时间序列平滑预测
时间序列平滑预测法原理
时间序列平滑预测法原理时间序列平滑预测法是一种常用的预测方法，用于分析和预测时间序列中的趋势和季节性变化。
它基于时间序列中的历史数据，通过对数据进行平滑处理，来推断未来的趋势和变化。
时间序列平滑预测法的基本原理是利用历史数据中的趋势和季节性变化规律，对未来的数据进行预测。
其核心思想是将时间序列中的噪声和随机波动平滑掉，使得数据的变化趋势更加明显和稳定。
在时间序列平滑预测法中，常用的方法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法是一种简单的平滑方法，它通过计算时间序列中一段时间内的均值来平滑数据。
移动平均法可以平滑掉数据的随机波动，使得数据的趋势更加明显。
移动平均法的核心思想是将多个时间点的数据进行平均，然后将平均值作为预测值。
移动平均法的窗口大小可以根据实际情况来确定，一般选择较小的窗口可以更敏感地反映数据的变化趋势。
指数平滑法是一种基于指数加权的平滑方法，它通过对历史数据进行加权平均来预测未来的数据。
指数平滑法的核心思想是对历史数据进行加权处理，使得近期的数据具有更高的权重。
指数平滑法的优势在于对于不同时间点的数据赋予不同的权重，可以更好地反映数据的变化趋势。
指数平滑法通常需要选择一个平滑系数，该系数决定了近期数据的权重大小，一般情况下，较大的平滑系数可以更快地反应数据的变化趋势。
除了移动平均法和指数平滑法，还有其他一些时间序列平滑预测方法，如加权移动平均法、自适应平滑法等。
这些方法都是基于时间序列平滑的原理，通过对历史数据进行加权平均或其他平滑处理，来预测未来数据的变化趋势。
时间序列平滑预测法在实际应用中有广泛的应用。
它可以用于经济领域的市场预测、销售预测等，也可以用于气象领域的天气预测、水文预测等。
时间序列平滑预测法可以帮助我们更好地理解和预测数据的变化趋势，为决策提供参考和依据。
总结起来，时间序列平滑预测法是一种基于历史数据的预测方法，通过对数据进行平滑处理，来推断未来的趋势和变化。
它可以通过移动平均法、指数平滑法等方法来实现。
时间序列的平滑预测法
时间序列的平滑预测平滑法：简单平均法，移动平均法、指数平滑法。
平滑法既可以用于对时间序列进行平滑以描述序列的趋势，也可对平稳时间序列进行短期预测。
1、 简单平均法根据过去已有的观测值通过简单平均来预测下一期的值；舍时间序列已有的t 期观测值为y1、y2………yt ，那么t+1期的预测值1t F +值为：112111111t+2111(.......),11,1t+2=,t+1tt t i i t t t t t i i F y y y y t t t t e F F y +=+++++==++=++=-∑∑当到了期时，有了期的实际值y 就可以计算误差y 那么期的预测值就为以此类推。
2、 移动平均法通过对时间序列逐期递移求得平均数作为趋势值或者预测值的一种平滑预测方法。
移动平均又包括简单移动平均和加权移动平均。
简单移动平均就是将最近K 期的观测值进行平均，作为下一期的预测值；1<K<t.1211231t+21........,........t k t k t tt t t k t k t t t y y y y F y ky y y y F y k-+-+-+-+-+++++++==++++==同理均方误差MSE 的计算公式为：MSE =误差平方和误差个数移动平均法只使用最近K 期的数据，每次计算都是使用最近K 期数据；这一方法比较适合较为平稳的时间序列数据。
实际中选取不同的K ，比较MSE 的大小来选择合适的步长。
3、 指数平滑法一次指数平滑就是以一段时期的预测值和观测值的线性组合作为t+1期的预测值，预测模型为：说明：通常将11F y =。
1(1)t t t F y F αα+=+-其中，0<<1t t y t t αα为期实际观测值，F 为期的预测值；为平滑系数（）。
211111322212433321=(1)(1)=(1)(1)=(1)1-+(1)F y F y y y F y F y y F y F y y F αααααααα∂+-=∂+-=∂+-=∂+-∂+-=∂+-第二期预测值：第三期预测值：第四期预测值：（）y 依此类推。
时间序列平滑预测法
• 时间序列预测法;是将预测对象的历史数据 按照时间的顺序排列成为时间序列;然后分 析它随时间的变化趋势;外推预测对象的未 来值 这样;就把影响预测对象变化的一切因 素由时间综合起来描述了
• 时间序列分析预测可分为确定性时间序列 预测法和随机性时间序列预测法
第1节 时间序列概述
二 加权移动平均法
在简单移动平均公式中;每期数据在求 平均时的作用是等同的 但是;每期数据所 包含的信息量不一样;近期数据包含着更 多关于未来情况的信息 因此;把各期数据 等同看待是不尽合理的;应考虑各期数据 的重要性;对近期数据给予较大的权重;这 就是加权移动平均法的基本思想
148.69
3.8
150.375
160
150
140 原始值
130三年移动平均 Nhomakorabea四年移动平均 120
110
100
1 3 5 7 9 11
图3 2 1某商店1991年2002年利润及移动平均预测值图
• 在实用上;一个有效的方法是取几个N值
