全国高校自主招生数学模拟试卷4(含答案解析)
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四 新人教版

15.设 f(x)=x +a. 记 f (x)=f(x),f (x)=f(f
2
1
n
n-1
(x)),n=1,2,3,…, 1 4
M={a∈R|对所有正整数 n,|fn(0)|≤2}.证明,M=[-2, ].
用心 爱心 专心
2
2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷四 参考答案 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 答 C. 解:令∠ABC=α ,过 A 作 AD⊥BC 于 D,由
2
xm 0
m,ym).……(20 分) 点为(x0 0
解:(1) 首先这样的 S 的值是有界集,故必存在最大值与最小值。 若 x1+x2+x3+x4 +x5=2006,且使 S= Σ xixj 取到最大值,则必有 1≤i<j≤5 (1≤i,j≤5) ………(5 分) (*) 事实上,假设(*)不成立,不妨假设 x1-x2≥2,则令 x1=x1-1,x2=x2+1,xi=xi (i =3,4,5).有 x1+x2=x1+x2,x1·x2=x1x2+x1-x2-1>x1x2.将 S 改写成
1
x2005
)(1+x +x +…+x
2
4
2004
)=2006
x+x +x +…+x
+
1
x2005 x2003 x2001 x
+
1 +…+ =2006,故 x>0,否则左边<0.
x
1 1 1 3 2005 2006=x+ +x + 3+…+x + 2005≥2×1003=2006.
x
x
等号当且仅当 x=1 时成立. 所以 x=1 是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为 1. 填 0.0434. 解:第 4 次恰好取完所有红球的概率为 2 9 2 1 8 2 9 1 8 2 2 1 ×( ) × + × × × +( ) × × =0.0434. 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
2024初升高自主招生数学试卷(四)及参考答案

2024初升高自主招生数学模拟试卷(四)一、选择题1.将4046减去它的,再减去余下的,再减去余下的,再减去余下的,…依此类推,直至最后减去余下的则最后余下的数为()A.4B.3C.2D.12.若正实数a,b,c满足不等式组则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b3.若实数a,b满足等式2a-b=2a2-2则a b=()A. C. D.44.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=33,点D是平面内一动点,且上ADB=30°,连CD,则CD长的最大值是()A.8B.9C.10D.115.已知三个实数x1,x2,x3它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7,则这样的三元数组(x1,x2,x3)共有组()A.3B.4C.5D.66.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,sin B=45,点D是边BC的中点,以AD为底边在其右侧作等腰△ADE,使∠ADE=∠B,连CE,则CEBC ()A.65 B.56 C.58 D.5127.四边形ABCD 中,AC ,BD 是其两对角线,△ABC 是等边三角形,AD =6,BD =10,CD =8,则∠ADC =()A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题8.已知19个连续整数的和为380,则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__.9.已知x =54-,则(2x +1)(x +1)(2x +3)(x +2)=.10.在实数范围内因式分解:a 2-2b 2+3c 2-ab +bc +4ca =.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A (4,0),B (4,),连OB ,AB ,若线段OB ,AB 分别交双曲线(0k y k x =>,0)x >于点D ,E (异于点B ),若DE 丄OB ,则k 的值为.12.把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上,使它们两两相外切,若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于.13.在菱形ABCD 中,∠A =60°,点E ,F 分别在边AD ,AB 上,将△AEF 沿着EF 对折,使点A 恰好落在对角线BD 上的点G ,若DG =4,BG =6,则△AEF 的面积等于.14.对于任意不为0的实数a ,b ,c 定义一种新运算“#”:①a #a =1;②a #(b #c )=(a #b )c ,则关于x 的方程(x 2)#2=x +4的根为.三、解答题15.回答下列问题:(1)解方程:x =(x 2+4x 一3)2+4x 2+16x 一15;(2)求所有的实数a ,使得关于x 的方程x 2-(2a -1)x +4a -3=0的两根均为整数.16.如图,点E是正方形ABCD的边CD上一动点(异于C,D),连BE,以BE为对角线作正方形BGEF,EF与BD交于点H,连AF.(1)求证:A,F,C三点共线;(2)若CE:DE=1:2,求DHBH的值.17.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a>0)经过点(0,-3)和(4,-11),且在x轴上截得的线段长为(1)求抛物线C1的解析式;(2)已知点A在抛物线C1上,且在其对称轴右侧,点B在抛物线C1的对称轴上,若△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,求点A的坐标;(3)将抛物线C1向左平行移动3个单位得到抛物线C2,直线y=kx(k≠0)与C2交于E,F两点,直线2y xk=-与C2交于G,H两点,若M,N分别为线段EF和线段GH的中点,连接MN.求证:直线MN过定点.18.如图,等边△ABC内有一动点D,△CDE是等边三角形(点B,E在直线AC两侧),直线BD与直线AE交于点F.(1)判断∠AFC的大小是否为定值?若是定值,求出其大小;若不是定值,请说明理由.(2)若AB=5,CD=3,求线段AF长的最小值.参考答案1.答案:C解析:令,第二次余下的数为,,.故选:C.2.答案:B解析:由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选:B.3.答案:A,根据非负性可知,所以故选:A.4.答案:B解析:要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上(与E 在直线同侧),设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选:B.5.答案:C 解析:由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选:C.6.答案:D解析:由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选:D.7.答案:A解析:以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选:A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8.答案:1050解析:设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9.答案:42解析:由条件得,又.10.答案:解析:利用待定系数法或双十字相乘法.解析:由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以(舍)或12.答案:18解析:要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析:作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14.答案:4或-2解析:令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15.答案:(1)解析:(1)原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为(2)不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16.答案:(1)见解析解析:证明:(1)在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线(2)因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17.答案:(1)(2)或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-(3)解析:(1)由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.(2)当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.(3)由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18.答案:(1)的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒(2)解析:(1)的大小是定值,定值大小为,理由如下:在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是(2)由(1)知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由(1)得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
【2020-2021自招】西北师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

第一套:满分150分2020-2021年西北师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟卷一.选择题(共8小题,满分48分)1.(6分)如图,△ABC中,D、E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M在AC边上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,则BH:HG:GM=()A.3:2:1 B.5:3:1C.25:12:5 D.51:24:102.(6分)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3;②1> ;m4③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.(6分)已知长方形的面积为20cm2,设该长方形一边长为ycm,另一边的长为xcm,则y与x之间的函数图象大致是()A. B. C. D.4.(6分)如图,在平面直角坐标系中,⊙O 的半径为1,则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是( )A .相离B .相切C .相交D .以上三种情况都有可能 5.(6分)若一直角三角形的斜边长为c ,内切圆半径是r ,则内切圆的面积与三角形面积之比是( )A .B .C .D .6.(6分)如图,Rt △ABC 中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,D 1是斜边AB 的中点,过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1,连结BE 1交CD 1于D 2;过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2,连结BE 2交CD 1于D 3;过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3,…,如此继续,可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013,分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013.则S 2013的大小为( ) A.31003 B.320136 C.310073 D.67147.(6分)抛物线y=ax 2与直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则实数a 的取值范围是( )A .≤a ≤1B .≤a ≤2C .≤a ≤1D .≤a ≤28.(6分)如图,矩形ABCD 的面积为5,它的两条对角线交于点O 1,以AB ,AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1,平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02,同样以AB ,AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2.…,依此类推,则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为( )A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二.填空题:(每题7分,满分42分)9.(7分)方程组的解是 .10.(7分)若对任意实数x 不等式ax >b 都成立,那么a ,b 的取值范围为 .11.(7分)如图,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A 是底面圆周上一点,从A 点出发绕侧面一周,再回到A 点的最短的路线长是 .12.(7分)有一张矩形纸片ABCD ,AD=9,AB=12,将纸片折叠使A 、C 两点重合,那么折痕长是 .13.(7分)设﹣1≤x ≤2,则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 .14.(7分)两个反比例函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示.点P 1,P 2,P 3、…、P 2007在反比例函数y=上,它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007,纵坐标分别是1,3,5…共2007个连续奇数,过P 1,P 2,P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线,与y=的图象交点依次为Q 1(x 1′,y 1′)、Q 1(x 2′,y 2′)、…、Q 2(x 2007′,y 2007′),则|P 2007Q 2007|= .三.解答题:(每天12分,满分60分)15.(12分).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16.(12分)如图,ABC △是等腰直角三角形,CA CB =,点N 在线段AB 上(与A 、B 不重合),点M 在射线BA 上,且45NCM ∠=︒。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(四)(含答案解析)

2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学(四)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知复数1z =,则2z 在复平面内对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知全集{62}U xx =-<<∣,集合{}2230A x x x =+-<∣,则U ðA=()A .()6,2-B .()3,2-C .()()6,31,2--⋃D .][()6,31,2--⋃3.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,也称陀罗.图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图2所示,其中,B C 分别是上、下底面圆的圆心,且36AC AB ==,底面圆的半径为2,则该陀螺的体积是()A .803πB .703p C .20πD .563π4.已知一组数据:123,,x x x 的平均数是4,方差是2,则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是()A .27B .272C .12D .115.若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ,则向量a 与b 夹角的余弦值为()A .34B .12C .13D .146.已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=,圆222:2270O x y x y +++-=,则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有()7.已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示,则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为()A .6B .5C .4D .38.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在椭圆C 上,若离心率12PF e PF =,则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.()1-B.⎛ ⎝⎭C.2⎫⎪⎪⎣⎭D.)1,1-二、多选题9.若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭,则α的值可能为()A .π36B .7π36C .19π36D .5π36-10.某校10月份举行校运动会,甲、乙、丙三位同学计划从长跑,跳绳,跳远中任选一项参加,每人选择各项目的概率均为13,且每人选择相互独立,则()A .三人都选择长跑的概率为127B .三人都不选择长跑的概率为23C .至少有两人选择跳绳的概率为427D .在至少有两人选择跳远的前提下,丙同学选择跳远的概率为5711.