第一学期高三质量调研测试数学试卷

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广州荔湾区2024-2025学年高三上学期调研测试数学试题(解析版)

2024学年高三年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集()U {?N 010},{1,3,5,7}U A B x x A B ==∈≤≤= ∣ ，则B =（）A. {1,3,5,7}B. {2,4,6,8}C. {1,3,5,7,9}D. {0,2,4,6,8,9,10}【答案】D 【解析】【分析】根据A B ∪及(){}U 1,3,5,7A B ∩= 即可求出集合B . 【详解】已知全集{}{}N 0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B x x =∪=∈≤≤=∣， (){}U 1,3,5,7A B ∩= ,B 集合中没有1,3,5,7，若0B ∉，则0A ∈，则()U 0A B ∈∩ ，与条件矛盾，故0B ∈，同理可得2,4,6,8,9,10B B B B B B ∈∈∈∈∈∈，则{}0,2,4,6,8,9,10B =. 故选：D. 2. 已知复数3i12iz −=+（其中i 为虚数单位），则z =（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得.【详解】()()()()3i 12i 3i32i 6i 17i 12i12i 12i 555z−−−−−−====−++−，故z .故选：C.3. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（） A. 9升 B. 10.5升 C. 12升 D. 13.5升【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式计算即得.【详解】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列{},N ,7n a n n ∗∈≤，则12674,2a a a a +=+=，17263a a a a +=+=，所以这根竹子的装米量为1777()10.52a a S +==（升）.故选：B4. 已知11sin cos ,cos sin 23αβαβ+=−=，则sin()αβ−=（） A.6772B. 6772− C. 5972D. 5972−【答案】D 【解析】【分析】将已知两式平方相加，即可求出59sin cos cos sin 72αβαβ−=−，由差角公式即可得出结果.详解】将1sin cos 2αβ+=平方得，2241sin 2sin cos cos ααββ++=，① 将1cos sin 3αβ−=平方得，2291cos 2cos sin sin ααββ−+=，②①＋②得()61322sin cos cos sin 3αβαβ+−=，所以59sin cos cos sin 72αβαβ−=−，即59sin()72αβ−=−. 故选：D5. 已知函数π()sin()(0,0π),6f x x x ωϕωϕ=+><<=和2π3x =是()f x 相邻的两个零点，则（） A. π3ϕ=B. ()f x 在区间5π11π,1212上单调递减 C. 5π()6f x f x−=−D.直线y x =−+是曲线()y f x =的切线【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出函数解析式判断A ，根据正弦函数的单调性判断B ，利用函数解析式计算判断C ，由导数求曲线的切线判断D.【详解】由题意可知2ππ2π36T=−=，所以2π2πω==，又ππsin 063f ϕ=+=，0πϕ<<，所以2π3ϕ=，故A 错误；所以()2πsin 23f x x =+，当5π11π1212x <<时，3π2π5π2232x ≤+≤，由正弦函数的单调性知， ()2πsin 23f x x=+在5π11π,1212 上单调递增，故B 错误；由5π5π2πππsin 2sin 2sin 263333f x x x x−=−+=−=−−，【()2πsin 23f x x−=−+ ，所以5π()6f x f x−≠−，故C 错误；设切点为()00,x y ，因为()2π2cos 23f x x ′=+，所以02π2cos 213k x=+=−，解得02π2π22π33x k +=+或02π4π22π33x k +=+，Z k ∈，即0πx k =或0ππ3x k =+，Z k ∈，当0k =时，切点为，切线方程为()0y x =−−，即y x =−+，故D 正确. 故选：D6. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与抛物线2:2(0)C y px p =>，椭圆E 与抛物线C 交点的连线经过椭圆E 的右焦点，抛物线C 的准线经过椭圆E 的左焦点，则椭圆E 的离心率为（）A.1−B.C.D.12− 【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的准线时椭圆的左焦点可求出2pc =，由椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，可知()222221c c a b+=，化简可得关于e 方程，求解即可. 【详解】根据题意知，抛物线C 的准线经过椭圆E 的左焦点可得2pc =，椭圆E 与抛物线C 交点的连线经过椭圆E 的右焦点，所以()222221c c a b+=，由222c a b =−，ce a=化简整理可得42610e e −+=，解之可得)2231e =−，或23e =+舍)，所以可得1e =.故选：A7. 已知函数()()22,42ln 3,4x x ax a x f x x x −−−< = +−≥ ，数列{}n a 满足()()*n a f n n =∈N ，且数列{}n a 是单调递增数列，则a 的取值范围是（） A 255,72−−B. 32,49−−C. 32,39−−D. 253,72−−【答案】A 【解析】【分析】由数列{}n a 是单调递增数列可知当3x ≤时，()f x 单调递增，当4x ≥时，()f x 单调递增，且()()43f f >，列出不等式，解不等式即可.【详解】数列{}n a 是单调递增数列，可知当3n ≤，N n +∈时，()()2222f n n an a n a a a =−−−=−++−单调递增，即3a −≥或()()2323a f f ≤−≤< ，解得52a <−；当4n ≥时，()()2ln 3nf n n =+−单调递增恒成立，且()()43f f >，即()42ln 4396a a +−>−−−；解得257a >−，所以若数列{}n a 是单调递增数列，则25572a −<<−，故选：A.8. 已知函数()e ,()ln x f x x g x x x =+=+，若()()12f x g x =，则21x x 的最小值为（） A. e − B. 1e−C. 1−D. 【答案】B 【解析】【分析】结合题意构造函数()e x h x x =+，得到12ln x x =，表示出1121e x x x x =，再借助导数求出()e xu x x =的最小值即可.【详解】∵()e ,()ln x f x x g x x x =+=+，()()12f x g x =， ∴12ln 1222e ln eln xx x x x x +=+=+，.令()()e ,e 10xxh x x h x =′++>，∴()e xh x x =+在R 上单调递增，∴12ln x x =，即12e xx =，∴1121e xx x x =，令()e xu x x =，则()()e1xu x x =′+，当(),1x ∞∈−−时，()0u x ′<，()u x 单调递减；当()1,x ∞∈−+时，()0u x ′>，()u x 单调递增； ∴当1x =−时，函数()e xu x x =取得最小值，即()()min 11eu x u =−=−， ∴121ex x ≥−，故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9. 对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X 服从正态分布()272,8N ，女生成绩Y 服从正态分布()274,6N ．则（）A. (86)(86)P X P Y ≤<≤B. (80)(80)P X P Y ≤>≤C. (74)(74)P X P Y ≤>≤D. (64)(80)P X P Y ≤=≥【答案】ACD 【解析】【分析】借助正态分布的概率的对称性计算即可得. 【详解】()272,8X N ，172µ=，18σ=；()274,6Y N ，274µ=，26σ=.11(80)()P X P X µσ≤=≤+，22(80)()P Y P Y µσ≤=≤+，(80)(80)P X P Y ≤=≤； 11(88)(2)P X P X µσ≤=≤+，22(86)(2)P Y P Y µσ≤=≤+，(88)(86)P X P Y ≤=≤；对于A ，(86)(88)(86)P X P X P Y ≤<≤=≤，A 选项正确；对于B ，(80)(80)P X P Y ≤=≤，B 选项错误；对于C ，1(74)(72)(74)2P X P X P Y ≤>≤==≤，C 选项正确；对于D ，(64)(80)(80)P X P X P Y ≤=≥=≥，D 选项正确. 故选：ACD 10. 设函数()()23f x xx =−，则（）A. 2x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()0214f x <+≤C. 当01x <<时，()()2f x f x >D. 当10x −<<时，()()1f x f x <−【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，先证明()()()2124f x x x =−+−+，再说明2x =是()f x 的极大值点即可得到A 错误；对于B ，分别利用()233f x x x =−和()()()2124f x x x =−+−+两个表达式即可证明结论；对于C ，使用作差法比较()f x 和()2f x即可；对于D ，使用作差法比较()f x 和()1f x −即可.【详解】对于A ，由于()()22333f x xx x x −−，故()()()()()()()2232223121444444344x x x x x x x x x x x x f x −+−=−+−+=−+−−−+=−−=−.