进行试算;比较他们的预测误差;从中选 择最优的
• 简单移动平均法只适合做近期预测;即只 能对后续相邻的那一项进行预测
132.1133
8.41
136.7233
7.51
142.5367
4.06
146.88
1.16
148.3333
0.95
148.98
3.61
150.9767
127.1325
2.49
129.51
4.45
132
8.49
135.1475
8.57
139.4975
6.11
144.045
时间序列预测法概述
时间序列预测法概述1. 传统统计方法传统统计方法是时间序列预测的基础，它主要包括时间序列分解、平滑法、指数平滑法和回归分析等。
（1）时间序列分解：时间序列分解是将时间序列数据分解成趋势分量、季节分量和随机分量三个部分。
趋势分量反映时间序列数据的长期变化趋势，季节分量反映时间序列数据的季节性变化，随机分量反映时间序列数据的非季节性随机波动。
根据分解的结果，可以对趋势分量和季节分量进行预测，然后再将它们相加得到最终的预测结果。
（2）平滑法：平滑法是根据时间序列数据的平滑特性来进行预测的方法。
最简单的平滑法是移动平均法，它通过计算前若干个观测值的平均值来确定未来的预测值。
除了移动平均法，还有加权平均法、指数平滑法等不同的平滑方法，它们的选择取决于时间序列数据的特点和预测的目标。
（3）指数平滑法：指数平滑法是一种基于加权平均的平滑方法，它根据时间序列数据的权重，对未来预测的重要性进行加权。
指数平滑法的核心思想是根据历史观测值的加权平均来预测未来的观测值，其中加权因子的选择通常基于最小二乘法。
（4）回归分析：回归分析是一种建立变量之间函数关系的统计方法，在时间序列预测中通常用于分析观测变量与其他变量之间的关系。
回归分析将时间序列数据看作自变量，其他变量看作因变量，然后通过建立回归模型来预测未来的观测值。
2. 机器学习方法随着机器学习技术的发展，越来越多的机器学习方法被应用于时间序列预测中。
这些方法主要包括支持向量机、人工神经网络、决策树和深度学习等。
（1）支持向量机：支持向量机是一种基于统计学习理论的机器学习方法，它通过构建高维特征空间来寻找一个最优的分割超平面，将不同类别的观测值分开。
在时间序列预测中，支持向量机可以根据历史观测值来学习一个预测模型，然后利用该模型对未来的观测值进行预测。
（2）人工神经网络：人工神经网络是一种模仿生物神经网络结构和功能的数学模型，它通过训练样本来学习模型参数，然后利用该模型进行预测。
时间序列平滑预测法
时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法是一种常用的预测模型，通过对历史数据进行平滑处理，找出数据中的趋势和周期性变化，并基于这些特征进行未来值的预测。
时间序列平滑预测法适用于各种领域的预测问题，如销售量、股票价格、气温等。
其中，最常见的时间序列平滑预测法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法是一种基于数据的滚动平均值进行预测的方法。
它通过将数据序列中的每个值与其前一段时间内的几个值进行平均，来得到一个平滑的预测值。
这种方法适用于数据变化比较平稳的情况，能够较好地捕捉到数据的趋势。
指数平滑法是一种基于加权平均进行预测的方法。
它通过对数据序列中的每个值加权，更加重视较近期的值，来得到一个平滑的预测值。
这种方法适用于数据变化比较有规律的情况，能够较好地捕捉到数据的周期性变化。
在进行时间序列平滑预测时，我们首先需要对历史数据进行平滑处理，以消除可能存在的噪声和异常值。
然后，根据数据的趋势和周期性变化，选择合适的平滑方法进行预测。
最后，通过比较预测结果和实际值，评估模型的准确性，并对模型进行调整和优化。
时间序列平滑预测法具有较好的稳定性和可解释性，能够较好地预测未来值。
但是，它也存在一些限制，如对数据的假设性要求较高，对异常值的敏感性较大等。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的模型，并结合其他方法进行预测。
总之，时间序列平滑预测法是一种常用的预测模型，通过对历史数据进行平滑处理，能够较好地预测未来值。
它具有较好的稳定性和可解释性，并在各个领域得到广泛应用。
通过不断改进和优化，时间序列平滑预测法有望在未来的预测中发挥更大的作用。
时间序列平滑预测法是一种常用的预测模型，它通过对历史数据进行平滑处理来预测未来值。
在实际应用中，时间序列平滑预测法可以帮助企业和个人做出更准确的决策，并规划未来的发展方向。
一种常见的时间序列平滑预测方法是移动平均法。
移动平均法通过计算一定时间段内数据的平均值来平滑数据。
这种方法可以消除短期内的噪声和波动，从而更好地揭示出数据的趋势和长期变化。
时间序列平滑预测法概述
时间序列平滑预测法概述时间序列平滑预测方法有很多种，常见的方法包括移动平均法、指数平滑法和季节分解法等。
不同的方法适用于不同的时间序列数据，根据数据的特点选择合适的方法可以提高预测的准确性。
移动平均法是最简单的一种平滑预测方法，它通过计算一定时间窗口内的数据平均值来平滑数据。
移动平均法的优点是计算简单，适用于较为稳定的时间序列数据。
然而，移动平均法的缺点是对数据的滞后性响应较慢，无法有效地适应数据的变动。
