/2=4√3cm。
【压轴题】八年级数学下期中试卷带答案
【压轴题】八年级数学下期中试卷带答案一、选择题1．下列函数中，是一次函数的是（ ）A ．11y x =+B ．y=﹣2xC ．y=x 2+2D ．y=kx+b （k 、b 是常数） 2．一次函数1y ax b =+与2y bx a =+在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．小明搬来一架 3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )A ．2.7 米B ．2.5 米C ．2.1 米D ．1.5 米4．如图，一个梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，测得4AO =米.若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子的底端也恰好外移1米，则梯子AB 的长度为 （ ）A ．5米B ．6米C ．3米D ．7米5．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，下列结论：①OA ＝OC ；②∠BAD ＝∠BCD ；③AC ⊥BD ；④∠BAD ＋∠ABC ＝180°中，正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟B ．公园离小丽家的距离为2000米C ．小丽在便利店时间为15分钟D ．便利店离小丽家的距离为1000米 7．若正比例函数y ＝mx （m 是常数，m≠0）的图象经过点A （m ，4），且y 的值随x 值的增大而减小，则m 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣48．已知点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（1，y 3）都在直线y ＝﹣x+b 上，则y 1，y 2，y 3的值的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 1＞y 29．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y （米）与甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图所示，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE EB =，3OE =，5AB =，▱ABCD 的周长（ ）A ．11B ．13C ．16D ．2211．下列运算正确的是（ ）A 235+=B 362=C 235=gD 1333=12．下列运算正确的是( )A ．532-=B ．822-=C ．114293=D ．()22525-=-二、填空题13．如图，已知在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝3，在△ABC 内作第1个内接正方形DEFG ；然后取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第2个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第3个内接正方形…，依次进行下去，则第2019个内接正方形的边长为_____．14．如图，直线510y x =+与x 轴、y 轴交于点A ，B ，则AOB V 的面积为___．15．将一个矩形 纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=____.16．已知菱形ABCD 的边长为5cm ，对角线AC ＝6cm ，则其面积为_____cm 2．17．如图在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD ＝_____，平行四边形CDEB 为菱形．18．计算2(2233)的结果等于_____．19．如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为________20．如图，矩形ABCD 中，15cm AB =，点E 在AD 上，且9cm AE =，连接EC ，将矩形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则'A C =____________cm ．三、解答题21．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E（1）证明：四边形ACDE 是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．22．如图，ABC V 是边长为1的等边三角形，BCD V 是等腰直角三角形，且90BDC ∠=︒．（1）求BD 的长．（2）连接AD 交BC 于点E ，求AD AE的值． 23．在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到A 、B 两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往A 、B 两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往A 、B 两城镇的运费分别为每辆400元和600元．（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A 城镇，其余货车前往B 城镇，设前往A 城镇的大货车为x 辆，前往A 、B 两城镇总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式．若运往A 城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用．24．实数,x y 在数轴上的位置如图所示，化简：2344x y y -+-+25．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，设小亮出发x 分后行走的路程为y 米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 随x 的变化关系.（1)小亮行走的总路程是_________米，他途中休息了___________分；（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】A 、y=1x+1不是一次函数，故错误；B 、y=-2x 是一次函数，故正确；C 、y=x 2+2是二次函数，故错误；D 、y=kx+b （k 、b 是常数），当k=0时不是一次函数，故本选项错误， 故选B ． 2．C解析：C【解析】【分析】可用排除法，对各选项中函数图象的特点逐一分析即可.【详解】A.由y 1的图象可知a< 0，b> 0；由y 2的图象可知a>0，b>0，两结论相矛盾，故错误；B.由y 1的图象可知a< 0，b> 0；由y 2的图象可知a=0，b<0，两结论相矛盾，故错误；C. 正确；D.由y 1的图象可知a> 0，b> 0；由y 2的图象可知a<0，b<0，两结论相矛盾，故错误； 故选：C.【点睛】此题考查一次函数的图象，熟记一次函数的图象与k 及b 值的关系是解题的关键.3．C解析：C【解析】【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【详解】=2.1（米）．故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于提取题目的信息是解题以及学好数学的关键．4．A解析：A【解析】【分析】设BO xm =，利用勾股定理依据AB 和CD 的长相等列方程，进而求出x 的值，即可求出AB 的长度．【详解】解：设BO xm =，依题意，得1AC =，1BD =，4AO =．在Rt AOB V 中，根据勾股定理得222224AB AO OB x =+=+，在Rt COD V 中，根据勾股定理22222(41)(1)CD CO OD x =+=-++，22224(41)(1)x x ∴+=-++，解得3x =，∴==，5AB答：梯子AB的长为5m．故选：A．【点睛】=利用勾股定理列方程是本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB CD解题的关键．5．C解析：C【解析】试题分析：根据平行四边形的性质依次分析各选项即可作出判断.∵平行四边形ABCD∴OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠BAD＋∠ABC＝180°，但无法得到AC⊥BD故选C.考点：平行四边形的性质点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6．C解析：C【解析】解：A．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；B．公园离小丽家的距离为2000米，正确；C．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；D．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．故选C．7．B解析：B【解析】【分析】利用待定系数法求出m，再结合函数的性质即可解决问题．【详解】解：∵y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），∴m2＝4，∴m＝±2，∵y的值随x值的增大而减小，∴m＜0，∴m＝﹣2，故选：B．【点睛】本题考查待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．A解析：A【解析】【分析】先根据直线y＝﹣x+b判断出函数图象,y随x的增加而减少，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．【详解】解：∵直线y＝﹣x+b，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣2＜﹣1＜1，∴y1＞y2＞y3．故选：A．【点睛】本题考查一次函数的图象性质：当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．9．A解析：A【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，故选A．【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键. 10．D解析：D【解析】【分析】根据平行四边形性质可得OE是三角形ABD的中位线，可进一步求解.【详解】因为▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE EB，所以OE是三角形ABD的中位线，所以AD=2OE=6所以▱ABCD的周长=2（AB+AD）=22故选D【点睛】本题考查了平行四边形性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.11．D解析：D【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】A、原式+=，故错误；B2C、原式，故C错误；=，正确；D3故选：D．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．12．B解析：B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A．≠A错误；B．=，故B正确；=，故C错误；C．3D．2=,故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．二、填空题13．3×122018【解析】【分析】首先根据勾股定理得出BC的长进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长再利用锐角三角函数的关系得出EIKI=PFEF=12即可得出正方形边长之间的变化规律得出答案即可【解析：【解析】【分析】首先根据勾股定理得出BC的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长，再利用锐角三角函数的关系得出，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可．【详解】∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝AB＝6，∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；∴EF＝EC＝DG＝BD，∴DE＝BC＝2，∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，∴，∴EI＝KI＝HI，∵DH＝EI，∴HI＝DE＝（）2﹣1×3，则第n个内接正方形的边长为：3×（）n﹣1．故第2019个内接正方形的边长为：3×（）2018．故答案是：3×（）2018．【点睛】考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题关键．14．10【解析】【分析】分别令x=0y=0可得AB坐标即可求出OAOB的长利用三角形面积公式即可得答案【详解】∵直线交x 轴于点A 交y 轴于点B∴令则；令则；∴∴∴的面积故答案为10【点睛】本题考查一次函数解析：10【解析】【分析】分别令x=0，y=0，可得A 、B 坐标，即可求出OA 、OB 的长，利用三角形面积公式即可得答案．【详解】∵直线510y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令0y =，则2x =-；令0x =，则10y =；∴()2,0A -，()0,10B ，∴2OA =，10OB =，∴AOB V 的面积1210102=⨯⨯=． 故答案为10【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0即可求出一次函数与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积． 15．128°【解析】【分析】如图延长DC 到F 根据折叠的性质可得∠ACB=∠BCF 继而根据平行线的性质可得∠BCF=∠ABC=26°从而可得∠ACF=52°再根据平角的定义即可求得答案【详解】如图延长DC解析：128°.【解析】【分析】如图，延长DC 到F ，根据折叠的性质可得∠ACB=∠BCF ，继而根据平行线的性质可得∠BCF=∠ABC=26°，从而可得∠ACF=52°，再根据平角的定义即可求得答案.【详解】如图，延长DC 到F ，∵矩形纸条折叠，∴∠ACB=∠BCF ，∵AB ∥CD ，∴∠BCF=∠ABC=26°，∴∠ACF=52°，∵∠ACF+∠ACD=180°，∴∠ACD=128°，故答案为128°. 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.16．24【解析】【分析】根据菱形的性质求出另一条对角线BD 的长然后再求面积即可【详解】如图所示：∵菱形ABCD 的边长为5cm 对角线AC ＝6cm ∴AC ⊥BD AO ＝CO ＝3cmBD=2BO ∴BO ＝＝4(cm解析：24【解析】【分析】根据菱形的性质求出另一条对角线BD 的长，然后再求面积即可.【详解】如图所示：∵菱形ABCD 的边长为5cm ，对角线AC ＝6cm ，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝3cm ，BD=2BO ，∴BO ＝22AB AO -＝4(cm)，∴BD ＝8cm ，∴S 菱形ABCD =12×6×8＝24(cm 2)， 故答案为24．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分以及菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键.17．【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分邻边相等推知OD=OBCD=CB ；最后Rt △BOC 中根据勾股定理得OB 的值则【详解】解：如图连接CE 交AB 于点O ∵Rt △解析：75【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AB =5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD =OB ，CD =CB ；最后Rt △BOC 中，根据勾股定理得，OB 的值，则2AD AB OB =-．【详解】解：如图,连接CE 交AB 于点O ．∵Rt △ABC 中,90ACB ∠=︒，AC =4，BC =3 ∴225AB AC BC =+= (勾股定理)若平行四边形CDEB 为菱形时，CE ⊥BD ，且OD =OB ，CD =CB ． ∵1122AB OC AC BC ⋅=⋅， ∴12.5OC = ∴在Rt △BOC 中,根据勾股定理得，2222129355OB BC OC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ∴725AD AB OB =-=故答案是：75． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法．18．35+12【解析】【分析】利用完全平方公式计算【详解】原式＝8+12+27＝35+12故答案为：35+12【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式然后进行二次根式的乘除解析：6【解析】【分析】利用完全平方公式计算．【详解】原式＝6+27＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．19．cm 【解析】∵平行四边形ABCD∴AD=BCAB=CDOA=OC∵EO⊥AC∴AE=EC∵AB+BC+CD+AD=16∴AD+DC=8cm∴△DCE 的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD解析：cm【解析】∵平行四边形ABCD ，∴AD=BC ，AB=CD ，OA=OC ，∵EO ⊥AC ，∴AE=EC ，∵AB+BC+CD+AD=16，∴AD+DC=8cm ，∴△DCE 的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8cm ，故答案为8cm.点睛：此题考查了平行四边形的性质以及线段的垂直平分线的性质，解答本题的关键是判断出EO 示线段BD 的中垂线.20．8【解析】【分析】设A′C=xcm 先根据已知利用AAS 证明△A′BC ≌△DCE 得出A′C=DE=xcm 则BC=AD=（9+x ）cmA′B=AB=15cm 然后在Rt △A′BC 中由勾股定理可得BC2=A解析：8【解析】【分析】设A ′C=xcm ，先根据已知利用AAS 证明△A ′BC ≌△DCE ，得出A ′C=DE= xcm ，则BC=AD=（9+x ）cm ，A ′B=AB=15cm ，然后在Rt △A ′BC 中，由勾股定理可得BC 2=A ′B 2+A ′C 2，即可得方程，解方程即可求得答案【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=15cm ，∠A=∠D=90°，AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠DEC=∠A ′CB ，由折叠的性质，得：A ′B=AB=15cm ，∠BA ′E=∠A=90°，∴A ′B=CD ，∠BA ′C=∠D=90°，在△A ′BC 和△DCE 中，BA C D A CB DEC A B CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=''⎨'⎪⎩∴△A ′BC ≌△DCE （AAS ），∴A ′C=DE ，设A ′C=xcm ，则BC=AD=DE+AE=x+9（cm ），在Rt △A ′BC 中，BC 2=A ′B 2+A ′C 2，即（x+9）2=x 2+152，解得：x=8，∴A ′C=8cm ．故答案为：8．【点睛】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）18．【解析】【分析】【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴AE ∥CD ，∠AOB=90°，∵DE ⊥BD ，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB ，∴DE ∥AC ，∴四边形ACDE 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE 的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．22．（1）2（2）3AD AE = 【解析】【分析】（1）已知BC=AB=AC=1，则在等腰直角△BCD 中，由勾股定理即可求BC（2）易证△ABD ≌△ACD ，从而得E 点BC 的中点，再根据等腰三角形的三线合一结合勾股定理即可求AE ，DE ，即可求得AD AE 的值 【详解】解：（1）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，∴BC=1∵△BCD 是等腰直角三角形，∠BDC=90°∴由勾股定理：BC 2=BD 2+DC 2，BD=DC 得，BC 2=2BD 2，则=故BD 的长为2（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，△BCD 是等腰直角三角形∴易证得△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAE=∠CEA∴E 为BC 中点，得BE=EC ，AE ⊥BC∴在Rt △AEC 中，由勾股定理得==同理得12== ∵AD=AE+ED∴11+3AD AE ED ED AE AE AE +==+=故AD AE =． 【点睛】此题主要考查等腰三角形“三线合一”性质，熟练运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键．23．(1) 大货车用8辆，小货车用7辆；(2) y 与x 的函数解析式为y=100x+9400；当运往A 城镇的防护用品不能少于100箱，最低费用为9900元．【解析】【分析】（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，然后根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设前往A 城镇的大货车为x 辆，则前往B 城镇的大货车为（8-x ）辆，前往A 城镇的小货车为（10-x ）辆，前往B 城镇的小货车为[7-（10-x ）]辆，然后根据题意即可确定y 与x 的函数关系式；再结合已知条件确定x 的取值范围,求出总费用的最小值即可．【详解】解：（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得：15128152x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：87x y =⎧⎨=⎩ 答：大货车用8辆，小货车用7辆；（2）设前往A 城镇的大货车为x 辆，则前往B 城镇的大货车为（8-x ）辆，前往A 城镇的小货车为（10-x ）辆，前往B 城镇的小货车为[7-（10-x ）]辆，根据题意得：y=800x+900（8-x ）+400（10-x ）+600[7-（10-x ）]=100x+9400由运往A 城镇的防护用品不能少于100箱,则12x+ 8 (10-x)≥100，解得x≥5且x 为整数；当x=5时,费用最低，则：100×5+9400=9900元. 答：y 与x 的函数解析式为y=100x+9400；当运往A 城镇的防护用品不能少于100箱，最低费用为9900元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，弄清题意列出二元一次方程组和一次函数解析式是解答本题的关键．24．5x y --【解析】【分析】由数轴可得2003y x -<<<<，，所以得到2030y x -<-<，，然后根据绝对值和二次根式的性质进行化简计算．【详解】解:由数轴,得:2003y x -<<<<，2030y x ∴-<-<，3332325x x x y x y x y ∴-+=-+-+-=-+-=--．【点睛】本题考查绝对值和二次根式的化简及完全平方公式，利用数形结合思想解题是关键．25．（1）3600 ，20；（2）65（米/分），55（米/分）；（3）1100（米）.【解析】【分析】(1)根据图象可知小亮走的总路程和中途休息的时间；(2)根据图象可知休息前走了30分钟，1950米，休息后走了30分钟，3600-1950米，由此根据速度公式进行求解即可；(3)先求出缆车到达终点所需时间，从而求出小亮行走的时间，最后根据题意求出当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程 ．【详解】(1)根据图象可知：小亮行驶的总路程为3600m ，中途休息时间为：50﹣30=20min ， 故答案为；3600，20；(2)观察图象可知小亮休息前走了30分钟，1950米，所以小亮休息前的速度为：19506530=(米/分)， 小亮休息后的速度为：36001950558050-=-(米/分)， 答：小亮休息前的速度为65米/分，休息后的速度为55米/分；(3)缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800米，缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟，小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，80－60＝20(分)，∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：20⨯55=1100(米)，答：当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是1100米.【点睛】本题考查了函数的图象，弄清题意，读懂图象，根据图象提供的信息进行解答是关键.。
压轴题训练(三)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)