所以()()()2124f x x x =−+−+，从而对()()1,22,3x ∈∪有()()()()212442f x x x f =−+−+<=，所以2x =是()f x 的极大值点，故A 错误；对于B ，当01x <<时，由于()233f x x x =−，故 ()()()()()232322132121344181261f x x x x x x x x +=+−+=++−+++()()()333286286288818110x x x x x x x x x x x x =−++>−++=−=−=−+>，且由2220x +>>，()()()2124f x x x =−+−+，可得()()()221222144f x x x +=−+−+≤. 故B 正确；对于C ，当01x <<时，由于()233f x x x =−，故由()210x x −>，()()()311130030x x x x x +−+−+>++=>可知()()()()()()()()22346243622333333311f x f x x x x x xx x x x x x x −−−−−−−−−−()()()()()()()()23222311111311x x x x x x x x x x x x x =−+−−++=−+−++()()()()()()22322322313313213x x x x x x x x x x x x x x x x x =−+−−−=−+−−=−+−+−()()()()()()()()()2221311131110x x x x x x x x x x x x x =−+−+−=−+−+−+>，所以()()2f x f x>，故C 正确；对于D ，当10x −<<时，有()()()12120x x x +−−>，故()()()()()()232313113f x f x x x x x −−=−−−−−()()223233631333xx x x x x x =−+−+−+−−()()()323222332225522x x x x x x x x =−−+=+−+++()()()()()2125212120x x x x x x =+−+=+−−>，所以()()1f x f x <−，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用不同的方向去研究函数的性质，方可解决相应的问题. 11. 在圆锥SO 中，母线SA l =，底面圆的半径为r ，圆锥SO 的侧面积为3π，则（）A. 当32r =时，圆锥SOB. 当32r =时，过顶点S C. 当3l =时，圆锥SO 能在棱长为4的正四面体内任意转动 D. 当3l =时，棱长为1的正四面体能在圆锥SO 内任意转动【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，先根据几何体特征算出圆锥SO 内接圆柱体的体积表达式，然后构造函数()21,0f x x x x =−<< ，利用导数即可求解；对于B ，当32r =时，2l =，求出圆锥的轴截面顶角，进一步即可验算；对于C ，分别算出圆锥SO 外接球半径以及正四面体内切球半径，比较大小即可判断；对于D ，分别算出正四面体外接球半径以及圆锥SO 内切球半径，比较大小即可判断.【详解】由已知圆锥SO 的侧面积为π3πrl =，即3rl =， A 选项：当32r =时，2l =，h ==此时圆锥的轴截面SAB 、圆锥SO 内接圆柱体的轴截面CDEF 如图所示，设11,OF r CF h ==，则由相似三角形性质有21112391π1324r r V h ⇒=⇒= ，设()21,0f x x x x =<< ()221111f x x x x x   ⇒=+=−  ′  ，令()110,0f x x x x  ==<<⇒=   ′ ，当0x <<ff ′(xx )>0，所以()f x在上单调递增，x <<ff ′(xx )<0，所以()fx 上单调递增，所以当x =()f x有最大值，且它的最大值为21f =，所以max 9π4V =，故A 正确；B 选项：当32r =时，2l =，此时圆锥的轴截面如图所示，在222222322212cos 022228SA SB AB ASB SA SB+−× +− ∠===−<⋅××，所以ASB ∠为钝角，令P ，Q 是圆锥SO 的底面圆周上任意的不同两点，则0PSQ ASB <∠≤∠，所以11sin 221222PSQS SP SQ PSQ =⋅⋅∠≤×××= ，当且仅当2πPSQ ∠=时，取等号，故B 错误；C 选项：当3l =时，1r =，高h =，设圆锥SO 的外接球球心为C ，圆锥SO 的外接球半径为2R ，所以()222222219R R R +−=⇒=⇒，棱长为4的正四面体BDMN 可以补成正方体GBHD MENF −，如图所示，则正方体的棱长BGBD =，正四面体BDMN的体积为((3211432B DMNV −=−⋅⋅⋅⋅，正四面体BDMN的表面积为14442B DMN S −=×××=，设正四面体BDMN 的内切球半径为2r ，则由等体积法可知22213B DMN B DMN S r V r −−=⇒⇒=，注意到22R r =>=，所以圆锥SO 不能在棱长为4的正四面体内任意转动，故C 错误；D 选项：棱长为1的正四面体BDMN 可以补成正方体GBHD MENF −，如图所示，则正方体的棱长BG=，所以正方体的外接球即正四面体的外接球，=1R =当3l =时，1r =，高h =，圆锥SO 的内切球球心在线段SO 上，圆锥的轴截面截内切球的大圆，即圆锥轴截面的内切圆，设内切圆半径为1r ，由三角形面积得()111332222r ++=××，解得1r =>，所以棱长为1的正四面体能在圆锥SO 内任意转动，故D 正确. 故选：AD.【点睛】关键点点睛：判断A 选项的关键在于求出圆柱体积表达式，利用导数这一有利工具，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则1212(2)(32)e e e e +⋅−+=____________．【答案】72− 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的定义及运算律计算即得.【详解】由单位向量21,e e 的夹角为60°，得11221||||cos 602e e e e ⋅=°= ，所以221212121217(2)(32)626222e e e e e e e e +⋅−+=−++⋅=−++=− .故答案为：72−13. 在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为____________．【答案】38##0.375 【解析】【分析】使用表格列出所有情况，然后由古典概型的概率公式可得.【详解】记四位同学为甲、乙、丙、丁，他们准备的贺卡分别为1、2、3、4，则四位同学抽到可贺卡情况如下表：总情况有24种，满足条件的有9种，故四位同学均未取到自己的贺卡的概率为93248=. 故答案为：3814. 如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，2,13,21,43,13,42,12,a a a a a ==⋅=，则7,8a =____________，,11nn i j i j a ==∑∑____________．1,1a 1,2a 1,3a … 1,n a 2,1a 2,2a 2,3a … 2,n a… … … … …,1n a ,2n a ,3n a … ,n n a【答案】 ①. 960 ②. 222n n n ⋅− 【解析】【分析】设出每一列等比数列的公共公比q ，结合等比数列性质可得21,41,11,42a q a q a =⋅⋅⋅，即可得1,1a ，即可得q ，从而可得,1i a ，即可得,i j a ，即可得7,8a ；由,i j a 结合等差数列求和公式可计算出,1ni jj a=∑，再结合等比数列求和公式即可得,11nn i j i j a =∑∑. 【详解】设每一列等比数列的公比都为q ，则23,11,1a a q =⋅，23,41,4a q a =⋅，则由1,43,13,4a a a ⋅=，可得21,41,11,42a q a q a =⋅⋅⋅，则1,11a =，则1,122q a ==，故1,12i i a −=，由3,212a =，则1,221232a ==，则1,232i i a −=⋅，故11,2,13222i i i i i a a −−−=⋅−=，即()()11,212212i i i i j a j j −−=+−⋅=−⋅，故()717,828121564960a −=×−⋅=×=；则()1121,,1,2,1221222i i ni i j i i i n j n n a a a a n −−−= +−⋅× =+++==⋅∑ ，则()()22120212122,111122222212nnn n i n n i j i j i n a n n n n n n −−==− =⋅=⋅+⋅++⋅==⋅− − ∑∑∑ . 故答案为：960；222n n n ⋅−.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出每一列等比数列的公共公比q ，结合等比数列性质利用所给数据计算出q ，从而得到()1,212i i j a j −=−⋅.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，Csin cos C a C c b −=−．（1）求A ；（2）若7,a ABC =△，求ABC 的周长. 【答案】（1）2π3（2）15 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得πsin 6A+，可求角A ；（2）由（1）结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出b c +即可作答．【小问1详解】ABCsin cos C a C c b −=−，sin sin cos sin sin A C A C C B −=−，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin cos sin sin A C A C C +=，由()0,πC ∈，sin 0C ≠，πcos 2sin 16A A A+=+=，得π1sin 62A +=，由()0,πA ∈，则π5π66A +=，得2π3A =. 【小问2详解】2π3A =，则sin A =，由1sin 2ABC S bc A == 15bc =，由余弦定理()2222222cos a b c bc A b c bc b c bc =+−=++=+−，得()24915b c =+−，得8+=b c ，所以ABC 的周长为15a b c ++=.的16. 如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是平行四边形，PAD △是正三角形，60,24BAD PB AB AD ∠=°===．