自考流体力学03347 03流体动力学基础

ux u y uz ( )dxdydz 0 x y z u x u y u z V ( x y z )dxdydz 0
简写 数学高斯定理： 体积积分

V
r divu dV 0
r V divudV A un dA 0 面积积分
其中：A——为体积V 的封闭表面。
念清晰，理论上能直接得出各个质点的运动规律。 但跟踪每一质点的运动规律，方法上极其愚笨。 ②实际工程往往不需要知道每一质点的运动规律，只 需要知道流体的平均运动状态即可。 ③测量仪器、投资高，非激光仪不可，否则是不可能 在同一时间测出各质点的运动规律。
二、欧拉法L.Euler： 1.Euler法：也称流场法。 将流体作为连续介值。以充满流体质点的空间(流场)为 研究对象，研究各时刻给定空间上流体质点的运动要素的分 布及变化规律。汇总各时刻的情况，得整个流动规律。 流场：充满运动流体质点的空间。 2.速度和压强函数： ux=ux(x,y,z,t) x,y,z,t——欧拉Euler变量。 uy=uy(x,y,z,t) x=x(t) uz=uz(x,y,z,t) 流体质点不同时刻 y=y(t) p=p(x,y,z,t) 的空间位置。 z=z(t) =(x,y,z,t) 3.加速度函数：将速度函数对时间求全导数。
流体的连续性微分方程（2） 单位时间通过y方向流出与 流入控制体的质量差：
dm y dm y右出 dm y左入 u y y dxdydz
同理可得，单位时间通过 x、z方向流出与流入控制 体的质量差：
ux dmx dxdydz x uz dmz dxdydz z
0 ， ， t
u x u y u z 0 x y z
流出体积=流入体积
不可压缩恒定流体，单位时间，单位体积空间内 流入与流出的流体体积差为零。 二、连续性微分方程的适用条件： 适用于：恒定流、非恒定流、理想流体、实际流体、可压缩 流体、不可压缩流体 。
三、总流的连续性方程： 不可压缩恒定流体 沿总流体积积分：
分析：三维流动--质量守恒--流体的连续性微分方程 原理：质量守恒原理 一、流体的连续性微分方程
流场中任取微小六面体 空间为控制体。 中心点M(x,y,z) t 瞬时速度 （ux、uy、uz）
流体密度 (x、y、z、t) 由泰勒公式，则六面体各表面中心点的u、为： 下面以以y方向为例来说明：
一、流体的连续性微分方程
二、一维(元)流、二维(元)流、三维(元)流： 1.一维(元)流：流场中质点运动要素只随一个空间坐标变化 。 显然，在一维流场中，流线是彼此平 行的直线，而且同一过流断面上各点 的流速是相等的。 2.二维(元)流：流场中质点运动要 素只随二个空间坐标变化的流动 。 3.三维(元)流：流场中质点运动要 素只随三个空间坐标变化。 由于考虑多维问题的复杂性，在 数学上有相当大的困难。 常用的简化方法，就是引入过流 断面平均流速的概念，把水流简化为 一维流，用一维分析方法研究实际上 是多维的水流问题。 但用一维流代替多维流所产生 的误差，要加以修正．修正系数一般 用试验的方法来解决。
左侧面 dxdz
y 2 u y dy uy y 2 右侧面 dxdz dy y 2
单位时间通过左 侧流入质量为：
u y dy uy y 2 dy
单位时间通过每一断面的流体的质量为： udA
u y dy dy dmy左入 ( )(u y )dxdz y 2 y 2 单位时间通过右 u y dy dy )(u y )dxdz 侧流出质量为： dmy右出 ( y 2 y 2
Q dQ udA
A A
积分中值定理

A
3.断面平均流速：是一假想的不存在的流 速，用以反映断面平均状况，其值为断面 总流量除以总过流断面面积。
Q A
03-3
流体运动分类
一、恒(稳)定流和非恒(不稳)定流 1.恒(稳)定流：在流场中，如果在各空间点上流体质点的运 动要素都不随时间而变化 。 2.非恒(不稳)定流：在流场中，如果在任一空间点上有任何 质点的运动要素是随时间而变化的。
dux u x u x dx u x dy u x dz ax dt t x dt y dt z dt
欧拉法L.Euler： 3.加速度函数：
u x u x u x u x ax ux uy uz atx asx t x y z u y u y u y u y ay ux uy uz aty asy t x y z u z u z u z u z az ux uy uz atz asz t x y z
适用条件：恒定流 ； 不可压缩
或 Q入 Q出
非恒定流同一时刻 (理想，实际流动)
有分流与汇流的连续性方程：
Q
i入
Q j出
03-5
三、均匀流与非均匀流： 1.均匀流：流线为平行直线的流动。或：流场各点运动要素不 随空间位置变化的流动。as=0 (位变或迁移加速度为零。) 均匀流特点： (1)流线互相平行。 (2)过流断面尺寸、形状沿程不变。(3)点 流速分布、平均流速沿程不变，同一条流线上各点流速相等。 2.非均匀流：流线不行。质点运动要素随空间位置变化as≠0 。 渐变流：流线近 似为平行直 线的流动。 急变流：流线变化 剧烈，弯曲程 度较大 。
3.ห้องสมุดไป่ตู้点的速度：
Langrange法
3.质点的速度：
x x(a, b, c, t ) ux t t y y(a, b, c, t ) uy t t
z z (a, b, c, t ) uz t t
4.质点的加速度：
u x 2 x(a, b, c, t ) ax t t 2 u y 2 y (a, b, c, t ) ay t t 2 u z 2 z (a, b, c, t ) az t t 2
un——为封闭表面上各点处速度在外法线方向的投影。