设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>,若()()11f x k x >--恒成立,则满足条件的正整数k 可以是()A .1B .2C .3D .412.已知三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点,则()A .点C 到平面PAB 的距离为2B .直线AB 与PCC .若M 是BC 中点,则平面PAM ⊥平面PBCD .直线PM 与平面ABC三、填空题13.函数()()313xxk f x x k -=∈+⋅R 为奇函数,则实数k 的取值为__________.14.已知抛物线28y x =的焦点为F ,抛物线上一点P ,若5PF =,则POF ∆的面积为______________.15.由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数,则能被5整除的三位数共有__________个.16.已知0a >,函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2,则实数=a __________.四、解答题17.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行,此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业,下表统计了该滑雪场开业第x 天的滑雪人数y (单位:百人)的数据.天数代码x12345滑雪人数y (百人)911142620经过测算,若一天中滑雪人数超过3500人时,当天滑雪场可实现盈利,请建立y 关于x 的回归方程,并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式:线性回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ .18.如图,四边形ABCD 中,150,60,B D AB AD ABC ∠∠====的面积为(1)求AC ;(2)求ACD ∠.19.设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎩⎭的前m 项和127258m T =,求m 的值.20.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,点E 、P 分别是1DD 、11A C 的中点.(1)求证:BP ⊥平面11A EC ;(2)求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=,一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的方程;(2)若双曲线C 的右顶点为A ,直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点),且0AM AN ⋅=.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.22.已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.(1)求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程;(2)判断函数()f x 的零点个数,并说明理由.参考答案:1.C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ,再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解:因为1z =-,所以())2221122z ==-+=--,所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选:C 2.D【分析】计算出集合B ,由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣,U ðA=][()6,31,2--⋃.故选:D.3.D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式,可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =,由36AC AB ==,则2,4AB BC ==,故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选:D.4.B【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ,2x ,3x 的平均数是4,方差是2,所以22212312311()4,[(4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=,所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=,所以12331,31,31x x x ---,11的平均数为12312311(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=,所以12331,31,31x x x ---,11的方差为2222123111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选:B 5.D【分析】求出1,2a b ==,根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅=,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ,因为()22,2a b a b a ==-⊥ ,所以1,2a b==,()2a b a ∴-⋅22cos 0a a b θ=-= .21cos 42a a b θ∴== .故选:D.6.B【分析】根据圆的方程,明确圆心与半径,进而确定两圆的位置关系,可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=,则圆心()12,3O ,半径12r =;由圆222:2270O x y x y +++-=,整理可得()()22119x y +++=,则圆心()21,1O --,半径23r =;由12125O O r r ===+,则两圆外切,同时与两圆相切的直线有3条.故选:B.7.B【分析】求出周期,方法1:画图分析零点个数;方法2:求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知,37π2π(3π433T =--=,解得:4πT =,22Tπ=,方法1:∴作出函数图象如图所示,∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2:∴()0f x =,解得:2π2π,Z 3x k k =-+∈,∴2π02π10π3k ≤-+≤,Z k ∈,解得:11633k ≤≤,Z k ∈,∴1,2,3,4,5k =,∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选:B.8.D【分析】由题意可知12PF e PF =,结合椭圆的定义解得221aPF e =+,再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =,所以12PF e PF =,由椭圆的定义得:122PF PF a +=,解得221aPF e =+,因为2a c PF a c -≤≤+,所以21aa c a c e -≤≤++,两边同除以a 得2111e e e -≤≤++,解得1e ≥,因为01e <<11e ≤<,所以该离心率e的取值范围是1,1)故选:D.9.BCD【分析】根据题意可得:π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+,然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅,则ππtan(2)tan()34αα-=-,所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ,解得:π7π,336k k α=+∈Z ,当0k =时,7π36α=;当1k =时,19π36α=;当1k =-时,5π36α-=;故选:BCD .10.AD【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=,故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=,故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=,故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ,所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ,所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下,丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==,故D 正确.故选:AD 11.ABC【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>,利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立,则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立,构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+,则()()ln 12g x x k '=++-,∵0x >,故()ln 10x +>,则有:当20k -≥,即2k ≤时,则()0g x '>当0x >时恒成立,故()g x 在()0,∞+上单调递增,则()()010g x g >=>,即2k ≤符合题意,故满足条件的正整数k 为1或2;当20k -<,即2k >时,令()0g x '>,则2e 1k x ->-,故()g x 在()20,e1k --上单调递减,在()2e 1,k --+∞上单调递增,则()()22e 1e 0k k g x g k --≥-=->,构建()2ek G k k -=-,则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立,故()G x 在()2,+∞上单调递减,则()()210G k G <=>,∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<,故满足()()02G k k >>的整数3k =;综上所述:符合条件的整数k 为1或2或3,A 、B 、C 正确,D 错误.故选:ABC.12.BCD【分析】对于A ,利用线面垂直判定定理,明确点到平面的距离,利用三角形的性质,可得答案;对于B ,建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量,利用向量夹角公式,可得答案;对于C ,利用等腰三角形的性质,结合面面垂直判定定理,可得答案;对于D ,利用线面垂直性质定理,结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义,可得答案.【详解】对于A ,在平面ABC 内,过C 作CD AB ⊥,如下图所示:PA ⊥ 平面ABC ,且CD ⊂平面ABC ,PA CD ∴⊥,CD AB ⊥ ,PA AB A = ,,AB PA ⊂平面PAB ,CD \^平面PAB ,则C 到平面PAB 的距离为CD ,23BAC π∠= ,AB AC ==6ABC π∴∠=,在Rt BCD 中,sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=,故A 错误;对于B ,在平面ABC 内,过A 作AE AB ⊥,且E BC ⊂,易知,,AB AE AP 两两垂直,如图建立空间直角坐标系:则()0,0,0A,()B,()C ,()0,0,4P ,得()AB =,()4PC =-,(6AB PC ⋅==-,AB =PC ==则cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ,故B 正确;对于C,作图如下:在ABC 中,AB AC =,M 为BC 的中点,则AM BC ⊥,PA ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,PA BC ∴⊥,AM PA A = ,,AM PA ⊂平面AMP ,BC ∴⊥平面AMP ,BC ⊂ 平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面AMP ,故C 正确,对于D,作图如下:PA ⊥ 平面ABC ,AM ⊂平面ABC ,PA AM ∴⊥,则在Rt PAM 中,tan PAAMP AM∠=,当AM 取得最小值时,tan AMP ∠取得最大值,当M 为BC 的中点时,由C 可知,AM BC ⊥,AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠D 正确.故选:BCD.13.1【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数,必有0k >,则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k kf x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅,于是得22223·31x x k k -=-恒成立,即21k =,解得:1k =.故答案为:1.14.【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标,再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =,所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用,考查基本分析转化与求解能力,属基础题.15.78【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0,分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时,百位数字除了0有6种不同的选法,十位有6种不同的选法,根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法;当末尾数字是0时,百位数字有7种不同的选法,十位有6种不同的选法,根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法;则一共有364278+=种故答案为:7816.13≤3>讨论,得出()g x 在[)3,+∞上的最小值,由最小值为2求解a 的值即可得出答案.【详解】()22ag x x x+=+- ,()()(2222221x x x a a g x x x x-+-+=∴+'=-=,3≤时,即07a <≤时,则()0g x '>在()3,+∞上恒成立,则()g x 在[)3,+∞上单调递增,()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag +==,解得1a =,3>时,即7a >时,当x ∈⎡⎣时,()0g x '<,()g x 单调递减,当)x ∈+∞时,()0g x '>,()g x 单调递增,()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为22,2ga ===,舍去,综上所述:1a =,故答案为:1.17.ˆ 3.7 4.9yx =+;9.【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,ab ,从而求出回归方程,然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时,当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知,1234535x ++++==,911142620165y ++++==,所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑,所以()()()51521373.710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑ ,ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=,所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时,当天滑雪场可实现盈利,即3.7 4.935x +>,解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测,该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18.(1)(2)π4【分析】(1)在ABC 中,利用面积公式、余弦定理运算求解;(2)在ACD 中,利用正弦定理运算求解,注意大边对大角的运用.【详解】(1)在ABC 中,由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=可得4BC =,由余弦定理2222cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭,即AC =(2)在ACD 中,由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠,可得sin sin AD D ACD AC ∠∠==∵AD AC <,则60ACD D ∠<∠=︒,故π4ACD ∠=.19.(1)2n n a =(2)7【分析】(1)当2n ≥时,构造11228n n S a n --=+-,与条件中的式子,两式相减,得122n n a a -=-,转化为构造等比数列求通项公式;(2)由(1)可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++,利用分组求和法求解.【详解】(1)因为226n n S a n =+-,所以当1n =时,1124S a =-,解得14a =.当2n ≥时,11228n n S a n --=+-,则11222n n n n S S a a ---=-+,整理得122n n a a -=-,即()1222n n a a --=-.所以数列{}2n a -是首项为2,公比为2的等比数列,所以12222n n n a --=⨯=.所以22n n a =+.