高三总复习圆锥曲线

高三总复习圆锥曲线

一、

本讲进度

«圆锥曲线方程»复习 二、本讲要紧内容

1、三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。

2、直线和圆锥曲线位置关系。

3、求轨迹方程的常规方法。

三、复习指导

1、上一章差不多复习过解析几何的差不多咨询题之一：如何求曲线〔点的轨迹〕方程。它一样分为两类基此题型：一是轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程确实是典型例题；二是未知轨迹类型，现在除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用轨迹的定义解题，化归为求轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是查找与动点坐标有关的方程〔等量关系〕，侧重于数的运算，一是查找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在差不多轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 2、三种圆锥曲线的研究

〔1〕统一定义，三种圆锥曲线均可看成是如此的点集：⎭

⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d

为P 到定直线的距离，F ∉，如图。

因为三者有统一定义，因此，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当01时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。 〔2〕椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。

〔3〕圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上

椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

②定量：

椭 圆

双 曲 线 抛 物 线

焦 距 2c

长轴长 2a —— 实轴长 ——

2a

短轴长 2b 焦点到对应 准线距离 P=2c b 2

p

通径长

2·a

b 2

2p

举焦点在x轴上的方程如下：

握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

3、直线和圆锥曲线位置关系

（1）位置关系判定：△法〔△适用对象是二次方程，二次项系数不为0〕。

其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标确实是方程组的解。

当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

4、圆锥曲线中参数取值范畴咨询题通常从两个途径摸索，一是建立函数，用求值域的方法求范畴；二是建立不等式，通过解不等式求范畴。

四、典型例题

例1、 依照以下条件，求双曲线方程。

（1）与双曲线116y 9x 22=-有共同渐近线，且过点〔-3，32〕

； （2）与双曲线14

y 16x 2

2=-有公共焦点，且过点〔23，2〕

。 解题思路分析：

法一：〔1〕双曲线116y 9x 22=-的渐近线为x 3

4

y ±=

令x=-3，y=±4，因432<，故点〔-3，32〕在射线x 34

y -=〔x ≤0〕及x 轴负半轴之间，

∴ 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为

1b

y a

x 2

22

2=-

，

〔a>0，b>0〕 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1b )32(a )3(34

a b 22

22 解之得：⎪⎩

⎪⎨

⎧==

4b 49

a 22 ∴ 双曲线方程为14y 49x 2

2=-

〔2〕设双曲线方程为

1b

y a

x 2

22

2=-

〔a>0，b>0〕

那么 ⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+1b 2a

)23(20b a 222

222

解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==8

b 12

a 22

∴ 双曲线方程为18

y 12x 2

2=-

法二：〔1〕设双曲线方程为λ=-16y 9x 2

2〔λ≠0〕

∴ λ=--16

)32(9)3(2

2

∴ 4

1=

λ

∴ 双曲线方程为14y 4

9x 2

2=-

（3）设双曲线方程为1k 4y k 16x 22

=+--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴ 1k

42k 16)23(22=+--

解之得：k=4

∴ 双曲线方程为18

y 12x 2

2=-

评注：与双曲线

1b

y a

x 2

22

2=-

共渐近线的双曲线方程为

λ=-

2

22

2b

y a

x 〔λ≠0〕

，当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。与双曲线

1b y a x 2

22

2=-

共焦点的双曲线为1

k

b y k

a x 2222=--

+〔a 2+k>0，b 2

-k>0〕。比较上述两种解法可知，引入适当的参数能够提高解题质量，专门是充分利用含参数方程的几何意义，能够更准确地明白得解析几何的差不多思想。

例2、设F 1、F 2为椭圆14

y 9x 2

2=+的两个焦点，P 为椭圆上一点，P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个

顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求

|

PF ||

PF |21的值。 解题思路分析：

当题设涉及到焦半径那个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。 法一：当∠PF 2F 1=900

时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+5

c )c 2(|PF ||PF |6|PF ||PF |2

2222121得：

314|PF |1=，3

4|PF |2= ∴

2

7|PF ||PF |21= 当∠F 1PF 2=900

时，同理求得|PF 1|=4，|PF 2|=2 ∴

2|

PF ||

PF |21= 法二：当∠PF 2F 1=900

，5x P = ∴ 34y P ±

= ∴ P 〔3

4,5±

〕 又F 2〔5，0〕