A
u n dA ——通过封闭表面的速度通量。
总流的连续性方程： 由总流定义：总流只通过进口和出口断面，侧面流速为零。
有

V
r divudV un dA u1dA1 u2 dA2 0
A A1 A2
总流的连续性方程：
1 A1 2 A2
非 均 匀 流
四、有压流、无压流 1.有压流：流体边界全部受固体的壁面限制，且固壁边处处 受到流体压力的作用。 2.无压流：总流边界部分与大气接触，部分与固体接触， 具有自由液面的流动。 3.射流：流体经孔口或管嘴射到某一空间，脱离原来固体 边壁的限制。
03-4
流体运动的连续性方程
一维流动--质量守恒--总流的连续性方程
at——时变加速度 或称当地加速度 as——位变加速度或称迁移加速度 即：a=at+as 若：at =0——恒定流 as =0——均匀流 4.Euler法特点： 研究各空间位置而不涉及具 体每一质点。 优点：方法简单、测量方便、 分析容易。故应用极其广泛。
03-2
描述流体运动欧拉法基本概念
一、迹线和流线 1.迹线：质点在某时间段内所走过的轨迹线。 给出：同一质点，不同时刻的速度方向。 2.流线的定义：(Euler观点) 流线是某一时刻在流场 中画出的一条空间曲线，该 曲线上的每个质点的流速方 向都与这条曲线相切。 一条某时刻的流线就表 示位于这条线上的各质点在 该时刻的流向， 一组某时刻的流线(流线 簇)就表示流场某时刻的流 动方向和流动的形象。
03
流体动力学基础
流体动力学包括流体运动学和流体动力学。 前者研究流体运动的方式和速度、加速度、位移等随空间 与时间的变化， 后者研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和 能量的方法。
在水动力学研究中，一般不讨论流体分子的运动， 而是研究流体质点或质点群的运动。
一、任务：确定表征流体运动状态的物理量随时间、空间的变 化规律及其在工程中的应用。 二、内容：研究流体的运动要素(a,u,p,等)随时间、空间的变 化规律及其相互间的关系。 三、研究方法：拉格朗日法Langrange ， 欧拉法Euler
流体的连续性微分方程（3） 质量守恒原理：单位时间流出与流入控制体的流体质量之差 等于控制体内因流体密度随时间变化而引起的质量的改变 （减少或增量）。 所以 即
dmx dm y dm y dxdydz t
( ux ) ( u y ) ( uz ) [ ]dxdydz dxdydz x y z t
3.流线的特点 (1)一般情况下，流线不能相交。且流线只能是一条光滑的曲线。 (2)流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流线构 成某一时刻流场内的流动图象。 (3)在恒定流条件下，流线的形状和位置不随时间而变化； 在非恒定流条件下，流线的形状和位置一般要随时间变化。 (4)恒定流动时，流线与迹线相重合； 非恒定流动时，流线与迹线一般不相重合。 (5)流线密集处，流速大，疏松处，流速小。 (6)均匀流时，流线为平行直线。
(2)流管面是将流动流体可以划分为若干股流动的理论依据。 (3)元流的断面无限小，因而同一断面上的运动要素可以看 作是相等的； 但对总流来说，同一断面上各处的运动要素不一定都相等。
三、过流（水）断面、流量、断面平均流速 1.过流（水）断面：就是与元流或总流的所有流线相正交的横 断面。 显然，如果水流的流线是相互平行时，过水断 面便是一平面，否则就是一曲面。 2.流量：单位时间内流过(元流或总流的)某一过流断面的流 体数量(体积或质量或重量) 体积流量 Q 单位：m3/s 适：不可压 流量： 质量流量 M 单位：kg/s 适：可压 重量流量 G 单位：N/s 适：可压 元流流量：dQ=udtdA/dt=udA 总流流量：
Langrange法 若：a,b,c为常数，t为变数，以上表示同一质点不同 时间的位置、速度，加速度随时间的变化规律。 若：a,b,c为变数，t为常数，以上各式表示不同质点 在某瞬时的位置分布、速度、加速度的空间分布状况。 5.Langrange法的特点：
①应用质点动力学的方法来研究流体的运动，物理概
( ux ) ( u y ) ( uz ) 0 x y z t
流体的连续性微分方程：
1.若为恒定流： 0 ， ( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t
流出质量= 流入质量
讨论：
x
y
z
流体的连续性微分方程（4） 2.若为不可压缩恒定流体： C
二、流管、元流、总流、 1.流管：流管是通过流场中任意封闭曲线上各点作流线而得 出的封闭管状曲面（流面）。 2.元流(也称纤流)：充满横断面无限小的流管中的流体。 3.总流：无数元流之和。将流管的封闭曲线取在运动流体的 周界上，构成的大流管内的流体。
结论：
(1)流体质点只能在流管内部或沿流管表面流动，不能穿过 流管或元流面流动。
03-1
描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法(J.L.Langrange)： 1.Langrange法：也称质点系法。
以流体的每一个质点为研究对象，研究给定质点在整个 运动过程中的轨迹以及运动要素随时间、空间的变化规律。 综合所有质点的运动规律即构成整个流动的运动规律。
2.质点的运动方程： 若已知某一质点M，时刻t=t0初始坐标为(a,b,c)，对应 t=t 时刻坐标Mt(x,y,z)。则 x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t) 其中：a,b,c,t——称Langrange变量。