(2)令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭,数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+- ⎪++⎝⎭ ,111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ++⎝⎭,则112127222258m +-=+,则12222258m +=+,则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20.(1)证明见解析【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ,10EA BP ⋅=,即可得证;(2)利用空间向量法计算可得.【详解】(1)证明:如图建立空间直角坐标系,则()0,0,2E ,()4,4,0B ,()14,4,4B ,()2,2,4P ,()10,4,4C ,()14,0,4A ,()0,4,0C ,所以()10,4,2EC = ,()14,0,2EA =,()2,2,4BP =-- ,所以10EC BP ⋅= ,10EA BP ⋅=,所以1EC BP ⊥,1EA BP ⊥,又11EC EA E = ,11,EC EA ⊂平面11A EC ,所以BP ⊥平面11A EC.(2)解:由(1)可知()2,2,4BP =-- 可以为平面11A EC 的法向量,又()14,0,4B C =--,设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ,则11sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅=,故直线1B C 与平面11A EC 21.(1)2214x y -=(2)证明过程见解析,定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【分析】(1)由渐近线方程求出12b a =,根据焦点到渐近线距离列出方程,求出c =,从而求出2,1a b ==,得到双曲线方程;(2):l y kx m =+与2214x y -=联立,求出两根之和,两根之积,由0AM AN ⋅= 列出方程,求出103m k =-或2m k =-,舍去不合要求的情况,求出直线过定点,定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】(1)因为渐近线方程为20x y -=,所以12b a =,焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=,解得:c ,因为2225a b c +==,解得:2,1a b ==,所以双曲线C 的方程为2214x y -=;(2)由题意得:()2,0A ,:l y kx m =+与2214x y -=联立得:()222148440k x kmx m ----=,设()()1122,,,M x y N x y ,则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--,()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++,()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-,化简得:22201630k km m ++=,解得:103m k =-或2m k =-,当103m k =-时,10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭,当2m k =-时,():2l y k x =-恒过点()2,0A ,此时,M N 中有一点与()2,0A 重合,不合题意,舍去,综上:直线l 过定点,定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭,【点睛】处理定点问题的思路:(1)确定题目中的核心变量(此处设为k ),(2)利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系,得到有关k 与,x y 的等式,(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点()00,x y ,使得无论k 的值如何变化,等式恒成立,此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形,直至找到()00,x y ,①若等式的形式为整式,则考虑将含k 的式子归为一组,变形为“()k ⋅”的形式,让括号中式子等于0,求出定点;②若等式的形式是分式,一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系,可消去k 变为常数.22.(1)14ln 2=+y (2)有两个零点,理由见解析【分析】(1)根据导数的几何意义,结合导数的运算进行求解即可;(2)令()0f x =转化为()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数,利用导数得到()g x 单调性,结合两个函数的图象判断可得答案.【详解】(1)()()4e 122xf x x x =+-<-',所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ,()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ,所以切点坐标为()0,14ln 2+,函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ;(2)有两个零点,理由如下,令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ,可得()e 4ln 2=---x x x ,判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数,因为()=e xt x 为单调递增函数,()0t x >,当x 无限接近于-∞时()t x 无限接近于0,且()22=e t ,由()421=022+'=-+=--x g x x x,得2x =-,当22x -<<时,()0g x '>,()g x 单调递增,当<2x -时,()0g x '<,()g x 单调递减,所以()224ln40-=-<g ,()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ,()110g =-<,43314ln ln 0222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭g ,且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞,所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点,在02x <<时有一个交点,综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解。
2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学全真模拟测试(四)( 含答案)

2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考全真模拟测试(四)数学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|lnx>2},B={x|y=√x−2},则(∁R A)∩B=()A.(0,e2)B.(0,e2]C.[2,e2]D.[2,+∞))3,则|z|=()2.已知复数z=(1+i1−iA.12B.1C.2D.33.已知直线l的倾斜角为3π4,直线l1经过点A(3,2)和B(a,−1),且直线l与l1平行,则实数a 的值为()A.0B.1C.6D.0或64.已知函数f(x)=x a满足f(2)=4,则函数g(x)=|log a(x+1)|的图象大致为()A.B.C.D.5.若函数y=−√4−(x−1)2的图象与直线x−2y+m=0有公共点,则实数m的取值范围为()A.[−2√5−1,−2√5+1]B.[−2√5−1,1].C.[−2√5+1,−1]D.[−3,1]6.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作直线l交双曲线的右支于A,B两点.若|AB|:|AF1|:|BF1|=3:3:2,则双曲线的离心率为()A.√333B.√2C.113D.117.设等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d.已知a3=12,S10>0,a6<0,则选项不正确的是()A.数列{S na n }的最小项为第6项B.−245<d<−4C.a5>0D.S n>0时,n的最大值为58.已知函数f(x)=3x2−1x3,若g(x)=f2(x)−(a−3)f(x)−3a有四个不同的零点,其中恰有一个为负,三个为正,则实数a的取值范围为A.(−2,0)∪(0,2)B.(−1,e)C.(0,2)D.(−2,0)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.设m,n是两条直线,α,β是两个平面,以下判断正确的是()A.若m∥α,α∥β,则m∥βB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,α∥β,则m∥β10.已知函数f(x)=cos(2ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为π2,将f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则下列结论正确的是()A.g(0)=0B.g(x)在[0,π2]单调递减C.g(x)的图像关于x=−π4D.g(x)在[−π12,π3]上的最大值是111.已知函数f(x)=xlnx+x2,x0是函数f(x)的极值点,以下几个结论中正确的是()A.0<x0<1e B.x0>1eC.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>012.如图,已知圆锥的轴截面P AB为等腰直角三角形,底面圆O的直径为2.C是圆O上异于A,B的一点,D为弦AC的中点,E为线段PB上异于P,B的点,以下正确的结论有()A.直线AC⊥平面PDO B.CE与PD一定为异面直线C.直线CE可能平行于平面PDO D.若BC=√2,则CE+AE的最小值为√3+ 1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在△ABC中,已知AB=AC,D为BC边中点,点O在直线AD上,且BC→⋅BO→=3,则BC 边的长度为___________.14.已知sin(α+π5)=−√63,则cos(α−3π10)=_______.15.若等比数列{a n}满足a2−a1=1,a3−a1=3,则{a n}的前n项和S n=____________.16.如图,将由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片沿虚线折起,制作了一个粽子形状的六面体模型,则该六面体的体积为__________;若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列{a n}是首项为1的等差数列,若a2是a1,a5的等比中项,且a2<a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=1a n a n+1,求数列{bn}的前n项的和S n.18.如图,在四棱锥S−ABCD中,△ABS是正三角形,四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=120°,点E是BS的中点.(1)求证:SD∥平面ACE;(2)若平面ABS⊥平面ABCD,求点E到平面ASD的距离.19.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+√3asinC−b−c=0.(1)求A;(2)若a=2,则△ABC的面积为√3,求b,c.20.某地区有小学21所,中学14所,大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校,对学生进行视力检查.(∥) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;(∥) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析:∥列出所有可能抽取的结果;∥求抽取的2所学校没有大学的概率.21.在平面直角坐标系中,点M(−2,0),N(2,0),P是平面内一点,直线PM,PN的斜率之积.为−34(1)求点P的轨迹方程;(2)设点p的轨迹为曲线Γ,过点E(−1,0)的直线l与Γ相交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过点F(1,0),求直线l的方程.22.已知函数f(x)=(2ae x−x)e x.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;≤0恒成立,求a的最小值.(2)若对于任意的x∈R,f(x)+1a2022年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟测试(四)数学答案1.C由题意知,A ={x|x >e 2},B ={x|x ≥2}, ∥∁R A ={x|x ≤e 2}, ∥(∁R A)∩B =[2,e 2]. 2.B ∥1+i 1−i=i∥z =(1+i 1−i)3=i 3=−i ,故|z |=1. 3.C因为直线l 的倾斜角为3π4,所以直线l 的斜率为tan3π4=−1,因为直线l 1经过点A (3,2)和B (a,−1),所以直线l 1斜率为−1−2a−3, 因为直线l 与l 1平行,所以−1−2a−3=−1,解得:a =6, 4.C由恬2a =4,a =2,g(x)=|log 2(x +1)|={−log 2(x +1),−1<x <0log 2(x +1),x ≥0,函数定义域是(−1,+∞),在(−1,0)上递减,在(0,+∞)上递增. 5.B将函数y =−√4−(x −1)2转化为:(x −1)2+y 2=4(y ≤0), 表示以(1,0)为圆心,以2为半径的半圆,如图所示:由图知:当直线x−2y+m=0过点(−1,0)时,m=1,当直线x−2y+m=0与圆相切时,√5=2,解得过m=−2√5−1,所以当−2√5−1≤m≤1时,函数y=−√4−(x−1)2的图象与直线x−2y+m=0有公共点,所以实数m的取值范围为[−2√5−1,1].6.A因|AB|:|AF1|:|BF1|=3:3:2,令|AB|=|AF1|=3m,|BF1|=2m,而双曲线实半轴长a= 1,由双曲线定义知|BF2|=2m−2,|AF2|=3m−2,而|AB|=|AF2|+|BF2|,于是可得m=2,在等腰△ABF1中,cos∠ABF1=12|BF1||AB|=13,令双曲线半焦距为c,在△BF1F2中,由余弦定理得:|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos∠F1BF2,而|BF1|=4,|BF2|=2,(2c)2=42+22−2×4×2×13,解得c=√333,所以双曲线的离心率为e=ca =√333.7.D解:由题意S10=102(a1+a10)=5(a5+a6)>0,又a6<0,所以a5>0,故选项C正确;由a3=12,且a5>0,a6<0,a5+a6>0,得{a5=12+2d>0a6=12+3d<0a5+a6=24+5d>0,解得−245<d<−4,选项B正确;由题意当1⩽n⩽5时,a n>0,当n⩾6时,a n<0,所以S10>0,S11=11a6<0,故S n>0时,n的最大值为10,故选项D错误;由于d<0,数列{a n}是递减数列,当1⩽n⩽5时,a n>0,当n⩾6时,a n<0;当1⩽n⩽10时,S n>0,当n⩾11时,S n<0,所以当1⩽n⩽5时,S na n >0,当6⩽n⩽10时,S na n<0,当n⩾11时,S na n>0,故数列{S n an}中最小的项为第6项,选项A正确.8.C令g(x)=0,即f2(x)−(a−3)f(x)−3a=[f(x)−a]⋅[f(x)+3]=0,解得f(x)=a或f(x)=−3.∵f′(x)=−3(x2−1)x4.令f′(x)>0,得x∈(−1,0)∪(0,1),令f′(x)<0,得x∈(−∞,−1)∪(1,+∞),故f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)上分别单调递减,在(−1,0)和(0,1)上分别单调递增,在x=1处取得极大值,f(x)极大值=f(1)=2,在x=−1处取得极小值,f(x)极小值=f(−1)=−2,当x从左边趋近0时,f(x)趋近于正无穷大,当x从右边趋近0时,f(x)趋近于负无穷大,当x无穷大时,f(x)趋近于0.可知,y=−3与y=f(x)的图象在y轴右侧只有一个交点,在y轴左侧无交点,故此时有一个正零点,当0<a<2时,y=a与y=f(x)的图象在y轴左侧只有一个交点,在y轴右侧有两个交点,故共有三个正零点,一个负零点,故选:C.9.CD对于A,若m∥α,α∥β,则m可能在β内,所以A不正确;对于B,若m∥α,m∥β,则α∥β,还有α与β可能相交,所以B不正确;对于C,若m∥α,n∥α,则m∥n,满足直线与平面垂直的性质定理,故C正确;对于D,若m∥α,α∥β,则m∥β,满足面面平行的性质定理和线面垂直的判定定理,所以D正确;10.AC因为函数f(x)=cos(2ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为π2,所以2ω=2ππ2=4,解得ω=4,所以f(x)=cos(4x−π6),将f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到y=cos(4(x+π6)−π6)=cos(4x+π2)=−sin4x,再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=−sin2x,A. g(0)=0,故正确;B. 因为x∈[0,π2],所以2x∈[0,π],所以g(x)在[0,π2]不单调,故错误;C.因为g(−π4)=−sin[2(−π4)]=1,所以g(x)的图像关于x=−π4,故正确;D. 因为x∈[−π12,π3],所以2x∈[−π6,2π3],则g(x)在[−π12,π3]上的最大值是12,故错误;11.AD函数f(x)=xlnx+x2,(x>0),∴f′(x)=lnx+1+2x,∥x 0是函数f(x)的极值点,∥f ′(x 0)=0,即∴lnx 0+1+2x 0=0, ∴f ′(1e )=2e>0,当x >1e 时,f ′(x )>0∵x →0,f ′(x)→−∞,∴0<x 0<1e ,即A 选项正确,B 选项不正确;f (x 0)+2x 0=x 0lnx 0+x 02+2x 0=x 0(lnx 0+x 0+2)=x 0(1−x 0)>0,即D 正确,C 不正确. 12.ABD对于A 项:在△AOC 中,OA =OC ,D 为AC 中点, 所以AC ⊥OD ,又PO 垂直于圆O 所在的平面,所以PO ⊥AC ,因为PO ∩OD =O ,所以AC ⊥平面PDO ,故A 正确.