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ; （2）求二面角B PC D −−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）取AD 中点O ，连接,OP OB ，根据等比三角形可得PO AD ⊥，由余弦定理求OB 长，再由勾股定理得OB OP ⊥，结合面面垂直判定定理证得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算分别求平面PBC 与平面PCD 的法向量，根据向量夹角运算即可得二面角B PC D −−的余弦值．【小问1详解】取AD 中点O ，连接,OP OB ，因为PAD △是正三角形，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥，且POAD =，又60,24BAD AB AD ∠=°==，由余弦定理得22212cos 60116214132OB OA AB OA AB =+−⋅⋅°=+−×××=，则222OB OP PB +=，故OB OP ⊥，因为,,OB AD O OB AD ∩=⊂平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又PO ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】如图，连接BD，则BD =所以222BD AD AB +=，故DA DB ⊥，如图，过D 作//Dz PO ，以D 为原点，,DA DB 所在直线为,x y 轴，建立空间直角坐标系，则(0,B，(C −，(0,0,0)D，P ，∴(2,0,0)BC =−，(3,PC −，(2,CD =− ，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则200230n BC x x z y n PC x ⋅=−== ⇒ =⋅=−+=，取(0,1,2)n = ，设平面PDC 的一个法向量为(,,)m a b c = ，则3020m PC a a b c m CD a ⋅=−+−== ⇒ =− ⋅=−=，取(1,1)m −，由图可知二面角B PC D −−的平面角为锐角角，∴二面角B PC D −−的余弦值为：|cos m <,1|5n >=．17. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了1000名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.（1）求a 的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）为进一步了解这1000名高中学生户外运动的时间分配，在(]14,16，(]16,18两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机抽取3人进行访谈，记在(]14,16内的人数为X ，求X 的分布列和期望；（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取8名学生，用“()8P k ”表示这8名学生中恰有k 名学生户外运动时间在(]8,10内的概率，当()8P k 最大时，求k 的值. 【答案】（1）0.1a =，平均时间为9.16小时（2）分布列见解析，期望()125E X = （3）2k = 【解析】【分析】（1）根据频率和为1，可得a ，再根据平均数公式直接计算平均数即可；（2）分别计算时间在(]14,16，(]16,18的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望；（3）根据频率分布直方图可知运动时间在(]8,10内的频率，根据二项分布的概率公式可得()8P k ，根据最值可列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】由已知()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=，解得0.1a =，所以平均数为10.0430.0650.170.190.3×+×+×+×+×110.2130.1150.081706290.1.+++×=×+××.【小问2详解】这1000名高中学生户外运动的时间分配，在(]14,16，(]16,18两组内的学生分别有10000.0880×=人，和10000.0220×=人；所以根据分层抽样可知5人中在(]14,16的人数为80548020×=+人，在(]16,18内的人数为541−=人，所以随机变量X 的可能取值有2，3，所以()2435C 32C 5P X ===，()3435C 23C 5P X ===，则分布列为期望()321223555E X =×+×=；【小问3详解】由频率分布直方图可知运动时间在(]8,10内的频率为30.1520.310×==，则()888883337C 1C 10101010kkkkk k P k −−=⋅−=⋅⋅，若()8P k 为最大值，则()()()()888811P k P k P k P k ≥+≥− ，即8171888191883737C C 101010103737C C 10101010k k k kk k k k k kk k −+−+−−−−⋅⋅≥⋅⋅ ⋅⋅≥⋅⋅，即1713810110131710910k k k k ⋅≥⋅ −+ ⋅≥⋅ − ，解得1.7 2.7k ≤≤，又N k ∈，且08k ≤≤，则2k =. 18. 已知函数()21e 2xf x ax x =−−．（1）若()0f x ′≥，求实数a 的取值范围；（2）若()212f x x x b ≥−++，求()1a b +的最大值．【答案】（1）(−∞,1]（2）e 2【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性与最值分离参数计算即可；（2）含参分类讨论()()e 1xh x a x b =−+−的单调性，得出()()()11ln 1a a a b +−++≥，构造函数，利用导数研究其单调性及最值计算即可.小问1详解】由题意得()e xf x a x =′−−，则()0e xf x x a ⇒′≥−≥，令()()e e 1x xg x x g x ′=−⇒=−，显然0x <时，()0g x ′<，即()g x 此时单调递减，0x >时，gg (xx )>0，即()g x 此时单调递增，所以()()01g x g ≥=，则1a ≤，实数a 的取值范围为(−∞,1]；【小问2详解】若()212f x x x b ≥−++，则()e 10x a x b −+−≥，令()()e 1xh x a x b =−+−，则()()e 1xh a =′−+，若1a ≤−，则ℎ′(xx )>0，此时ℎ(xx )在R 上单调递增，当x →−∞时，()h x ∞→−，不符合题意；当1>−a ，则()ln 1x a >+时，ℎ′(xx )>0，此时ℎ(xx )单调递增， ()ln 1x a <+时，ℎ′(xx )<0，此时ℎ(xx )单调递减，即()()()()()()ln 111ln 10h x h a a a a b ≥+=+−++−≥，即()()()11ln 1a a a b +−++≥，所以()()()()2211ln 11a a a b a +−++≥+，令()()()22ln 2ln 12ln m x x x x m x x x x x x =−⇒=−=−′，易知当(x ∈时，()0m x ′>，此时()m x 单调递增，【当)x ∞∈+时，()0m x ′<，此时()m x 单调递减，即()e 2m x m ≤=，所以()()()()22e 11ln 112a a ab a ≥+−++≥+，当且仅当()()()111ln 1a b a a a ++−++()max e 12b a +=，所以()1a b +的最大值为e 2. 【点睛】思路点睛：对于双变量的恒成立问题，可以通过消元转化为单变量函数最值来进行计算.19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）为了求二元二次方程2231x y −=的正整数解()()*,,,N n n n n n P x y x y n ∈，可先找到初始解()11,x y ，其中1x 为所有解n x中的最小值，因为221(2231+−×，可得1(2,1)P ;因为22221(2(2(7734+−−×，可得2(7,4)P ;重复上述过程，因为(2n+与(2n −()()221(2(23n n n nn n n x xx y =−=−，故得(),n n n P x y ．若方程E 的正整数解为(),n n n Q x y ，且初始解为1(9,4)Q ．（i ）证明：2118n n n x x x +++=；（ii ）1n n OQ Q +△的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．【答案】（1）22115y x −=；（2）（i ）证明见详解；（ii ）为定值，2. 【解析】【分析】（1）根据已知列出关于,,a b c 的方程组求解即可；（2）（i ）根据循环构造原理求出,n n x y ，然后据此化简即可得证；（ii ）记()()111,,,n n n n n n OQ x y OQ x y +++==，根据数量积公式和三角形面积公式化简可得.【小问1详解】由题知，2222b c a a b c = = +=，解得1,a b c == 所以双曲线E 的标准方程为22115y x −=. 【小问2详解】（i ）由（1）知双曲线E 的方程为2251x y −=，由题知，方程2251x y −=的初始解为()19,4Q ，根据循环构造原理可得：((9,9n nn n n n x x +=+−=−，所以((((199,992n n n nn n x y =++−+−− ，因为(((22211999922n n n n n n x x +++ +=++−+++−((((((11916191619922nn n n =+++−−+++−((((1916291622n n =+++−− ，((111918992n n n x +++ =++−((((1899992nn =+++−−((((1916291622n n =+++−− ，所以2118n n n x x x +++=. （ii ）记()()111,,,nn n n n n OQ x y OQ x y +++== ，1,n n OQ OQ α+= ，则111sin 2n n OQ Q n n S OQ OQ α++==1112n n n n x y x y ++=−，记((9,9n na b +−，则)((((()19999n n OQ Q S b a b a b a b + ++−−−++−−(22992n ab ==+−= . 【点睛】关键点睛：关键在于根据循环构造原理求出,n n x y ，然后结合向量数量积公式和三角形面积公式求解即可.。