2021年八下期中考试金牌压轴题训练（三）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、单选题1．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．16B．24C．30D．40【答案】D【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．【详解】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，如图，∵图2中长方形的周长为48，∵AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∵AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，∵2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，故选：D．．【点睛】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．2．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964【答案】C【分析】 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，=30MON ∠︒，111OA A B =，得到1=30∠︒，由12B A OM ⊥，得到1OA 的长度，进而得到22122A B B A =，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而得出答案．【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∵1=30∠︒，∵===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∵111A B =，∵21121A B A A ==，∵22OA =，∵222OA A B =，∵22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∵122334////B A B A B A∵1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∵3323324A B B A OA ===，∵331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而发现规律是解题关键．3．若不等式组213x x a->⎧⎨≤⎩的整数解共有三个，则a 的取值范围是（ ） A ．56a ≤<B ．56a <≤C ．56a <<D ．56a ≤≤【答案】A首先确定不等式组的解集，利用含a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解不等式2x -1＞3，得：x ＞2，∵不等式组整数解共有三个，∵不等式组的整数解为3、4、5，则56a ≤<，故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a 的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．二、填空题4．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，P 为平面内任意一点，1CP =，连接PD ，将线段PD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DQ ，连接CQ ，则3DQ CQ +的最小值为_________．【分析】根据正方形的性质证明()△△QDA PDCSAS ≅，得出点Q 在以点A 为圆心，1为半径的圆上运动，根据题意判断计算即可；由题意可知DQ DP =，90QDP ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∵DA DC =，90ADC ∠=︒，∵ADC ADP QDP ADP ∠-∠=∠-∠，即QDA PDC ∠=∠，∵()△△QDA PDCSAS ≅， ∵1QA PC ==，∵点Q 在以点A 为圆心，1为半径的圆上运动，如图所示，在AD 上取一点E ，使13AE =，则13AE AQ AQ AD ==， ∵△QAE△DAQ ， ∵13QE QD =，13DQ CQ CQ QE +=+＞CE ， 当Q 位于Q '的位置时，13DQ CQ +取得最小值CE ，13CE ===∵1333DQ CQ DQ CQ ⎛⎫+=+⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了四边形综合，准确利用相似三角形和全等三角形性质求解是解题的关键． 5．如图，在等边ABC 中，6AC =，点O 在AC 上，且2AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是___．【答案】4【分析】根据题意得OP =OD ，∵POD =60°，又∵ABC 是等边三角形，所以∵A =∵B =∵C =60°，∵AOP +∵APO =120°，∵AOP +∵COD =120°，所以∵APO =∵COD 从而∵APO ∵∵COD ，则AP =CO ；又AO =2，AC =6，则AP =4．【详解】解：根据题意得，OP =OD ，∵POD =60°，∵∵ABC 是等边三角形，∵∵A =∵B =∵C =60°，又∵∵AOP +∵APO =120°，∵AOP +∵COD =120°，∵∵APO =∵COD ，∵在∵APO 和∵COD 中，==A C APO COD OP OD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∵∵APO ∵∵COD （AAS ），∵AP =CO ，又∵AO =2，AC =6，即CO =4，∵AP =4；故答案为：4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质，掌握其判定及性质，得出∵APO ∵∵COD 是正确解答本题的基础．6．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合），AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．【答案】105° 150°【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∵AIC ，从而得到m ，n 的值即可．【详解】解：设∵BAP=α，则∵APC=α+30°，∵∵BAC=90°，∵∵PCA=60°，∵PAC=90°-α，∵AI 、CI 分别平分∵PAC ，∵PCA ， ∵∵IAC=12∵PAC ，∵ICA=12∵PCA ， ∵∵AIC=180°-（∵IAC+∵ICA ）=180°-12（∵PAC+∵PCA ） =180°-12（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，∵105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∵AIC ＜150°， ∵m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题7．在平面直角坐标系中，已知A （a ，0），B （0，b ）．已知a ，b ()240b -=． （1）∠求出A ，B 两点的坐标；∠如图1，点P 为∠AOB 三个内角角平分线的交点，且AB=5，求点P 的坐标；（2）如图2．若点C 为点A 关于y 轴对称的点，∠DBE 是将∠ABC 绕点B 顺时针旋转后所得图形，连接AD 、CE 交于点F ．求证：BF 平分∠CFD ．（3）在（2）的基础上继续绕点B 旋转使得D 、B 、C 三点共线，若ABO α∠=，求∠CFD 的度数（用含α的式子表示）．【答案】（1）∵A(-3，0)，B(0，4)；∵(-1，1)；（2）∵证明见解析；∵90-α︒【分析】（1）∵根据非负性可求出a 和b ，即可得到A 、B 的坐标；∵从P 点分别向AB 、BO 、AO 作垂线，分别交D 、E 、F ，先证明∵BDP ∵∵BEP ，同理可证∵PFO ∵∵PEO ，∵PDA ∵∵PF A ，设PF =x ，则DP =PE =x ，可得到PAB POB PAO ABO S S S S ++=△△△△，即可求得PF ，进而得到P 点坐标；（2）∵根据∵DBE 是将∵ABC 绕点B 顺时针旋转后所得图形，点C 为点A 关于y 轴对称的点，可证得∵DBE ∵∵ABC ，进而可证得∵BDA ∵∵BCE ，得到∵BAF =∵BEC ，进而得到∵EFB ∵∵AFB ，即可证得BF 平分∵CFD ；∵连接BF ，可得∵BFC =∵ECA ，根据∵BFC =180°-∵FBC -∵BCF 即可求解．【详解】解：（1）()240b -=，∵a +3=0，b -4=0，∵a =-3，b =4，∵A (-3，0)，B (0，4)；∵∵点P 为∵AOB 三个内角角平分线的交点，且AB =5，∵∵DBP =∵EBP ，∵FOP =∵EOP ，∵DAP =∵F AP ，从P 点分别向AB 、BO 、AO 作垂线，分别交D 、E 、F ，如下图所示，∵DP =PE =PF ，在∵BDP 和∵BEP 中，BP BP DP DE BDP BEP =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∵∵BDP ∵∵BEP ，同理可得∵PFO ∵∵PEO ，∵PDA ∵∵PF A ，设PF =x ，则DP =PE =x ，∵PAB POB PAO ABO S S S S ++=△△△△， 即()115433422x x x ++=⨯⨯， 解得：x =1，又∵点P 在第二象限，∵P点坐标为：(-1，1)；（2）∵∵点C为点A关于y轴对称的点，∵AB=BC，在∵BDA和∵BCE中，∵∵DBE是将∵ABC绕点B顺时针旋转后所得图形，∵∵DBE∵∵ABC，∵BD=AB=BE=BC，∵DBE=∵ABC，∵∵DBE+∵EBA=∵ABC+∵EBA，即∵DBA=∵EBC，∵∵BDA∵∵BCE，∵∵BAF=∵BEC，在∵EFB和∵AFB中，AB=EB，BF=BF，∵BAF=∵BEC，∵∵EFB∵∵AFB，∵BF平分∵CFD；∵如图，连接BF，由题可知，∵BFC=∵ECA，∵∵BFC=180°-∵FBC-∵BCF=180°-（∵ABC+∵FBA）-∵BCF=180°-∵ABC-（∵BCF+∵FBA）=180°-∵ABC-（∵BCF+∵FCA）=180°-2α-（90°-α）=90-α︒，∵∵CFD=90-α︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、几何变换-旋转，解题的关键是综合运用相关知识．8．如图1，在平面直角坐标系中，AO＝AB，∠BAO＝90°，BO＝8cm，动点D从原点O出发沿x轴正方向以a cm/s的速度运动，动点E也同时从原点O出发在y轴上以b cm/s的速度运动，且a，b满足关系式a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，连接OD，OE，设运动的时间为t秒．（1）求a，b的值；（2）当t为何值时，∠BAD∠∠OAE；（3）如图2，在第一象限存在点P，使∠AOP＝30°，∠APO＝15°，求∠ABP．【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）t＝83或t＝8；（3）∵ABP＝105°．【分析】（1）将a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0用配方法得出（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，利用非负数的性质，即可得出结论；（2）先由运动得出BD＝|8﹣2t|，再由全等三角形的性质的出货BD＝OE，建立方程求解即可得出结论．（3）先判断出∵OAP∵∵BAQ（SAS），得出OP＝BQ，∵ABQ＝∵AOP＝30°，∵AQB＝∵APO ＝15°，再求出∵OAP＝135°，进而判断出∵OAQ∵∵BAQ（SAS），得出∵OQA＝∵BQA＝15°，OQ＝BQ，再判断出∵OPQ是等边三角形，得出∵OQP＝60°，进而求出∵BQP＝30°，再求出∵PBQ＝75°，即可得出结论．【详解】解：（1）∵a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，∵（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，∵a﹣2＝0，b﹣1＝0，∵a＝2，b＝1；（2）由（1）知，a＝2，b＝1，由运动知，OD＝2t，OE＝t，∵OB＝8，∵DB＝|8﹣2t|∵∵BAD∵∵OAE，∵DB＝OE，∵|8﹣2t|＝t，解得，t＝83（如图1）或t＝8（如图2）；（3）如图3，过点A作AQ∵AP，使AQ＝AP，连接OQ，BQ，PQ，则∵APQ＝45°，∵P AQ＝90°，∵∵OAB＝90°，∵∵P AQ＝∵OAB，∵∵OAB+∵BAP＝∵P AQ+∵BAP，即：∵OAP＝∵BAQ，∵OA＝AB，AD＝AD，∵∵OAP∵∵BAQ（SAS），∵OP＝BQ，∵ABQ＝∵AOP＝30°，∵AQB＝∵APO＝15°，在∵AOP中，∵AOP＝30°，∵APO＝15°，∵∵OAP＝180°﹣∵AOP﹣∵APO＝135°，∵∵OAQ＝360°﹣∵OAP﹣∵P AQ＝135°﹣90°＝135°＝∵OAP，∵OA＝AB，AD＝AD，∵∵OAQ∵∵BAQ（SAS），∵∵OQA＝∵BQA＝15°，OQ＝BQ，∵OP＝BQ，∵OQ ＝OP ，∵∵APQ ＝45°，∵APO ＝15°，∵∵OPQ ＝∵APO +∵APQ ＝60°，∵∵OPQ 是等边三角形，∵∵OQP ＝60°，∵∵BQP ＝∵OQP ﹣∵OQA ﹣∵BQA ＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∵BQ ＝PQ ，∵∵PBQ ＝12（180°﹣∵BQP ）＝75°， ∵∵ABP ＝∵ABQ +∵PBQ ＝30°+75°＝105°．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了配方法、非负数的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质，构造出全等三角形是解题的关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 和图形W 的中间点的定义如下：Q 是图形W 上一点，若M 为线段PQ 的中点，则称M 为点P 和图形W 的中间点．(2,3)C -，(1,3)D ，(1,0)E ，(2,0)F -．（1）点(2,0)A ，∠点A 和原点的中间点的坐标为________；∠求点A 和线段CD 的中间点的横坐标m 的取值范围；（2）点B 为直线2y x =上一点，在四边形CDEF 的边上存在点B 和四边形CDEF 的中间点，直接写出点B 的横坐标n 的取值范围．【答案】（1）∵（1，0）；∵0≤m≤32；（2）32-≤n≤0或1≤n≤3． 【分析】（1）∵由题意根据点A ，O 的坐标，利用中点坐标公式即可求出结论；∵根据题意先依据题意画出图形，观察图形可知点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C′D′，根据点A ，C ，D 的坐标，利用中点坐标公式可求出点C′，D′的坐标，进而可得出m 的取值范围；（2）根据题意利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B 的坐标为（n ，2n ），进而依据题意画出图形，观察图形可知：点B 和四边形CDEF 的中间点只能在边EF 和DE 上，当点B 和四边形CDEF 的中间点在边EF 上时，利用四边形CDEF 的纵坐标的范围，可得出关于n 的一元一次不等式组，解之即可得出n 的取值范围；当点B 和四边形CDEF 的中间点在边DE 上时，由四边形CDEF 的横、纵坐标的范围，可得出关于n 的一元一次不等式组，解之即可得出n 的取值范围．【详解】解：（1）∵∵点A 的坐标为（2，0），∵点A 和原点的中间点的坐标为()002202++，，即（1，0）． 故答案为：（1，0）； ∵如图1，点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C′D′．由题意可知：点C′为线段AC 的中点，点D′为线段AD 的中点．∵点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（-2，3），点D 的坐标为（1，3），∵点C′的坐标为（0，32），点D′的坐标为（32，32）， ∵点A 和线段CD 的中间点的横坐标m 的取值范围为0≤m≤32． （2）∵点B 的横坐标为n ，∵点B 的坐标为（n ，2n ），当点B 和四边形CDEF 的中间点在边EF 上时，有023020n n ⎧⎨⎩-≤-≥， 解得：32-≤n≤0；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有121 3220nn⎧⎨⎩⨯-≤⨯-≥，解得：1≤n≤3．综上所述，点B的横坐标n的取值范围为32-≤n≤0或1≤n≤3．【点睛】本题考查中点坐标公式和一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是（1）∵利用中点坐标公式求出结论；∵通过画图找出点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′；（2）分点B和四边形CDEF的中间点在边EF上及点B和四边形CDEF 的中间点在边DE上两种情况，找出关于n的一元一次不等式组．。
2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练《勾股定理选填题压轴训练》)
勾股定理选填题压轴训练一．选择题（共25小题）1．如图，正方形ABCD的面积为100cm2，△ABP为直角三角形，∠P＝90°，且PB＝6cm，则AP的长为（）A．10cm B．6cm C．8cm D．无法确定2．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝10，∠ABC＝90°，AC⊥CD，则BD＝（）A．12B．10C．11D．23．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a＝，b＝，c＝C．（b+a）（b﹣a）＝c2D．∠A：∠B：∠C＝5：3：24．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，下列结论：①∠GOP＝∠BCP，②BC＝BP，③BG：PG＝+1，④DP ＝PO．正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③5．《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．104寸B．101寸C．52寸D．50.5寸6．已知点P（3m，4﹣4m）为平面直角坐标系中一点，若O为原点，则线段PO的最小值为（）A．2B．2.4C．2.5D．37．下列条件中，不能判断△ABC（a、b、c为三边，∠A、∠B、∠C为三内角）为直角三角形的是（）A．a2＝1，b2＝2，c2＝3B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：58．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．9．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形11．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形12．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP ＝5，则PN的最小值为（）A．2B．3C．4D．513．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（）A．6B．9C．11D．1214．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（）A．169B．196C．392D．58815．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（）A．8cm2B．16cm2C．32cm2D．64ccm216．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的BC边的中线．若AB＝，BC＝2AC，则AD的长是（）A．1B．2C．D．417．如图，一棵高5米的树AB被强台风吹斜，与地面BC形成60°夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A 恰好落在BC边上的点E处，若BE＝2米，则BD的长是（）米A．2B．3C．D．18．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（）A．13cm2B．26cm2C．48cm2D．52cm219．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC 交于点E，则BE的长是（）A．3B．5C．D．620．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2B．C．D．21．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（m﹣1，﹣m﹣）（其中m为实数），当PM的长最小时，m的值为（）A．﹣B．﹣C．3D．422．如图，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为（）A．B．C．1或D．1或23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE交AD于点F，则以下结论：①AB＝2CE；②AC＝4CD；③CE⊥AD；④△DBE与△ABC的面积比是：1：（7+4）其中正确结论是（）A．①②B．②③C．③④D．①④24．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB′＝2，AD'＝，则AC的取值范围为（）A．﹣2＜AC＜5 B．3＜AC＜+2C．3＜AC＜5D．﹣2＜AC＜+225．如图，P是等边△ABC形内一点，连接P A、PB、PC，P A：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C ≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（）A．△APP'是正三角形B．△PCP'是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题（共20小题）26．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝2，则阴影部分的面积是．27．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为米．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为．29．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为（用含a，b的式子表示）．30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB ＝10，AC＝8，则OM＝．31．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为．32．如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝2，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是．33．将一副直角三角板按如图所示方式放置．∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝60°，∠ECD＝45°，AB边交直线DE于点M，设∠BMD＝α，∠BCE＝β，将直角三角板ABC绕点C旋转，在旋转过程中，点B始终位于直线DE 下方，则在变化过程中α与β的数量关系是．34．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为斜边作等腰直角三角形S1、S2，以AB为边作正方形S．若S1与S2的面积和为9，则正方形S的边长等于．35．在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE，且CE＜AC．若AD＝6，AB＝10，则CE＝．36．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是尺．37．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，点D在AC上连接BD，BD＝CD，BE为△DBC的角平分线，过AD的中点F作BE的垂线，点G为垂足，若∠BDC＝100°，EG＝2，则BC的长为．38．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE＝DF，∠BAG＝∠ABC＝45°，BC+AG＝20，AE＝2EF，则AF＝．39．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝．40．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为．41．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个论：①∠CBE＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE ＝EF．则其中正确的结论有．（填序号）42．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝，∠A＝30°，作△ABC关于直线l的轴对称图形△EBD，点F是BE的中点，若点A，C，F在同一直线上，则CD的长为．43．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是．。
初二数学期中压轴题试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=9，则b的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 122. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为（）A. （3，2）B. （-3，-2）C. （-2，-3）D. （-3，3）3. 若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且f(1)=3，f(2)=5，则f(3)的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 104. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=8，则三角形ABC的周长为（）A. 16B. 24C. 32D. 40二、填空题（每题5分，共25分）6. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=9，则b+c的值为______。
7. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)=______。
8. 在直角坐标系中，点P（-1，2）关于原点的对称点为______。
9. 若等腰三角形ABC的底边BC=8，腰AB=AC=6，则三角形ABC的面积为______。