指数平滑法是一种适用于非常态时间序列的平滑预测方法。
指数平滑法通过对数据加权平均，每一个数据点的权重是前一个数据点权重的乘积，权重随时间变化指数递减。
指数平滑法的优点是对数据变动能够更快做出响应，适用于较为波动的时间序列。
然而，指数平滑法的缺点是对于季节性变动较为敏感，容易受到突发事件的影响。
季节分解法是一种用于处理季节性时间序列的平滑预测方法。
季节分解法将时间序列数据分解为趋势、季节和残差三个部分，分别进行分析和预测。
季节分解法的优点是能够更好地提取数据的季节性规律，对于季节性较为显著的数据预测效果较好。
然而，季节分解法的缺点是对于季节性不明显的数据预测效果较差。
除了上述方法之外，时间序列平滑预测还可以结合其他方法，如回归分析、神经网络等，以进一步提高预测的准确性。
回归分析可以运用于时间序列中的趋势分析，通过建立趋势线的方程进行预测。
神经网络模型则可以通过学习历史数据的模式进行预测，适用于复杂的时间序列预测问题。
总之，时间序列平滑预测是一种重要的数据分析和预测方法，可以帮助企业和个人更好地了解和预测数据的趋势性和季节性。
选择合适的平滑预测方法对于提高预测准确性至关重要，同时结合其他方法可以进一步提高预测的能力。
在时间序列平滑预测中，移动平均法是一种最简单、直观的方法。
它通过计算一定时间窗口内的数据平均值来平滑数据，窗口的大小越大，平滑效果越明显。
移动平均法的优点是计算简单，适用于较为稳定的时间序列数据。
时间序列平滑预测法
理论界一般认为有以下方法可供选择：
经验判断法。这种方法主要依赖于时间序列的发展趋势 和预测者的经验做出判断。 （1）当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，应选较小 的α值，一般可在0.05～0.20之间取值； （2）当时间序列有波动，但长期趋势变化不大时，可 选稍大的α值，常在0.1～0.4之间取值； （3）当时间序列波动很大，长期趋势变化幅度较大， 呈现明显且迅速的上升或下降趋势时，宜选择较大的α值， 如可在0.6～0.8间选值，以使预测模型灵敏度高些，能迅速 跟上数据的变化； （4）当时间序列数据是上升（或下降）的发展趋势类 型，α应取较大的值，在0.6~1之间。
【例2-2】一家企业发现在某4个月的期间内，利用当月实际需求额的 40%，倒数第2个月需求额的30%，倒数第3个月需求额的20%和倒数第 4个月的需求额的10%，可以推出下个月的最佳预测结果。假设过去4个 月的实际需求记录如表2-2所示，请预测第5个月的需求。 表2-2 某企业过去4个月的需求数据
2. 简单加权移动平均法
简单移动平均法中的各数据元素的权重都相等，而加权移动平均法
中的权重值可以不同，其权重之和必须等于1。加权移动平均法的计算
公式如下：
式中： x1, x 2 , ..., 设为时间序列观察值；
xt
为最新观察值；
Ft 1 为下一期预测值；
N 为移动步长（即移动平均的时期区间数）; wi 为第 i 期的实际数据的权重值。
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试算法。根据具体时间序列情况，参照经验判断 法，来大致确定额定的取值范围，然后取几个α 值进行试算，比较不同α值下的预测的误差，选 择使预测误差最小的α值。 在统计上预测误差可以有标准差、方差、绝对偏差等 多种表示方法。通常我们采用标准标准差（SE）作为预测 误差的衡量工具。样本标准差得计算公式如下：
时间序列平滑预测法
时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法是一种通过对时间序列数据进行平滑处理来预测未来趋势的方法。
该方法基于以下假设：过去的数据可以反映未来的趋势，而将过去的数据进行平滑处理可以消除噪声和随机波动，并揭示出数据背后的潜在规律。
时间序列平滑预测法可以应用于各种领域，比如经济学、金融学、工程学等。
在经济学中，时间序列平滑预测法可以用于预测经济指标的未来趋势，如国内生产总值（GDP）、消费者物价指数（CPI）等。
在金融学中，该方法可以用于预测股票价格、利率、汇率等金融指标的未来走势。
在工程学中，时间序列平滑预测法可以用于预测能源消耗、交通流量等工程指标的未来变化。
时间序列平滑预测法的基本思想是通过对时间序列数据进行平滑处理，得到一个平滑的曲线，然后根据这个曲线来预测未来的值。
平滑处理的方法有很多种，常见的方法有移动平均法、指数平滑法和季节性指数平滑法等。
移动平均法是最简单、最常用的一种平滑处理方法。
它的原理是在一定时间窗口内计算数据的平均值，然后将平均值作为平滑后的值。
移动平均法适用于数据变化较为缓慢、无明显趋势和季节性的情况。
移动平均法的优点是计算简单，缺点是不能很好地处理有趋势的数据。
指数平滑法是另一种常用的平滑处理方法。
它的原理是将过去的数据赋予不同的权重，较近期的数据权重较大，较远期的数据权重较小。
指数平滑法适用于数据变化较为快速、有明显趋势和季节性的情况。
指数平滑法的优点是对趋势有较好的适应性，缺点是计算复杂度较高。
季节性指数平滑法是指在指数平滑法的基础上考虑季节性因素进行预测。
它的原理是在指数平滑法的基础上引入季节性指数，用于对季节性因素进行处理。