对于B 项:由于P ,C ,E 共面,且D 在平面PCE 外,所以CE 与PD 异面,故B 正确. 对于C 项:因为CB //OD 可得CB //平面PDO ,若直线CE //平面PDO ,则有平面PBC //平面PDO ,这与两平面有公共点P 矛盾,故C 错.对于D 项:在三棱锥P −ABC 中,将侧面PBC 绕PB 旋转至平面PBC ′,使之与平面P AB 共面,如图所示,则当A ,E ,C ′共线时,CE +AE 取得最小值,因为AB =2,BC ′=√2=PB =PC ′,所以∠ABC ′=105°,由余弦定理可得AC ′=√3+1,即CE +AE 的最小值为√3+1,故D 对. 13.√6设AB 的长度为a (a >0),由BC →⋅BO →=BO →⋅BC →,而BO →⋅BC →的几何意义为:BO →在BC →上的投影与|BC →|的乘积,∥a2⋅a =3⇒a =√6故答案为:√6. 14.−√63cos (α−3π10)=cos [(α+π5)−π2]=sin (α+π5)=−√63, 故答案为:−√63.15.2n −1设等比数列{a n }的公比为q ,由已知,得{a 2−a 1=a 1(q −1)=1a 3−a 1=a 1(q 2−1)=3,解得{a 1=1q =2 ,所以S n=a 1(1−q n )1−q =2n −1. 16. 9√228√627π易得该六面体为两个正四面体的组合体,所以体积为V =2⋅13⋅√6⋅12⋅3⋅3√32=9√22;设该六面体的内切球的半径为r ,则V =13S ⋅r(S 为该六面体的表面积),S =6×√34×32=27√32,所以r =√23,则该六面体的内切球的体积为4π3r 3 = 8√627π;17.(1)根据给定条件求出数列{a n }的公差即可求解作答. (2)由(1)结合裂项相消法计算求出S n 作答. (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2是a 1,a 5的等比中项得a 22=a 1a 5,即(1+d)2=1+4d ,因a 2<a 3,则d >0,解得d =2,a n =a 1+(n −1)d =2n −1, 所以{a n }的通项公式是:a n =2n −1. (2)由(1)知,b n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1),则S n=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1,所以数列{bn }的前n项的和S n=n2n+1.18.(1)在四棱锥S−ABCD中,连接BD交AC于F,则F为BD中点,连接EF,又E为BS中点,∥EF∥SD又SD⊄平面ACE,EF⊂平面ACE,∥SD∥平面ACE(2)方法一:∥四边形ABCD是菱形,且∠ABC=120°,∥△ABD为正三角形,取AB中点的O,连接OD,OS,则OD⊥AB,∥平面ABS ⊥平面ABCD ,平面ABS ∩平面ABCD =AB ,∥OD ⊥平面ABS∥△ABD 、△ABS 是正三角形,AB =4,易得OD =2√3,∥S △ASE =12S △ASB =√3 ∥V D−AES =13×2√3×2√3=4.易得OS =2√3,由OD ⊥OS ,∥DS =√OS 2+OD 2=2√6,取DS 的中点M ,连接AM ,因为AD =AS =4,∥AM ⊥DS , ∥AM =√42−(√6)2=√10,可得S △ADS =12×2√6×√10=2√15,设点E 到平面ASD 的距离为ℎ,∥V D−AES =V E−ADS =13×S △ADS ×ℎ=13×2√15ℎ=4, 解得ℎ=2√155,即点E 到平面的距离为2√155.方法二:∥四边形ABCD 是菱形,且∠ABC =120°,∥△ABD 为正三角形,取AB 中点的O ,连接OD ,OS ,则OD ⊥AB , ∥平面ABS ⊥平面ABCD ,平面ABS ∩平面ABCD =AB ,∥OD ⊥平面ABS ∥△ABS 是正三角形∥OS ⊥AB分别以线段OS 、OB 、OD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O −xyz 又∥AB =4则A (0,−2,0),D(0,0,2√3),S(2√3,0,0),B (0,2,0),E(√3,1,0) ∥AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,2√3),AS⃑⃑⃑⃑⃑ =(2√3,2,0) 设平面ADS 的法向量为n ⃑ =(x,y,z )则{AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0AS ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0即{2y +2√3z =02√3x +2y =0令x =√3,则n ⃑ =(√3,−3,√3)又SE⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√3,1,0)设点E 到平面ASD 的距离为d则d =|n ⃑ ⋅SE ⃑⃑⃑⃑⃑ ||n ⃑ |=√3+9+3=25√15即点E 到平面ASD 的距离为2√155.19. (1)解:根据正弦定理得sinAcosC +√3sinAsinC =sinB +sinC , ∥sinAcosC +√3sinAsinC =sin(A +C)+sinC ,所以sinAcosC +√3sinAsinC =sinAcosC +cosAsinC +sinC . 整理,得√3sinA −cosA =1,即sin (A −30°)=12. 因为0∘<A <180∘,∴−30∘<A −30∘<150∘ 所以A −30°=30°,即A =60°. (2)解:由A =60°,S =12bcsinA =√3,得bc =4.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−2bc −2bccosA ,所以b +c =4 又bc =4,所以b =c =2. 20(∥) 解: 学校总数为21+14+7=42,分层抽样的比例为6÷42=17计算各类学校应抽取的数目为:21×17=3,14×17=2,7×17=1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1所.(∥) 解: ∥ 在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为a 1,a 2,a 3;2所中学分别记为b 1,b 2;1所大学记为c .则应抽取的2所学校的所有结果为:{a 1,a 2},{a 1,a 3},{a 1,b 1},{a 1,b 2},{a 1,c },{a 2,a 3},{a 2,b 1},{a 2,b 2},{a 2,c }, {a 3,b 1},{a 3,b 2},{a 3,c }, {b 1,b 2},{b 1,c },{b 2,c },共15种. ∥设“抽取的2所学校没有大学”作为事件A .其结果共有10种.所以,P(A)=1015=23. 21.(1)设P(x,y),因为直线PM 的斜率k PM =yx+2(x ≠−2), PN 的斜率k PN =yx−2(x ≠2) 由已知得yx+2⋅yx−2=−34(x ≠±2), 化简得点P 的轨迹方程为x 24+y 23=1(x ≠±2).(2)解法一:设直线l 的方程为x =my −1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{x =my −1x 24+y 23=1 得(3m 2+4)y 2−6my −9=0, y 1+y 2=6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4,因为以线段AB 为直径的圆过点F(1,0),所以FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0, 得(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0,又因为x 1=my 1−1,x 2=my 2−1,得(my 1−2)(my 2−2)+y 1y 2=0, 所以(m 2+1)y 1y 2 −2m(y 1+y 2)+4=0, 所以(m 2+1)⋅−93m 2+4−2m ⋅6m3m 2+4+4=0,解得m =±√73,所以直线l 的方程为x =±√73y −1,即3x +√7y +3=0或3x −√7y +3=0解法二:∥当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =−1,不妨设A(−1,32),B(−1,−32),FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =74≠0,故舍去. ∥当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y =k(x +10(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{y =k(x +1)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0,x 1+x 2=−8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2−124k 2+3,因为以线段AB 为直径的圆过点F(1,0),所以FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0, 得(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0, 又因为y 1=k(x 1+1),y 2=k(x 2+1),得(k 2+1)x 1x 2+(k 2−1)(x 1+x 2)+k 2+1=0, 所以(k 2+1)⋅4k 2−124k 2+3+(k 2−1)⋅−8k 24k 2+3+k 2+1=0,解得k = ±3√77, 所以直线l 的方程为x =±√73y −1,即3x +√7y +3=0或3x −√7y +3=0综上,直线l 的方程为3x +√7y +3=0或3x −√7y +3=0. 22.(解:(1)因为a =0,所以f (x )=−xe x ,f ′(x )=−(x +1)e x . 令f ′(x )=0,得x =−1. 当x ∈(−∞,−1)时,f ′(x )>0; 当x ∈(−1,+∞)时,f ′(x )<0.故f (x )的单调速增区间是(−∞,−1),单调递减区间是(−1,+∞). (2)f ′(x )=4ae 2x −(x +1)e x =−e x (x +1−4ae x ). 因为∀x ∈R ,f (x )+1a ≤0,又f (0)=2a ,所以2a +1a ≤0,则a <0. 令g (x )=x +1−4ae x ,则g (x )在R 上单调递增. 因为当x <0时,g (x )<x +1−4a , 所以g (4a −1)<4a −1+1−4a =0.因为g (−1)=−4ae −1>0,所以∃x 0∈(4a −1,−1),使得g (x 0)=0. 且当x ∈(−∞,x 0)时,g (x )<0,则f ′(x )>0, 当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )>0,则f ′(x )<0,所以f (x )在(−∞,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减. 故f (x )max =f (x 0)=2ae 2x 0−x 0e x 0. 由g (x 0)=x 0+1−4ae x 0=0,得a =x 0+14e x 0.由f (x )max +1a ≤0,得x 0e x 0−e 2x 0⋅x 0+12e x 0≥4e x 0x0+1,即x 0−12≥4x0+1.结合x 0+1<0,得x 02−1≤8,所以−3≤x 0<−1.令ℎ(x )=x+14e x(−3≤x <1).则ℎ′(x )=−x4e x >0,所以ℎ(x )在[−3,−1)上单调递增, 所以ℎ(x )≥ℎ(−3)=−e 32,即a ≥−e 32.故a 的最小值为−e 32.。
普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(4)(文科数学含答案详解)PDF.pdf

地风俗正月初二都要回娘家,则从正月初三算起的一百天内,有女儿回娘家的天数有
4.已知变量 x , y 之间满足线性相关关系 yˆ =1.3x −1,且 x , y 之间的相关数据如下表
() A. 58
1
B. 59
C. 60
D. 61
【答案】C 【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33,25,20,小女儿和二女儿、 小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 8,6,5,三个女儿同时回娘家 的天数是 1,所以有女儿在娘家的天数是:33+25+20-(8+6+5)+1=60. 故选 C. 8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面 体的表面积为( )
= 15a1 3a1
= 5 ,选
C.
7.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女,长女五日一归,中女四
日一归,少女三日一归.问:三女何日相会?”意思是:“一家出嫁的三个女儿中,大女
儿每五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家.三个女儿
从娘家同一天走后,至少再隔多少天三人再次相会?”假如回娘家当天均回夫家,若当
y = b ,即有 M (a,b) ,又 A(−a,0) , MAB = 30 ,则直线 AM 的斜率 k = 3 ,又
3
( ) k = b ,则 3b2 = 4a2 = 3 c2 − a2 ,即有 3c2 = 7a2 ,则离心率 e = c = 21 ,故选 B.
2a
a3
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13 . △ABC 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 若 2c cos B = 2a + b , 则 C = _________. 【答案】120 【解析】∵ 2c cos B = 2a + b ,∴ 2c a2 + c2 − b2 = 2a + b ,即 a2 + b2 − c2 = −ab ,
【2020-2021自招】厦门大学附属实验中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

第一套:满分150分2020-2021年厦门大学附属实验中学初升高自主招生数学模拟卷一.选择题(共8小题,满分48分)1.(6分)如图,△ABC中,D、E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M在AC边上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,则BH:HG:GM=()A.3:2:1 B.5:3:1C.25:12:5 D.51:24:102.(6分)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3;②1> ;m4③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.(6分)已知长方形的面积为20cm2,设该长方形一边长为ycm,另一边的长为xcm,则y与x之间的函数图象大致是()A. B. C. D.4.(6分)如图,在平面直角坐标系中,⊙O 的半径为1,则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是( )A .相离B .相切C .相交D .以上三种情况都有可能 5.(6分)若一直角三角形的斜边长为c ,内切圆半径是r ,则内切圆的面积与三角形面积之比是( )A .B .C .D .6.(6分)如图,Rt △ABC 中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,D 1是斜边AB 的中点,过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1,连结BE 1交CD 1于D 2;过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2,连结BE 2交CD 1于D 3;过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3,…,如此继续,可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013,分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013.则S 2013的大小为( ) A.31003 B.320136 C.310073 D.67147.(6分)抛物线y=ax 2与直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则实数a 的取值范围是( )A .≤a ≤1B .≤a ≤2C .≤a ≤1D .≤a ≤28.(6分)如图,矩形ABCD 的面积为5,它的两条对角线交于点O 1,以AB ,AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1,平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02,同样以AB ,AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2.…,依此类推,则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为( )A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二.填空题:(每题7分,满分42分)9.(7分)方程组的解是 .10.(7分)若对任意实数x 不等式ax >b 都成立,那么a ,b 的取值范围为 .11.(7分)如图,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A 是底面圆周上一点,从A 点出发绕侧面一周,再回到A 点的最短的路线长是 .12.(7分)有一张矩形纸片ABCD ,AD=9,AB=12,将纸片折叠使A 、C 两点重合,那么折痕长是 .13.(7分)设﹣1≤x ≤2,则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 .14.(7分)两个反比例函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示.点P 1,P 2,P 3、…、P 2007在反比例函数y=上,它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007,纵坐标分别是1,3,5…共2007个连续奇数,过P 1,P 2,P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线,与y=的图象交点依次为Q 1(x 1′,y 1′)、Q 1(x 2′,y 2′)、…、Q 2(x 2007′,y 2007′),则|P 2007Q 2007|= .三.解答题:(每天12分,满分60分)15.(12分).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16.(12分)如图,ABC △是等腰直角三角形,CA CB =,点N 在线段AB 上(与A 、B 不重合),点M 在射线BA 上,且45NCM ∠=︒。