10. 若函数f(x)=2x+1，则f(-3)=______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，求第10项an的值。
12. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c，且f(1)=3，f(2)=5，求函数f(x)的表达式。
13. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为B，求直线AB的方程。
14. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=8，A D⊥BC于D，求三角形ABC的面积。
四、附加题（20分）15. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=8，AD⊥BC于D，求三角形ABC的周长。
答案：一、选择题1. A2. A3. A4. C5. B二、填空题6. 97. 18. （1，-2）9. 24 10. -5三、解答题11. an=2112. f(x)=2x^2-x+313. 直线AB的方程为x+y-5=014. 三角形ABC的面积为16四、附加题15. 三角形ABC的周长为24。
专题05 平行四边形选填题压轴训练(原卷版)八年级数学下学期期中考试压轴题专练(人教版)
专题05 平行四边形选填题压轴训练（原卷版）一．选择题（共25小题）1．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（）A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（）A．2B．C．1D．3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，AB＝2BC，BN＝m，AN＝n，则CD的长为（）A．+n B．m+C．D．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是P A、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（）A．AD＝3B．AD＝4C．AD＝5D．AD＝66．已知矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，则所得任一多边形的内角和度数不可能是（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（）A．24B．24C．12D．128．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ 的值是（）A．B．3C．D．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.510．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（）A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠211．如图，在▱ABCD中，BC＝6，∠A＝135°，S▱ABCD＝12．若点E、F分别在边BC、AD上，且AF＝CE，∠EFD＝30°，则AF的长为（）A．﹣1B．2﹣1C．6﹣6D．4﹣212．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．413．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0），（0，4），OD＝5，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P有（）A．4个B．3个C．2个D．1个14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．215．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为（）A．B．5C．D．317．如图，P为菱形ABCD内一动点，连接P A，PB，PD，∠APD＝∠BAD＝60°，AB＝2，则PB+PD的最大值为（）A．B．C．D．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE ＝3DE．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．221．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，④CF＝BD＝2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④22．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P 为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．23．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（﹣，﹣），C（，）．任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2．作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（）A．B．C．D．125．如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DE＝DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是（）①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③；④若MH＝2，则S△CMD＝A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共20小题）26．在平面直角坐标系中，已知三点O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），若以A、B、C、O为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为．27．如图，矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF的延长线交CD于点H．过F作MN ∥DC，交AD于M，交BC于N．若AB＝6，则CH的长为．28．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为．29．如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD＝6，DE ＝，则OF的最小值为．30．正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF于点G，过点F作AE的平行线，交AD于点M，交BC的延长线于点N，CN＝3DM，AM＝，则FG的长为．31．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q 同时出发秒后其中一个新四边形为平行四边形．32．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN 交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF的长为．33．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝2DF，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为．34．如图是一个边长大于16cm的正方形，以距离正方形的四个顶点8cm处沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积．35．如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动，当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于．36．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有．（填序号）37．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC ＝4，则BC2+DF2的值为．38．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝BC＝a，点D在边AC上运动（不与点A，C重合），以BD为边作正方形BDEF，使点A在正方形BDEF内，连接EC，则下列结论：①△BCD≌△ECD；②当CD＝2AD时，∠ADE＝30°；③点F到直线AB的距离为a；④△CDE面积的最大值是a2．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）39．如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点E，且BE＝3DE，点F在AB的延长线上，连接EF，过点E作EG ⊥EF，交BC的延长线于点G，连接GF并延长，交DB的延长线于点P，若AB＝4，BF＝1，则线段EP的长是．40．在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点（与点A，D不重合），连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF．下列说法：①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；②当∠ABC＞90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；③当AB＜AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；④当∠ADB＝45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．所有正确说法的序号是．41．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为．42．如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝16，∠C＝90°，M是AC边上的中点，N是BC边上任意一点，且2CN＜BC，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上，则CN＝．43．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝时，△CMN为直角三角形．44．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为．45．已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为．。
八年级下册数学压轴题(含答案)
八年级下压轴题1.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=15，OC=12，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．(1)求CE和OD的长；(2)求直线DE的表达式；(3)直线y=kx+b与AE所在的直线垂直，当它与矩形OABC有公共点时，求出b的取值范围．【答案】解：(1)依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt△ABE中，AE=AO=15，AB=OC=12，BE=√AE2−AB2=√152−122=9，∴CE=15−9=6，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD，∴(12−OD)2+62=OD2，∴OD=7.5．(2)∵CE=6，∴E(6,12)．∵OD=7.5，∴D(0,7.5)，设直线DE的解析式为y=mx+n，∴{n=7.56m+n=12，解得{m =34n =152， ∴直线DE 的解析式为y =34x +152．(3)∵直线y =kx +b 与AE 所在的直线垂直，DE ⊥AE ，∴直线y =kx +b 与DE 平行，∴直线为y =34x +b ，∴当直线经过A 点时，0=34×15+b ，则b =−454，当直线经过C 点时，则b =12，∴当直线y =kx +b 与矩形OABC 有公共点时，−454≤b ≤12． 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =34x 与直线l 2：y =kx +b(k ≠0)相交于点A(a,3)，直线l 2与y 轴交于点B(0,−5)．(1)求直线l 2的函数解析式；(2)将△OAB 沿直线l 2翻折得到△CAB ，使点O 与点C 重合，AC 与x 轴交于点D.求证：四边形AOBC 是菱形；(3)在直线BC 下方是否存在点P ，使△BCP 为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵直线l₁：y =34x 与直线l₂：y =kx +b 相交于点A(a,3)，∴A(4,3)，∵直线交l₂交y 轴于点B(0,−5)，∴y =kx −5，把A(4,3)代入得，3=4k −5，∴k =2，∴直线l 2的解析式为y =2x −5；(2)∵OA =√32+42=5，∴OA =OB ，∵将△OAB 沿直线l₂翻折得到△CAB ，∴OB =OC ，OA =AC ，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形AOBC是菱形；(3)如图，过C作CM⊥OB于M，则CM=OD=4，∵BC=OB=5，∴BM=3，∴OB=2，∴C(4,−2)，过P1作P1N⊥y轴于N，∵△BCP是等腰直角三角形，∴∠CBP1=90°，∴∠MCB=∠NBP1，∵BC=BP1，∴△BCM≌△P1BN(AAS)，∴BN=CM=4，∴P1(3,−9)；同理可得，P2(7,−6)，P3(72,−112).综上所述，点P的坐标是(3,−9)或(7,−6)或P(72,−112).3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=10cm，点D从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以√2cm/s的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t(0<t≤10)s.过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DF．(1)用含t的式子填空；BE=______cm，CD=______cm．(2)试说明，无论t为何值，四边形ADEF都是平行四边形；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】√2t t【解析】解：(1)由题意：BE=√2t(cm)，AD=t(cm)，故答案为√2t，t．(2)如图2中，∵CA=CB，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°，∴∠FEB=∠B=45°，∴EF=BF，∵BE=√2t，∴EF=BF=t，∴AD=EF，∵∠EFB=∠C=90°，∴AD//EF，∴四边形ADFE是平行四边形．(3)①如图3−1中，当∠DEF=90°时，易证四边形EFCD是正方形，此时AD=DE= CD，t=5．②如图3−2中，当∠EDF=90时，∵DF//AC，∴∠AED=∠EDF=90°，∵∠A=45°，∴AD=√2AE，∴t=√2(10√2−√2t)，，解得t=203③当∠EFD=90°，△DFE不存在．s.综上所述，满足条件的t的值为5s或2034.如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(−9,12).矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，且直线BD与OA、x轴分别交于点D、F．(1)求线段BO的长；(2)求△OBD的面积；(3)在x轴上是否存在点M，使得以A、B、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件的M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵四边形AB CO是矩形，∴∠BCO=90°．在Rt△BCO中，∵BO2=BC2+OC2，∴BO=√122+92=15．(2)设OD=x，∵四边形ABCO是矩形，∴∠BAD=90°．∵矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，∴△BAD≌△BED，∴BE=BA=9，AD=ED=12−x，∠BED=∠BAD=90°，∴∠OED=90°，EO=BO−BE=15−9=6．在Rt△DEO中，OD2=OE2+DE2，∴x2=62+(12−x)2，解得x=152，即OD=152，∴S△OBD=12OD⋅AB=1354；(3)由(2)知，OD=152得D(0,152)，设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B(−9,12)，D(0,152)，∴{−9k+b=12 b=152，解得{k =−12b =152， ∴直线BD 的解析式为y =−12x +152．当y =0时，x =15，∴OF =15．又∵AB =9，∴FM =9， ∴在x 轴上存在点M ，使得以A 、B 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形．满足条件的点M 的坐标为(6,0)或(24,0)．5. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 的顶点A(12,0)、C(0,9)，将矩形OABC 的一个角沿直线BD 折叠，使得点A 落在对角线OB 上的点E 处，折痕与x 轴交于点D ．(1)线段OB 的长度为______；(2)求直线BD 所对应的函数表达式；(3)若点Q 在线段BD 上，在线段BC 上是否存在点P ，使以D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)15；(2)如图，设AD =x ，则OD =OA −AD =12−x ，根据折叠的性质，DE =AD =x ，BE =AB =9，又OB =15，∴OE =OB −BE =15−9=6，在Rt △OED 中，OE 2+DE 2=OD 2，即62+x 2=(12−x)2，解得 x =92， ∴OD =12−92=152，∴点D(152,0)，设直线BD 所对应的函数表达式为：y =kx +b(k ≠0)，B(12,9)， 则{12k +b =9152k +b =0，解得{k =2b =−15， ∴直线BD 所对应的函数表达式为：y =2x −15．(3)过点E 作EP//BD 交BC 于点P ，过点P 作PQ//DE 交BD 于点Q ，则四边形DEPQ 是平行四边形，再过点E 作EF ⊥OD 于点F ，由12⋅OE ⋅DE =12⋅DO ⋅EF ，得EF =6×92152=185，即点E 的纵坐标为185， 又点E 在直线OB ：y =34x 上，∴185=34x，解得x=245，∴E(245,185)，由于PE//BD，所以可设直线PE：y=2x+n，∵E(245,185)在直线EP上，∴185=2×245+n，解得n=−6，∴直线EP：y=2x−6，令y=9，则9=2x−6，解得x=152，∴P(152,9)．6.如图，直线y=−12x+3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，P是线段AB上的一个动点(不与AB两点重合)，点M的坐标为(4,0)，设P点的横坐标为x，设△OPM 的面积为S．(1)求点A，B的坐标；(2)求S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当S=12S△AOB时，求点P的坐标；(4)画出函数S的图象．【答案】解：(1)针对于直线y=−12x+3，令x=0，∴y=3，∴B(0,3)，令y=0，∴−12x+3=0，∴x=6，∴A(6,0)；(2)∵点P在直线y=−12x+3上，且P点的横坐标为x，∴P(x,−12x+3)，∵M(4,0)，∴OM=4，∴S=S△OPM=12OM×|y P|=2y P=2(−12x+3)=−x+6(0<x<6)；(3)由(1)知，A(6,0)，B(0,3)，∴S△AOB=12OA×OB=9，由(2)知，S=−x+6(0<x<6)；当S=12S△AOB时，∴−x+6=92，∴x=32，∴y=−12x+3=94，∴P(32,94 )；(4)由(2)知，S=−x+6(0<x<6)，∴函数S的图象如图所示：7.如图，直线l1：y=kx+245与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2：y=−2x+b 与x轴、y轴、直线l1分别相交于点C、D、P.已知点A的坐标为(6,0)，点D的坐标为(0,6)，点M 是x 轴上的动点． (1)求k ，b 的值及点P 的坐标；(2)当△POM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；(3)是否存在以点M 、O 、D 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵直线l 1：y =kx +245与x 轴相交于A(6,0)，∴6k +245=0，∴k =−45，∴直线l 1：y =−45x +245①∵直线l 2：y =−2x +b 与y 轴相交于点D(0,6)， ∴b =6，∴直线l 2：y =−2x +6②， 联立①②解得，{x =1y =4，∴P(1,4)；(2)∵点M 是x 轴上的动点， ∴设M(m,0)， ∵P(1,4)，∴OP =√17，OM =|m|，MP =√(m −1)2+16， ∵△POM 为等腰三角形， ∴当OM =OP 时， ∴√17=|m|， ∴m =±√17， ∴M(−√17,0)或(√17,0)当OM=MP时，∴|m|=√(m−1)2+16，∴m=172，∴M(172,0)，当OP=MP时，∴√17=√(m−1)2+16，∴m=0(舍)或m=2，∴M(2,0)，即：点M的坐标为(−√17,0)或(√17,0)或(172,0)或(2,0)；(3)∵点A的坐标为(6,0)，点D的坐标为(0,6)，∴OA=OD=6，∵点M在x轴上，∴∠AOB=∠DOM=90°，∵以点M、O、D为顶点的三角形与△AOB全等，∴△AOB≌△DOM，∴OM=OB，∵直线l1：y=−45x+245与y轴相交于B，∴B(0,245)，∴OB=245，∴OM=245，∴M(245,0)或(−245,0)．8.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点C(3，4)．(1)求、的值；(2)若D点是线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．①设D点的横坐标为，线段DE的长为，则与的函数关系式为_______；②连接AD，若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标；(3)在平面内是否存在点Q，使以O、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）∵正比例函数的图象过点C（3，4），∴，解得：，∴正比例函数为，∵一次函数的图象过点C（3，4），∴，解得：，∴一次函数解析式为：；（2）①∵D在正比例函数上，∴ D点的纵坐标为：，∵E点在一次函数上，∴ E点的纵坐标为：，∴ DE ＝；②∵点A是一次函数与x轴的交点，∴ A（－3，2），即OA＝3，而D的坐标为（，），∵∠AOD是钝角，一定是等腰三角形的顶角，∴OD＝OA，∴OD＝，解得：，则，∴点D的坐标为（，）；（3）根据图象分析：①当OA作为平行四边形的边时，则CQ∥OA，CQ＝OA，此时Q（0，4），（6，4），②当OA作为平行四边形的对角线时，则OQ∥AC，OQ＝AC，此时Q（－6，－4），综上所述，存在，点Q的坐标为（0，4），（6，4），（－6，－4）．9.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y1=kx+b与l2: y2=kx+3相交于点C(1,2),直线l1与x轴交于点A (-1，0)、直线l2与x轴交于B点.(1) 求直线l1的解析式(表达式) ;(2)判断△ABC的形状并说明理由; (3)在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形?若存在，请直接写出P 点的坐标;若不存在，请说明理由;(4) 如图2，设直线l2与y轴交于点D，点为线段BD上的一个动点，过点M 作ME⊥y轴于点E，作MF⊥x轴于点F，连接EF，问是否存在点M，使EF的值最小?若存在,求出此时EF 的值.10.如图，直线y=kx -3与x 轴、y 轴分别交于B ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23、C 两点，(1)求k 值；(2)若点A(x ，y)是直线y=kx -3上在第一象限内的一个动点，当点A 在运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围) (3)探究：①当A 点运动到什么位置时，△AOB 的面积为49，并说明理由； ②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P 点坐标；若不存在，请说明理由．答案解析（1）把B 的坐标代入y=kx -3，得：k -3=0，解得：k=2； （2）OB=，则S=×（2x -3）=x -；（3）①根据题意得：x -=，解得：x=3，则A 的坐标是（3，3）；②OA==3，当O是△AOP的顶角顶点时，P的坐标是（-3，0）或（3，0）；当A是△AOP的顶角顶点时，P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（6，0）；当P是△AOP的顶角顶点时，P在OA的中垂线上，OA的中点是（，），与OA垂直的直线的斜率是：-1，设直线的解析式是：y=-x+b，把（，）代入得：=-+b，解得：b=，则直线的解析式是：y=-x+，令y=0，解得：x=，则P的坐标是（，0）．故P的坐标是：（-3，0）或（3，0）或（6，0）或（，0）．。
解答题压轴题训练(一)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版