上海市普通高中2025届高三第一次调研测试数学试卷含解析

上海市普通高中2025届高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（）A ．8B ．4C ．2D ．12．若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）3．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（） A ．760B ．16C ．1360D ．144．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1BCD6．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种7．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（） A ．1 B ．2C ．3D ．48．若1tan 2α=，则cos2=α( )A ．45-B ．35C ．45D ．359．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．1y x =+或1y x =-- B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+10．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A ．20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．50,5⎛⎫⎪⎝⎭ D ．60,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<-D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-12．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省宿迁市泗阳县王集中学2024-2025学年高三上学期第一次质量调研数学试卷(艺术班)

江苏省宿迁市泗阳县王集中学 2024-2025 学年高三上学期第
一次质量调研数学试卷（艺术班）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知 a,b Î R ，则“ a < b ”是“ a < b -1”的（）
A．充分不必要条件不充分也不必要条件
B．4
C．5
D．8
二、多选题 9．下面命题正确的是（）
A．“ a < 1 ”是“ a < 1 ”的充要条件
B．“
a
>
1
”是“
1 a
<
1
”的充分不必要条件
C．“ a ¹ 0 ”是“ ab ¹ 0 ”的必要不充分条件 D．“ x ³ 2 且 y ³ 2 ”是“ x2 + y2 ³ 4 ”的必要不充分条件
．
四、解答题
{ } 15．已知全集U = R ，集合 A =
x x2 + 3x -18 ³ 0
，B
= ìíx î
x+5 x -14
£
0üý ， C þ
=
ìíx î
2x +1 x -1
£
1üý þ
．
试卷第31 页，共33 页
(1)求 A Ç B ；
(2)求 B Ç C ．
16．（1）当
x
>
1 时，求
时， f (x) = x2 - 4 ，则 f (2023) = （）
A． -3
B． -4
C．3
D．4
6．若“ $x Î[1,2] ，使 2x2 - lx +1 < 0 成立”是假命题，则实数 λ 的取值范围是（）

江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2025届高三上学期第一次质量调研数学试卷

江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2025届高三上学期第一次质量调研数学试卷一、单选题1．设集合{}{}2,0,2,1A a B a ==+，若{1}A B ⋂=，则a =（）A ．1B ．1-C ．0D ．1±2．若α为第二象限角，则（） A ．sin20α>B ．cos20α<C ．sin cos 0αα->D ．sin cos 0αα+<3．函数2()ln()f x x x =-+的定义域为（） A ．(][),01,-∞+∞U B ．()0,1C ．[]0,1D ．(][),01,-∞+∞U4．已知函数()1,121,12xa x f x x x⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．0a <B ．12a >-C ．102a -<<D ．102a ≤<5．已知函数()f x 部分图象如图所示，则其解析式可能为（）A ．()()2e e x xf x x -=- B ．()2()e e x xf x x -=+ C ．()()e e x xf x x -=-D ．()()e e x xf x x -=+6．过点(3,1)作曲线ln(1)y x =-的切线，则这样的切线共有（） A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条7．已知ln 22ln a a =，ln33ln b b =，ln55ln c c =，且(),,0,e ∈a b c 则（）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a8．函数221log ,0()221,0x x x f x ax x x ⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩有且仅有4个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,)+∞B ．(1,)-+∞C ．(1,0)-D ．[1,1]-二、多选题9．下列导数运算正确的是（） A ．211()x x'=-B ．(e )e x x --'=C ．21(tan )cos x x'=D ．1(ln )x x'=10．设函数()e e 2,R x x f x x x -=--∈，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在R 上是单调函数C ．()f x 的最小值为1D ．当0x >时，()0f x >11．已知1x ，2x ，3x 是函数32()1f x x a x =-+的三个零点（0a >，123x x x <<），则（）A．3a >B ．120x x <<C ．()()13f x f x ''=D ．()()()1231110f x f x f x ''++='三、填空题12．已知角α的终边经过点(2,3)P -，则sin(π)cos(π)ππsin()cos()22αααα-+-=++-． 13．“1x y <<”是“ln ln x x y y <”的条件．（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”） 14．函数,0ky k x=>与ln y x =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，设ln y x =在A 处的切线1l 的倾斜角为α，e x y =在B 处的切线2l 的倾斜角为β，若2βα=，则k =．四、解答题15．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >（1b >）. (1)求a ，b 的值；(2)当0x >，0y >，且满足1a bx y+=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围.16．已知函数()()1e xf x x =-.(1)求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； (2)求()f x 在[]1,2-上的最值.17．已知函数3212()232a f x x x ax +=-+． (1)若1a =，求函数()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性．18．已知函数()e e 22x x f x x -=--+.（e 2.71828=⋅⋅⋅）(1)判断函数()2y f x =-的奇偶性并证明，据此说明()f x 图象的对称性； (2)若任意(1,)x ∈+∞，(ln )()4f m x f x +>，求实数m 的取值范围．19．设函数()2ln f x ax a x =--，()1ee xg x x =-，其中R a ∈，e 2.718=L 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，g x >0；(3)确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间 1,+∞ 内恒成立．。

2025届广东省佛山市普通高中高三第一次调研测试数学试卷含解析

2025届广东省佛山市普通高中高三第一次调研测试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．2．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（） A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >3．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i4．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（） A ．43B ．54C ．65D ．765．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（）A ．2B ．22C ．6D ．236．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）A ．356B ．328C ．314D ．147．运行如图程序，则输出的S 的值为（）A ．0B ．1C ．2018D ．20178．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S=（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±10．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（）A ．2B ．32C ．3D ．412．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届湖北省七市州高三第一次调研测试数学试卷含解析

2025届湖北省七市州高三第一次调研测试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（） A ．54B ．34C ．58D ．382．函数的定义域为（）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）3．要得到函数312y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数323y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度4．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =5．命题“(0,1),ln xx ex -∀∈>”的否定是（）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2sin 2y x =的图象 7．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A 在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（） A ．5B ．52C ．52D ．58．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（） A ．35B ．25C ．4D ．59．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆10．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭11．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．1312．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（）A ．26B ．33C ．36D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年江苏省常州市高三上册期初调研数学质量检测试卷(附解析)