【2020-2021自招】新疆维吾尔自治区兵团二中初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

第一套:满分150分2020-2021年新疆维吾尔自治区兵团二中初升高自主招生数学模拟卷一.选择题(共8小题,满分48分)1.(6分)如图,△ABC中,D、E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M在AC边上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,则BH:HG:GM=()A.3:2:1 B.5:3:1C.25:12:5 D.51:24:102.(6分)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3;②1> ;m4③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.(6分)已知长方形的面积为20cm2,设该长方形一边长为ycm,另一边的长为xcm,则y与x之间的函数图象大致是()A. B. C. D.4.(6分)如图,在平面直角坐标系中,⊙O 的半径为1,则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是( )A .相离B .相切C .相交D .以上三种情况都有可能 5.(6分)若一直角三角形的斜边长为c ,内切圆半径是r ,则内切圆的面积与三角形面积之比是( )A .B .C .D .6.(6分)如图,Rt △ABC 中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,D 1是斜边AB 的中点,过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1,连结BE 1交CD 1于D 2;过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2,连结BE 2交CD 1于D 3;过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3,…,如此继续,可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013,分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013.则S 2013的大小为( ) A.31003 B.320136 C.310073 D.67147.(6分)抛物线y=ax 2与直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则实数a 的取值范围是( )A .≤a ≤1B .≤a ≤2C .≤a ≤1D .≤a ≤28.(6分)如图,矩形ABCD 的面积为5,它的两条对角线交于点O 1,以AB ,AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1,平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02,同样以AB ,AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2.…,依此类推,则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为( )A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二.填空题:(每题7分,满分42分)9.(7分)方程组的解是 .10.(7分)若对任意实数x 不等式ax >b 都成立,那么a ,b 的取值范围为 .11.(7分)如图,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A 是底面圆周上一点,从A 点出发绕侧面一周,再回到A 点的最短的路线长是 .12.(7分)有一张矩形纸片ABCD ,AD=9,AB=12,将纸片折叠使A 、C 两点重合,那么折痕长是 .13.(7分)设﹣1≤x ≤2,则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 .14.(7分)两个反比例函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示.点P 1,P 2,P 3、…、P 2007在反比例函数y=上,它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007,纵坐标分别是1,3,5…共2007个连续奇数,过P 1,P 2,P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线,与y=的图象交点依次为Q 1(x 1′,y 1′)、Q 1(x 2′,y 2′)、…、Q 2(x 2007′,y 2007′),则|P 2007Q 2007|= .三.解答题:(每天12分,满分60分)15.(12分).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16.(12分)如图,ABC △是等腰直角三角形,CA CB =,点N 在线段AB 上(与A 、B 不重合),点M 在射线BA 上,且45NCM ∠=︒。
2023年普通高等学校招生考试模拟试题数学4(可编辑可打印)

2023年普通高等学校招生考试模拟试题数学(四)本试卷共 4 页 ,22题 。
全卷满分 150分 。
考试用时 120分钟。
注意事项:1.答题前 ,先将自己的姓名 、考号等填写在试题卷和答题卡上 ,并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置 。
2.选择题的作答:选出每小题答案后 ,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 。
写 在试题卷 、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内 。
写在试题卷 、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。
4.考试结束后 ,请将本试题卷和答题卡一并上交 。
一 、选择题:本题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40分 。
在每小题给出的四个选项中 ,只有 一 项是符合题目要求的。
1.已知集合 A = (x l x 2 -3x -4>0},B = (x l - 2<x ≤a },若 A U B =R ,则实数 a 的取值范 围为A.[1,+o )B.(1,+o )C.[4,+o )D.(4,+o ) 2.设复数x 满足x (2-i ) =1+b i (b ∈R ) ,若 x 为纯虚数 ,则 x =A.-iB.iC.-5iD.5i 3.已知 tan a =2,则 cos 2a --的值为A.1 B.4 C.- 3 D.- 14.山东烟台某地种植的苹果按果径 X (单位:mm ) 的大小分级 ,其中 X ∈(80,100]的苹果为特 级 ,且该地种植的苹果果径 X ~N (85,25) .若在某一次采摘中 ,该地果农采摘了 2 万个苹果 , 则其中特级苹果的个数约为(参考数据:若 X ~N (以,G 2 ) ,则 P (以-G <X ≤以+G ) ~0.682 7, P (以- 2G <X ≤以+2G ) ~0.9545,P (以-3G <X ≤以+3G ) ~0.9973)A.3 000B.13654C.16800D.19946 5.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中 ,提出了 一 些新的高阶等差数 列 ,其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列 ,如数列 2,4,7,11,16,从第二项起 ,每 一 项与前一项的差组成新数列 2,3,4,5,新数列 2,3,4,5 为等差数列 ,则称数列 2,4,7,11,16为 二阶等差数列 ,现有二阶等差数列(a n },其前七项分别为 2,2,3,5,8,12,17,则该数列的第 20 项为A.173B.171C.155D.1516.已知椭圆 C :+ =1(a >b >0) 的左 、右焦点分别为 F 1 ,F 2 ,A 为左顶点 ,B 为短轴的 一 个 端点 ,若l BF 1 l ,l F 1F 2 l ,l AF 2 l 构成等比数列 ,则椭圆 C 的离心率为 A. BC^ D.1+8^7.已知点 P 在棱长为a 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的外接球 O 的球面上 ,当过 A ,C ,P 三点 的平面截球O 的截面面积最大时 ,此平面截正方体表面的截线长度之和 L 为 A.(2+2^ B.(2+2^ C.(2+^ D.(2+^8.已知抛物线 E :y 2 =8x F 的直线1与圆 M 交于C ,D两点 ,交抛物线 E 于 A ,B 两点 ,点 A ,C 位于x 轴上方 ,则满足l AC l =l BD l 的直线1的方程为 A.x =1 B.x =2C.x - 2y - 2=0或 x +2y - 2=0D.x =2或 x - 2y - 2=0或 x +2y - 2=0二 、选择题:本题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20分 。
2025年重点高中自主招生考试数学模拟试卷试题(含答案)

2025重点高中自主招生数学针对性模拟试卷(本试卷满分150分,时间2小时)一、选择题(每小题6分,共60分)1.若“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P ,则()A.P=0B.0<P<1C.P=1P>12.下列命题中,真命题的个数是()①一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.方程()1112=--x x 的根共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.设{}d c b a ,,,max 表示d c b a ,,,中最大的数,则⎭⎫⎩⎨⎧-210,2,260tan 2,45cos 2max 0π=()A.045cos 2 B.260tan 20- C.2π D.2105.若关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x 的两根分别为1x 、2x ,且321=+x x ,则m =()A.-1或21 B.-1或1C.21-或21 D.21-或16.如图,在△ABC 中,点D 在线段AC 上,点F 在线段BC 延长线上,BF=5CF,且四边形CDEF 是平行四边形,△BDE 与△ADE 的面积之和为7,则△ABC 面积为()A.28 B.29 C.30 D.327.用数字0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位数共有()A.64个 B.72个 C.96个 D.不同于以上答案8.已知y x ,是整数,则满足方程03432=---y x xy 的数对),(y x 共有()A.4对B.6对C.8对D.12对9.如图,在△ABC 中,AC=BC=4,D 是BC 的中点,过A,C,D 三点的圆O 与AB 边相切于点A,则圆O 的半径为()A.2B.5C.214D.714410.若关于x 的方程x k x =-23有三个不同解321,,x x x ,设,321x x x m ++=则m 的取值范围为()A.2<m B.23->m C.20<<m D.223<<-m 二、填空题(每小题6分共36分)11.已知△ABC 中,BC=1,AC=2,AB=3,则△ABC 的内切圆半径为.12.若y x 、满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2454545yx xy y x xy ,则=+y x .13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线22--=x x y 与x 轴交于A、B 两点(点A 在点B 左边),点E 在对称轴MN 上,点F 在以点C(-1,-4)为圆心,21为半径的圆上,则AE+EF 的最小值为.14.已知直线)0(1>+=k kx y 与双曲线xy 2=交于A、B 两点,设A、B 两点的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ,则=-+-)1()1(1221y x y x .15.若21≤---a x x 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围是.16.已知互不相等的正整数20321,,,,a a a a 满足202420321=+++a a a a ,设d 是20321,,,,a a a a 的最大公约数,则d 的最大值为.三、解答题(共54分)17.(12分)已知实数215-=a .(1)求a a +2的值;(2)求3223111aa a a a a +++++的值.18.(12分)已知一次函数)0(1)2(<+-=k x k y 的图象与y x 、轴分别交于点A、B.(1)若2-=k ,试在第一象限内直接写出点),(y x M 的坐标,使得A、B、M 三点构成一个等腰直角三角形;(2)设O 为坐标原点,求△OAB 的面积的最小值.19.(14分)如图,已知0120=∠AOB ,PT 切圆O 于T,A、B、P 三点共线,∠APT 的平分线依次交AT、BT 于C、D,连接BC、AD.(1)求证:△CDT 为等边三角形;(2)若AC=8,BD=2,求PC 的长.20.(16分)已知函数a x a x y -+-+=3)4(2.(1)若此函数的图象与x 轴交于点)0,()0,(21x B x A 、,且2021≤<≤x x ,求a 的取值范围;(2)若20≤≤x ,求y 的最大值;(3)记a x a x x f -+-+=3)4()(2,若对于任意的40<<a ,都能找到200≤≤x ,使t x f ≥)(0,求t 的取值范围参考答案:一、选择题:1-5CBBDC6-10ACBDD 二、填空题:11、2321-+12、913、2914、-415、31≤≤-a 16、817.(1)∵215-=a ,512=+∴a ,5)12(2=+∴a .4442=+∴a a ,12=+∴a a .(3)a a -=12,12)1()1(23-=--=-=-=∴a a a a a a a a .∴原式==++++-3321112aa a a a 122222112333-+=+=++a a a a a a a .当215-=a 时,原式=353)25(2152521511522152+=++-=-+-=--+-⨯.18.(1)当2-=k 时,52+-=x y ,满足题意的M 点有3个,分别为415,415(),215,5(),25,215(321M M M .(2)易求得)21,0(),0,12(k B kA --.k kk k OB OA S OAB 2212)2112(2121--=--=⋅=∴∆,0<k ,021>-∴k ,02>-k .有均值不等式得4)2(2122=-⋅-+≥∆k kS OAB ,当且仅当k k 221-=-,即21-=k 时,等号成立.∴△ABC 的面积的最小值为4.19.(1)证明:0120=∠AOB ,06021=∠=∠∴AOB ATB .∵PT 切⊙O 于T,∴∠BTP=∠TAP.∵PC 平分∠APT,∴∠APC=∠CPT.∵∠TCD=∠TAP+∠APC,∠CDT=∠BTP+∠CPT.∴∠TCD=∠CDT=00060260180=-.∴△CDT 为等边三角形.(3)解:设CT=DT=x ,∵∠TCD=∠CDT=∠BDP,∠BPD=∠CPT,∴△PCT∽△PDB.∴BDCTPD PC =①,∵∠DTP=∠PAC,∠APC=DPT,∴△ACP∽△TDP.∴PD PC TD AC =,∴TD AC BD CT =.∴xx 82=.∴4=x (负值舍去).∴CD=DT=CT=4.由①得244=-PC PC ,解得PC=8.20.解:(1)∵0)2()3(4)4(22>-=---=∆a a a ,2≠∴a .①当a x x -==3,121时,则231≤-<a ,∴21<≤a ;②当1,321=-=x a x 时,则130<-≤a .32≤<∴a .综上所述,a 的取值范围为31≤≤a 且2≠a .(2)对称轴为直线24a x -=.分三种情况讨论:①当024<-a,即4>a 时,当2=x 时,1-=a y 为最大值.②当2240≤-≤a,即40≤≤a 时,此时y 最大值在0=x 或2=x 处取得.(ⅰ)当242024a a --≥--时,则20≤≤a .此时,当0=x 时,a y -=3为最大值;(ⅱ)当242024aa --<--时,则42≤<a ,此时,当2=x 时,1-=a y 为最大值.③当224>-a,即0<a 时,当0=x 时,a y -=3为最大值.综上所述,当2<a 时,y 的最大值为a -3;当2>a 时,y 的最大值为1-a .(3)对称轴为直线24a x -=.∵40<<a ,∴2240<-<a.∴函数a x a x x f -+-+=3)4()(21在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,0a 上是减函数,在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,24a 上是增函数.∴对任意的)4,0(∈a ,存在]2,0[0∈x 使得t x f ≥|)(|0可化为对任意的)4,0(∈a ,t f ≥|)0(|或t f ≥|)2(|或t af ≥-)24(有一个成立即可.即t a f f f ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-max 24(||,)2(||,)0(|即可.①当242024a a --≥--时,则20≤≤a ,|)2(||)0(|f f ≥.∴a a a a f f t -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤3|2)2(||,3||24(||,)0(|max2max ,∴1)3(min =-≤a t .②当242024aa --<--时,则42≤<a ,此时,|)0(||)2(|f f >.1|4)2(||,1||24(),2(|max2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤∴a a a a f f t .∴1)1(min =-≤a t .综上所述,t 的取值范围为1≤t .。