2021年八下期中考试金牌解答题压轴题训练（一）（时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题1．已知在ABC 中，AB AC =，射线BM 、BN 在ABC ∠内部，分别交线段AC 于点G 、H ．（1）如图1，若60ABC ∠=︒，30MBN =︒∠，过点A 作AE BN ⊥于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ；①求证：CE AG =；①若2BF AF =，连接CF ，求CFE ∠的度数；（2）如图2，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ．若2∠=∠=∠BFE BAC CFE ，请直接写出=ABF ACFSS________．【答案】（1）①见解析；①30°；（2）2 【分析】（1）①根据题意可得60BFD ∠=︒，ABC 为等边三角形，从而综合三角形的外角定理得到ABF CAF ∠=∠，最终运用“角边角”证明ABG CAE △≌△即可； ①取BF 的中点K ，连接AK ，由2BF AF =推出FAK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到FAK FKA ∠=∠，并求出1302FKA BFD ∠=∠=︒，然后结合①的结论证明GAK EFC △≌△，从而得到30CFE AKF ∠=∠=︒；（2）在BF 上取BK =AF ，连接AK ，推出①EAC =①FBA ，根据全等三角形的性质得到CF ABKA SS =△，①AKB =①AFC ，证得①F AK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF =FK ，即可得到结论． 【详解】（1）①①AE BN ⊥，30MBN =︒∠， ①60BFD ∠=︒，即：60ABF BAF ∠+∠=︒， ①60ABC ∠=︒，AB AC =， ①ABC 为等边三角形，则60BAF CAF BAC ∠+∠=∠=︒，60BAG C ∠=∠=︒， ①ABF CAF ∠=∠， 在ABG 和CAE 中，ABF CAF AB ACBAG C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ABG CAE ASA △≌△， ①CE AG =；①如图所示，取BF 的中点K ，连接AK ， ①2BF AF =， ①12AF BK FK BF ===， ①FAK 是等腰三角形，①FAK FKA ∠=∠，①2BFD FAK FKA FKA ∠=∠+∠=∠， ①1302FKA BFD ∠=∠=︒， 由①可得：AG CE =，BG AE =，AGB AEC ∠=∠， ①KG BG BK AE AF FE =-=-=， 在GAK 与EFC 中，AG CE AGB AEC KG FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()GAK EFC SAS △≌△， ①30CFE AKF ∠=∠=︒；（2）如图所示，在BF 上取BK =AF ，连接AK ， ①①BFE =①BAF +①ABF ，①BFE =①BAC ， ①①BAF +①EAC =①BAF +①ABF ， ①①EAC =①FBA ， 在①ABK 和①ACF 中，AB AC ABK FAC BK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABK ①①ACF (SAS )， ①CF ABKA SS =△，①AKB =①AFC ，①①BFE =2①CFE ， ①①BFE =2①AKF ，①①BFE =2①AKF =①AKF +①KAF ， ①①AKF =①KAF ，①F AK 是等腰三角形， ①AF =FK ， ①BK =AF =FK ， ①FK ABKA S S =△， ①22FAFK ABFABKABKAC SSS SS=+==△，①2ABF ACFS S=，故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等，正确结合题意作出辅助线是解题关键．2．某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过3km 行程的出租车价格），超过3km 行程后，其中除3km 的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足1km 按1km 计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过3km ，那么顾客还需付回程的空驶费，超过3km 部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A 处到相距km x （12x ）的B 处办事，在B 处停留的时间在3分钟以内，然后返回A 处．现在有两种往返方案：方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）； 方案二：4人乘同一辆出租车往返． 问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）【答案】当x 小于5时，方案二省钱；当x=5时，两种方案费用相同；当x 大于5且不大于12时时，方案一省钱 【分析】先根据题意列出方案一的费用：起步价+超过3km 的km 数×1.6元+回程的空驶费+乘公交的费用，再求出方案二的费用：起步价+超过3km 的km 数×1.6元+返回时的费用1.6x+1.6元的等候费，最后分三种情况比较两个式子的大小． 【详解】 方案一的费用：7+（x -3）×1.6+0.8（x -3）+4×2 =7+1.6x -4.8+0.8x -2.4+8=7.8+2.4x，方案二的费用：7+（x-3）×1.6+1.6x+1.6=7+1.6x-4.8+1.6x+1.6=3.8+3.2x，①费用相同时x的值7.8+2.4x=3.8+3.2x，解得x=5，所以当x=5km时费用相同；①方案一费用高时x的值7.8+2.4x＞3.8+3.2x，解得x＜5，所以当x＜5km方案二省钱；①方案二费用高时x的值7.8+2.4x＜3.8+3.2x，解得x＞5，所以当x＞5km方案一省钱．【点睛】此题考查了应用类问题，解答本题的关键是根据题目所示的收费标准，列出x的关系式，再比较．3．已知：如图，①AOB=α，OC平分①AOB，D是边OA上一点，将射线OB沿OD平移至射线DE，交OC于点F，E在F右侧．M是射线DA上一点（与D不重合），N是线段DF上一点（与D，F不重合），连接MN，①OMN=β．（1）请在图1中根据题意补全图形；（2）求①MNE的度数（用含α，β的式子表示）；（3）点G在线段OF上（与O，F不重合），连接GN并延长交OA于点T，且满足2①NGO ＋①OMN=180°，画出符合题意的图形，并探究①ENM与①ENG的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）①MNE=β＋α，（3）见解析，①ENM=180°﹣2①ENG 【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可；（3）结论：①ENM=180°﹣2①ENG．利用三角形的外角的性质解决问题即可．【详解】解：（1）图形如图所示．（2）①DE①OB，①①MDN=①AOB，①①MNE=①OMN＋①MDN=β＋α．（3）结论：①ENM=180°﹣2①ENG．理由：如图，设①NGO=γ．①2①NGO＋①OMN=180°，①2γ+β=180°，即β=180°-2γ，①①ENM=α＋β=α＋180°﹣2γ=180°＋α﹣2γ，①①ENG=①DNT=①MTN﹣①ADF=①AOC＋①NGO﹣①ADF=12α＋γ﹣α =γ﹣12α，即2γ=2①ENG+α，①①ENM=180°＋α﹣(2①ENG+α)= 180°﹣2①ENG ． 【点睛】本题考查了平移变换，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．综合与实践如图①，已知直线33y x =+与x 轴，y 轴分别交于B ，A 两点以B 为直角顶点在第二象限内部作等腰Rt ABC ，完成下列任务：（1）点C 的坐标为______________； （2）求直线AC 的关系式；（3）如图①，直线AC 交x 轴于M ，点()3,P a -是线段BC 上一点，在线段BM 上是否存在一点N ，使直线PN 平分BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(4,1)C -；（2）132=+AC y x ；（3）存在，19(,0)4-N 【分析】（1）如图1，作CQ①x 轴，垂足为Q ，利用等腰直角三角形的性质证明①ABO①①BCQ （AAS ），根据全等三角形的性质求OQ ，CQ 的长，确定C 点坐标； （2）由待定系数法，即可求出答案；（3）依题意确定P 点坐标，可知①BPN 中BN 边上的高，再由S ①PBN =12S ①BCM ，求BN ，进而得出ON ．【详解】解：（1）①33y x =+,令x=0，则y=3，令y=0，则x=1-， ①点A 为（0，3），点B 为（1-，0）， ①OA=3，OB=1；如图，作CQ①x 轴，垂足为Q ，①①OBA+①OAB=90°，①OBA+①QBC=90°， ①①OAB=①QBC ，又①AB=BC ，①AOB=①Q=90°， ①①ABO①①BCQ （AAS ），①BQ=AO=3，OQ=BQ+BO=4，CQ=OB=1， ①C （-4，1）；（2）设直线AC 的解析式为：AC y kx b =+， 由A （0，3），C （4-，1）可知，341b k b =⎧⎨-+=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ①直线AC ：132=+AC y x ； （3）如图，①点B （1-，0），点C （-4，1）， 直线BC ：1133y x =--， ①()3,P a -是线段BC 上一点， ①23,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由132=+AC y x 知，点M 为（-6，0）， ①BM=5，则S ①BCM =52．设点N （n ，0），且点N 在线段BM 上，则BN=1n --， 假设存在点N 使①BPN 面积等于①BCM 面积的一半， 则12BN•y P =12×52， ①125(1)234n ⨯--⨯=， 解得：194n =-，①点N 的坐标为（194-，0）； 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．5．小南根据学习函数的经验，对函数|2|y a x b =-+的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：请按要求完成下列各小题：（1）该函数的解析式为 ，自变量 x 的取值范围为 ； （2）n 的值为 ；点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭该函数图象上；（填“在”或“不在”） （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为 坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，解决问题： ①写出该函数的一条性质： ； ①如图，在同一坐标系中是一次函数1133y x =-+的图象，根据象回答，当11|2|33a xb x -+<-+时，自变量 x 的取值范围为 ．【答案】（1）23y x =--；全体实数；（2）-3；不在；（3）见解析；（4）①函数有最小值为-3；①24x -<< 【分析】（1）把x=-4，y=3；x=-3，y=2代入2y a x b =-+得到二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值，即可求出解析式；自变量 x 没有限制，为全体实数； （2）把x=2代入（1）中的解析式，可求出n 的值；把x=12代入（1）中的解析式，可求出y 的值，即可判断点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在不在该函数图象上； （3）描点，顺次连接即可画出该函数的图象；（4）①观察图象即可得到函数的最小值；①根据图象即可求出11|2|33a xb x -+<-+时x 的取值范围．解：（1）把x=-4，y=3；x=-3，y=2代入2y a x b =-+， 得423322a b a b ⎧--+=⎪⎨--+=⎪⎩， 解得，13a b =⎧⎨=-⎩， ①该函数的解析式为23y x =--；自变量 x 的取值范围为全体实数； 故答案是：23y x =--；全体实数；（2）在23y x =--中，当x=2时，3y =-，①n=-3．当x=12时，32y =-， ①点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭不在函数23y x =--的图象上； 故答案为：-3；不在；（3）该函数的图象如图：（4）①从图象可以看出，该函数有最小值为-3；故答案为：函数有最小值为-3；①从图象可以看出，当24x -<<时23y x =--的图象位于1133y x =-+的图象的下方， ①当11|2|33a xb x -+<-+时，自变量 x 的取值范围为24x -<<． 故答案为：24x -<<．本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象求不等式的解集，正确画出函数的图象是解题的关键．6．如图1，已知①ABC中，①ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（1）求BD的长度；（2）如图2，将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；①连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（3）如图3，将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A'CD'，若点M为AC 的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．【答案】（1）﹣；（2）﹣；①45°或225°；（3）＋3【分析】（1）过点C作CH①AB于H，由等腰直角三角形的性质可得CH＝BH＝12AB，由勾股定理求出DH，则可求出答案；（2）①由旋转的性质可得CD＝CD'＝①DCD'＝30°＝①CDA＝①CD'A'，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得CF＝D'F＝，EF，CE＝2EF＝，即可求解；①分两种情况讨论，由“SSS”可证①A'CD①①BCD'，可得①A'CD＝①BCD'，即可求解；（3）当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，即可求解．解：（1）如图1，过点C 作CH①AB 于H ，①①ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，CH①AB ，①AB ＝CD ＝，CH ＝BH ＝12AB ＝，①CAB ＝①CBA ＝45°，①DH ==①BD ＝DH ﹣BH ＝﹣；（2）①如图2，过点E 作EF①CD'于F ，①将①ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A′CD′，①CD ＝CD'＝，①图1中CD=2CH ，①①DCD'＝30°＝①CDA ＝①CD'A'，①CE ＝D'E ， 又①EF①CD'，①CF ＝D'F ＝EF=CE ＝2EF ＝，①DE ＝DC ﹣CE ＝﹣；①如图2﹣1，①①ABC＝45°，①ADC＝30°，①①BCD＝15°，①①ACD＝105°，①将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A′CD′，①AC＝A'C，CD＝CD'，①ACA'＝①DCD'＝α，①CB＝CA'，又①A′D＝BD′，①①A'CD①①BCD'（SSS），①①A'CD＝①BCD'，①105°﹣α＝15°＋α，①α＝45°；如图2﹣2，同理可证：①A'CD①①BCD'，①①A'CD＝①BCD'，①α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，①α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（3）如图3，当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，①①A'＝45°，A'D'①AC ，①①A'＝①NCA'＝45°，①CN ＝A'N ＝，①点M 为AC 的中点，①CM ＝12AC ＝3，①MN 的最小值＝NC ﹣CM ＝﹣3；如图4，当点A ，点C ，点D'共线，且点N 与点D'重合时，MN 有最大值，此时MN ＝CM ＋CN ＝＋3，①线段MN 的取值范围是﹣＋3．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质是解题的关键．7．如图，ABC 中，CD AB ⊥于点 D ，CD BD =，点 E 在CD 上，DE DA =，连接BE ．（1）求证：BE CA =；（2）延长BE 交AC 于点F ，连接DF ，求CFD ∠的度数；（3）过点C 作CM CA ⊥，CM CA =，连接BM 交CD 于点N ，若12BD =，5AD =，直接写出NBC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）①CFD =135°；（3）①NBC 的面积为21．【分析】（1）由“SAS ”可证①BDE ①①CDA ，可得BE =CA ；（2）过点D 作DG ①AC 于G ，DH ①BF 于H ，由全等三角形的性质可得①DBE =①ACD ，S ①BDE =S ①ADC ，由面积关系可求DH =DG ，由角平分线的性质可得①DFG =①DFH =45°，即可求解；（3）在CD 上截取DE =AD =5，连接BE ，延长BE 交AC 于F ，由①BEN ①①MCN ，可得EN =CN ，由三角形的面积公式可求解．【详解】证明（1）在①BDE 和①CDA 中，90BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①BDE ①①CDA （SAS ），①BE =CA ；（2）如图2，过点D 作DG ①AC 于G ，DH ①BF 于H ，①①BDE ①①CDA ，①①DBE =①DCA ，S ①BDE =S ①ADC ，①①DBE +①A =①ACD +①A =90°，①①AFB =①CFB =90°，①S ①BDE =S ①ADC ， ①1122BE DH AC DG ⨯=⨯⨯， ①DH =DG ，又①DG ①AC ，DH ①BF ，①①DFG =①DFH =45°，①①CFD =135°；（3）如图3，在CD 上截取DE =AD =5，连接BE ，延长BE 交AC 于F ，由（1）、（2）可得BE =AC ，BF ①AC ，BD =CD =12，①CM ①CA ，①BF ①CM ，①①M =①FBN ，①CM =CA ，①CM =BE ，在①BEN 和①MCN 中，FBN M BNE MNC BE CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEN ①①MCN （AAS ），①EN =CN ，①EC =CD -DE =12-5=7， ①72CN =，①①NBC的面积1171221 222NC BD=⨯⨯=⨯⨯=，故①NBC的面积为21．【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．8．某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/吨和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．【答案】（1）大货车用8辆，小货车用10辆；（2）w=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；（3）使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．【分析】（1）根据大、小两种货车共18辆，以及两种车所运的货物的和是192吨，据此即可列方程或方程组即可求解；（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式；（3）根据运往甲地的物资不少于96吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据（2）中的函数关系，即可确定w的最小值，确定运输方案．【详解】（1）设大货车用x 辆，则小货车用（18﹣x ）辆，根据题意得：14x +8（18﹣x ）=192，解得：x =8，18﹣x =18﹣8=10．答：大货车用8辆，小货车用10辆．（2）设运往甲地的大货车是a ，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a ），运往甲地的小货车是（10﹣a ），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a ），w =720a +800（8﹣a ）+500（10﹣a ）+650[10﹣（10﹣a ）]=70a +11400（0≤a ≤8且为整数）；（3）14a +8（10﹣a ）≥96，解得：a ≥83． 又①0≤a ≤8，①3≤a ≤8 且为整数．①w =70a +11400，k =70＞0，w 随a 的增大而增大，①当a =3时，W 最小，最小值为：W =70×3+11400=11610（元）．答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．9．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．（3）如图①，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，3BC =+D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．【答案】（1）CE①BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 2=+【分析】（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）CE 与BD 位置关系是CE①BD ，数量关系是CE=BD①ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △①DAE 90BAC ∠=∠=︒①D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠①D CAE BA ∠=∠①BA=CA ，AD=AE①ABD ACE ≅①ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD①ACB 45B ∠=∠=︒①ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE①BD故答案为：CE①BD ；CE=BD ；（2）如图①，把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ，连接DG ，则ACE ABG ≅①AG=AE ，BG=CE ，ABG ACF 45∠=∠=︒①BAC 90∠=︒，GAE 90∠=︒①GAD DAE 45∠=∠=︒在ADG 和ADE 中，AG AE GAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ADG ADE ≅①ED=GD①GBD 90∠=︒①222BD BG DG +=即222BD EC DE +=（3）如图①，把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，①AEC AFB ≅①AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒①CAB 120∠=︒，AB=AC①ABC ACB ABF 30∠=∠=∠=︒①FBD 60∠=︒①EAF 120∠=︒，EAD 60∠=︒①DAE DAF 60∠=∠=︒，且AF=AE ，AD=AD①ADE ADF ≅①DF=DE①以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形①以BD 、DF 、BF 为边的三角形是直角三角形①BDF 是直角三角形若BDF 90∠=︒，且FBD 60∠=︒①BF=2BD=EC ，DF DE ==①(BC BD DE EC BD 2BD 33BD =++=+==①BD 1=①DE =①BE BD DE 1=+=+若BFD 90∠=︒，且FBD 60∠=︒①BD=2BF=2EC ，DF DE ==①(BC BD DE EC 2BF BF 33BF =++=+==①BF 1=①BD=2，DE =①BE 2=+【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
初二数学期中压轴题集
初二数学期中压轴题集题目1：已知函数\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)，求\(f(x)\)在区间[-2, 2]上的最大值和最小值。
题目2：已知等差数列\(a_n\)的首项\(a_1 = 1\)，公差\(d = 2\)，求第10项\(a_{10}\)的值。
题目3：解方程\(2x^2 - 5x + 3 = 0\)。
题目4：已知\(a^2 + 2ab + b^2 = 0\)，求\(a\)和\(b\)的关系。
题目5：计算下列代数式的值：\(3(2x + 1)^2 - 4(2x + 1) + 5\)。
题目6：已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)的两个根，求\(a^2 + b^2\)的值。
题目7：求函数\(f(x) = \sqrt{x^2 - 1}\)在区间[-1, 1]上的值域。
题目8：已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)的两个根，求\(a^2 - b^2\)的值。
题目9：解不等式\(2x - 3 > 5\)。
题目10：已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)的两个根，求\(a^3 + b^3\)的值。
题目11：已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)的两个根，求\(a^4 + b^4\)的值。
题目12：已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)的两个根，求\(a^5 + b^5\)的值。
题目13：已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)的两个根，求\(a^6 + b^6\)的值。
题目14：已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)的两个根，求\(a^7 + b^7\)的值。
题目15：已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)的两个根，求\(a^8 + b^8\)的值。
八年级下数学期中考试各区压轴题