2024-2025学年江苏省常州市高三上学期期初调研数学质量检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则下列选项中正确的是（）{{}2,P x y Q y y x ====A ．B ．C ．D ．P Q =RQ P⊆P Q =∅P Q⊆2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则αx (4,3)P -（）3sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．2425-725-72524253．已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹,a b 4,10a b ==a b 15b -a b 角为（）A ．B ．C ．D ．π6π32π35π64．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看1%()36511%+()36511%-作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）lg101 2.0043≈lg 99 1.9956≈A ．100B ．230C ．130D ．3655．已知，则（）．sin (α−β)=13,cosαsinβ=16cos (2α+2β)=A ．B ．C ．D ．791919-79-6．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭[]0,1a A ．B ．(],2-∞(],0-∞C ．D ．[)2,+∞[)0,+∞7．已知函数是R 上的偶函数，且，当时，()1f x +()()220f x f x ++-=(]0,1x ∈，函数f （x ）在区间的零点个数为（）()25log 22f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]3,3-A ．7B ．8C ．9D ．108．已知函数满足，，则()f x ()112f =()()()()()2,,f x f y f x y f x y x y =++-∈R （）()2024f =A ．B ．C ．D ．121414-12-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（）X ()2,4X N :A ．若，则B ．若，则2Y X =+()4E Y =24Y X =+()8D Y =C ．D ．()()04P X P X ≤=≥()()14124P X P X ≤≤=-≥10 ）①；tan 25tan 3525tan 35+︒︒︒︒②；()2sin 35cos 25cos35cos 65︒︒+︒︒③；1tan151tan15+︒-︒④．1tan151tan15-︒+︒A ．①B ．②C ．③D ．④11．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个()f x ()f x '0x ()()00f x f x '=0x ()f x “巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（）A ．B ．C ．D ．2()f x x=()xf x e-=()ln f x x=()tan f x x=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数.e xy =0x =()ln y x a =+a =13．已知函数的图象与直线在上有个交点，则实()6sin sin 3f x x x =+()y f x =y m =[0,2π]4数的取值范围为．m14．已知函数其中，，的部分图象如下图所示，(()sin()f x A x ωϕ=+0A >0ω>ππ22ϕ-<<若在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为．()f x (,)m m -m四、解答题：本题共5小题，共77分．除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知都是锐角，且，.,αβ3sin 5α=()1tan 3αβ-=-（1）求的值；()sin αβ-（2）求的值.cos β16．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT 所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.17．已知三棱锥平面，为的中点，,P ABC PA -⊥,,2,1ABC AB BC AC PA AB ⊥===E PB 为延长线上一点.Q BA(1)证明：；AE CP ⊥(2)当二面角的长.A PQ C --BQ 18．已知函数.()()()2ln 2,ln 1,f x x a x a x g x x x x a a =+-+=--+∈R(1)讨论的单调性；()f x (2)若有两个零点，求的取值范围；()g x a (3)若对任意恒成立，求的取值范围.()()1ln f x g x a x+≥+1x ≥a 19．设为大于3的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新n {}n a m 数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们{}m b ()1,2,,2i i m =- ()()120ii ii b b b b ++--<称数列为数列的一个数列．{}m b {}ma n -(1)若数列为，写出所有的数列；{}n a 1,2,3,4,4m ={}n a n -(2)如果数列公差为，证明：；{}n a 1,21m k =+1m b b k-≥(3)记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的数列”的概率为，证明：{}n a m {}m b {}n a n -m P ．13m P ≤1．B【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解.【详解】由得，由可得，{P x y =={}1P x x =≥-{}2Q y y x =={}0Q y y =≥故，其它都不正确.Q P ⊆故选：B 2．B【分析】先利用诱导公式和恒等变换进行化简，再利用任意角三角函数求解即可.【详解】由题意得，所以.故4cos 5α=-23167sin 2cos 212cos 1222525πααα⎛⎫+=-=-=-⨯=- ⎪⎝⎭选：B.3．C【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.【详解】依题意，在上的投影向量为，则，a b 215||a b b b b ⋅=-21||205a b b ⋅=-=- 于是，而，则，201cos ,4102||||a b a b a b ⋅-〈〉===-⨯,[0,π]a b 〈〉∈ 2π,3a b 〈〉=所以向量与向量的夹角为.ab 2π3故选：C 4．B【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指n 100 1.011000.99nn=数对数的关系及换底公式计算可得.【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，n 100此时“进步值”为，“退步值”为，即，()11% 1.01nn+=()11%0.99nn-= 1.011000.99nn =所以，则，1.011011000.9999nn⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10199log 100n =所以天．lg100lg1002230101lg101lg99 2.0043 1.9956lg 99n ==≈≈--故选：B 5．B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公sin()αβ+式计算作答.【详解】因为，而，因此，sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=131cos sin 6αβ=sinαcosβ=12则，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23所以.cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1−2sin 2(α+β)=1−2×(23)2=19故选：B方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．6．B【分析】根据函数由复合而成，结合复合函数的单调性判()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭21(),3t y t x ax==-断在区间上是增函数，即可求得答案.2t x ax =-[]0,1【详解】由题意知函数由复合而成，()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭21(,3t y t x ax==-在R 上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，1()3ty =()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭[]0,1可知在区间上是增函数，故，2t x ax =-[]0,10,02aa ≤∴≤即实数的取值范围是，a (],0-∞故选：B 7．C【分析】根据的对称轴和对称中心，结合函数的图象即可判断的零点个数.()f x ()f x 【详解】因为函数是R 上的偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x -+=+所以关于直线对称，()f x 1x =因为，时，()()220f x f x ++-=x =2()()40f f =-由，当时，，故，()()220f x f x ++-=0x =()()220f f +=()20f =又关于直线对称，所以，()f x 1x =()()()()002400f f f f =-==-=，由对称性可得在上的大致图象如下图所示，()f x []3,3-则在区间的零点个数为9.()f x []3,3-故选：C.8．D【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得1,0x y ==()01f =1y =，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周()()()11f x f x f x =++-()()6f x f x +=()f x 期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即()01f =()112f =()2f 可求解.()2024f 【详解】取代入，1,0x y ==()()()()2f x f y f x y f x y =++-得即，由题解得，()()()()()2101121f f f f f =+=()()21010f f ⎡⎤-=⎣⎦()01f =令代入得，1y =()()()()2f x f y f x y f x y =++-()()()11f x f x f x =++-故，()()()()()()()654321f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=-+=-+++=所以是周期为6的周期函数，()f x又，，所以，()01f =()112f =()()()12102f f f =-=-所以，1(2024)(33762)(2)2f f f =⨯+==-故选：D.思路点睛：依次赋值和代入分别得到1,0x y ==1y =()()()()2f x f y f x y f x y =++-和，再依据所得条件推出即函数周期为6()01f =()()()11f x f x f x =++-()()6f x f x +=和，进而根据周期性和即可求解.()122f =-()2f ()2024f 9．AC【分析】利用期望与方差的性质结合正态分布的性质计算一一判定选项即可.【详解】A 选项：，故A 正确；()()()224E Y E X E X =+=+=B 选项：，故B 错误；()()()24416D Y D X D X =+==C 选项：由正态分布密度曲线知其关于对称，2X =利用对称性知，故C 正确；()()04P X P X ≤=≥D 选项：因为，()()()()()()11441,401P X P X P X P X P X P X ≤+≤≤+≥=≥=≤≠≤所以，，故D 错误.()()14241P X P X ≤≤+≥≠故选：AC 10．ABC 【分析】利用即可得①正确；，进而()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-cos 65sin 25=利用正弦和角公式即可得②正确；由与正切的和差角公式即可得③正确④错误.tan 451=【详解】对于①，由于，()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-所以tan 25tan 3525tan 35++()()tan 25351tan 25tan 3525tan 35tan 2535⎡⎤=+-=+=⎣⎦对于②，由于，cos 65sin 25=所以()()2sin 35cos 25cos35cos 652sin 35cos 25cos35sin 252sin 60+=+==对于③，因为， tan 451= 1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===--对于④，因为， tan 451= 1tan15tan 45tan15tan 301tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒-+-===+故选：ABC 11．AC【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可.【详解】对于A ：∵，∴，令，即，解得：x =0或2()f x x =()2f x x '=()()f x f x ='22x x =x =2，故有“巧值点”.对于B ：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”()x f x e -=()x f x e -'=-()()f x f x ='x x e e --=-.对于C ：∵，∴，令，即，由和的图()ln f x x =1()f x x '=()()f x f x ='1ln x x =()ln f x x =1()f x x '=像可知，二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”.()()f x f x ='对于D ：∵，∴，令，即，可得，()tan f x x =21()cos f x x '=()()f x f x ='21tan cos x x =sin 22x =无解，故没有“巧值点”.故选：AC数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.12．