2024年4月高三数学(文)全国卷模拟考试卷附答案解析

2024年4月高三数学(文)全国卷模拟考试卷试卷满分150分,考试时间120分钟。
2024.4注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟,满分150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设21ii i z +=+,则z =()A .12B .1CD2.设集合{}{}20,4A x x B x x =≥=≤,则A B = ()A .[]2,0-B .[]22-,C .[]0,2D .[)2,0-3.函数()2ln 1f x x x =-的大致图象为()A.B.C.D .4.若关于,x y 的不等式组1020x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域是直角三角形区域,则实数k =()A .1-B .1C .1-或0D .0或15.已知命题“[]21,4,e 0xx m x∀∈--≥”为真命题,则实数m 的取值范围为()A .(],e 2-∞-B .41,e 2⎛⎤-∞- ⎝⎦C .[)e 2,-+∞D .41e ,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭6.下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图(单位:杯),则下列选项错误的是()A .这8个月月销售量的极差是3258B .这8个月月销售量的中位数是3194C .这8个月中2月份的销量最低D .这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份7.已知向量()1,1a =- ,()3,4b =-,则cos ,a a b -= ()A .52626B .52626-C .2613D .26138.已知角π3α+的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边经过点13,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A .32B .12-C .12D .329.某导航通讯的信号可以用函数()23sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭近似模拟,若函数()f x 在[]0,m 上有3个零点,则实数m 的取值范围为()A .211π,π312⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .211π,π312⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .117π,π126⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .117π,π126⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知231ln ,,e 23a b c -===,则,,a b c 的大小关系为()A .a b c >>B .a c b >>C .b a c>>D .b c a>>11.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图,则在图②中第5行的黑心圈的个数是()A .12B .13C .40D .12112.在三棱锥D APM -中,524,,,π6AD MP MP AP MP DP APD ==⊥⊥∠=,则三棱锥D APM -的外接球的表面积为()A .17πB .28πC .68πD .72π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在区间[]3,4-上随机取一个数x ,若x a ≤的概率为47,则=a .14.已知函数()f x 的导函数()()()214f x x x x a '=+++,若1-不是()f x 的极值点,则实数=a .15.阿基米德既是古希腊著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的面积为6π,点P 在椭圆C 上,且P 与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为49-.记椭圆C 的左、右两个焦点分别为12,F F ,则12PF F △的面积可能为.(横线上写出满足条件的一个值)16.如图,在ABC 中,π6DAC ∠=,2,AC CD D ==为边BC 上的一点,且AD AB ⊥,则AB =.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分.17.某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况,随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长(单位:分钟),得到如图所示的频率分布直方图.直方图中,,a b c 成等差数列,时长落在区间[)80,90内的人数为200.(1)求出直方图中,,a b c 的值;(2)估计样本时长的中位数(精确到0.1)和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);(3)从参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查,再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查,求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90恰好各一人的概率.18.如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 为正方形,四边形CDEF 为等腰梯形,EF CD ,且平面ABCD ⊥平面,224CDEF AD DE EF ===.(1)证明:AE CE ⊥;(2)求三棱锥E BDF -的体积.19.已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和,13a =且2111322n n n S S a +++=-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若()1(1)1n nn a b n n +=-+,求{}n b 的前10项和10T .20.已知抛物线2:2(04)C x py p =<<的焦点为F .点()4,P m 在抛物线C 上,且5PF =.(1)求p ;(2)过焦点F 的直线1l 交抛物线C 于,A B 两点,原点为O ,若直线,OA OB 分别交直线2l :332y x =-于,M N 两点,求线段MN 长度的最小值.21.已知函数()()()211e 12x f x a x a =+-+∈R .(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(2)设()1212,x x x x <是函数()y f x '=的两个零点,求证:122x x +>.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩(其中α为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos 2sin 2ρθρθ+=.(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)已知点()0,1T ,直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求TA TB -的值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知,,a b c 均为正实数,且满足9444a b c ++=.(1)求114100c a b+-的最小值;(2)求证:22216941a b c ++≥.1.B【分析】利用分母实数化对z 进行化简,从而得到答案.【详解】由题意可得()()221i 1i (1i)2ii i i i 1i 1i 12z +++=====-+--+-,所以1z =.故选:B .2.C【分析】先化简集合B ,再利用集合的交集运算求解.【详解】解:因为{}0,A x x =≥{}[]242,2B xx =≤=-∣,所以[]0,2A B = ,故选:C 3.B【分析】根据定义域、特殊值可以对选项进行排除,从而得到正确选项.【详解】因为()f x 的定义域为()(),11,∞∞-⋃+,故排除C ;又()36ln20f =>,故排除A ;13ln 022f ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭,故排除D .故选:B .4.C【分析】由已知,关于,x y 的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域,则直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=或直线20kx y +-=垂直于直线1x =,从而得到k 值.【详解】由题意,当直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=时,表示的平面区域是直角三角形区域,所以1k =-.当直线20kx y +-=垂直于直线1x =时,表示的平面区域是直角三角形区域,所以0k =.故选:C .5.A【分析】分离参数2e xm x ≤-,求函数()[]2e ,1,4xf x x x=-∈的最小值即可求解.【详解】因为命题“[]21,4,e 0xx m x ∀∈--≥”为真命题,所以[]21,4,e x x m x∀∈≤-.令()[]2e ,1,4,e xx f x x y x =-∈=与2y x=-在[]1,4上均为增函数,故()f x 为增函数,当1x =时,()f x 有最小值,即()1e 2m f ≤=-,故选:A .6.B【分析】先将数据按从小到大的顺序排列,再根据极差,中位数的定义可判断A 和B ;根据折线图可判断C 和D.【详解】将数据按从小到大的顺序排列:707,1533,1598,3152,3436,3533,3740,3965,对于A ,极差是39657073258-=,故A 正确;对于B ,因为850%4⨯=,所以中位数是第四个数和第五个数的平均数,即3152343632942+=,故B 错误;对于C ,这8个月中2月份的销量最低,故C 正确;对于D ,这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份,增加了1619,故D 正确.故选:B .7.B【分析】根据向量的坐标运算,先求()a ab ⋅- ,再分别求a r 和a b - ,利用()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-求解.【详解】因为()1,1a =- ,()3,4b =-,所以()2,3a b -=-,a =-= a b ,所以()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-==.故选:B 8.D【分析】利用三角函数的定义可求出πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,再根据诱导公式求解即可.【详解】因为角π3α+的终边经过点12P ⎛ ⎝⎭,所以πsin 32α⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以ππππcos cos sin 63232ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:D.9.A【分析】先求出函数的零点,然后根据()f x 在[]0,m 上有3个零点,则即可求出实数m 的取值范围.【详解】令2π4π,3x k k -=∈Z ,得ππ,64k x k =+∈Z ,所以函数()f x 的零点为ππ,64k x k =+∈Z ,可知()f x 在[)0,∞+上的零点依次为π5π2π11π,,,,612312x =,若()f x 在[]0,m 上有3个零点,则211π,π312m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选:A .10.A【分析】利用当0x >时,ln 1x x ≤-判断a b >,通过函数1y x=在是减函数判断b c >.【详解】当0x >时,设()ln 1f x x x =-+,则()11f x x'=-,当01x <<时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,当1x >时,()0f x '<,()f x 单调递减,所以()()10f x f ≤=,也就是说当0x >时,ln 1x x ≤-,用1x 代替x ,可得11ln 1x x≤-,即1ln 1x x ≥-,所以321ln1233>-=,即a b >.又知2211e 3e->=,所以b c >,所以a b c >>.故选:A 11.C【分析】本题是一个探究型的题目,从图①中读取信息:白球分形成两白一黑,黑球分型成一白两黑;由图②,从第二行起,球的总个数是前一行的3倍,白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数,黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果.【详解】设题图②中第n 行白心圈的个数为n a ,黑心圈的个数为n b ,依题意可得13n n n a b -+=,且有111,0a b ==,所以{}n n a b +是以111a b +=为首项,3为公比的等比数列,13n n n a b -∴+=①;又12n n n a a b +=+,12n n n b b a +=+,故有11n n n n a b a b ++=--,∴{}n n a b -为常数数列,且111a b -=,所以{}n n a b -是以111a b -=为首项,1为公比的等比数列,1n n a b ∴-=②;由①②相加减得:1312n n a -+∴=,1312n n b --=;所以4531402b -==.故选:C .12.C【分析】根据线面垂直判定定理,证明线面垂直并作图,明确外接球的球心位置,利用正弦定理求得底面外接圆的半径,结合图中的几何性质,求得外接球的半径,可得答案.【详解】由题意可知,,MP PA MP PD ⊥⊥.且,PA PD P PA ⋂=⊂平面PAD ,PD ⊂平面PAD ,所以MP ⊥平面PAD .设ADP △的外接圆的半径为r ,则由正弦定理可得2sin AD r APD =∠,即42sin150r ︒=,所以4r =.设三棱锥D APM -的外接球的半径为R ,则222(2)(2)R PM r =+,即2(2)46468R =+=,所以217R =,所以外接球的表面积为24π68πR =.故选:C .13.2【分析】根据几何概型的概率公式,根据长度之比即可求解.【详解】显然0a ≥.区间[]3,4-长度是7,区间[]3,4-上随机取一个数,x x a ≤的解集为[],a a -,区间长度为2a ,所以x a ≤的概率为2477a =,所以2a =.故答案为:214.3【分析】设()24h x x x a =++,依题意有()10h -=,解出a 的值并检验即可.【详解】由()()()214f x x x x a '=+++,设()24h x x x a =++,若1-不是函数()f x 的极值点,则必有()10h -=,即140a -+=,所以3a =.当3a =时,()()()()22143(1)3f x x x x x x =+++=++',故当3x >-时,()0f x '≥,当3x <-时,()0f x '<,因此3x =-是()f x 的极值点,1-不是极值点,满足题意,故3a =.故答案为:315.2(答案不唯一,在内的任何数都可以)【分析】根据给定条件,求出ab ,结合斜率坐标公式求出,,a b c ,再求出焦点三角形面积的范围即得.【详解】由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为6π,得π6πab =,解得6ab =,设点00(,)P x y ,显然00x ≠,由2200221x y a b+=,得2222002b y b x a -=,椭圆C 的上、下顶点坐标分别为(0,),(0,)b b -,则2220002200049y b y b y b b x x x a -+-⋅==-=-,即2249b a =,解得3,2a b ==,半焦距c =12PF F △的面积12001|2|2||PF F S c y y =⨯⨯= ,而0(2,2)y ∈-且00y ≠,因此12(0,PF F S ∈ ,所以12PF F △的面积可能为2.故答案为:216【分析】在ACD 中由正弦定理求出ADC ∠,即可求出ACD ∠,再代入求出AB ,最后由ABD △为等腰直角三角形得解.【详解】由题可知,在ACD 中,由正弦定理得sin sin sin CD AD ACDAC ACD ADC==∠∠∠,即2πsin sin sin6AD ACD ADC ==∠∠,得2sin 2ADC ∠=,又AC CD >,由图可得ADC ∠为钝角,所以3π4ADC ∠=,所以π4ADB =∠,则πππ4612ACD ∠=-=,则π2sinππππππ124sin 4sin cos cos sin π464646sin 6AD ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又AD AB ⊥,所以ABD △为等腰直角三角形,则AB AD ==.17.(1)0.04,0.03,0.02a b c ===(2)71.7,73(3)815【分析】(1)先求出c ,再利用面积和为1求出0.07a b +=,再结合等差数列求解a ,b ;(2)利用左右面积相等求中位数,由频率乘组距求和得平均数;(3)由分层抽样确定[)60,70和[)80,90的人数,再利用列举法求解概率.