季节性指数平滑法适用于数据具有季节性变化的情况，如每月销售额、每周客流量等。
季节性指数平滑法的优点是对季节性变化有较好的适应性，缺点是需要进行较复杂的计算。
时间序列平滑预测法的步骤一般包括以下几步：数据预处理、平滑处理、预测和评估。
数据预处理包括对原始数据进行清洗、处理缺失值和异常值等。
时间序列的指数平滑预测法
3.2 时间序列的指数平滑预测法指数平滑法（Expinential smoothing method ）的思想也是对时间序列进行修匀以消除不规则和随机的扰动。
该方法是建立在如下基础上的加权平均法：即认为时间序列中的近期数据对未来值的影响比早期数据对未来值得影响更大。
于是通过对时间序列的数据进行加权处理，越是近期的数据，其权数越大；反之，权数就越小。
这样就将数据修匀了，并反映出时间序列中对预测时点值的影响程度。
根据修匀的要求，可以有一次、二次甚至三次指数平滑。
3.3.1 一次指数平滑法1．一次指数平滑法的计算公式及平滑系数a 的讨论设时间序列为N x x x x ,,,321 ，一次指数平滑数列的递推公式为：⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤<<-+=-,1,10,)1(110111x S Nt a S a ax S t t t （3-6）式中，1t S 表示第t 时点的一次指数平滑值，a 称为平滑系数。
递推公式（3-6）中，初始值10S 常用时间序列的首项1x （适用于历史数据个数较多，如50个历史数据及以上），如果历史数据个数较少，如在15或20个数据及以下时，可以选用最初几期历-史数据的平均值作为初始值10S ，这些选择都有一定的经验性和主观性。
下面讨论平滑系数a 。
将递推公式（3-6）展开可得：[]10112211221121111)1()1()1()1()1()1()1()1()1(S a x a a x a a x a a ax S a x a a ax S a ax a ax S a ax S t t t t t t t t t t t t t t -+-++-+-+==-+-+=-+-+=-+=-------- 容易看出，由于10<<a ，i x 的系数ia a )1(-随着i 的增加而递减。
注意到这些系数之和为1，即：1)1()1(1)1(1)1()1(11=-+----=-+-∑=-t tti ti a a a a a a a于是，递推公式（3-6）中的1t S 就是样本值t x x x ,,,21 的一个加权平均。
第三讲 时间序列平滑预测法
8
…
25
…
25×3/6+27×2/6+26×1/6=26.17 …
移动平均法的特点
优点：使用移动平均法进行预测能平滑掉需 求的突然波动对预测结果的影响。 缺点：加大移动平均法的期数(即加大n值)会 使平滑波动效果更好，但会使预测值对数据 实际变动更不敏感(稳定性好，响应性差)； 移动平均值并不能总是很好地反映出趋势。 由于是平均值，预测值总是停留在过去的水 平上而无法预计会导致将来更高或更低的波 动； 移动平均法要由大量的过去数据的记录。
一次指数平滑法一般适用于平稳时间序列 平稳时间序列的检验方法 散点图：以时间t为横轴，时间序列yt为纵轴 作图，散点图在一条水平线上下摆动。
30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 系列1
一阶差分法：△yt＝ yt －yt-1几乎为0。
二、二次指数平滑法 （一）适用范围及其检验方法： 1、适用范围：有直线趋势的时间序列 2、直线趋势时间序列的检验方法 （1）散点图法：散点图呈直线上升或直线下降 （2）一阶差分法： 一阶差分△yt＝ yt －yt-1几乎为一个非零常数
y1=140， y2=156， y3=184
1 简 单 平 均 值 ＝ 140 ＋156 ＋184＝160 3
若 取w1＝1，w2＝2，w3＝3 1 140 ＋2 156 ＋3 184 加权平均值＝ ＝167 1＋2＋3 1 2 3 归一化处理后的权重W ：1 ，W2 ，W3 6 6 6 1 2 3 简 单 平 均 值 ＝ 140 ＋ 156 ＋ 184 ＝167 6 6 6
M
( 2) t
2019PPT-时间序列平滑预测法
yt = a +η t
其中 a 为常数,η t可视做实际值与 a 的
偏差，此为随机项，应有
2 t
E[η t] = 0 且k D[η t] = σ
对数据指数平滑
S0(1)
St(1) = α∑(1－α) yt-k + (1－α)
当
t
→
∞
,
(1-a)t k
S0
→
0
则 St(1) = α∑(1－α) yt-k
=3
移动平均法应用举例------期，
股市中的移动平均 线
一、道。琼斯的理论: 美华尔街日 报创办人
股价运动的三种趋势
1、原始波动(Primary Trends) Bull Market and Bear Market股价波动的长期上 升（多头市场）和长期下降（空头市场） 是大市波动的基本趋势，基本趋势一旦形 成，通常要延续1~4年；
考虑到： Mt(1} = (yt + yt-1 +…… + yt-N+1)/N
={Nyt－[1+2+……(N －1)]bt}/N
1+2+……(N－1) = [N(N－ 1)]/2