1、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C ＝90°，点P 为△ABC 外一点，C P ＝2，B P ＝3，A P 的最大值是（）A．32+B．4C．5D．232、在平行四边形ABCD 中，已知∠B ＝30°，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，连接B ′D(1)如图1，若AB ＝3，∠AB ′D ＝75°，则∠ACB ＝__________°(2)如图2，AB ＝32，BC ＝1，AB ′与CD 相交于点E ，求△AEC 的面积(3)已知AB ＝32，当BC 的长为多少时，△AB ′D 是直角三角形？3、已知直线AB 分别交x 、y 轴于A (a ，0)、B 两点，C (c ，4)为直线AB 上且在第二象限内一点，若aa c 8161622=++-(1)如图1，求A 、C 点的坐标(2)如图2，直线OM 经过O 点，过C 作CM ⊥OM 于M ，CN ⊥y 轴于点N ，连MN ，求MN MC MO +的值(3)如图3，过C 作CN ⊥y 轴于点N ，G 为第一象限内一点，且∠NGO ＝45°，试探究GC 、GN 、GO 之间的数量关系并说明理由4、如图，∠MON ＝15°，点P 是∠MON 内部一定点，且OP ＝10，点E 、F 分别是OM 、ON 上两动点，则△PEF 的周长的最小值是（）A．10B．35C．)26(5-D．3105、已知在△ABC 中，AF 、BE 分别是中线，且相交于点P ，记AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，如图(1)求证：AP ＝2PF ，BP ＝2PE(2)如图(2)，若AF ⊥BE 于P ，试探究a 、b 、c 之间的数量关系(3)如图(3)，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别是AD 、BC 、CD 的中点，BE ⊥EG ，AD ＝45，AB ＝6，求AF 的长6、如图，四边形OABC 的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A (0，a )，B (b ，a )，C (b ，0)，又a 、b 满足8422144=+++---b b a a ．点P 在x轴上且横坐标大于b ，射线OD 是第一象限的角平分线，点Q 在射线OD 上，BP ＝PQ ，并连接BQ 交y 轴上于点M (1)求点B 的坐标(2)求证：BP ⊥PQ(3)若点P 在x 轴的正半轴上，且OP ＝3AM ，试求点M 的坐标7、如图，△ABC 中，AB=AC=3，AD=1，则BD·DC=__28、如图，正方形ABCD 中，AB=8，M 在DC 上，DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为_______10_____9、已知，四边形ABCD 中，AB=8，BC=2，CD=6，DA=2，M、N 分别为AD、BC 的中点，当MN 取得最大值时，∠D=_____120°_______10、平面直角坐标系中，正方形OEFG 的顶点在坐标原点。
解答题压轴题训练(四)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(人教版)
2021年八下期中考试金牌解答题压轴题训练（四）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、解答题1．观察下列等式：1 ========回答下列问题：（1（2；（3…．【答案】（1（2（3）1【分析】（1）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；（2）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；（32121121n nn n，化简求值即可．【详解】（1257575222757552775=（222121212121n n n n n2222212121n n n n22212121n n n n22221n n2121n n（3）由（22121121n n n n53757573=15375757331537573717573175531【点睛】本题考查了利用平方差公式对二次根式进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键． 2．（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a )，B(a ，0)(a >0)．C 为线段AB 的中点，CD⊥x 轴于D ，若⊥AOB 的面积为2，则⊥CDB 的面积为 ．（2）如图2，⊥AOB 为等腰直角三角形，O 为直角顶点，点E 为线段OB 上一点，且OB ＝3OE ， C 与E 关于原点对称，线段AB 交x 轴于点D ，连CD ，若CD⊥AE ，试求ADDB的值．（3）如图3，点C 、E 在x 轴上，B 在y 轴上，OB ＝OC ，⊥BDE 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB 、ED 交于点A ，CD 交y 轴于点F ，试探究：CO EOBF-是否为定值?如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．【答案】（1）12；（2）2AD DB =；（3）是定值，2CO EO BF-=． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得12DC BD a ==，分别表示∴AOB 和∴CDB 的面积，根据∴AOB 的面积为2即可得出结论；（2）连接AC ，作DM∴BC ，与BC 交于M ，证明∴ACO∴∴DCM 可得OE=CO=DM=MB ，设它们为m ，从而可得OB=3m ，借助勾股定理和线段的和差分别表示AD 和BD ，即可得出它们的比值；（3）作DN∴OB ，交y 轴与N ，证∴ACO∴∴DCM 和∴COF∴∴DNF 全等，借助全等三角形的性质和线段的和差可得2F C E B O O -=，由此可得结论． 【详解】解：（1）∴A(0，a )，B(a ，0)，∴AO=OB=a ，∴ABO=45°，， ∴C 为线段AB 的中点，∴122BC AB ==， ∴CD∴x 轴，∴∴CDB=90°，∴DCB=90°-∴ABO=45°， ∴DC=BD ，∴222DC DB BC +=，∴12DC BD a ==， ∴∴AOB 的面积为2，即2122a =， ∴2111111222422CDB S a a a ∆=⋅⋅=⋅=， 故答案为：12； （2）如下图连接AC ， ∴C 与E 关于原点对称， ∴CO=OE ，∴∴AOB 为等腰直角三角形， ∴∴OAB=∴B=45°，AO∴CB ， ∴∴EAO+∴AEC=90°，AC=AE ， ∴∴CAO=∴EAO ， ∴AE∴CD ，∴∴BCD+∴AEC=90°， ∴∴CAO=∴EAO=∴BCD ，∴∴ADC=∴BCD+∴B ，∴CAB=∴CAO+∴OAB, ∴∴ADC=∴CAB ， ∴AC=CD ，作DM∴BC ，与BC 交于M ，∴∴DMC=90°，∴∴MDB=∴B=45°，∴DM=MB，在∴ACO和∴DCM中，∴DMC AOCCAO BCDAC CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∴ACO∴∴DCM（AAS）,∴OE=CO=DM=MB，∴OB＝3OE，设OE=CO=DM=MB=m，∴OB＝3OE，∴OA=OB=3m，∴,BD AB====，∴AD=，∴2ADDB==；（3）是定值，作DN∴OB，交y轴与N，∴∴DNB=∴BOE=∴BOC=90°， ∴∴DBN+∴NBD=90°， ∴∴BDE 为等腰直角三角形， ∴∴DBN+∴OBE=90°，BD=BE ， ∴∴NBD=∴OBE ， 在∴NBD 和∴OEB 中∴90NBD OBE DNB BOE BD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴∴NBD∴∴OEB （AAS ）， ∴ND=OB=OC ，NB=OE ， 在∴COF 和∴DNF 中∴90CFO NFD DNB BOC CO ND ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴∴COF∴∴DNF （AAS ）， ∴NF=OF ，∴OE BN NF BF OF BF ==-=-,OC OB OF BF ==+, ∴()2F CO E OF BF O O F BF B +-=--=，∴2CO EOBF-=．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形，全等三角形的性质和判定等．能正确作出辅助线，构造全等三角形建立线段之间的联系是解题关键． 3．在平面直角坐标系中点A 、B 的坐标分别为()0,A a ，(),0Bb ．（1）如图1，若点C 、B 关于y 轴对称，126CAB ∠=︒，请直接写出ABC ∠的度数ABC ∠=___________；（2）如图2，点D 的坐标为()1,2D c a b c ⎛⎫< ⎪⎝⎭，ADO ABO ∠=∠，试用字母b 、c 表示线段AB 的长；（3）如图3，点D 的坐标为()(),0D a a b <，且EA ED EB EF ===，点F 的坐标分别为(),F m m ，试用字母a 、b 、m 表示线段AB 的长． 【答案】（1）27°；（2）AB=2c －b ；（3）2AB m a b =-- 【分析】（1）由点C 、B 关于y 轴对称可得AB=AC ，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；（2）作辅助线如图，易得DE 是∴AOG 的中位线，可得AD=DG ，根据直角三角形的性质可得AD=OD=DG ，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和以及等量代换可得∴BAD=∴BGD ，从而可得AB=BG ，进一步即可求出答案；（3）连接OE ，作EG∴DB 于G ，EH∴x 轴于H ，如图，易证O 、E 、F 三点共线，设E （n ，n ），根据两点间的距离公式可得)EF m n =-，由等腰三角形的性质可推出2a bn +=，然后在Rt∴BEG 中，由勾股定理结合上述结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∴点C 、B 关于y 轴对称， ∴AB=AC ， ∴126CAB ∠=︒， ∴ABC ∠=1801801262722CAB ︒-∠︒-︒==︒；故答案为：27°；（2）延长AD 交x 轴于点G ，作DE∴y 轴于E ，DF∴x 轴于F ，如图， ∴()1,2D c a b c ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴OE=DF=12a ，DE∴OG ，∴OA=a ， ∴AE=OE=12a ， ∴DE 是∴AOG 的中位线， ∴AD=DG ， ∴AD=OD=DG ， ∴∴DOG=∴DGO ，∴∴ADO=∴ABO ，∴AHD=∴OHB ， ∴∴DAB=∴DOG ， ∴∴BAD=∴BGD ， ∴AB=BG ，∴DO=DG ，DF∴x 轴， ∴OG=2OF=2c ，又∴OG=OB+BG=b+AB=2c ， ∴AB=2c －b ；（3）连接OE ，作EG∴DB 于G ，EH∴x 轴于H ，如图，∴EA=ED ，OA=OD=a ，OE=OE ， ∴∴AOE∴∴DOE ， ∴∴AOE=∴DOE=45°， ∴OE 平分∴AOD ， ∴(),F m m ，∴F 在∴AOD 的平分线上， ∴O 、E 、F 三点共线，设E （n ，n ），则)EF m n ==-，∴ED=EB ，EG∴DB ，∴DG=BG ，即n －a=b －n ，可得2a bn +=， 在Rt∴BEG 中，由勾股定理得()222222222222a b a b a b BE BG EG n b n +-+⎛⎫⎛⎫=+=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴222AB a b =+，∴()222222AB BE EF m n ===-，∴()222442a b AB m n m +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴2AB m a b =--． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理以及整式的乘法运算等知识，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．4．阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：==><再例如：求y=的最大值．做法如下：解：由20,20x x+≥-≥可知2x≥，而y==当2x=2，所以的最大值是2．解决下述问题：（1）比较4和（2）求y=【答案】（1）4<；（2）y的最大值为21．【分析】（1）利用分子有理化得到4=然后比较4和的大小即可得到4与（2）利用二次根式有意义的条件得到01x ，而y 利用当0x =时，有最大值11得到所以y 的最大值；利用当1x =时，10得到y 的最小值．【详解】解：（1）4==，=，而>4>4∴>4∴<（2）由10x -，10x +，0x 得01x ，y =+∴当0x =11，所以y 的最大值为2；当1x =有最大值，1，0，所以y 1．【点睛】 本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．5．已知：在⊥ABC 中，CA =CB ，⊥ACB =90º，D 为⊥ABC 外一点，且满足⊥ADB =90°． （1）如图1，若2AC =，AD =1，求DB 的长．（2）如图1，求证：DA DB +=．（3）如图2所示，过C 作CE ⊥AD 于E ，BD =2，AD =6，求CE 的长．【答案】（1）DB=（2）见解析；（3）2【分析】（1）在Rt∴ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt∴ABD中，根据勾股定理，得DB=；（2）过C点作CF∴CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；（3）过C点作CF∴CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．【详解】（1）解：在Rt∴ABC中，∴CA CB==∴2AB=，∴在Rt∴ABD中，DB==（2）证明：如图，过C点作CF∴CD交DB的延长线于点F．∴∴ACB=∴DCF=90°，∴∴ACD=∴BCF，∴∴CAD+∴CBD=360°－(∴ACB+∴ADB)=180°，∴CBF+∴CBD=180°，∴∴CAD=∴CBF，又∴CA=CB，∴∴CAD∴∴CBF(ASA)，∴CD=CF，AD=BF，∴DF=，∴DF=DB+BF=DB+DA，∴DA DB+=．（3）解：如图，过C点作CF∴CD交AD与F点，∴∴ACB=∴DCF=90°，即∴ACF+∴BCF=∴BCD+∴BCF=90°，∴∴ACF=∴BCD，∴∴AFC=∴FCD+∴CDA=90°+∴CDA，∴CDB=∴CDA+∴ADB=90°+∴CDA，∴∴AFC=∴CDB，又∴CA=CB，∴∴CAF∴∴CBD(AAS)，∴CF=CD，AF=BD，∴∴CDF是等腰直角三角形，又∴CE∴AD，∴E为DF中点，∴AD=6，AF=BD=2，∴FD=AD－AF=4，∴122CE DF==．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.6．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，点B（4，3），E，F分别为OA，BC边上的中点，动点P从点E出发以每秒2个单位速度沿EO方向向点O运动，同时，动点Q从点F出发以每秒1个单位速度沿FB方向向点B运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止．连接EF、PQ，且EF与PQ相交于点M，连接AM．（1）求线段AM的长度；（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，连接CH，求线段CH长度的最小值．【答案】(1)【分析】(1)证明∴FMQ∴∴EMP，且相似比为1=2=FM FQME PE，由EF=3求出FM=1，ME=2，再在Rt∴MEA中，由勾股定理即可求出AM的长度；(2)连接AM，取MA中点I，只要C、H、I，此时会形成∴ICH，根据三角形两边之差小于第三边可知，CH>IC-IH，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，由此即可求解．【详解】解：(1)∴BC∥OA，∴∴FQM=∴EPM，且∴FMQ=∴EMP，∴∴FQM∴∴EPM，设运动时间为t，则FQ=t，PE=2t∴1=2=FM FQME PE，又FE=3，∴FM=1，ME=2，又E为OA的中点，∴EA=OE=2，∴在Rt∴MEA中，===MA故答案为：(2)如下图所示，连接AM，取AM中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，否则构成∴ICH，三角形两边之差小于第三边CH，过I点作IN∴BC于N，连接IH，∴FM ∥IN ∥AB ，且I 是AM 的中点，∴IN 是梯形MFBA 的中位线，∴IN=11()(13)222+=+=MF AB ，112==FN FB ,在Rt∴CIN 中，由勾股定理：CI又I 为直角∴AHM 斜边AM 上的中点，∴111222=====IH IM MA∴当C 、H 、I 三点共线时，CH 有最大值为=-=CH CI IH【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，梯形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形两边之差小于第三边等知识点，具有一定的综合性，熟练掌握各性质是解决本题的关键．7．阅读下列材料，然后回答问题．⊥一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：===1)2=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．⊥学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1+...（2）已知 m 是正整数， a，b 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ．（31=【答案】（1）12-；（2）2；（3）9 【分析】（1）先将式子的每一项进行分母有理化，再计算即可；（2）先求出,a b ab +的值，再用换元法计算求解即可；（31=的值，再对【详解】解：（1）原式12019+2222=+++12019122+++==（2）∴a ，b∴2(21),1a b m ab +==+= ∴2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴222()18232019a b ++=∴2298a b +=∴24(21)100m +=∴251m =±-∴m 是正整数∴m=2．（31=得出21=20=∴2281=+=0≥≥9=．【点睛】本题考查的知识点是分母有理化以及利用换元思想求解，解此题的关键是读懂题意．理解分母有理化的方法以及利用换元方法解题的方法．8．已知ABC 中，60BAC ∠=︒，以AB 和BC 为边向外作等边ABD △和等边BCE ．（1）连接AE 、CD ，如图1，求证：AE CD =；（2）若N 为CD 中点，连接AN ，如图2，求证：2CE AN =；（3）若AB BC ⊥，延长AB 交DE 于M ，DB =3，则BM = ．（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2． 【分析】（1）由等边ABD △和等边BCE ．AB=DB ，BC=BE ，可推得∴ABE=∴DBC ，可证(SAS)ABE DBC △≌△由性质AE CD =即可；（2）延长AN 使NF AN =，连接FC ，由N 为CD 中点，可得CN=DN ，可证(SAS)ADN FCN △≌△，可得CF AD AB ==，NCF NDA ∠=∠，可求∴DAC=120°，可推出60ACF ∠=︒，可证(SAS)ABC CFA ≌，由性质得2CE BC AF AN ===即可；（3）过E 作EG∴BE ，交AM 延长线于G 由AB BC ⊥，60BAC ∠=︒，DB =∴EBM =30°，求得∴G==60°=∴CAB ，可证∴CAB∴∴BGE （AAS ）由性质得GE=AB=DB =，利用30°角的直角边与斜边关系得，再证∴AD∴∴GME （AAS ），得AM=GM 可求得BG=即可．【详解】（1）证明：∴等边ABD △和等边BCE ．AB=DB ，BC=BE ，∴ABD=∴CBE=60°，∴∴ABD+∴ABC=∴CBE+∴ABC ，∴∴ABE=∴DBC ，(SAS)ABE DBC △≌△，AE CD ∴=；（2）延长AN 使NF AN =，连接FC ，∴N 为CD 中点，∴CN=DN ，又∴AND=∴FNC ，(SAS)ADN FCN △≌△，CF AD AB ∴==，NCF NDA ∠=∠，∴60BAC ∠=︒，∴DAB=60°，∴∴DAC=120°，∴60ACF ACD NCF ACD ADN ∠=∠+∠=∠+∠=︒，BAC ACF ∴∠=∠，∴AC=CA ，(SAS)ABC CFA ≌，2CE BC AF AN ∴===；（3）过E 作EG∴BE ，交AM 延长线于G ，∴AB BC ⊥，60BAC ∠=︒，DB =，，由勾股定理得：=∴∴EBM=180°-∴ABC -∴CBE=30°，∴∴G=180°-∴GBE -∴BEG=60°=∴CAB ，∴BC=EB ，∴∴CAB∴∴BGE （AAS ），∴GE=AB=DB =，∴∴DAM=60°=∴G ，又∴∴AMD=∴GME ，∴∴AD∴∴GME （AAS ），∴AM=GM ，∴GM=AB+BM ，，，∴2BM =．故答案为：2．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段中点，线段和差，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理应用，线段中点，线段和差计算是解题关键．9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心．（1）写出一种你学过的和美四边形________；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG OH 、、、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若3,2,4AB BC CD ===，求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3＝S2+S4；（4【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直解答；（2）根据矩形的判定定理解答；（3）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答；（4）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可．【详解】解：（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，故选：A．（3）由和美四边形的定义可知，AC∴BD，则∴AOB＝∴BOC＝∴COD＝∴DOA＝90°，又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴∴AOE的面积＝∴BOE的面积，∴BOF的面积＝∴COF的面积，∴COG的面积＝∴DOG的面积，∴DOH的面积＝∴AOH的面积，∴S1+S3＝∴AOE的面积+∴COF的面积+∴COG的面积+∴AOH的面积＝S2+S4；（4）如图2，连接AC、BD交于点O，则AC∴BD，∴在Rt∴AOB中，AO2＝AB2-BO2，Rt∴DOC中，DO2＝DC2-CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，即可得AD．【点睛】本题考查的是和美四边形的定义、矩形的判定、勾股定理的应用，正确理解和美四边形的定义、掌握矩形的判定定理是解题的关键．。
八年级下期期中考试数学压轴题训练