【详解】(1)由已知可得2001000100.02c =÷÷=,则()0.0050.020.005101a b ++++⨯=,即0.07a b +=,又,,a b c 成等差数列,20.02b a ∴=+,解得0.04,0.03a b ==.(2)()()0.0050.04100.450.5,0.0050.040.03100.750.5+⨯=++⨯= ,设中位数为x ,且[)70,80x ∈,()()0.0050.0410700.030.5x ∴+⨯+-⨯=,解得71.7x ≈,即中位数为71.7;平均数为()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=;(3)由(1)知:2:1a c =,按照分层抽样随机抽取6人中,参加课外兴趣班的时长在[)60,70内的有2643⨯=人,记为,,,A B C D ,参加课外兴趣班的时长在[)80,90内的有1623⨯=人,记为,x y .从,,,,,x y A B C D 中随机抽取2人的所有基本事件有:()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,x y x A x B x C x D y A y B ,()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,y C y D A B A C A D B C B D C D ,共15种,其中,被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的事件有:()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,x A x B x C x D y A y B y C y D ,共8种.所以被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的概率为815.18.(1)证明见解析(2)3【分析】(1)由面面垂直得到线面垂直,再得到线线垂直,利用勾股定理求出线段长度,最后利用线段长度符合勾股定理证明线线垂直;(2)转换顶点,以B 为顶点,以DEF 为底面,从而13--==⨯⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC 即可得到体积.【详解】(1)连接AC ,平面ABCD ⊥平面CDEF ,平面ABCD ⋂平面,CDEF CD AD CD =⊥,AD ⊂面ABCD ,AD ∴⊥平面CDEF ,又DE ⊂平面CDEF ,则AD DE ⊥,ADE ∴V 是直角三角形,即AE =.在梯形CDEF 中,作EH CD ⊥于H ,则1,DH EH ==CE ==.又AC =222AC CE AE =+,AE CE ∴⊥.(2)BC CD ⊥ ,平面ABCD ⊥平面CDEF ,平面ABCD ⋂平面CDEF CD =,BC ⊂面ABCD ,BC ∴⊥平面CDEF .由(1)知11222DEF S EF EH =⨯⨯=⨯=△,11433--==⨯⨯=⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC .19.(1)21n a n =+(2)1011【分析】(1)已知n S 与n a 的关系求通项公式,用退位作差,再利用平方差公式进行化简,最后对1n =时进行检验,得到数列{}n a 是等差数列,从而写出通项公式;(2)根据n a 得到n b ,观察数列通项公式特点,裂项,进而得到前10项和10T .【详解】(1)由题意知:2111322n n n S S a +++=-,即()21123n n n S S a +++=-,当2n ≥时,()2123n n n S S a -+=-,两式相减,可得()()1120n n n n a a a a +++--=,因为0n a >,可得()122n n a a n +-=≥.又因为13a =,当1n =时,()212223S S a +=-,即2222150a a --=,解得25a =或23a =-(舍去),所以212a a -=(符合),从而12n n a a +-=,所以数列{}n a 表示首项为3,公差为2的等差数列.所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.(2)由题意得()()1112111(1)(1)(1)111n n n n n a n b n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪+++⎝⎭,所以10123910T b b b b b =+++++ 111111111110112233491010111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以101011T =.20.(1)2p =【分析】(1)根据点P 在抛物线C 上符合抛物线的方程和抛物线的定义得到两个方程,联立可解得p ;(2)联立直线1l 方程与抛物线方程得到,A B 两点坐标关系,表示出直线,OA OB ,分别与直线2l 方程联立得到,M N 两点横坐标,再由距离公式表示出线段MN 长度,整理后转换成二次函数求最值问题,进而得到线段MN 长度的最小值.【详解】(1)因为点()4,P m 在C 上,所以162pm =,因为5PF =,所以由抛物线定义得52p PF m ==+,解得4,2m p ==或1,8m p ==(舍).所以2p =.(2)由(1)知,抛物线C 的方程为24x y =,()0,1F .若直线AB 的斜率不存在,则与抛物线只有一个交点,不合题意,所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的斜率为k ,()11,A x y ,()22,B x y ,则直线1l 的方程为1y kx =+,联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=,所以12124,4x x k x x +==-,从而有21x x -==由2114x y =得直线OA 的方程1114y x y x x x ==,联立143260x y x x y ⎧=⎪⎨⎪--=⎩解得1126M x x =-,同理2126N x x =-.所以1126N M N M MN x x x =-=-=-=-322443k k==--令()430k t t -=≠,则43tk -=,所以5MN ==,当且仅当1425,254t t==即34k =-时等号成立,所以线段MN 【点睛】方法点睛:圆锥曲线中线段(距离)类的最值(范围)问题(1)几何法:利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解;(2)代数法:把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数,利用函数、不等式的知识进行求解.21.(1)230x y -+=(2)证明见解析【分析】(1)求导得斜率,再利用点斜式求直线并化简即可;(2)由导函数的两个零点得()()12121e e x x x x a +=++和()()21211e e x xx x a -=+-,得到21211e e x x x x a -+=-,转化为证明()212121e e 2e e x x x xx x +->-,换元21t x x =-,证明()()2e 20th t t t =-++>即可.【详解】(1)当1a =时,()()212e 1,2e 2x xf x x f x x =-+=-',则()()03,02f f '==,则切线方程为32y x -=,因此曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为230x y -+=.(2)证明:函数()()121e ,,xf x a x x x =+-'是()y f x '=的两个零点,所以()()12121e ,1e x xx a x a =+=+,则有()()12121e e x x x x a +=++,且()()21211e e x xx x a -=+-,由12x x <,得21211e e x x x x a -+=-.要证122x x +>,只要证明()()121e e2x x a ++>,即证()212121e e 2e e x x x x x x +->-.记21t x x =-,则0,e 1t t >>,因此只要证明e 12e 1t t t +⋅>-,即()2e 20tt t -++>.记()()2e 2(0)t h t t t t =-++>,则()()1e 1th t t '=-+,令()()1e 1t t t ϕ=-+,则()e tt t ϕ'=,当0t >时,()e 0tt t ϕ'=>,所以函数()()1e 1tt t ϕ=-+在()0,∞+上递增,则()()00t ϕϕ>=,即()()00h t h ''>=,则()h t 在()0,∞+上单调递增,()()00h t h ∴>=,即()2e 20tt t -++>成立.【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数证明不等式,关键是利用零点代换得21211e e x x x x a -+=-,进而换元求解函数最值即可证明.22.(1)220x y +-=,22(2)9x y +-=【分析】(1)利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直线l 的直角坐标方程,利用消参法可得曲线C 的普通方程;(2)求出直线l的参数方程515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数),联立曲线C 的普通方程,可得根与系数的关系式,利用t 的几何意义,即可求得答案.【详解】(1)将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入cos 2sin 2ρθρθ+=,得220x y +-=,所以直线l 的直角坐标方程为220x y +-=;由曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩(其中α为参数),化为3cos 23sin x y αα=⎧⎨-=⎩,平方相加得曲线C 的普通方程为22(2)9x y +-=;(2)由(1)可得点()0,1T 在直线l 上,由此可得直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数),将其代入曲线C的普通方程中得280t -=,设点A 对应的参数为1t ,点B 对应的参数为2t,则12128t t t t +==-,所以12,t t 一正一负,所以12125TA TB t t t t -=-=+=.23.(1)125(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式,将114100c a b +-化为11944100a b a b ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,利用基本不等式,即可求得答案;(2)利用柯西不等式,即可证明原不等式.【详解】(1)因为,,a b c 均为正实数,9444a b c ++=,所以1111114944944100100100c a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=+++-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1245≥=,当且仅当1914100a a b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即111,,3205a b c ===时等号成立.(2)证明:根据柯西不等式有()()22222229344(944)16a b ca b c ++++≥++=,所以22216941a b c ++≥.当且仅当3344a b c ==,即416,4141a b c ===时等号成立,即原命题得证.。
【新】2019-2020华南师范大学附属中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】

第一套:满分120分2020-2021年华南师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟卷一.选择题(共6小题,满分42分)1. (7分)货车和小汽车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,小汽车到达乙地后,立即以相同的速度沿原路返回甲地,已知甲、乙两地相距180千米,货车的速度为60千米/小时,小汽车的速度为90千米/小时,则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y (千米)与各自行驶时间t (小时)之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. (7分)在平面直角坐标系中,任意两点规定运算:①;②;③当x 1= x 2且y 1=y 2时,A =B.有下列四个命题:(1)若A (1,2),B (2,–1),则,; (2)若,则A =C ; (3)若,则A =C ;()()1122,,,A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C(4)对任意点A 、B 、C ,均有成立. 其中正确命题的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3.(7分)如图,AB 是半圆直径,半径OC ⊥AB 于点O ,AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ,连结CD 、OD ,给出以下四个结论:①AC ∥OD ;②CE=OE ;③△ODE ∽△ADO ;④2CD 2=CE •AB .正确结论序号是( )A .①②B .③④C .①③D .①④ 4. (7分)如图,在△ABC 中,∠ACB =90º,AC =BC =1,E 、F 为线段AB 上两动点,且∠ECF =45°,过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ,垂足分别为H 、G .现有以下结论:①;②当点E 与点B 重合时,;③;④MG •MH =,其中正确结论为( )A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.(7分)在数学活动课上,同学们利用如图的程序进行计算,发现无论x 取任何正整数,结果都会进入循环,下面选项一定不是该循环的是( )A. 4,2,1B. 2,1,4C. 1,4,2D. 2,4,1 6. (7分)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =5,AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点,过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ,则DM 的长为( )A.B. C. D.二.填空题(每小题6分,满分30分)7.(6分)将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限,如图中方式叠放,则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.(6分)如图,三个半圆依次相外切,它们的圆心都在x 轴上,并与直线33y x =相切.设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3,则当r 1=1时,r 3= .9.(6分)如图,将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中,B (2,0),∠AOB=60°,点A 在第一象限,过点A 的双曲线为k y x=.在x 轴上取一点P ,过点P 作直线OA 的垂线l ,以直线l 为对称轴,线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´.(1)当点O ´与点A 重合时,点P 的坐标是 ;(2)设P (t ,0),当O ´B ´与双曲线有交点时,t 的取值范围是 .1339241332510.(6分)如图,正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上,顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2,顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上,顶点A 2在x 轴的正半轴上,则点P 3的坐标为 .11.(6分)如图,在⊙O 中,直径AB ⊥CD ,垂足为E ,点M 在OC 上,AM 的延长线交⊙O 于点G ,交过C 的直线于F ,∠1=∠2,连结CB 与DG 交于点N .若点M 是CO 的中点,⊙O 的半径为4,cos ∠BOC=41,则BN= .三.解答题(每小题12分,满分48分)12.(12分)先化简,再求值:, 其中.13.(12分)如图,点A (m ,m +1),B (m +3,m -1)都在反比例函数的图象上.(1)求m ,k 的值;32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB (2)如果M 为x 轴上一点,N 为y 轴上一点, 以点A ,B ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN 的函数表达式. (3)将线段AB 沿直线进行对折得到线段,且点始终在直线OA 上,当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 (直接写出答案)14.(12分)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ,DE 是⊙O 的切线,连接DE .(1)连接OC 交DE 于点F ,若OF=CF ,证明:四边形OECD 是平行四边形; (2)若=n ,求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.(12分)如图1,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点为C (1,4),交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点D ,其中点B 的坐标为(3,0)。
【新】2019-2020西南大学附属中学校初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】