∴ Mt(1} = [Nyt－(N/2)(N－1)bt]/N =yt－(N－1)bt/2…①
Mt-1(1) = yt-1－(N－1)bt/2
则(1-a)tS0→ 0可略去,也就是初始数据 的影响可不考虑。
若 t < 50，一般的可选择最初几个原
b）考虑公式右边第一项
t 1
α∑
k 0
[(1－α)k
xt-k ]
为除S0(1)外其他所有已知的数据 的平滑值，即影响大0 小
时间序列预测的常用方法及优缺点分析
时间序列预测的常用方法及优缺点分析时间序列预测是指根据过去的一系列观测值来预测未来的数值变化趋势。
时间序列预测在各行业中广泛应用，如金融领域的股票价格预测、销售预测等。
本文将介绍时间序列预测的常用方法，并分析各方法的优缺点。
1. 移动平均法移动平均法是一种常用的简单预测方法，它基于过去一段时间内的平均值来预测未来的数值。
移动平均法的优点是简单易懂，计算复杂度低，并且对于平稳序列的预测效果较好。
然而，移动平均法不能很好地处理非平稳序列或者具有长期趋势的序列。
2. 简单指数平滑法简单指数平滑法也是一种简单的时间序列预测方法。
它将未来的预测值与过去的实际观测值相结合，通过加权平均来预测未来的数值。
简单指数平滑法的优点是计算简单，对于平稳序列和趋势序列的预测效果较好。
然而，简单指数平滑法无法处理季节性数据，并且对于突发事件的预测效果较差。
3. 自回归移动平均模型（ARIMA）ARIMA模型是一种基于时间序列的统计模型，它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA），通过拟合历史数据来预测未来的数值。
ARIMA模型的优点是对于各种类型的时间序列都有较好的适用性，并且可以处理非平稳序列和具有长期趋势的序列。
然而，ARIMA模型需要进行参数估计和模型诊断，对于数据量较大或者噪声较多的情况下计算复杂度较高。
4. 季节性分解法季节性分解法是一种将序列分解为趋势、季节和残差三个部分的方法。
通过对这些部分进行建模来预测未来的数值。
季节性分解法的优点是可以较好地处理季节性数据，并且能够捕捉到数据的长期和短期趋势。
然而，季节性分解法对于非线性、非平稳的序列效果较差，且需要事先对数据进行季节性分解，增加了预测的难度。
5. 神经网络方法神经网络方法是一种基于人工神经网络的时间序列预测方法。
它通过学习历史数据的模式和规律来预测未来的数值。
神经网络方法的优点是对于非线性、非平稳的序列具有较好的适应性，并且可以自动学习数据的特征。
时间序列平滑预测实验报告——石油需求预测
ln q 47.20673 0.012227 ln p 3.075149dus 0.210238ln car 5.053055ln popu
第二步： 建立短期动态关系，即误差修正模型方程。 也就是说，若协整关系存在则 以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中， 并用最小二乘法 估计相应的参数。即将长期关系模型中的各变量以一阶差分的形式重新构造， 并 将长期关系模型所产生的残差序列作为解释变量引入。 建立一阶误差修正模型：
ln q b0 b1 ln p b2 dus ln car ln popu
第 6 页 共 10 页
回归的结果如下：
（五）协整检验： 检验残差 e t 的平稳性
残差平稳性的检验结果显示是平稳的，因此我们可以得出结论 LNQ 与 LNP,DUS,LNCAR,LNPOPU 之间存在长期均衡关系。
第 4 页 共 10 页
对数据进行平稳性检验， 如果数据不平稳， 就判断变量间不是是同阶单整的， 如果是同阶单整就进行协整检验。
数据平稳性检验结果显示如下：
LNQ 和 LNP 的单位根检验
LNCAR 和 LNPOPU 的单位根检验
LNGDP 和 DUS 的单位根检验
对变量进行 ADF 单位根检验， 结果发现在 0.05 的显著水平下， t 值均大于 0.05 显著水平下的临界值，于是变量都是非平稳数据。 接下来检验变量的数据是否是一阶单整， 因此对数据的一阶差分项进行单位 根检验，判断数据的一阶差分是否是平稳的，如果数据一阶差分平稳，则数据是 一阶单整的。
ln q 47.20673 0.012227ln p 3.075149dus 0.210238ln car 5.053055ln popu
时间序列平滑预测法原理
时间序列平滑预测法原理时间序列平滑预测法是一种常用的预测方法，它基于时间序列数据的特征，通过对数据进行平滑处理，来预测未来的趋势。
该方法适用于一些具有趋势性、季节性或周期性的数据，如销售额、股票价格、气温等。
时间序列平滑预测法的原理可以概括为以下几个步骤：1. 数据平滑：首先，对原始时间序列数据进行平滑处理，以减少数据中的噪声和突发波动。
常用的平滑方法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法是通过计算一定时间窗口内数据的平均值来平滑数据。
例如，可以计算每个月的销售额的移动平均值，以获得销售额的趋势。
指数平滑法是通过加权平均的方式来平滑数据，其中较近期的数据具有较大的权重。
指数平滑法适用于数据具有较强的趋势性的情况。
常用的指数平滑方法有简单指数平滑法和双指数平滑法。