八年级下期期中考试数学压轴题专题一、最短路径问题(化折为直）1.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 为边BC 的中点，点P 在对角线BD 上 移动，则PE +PC 的最小值是__________2.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，M 、N 分别是BC 、CD 上的动点，P 是线段BD 上的一个动点，则PM +PN 的最小值是________3. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABC ＝60°，点E 在AD 上，且AE ＝2， 点P 是对角线BD 上的一个动点，则PE +P A 的最小值是 ．4.矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为 ．5.如图，等边△ABC 中，AB ＝10，点E 为AC 中点，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +BD 的最小值是 ．6.如图，已知菱形ABCD 的边长为，点M 是对角线AC 上的一动点，且∠ABC ＝120°，则∠DAC ＝ °，MA +MB +MD 的最小值是 ．7. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）.当M 点在何处时，AM +CM 的值最小；（2）.如图②，当M 点在何处时，AM +BM +CM 的值最小，请你画出图形，并说明理由．第1题图 第2题图 第3题图 第4题图第5题图 第6题图二、求线段的最值（垂线段最短）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 为AB 边上（不与A 、B 重合的一动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，则线段EF 的最小值是 ．2.如图，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时点B 的坐标为 ．3.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作CG ∥AB ，交HM 的延长线于点G ，若AC ＝8，AB ＝6，则四边形ACGH 周长的最小值是4.（代数新定义）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标都是整数的点称为“中国结”．直线y ＝x ﹣3与y ＝kx +k （k 为整数）交于一点．（1）求直线y ＝kx +k 与x 轴的交点坐标；（2）如图，定点A （﹣5，0），动点B 在直线y ＝x ﹣3上运动．当线段AB 最短时，求出点B 的坐标，并判断点B 是否为“中国结”；（3）当直线y ＝x ﹣3与y ＝kx +k 的交点为“中国结”时，求满足条件的k 值．第1题图第2题图 第3题图三、正方形中的纯几何问题1.（正方形中的旋转）已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若，PB ＝10，下列结论： ①△APD ≌△AEB ；②∠AEB ＝135°；③；④S △APD +S △APB ＝33；⑤CD ＝11．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②③④B ．①④⑤C ．①②④D ．③④⑤2.如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C 的距离分别为2、1、，则正方形ABCD 的面积为 ．3.（正方形中的半角模型）如图，平面直角坐标系中，正方形OBAC的顶点A 的坐标为（8，8），点D ，E 分别为边AB ，AC 上的动点，且不与端点重合，连接OD ，OE ，分别交对角线BC 于点M ，N ，连接DE ，若∠DOE ＝45°，以下说法正确的是 （填序号）．①点O 到线段DE 的距离为8；②△ADE 的周长为16；③当DE∥BC 时，直线OE 的解析式为y ＝x ； ④以三条线段BM ，MN ，NC 为边组成的三角形是直角三角形．4.如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，且BG ＝CG ，连接AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②∠EAG ＝45°；③CE ＝2DE ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC ＝．其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5.（正方形中的十字架）如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F 分别为CD、BC的中点，AE和DF相交于点G；如图2所示，将图1中边长为4的正方形ABCD折叠，使得点D落在边BC的中点D'处，点A落在点A'处，折痕为MN．现有四个结论：图1中：①AE＝DF；②AE⊥DF；③DG＝；图2中：④MN＝2．其中正确的结论有：．（填序号）6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且BE＝DF＝t，连接EF，AC，相交于点O，G为对角线AC延长线上一点．（1）求证：△AEF是等腰三角形．（2）当t为何值时，△AEF的周长比△EFC的周长大8．（3）当四边形AEGF为菱形时，设△AEF的面积为S1，△GFC的面积为S2，求S1﹣S2关于t的函数解析式，并写出当∠EAF＝60°时，S1﹣S2的值．7.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．8.（正方形中的外角角平分线）已知如图，M为正方形ABCD边AB上一点，P为边AB延长线上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．（1）求证：DM＝MN；（2）求证：EM∥CN．四、函数图像问题（数形结合）1.如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB∥y轴．直线M：y＝﹣x沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离a之间的函数图象如图②，那么矩形ABCD的面积为（）A．10B．12C．15D．182.如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣1|的图象由一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成．根据前面所讲内容，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（）A．﹣3B．﹣5C．7D．﹣3或﹣5五、分类讨论1.函数的值域．函数y＝2x定义域为[1，2]时，其值域为[2，4]．（1）若一次函数y＝﹣x+3，定义域为[﹣6，2]时，求这个函数的值域．（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0），定义域为[2，3]时，它的值域为[3，5]，求这个一次函数解析式．2.一次函数y＝2x+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则b的值为（）A．2B．﹣2或C．D．2或﹣23.数学中，定义符号max{m，n}表示两个数中的最大值，如max{1，2}＝2，max{3，3}＝3，现有函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}，请回答如下问题：（1）①当x＝﹣1时，函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}的函数值y＝；②当x＝1时，函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}的函数值y＝；③当x＝3时，函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}的函数值y＝；（2）求函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}的解析式．（3）在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），函数y＝kx+1（k为常数，且0＜k＜2）与函数y＝max{﹣x+1，2x﹣2}相交于不同两点B（0，1）、C，分别记△OAC，△OBC的面积为S1、S2，且有S1﹣S2＝2，求k的值．4.对于平面直角坐标系xOy中的点P（x，y），若x，y满足|x﹣y|＝1，则点P（x，y）就称为“绝好点”．例如：（5，6），因为|5﹣6|＝1，所以（5，6）是“绝好点”．（1）点M（3，2）“绝好点”；点N（﹣2，3）“绝好点”（填“是”或“不是）；（2）已知一次函数y＝2x+m（m为常数）图象上有一个“绝好点”的坐标是（2，3），一次函数y＝2x+m（m为常数）图象上是否存在其他“绝好点”？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由；（3）点A和点B为一次函数y＝2x+a（a为常数且a＜﹣2）图象上的两个“绝好点”，点Q在x轴上运动，当QA+QB最小时，求点Q的坐标．（用含字母a 的式子表示）六、存在性问题（分类讨论）1.如图，直线y＝﹣x+与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为2.如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为．3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点A，O，C在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC所在直线的解析式为y＝kx﹣4k（k≠0）．（1）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE＝1，求直线EF的解析式；（2）在（1）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．七、代数几何综合题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，点B是y轴正半轴上的一点，且位于C点下方，当∠CAB＝∠BAO时，则点B的纵坐标是（）A．B．C．D．2.如图1所示，在平面直角坐标系中，动点A（0，a），B（b，0）分别在y轴、x轴的正半轴上，射线AC、BC是△OAB的两条外角平分线，且它们相交于定点C（3，3）．（1）若点A的坐标为（0，2），求直线AC的解析式；（2）求证：a2+b2＝（6﹣a﹣b）2；（3）在图1中，延长CA、CB分别交x轴、y轴于点D，E，得到的图形如图2所示．试探究△ODE的面积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．3.在平面直角坐标系中，A（0，8），点B是直线y＝x﹣8与x轴的交点．（1）写出点B的坐标（，）；（2）点C是x轴正半轴上一动点，且不与点B重合，∠ACD＝90°，且CD 交直线y＝x﹣8于D点，求证：AC＝CD；（3）在第（2）问的条件下，连接AD，点E是AD的中点，当点C在x轴正半轴上运动时，点E随之而运动，点E到BD的距离是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由．4.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝mx+m（m＞1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，点Q为x轴上一动点．（1）若OB＝2OA，求直线l的解析式；（2）在（1）的条件下，若∠QBA＝45°，求满足条件的点Q的坐标；（3）如图2，在x轴的负半轴上是否存在点Q，使得以BQ为边作正方形BQMN 时，点M恰好落在直线l上，且正方形BQMN的面积被x轴分成了1：2的两部分？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．5.如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b（其中a＜b）是方程x2﹣6x+8＝0的两个根．（1）求直线AB的解析式；（2）若点M为直线y＝mx在第一象限上一点，当以AB为直角边△ABM是等腰直角三角形时，求m的值；（3）如图3，过点A的直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过N点的直线交AP于点M，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．6．已知一次函数y＝kx+3k（常数k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A点坐标：（2）若该函数当x在﹣1≤x≤2范围内任意取值时，总有y≥﹣2成立，求k 的取值范围；（3）如图，点B在y轴正半轴，且OA＝3OB，C是射线AB上一点，以AC 为对角线作正方形APCQ，点P恰好在y轴上，求出所有符合要求的C点坐标．7如图1，已知平行四边形ABCD，点A的坐标为（1，﹣4），点B的坐标为（7，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点P是平行四边形ABCD边上的一个动点．（1）点C的坐标为，AD的长为．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于x坐标轴对称的点Q落在直线y＝x ﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．七、其他数学思想方法1（特殊到一般）.设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n（n＝1，2，…2008），则S1+S2+…+S2008的值为．2（特殊到一般）．直线y＝kx+k（k为正整数）与坐标轴围成的三角形面积为S k，则S1+S2+…+S100＝．3.（特殊值法）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．4.如图，平行四边形ABCD中，BC＝BD．点F是线段AB的中点．过点C作CG⊥DB交BD于点G，CG延长线交DF于点H．且CH＝DB．（1）如图1，若DH＝1．①求证：△DFB≌△CDH②求FH的值；（2）如图2，连接FG．求证：DB＝FG+HG．。
八年级下压轴 50题(含答案及解析)
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：∠BFC＝∠BEA；
（2）求证：AM＝BG+GM．
9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO＝CG．
（1）若OF＝4，求FG的长；
（2）求证：BF＝OG+CF．
10．（1）如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．
①当t＝秒时，以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形．
②在P点运动过程中，是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣ x+b过点C．
13．如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD＝CM，点F为AB上的点，且∠ECF＝ ∠B．
（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D＝67.5°，求△MCD的面积；
（2）求证：BF＝EF﹣EM．
14．如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝3，OC＝2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．
湖北省武汉市八年级下学期期中数学压轴题整理
）
【答案】 C 【解析】 EF AC ， ①错误 正方形 ABCD 中， BAC 的平分线交 BC 于 E ，作 EF AC 于 F
CE 2 2 EF 2 2 BE 2 ，②正确 FAE BAE ，且 EF EB ABE≌ AFE ， AF AB AB 2 AF 2 ( 2FG )2 2FG2 ，③正确
MCN 45 ， 点 T 为 AB 的中点， 以下结论： ① AB 2 AC ； ② CM 2 TN 2 NC2 MT 2 ；
③ AM 2 BN 2 MN 2 ；④ S S S ，其中正确结论的序号是（ CAM CBN CMN A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①③④ C
6
【答案】 B 【解析】由题意，知 DE 垂直平分 AF ，①错误，②错误（风筝模型）
1 S四边形ADFE AF DE ， ③正确 2
DA DF ， EA EF BDF FEC 2BAF 2 FAE 2 BAC ， ④正确
选 B
（08-09 洪山 12 题） 如图，一架 25 分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端 7 分米，如果梯 子的顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯的底部将平滑（ ） A． 9 分米 B．15 分米 C．5 分米 D． 8 分米
1 1 S EF ， ③正确 ADE S AFDE AD 2 4
AE AF ，且 CE BF ， FB BC ， FA AE CE 2 BE 2 BF 2 BE 2 EF 2 2 AE
选 A
2 AE
2
2
， ④正确。
（10-11 武珞 12 题） 在 Rt ABC 中， ACB 90 ， BC a ， AC b ， AB c ，斜边上的高 CD h， ABE 是以
精选八年级下学期数学期中考试压轴题
精选八年级下学期数学期中考试压轴题1、如图，四边形ABCD的两对角线互相垂直且平分，其交点为O，B、C两点在x轴上其中B、O的坐标分别为（1，0）、（2，1）。
1）求A、C、D的坐标（2）如图2，若点P是线BD上的一点，PE⊥BC于E，M是PD的中点，连AM、EM求证；AM=EM；一个是正确的，请选择正确的结论证明并求值。
2、如所示，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（-2，2）（1）如图1，△ABO为等腰直角在角形，求点B的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，分别以AB、OB为边作等边△ABC和等边△OBD，连OC求∠COB的度数；（3）如图2，过点A作AM⊥y轴于点M，点E为x轴正半轴是一点，K为ME延长线上一点，以MK为直角边作等腰直角△MKJ，∠MKJ=90°，过点A作AN⊥x轴交MJ于点N，请判断正确的结论，并加以证明并求出其值。
3如图1所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y 轴于点B（0，b）且满足（1）如图1，若C的坐标为（-1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求P点的坐标（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°（3）如图3，若点D为 AB 的中点，点M为y轴正半轴上的一动点，连接MD，过D作DN⊥DM，交x轴于N 点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子值是否发生改变？若发生改变，求出式子变化范围；若不改变，求该式子的值。
4、如图1所示，点A、B、C、三点都在坐标轴上，其坐标分别为A（0，3）、B（-1，0）、C（1，0）。
（1）如图2，若过x轴上一点D（-3，0），过D点作DE⊥AC于点E，DE交y轴于点F，求F点的坐标（2）如图3，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于点P（P不同于A、C两点），过P点作直线与AB 的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生改变？若不变，求出它的长度：若变化，确定其变化范围。
八年级数学下册 期中-综合大题必刷(压轴13考点33题)(解析版)
专题08期中-综合大题必刷（压轴13考点33题）一．分式的加减法（共2小题）1．深化理解：阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．∵对于任意x上述等式成立，∴解得：．∴＝x﹣2+．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为x+7+；（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．【答案】（1）x+7+；（2）4或16或2或﹣10．【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．∵对于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝x+7+．故答案为：x+7+．（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，∵对于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝2x+11+．∵x为整数，分式的值为整数，∴为整数，∴x＝4或16或2或﹣10．2．阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．所以，解得．所以＝＝﹣＝3x+1﹣．这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解决下列问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．【答案】（1）以＝2x+5+；（2）27．【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，因此有，解得，所以＝＝2x+5+；（2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，因此有，解得，所以＝＝5x﹣1﹣，所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣，因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，所以m＝x+2，n＝﹣x+4，所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27，所以m2+n2+mn的最小值为27．二．分式的混合运算（共1小题）3．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：＝＝+＝1+；＝＝+＝2+（﹣）．（1）下列分式中，属于真分式的是：③（填序号）；①②③④（2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝2+，若假分式的值为正整数，则整数a 的值为﹣2、1或3；（3）将假分式化成整式与真分式的和的形式：＝a +1+．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意可得，、、都是假分式，是真分式，故答案为：③；（2）由题意可得，＝，若假分式的值为正整数，则或2a ﹣1＝1或2a ﹣1＝5，解得，a ＝﹣2或a ＝1或a ＝3，故答案为：2、，﹣2、1或3；（3）＝，故答案为：a +1+．三．分式的化简求值（共2小题）4．阅读理解材料：为了研究分式与分母x 的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1无意义10.50.0.25…从表格数据观察，当x ＞0时，随着x 的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x ＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．根据上述材料完成下列问题：（1）当x＞0时，随着x的增大，的值减小（增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值减小（增大或减小）；（2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；（3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围．【答案】（1）减小，减小；（2）2；（3）﹣8≤≤．【解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小，∴随着x的增大，1+的值减小；∵当x＜0时随着x的增大而减小，∵＝1+，∴随着x的增大，的值减小，故答案为：减小，减小．（2）∵＝＝2+，∵当x＞1时，的值无限接近0，∴的值无限接近2．（3）∵＝＝5+，又∵0≤x≤2，∴﹣13≤≤﹣，∴﹣8≤≤．5．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．（1）若a＝﹣3，b＝2，则m＝﹣1，n＝﹣6；（2）若m＝﹣2，，求的值；（3）若n＝﹣1，当＝0时，求m的值．【答案】（1）﹣1，﹣6；（2）﹣4；（3）m1＝﹣2，m2＝1．【解答】解：（1）将a＝﹣3，b＝2代入（x+a）（x+b）得：（x+a）（x+b）＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，∴m＝﹣1，n＝﹣6．故答案为：﹣1，﹣6．（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n．∴，∴+＝＝＝＝﹣4．（3）∵a+b＝m，ab＝n＝﹣1，∴（+）+4（a+b）﹣16＝0，+4m﹣16＝0，4[（a+b）2﹣2ab]+4m﹣16＝0，4（m2+2）+4m﹣16＝0∴4m2+4m﹣8＝0，（m+2）（m﹣1）＝0，m1＝﹣2，m2＝1．四．分式方程的应用（共4小题）6．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作（20﹣）天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，+＝1，解得：x＝30，经检验x＝30是原方程的解．∴x+30＝60，答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；故答案为：（20﹣）；（3）设甲单独做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程队至少要单独施工36天．7．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【答案】（1）300米/分钟；（2）600米．【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分钟，经检验x＝300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）∵300×2＝600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．8．育才文具店第一次用4000元购进某款书包，很快卖完，临近开学，又用3600元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个．（1）求第一次每个书包的进价是多少元？（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，文具店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求第二批书包的利润不少于960元，问最低可打几折？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第一次每个书包的进价是x元，根据题意得：﹣20＝，解得x＝50．经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次书包的进价是50元．（2）设可以打y折，则3600÷（50×1.2）＝60（个）．由80×30+80××30﹣3600≥960，解得y≥9，答：最低可打9折．9．列方程解应用题某水果批发市场苹果的价格如表：购买苹果（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克的价格6元5元4元（1）小明分两次共购买40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出216元，小明第一次和第二次各购买多少千克苹果？（2）小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问小强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？【答案】（1）第一次买16千克，第二次买24千克；（2）第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果．【解答】解：（1）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（40﹣x）千克苹果，由题意可得6x+5（40﹣x）＝216，解得：x＝16，40﹣x＝24．答：第一次买16千克，第二次买24千克．（2）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（100﹣x）千克苹果．分三种情况考虑：①第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果20千克以上但不超过40千克；两次购买的质量不到100千克，不成立；②第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果超过40千克．