第一套:满分120分2020-2021年西南大学附属中学校初升高自主招生数学模拟卷一.选择题(共6小题,满分42分)1. (7分)货车和小汽车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,小汽车到达乙地后,立即以相同的速度沿原路返回甲地,已知甲、乙两地相距180千米,货车的速度为60千米/小时,小汽车的速度为90千米/小时,则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y (千米)与各自行驶时间t (小时)之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. (7分)在平面直角坐标系中,任意两点规定运算:①;②;③当x 1= x 2且y 1=y 2时,A =B.有下列四个命题:(1)若A (1,2),B (2,–1),则,; (2)若,则A =C ; (3)若,则A =C ;()()1122,,,A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C(4)对任意点A 、B 、C ,均有成立. 其中正确命题的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3.(7分)如图,AB 是半圆直径,半径OC ⊥AB 于点O ,AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ,连结CD 、OD ,给出以下四个结论:①AC ∥OD ;②CE=OE ;③△ODE ∽△ADO ;④2CD 2=CE •AB .正确结论序号是( )A .①②B .③④C .①③D .①④ 4. (7分)如图,在△ABC 中,∠ACB =90º,AC =BC =1,E 、F 为线段AB 上两动点,且∠ECF =45°,过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ,垂足分别为H 、G .现有以下结论:①;②当点E 与点B 重合时,;③;④MG •MH =,其中正确结论为( )A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.(7分)在数学活动课上,同学们利用如图的程序进行计算,发现无论x 取任何正整数,结果都会进入循环,下面选项一定不是该循环的是( )A. 4,2,1B. 2,1,4C. 1,4,2D. 2,4,1 6. (7分)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =5,AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点,过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ,则DM 的长为( )A.B. C. D.二.填空题(每小题6分,满分30分)7.(6分)将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限,如图中方式叠放,则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.(6分)如图,三个半圆依次相外切,它们的圆心都在x 轴上,并与直线33y x =相切.设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3,则当r 1=1时,r 3= .9.(6分)如图,将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中,B (2,0),∠AOB=60°,点A 在第一象限,过点A 的双曲线为k y x=.在x 轴上取一点P ,过点P 作直线OA 的垂线l ,以直线l 为对称轴,线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´.(1)当点O ´与点A 重合时,点P 的坐标是 ;(2)设P (t ,0),当O ´B ´与双曲线有交点时,t 的取值范围是 .1339241332510.(6分)如图,正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上,顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2,顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上,顶点A 2在x 轴的正半轴上,则点P 3的坐标为 .11.(6分)如图,在⊙O 中,直径AB ⊥CD ,垂足为E ,点M 在OC 上,AM 的延长线交⊙O 于点G ,交过C 的直线于F ,∠1=∠2,连结CB 与DG 交于点N .若点M 是CO 的中点,⊙O 的半径为4,cos ∠BOC=41,则BN= .三.解答题(每小题12分,满分48分)12.(12分)先化简,再求值:, 其中.13.(12分)如图,点A (m ,m +1),B (m +3,m -1)都在反比例函数的图象上.(1)求m ,k 的值;32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB (2)如果M 为x 轴上一点,N 为y 轴上一点, 以点A ,B ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN 的函数表达式. (3)将线段AB 沿直线进行对折得到线段,且点始终在直线OA 上,当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 (直接写出答案)14.(12分)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ,DE 是⊙O 的切线,连接DE .(1)连接OC 交DE 于点F ,若OF=CF ,证明:四边形OECD 是平行四边形; (2)若=n ,求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.(12分)如图1,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点为C (1,4),交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点D ,其中点B 的坐标为(3,0)。
2024年普通高等学校全国统一招生考试适应性测试数学模拟试卷+答案

2024年普通高等学校全国统一招生考试适应性测试数 学 2024.2注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合{|i ,2,}*n A x x n k k N ,{|cos}2ππisi 2n ,n n B x n x C Z ,则B A A .{1,1}B .{i,i}C .D .{0}2.设研究某两个属性变量时,作出零假设0H 并得到2×2列联表,计算得220.05 ,则下列说法正确的是A .有99.5%的把握认为0H 不成立B .有5%的把握认为0H 的反面正确C .有95%的把握判断0H 正确D .有95%的把握能反驳0H3.设锐角 与 ,若tan 2 ,tan 3 ,则A .3π4B .π4C .π2D .3π84.设向量(1,)x a ,向量(2,)x x b ,若 a b 且|||| a b 则x A .2B .2C .1D .2 或15.已知平面直角坐标系xOy 中双曲线2222:1(,0)C x y a a bb . 设1F 是C 的左焦点,22(0,))a P b .连接1PF 交双曲线C 于Q . 若1QO PF ,则C 的离心率e 的值为A .31B .61C .31D .316.定义运算“&”,若&(&)&x y z x y z 且&0x x ,则2024&(2023&2022) A .2021B .2022C .2023D .20247.设,0x y ,1x y ,则2211()(11)x y 的最小值为 A .3B .5C .7D .98.把一副洗好的牌(共52张)背面朝上地摞成一摞,然后依次翻开每一张牌,直到翻出第一张A .记事件A 为“翻开第3张牌时出现了第一张A ”,事件B 为“翻开第4张牌时出现了第一张A ”,事件C 为“翻开的下一张牌是黑桃A ”,事件D 为“下一张翻开的牌是红桃3”,则下列说法正确的是 A .(A)(B)P P B .(C)(D)P P C .(A)(B)P PD .(C)(D)P P二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。
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全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.已知△ABC ,若对任意t ∈R ,||→BA -t →BC ≥||→AC ,则△ABC 一定为A .锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .答案不确定2.设log x (2x 2+x -1)>log x 2-1,则x 的取值范围为A .12<x <1B .x >12且x ≠1C . x >1D . 0<x <13.已知集合A ={x |5x -a ≤0},B ={x |6x -b >0},a ,b ∈N ,且A ∩B ∩N ={2,3,4},则整数对(a ,b )的个数为A .20B .25C .30D .424.在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,∠BAC =π2,AB =AC =AA 1=1.已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点,D与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点).若GD ⊥EF ,则线段DF 的长度的取值范围为A .[15,1)B .[15,2)C .[1,2)D .[15,2) 5.设f (x )=x 3+log 2(x +x 2+1),则对任意实数a ,b ,a +b ≥0是f (a )+f (b )≥0的A . 充分必要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件6.数码a 1,a 2,a 3,…,a 2006中有奇数个9的2007位十进制数-2a 1a 2…a 2006的个数为A .12(102006+82006)B .12(102006-82006)C .102006+82006D .102006-82006二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7. 设f (x )=sin 4x -sin x cos x +cos 4x ,则f (x )的值域是 .8. 若对一切θ∈R ,复数z =(a +cos θ)+(2a -sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 . 9.已知椭圆x 216+y 24=1的左右焦点分别为F 1与F 2,点P 在直线l :x -3y +8+23=0上. 当∠F 1PF 2取最大值时,比|PF 1||PF 2|的值为 . 10.底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm 3.11.方程(x 2006+1)(1+x 2+x 4+…+x 2004)=2006x 2005的实数解的个数为 .12. 袋内有8个白球和2个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回1个白球,则第4次恰好取完所有红球的概率为 .三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13. 给定整数n ≥2,设M 0(x 0,y 0)是抛物线y 2=nx -1与直线y =x 的一个交点. 试证明对任意正整数m ,必存在整数k ≥2,使(x 0m ,y 0m )为抛物线y 2=kx -1与直线y =x 的一个交点.14.将2006表示成5个正整数x 1,x 2,x 3,x 4,x 5之和.记S =1≤i <j ≤5Σx i x j .问:⑴ 当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时,S 取到最大值; ⑵ 进一步地,对任意1≤i ,j ≤5有||x i -x j ≤2,当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时,S 取到最小值. 说明理由.15.设 f (x )=x 2+a . 记f 1(x )=f (x ),f n (x )=f (f n -1(x )),n =1,2,3,…, M ={a ∈R |对所有正整数n ,||f n (0)≤2}.证明,M =[-2,14].全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分,每小题6分)答C .解:令∠ABC =α,过A 作AD ⊥BC 于D ,由||→BA -t →BC ≥||→AC ,推出||→BA 2-2t →BA · →BC +t 2||→BC2≥||→AC 2,令t =→BA · →BC ||→BC 2,代入上式,得 ||→BA 2-2||→BA 2cos 2α+||→BA 2cos 2α≥||→AC 2,即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC .从而有||→AD ≥||→AC .由此可得∠ACB =π2. 答B .解:因为⎩⎨⎧x >0,x ≠12x 2+x -1>0,解得x >12且x ≠1.由log x (2x 2+x -1)>log x 2-1, ⇒ log x (2x 3+x 2-x )>log x 2⇒ ⎩⎨⎧0<x <1,2x 3+x 2-x <2或⎩⎨⎧x >1,2x 3+x 2-x >2.解得0<x <1或x >1. 所以x 的取值范围为x >12且x ≠1.答C .解:5x -a ≤0⇒x ≤a 5;6x -b >0⇒x >b 6.要使A ∩B ∩N ={2,3,4},则⎩⎨⎧1≤b 6<2,4≤a 5<5,即⎩⎨⎧6≤b <12,20≤a <25.所以数对(a ,b )共有C 61C 51=30个.答A .解:建立直角坐标系,以A 为坐标原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴,AA 1为z 轴,则F (t 1,0,0)(0<t 1<1),E (0,1,12),G (12,0,1),D (0,t 2,0)(0<t 2<1).所以→EF =(t 1,-1,-12),→GD =(-12,t 2,-1).因为GD ⊥EF ,所以t 1+2t 2=1,由此推出0<t 2<12.又→DF =(t 1,-t 2,0),||→DF =t 12+t 22=5t 22-4t 2+1=5(t 2-25)2+15,从而有15≤||→DF <1. 答A . 解:显然f (x )=x 3+log 2(x +x 2+1)为奇函数,且单调递增.于是若a +b ≥0,则a ≥-b ,有f (a )≥f (-b ),即f (a )≥-f (b ),从而有f (a )+f (b )≥0.反之,若f (a )+f (b )≥0,则f (a )≥-f (b )=f (-b ),推出a ≥-b ,即a +b ≥0.答B .解:出现奇数个9的十进制数个数有A =C 20061 92005+C 20063 92003+…+C 200620059.又由于(9+1)2006=k =0Σ2006C 2006k 92006-k 以及(9-1)2006=k =0Σ2006C 2006k (-1)k 92006-k 从而得 A =C 20061 92005+C 20063 92003+…+C 200620059=12(102006-82006). 填[0,98].解:f (x )=sin 4x -sin x cos x +cos 4x =1-12sin2x -12 sin 22x .令t =sin2x ,则f (x )=g (t )=1-12t -12t 2=98-12(t +12)2.因此-1≤t ≤1min g (t )=g (1)=0,-1≤t ≤1max g (t )=g (-12)=98. 故,f (x )∈[0,98].填[-55,55].解:依题意,得|z |≤2⇔(a +cos θ)2+(2a -sin θ)2≤4⇔2a (cos θ-2sin θ)≤3-5a 2.⇔-25a sin(θ-φ)≤3-5a 2(φ=arcsin 55)对任意实数θ成立.⇔25|a |≤3-5a 2⇒|a |≤55,故 a 的取值范围为[-55,55].填3-1..解:由平面几何知,要使∠F 1PF 2最大,则过F 1,F 2,P 三点的圆必定和直线l 相切于点P .直线l 交x 轴于A (-8-23,0),则∠APF 1=∠AF 2P ,即∆APF 1∽∆AF 2P ,即|PF 1||PF 2|=|AP ||AF 2| ⑴ 又由圆幂定理,|AP |2=|AF 1|·|AF 2| ⑵而F 1(-23,0),F 2(23,0),A (-8-23,0),从而有|AF 1|=8,|AF 2|=8+43.代入⑴,⑵得,|PF 1||PF 2|=|AF 1||AF 2|=88+43=4-23=3-1. 填(13+22)π.解:设四个实心铁球的球心为O 1,O 2,O 3,O 4,其中O 1,O 2为下层两球的球心,A ,B ,C ,D 分别为四个球心在底面的射影.则ABCD 是一个边长为22的正方形。
所以注水高为1+22.故应注水π(1+22)-4×43π(12)3=(13+22)π.填1.解:(x 2006+1)(1+x 2+x 4+…+x 2004)=2006x 2005⇔(x +1x 2005)(1+x 2+x 4+…+x 2004)=2006⇔x +x 3+x 5+…+x 2005+1x 2005+1x 2003+1x 2001+…+1x =2006,故x >0,否则左边<0.⇔2006=x +1x +x 3+1x 3+…+x 2005+1x 2005≥2×1003=2006.等号当且仅当x =1时成立.所以x =1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1.填0.0434.解:第4次恰好取完所有红球的概率为210×(910)2×110+810×210×910×110+(810)2×210×110=0.0434.证明:因为y 2=nx -1与y =x 的交点为x 0=y 0=n ±n 2-42.显然有x 0+1x 0=n ≥2.…(5分) 若(x 0m ,y 0m )为抛物线y 2=kx -1与直线y =x 的一个交点,则k =x 0m +1x 0m .………(10分) 记k m =x 0m +1x 0m ,由于k 1=n 是整数,k 2=x 02+1x 02=(x 0+1x 0)2-2=n 2-2也是整数, 且 k m +1=k m (x 0+1x 0)-k m -1=nk m -k m -1,(m ≥2) (13.1) 所以根据数学归纳法,通过(13.1)式可证明对于一切正整数m ,k m =x 0m +1x 0m 是正整数,且k m ≥2现在对于任意正整数m ,取k =x 0m +1x 0m ,满足k ≥2,且使得y 2=kx -1与y =x 的交点为(x 0m ,y 0m ).……(20分) 解:(1) 首先这样的S 的值是有界集,故必存在最大值与最小值。