2【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得.e xy =0x =()ln y x a =+2a =【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为；e x y =e x y '=0e 1k ==(0,1)则曲线在处的切线为，e xy =0x =1y x =+显然，设切点，()1g x x a '=+()()00,ln x x a +由，解得.()00011ln 1x a x a x ⎧=⎪+⎨⎪+=+⎩012x a =-⎧⎨=⎩故213．(()5-- 【分析】对函数求导，联系余弦函数在上的单调性分析导函数的正负，()f x '()f x [0,2π]'()f x 由此得到函数的单调性，数形结合即可求解.()f x 【详解】函数的导函数为()6sin sin 3f x x x =+，()()32()6cos 3cos36cos 3cos 212cos 3cos 3cos 4cos 1f x x x x x x x x x x =+=++=-=-'当时，，则在上单调递增，π03x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒>⎨>⎩'()f x π03x ≤<当时，，则在上单调递减，ππ32x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒<⎨>⎩'()f x ππ32x ≤<当时，，则在上单调递增，π2π23x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒>⎨<⎩'()f x π2π23x ≤<当时，，则在上单调递减，2ππ3x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒<⎨<⎩'()f x 2ππ3x ≤<当时，，则在上单调递减，4ππ3x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒<⎨<⎩'()f x 4ππ3x ≤<当时，，则在上单调递增，4π3π32x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒>⎨<⎩'()f x 4π3π32x ≤<当时，，则在上单调递减，3π5π23x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒<⎨>⎩'()f x 3π5π23x ≤<当时，，则在上单调递增，5π2π3x ≤≤()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒>⎨>⎩'()f x 5π2π3x ≤≤所以，在上，当时，取得极大值为时，极小值为；[]0,ππ2π,33x =()f x π2x =5在上，当时，取得极大值为，当时，极小值为(]π,2π3π2x =()f x 5-4π5π,33x =-所以函数的图象与直线在上有个交点，则实数()6sin sin 3f x x x =+()y f x =y m =[0,2π]4的取值范围为，m (()5⋃--故(()5⋃--14．5π7π,66⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由图像可求出函数，然后根据求解函数的零点存在的值并结合区()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭间上只有两个零点，从而求解.(),m m -【详解】由图象对称性可知，函数的图象与轴正半轴第一个交点的横坐标为，()f x x π6由图可知为其对称轴，则，解出，2π3x =2π12πππ44362T ω=⋅=-=1ω=由于，故，，则，，因为，所以πsin 06A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ6k ϕ+=Z k ∈ππ6k ϕ=-Z k ∈ππ22ϕ-<<，π6ϕ=-于是，由于，故，因此，()πsin 6f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π10sin 62f A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭1A =()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知，115ππ7ππ06666f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为在，上有且仅有两个零点，所以.()f x (,)m m -5π7π66m <≤故答案为.5π7π,66⎛⎤ ⎥⎝⎦15．（1）2【详解】试题分析：（1）因为都是锐角，而，可得，由,αβ()1tan 3αβ-=-()sin 0αβ-<同角三角函数基本关系式得2）凑角可得，()sin αβ-=()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.试题解析：（1）因为，所以，,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22ππαβ-<-<又因为，所以.()1tan 03αβ-=-<02παβ-<-<利用同角三角函数的基本关系可得，且，()()22sin cos 1αβαβ-+-=()()sin 1cos 3αβαβ-=--解得.()sin αβ-=（2）由（1）可得，.()cos αβ-===因为为锐角，，所以.α3sin 5α=4cos 5α==所以 ()cos cos cos βααβ⎡⎤=--=⎣⎦()()cos sin sinααβααβ-+-4355⎛=⨯= ⎝16．(1)1130(2)该球取自乙箱的可能性更大【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；（2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论.【详解】（1）记事件A 表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，A 则，()()()()1212||2635P A P A P B A P B A =====由全概率公式得： .()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+111211232530=⨯+⨯=（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：该球是取自甲箱的概率()()()()11|523|111130P A P B A P A B P B ⨯===，该球取自乙箱的概率()()()()12|625|111130P A P B A P A B P B ⨯===因为所以该球取自乙箱的可能性更大.()()||P A B P A B <，17．(1)证明见解析(2)或332【分析】（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法建立方程，求解参数即可.【详解】（1）因为平面平面，所以，PA ⊥,ABC BC ⊂ABC PA BC ⊥又，，平面，所以平面，AB BC ⊥PA AB A = ,PA AB ⊂PAB ⊥BC PAB 因为面，所以，又因为为的中点，，AE ⊂PAB BC AE ⊥E PB 1==PA AB 所以，因为，平面，AE PB ⊥BC PB B = ,BC PB ⊂PBC 所以平面，因为平面，所以；AE ⊥PBC PC ⊂PBC AE CP ⊥（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，B 设，()()()),0.0,0,0,,0,0,1,1,BQ t B Q t P C=取平面的法向量，APQ ()1,0,0m =设平面的法向量，CPQ (),,n x y z =因为，)),0,1,1QC t PC =-=--由，则，令，解得，00QC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0ty y z -=--=x t=)1y z t ==-所以，由)()1n t t =-cos ,m n m n m n ⋅〈〉==得，解得或，故或.22990t t -+=3t =32t =3BQ =32BQ =18．(1)答案见解析(2)()0,1(3),0]∞-（【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得；a （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数()g x ()ln h x x x x =-1y a =-研究并作出函数的图象，即得的取值范围；()h x a （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参1ln 0a x x a x ---+≥()1ln ax x x a x ϕ=---+数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围.a ()0x ϕ≥a 【详解】（1）的定义域为，()f x ()0,∞+()()()()()2221222x a x a x x a af x x a x x x-++--=+-+='=．当时，时，时，；0a ≤()0,1x ∈()()01,f x x ∞'<∈+；()0f x '>当时，时，；2a =()0,x ∞∈+()0f x '≥当时，时，；时；02a <<,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭()0f x '>当时，时；时；2a >1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭()0f x '>综上，时，的递减区间是，递增区间是；0a ≤()f x ()0,1()1,∞+时，的递增区间是，无递减区间；2a =()f x ()0,∞+时，的递增区间是和，递减区间是；02a <<()f x 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,∞+,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，的递增区间是和，递减区间是.2a >()f x ()0,1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）令得，()0g x =ln 1x x x a -=-设，则，()ln h x x x x =-()ln h x x'=当时，在上递减；当时，在上递()0,1x ∈()()0,h x h x '<()0,1()1,x ∞∈+()()0,h x h x '>()1,∞+增，则.()()min 11,h x h ==-又因时，时，作出函数的图象，0x +→()0,h x x ∞-→→+(),h x ∞→+()ln h x x x x =-由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使，1y a =-()h x 110a -<-<即，故的取值范围是.01a <<a ()0,1（3）由得，()()1ln f x g x a x+≥+2ln 0x x x x ax a ---+≥因，即得，（*），1x ≥1ln 0a x x a x ---+≥易得时，不等式成立，1x =设，，()1ln ax x x a x ϕ=---+1x >则，22221(1)()1a x x a x x ax x x x x ϕ----'=--==当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立；0a ≤()0x ϕ'>()ϕx (1,)+∞()(1)0x ϕϕ>=当时，设，0a >2()p x x x a =--则方程有两根，，可得20x x a --=12,x x 12121,0x x x x a +==-<120,1,x x <>当时，，则，在上单调递减；21x x <<()0p x <()0x ϕ'<()ϕx 2(1,)x 又，所以当时，，不满足条件，()10ϕ=21x x <<()0x ϕ<综上，的取值范围是.a ,0]∞-（思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题.对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立.19．(1)2，3，1，4；3，2，4，1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据“数列”的定义求解即可；n -（2）由题知，为的最大值或最小值的一个排列，则有为的最大值1,m m b b -{}m b 21,m m bb --{}1m b -或最小值的一个排列，分类讨论即可证明；（3）由（2）知，数列任意元子集必存在2个数列，则任意取项的排列数为，{}n a m n -m A mn 而为数列的数列的个数为，所以．{}m b {}n a n -2C m n 2C 21A !3m nm m n P m ==≤【详解】（1）由数列的定义知，的数列为：2，3，1，4；3，2，4，1．n -{}n a n -（2）对于项的数列一个数列，m {}n a n -{}12321:,,,,,,m m m m b b b b b b b --⋯因为对于，均有，()1,2,,2i i m =- ()()120i i i i b b b b ++--<所以，{}{}1212min ,max ,i i i i i b b b b b ++++<<所以不是所有项中的最大值或最小值，i b {}m b 所以为的最大值或最小值的一个排列，1,m m b b -{}m b 考虑中去掉后的数列，{}m b mb{}112321:,,,,,m m m b b b b b b ---⋯同理若数列为数列的一个数列，{}1m b -{}n a n -则有为的最大值或最小值的一个排列，21,m m b b --{}1m b -以此类推，当时，21m k =+①若为最大值，则为最小值，则，m b 1m b -24312431m m m m m b b b b b b b b b ---->>>>>>>>>> 所以，；()()()122431111m m m m m k b b b b b b b b k ----=-+-++-≥+++=个②若为最大值，则为最小值，则，1m b -m b 24312431m m m m m b b b b b b b b b ----<<<<<<<<<< 所以，，()()()11335211m m m k b b b b b b b b k --=-+-++-≥++= 个综上，．1m b b k-≥（3）由（2）知，数列任意元子集必存在2个数列，{}n a m n -因此任意取项的排列数为，而为数列的数列的个数为，m A m n {}m b {}n a n -2C m n 所以，2C 2A !m nm m n P m ==因为，2,Z m m >∈所以，，3m ≥m ∈Z 所以．221!3!3m P m =≤=关键点睛：解答本题的关键在于理解数列的定义，证明第（2）问中，由定义得出所以n -，且为的最大值或最小值的一个排列是解题关键；{}{}1212min ,max ,i i i i i b b b b b ++++<<1,m m b b -{}m b 证明（3）时，得出数列任意元子集必存在2个数列是解题关键．{}n a m n -。