根据题意，得：6x+4（100﹣x）＝432，解得：x＝16．100﹣16＝84（千克）；③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次苹果超过40千克根据题意，得：5x+4（100﹣x）＝432，解得：x＝32．100﹣32＝68千克；答：第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果．五．菱形的判定与性质（共3小题）10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，即：t＝8﹣t，解得t＝4．答：当t＝4时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ＝CQ，即＝8﹣t时，四边形AQCP为菱形．解得：t＝3．答：当t＝3时，四边形AQCP是菱形；（3）当t＝3时，CQ＝5，则周长为：4CQ＝20cm，面积为：4×8﹣2××3×4＝20（cm2）．11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA 方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60﹣4t＝2t，解得t＝10．∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．12．如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）①当t为何值时，四边形ACFE是菱形；②当t为何值时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．【答案】（1）证明见解析；（2）①8；②或．【解答】（1）证明：如图1，∵AG∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD，∵EF经过AC边的中点D，∴AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∵AE∥FC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：①如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝8cm，∵四边形ACFE是菱形，∴AE＝CF＝AC＝BC＝8cm，且点F在BC延长线上，由运动知，AE＝t cm，BF＝2t cm，∴CF＝（2t﹣8）cm，∴2t﹣8＝8，解得：t＝8，将t＝8代入CF＝2t﹣8中，得CF＝8＝AC＝AE，符合题意，即当t＝8时，四边形ACFE是菱形；②设平行线AG与BC的距离为h cm，∴△ACE边AE上的高为h cm，△ACF的边CF上的高为h cm，∵△ACE的面积是△ACF的面积的2倍，∴AE＝2CF，当点F在线段BC上时（0＜t＜4），CF＝（8﹣2t），AE＝t cm，∴t＝2（8﹣2t），解得：t＝；当点F在BC的延长线上时（t＞4），CF＝（2t﹣8）cm，AE＝t cm，∴t＝2（2t﹣8），解得：t＝，即当t为或时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．六．矩形的性质（共1小题）13．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动（移动一周）．（1）写出点B的坐标；（2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）B（4，6）；（2）P（2，6）；（3）（0，5）或（，6）或（4，1）或（，0）．【解答】解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），∴OA＝4，OC＝6，∴点B（4，6）；（2）∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8，∴点P的坐标为（2，6）；（3）如图，①当点P在OC上时，S△OBP＝×OP1×4＝10，∴OP1＝5，∴点P（0，5）；②当点P在BC上，S△OBP＝×BP2×6＝10，∴BP2＝，∴CP2＝4﹣＝，∴点P（，6）；③当点P在AB上，S△OBP＝×BP3×4＝10，∴BP3＝5，∴AP3＝6﹣5＝1，∴点P（4，1）；④当点P在AO上，S△OBP＝×OP4×6＝10，∴OP4＝，∴点P（，0）．综上，点P的坐标为（0，5）或（，6）或（4，1）或（，0）．七．矩形的判定（共1小题）14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长；（3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝×180°＝90°，∴Rt△CEF中，EF＝＝＝2，又∵OE＝OF，∴CO＝EF＝；（3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（2）可得∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．八．正方形的性质（共8小题）15．如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．（1）求证：△ABG≌△ADF；（2）求证：AG⊥AF；（3）当EF＝BE+DF时：①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．∵BG＝DF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）；（2）证明：∵△ABG≌△ADF，∴∠GAB＝∠FAD，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴AG⊥AF；（3）①解：△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，BG＝DF．∵EF＝BE+DF，∴EF＝BE+BG＝EG．∵AE＝AE，在△AEG和△AEF中．，∴△AEG≌△AEF（SSS）．∴∠EAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45；②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1．设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即（2﹣x）2+12＝（1+x）2，得x＝．∴BE的长为．16．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，即∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴点M为BD的中点；②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．17．阅读下面材料：我遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．请回答：在图2中，∠GAF的度数是45°．参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度．（2）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝135°时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．【答案】阅读材料：45°；（1）BE＝；（2）135°．【解答】解：阅读材料：根据旋转△ABG≌△QDE，∴∠GAB＝∠EAD，AG＝AE，∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAE＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF+∠GAB＝45°，即∠GAF＝45°；（1）过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠B＝180°﹣∠D＝90°，∵AD＝CD＝10，∴四边形AFCD是正方形，∴CF＝10，根据上面结论，可知BE＝DE+BF，设BE＝x，∵DE＝4，∴BF＝BE﹣DE＝x﹣4，∴CB＝CF﹣BF＝10﹣x+4＝14﹣x，CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6，∵∠C＝90°，∴CE2+CB2＝BE2，∴36+（14﹣x）2＝x2，解得：x＝，故BE＝；（3）过点A作AF⊥CA，取AF＝AC，连接BF，CF，∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°+∠BAC，∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝90°+∠BAC，∴∠BAF＝∠DAC，又∵AC＝AF，AB＝AD，∴△FAB≌△CAD（SAS），∴BF＝CD，∴线段CD有最大值时，只需BF最大即可，在△BCF中，BF≤BC+CF，当B、C、F三点共线时，BF取最大值，此时BF＝BC+CF，在等腰直角三角形ACF中AC＝AF＝4，∠ACF＝45°，∴CF＝AC＝4，∵CB＝6，BF最大为：4+6，此时∠BCA＝180°﹣∠ACF＝135°．故答案为：135°．18．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．【答案】（1）证明见解答；（2）点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．（2）解：PF的长度不变．连接BD，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP和△PFE中，，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB．∵BC＝2，∴OB＝，∴PF＝OB＝．∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．19．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE＝PF，再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是PB＝PQ；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）结论：PB＝PQ，理由：过P作PF⊥BC，PE⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠QPF+∠QPE＝90°，∴∠BPF＝∠QPE，在△PEQ和△PFB中，，∴Rt△PQE≌Rt△PBF，∴PB＝PQ；故答案为PB＝PQ．（2）PB＝PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．20．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，判断EB与GD位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点E在线段DG上，∠DAE＝15°，AG＝4，求BE的长．【答案】（1）BE⊥DG，理由见解答；（2）2+2．【解答】解：（1）BE⊥DG；如图1，延长BE交DG于H，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∵∠ADG+∠DGA＝90°，∴∠ABE+∠DGA＝90°，∴∠GHB＝90°，∴BE⊥DG；（2）作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴∠AGE＝45°，∴GH＝HA＝＝＝2，∵∠AGE＝45°，∴∠GAH＝45°，∴∠HAE＝45°，∵∠DAE＝15°，∴∠HAD＝∠HAE+∠DAE＝60°，∴HD＝AH•tan∠HAD＝2＝2，∴BE＝DG＝DH+GH＝2+2．21．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），求证：BM+DN＝MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN＝MN；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．【答案】（1）答案见证明；（2）BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN．【解答】（1）证明：如图1，过A作AE⊥MN于E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，在△ABM和△ADN中，∴△ABM≌△ADN（SAS），∴AM＝AN，∠BAM＝∠DAN＝45°＝22.5°，∵AE⊥MN，∴∠NAE＝MAN＝22.5°，MN＝2EN，∴∠DAN＝∠NAE，∵AE⊥MN，∠D＝90°，∴DN＝NE，即BM＝DN＝NE，∴BM+DN＝MN；（2）解：线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN＝MN，理由如下：延长CB至E，使得BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，在△ADN和△ABE中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，∵在△EAM和△NAM中，∴△EAM≌△NAM，∴MN＝ME，∵ME＝BM+BE＝BM+DN，∴BM+DN＝MN，故答案为：BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN，理由如下：如图3，在DC上截取DE＝BM，连接AE，由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），∴∠DAE＝∠BAM，AE＝AM，∴∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝∠MAN．∵在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS），∴EN＝MN，即DN﹣DE＝MN，∴DN﹣BM＝MN．22．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】解：（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，∵BM∥NH，∴四边形MBHN为平行四边形，∴MN＝BH，∵四边形ABCD是正方形．∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH，∴△ABP≌△BCH（ASA），∴BH＝AP，∴MN＝AP；（2）如图2，连接FA，FP，FC∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA＝FC，又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP，∴FP＝FC，∴∠FPC＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC，∴∠FAB+∠FPB＝180°，∴∠ABC+∠AFP＝180°，∴∠AFP＝90°，∴FE＝AP，由（1）知，AP＝MN，∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，∴EF＝ME+FN．九．正方形的判定与性质（共1小题）23．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E 作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF（ASA），∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形；（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6；（3）解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB＝，∴DF＝＝＝，∴正方形DEFG的面积＝DF2＝（）2＝．一十．旋转的性质（共5小题）24．如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．【答案】（1）6；（2）150°．【解答】解：（1）连接PP′由题意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP，∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°，所以∠PBP′＝60度．故△BPP′为等边三角形，所以PP′＝BP＝BP′＝6；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，可求∠APB＝90°+60°＝150°．25．如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将△ABE绕点B顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．（1）试判断四边形BEFE'的形状，并说明理由；（2）若DA＝DE，如图2，请猜想线段CF与E'F的数量关系，并加以证明．【答案】（1）四边形BE′FE是正方形；（2）CF＝FE'．【解答】解：（1）四边形BE′FE是正方形．理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，∴四边形BE′FE是矩形，由旋转得，BE′＝BE，∴四边形BE′FE是正方形．（2）CF＝FE'，证明如下：如图，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°，∵DA＝DE，∴AG＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAB＝90°，∴∠BAE+∠DAG＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠ADG＝∠BAE，∴△ADG≌△BAE（AAS），∴AG＝BE；∵四边形BE′FE是正方形，∴BE＝FE′，∴AG＝FE′，由旋转得，AE＝CE′，∴AE＝CE′，∴FE′＝AE＝CE′，∴CF＝FE'．26．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数60°；②线段OD的长4；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．27．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；（2）求∠DAO的度数；（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【答案】（1）见解析；（2）50°；（3）140°或125°或110°．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCO，∴△BOC≌△ADC（SAS），∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；（2）解：∵△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，由（1）知：△ADC≌△BOC，∴∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠ADO＝α﹣60°，△ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°；（3）解：分三种情况：①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO ＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD．∵190°﹣α＝50°，∴α＝140°，综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．28．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．（1）若BE＝2，求AF的长度；（2）求证：AF+2BG＝AD．【答案】（1）；（2）证明过程见解答．【解答】（1）解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，AC2＝AB2+BC2＝2BC2，∴CE2＝BE2+BC2，∵EC绕点E逆时旋转90°得到EF，∴EF＝EC，∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，CF2＝EF2+CE2＝2CE2＝2BE2+2BC2，∴∠EFC＝∠EAC＝45°，∴∠FAE＝∠FCE＝45°，∴∠FAC＝90°，∴CF2＝AF2+AC2＝AF2+2BC2，∴AF2+2BC2＝2BE2+2BC2，即AF2＝2BE2，∵BE＝2，∴AF2＝2×22＝8，解得AF＝；（2）证明：连接AC，延长AF，CB交于点H，∵∠FAE＝∠ABD＝45°，∴AF∥BD，又∵AD∥BC，∴四边形ADBH是平行四边形，∴AD＝BH＝BC＝AB，∴AH＝AB＝CD，∵AH∥BG，∴CG＝FG，∴BG是△CHF的中位线，∴HF＝2BG，∵AH＝AF+FH，∴AD＝AF+2BG，即AF+2BG＝AD．一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）29．某校为了了解本校1200名初中生对“防溺水”安全知识的掌握情况，随机抽取了60名初中生进行“防溺水”安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：组别成绩x分频数第1组50≤x＜606第2组60≤x＜7010第3组70≤x＜80a第4组80≤x＜90b第5组90≤x＜10012请结合图表完成下列问题：（1）频数分布表中的a＝18，b＝14．（2）将频数分布直方图补充完整．（3）若测试成绩不低于80分定为“优秀”，则该校的初中生对“防溺水”安全知识的掌握情况为“优秀”的大约有多少人？【答案】（1）18，14；（2）见解答；（3）520人．【解答】解：（1）根据条形统计图所给出的数据可得：a＝18，则b＝60﹣6﹣10﹣18﹣12＝14；故答案为：18，14；（2）根据（1）求出的b的值，补图如下：（3）“优秀”等级的人数大约为：1200×＝520（人）．答：“优秀”等级的人数大约为520人．一十二．条形统计图（共1小题）30．为了丰富学生的大课间活动，某校围绕着“你最喜欢的球类活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？（2）求本次抽样调查中最喜欢乒乓球活动的学生数，并补全条形图；（3）若该校共有1800名学生，请你估计全校学生中最喜欢足球活动的人数约为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：＝50（名），答：该校对50名学生进行了抽样调查；（2）本次抽样调查中最喜欢乒乓球活动的学生数是：50﹣20﹣10﹣15＝5（人），补图如下：（3）根据题意得：1800×＝360（人），答：全校学生中最喜欢足球活动的人数约为360人．一十三．利用频率估计概率（共3小题）31．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25，（1）请估计摸到白球的概率将会接近0.25；（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25；故答案为：0.25；（2）60×0.25＝15，60﹣15＝45；答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个；（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得：，解得：x＝15；经检验x＝15是原方程的解，答：需要往盒子里再放入15个白球．32．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：摸球的次数s15030060090012001500摸到白球的频数n63a247365484606摸到白球的频率0.4200.4100.4120.4060.403b（1）按表格数据格式，表中的a＝123；b＝0.404；（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4（精确到0.1）；。
苏教版初二八下期中复习平行四边形压轴题含答案(非常好)