2. 趋势分析：在进行数据平滑后，可以对数据的趋势进行分析。
趋势分析可以帮助我们了解数据的整体变化趋势，以及未来的发展方向。
常用的趋势分析方法包括线性回归分析、多项式拟合和移动平均法。
线性回归分析是通过建立线性方程来描述数据的趋势。
通过拟合回归模型，可以预测未来的数据趋势。
多项式拟合是通过建立多项式方程来描述数据的趋势。
多项式拟合可以更好地适应非线性趋势的数据。
移动平均法是通过计算一定时间窗口内数据的平均值来估计数据的趋势。
移动平均法适用于数据具有周期性或季节性的情况。
3. 季节性调整：对于具有明显季节性的数据，需要进行季节性调整。
季节性调整可以帮助我们更准确地预测未来的数据。
常用的季节性调整方法包括加法模型和乘法模型。
加法模型是将趋势项、季节项和随机项相加来描述数据的季节性。
加法模型适用于季节性的波动与趋势无关的情况。
乘法模型是将趋势项、季节项和随机项相乘来描述数据的季节性。
乘法模型适用于季节性的波动与趋势有关的情况。
4. 预测未来：在完成数据的平滑处理、趋势分析和季节性调整后，可以利用得到的模型来预测未来的数据。
预测方法包括移动平均法、指数平滑法和回归分析等。
第四章 时间序列平滑预测法
ˆ ( N 3) X t 1 ˆ ( N 5) X
t 1
Xt
423 358 434
445 527 429 426 502 480 384 427 446
419 448
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ˆ ( N 3) X t 1 ˆ ( N 5) X
t 1
Xt
423 358 434 445 527 429 426 502 480 384 427 446 405 412 469 467 461 452 469 455 430 419 437 439 452 466 473 444 444 448
1 (1) ˆ X t 1 ( N 3) M t (3) ( X t X t 1 X t 2 ) 3
1 (1) ˆ X t 1 ( N 5) M t (5) ( X t X t 1 X t 2 X t 3 X t 4 ) 5
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
实际销售量 三期移动平均预测 五期移动平均预测
只
550 500 450 400 350 300 0 1 2 3 4 5 6 7
下个月的 预测销售 量——
419 or 448
8 9 10 11 12 13
月份
？
N 的选取
在实用上，一般用对过去数据预测的均方误差S 来作为选取N 的准则。
N=3 N=5
不能归因于其他三种成分 的时间序列的变化
时间坐标若不是 季度，就是年
往往，一个时间序列，是由四种因素（T、 S、C、I）综合作用的结果。 这四种因素对时间序列变化的影响有两种基 本假设→
时间序列预测的常用方法与优缺点
时间序列预测的常用方法与优缺点时间序列预测是指通过对过去一段时间内的数据进行分析，来预测未来一段时间内的数据趋势。
时间序列预测方法有很多种，包括传统统计方法以及近年来应用较广泛的机器学习方法。
本文将介绍一些常用的时间序列预测方法，并对它们的优缺点进行总结。
1. 移动平均法（MA）移动平均法是最简单的时间序列预测方法之一，它通过计算一定时间窗口内的数据平均值来预测未来的值。
移动平均法在预测平稳时间序列上表现良好，但对非平稳时间序列的预测效果较差。
2. 简单指数平滑法（SES）简单指数平滑法是一种适用于平稳和非平稳时间序列的预测方法。
它以指数型权重对历史数据进行平滑，并预测未来的值。
简单指数平滑法的优点是计算简单、易于理解，但在处理季节性和趋势性变化较大的数据时预测效果不佳。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型是一种广泛应用于时间序列预测的统计模型。
它将过去一段时间内的观测值与滞后值以及随机误差联系起来，通过对这些关系进行估计，得到未来观测值的预测结果。
ARMA模型的优点是能够处理平稳和非平稳时间序列，并且对数据的预测效果较好。
但缺点是需要估计大量的参数，计算复杂度较高。
4. 季节性自回归集成移动平均模型（SARIMA）SARIMA模型是在ARIMA模型的基础上加入了季节性因素的时间序列预测方法。
它可以处理包含季节性变化的时间序列数据，并通过对季节性因素进行建模，提高预测的准确性。
SARIMA模型的优点是能够较好地预测季节性时间序列数据，但缺点是计算复杂度较高且对参数选择要求较高。
5. 神经网络模型（NN）神经网络模型是一种机器学习方法，通过构建具有多个神经元的网络结构，对时间序列数据进行建模和预测。
神经网络模型可以处理非线性关系和复杂的时间序列数据，表现出较好的预测效果。
但其缺点是对数据量的要求较高，需要大量的训练数据才能得到准确的预测结果。
6. 长短期记忆网络模型（LSTM）长短期记忆网络模型是一种深度学习方法，通过引入记忆单元和门控机制，对时间序列数据进行建模和预测。