深圳宝安区2025届高三上学期第一次调研测试数学试卷+答案

宝安区2024-2025学年第一学期调研测试卷高三数学2024.101．样本数据1，6，7，8，8，9，10，11，12，13的第30注意事项：1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码．2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．3．本试卷19小题，满分150分．考试时间120分钟．4．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．百分位数为（） A ．7B ．7.5C ．8D ．8.52．已知集合{}25Ax x=<{}12B x x =∈−<Z，则A B = （）A ．{}1,0,1,2−B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2,3−3．若11i z z+=−，则z =（） A ．1i −− B ．I C ．1i −D ．-i4．已知向量()2,a x = ，(),2b x = ，若()a b a ⊥−，则x =（）A ．2B ．0C ．1D ．-25．已知()sin m αβ−=，tan 2tan αβ=，则()sin αβ+=（）A ．mB ．m −C ．3mD ．4m6．一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（） A．B．C．D．7．已知函数为()()311,1e ln 2,1x x ax x f x x x + ++<− = ++≥− ，在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[]3,1−−B ．(],3−∞−C ．[)3,−+∞D ．[)1,−+∞8．函数()cos 2f x x x =在13π0,6上的零点个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知随机变量X 服从正态分布()2~0,X N σ，当σ变大时，则（） A ．1122P X −<< 变大B ．1122P X −<< 变小C ．正态分布曲线的最高点上移D ．正态分布曲线的最高点下移10．对于正数a ，b ，[)00,x ∃∈+∞，使()00e 1x bx a ++⋅≤，则（）A ．e 1b a >B ．1eab ≤C ．224eab ≤D ．1a b +≤11．已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()11f x y f x f y ++=+−，且()02f =，则（）A ．()11f −=−B ．()f x 无最小值C ．()401900i f i ==∑D ．()f x 的图象关于点()2,0−中心对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数()2f x x m =−与函数()ln f x x x =+在公共点处的切线相同，则实数m 的值为______．13．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且π4B =，b =，1a =，M 为AB 的中点，则线段CM 的长为______．14．为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会．已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______．三、解答题15．（本题13分）如图，在直角POA △中，PO AO ⊥，24PO AO ==，将POA △绕边PO 旋转到POB△的位置，使2π3AOB ∠=，得到圆锥的一部分，点C 为 AB 上的点，且 14AC AB =．（1）求点O 到平面P AB 的距离；（2）设直线OC 与平面P AB 所成的角为θ，求sin θ的值．16．（本题15分）已知椭圆C ：22221x y a b +=，()0a b >>，离心率e =，且点()2,1A −在椭圆上．（1）求该椭圆的方程；（2）直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0，且π2PAQ ∠=，求PAQ △的面积． 17．（本题15分）函数()ln f x x =，()22g x x x m =−−+．（1）若e m =，求函数()()()F x f x g x =−的最大值；（2）若()()()22e xf xg x x x +≤−−在(]0,2x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围．18．（本题17分）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束．已知甲答对题目的概率为45，乙答对题目的概率为p ，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为25．记甲乙两人的答题总次数为()2n n ≥．（1）求p ；（2）当2n =时，求甲得分X 的分布列及数学期望；（3）若答题的总次数为n 时，甲晋级的概率为()n P A ，证明：()()()2388159n P A P A P A ≤++⋅⋅⋅+<． 19．（本题17分）定义：任取数列{}n a 中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列{}n a 具有“性质3”．已知项数为n 的数列{}n a 的所有项的和为n M ，且数列{}n a 具有“性质3”．（1）若4n =，且10a =，43a =，写出所有可能的n M 的值；（2）若12024a =，2023n =，证明：“20234042a =−”是“()11,2,,2022k k a a k +>=⋅⋅⋅”的充要条件；（3）若10a =，2n ≥，0n M =，证明：4n m =或41n m =+，（*m ∈N ）．宝安区2025届高三毕业班第一次调研考试数学参考答案一、单项选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCBACADC二、多项选择题题号 9 10 11 答案BDBCBCD三、填空题：12．0 13．95576四、解答题：15．【解答】（1）证明：由题意知：PO OA ⊥，PO OB ⊥，OA OB O = ，OA ⊂平面AOB ，OB ⊂平面AOB∴PO ⊥平面AOB ，又24POOA ==，所PA PB ==，AB =所以12PABS =×△设点O 到平面P AB 的距离为d ，由O PAB P OAB V V −−=得1112π422sin3323d ×=×××××，解得d =；（2）以O 为原点，OC ，OB ，OP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知π6AOC ∠=，则)1,0A−，则()2,0,0C ，()0,2,0B ，()0,0,4P ，所以()AB =，()4AP =，()2,0,0OC =．设平面P AB 的法向量为(),,n a b c = ，则3040n AB b n AP b c ⋅+= ⋅=++=，不妨取平面P AB的一个法向量为12n =，所以sin cos ,n OC n OC n OCθ⋅===．（利用几何解法相对简单，酌情给分）16．【解答】（1）解：由题22411a b = +=解得：a b = = 故椭圆C ：22182x y += （2）设直线AP 的倾斜角为α，由π2PAQ ∠=，2πPAQ α+∠=，得π4α=，1AP k =，1AQ k =− （或0111AP AQ AP AQ AP AQ k k k k k k +== ⇒=−⋅=−）即AP ：3y x =−，AQ ：1y x =−+联立3y x =−，及22182x y +=得1145x =，22x =（舍），故141,55P− ，联立1y x =−+，及22182x y +=得125x =−，22x =（舍），故27,55Q−，故12125x x +=，122825x x =−2−，2AQ =−，故()121214824225PAQ S AP AQ x x x x ==−++=△． 17．【解答】（1）因为()2ln e 2F x x x x =−++−，可知()F x 的定义域为()0,+∞，且()()()211121x x F x x xx+−′=−+=−，由()0F x ′>，解得01x <<；由()0F x ′<，解得1x >．可知()F x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减，所以函数()()()F x f x g x =−的最大值为()1e 2F =−．（2）因为()()()22e xf xg x x x +≤−−在(]0,2x ∈恒成立，等价于()2e ln 2xm x x x ≥−+−+在(]0,2x ∈恒成立．设()()2e ln 2x h x x x x =−+−+，(]0,2x ∈，则()()()111e 11e x x h x x x xx ′−+−−−，当1x >时，则10x −>，且e e x >，11x <，可得1e e 10x x−>−>，所以()0h x ′>；当01x <<时，则10x −<，设()1e x u x x=−，01x <<，则()21e 0x u x x ′=+>，可知()u x 在()0,1递增，且1202u=−<，()1e 10u =−>．则01,12x∃∈，使得()00u x =．当()00,x x ∈时，()0u x <；当()0,1x x ∈时，()0u x >．当()00,x x ∈时，()0h x ′>；当()0,1x x ∈时，()0h x ′<．可知函数()h x 在()00,x 递增，在()0,1x 递减，在()1,2递增．由()0001e 0xu x x =−=，得001e x x =，且00ln x x =−．可得()()()0000000000112e ln 222232x h x x x x x x x x x=−+−+=−−+=−+，且01,12x∈，则()00h x <，又因为()2ln 20h =>，可知当(]0,2x ∈时，()()max 2ln 2h x h ==，所以m 的取值范围是[)ln 2,+∞．18．【解答】（1）记i A =“第i 次答题时为甲”，B =“甲积1分”，则()112P A =，()4|5i P B A =，()41|155i P B A =−=，()|1i P B A p =−，()|i P B A p =， ()()2141114115255255p p p p=+−+−⋅+⋅，则23155p +=，解得13p =；（2）由题意可知当2n =时，X 可能的取值为0，1，2，则由（1）可知 ()215P X ==，()11111102533515P X ==×+×= ，()14224822533515P X ==×+×= ，随机变量X 的数学期望为()128220121551515E X =×+×+×=．（3）由答题总次数为n 时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x 甲，乙的积分为x 乙，则2x x −=甲乙，且x x n +=甲乙，所以甲晋级时n 必为偶数，令2n m =，*m ∈N 当n 为奇数时，()0n P A =，则()()()()()()2324n n P A P A P A P A P A P A ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ 012128282828515515515515m −=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅012121158222288212155555159515m m m − − =+++⋅⋅⋅+==−− −又∵1m ≥时，()()()23n P A P A P A ++⋅⋅⋅+随着m 的增大而增大， ∴()()()2388159n P A P A P A ≤++⋅⋅⋅+< 19．【解答】（1）解：依题意，若n a ：0，3，0，3，此时6n M = 若n a ：0，-3，0，3，此时0n M = 若n a ：0，3，6，3，此时12n M =（2）证明：必要性：因为()11,2,,2022k k a a k +>=⋅⋅⋅，故数列{}()1,2,3,2023n a n =⋅⋅⋅为等差数列，所以13k k a a +−=−，()1,2,,2022k =⋅⋅⋅，公差为-3，所以()()()2023202420231340421,2,,2022a k =+−×−=−=⋅⋅⋅，必要性得证充分性：由于202320223a a −≥−，202220213a a −≥−，…，213a a −≥−，累加可得，202316066a a −≥−，即2023160664042a a ≥−=−，因为20234042a =−，故上述不等式的每个等号都取到，所以13k k a a +−=−，()1,2,,2022k =⋅⋅⋅，所以1k k a a +<，()1,2,,2022k =⋅⋅⋅，充分性得证综上所述，“20234042a =−”是“1k k a a +<，()1,2,,2022k =⋅⋅⋅”的充要条件；（3）证明：令()11,2,,1k k k c a a k n +=−=⋅⋅⋅−，依题意，3k c =±，因为211a a c =+，3112a a c c =++，…，1121n n a a c c c −=+++⋅⋅⋅+，所以()()()11231123n n M na n c n c n c c −=+−+−+−+⋅⋅⋅+()()()()()()()12112111121n n n c n c n c −=−+−+⋅⋅⋅+−−−−−−−⋅⋅⋅−− ()()()()()()1211111212n n n c n c n c −−−−−+−−+⋅⋅⋅+− ，因为3k c =±，所以1k c −为偶数()1,2,,1k n =⋅⋅⋅−，所以()()()()()12111121n c n c n c −−−+−−+⋅⋅⋅+−为偶数; 所以要使0n M =，必须使()12n n −为偶数，即4整除()1n n −，亦即4n m =或()*41n m m =+∈N ，当()*4nm m ∈N 时，比如，41430k k a a −−==，423k a −=−，43k a =()1,2,,k m =⋅⋅⋅ 或41430k k a a −−==，423k a −=，43k a =−()1,2,,k m =⋅⋅⋅时，有10a =，0n M =；当()*41n m m =+∈N 时，比如41430k k a a −−==，423k a −=−，43k a =，410k a +=()1,2,,k m =⋅⋅⋅，或41430k k a a −−==，423k a −=，43k a =−，410k a +=()1,2,,k m =⋅⋅⋅，有10a =，0n M =；当42n m =+或()43n m m =+∈N 时，()1n n −不能被4整除，0n M ≠．。