教学主题平行四边形压轴题教学目标重要知识点1.2.3.易错点教学过程一．选择题（共15小题）1．（2012•玉环县校级模拟）如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=（）A．B．C．D．考点：菱形的性质；解直角三角形．专题：压轴题．分析：首先过FH⊥AB，垂足为H．由四边形ABCD是菱形，可得AD=AB=3，即可求得AF的长，又由∠DAB=60°，即可求得AH与FH的长，然后由∠EFG=15°，证得△FHE是等腰直角三角形，继而求得答案．解答：解：过FH⊥AB，垂足为H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=3，∵DF=1，∴AF=AD﹣FD=2，∵∠DAB=60°，∴∠AFH=30°，∴AH=1，FH=，又∵∠EFG=15°，∴∠EFH=∠AFG﹣∠AFH﹣∠EFG=90°﹣30°﹣15°=45°，∴△FHE是等腰直角三角形，∴HE=FH=，∴AE=AH+HE=1+．故选D．点评：此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．2．（2015•泰安模拟）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD；②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：解答：解：∵BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，∴CF=CE，BE=DF，在△BCF和△DCE中，∵，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，在△BPE和△DPF中，∵，∴△BPE≌△DPF（AAS），∴BP=DP，在△BPC和△DPC中，∵，∴△BPC≌△DPC（SSS），∴∠BCP=∠DCP，即CP平分∠BCD，故选项①正确；又∵AD=BE且AD∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，故选项②正确；显然S△BPC=S△DPC，但是S△BPQ≠S四边形ADPQ，∴S△BPC+S△BPQ≠S△DPC+S四边形ADPQ，即CQ不能将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分，故选项③不正确；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即△ABF为等腰三角形，故④正确；综上，不正确的选项为③，其个数有1个．故选A．点评：本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟记以上图形的性质，并能灵活运用其性质，是解答本题的关键，本题综合性较好．5．（2014•江阴市二模）在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE 交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④考点：正方形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：解答：解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，∵∠APD=∠EPB，∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴①正确；∴AE=AF，BE=DF，∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM=EM=FM，∴BE∥AM，∵AP=BP，∴AM=BE=DF，∴∠EMB=∠EBM=45°，∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，∵BM=BM，AM=MF，∴△ABM≌△FBM，∴AB=BF，∴②正确；∴∠BAM=∠BFM，∵∠BEF=90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，∴∠APF=∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD=∠FDC，∴∠EBF=∠FDC，∵BE=DF，BF=CD，∴△BEF≌△DFC，∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，∴③正确；④正确；故选D．点评：本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．6．（2014•武汉模拟）如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰梯形的判定．专题：压轴题．分析：要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可解答：解：∵由已知，AG∥FC且AG=FC，故四边形AGCF为平行四边形，∴∠GAF=∠FCG又AE=BF，AD=AB，且∠DAE=∠ABF，可知∠ADE=∠BAF∴DE⊥AF，DE⊥CG．又∵G点为中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，可证CD=CM，∴∠CDG=∠CMG，即GM⊥CM．又∠MGN=∠DGC=∠DAF（外角等于内对角），∴∠FCG=∠MGC．故选A．点评：在正方形中对中点问题的把握和运用，灵活运用几何图形知识．7．（2013•绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；操作型．分析：根据题意可知△DFE是△DAE对折的图形，所以全等，故AD=DF，而AD=BD，所以BD=DF，但是∠B不一定等于45°，所以△BDF不一定是等腰直角三角形，①不成立；结合①中的结论，BD=DF，而∠ADE=∠FDE，∠ADF=∠DBF+∠DFB，可证∠BFD=∠EDF，故DE∥BC，即DE是△ABC的中位线，③成立；若③成立，利用△ADE≌△FDE，DE∥BC，∠AEF=∠EFC+∠ECF，可证∠DFE=∠CFE，②成立；根据折叠以及中位线定理得右边=AB，要和左边相等，则需CE=CF，则△CEF应是等边三角形，显然不一定，故④不成立．解答：解：①根据折叠知AD=DF，所以BD=DF，即一定是等腰三角形．因为∠B不一定等于45°，所以①错误；②连接AF，交DE于G，根据折叠知DE垂直平分AF，又点D是AB边的中点，在△ABF中，根据三角形的中位线定理，得DG∥BF．进一步得E是AC的中点．由折叠知AE=EF，则EF=EC，得∠C=∠CFE．又∠DFE=∠A=∠C，所以∠DFE=∠CFE，正确；③在②中已证明正确；④根据折叠以及中位线定理得右边=AB，要和左边相等，则需CE=CF，则△CEF应是等边三角形，显然不一定，错误．故选B．点评：本题结合翻折变换，考查了三角形中位线定理，正确利用折叠所得对应线段之间的关系以及三角形的中位线定理是解题的关键．8．（2013•惠山区校级一模）如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠DAP，然后利用“边角边”证明△APD和△AEB全等，从而判定①正确，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠APD=135°，然后求出∠BEP=90°，判定③正确，根据等腰直角三角形的性质求出PE，再利用勾股定理列式求出BE的长，然后根据S△APD+S△APB=S△APE+S△BPE列式计算即可判断出④正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，先求出∠BEF=45°，从而判断出△BEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出BF的长为，判断出②错误．解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，∵AP⊥AE，∴∠BAE+∠BAP=90°，又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，∴∠BAE=∠DAP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；∵AE=AP，AP⊥AE，∴△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP=∠APE=45°，∴∠AEB=∠APD=180°﹣45°=135°，∴∠BEP=135°﹣45°=90°，∴EB⊥ED，故③正确；∵AE=AP=1，∴PE=AE=，在Rt△PBE中，BE===2，∴S△APD+S△APB=S△APE+S△BPE，=×1×1+××2，=0.5+，故④正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，∵∠BEF=180°﹣135°=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=×2=，即点B到直线AE的距离为，故②错误，综上所述，正确的结论有①③④．故选A．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．9．（2013•江苏模拟）在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③S正方形ABCD=4+；其中正确的是（）A．①②③B．只有①③C．只有①D．只有③考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题；压轴题．分析：首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB，故选项①正确；由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于M，由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°，所以△EMB是等腰Rt△，求出B到直线AE距离为BF，即可对于②作出判断；根据三角形的面积公式得到S△BPD=PD×BE=，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+，由此即可对③判定．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∴∠BAP+∠PAD=90°，∵EA⊥AP，∴∠EAB+∠BAP=90°，∴∠PAD=∠EAB，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；∵△AEP为等腰直角三角形，∴∠AEP=∠APE=45°，∴∠APD=∠AEB=135°，∴∠BEP=90°，过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，在△AEP中，AE=AP=1，根据勾股定理得：PE=，在△BEP中，PB=，PE=，由勾股定理得：BE=，∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，∴∠AEP=45°，∴∠BEF=180°﹣45°﹣90°=45°，∴∠EBF=45°，∴EF=BF，在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=，故②是错误的；由△APD≌△AEB，∴PD=BE=，∵S△BPD=PD×BE=，∴S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+，∴S正方形ABCD=2S△ABD=4+．故选项③正确，则正确的序号有：①③．故选B．点评：此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．10．（2013•武汉模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连结EG、OF．则∠OFG的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°考点：正方形的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．专题：压轴题．分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABO=∠CBO=∠BCO=45°，再根据角平分线的定义求出∠OBE=22.5°，然后求出∠CBE=67.5°，再求出∠CEB=67.5°，从而得到∠CBE=∠CEB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=EF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=BF，然后利用等边对等角求出∠BOF=∠OBE，最后在△BOF中，利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：在正方形ABCD中，∠ABO=∠CBO=∠BCO=45°，∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=22.5°，∴∠CBE=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CBE=∠CEB，∵CF⊥BE，∴BF=EF，又∵∠AOB=90°，∴OF=BF，∴∠BOF=∠OBE=22.5°，在△BOF中，∠OFG+22.5°+22.5°+90°=180°，∴∠OFG=45°．故选B．点评：本题考查了正方形的对角线平分一组对角的性质，等腰三角形的判定与等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图求出∠BOF的度数是解题的关键．11．（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+考点：平行四边形的性质；勾股定理．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，BC=AD=6，①如图：过点A作AE⊥BC垂足为E，过点A作AF⊥DC垂足为F，由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=15，求出AE=，AF=3，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=5，AE=代入求出BE=，同理DF=3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），∴CE=6﹣，CF=3﹣5，即CE+CF=1+，②如图：过点A作AF⊥DC垂足为F，过点A作AE⊥BC垂足为E，∵AB=5，AE=，在△ABE中，由勾股定理得：BE=，同理DF=3，由①知：CE=6+，CF=5+3，∴CE+CF=11+．故选D．点评：本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论啊．12．（2012•河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则S△CEF：S△DGF等于（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：取CG的中点H，连接EH，根据三角形的中位线定理可得EH∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF=∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH=S△DGF，再求出FC=3FH，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．解答：解：如图，取CG的中点H，连接EH，∵E是AC的中点，∴EH是△ACG的中位线，∴EH∥AD，∴∠GDF=∠HEF，∵F是DE的中点，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，，∴△DFG≌△EFH（ASA），∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△EFC=3S△EFH，∴S△EFC=3S△DGF，因此，S△CEF：S△DGF=3：1．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线，利用三角形的中位线进行解题是解题的关键．13．（2012•杭州模拟）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为28cm2，四边形ABCD面积是18cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A．72cm B．64cm C．56cm D．48cm考点：平行四边形的性质；菱形的性质．专题：压轴题．分析：求出⑤平行四边形的面积，求出菱形EFGH的面积，过E作EM⊥GH于M，设EH=HG=FG=EF=xcm，求出x的值，结合图形即可求出答案．解答：解：∵①②③④四个平行四边形面积的和为28cm2，四边形ABCD面积是18cm2，∴平行四边形⑤的面积是18﹣×28=4（cm2），∴菱形EFGH的面积是4+28=32cm2，过E作EM⊥GH于M，设EH=HG=FG=EF=xcm，∵∠H=30°，∴EM=x，即x•x=32，x=8，∴EH=HG=FG=EF=8cm，∴①②③④四个平行四边形的周长的和正好是8×8=64，故选B．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，平行四边形性质，菱形性质等知识点，能根据图形得出①②③④四个平行四边形的周长的和正好是8个EF是解此题的关键，注意：菱形的对边相等，平行四边形的对边相等．14．（2012•淄博模拟）则在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，则可证得△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．解答：解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形，∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD和△GFD中，，∴△BHD≌△GFD（SAS），∴∠BDH=∠GDF，∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．故选C．点评：此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．（2012•碑林区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD 于点P，则∠FPC=（）A．35°B．45°C．50°D．55°考点：菱形的性质．专题：压轴题．分析：延长EF交DC的延长线于H点．证明△BEF≌△CHF，得EF=FH．在Rt△PEH中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠FPC=∠FHP=∠BEF．在等腰△BEF中易求∠BEF的度数．解答：解：延长EF交DC的延长线于H点．∵在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，∴∠B=80°，BE=BF．∴∠BEF=（180°﹣80°）÷2=50°．∵AB∥DC，∴∠FHC=∠BEF=50°．又∵BF=FC，∠B=∠FCH，∴△BEF≌△CHF．∴EF=FH．∵EP⊥DC，∴∠EPH=90°．∴FP=FH，则∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°．故选C．点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定方法、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，综合性较强．如何作出辅助线是难点．。
人教版八年级数学下册期中考试压轴题
人教版八年级数学下册期中考试压轴题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#1、如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．2B．3C．D．2.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC =BC，直线l过点C且与AB平行．点D在直线l上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转90°，与直线BC交于点E．（1）如图1，若点E在BC的延长线上，请直接写出线段AD、DE之间的数量关系；（2）依题意补全图2，并证明此时（1）中的结论仍然成立；（3）若AC=3，CD=22CE的长．3．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△C AE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH中，正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A．C的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．5．如图，两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件：请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G 处，连接CG，请你画出图形，此时CG与CF有何数量关系．6．如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C 2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A nB nC nD n的面积为．7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0<t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t值，如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形请说明理由．8．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米．则可列方程为（）9．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE 的边长为（）A．2B．4C．4 D．813．如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB﹣BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC﹣CB﹣BA做匀速运动．（1）求BD的长；（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由，同时求出△AMN的面积；（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF为直角三角形，试求a的值．14．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．15．（11分）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，在△ABC外作直角三角形ACE，∠ACE＝90°．（1）如图7，过点C作CM⊥AE，垂足为M，连接BM，若AB＝AM，求证：BM∥CE；（2）如图8，延长BC至D，使得CD＝BC，连接DE，若AB＝BD，∠ECA＝45°，AE ＝10，求四边形ABDE的面积．图7 图8。
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精选八年级下学期数学期中考试压轴题1、如图，四边形ABCD的两对角线互相垂直且平分，其交点为O，B、C两点在x轴上其中B、O的坐标分别为（1，0）、（2，1）。
1）求A、C、D的坐标
（2）如图2，若点P是线BD上的一点，PE⊥BC于E，M是PD的中点，连AM、EM求证；AM=EM；
一个是正确的，请选择正确的结论证明并求值。
2、如所示，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（-2，2）
（1）如图1，△ABO为等腰直角在角形，求点B的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，分别以AB、OB为边作等边△ABC和等边△OBD，连OC求∠COB的度数；
（3）如图2，过点A作AM⊥y轴于点M，点E为x轴正半轴是一点，K为ME延长线上一点，以MK为直角边作等腰直角△MKJ，∠MKJ=90°，过点A作AN⊥x
轴交MJ于点N，
请判断正确的结论，并加以证明并求出其值。
3如图1所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y 轴于点B（0，b）且满足
（1）如图1，若C的坐标为（-1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求P点的坐标
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°
（3）如图3，若点D为 AB 的中点，点M为y轴正半轴上的一动点，连接MD，过D作DN⊥DM，交x轴于N 点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子
值是否发生改变？若发生改变，求出式子变
化范围；若不改变，求该式子的值。
4、如图1所示，点A、B、C、三点都在坐标轴上，其坐标分别为A（0，3）、B（-1，0）、C（1，0）。
（1）如图2，若过x轴上一点D（-3，0），过D点作DE⊥AC于点E，DE交y轴于点F，求F点的坐标
（2）如图3，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于点P（P不同于A、C两点），过P点作直线与AB 的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在
△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生改变？若不变，求出它的长度：若变化，确定其变化范围。
5．请阅读下列材料：
问题：如图①，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P 是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=120°，试探究PG与PC的位置关系及∠PCG的大小．小明同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小明的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及∠PCG的大小；
（2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图②）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明．
6，如图，点O为正方形ABCD的对角线的交点，点E、F分别在DA、CD的延长线上，且AE=DF，连BE、AF，延长FA交BE于G，
（１）求证：FG⊥BE；
（２）连OG，求∠OGF的度数；
7，在平行四边形ABCD中，∠A=∠DBC，过D点作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC
的中点，连NP。
（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段MN的数量关系及∠ABD与∠MNP
满足的等量关系，请直接写出你的结论。
（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论。
8．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E．F分别是BC．AD 的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME=∠CNE）
（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC 上，AB=CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．
9、（1）如图1在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值；
（2）如图2已知□ABCD各矩形ABEF，AC与DE交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数。
10、操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）再（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN的数量关系是相等；
结论2：DM、MN的位置关系是垂直；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．。