初等函数的基本不等式

初等函数的基本不等式

一. 初等函数的基本不等式

1. 三角、反三角型不等式 (1) ;0},,120

161-{min sin 61-

533≥+≤≤x x x x x x x x (2) 2

2

2

sin (0);2

4

1(1-)x x x x x π

π

π

≥

≥

≤≤

+

22s i n

(0);111163

x x x x x x x π≤≤≤≤≤++ (3) ;24

121-1cos 21-14

22x x x x +≤≤ (4) 22

111-

cos ,0;221x x x x π≤≤≤≤+ (5)

2

32

23arctan ,32113

x

x x

x x x x x ≤≤≤≤+++0;x ≥

;10,)1-4(1a r c t a n 2

≤≤+≤

x x

x

x π

.0,4

1a r c t a

n 2

2

≥+

≤x x x

x π （5）的证明: .0,1arctan 3

2

≥+≤

x x

x

x

设=)(x f ,0,1arctan 3

2

≥+-

x x x

x 0.132>+=x m

则 ,0/)2()1(31-)

1()1(32-1-11)(423223

2

-22

3

2

2'≤+-=++++=m m m x x x x x x f

,0)0()(=≤f x f 不等式得证！(其余部分证明类似, 此略)

2. 对数型不等式 (1) 23

5111-

ln (1)(1-),0;1221511(1)26

x x x x x x x x x x x x x ≤≤+≤≤≤+≤≥++++ (2)

;0,21

-2

11)1(ln 1)11-1(212<≤≤+≤+≤+≤++x x x x x x x x x x x

(3) 对数平均不等式11

3312

()()().2ln ln 63

x y x y xy x y xy x y +-<<++-

3. 指数数型不等式

(1) 21...(1,0;0,);2!!

m

x

x x e x m x x m m ≥++++≥≥<或为奇数 (2) ).,0(!

...!212为偶数m x m x x x e m

x

≤++++≤ (3) 2(-1),0(0,1 ).x e ex x x x ≥+≥=取等号 (3)可推广为.1-],)-()1-([21-t x t x t x e e e t x ≥++≥ 4. 幂不等式

贝努利不等式

(1) ;01,1,1)1(≤≥->+≥+αααα

或x x x

(2) ;10,1,1)1(<<->+≤+ααα

x x x 赫尔德不等式 （3）;10,0, ,)-1(-1≤≤>+≤αααα

α

y x y x y

x (4) .10,0, ,)-1(-1><>+≤ααααα

α或y x y x y

x

事实上也就是 ,)-1()(-1y x y

x ααα

α

+≥≤),1-(1)()(y

x

y x αα+≥≤

可见贝努利不等式与赫尔德不等式是等价的.

二．应用举例

例1 (1) 2arctan (sin )(0);1212

x x x x π

≥

≤≤+

(2) ).0(1sin arctan 2

≥+≤

x x

x x

证明：(1)先证

);2(0sin arctan 2

112π

≤≤≤+x x x x 设.20,211-sin arctan )(2π

≤≤+=x x x x x f 则求导得到 ,)211(21-1-sin 1cos )(222

2

'x x x x x f ++=利用,sin },021-1,0{max cos 2x x x x ≤≤≥得到 .0)(f ,)2

1

1(1sin 1'2222≥+≤+≤+x x x x 于是,0)0()(=≥f x f

不等式)2(0sin arctan 2

112π

≤≤≤+x x x x 得证;

(2) 再来证明右边：).0(1sin arctan 2

≥+≤

x x

x x

事实上只需考虑2

0π

<

≤x 时成立2

1sin arctan x

x x +≤

即可.

设,2

,01-

sin arctan )(2

π

<

≤+=x x

x x x g 则,)

1(1-sin 1cos )(2

322'x x

x

x g ++=

0)('

≤x g 即,

)1(1

)sin 1(cos 3

2222x x x +≤+也就是.)1(1)tan 21(tan 132222x x x +≤++ 令.1t 1s ,0tan 32≥+=≥=x t

要证明,1-1)

21()arctan (322

22

t t t ++≤利用1(5)中的反正切不等式,1arctan 32t

t t +≤ 这样只需证明,)12(1,)1()1()21(2

3233332232222s s s s t t t t --≤-+-++≤

移项, 立方整理为0,)1-3-3-663()1-(2

34563≥+++s s s s s s s 因,1≥s 此不等式成立. 于是'

()0,g()g(0)0,g x x ≤≤=不等式)0(1sin arctan 2

≥+≤

x x

x x 成立！

特别地，在此不等式中令2

0,tan π

θθ<

≤=x 得到：).sin (tan )tan (sin θθ≤