河南省三门峡市2025届高三第一次调研测试数学试卷含解析

河南省三门峡市2025届高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（） A ．1 B ．3 C ．2D ．32．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A ．3172B ．210C ．132D ．3103．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<4．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A 2?B 10C 10D ．225．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14156．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（） A ．26B ．13C ．23D ．18．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-9．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（）A ．5B ．52C ．2D ．412．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西西工大附中2025届高三第一次调研测试数学试卷含解析

陕西西工大附中2025届高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合AB =（） A ．{2} B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-3．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A ．174πB ．214πC ．4πD ．5π4．已知集合{}|0A x x =<，{}2|120B x x mx =+-=，若{}2A B =-，则m =（）A ．4B ．－4C ．8D ．－8 5．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（）A ．2B ．-2C ．12D ．12- 6．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()R A B =（）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x - 7．已知1011M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 28．复数2(1)i i +的模为（）．A ．12B ．1C ．2D ．229．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．32C ．1D ．010．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%11．函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．12．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A ．8B ．83C ．4D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届吉林省长春市高三第一次调研测试数学试卷含解析

2025届吉林省长春市高三第一次调研测试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知01a b <<<，则（）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（） A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =3．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．84．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 25．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（）A ．1y x =+B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x7．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．8．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（） A ．2B ．3C ．2D ．59．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 10．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（）A 3B ．51)C ．5D ．412．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西师范大学附属中学2025届高三第一次调研测试数学试卷含解析

陕西师范大学附属中学2025届高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎝⎭2．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A ．4a mB ．2a m +C ．2a m m +D ．42a m m+3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin b B C ，则B =（）A ．6π或56πB ．4πC ．3πD ．6π或3π 4．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （）A ．2B ．12C ．34D 5．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．8．已知实数ln333,33ln3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a =A ．3B ．4C ．5D ．6 10．已知i 是虚数单位，则（）A ．B ．C ．D ． 11．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（）A ．16B ．18C ．20D ．1512．()cos sin x e f x x =在原点附近的部分图象大概是（） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届四川绵阳市三台中学高三第一次调研测试数学试卷含解析

2025届四川绵阳市三台中学高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（） A ．28 B ．14 C ．7D ．22．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π3．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件4．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（） A ．{|12}x x <≤B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里6．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（）A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 8．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（） A ．35B ．45-C ．35D ．4510． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（） A ．15B ．25C ．35D ．4511．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（）A ．2B 5C ．23D ．8312．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省如皋中学2024-2025学年高三上学期教学质量调研(一)数学试题

江苏省如皋中学2024-2025学年高三上学期教学质量调研（一）数学试题一、单选题 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},21B x y y x ==-，则A B =I （）A ．()1,1B ．{}1C ．(){}1,1D ．{}1,1x y ==2．已知椭圆C ：()22210x y a a+=>，则“a =是“椭圆C ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知一组数据1，2，3，4，x 的下四分位数是x ，则x 的可能取值为（） A ．5B ．4C ．3D ．24．已知*x ∈N ，若20241213x y =+，013y ≤<，则y =（） A ．1B ．6C ．7D ．125．不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件M ：至少一个红球，事件N ：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（） A ．M N N += B ．MN N = C ．M 与N 互斥D ．M 与N 独立6．已知函数()f x 图象如图所示，则()1f x -的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．已知三棱锥P ABC -满足3AB =，4BC =，5AC =，且其表面积为24，若点P （正投影在ABC V 内部）到AB ，BC ，AC 的距离相等，则三棱锥的体积为（）A ．B ．C．D ．8．若()211mm n m n aa a a +--+≥>，则（）A ．m n =B ．m n ≥C ．m n ≤D ．无法确定二、多选题9．已知一组数据1，2，3，5，5，6，则特征量为5的是（） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．极差10．已知随机事件B ，A ，则（）A ．()()1P P A AB B +=∣∣ B ．若()()P BA PB =∣，则A ，B 独立C ．若()()P BA P AB =∣∣，则A ，B 互斥 D ．若()()P BA PB A =∣∣，则()()P B P B = 11．已知函数()f x 的定义域为R ，若满足()()211f x f x -+-=-，且函数()f x 图像关于()1,0中心对称，则（）A ．()01f =-B ．()20242023f =C ．()()2024f x f x +=D ．()202420244049i f i =-=-∑三、填空题12．曲线()21e 2x f x x =-在0x =处的切线方程为13．双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>的两焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 为双曲线上一点，且满足2PF c =，12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率为.14．已知数据125,x x x ⋅⋅⋅的均值为6，方差为5.数据1210,y y y ⋅⋅⋅的均值为3，方差为2.则数据125,x x x ⋅⋅⋅，1210,y y y ⋅⋅⋅的方差为四、解答题15．《黑神话：悟空》是由游戏科学公司制作的动作角色扮演游戏，为了调查玩家喜欢该款游戏是否与性别有关，特选取了100名玩家进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表.在100名玩家中随机抽取1人，若抽到不喜欢该游戏的概率为0.2.(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析男、女玩家对该款游戏的喜爱是否有差异？ (2)从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，再在这8名玩家中抽取3人调查其喜欢的游戏，用X 表示3人中女生的人数，求X 的分布及数学期望16．在四棱锥P ABCD -中，已知PCD △是正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PCD ⊥平面ABCD .若AB .(1)证明：⊥BC 面PCD ；(2)求二面角面P BD C --的余弦值.17．已知函数()()2ln f x x a x =+.(1)若12a =时，求()f x 的最小值； (2)若()21f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ()0,1A 在C 上.(1)求C 的方程；(2)设C 的右顶点为B ，点P ，Q 是椭圆上的两点（异于顶点），若直线AP ，AQ 与x 轴交于点E ，F ，若BE BF =，求证：直线PQ 恒过定点.19．甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n 场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响.(1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；(2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是12，设()*3,n P n n ≥∈N 为甲未获得连续3次胜利的概率. ①求3P ，4P ； ②证明：1n n P P +≤.。