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实验3：时间序列平滑预测3.1实验目的1、了解移动平均法和指数平滑法的基本概念，基本原理；2、掌握一次移动平均法，二次移动平均法，单指数平滑，双指数平滑和霍尔特指数平滑法预测模型形式，适用条件及内在机理；3、掌握利用Excel 软件实现一次移动平均法，二次移动平均法操作步骤；4、掌握利用Eviews 软件实现单指数平滑，双指数平滑和霍尔特指数平滑法预测的操作流程。
3.2实验原理3.2.1移动平均法移动平均法是根据一段时间序列的样本资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均数，来预测序列趋势的一种平滑方法。
它是最简单的自适应预测模型，主要包括一次移动平均和二次移动平均两种方法。
（一）一次移动平均法一次移动平均法又称简单移动平均法，它是根据序列特征，计算一定项数的算术平均数作为序列下一期的预测值，这种方法随着时间的推移逐渐纳入新的数据同时去掉历史数据。
（1）计算公式：设时间序列为：12,,,t x x x 一次移动平均的计算公式为：111()t t t t n S x x x n --+=+++式中：t S 为第t 期移动平均数；n 为移动平均的项数。
公式表明时间t 每向前移动一个时期，一次移动平均便增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一个新的平均数。
这种边移动变平均的方法被称为一次移动平均法。
通过推到我们可以得到一次移动平均法递推公式：11()t t t t n S S x x n--=+-公式说明每一新预测值是对前一移动平均预测值的修正。
（2）预测公式为： 11ˆt t t F xS ++== 即以第t 期移动平均数作为第t+1期的预测值。
（3）特点：该预测方法简单易行，当序列的实际值波动较大时，我们通常会通过移动平均法减弱随机波动性，消除随机干扰，以帮助进行序列实际趋势的分析；移动平均的项数n 的选择至关重要， n 越大，修匀的程度也越大，移动平均后的序列波动程度越小。
反之，如果n 越小，对原序列的改变就越小。
实际中 n 到底取多大，应该根据时间序列具体情况作出选择择。
较有效的方法是取尽量多的n 值进行试算，然后比较预测的均方误差21()1nt t t kMSE x F n k ==--+∑，计算最小的均方误差的具体移动平均项数n 便是最优的。
（3）应用条件：一次移动平均法主要应用于平稳时间序列的预测，对于具有明显递增、递减趋势的时间序列一次移动平均预测法会有滞后偏差。
（二）二次移动平均法1、二次移动平均法：当时间序列具有明显递增，递减变动趋势时，用一次移动平均法预测就会出现滞后偏差。
需要进行修正，修正方法在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均，然后建立线性趋势预测模型来修正滞后偏差。
2、计算公式：一次移动平均数为： (1)111()t t t t n S x x x n--+=+++ 二次移动平均：(2)(1)(1)(1)111()t t t t n S S S S n--+=+++其递推公式为 (2)(2)(1)(1)11()t t t t n S S S S n--=+-（三）预测模型二次移动平均的预测模型是利用滞后偏差建立直线趋势预测模型，模型形式如下：ˆt T t T t t F xa b T ++==+⨯ 其中系数t a 、t b 的表达式为：(1)(2)2t t t a S S =-， (1)(2)2()1t t t b S S n =-- T 是距离最近一期的样本周期长度。
3.2.2 指数平滑法移动平均法存在将最近n 期数据等权看待的缺点，而对t-N 期以前的数据完全忽视，这往往不符合实际。
为了改进上述缺点提出了指数平滑法。
指数平滑法发展到现在有许许多多方法，这里我们主要讲Eviews5.0能实现的单指数平滑，双指数平滑，Holt-Winters 无季节指数模型，Holt-Winters 加法指数模型，，Holt-Winters 乘法指数模型。
3.2.2．1单指数平滑法（一）单指数平滑法如果序列前一期预测值加上前期预测值中产生误差的修正值则为指数平滑法。
即：1、预测模型：1(1)t t t F x F αα+=+-给定修正系数α，第t+1期预测值是t 期预测值与t 期观测值的加权平均数。
单指数平滑预测模型是由一次移动平均法得来的：因为一次移动平均公式为111()t t t t n S x x x n --+=+++ 111()t t t n t n t n x x x x x n --+--=++++-11111()t t t n t n t n x x x x x n n n--+--=++++-又因为 111ˆ()t t t t n t n xF x x x n--+-==+++ 所以 11t t t t n S x F x n n -=+-，用t F 近似代替t n x -整理得111(1)t t t F x F n n +=+-令1nα=，便得到1(1)t t t F x F αα+=+-所以指数平滑预测模型实质是第t+1期的预测值是第t 期的实际值和第t 期的预测值的加权平均数。
对此模型1(1)t t t F x F αα+=+-可以重新排列，1()t t t t F F x F α+=+-，所以第t+1期的预测值是第t 期的预测值加上第t 期的实际值与第t 期的预测值的修正值。
2、递推公式：1(1)t t t F x F αα+=+-因为 111(1)t t t F x F αα---=+-所以 111(1)((1))t t t t F x x F αααα+--=+-+-整理得：2111(1)(1)t t t t F x x F αααα+--=+-+- 我们再将1t F -、2t F -、3t F -， 带入上述模型整理得：231112311(1)(1)(1)(1)(1)n n t t t t t t n t n F x x x x x F αααααααααα-+----+-+=+-+-+-++-+-这里系数α的范围01α<<，所以第t+1期的预测值是第t 期、t-1期、t-2期、、t-n+1期的加权平均数，其权重按几何级数递减，越靠近预测期，权重越大。
越远离预测期，权重越小。
3、初始预测值的选择和加权系数的确定平滑模型的初始预测值是由预测者估计的。
一般给定的原则（1）当时间序列的数据较多，初始预测值值对以后的预测值影响很小，用最初一期数据做为初始值；（2）如果时间序列的数据中等，一般以最初几期的实际值的算数平均数作为初始预测值；（3）如果时间序列的数据长度充分大，初始预测值可以任意给定。
加权系数的确定α直接影响预测结果，所以α的取值是否恰当直接影响预测结果和精度，α的取值范围为01α<<，这区间的数据有许许多多，α值既代表预测模型对时间序列数据变化的反应速度，又决定预测模型修匀误差的能力。
实际中确定α的值方法有许多，这里讲两种常用的方法：（1） 直接给定法。
这种方法是根据所研究序列特征直接赋予平滑系数α的具体值，当序列变化幅度较小时，我们要选取较小的α，反之，当序列变化幅度较大，变化迅速时，要选取较大的靠近1的α值。
（2） 间接均方误差法。
先将平滑系数离散化，在[0,1]之间按一定的步长取α的值，然后计算每一期的预测值，根据均方误差公式21()1nt t t kMSE x F n k ==--+∑计算每一次的值，均方误差值最小的那个平滑系数便是最优的。
3.2.2．2双指数平滑法双指数平滑法的原理与二次移动平均法类似，当时间序列具有明显递增、递减变动时，单指数平滑预测法会存在明显滞后偏差所以此时要进行二次指数平滑，即双指数平滑法。
双指数平滑法的预测模型t T t t F a bT +=+其中T 是预测期距离第t 期的时期数，一般情况下t 期取样本数据最近的一期，截距t a 和斜率t b 的计算公式如下：(1)(2)2t t t a S S =-(1)(2)()1t t t b S S αα=-- (1)t S 是一次指数平滑值，(2)t S 为二次指数平滑值(1)(1)1(1)t t t S x S αα-=+-(2)(1)(2)1(1)t t t S S S αα-=+-3.2.2．3 Holt-Winters 无季节指数模型这种方法与双指数平滑法一样，主要用于具有线性趋势，但无季节变动的时间序列的预测，预测模型为：t T t t F a bT +=+模型中t a 、t b 由以下公式决定：11(1)()t t t t a x a b --=∂+-∂+11()(1)t t t t b a a b ββ--=-+-两个系数∂、β，其范围都在0~1之间。
3.2.2．4 Holt-Winters 加法指数模型，Holt-Winters 加法指数模型主要用于具有线性趋势、季节性，且这种变化以加法形式叠加的序列预测。
预测模型为：t T t t t T F a bT I ++=++11()(1)()t t t L t t a x I a b ---=∂-+-∂+ 11()(1)t t t t b a a b ββ--=-+- ()(1)t t t t L I x a I γγ-=-+-t t a bT +是趋势因素，I 为季节指数，L 是季节长度3.2.2．5 Holt-Winters 乘法指数模型Holt-Winters 乘法指数模型与二次指数相类似，主要用于具有线性趋势、季节性，且这种变化以乘法形式叠加的序列预测。
预测模型为：()t T t t t T L F a bT I ++-=+模型中t a 、t b 和t I 的表达式为：11(1)()t t t t t Lx a a b I ---=∂+-∂+11()(1)t t t t b a a b ββ--=-+-(1)tt t L tx I I a γγ-=+- 这里有三个系数∂、β、γ，其范围都在0~1之间，I 为季节指数，L 是季节长度，T 的含义与前面的相同。
3.3实验数据移动平均法某公司2001~2011年的产品销售量数据如下表所示，根据数据特点采用指数平滑法预测该公司2012年的销售量。
表（3）为2005年1Holt-Winters指数平滑法预测2013年该汽车公司1~4季度的销售额。
3.4实验过程表（1）的实验步骤步骤1：利用2007版的Excel绘制时序图选中数据区域A1：B21，点击Excel软件菜单中的【插入】，从下拉菜单中点【散点图】，选择第一个散点图样式，单击后得到如下散点图散点图比较平稳，没有递增或递减趋势，所以应选择一次移动平均法。
步骤2：单击主菜单中的【数据】，在下来菜单中点数据分析，出现如下对话框，选择移动平均。